Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : les transformations linéaires du plan (201-NYC)

Q: Comment trouver la matrice d'une transformation du plan ?

On calcule l'image du vecteur un zéro et l'image du vecteur zéro un, puis on range ces deux images en colonnes. La première image devient la première colonne, la seconde image la seconde colonne. Cette règle vaut uniquement pour les vecteurs de la base canonique, pas pour deux vecteurs quelconques.

Q: Dans quel ordre multiplier les matrices d'une composition ?

La transformation appliquée en premier se place à droite du produit. Si on tourne puis on réfléchit, la matrice est celle de la réflexion multipliée par celle de la rotation. La raison est que le facteur de droite est celui qui rencontre le vecteur en premier dans le calcul.

Q: Pourquoi la matrice de réflexion utilise-t-elle l'angle double ?

Parce qu'un point situé à un certain angle est renvoyé de l'autre côté de l'axe, à une distance angulaire égale. Son nouvel angle vaut donc deux fois l'angle de l'axe moins son angle de départ. C'est l'écart qui double, alors qu'une rotation se contente d'ajouter son angle.

Q: Que signifie un déterminant nul pour une transformation ?

Que la transformation aplatit le plan sur une droite ou sur un point. Elle existe bel et bien, mais elle n'est pas inversible : plusieurs points différents ont la même image, et l'aire de toute figure transformée devient nulle. Les projections sont l'exemple typique de ce cas.

Q: Comment reconnaître une rotation à partir de sa matrice ?

Son déterminant vaut un, et ses deux colonnes sont de longueur un et perpendiculaires entre elles. L'angle se lit alors directement sur la première colonne, dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de cet angle. Un déterminant de moins un signalerait une réflexion, pas une rotation.

Q: Une translation est-elle une transformation linéaire ?

Non. Une transformation linéaire laisse toujours l'origine fixe, alors qu'une translation la déplace. La translation est dite affine : elle s'écrit comme une transformation linéaire suivie d'une addition de vecteur constant, et seule la partie linéaire se représente par une matrice.

Cette fiche ne redonne pas la liste des matrices de rotation et de réflexion : elle est dans vos notes et sur le formulaire. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire l'ordre d'une composition, la lecture des colonnes, et les contrôles qui attrapent une matrice fausse en dix secondes.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

La matrice d'une transformation se LIT dans les images de $(1\ ;\ 0)$ et $(0\ ;\ 1)$ : ce sont ses deux colonnes. Et une composition se lit de DROITE à gauche, parce que le facteur de droite est celui qui rencontre le vecteur en premier.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Matrices, systèmes et déterminants Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
2Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
3La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
4Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
5Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4
6Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
7Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
8Combinaisons linéaires, dépendance et bases
9Matrices, systèmes et déterminants

L'essentiel

Les colonnes sont les images de la base canonique

• Toute transformation linéaire du plan s'écrit $T(\vec{v})=A\vec{v}$ pour une UNIQUE matrice $A$ d'ordre $2$ .
• La première colonne de $A$ est $T(1\ ;\ 0)$ , la deuxième est $T(0\ ;\ 1)$ . C'est la clé dans les deux sens : de la géométrie vers la matrice, et de la matrice vers la géométrie.
• $T$ est linéaire si et seulement si $T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})$ et $T(k\vec{u})=k\,T(\vec{u})$ . En particulier $T(\vec{0})=\vec{0}$ toujours.
• L'image du CARRÉ UNITÉ est le parallélogramme construit sur les deux colonnes : c'est la façon la plus rapide de voir ce que fait une matrice.
• Une translation n'est jamais linéaire : elle déplace l'origine.

Le carré unité devient le parallélogramme construit sur

T(\vec{e_{1}})

T(\vec{e_{2}})

, qui sont exactement les deux colonnes de la matrice.

Devant une matrice inconnue, dessiner l'image du carré unité prend trente secondes et révèle immédiatement s'il s'agit d'une rotation, d'une réflexion, d'un cisaillement ou d'un aplatissement.

Le catalogue, avec les déterminants qui identifient

• ROTATION d'angle $\theta$ : $R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ , de déterminant $1$ . Le signe moins est en HAUT à droite.
• RÉFLEXION par rapport à l'axe des $x$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ; par rapport à l'axe des $y$ : $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ; par rapport à $y=x$ : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminant $-1$ .
• RÉFLEXION par rapport à la droite d'angle $\theta$ : $\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$ , avec l'angle DOUBLE.
• HOMOTHÉTIE de rapport $k$ : $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ , de déterminant $k^{2}$ . PROJECTION sur l'axe des $x$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , de déterminant $0$ .
• CISAILLEMENT : $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , de déterminant $1$ : il conserve l'aire sans être une rotation.

Le déterminant identifie presque tout : $1$ pour une rotation ou un cisaillement, $-1$ pour une réflexion, $0$ pour une projection. Une matrice est une rotation si en plus ses colonnes sont unitaires et orthogonales.

Composer, et lire le facteur d'aire

• La matrice de $T_{2}\circ T_{1}$ est le PRODUIT $A_{2}A_{1}$ , dans cet ordre : la transformation appliquée en PREMIER se place à DROITE.
• La raison tient en une ligne : $T_{2}(T_{1}(\vec{v}))=A_{2}(A_{1}\vec{v})=(A_{2}A_{1})\vec{v}$ , et c'est $A_{1}$ qui touche $\vec{v}$ .
• Comme le produit n'est pas commutatif, l'ordre change le résultat : une rotation suivie d'une réflexion n'est pas la même chose que la réflexion suivie de la rotation.
• Si une figure d'aire $\mathcal{A}$ est transformée par $T$ , l'image a pour aire $|\det(A)|\times\mathcal{A}$ .
• $\det(A)<0$ signale un renversement d'ORIENTATION; $\det(A)=0$ signale un aplatissement de tout le plan sur une droite.

Composer deux réflexions d'axes faisant un angle $\alpha$ donne toujours une ROTATION d'angle $2\alpha$ : c'est le résultat le plus demandé en fin de chapitre, et il se vérifie sur les déterminants, $(-1)\times(-1)=1$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Composer dans l'ordre de lecture au lieu de l'ordre matriciel

toute la question, avec une matrice qui est souvent l'autre réflexion, donc parfaitement plausible.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On applique d'abord la rotation $R$ , puis la réflexion $S$ , donc la matrice de la composée est $RS$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La matrice est $SR$ : la transformation appliquée en PREMIER se place à DROITE, car c'est elle qui rencontre le vecteur en premier dans $S(R\vec{v})$ . »

Le même L, les deux mêmes transformations, deux résultats différents : à gauche la rotation d'abord, à droite la réflexion d'abord.

Pourquoi : L'ordre matriciel est l'inverse de l'ordre chronologique. C'est la seule difficulté du chapitre, et elle vient de ce que la notation $S\circ R$ se lit de droite à gauche.

2. Placer le signe moins du mauvais côté dans la matrice de rotation

2 points, et une rotation qui tourne dans le mauvais sens sur toute la suite du problème.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : le moins est en HAUT à droite. Contrôle : la première colonne est $R_{\theta}(1\ ;\ 0)=(\cos\theta\ ;\ \sin\theta)$ , qui doit monter pour $\theta$ positif. »

Pourquoi : La matrice fautive est celle de $R_{-\theta}$ : elle est cohérente, donc aucun calcul ultérieur ne la contredit. Seul le contrôle sur la première colonne la démasque.

3. Utiliser l'angle simple pour une réflexion

toute la question, et la matrice obtenue n'est même pas une réflexion par rapport à la bonne droite.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réflexion par rapport à la droite d'angle $\theta$ a pour matrice $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est l'angle DOUBLE : $\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$ . Contrôle immédiat : un vecteur PORTÉ par la droite doit rester inchangé. »

Le point

M

est à

10^{\circ}

et l'axe

D

40^{\circ}

: la rotation d'angle

40^{\circ}

l'envoie à

50^{\circ}

, la réflexion d'axe

D

l'envoie à

70^{\circ}

, soit

2\times 40-10

Pourquoi : Un point à l'angle $\alpha$ se réfléchit à l'angle $2\theta-\alpha$ : c'est l'écart qui double, pas l'angle de la droite. La rotation, elle, ajoute simplement $\theta$ .

4. Confondre l'angle en degrés et l'angle en radians

toute la question, et le déterminant reste égal à $1$, donc rien ne signale l'erreur.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Rotation de $60$ : $\cos 60=-0{,}952$ et $\sin 60=-0{,}305$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La calculatrice était en RADIANS. En degrés, $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ et $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $R_{60^{\circ}}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ . »

Pourquoi : Les angles usuels du chapitre, $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ , ont des valeurs exactes qu'on doit reconnaître. Un cosinus négatif pour un angle aigu est le signal d'alarme.

5. Conclure qu'une transformation de déterminant nul n'existe pas

2 points, et la question sur le noyau ou l'image devient impossible à traiter.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\det(A)=0$ , donc cette transformation n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle existe parfaitement, mais elle n'est pas INVERSIBLE : elle écrase tout le plan sur une droite. Son image est de dimension $1$ et son noyau est une droite entière, pas seulement $\{\vec{0}\}$ . »

Le carré tout entier se projette sur un seul segment : l'aire image est nulle, et tous les points d'une même verticale ont la même image.

Pourquoi : Un déterminant nul dit que le facteur d'aire est nul, donc que la figure image est aplatie. C'est exactement le cas d'une projection, qui est la transformation la plus utile du chapitre.

6. Ranger en colonnes les images de vecteurs qui ne sont pas ceux de la base

toute la question, et la matrice obtenue ne vérifie même pas les données de l'énoncé.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T(1\ ;\ 1)=(3\ ;\ 2)$ et $T(1\ ;\ -1)=(1\ ;\ 4)$ , donc $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les colonnes sont les images de $(1\ ;\ 0)$ et $(0\ ;\ 1)$ . Comme $(1\ ;\ 0)=\frac{1}{2}[(1\ ;\ 1)+(1\ ;\ -1)]$ , la linéarité donne $T(1\ ;\ 0)=\frac{1}{2}[(3\ ;\ 2)+(1\ ;\ 4)]=(2\ ;\ 3)$ , et de même $T(0\ ;\ 1)=(1\ ;\ -1)$ , donc $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ . »

Pourquoi : La règle des colonnes n'est vraie que pour la BASE CANONIQUE. Avec d'autres vecteurs, il faut d'abord exprimer $\vec{e_{1}}$ et $\vec{e_{2}}$ en fonction d'eux, puis utiliser la linéarité.

7. Prendre une translation pour une transformation linéaire

toute la question, et l'on cherche une matrice qui ne peut pas exister.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T(x\ ;\ y)=(x+1\ ;\ y)$ est linéaire, c'est une translation du plan. »

Ce qu'il faut écrire

« Toute transformation linéaire envoie $\vec{0}$ sur $\vec{0}$ . Ici $T(0\ ;\ 0)=(1\ ;\ 0)\neq\vec{0}$ : la translation n'est pas linéaire, et elle ne s'écrit pas $A\vec{v}$ . »

Pourquoi : Une translation est une transformation AFFINE. Elle s'écrit $\vec{v}\mapsto A\vec{v}+\vec{b}$ , et seul le cas $\vec{b}=\vec{0}$ est linéaire. Le test de l'origine tranche en une ligne.

8. Élever une matrice à une puissance coefficient par coefficient

toute la question, et le raccourci de la rotation aurait donné la réponse en une ligne.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A^{3}$ s'obtient en élevant au cube chacun des quatre coefficients de $A$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $A^{3}=A\times A\times A$ , produit MATRICIEL. Pour une rotation, il y a plus court : $R_{\theta}^{n}=R_{n\theta}$ , donc $R_{60^{\circ}}^{3}=R_{180^{\circ}}=-I$ . »

Pourquoi : La puissance d'une matrice est une composition répétée, pas un calcul terme à terme. Sur une rotation, composer revient à additionner les angles, ce qui économise tout le produit.

Quelle méthode choisir

Quelle transformation, à la seule lecture de la matrice

On calcule le déterminant, puis on regarde les colonnes. Deux informations suffisent à identifier toutes les transformations du programme.

Si $\det=1$ et les colonnes sont unitaires et orthogonales → ROTATION, d'angle $\theta$ lu sur la première colonne $(\cos\theta\ ;\ \sin\theta)$

Exemple : $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est la rotation de $90^{\circ}$
Si $\det=1$ mais les colonnes ne sont pas unitaires → CISAILLEMENT, ou une transformation qui conserve l'aire sans conserver les longueurs

Exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Si $\det=-1$ et la matrice est SYMÉTRIQUE → RÉFLEXION, d'axe la droite des vecteurs invariants, obtenue en résolvant $A\vec{v}=\vec{v}$

Exemple : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour axe $y=x$
Si $\det=k^{2}$ avec $A=kI$ → HOMOTHÉTIE de rapport $k$ , qui multiplie toutes les longueurs par $|k|$
Si $\det=0$ → la transformation APLATIT le plan : image de dimension $1$ au plus, noyau non réduit à $\{\vec{0}\}$

Si de plus $A^{2}=A$ , c'est une projection.

Aucune branche ne s'applique ? Dessiner l'image du carré unité : les deux colonnes suffisent à voir ce que la matrice fait, même quand elle ne porte pas de nom.

Dans quel ordre écrire le produit

On repère le mot de l'énoncé qui donne la CHRONOLOGIE, puis on renverse pour écrire le produit.

Si « on applique d'abord $T_{1}$ , puis $T_{2}$ » → la matrice est $A_{2}A_{1}$ , avec la PREMIÈRE à droite

Exemple : d'abord la rotation $R$ , puis la réflexion $S$ , donne $SR$
Si l'énoncé écrit $T_{2}\circ T_{1}$ → la matrice est $A_{2}A_{1}$ : la notation respecte déjà le bon ordre

Le rond se lit « rond », et $T_{2}\circ T_{1}$ se lit « $T_{2}$ après $T_{1}$ ».
Si l'énoncé décrit un objet transformé plusieurs fois de suite → empiler les matrices en ajoutant chaque nouvelle transformation à GAUCHE

Exemple : trois étapes $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ donnent $A_{3}A_{2}A_{1}$
Si on veut vérifier l'ordre choisi → appliquer la composée à un vecteur simple, $(1\ ;\ 0)$ , et suivre les deux étapes à la main

C'est le contrôle le plus rapide et il ne se trompe jamais.

Le facteur d'aire, lui, ne dépend pas de l'ordre : $|\det(A_{2}A_{1})|=|\det(A_{1}A_{2})|$ , puisque le déterminant d'un produit est le produit des déterminants.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer la matrice d'une transformation décrite géométriquement

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une rotation, une réflexion, une projection ou une composition, et demande sa matrice.

1 Rappeler la règle : « la première colonne est l'image de $(1\ ;\ 0)$ , la deuxième celle de $(0\ ;\ 1)$ ».
2 Calculer géométriquement l'image de $(1\ ;\ 0)$ , en faisant un croquis si la transformation est une réflexion ou une rotation.
3 Faire de même pour $(0\ ;\ 1)$ , sans supposer que le résultat se déduit du premier.
4 Écrire la matrice en RANGEANT ces deux images en colonnes, et non en lignes.
5 Vérifier sur un vecteur simple différent de la base, et conclure avec le déterminant pour identifier le type de transformation.

Phrase de conclusion

La rotation de $90^{\circ}$ envoie $(1\ ;\ 0)$ sur $(0\ ;\ 1)$ et $(0\ ;\ 1)$ sur $(-1\ ;\ 0)$ , donc sa matrice est $R=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , de déterminant $1$ .

Le piège : Ranger les images en LIGNES. La matrice obtenue est la transposée, c'est-à-dire la rotation inverse : elle est cohérente et donc invérifiable sans un test sur un vecteur.

Barème : 0,5 point pour l'énoncé de la règle, 0,5 point par image calculée, 0,5 point pour la matrice bien rangée, 0,5 point pour la vérification.

Identifier une transformation à partir de sa matrice

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une matrice et demande « quelle transformation géométrique représente-t-elle ».

1 Calculer le DÉTERMINANT et l'annoncer : il oriente immédiatement vers rotation, réflexion, homothétie ou aplatissement.
2 Vérifier si les colonnes sont unitaires et orthogonales, ce qui distingue une isométrie d'une déformation.
3 Chercher les vecteurs INVARIANTS en résolvant $A\vec{v}=\vec{v}$ : une droite entière de solutions signale une réflexion ou une projection.
4 Nommer la transformation avec son élément caractéristique : l'angle pour une rotation, l'axe pour une réflexion, le rapport pour une homothétie.
5 Vérifier sur un point bien choisi que la description donnée reproduit bien l'action de la matrice.

Phrase de conclusion

$\det(A)=-1$ et $A$ est symétrique : c'est une réflexion; les vecteurs invariants vérifient $y=-x$ , donc $A$ est la réflexion par rapport à la droite d'équation $y=-x$ .

Le piège : S'arrêter à « c'est une réflexion » sans donner l'AXE. La question demande l'élément caractéristique, et il vaut la moitié des points de la question.

Barème : 0,5 point pour le déterminant, 0,5 point pour la nature, 1 point pour l'élément caractéristique, 0,5 point pour la vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Suivre un vecteur simple à travers la composée

Prendre $(1\ ;\ 0)$ , lui appliquer les transformations une par une dans l'ordre chronologique, puis comparer au produit matriciel calculé. Les deux doivent coïncider.

D'abord $R$ puis $S$ : $(1\ ;\ 0)\to(0\ ;\ 1)\to(0\ ;\ -1)$ . La matrice $SR$ appliquée à $(1\ ;\ 0)$ doit donner $(0\ ;\ -1)$ , ce qui valide l'ordre.
Contrôler le déterminant contre le type annoncé

Une rotation a un déterminant de $1$ , une réflexion de $-1$ , une projection de $0$ , une homothétie de rapport $k$ de $k^{2}$ . Un désaccord dénonce la matrice, pas le nom.

Une matrice annoncée comme une rotation avec un déterminant de $-1$ est en réalité une réflexion, et l'erreur est presque toujours un signe mal placé.
Tester l'invariance de l'axe d'une réflexion

Un vecteur PORTÉ par l'axe doit rester inchangé, et un vecteur perpendiculaire doit être changé en son opposé. Deux produits matriciels de dix secondes valident toute la matrice.

Pour la réflexion d'axe $y=x$ , la matrice doit fixer $(1\ ;\ 1)$ et envoyer $(1\ ;\ -1)$ sur $(-1\ ;\ 1)$ .
Vérifier que l'origine est bien fixe

Toute transformation linéaire vérifie $T(\vec{0})=\vec{0}$ . Si l'énoncé décrit une transformation qui déplace l'origine, elle n'est pas linéaire et aucune matrice ne la représente.

Une rotation autour du point $(2\ ;\ 1)$ n'est pas linéaire : il faut d'abord translater l'origine, tourner, puis translater en sens inverse.
Comparer les aires avant et après

L'aire de l'image vaut $|\det|$ fois l'aire de départ. Sur le carré unité, l'aire du parallélogramme image doit donc être exactement $|\det|$ , ce qui se vérifie sur un dessin.

Un cisaillement de déterminant $1$ produit un parallélogramme très allongé mais de même aire que le carré : le dessin le confirme, base et hauteur inchangées.

L'exercice type décortiqué

Une rotation et une réflexion, composées dans les deux ordres

Soit $R$ la rotation de $90^{\circ}$ autour de l'origine et $S$ la réflexion par rapport à l'axe des $x$ .

1) Donner les matrices de $R$ et de $S$ .

2) Déterminer la matrice de la transformation « d'abord $R$ , puis $S$ », et identifier cette transformation.

3) Faire de même pour « d'abord $S$ , puis $R$ », et comparer.

Étape 1

$R(1\ ;\ 0)=(0\ ;\ 1)$ et $R(0\ ;\ 1)=(-1\ ;\ 0)$ , donc $R=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ; de même $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

On lit les images de la base canonique et on les range EN COLONNES. Le signe moins de $R$ apparaît naturellement, sans avoir à mémoriser la formule générale.

Étape 2

« D'abord $R$ , puis $S$ » se traduit par $S\circ R$ , donc par le produit $SR$ , avec $R$ à DROITE.

Pourquoi

C'est la seule difficulté du problème. Écrire $S(R\vec{v})$ avant de poser le produit rend l'ordre évident et vaut un demi-point sur la plupart des barèmes.

Étape 3

$SR=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Chaque coefficient croise une ligne de $S$ avec une colonne de $R$ . Poser le produit dans cet ordre, et pas l'autre, est ce que l'étape précédente a décidé.

Étape 4

$\det(SR)=0\times 0-(-1)\times(-1)=-1$ , et la matrice est symétrique : c'est une RÉFLEXION.

Pourquoi

Le déterminant et la symétrie identifient le type en une ligne. Il reste à trouver l'axe, sans quoi la réponse est incomplète.

Étape 5

Vecteurs invariants : $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ donne $-y=x$ , donc l'axe est la droite $y=-x$ .

Pourquoi

L'axe d'une réflexion est exactement l'ensemble des vecteurs qu'elle ne bouge pas. Résoudre $A\vec{v}=\vec{v}$ est la méthode générale, valable pour toute réflexion.

Étape 6

Dans l'autre ordre : $RS=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Le même calcul, les facteurs échangés. Les deux résultats sont des réflexions, mais pas d'axes identiques : c'est la preuve concrète de la non-commutativité.

Étape 7

$RS$ est la réflexion d'axe $y=x$ , et $SR$ celle d'axe $y=-x$ : les deux composées sont DIFFÉRENTES.

Pourquoi

Les deux axes sont perpendiculaires, ce qui est le cas général : deux réflexions dont les axes font un angle $\alpha$ composent une rotation de $2\alpha$ , ici $180^{\circ}$ .

Étape 8

Contrôle sur $(1\ ;\ 0)$ : $R$ l'envoie sur $(0\ ;\ 1)$ , puis $S$ sur $(0\ ;\ -1)$ . Et $SR\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Suivre un vecteur à la main est le seul contrôle qui teste l'ORDRE lui-même. Si le produit avait été écrit à l'envers, le résultat serait $(0\ ;\ 1)$ et l'erreur sauterait aux yeux.

Conclusion rédigée

« D'abord $R$ puis $S$ » a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , réflexion d'axe $y=-x$ ; « d'abord $S$ puis $R$ » a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , réflexion d'axe $y=x$ . Les deux composées ne coïncident pas.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $RS$ pour « d'abord $R$ , puis $S$ ». Le résultat est une vraie réflexion, d'axe $y=x$ au lieu de $y=-x$ : rien dans le calcul ne signale l'erreur, seul le contrôle sur $(1\ ;\ 0)$ la révèle.

À savoir par cœur

• Les COLONNES de $A$ sont $T(1\ ;\ 0)$ et $T(0\ ;\ 1)$ , dans cet ordre.
• $T$ linéaire implique $T(\vec{0})=\vec{0}$ : une translation n'est jamais linéaire.
• $R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ , avec le moins EN HAUT à droite, de déterminant $1$ .
• Réflexion d'axe d'angle $\theta$ : angle DOUBLE dans la matrice, déterminant $-1$ .
• Projection : déterminant $0$ . Cisaillement : déterminant $1$ sans être une rotation.
• $T_{2}\circ T_{1}$ a pour matrice $A_{2}A_{1}$ : la PREMIÈRE appliquée est à DROITE.
• Aire de l'image $=|\det(A)|\times$ aire de départ; déterminant négatif, orientation inversée.
• $R_{\theta}^{n}=R_{n\theta}$ : composer des rotations revient à additionner les angles.
• Axe d'une réflexion : résoudre $A\vec{v}=\vec{v}$ .
• Deux réflexions d'axes faisant un angle $\alpha$ composent une rotation d'angle $2\alpha$ .

Questions fréquentes

Comment trouver la matrice d'une transformation du plan ?

On calcule l'image du vecteur un zéro et l'image du vecteur zéro un, puis on range ces deux images en colonnes. La première image devient la première colonne, la seconde image la seconde colonne. Cette règle vaut uniquement pour les vecteurs de la base canonique, pas pour deux vecteurs quelconques.

Dans quel ordre multiplier les matrices d'une composition ?

La transformation appliquée en premier se place à droite du produit. Si on tourne puis on réfléchit, la matrice est celle de la réflexion multipliée par celle de la rotation. La raison est que le facteur de droite est celui qui rencontre le vecteur en premier dans le calcul.

Pourquoi la matrice de réflexion utilise-t-elle l'angle double ?

Parce qu'un point situé à un certain angle est renvoyé de l'autre côté de l'axe, à une distance angulaire égale. Son nouvel angle vaut donc deux fois l'angle de l'axe moins son angle de départ. C'est l'écart qui double, alors qu'une rotation se contente d'ajouter son angle.

Que signifie un déterminant nul pour une transformation ?

Que la transformation aplatit le plan sur une droite ou sur un point. Elle existe bel et bien, mais elle n'est pas inversible : plusieurs points différents ont la même image, et l'aire de toute figure transformée devient nulle. Les projections sont l'exemple typique de ce cas.

Comment reconnaître une rotation à partir de sa matrice ?

Son déterminant vaut un, et ses deux colonnes sont de longueur un et perpendiculaires entre elles. L'angle se lit alors directement sur la première colonne, dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de cet angle. Un déterminant de moins un signalerait une réflexion, pas une rotation.

Une translation est-elle une transformation linéaire ?

Non. Une transformation linéaire laisse toujours l'origine fixe, alors qu'une translation la déplace. La translation est dite affine : elle s'écrit comme une transformation linéaire suivie d'une addition de vecteur constant, et seule la partie linéaire se représente par une matrice.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Transformations linéaires du plan

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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