Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : matrices, systèmes et déterminants (201-NYC)

Cette fiche ne redonne pas la définition du produit matriciel : elle est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire tous les réflexes d'algèbre des nombres réels qui deviennent faux sur des matrices, et la rédaction que le correcteur de 201-NYC attend sur une résolution de système.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une matrice n'est pas un nombre : le produit n'est pas commutatif, un produit nul n'oblige aucun facteur à l'être, et la division n'existe pas. Tout ce qui se perd dans ce chapitre vient d'un réflexe d'algèbre des réels appliqué à des matrices.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (12 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
5Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
6La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
7La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
8Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
9Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4
10Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
11Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
12Combinaisons linéaires, dépendance et bases

L'essentiel

Quand le produit existe, et quel format il a

• $AB$ n'existe que si le nombre de COLONNES de $A$ égale le nombre de LIGNES de $B$ . Le résultat a alors le nombre de lignes de $A$ et le nombre de colonnes de $B$ .
• Le coefficient $(i\ ;\ j)$ de $AB$ est le produit scalaire de la LIGNE $i$ de $A$ par la COLONNE $j$ de $B$ .
• Somme et produit par un scalaire se font terme à terme, et seulement entre matrices de MÊME format.
• Transposée : $(A^{T})_{ij}=A_{ji}$ . Une matrice $2\times 3$ devient une matrice $3\times 2$ .
• $I$ est le seul élément neutre : $AI=IA=A$ . Il n'existe pas de division, seulement une multiplication par l'inverse, à gauche ou à droite selon le côté choisi.

Les deux dimensions du milieu doivent être identiques pour que le produit existe; ce sont les deux dimensions des EXTRÉMITÉS qui donnent le format du résultat.

Écrire les formats en marge avant de poser un produit, sous la forme $(2\times 3)(3\times 4)=(2\times 4)$ , coûte cinq secondes et supprime toute une famille d'erreurs.

Un système sous forme matricielle, et l'inverse d'ordre deux

• Tout système linéaire s'écrit $AX=B$ , avec $A$ la matrice des coefficients, $X$ la COLONNE des inconnues et $B$ la colonne des constantes.
• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ , et $A$ est inversible si et seulement si ce déterminant n'est pas nul.
• $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : on ÉCHANGE $a$ et $d$ , on change le SIGNE de $b$ et de $c$ , puis on divise par le déterminant.
• Si $\det A\neq 0$ , la solution est $X=A^{-1}B$ , unique. Si $\det A=0$ , il n'y a pas de solution unique : soit aucune, soit une infinité.
• Règle de Cramer : $x_{i}=\dfrac{\det A_{i}}{\det A}$ , où $A_{i}$ est $A$ dont la colonne $i$ a été remplacée par $B$ .

Multiplier à gauche par $A^{-1}$ n'est légitime que si l'on écrit $A^{-1}(AX)=A^{-1}B$ : c'est l'associativité qui fait le travail, et le côté choisi doit être le même des deux côtés de l'égalité.

Les identités des réels qui deviennent fausses

• $AB\neq BA$ en général. Les deux produits peuvent même ne pas avoir le même format, ou l'un exister et l'autre non.
• $AB=0$ n'entraîne ni $A=0$ ni $B=0$ . Il n'y a pas de règle du produit nul sur les matrices.
• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ : la transposition RENVERSE l'ordre. De même $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
• $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et non $A^{2}+2AB+B^{2}$ , sauf si $A$ et $B$ commutent.
• $AB=AC$ n'entraîne pas $B=C$ , sauf si $A$ est inversible : c'est alors la multiplication à gauche par $A^{-1}$ qui le prouve.

Le seul moyen de savoir si une identité des réels survit est de se demander où la COMMUTATIVITÉ a été utilisée dans sa démonstration. Si elle l'a été, l'identité tombe.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Poser un produit dont les formats ne s'accordent pas

toute la question, et une réponse qui n'a aucun sens.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ est $2\times 3$ et $B$ est $2\times 3$ : je calcule $AB$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $AB$ n'existe pas : $A$ a $3$ colonnes et $B$ a $2$ lignes. En revanche $AB^{T}$ existe, car $B^{T}$ est $3\times 2$ , et le résultat est une matrice $2\times 2$ . »

Pourquoi : La condition d'existence n'est pas une formalité : c'est elle qui permet au produit scalaire ligne-colonne d'avoir le même nombre de termes des deux côtés.

2. Traiter le produit matriciel comme s'il était commutatif

2 points par produit, et davantage si le résultat sert à une composition de transformations.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=BA$ , donc je calcule dans l'ordre le plus commode. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ : $AB=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . L'ordre est imposé par l'énoncé. »

Les deux mêmes matrices, multipliées dans les deux ordres : aucun des quatre coefficients ne coïncide. L'ordre des facteurs est une donnée de l'énoncé, pas un choix.

Pourquoi : Le coefficient $(i\ ;\ j)$ croise la ligne $i$ du premier facteur avec la colonne $j$ du second : échanger les facteurs échange le rôle des lignes et des colonnes, donc le résultat.

3. Déduire d'un produit nul qu'un des facteurs est nul

toute la question de démonstration, souvent 4 points.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=0$ , donc $A=0$ ou $B=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Faux sur les matrices : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on a $AB=0$ alors qu'aucune des deux n'est nulle. »

Pourquoi : La règle du produit nul vient de l'existence d'un inverse pour tout réel non nul. Une matrice non nulle peut très bien être singulière, et c'est exactement le cas ici.

4. Transposer un produit sans renverser l'ordre

2 points, et une expression qui n'a souvent aucun sens.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(AB)^{T}=A^{T}B^{T}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ : la transposition renverse l'ordre. Le contrôle est immédiat par les formats : si $A$ est $2\times 3$ et $B$ est $3\times 4$ , alors $A^{T}B^{T}$ n'existe même pas, alors que $B^{T}A^{T}$ est bien $4\times 2$ . »

La transposée retourne le tableau : deux lignes de trois deviennent trois lignes de deux. C'est ce retournement qui oblige à renverser aussi l'ordre des facteurs dans

(AB)^{T}

Pourquoi : La transposée échange lignes et colonnes; or le produit croise les lignes du premier facteur avec les colonnes du second. Échanger les deux rôles oblige à échanger aussi les deux facteurs.

5. Développer le carré d'une somme de matrices comme celui d'une somme de réels

toute la question, et l'erreur revient sur $(A+B)(A-B)$, qui ne vaut $A^{2}-B^{2}$ que dans le même cas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ . On ne peut regrouper $AB$ et $BA$ que si les deux matrices COMMUTENT, ce qu'il faut alors démontrer. »

Pourquoi : L'identité remarquable des réels utilise la commutativité pour additionner $AB$ et $BA$ . Sans elle, les quatre termes du développement restent distincts.

6. Se tromper de place dans la formule de l'inverse d'ordre deux

toute la question, et la vérification $AA^{-1}=I$ aurait pris trente secondes.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} a & -b \\ -c & d \end{pmatrix}$ , on change juste les signes de $b$ et $c$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : $a$ et $d$ PERMUTENT en plus du changement de signe. Le contrôle est de vérifier $AA^{-1}=I$ . »

Deux gestes, pas un seul : la diagonale principale s'échange, l'antidiagonale change de signe. Oublier le premier laisse une matrice qui ne redonne pas l'identité.

Pourquoi : L'échange de la diagonale n'est pas décoratif : c'est lui qui fait apparaître $ad-bc$ sur les deux termes diagonaux du produit $AA^{-1}$ , donc le déterminant qu'on divise ensuite.

7. Diviser par une matrice

2 points de rigueur, et davantage si le côté choisi n'est pas le même des deux côtés.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AX=B$ , donc $X=\dfrac{B}{A}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La division matricielle n'existe pas. On multiplie à GAUCHE par $A^{-1}$ des deux côtés : $A^{-1}AX=A^{-1}B$ , donc $X=A^{-1}B$ . »

Pourquoi : Comme le produit n'est pas commutatif, $A^{-1}B$ et $BA^{-1}$ sont deux matrices différentes. L'écriture en fraction ne dit pas de quel côté on multiplie : elle est donc ambiguë, donc interdite.

8. Utiliser l'inverse ou Cramer sans regarder le déterminant

3 points, et une réponse inventée puisque la matrice écrite n'existe pas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X=A^{-1}B$ , donc le système admet une solution unique. »

Ce qu'il faut écrire

« Je calcule d'abord $\det A$ . S'il vaut $0$ , $A^{-1}$ n'existe pas et Cramer ne s'applique pas : le système a alors soit aucune solution, soit une infinité, et il faut passer par la méthode de Gauss. »

Pourquoi : L'inverse et la règle de Cramer partagent la même hypothèse, un déterminant non nul, et divisent tous deux par lui. Le déterminant est donc le premier calcul, pas le dernier.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour résoudre un système, selon sa taille et son déterminant

On regarde d'abord si le système est CARRÉ, puis on calcule le déterminant. Ces deux informations désignent la méthode, et il n'y en a que quatre.

Si système carré $2\times 2$ avec $\det A\neq 0$ → inverse explicite, $X=A^{-1}B$ , avec la formule de permutation et de signes

Exemple : $\det A=-5$ donne $A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Si système carré $3\times 3$ avec $\det A\neq 0$ et une SEULE inconnue demandée → règle de Cramer sur cette inconnue seulement, ce qui évite d'inverser toute la matrice

Deux déterminants d'ordre 3 suffisent, contre neuf cofacteurs pour l'inverse complet.
Si système carré avec $\det A=0$ → ni inverse ni Cramer : méthode de Gauss sur la matrice augmentée, pour distinguer aucune solution et une infinité
Si système NON carré, ou plus de trois inconnues → méthode de Gauss-Jordan sur $[A\,|\,B]$ , qui est la seule méthode générale

Le déterminant n'existe pas ici, et le chercher est du temps perdu.
Si le même $A$ sert avec PLUSIEURS seconds membres → calculer $A^{-1}$ une fois, puis multiplier par chaque $B$

C'est le seul cas où inverser la matrice est plus rentable que Gauss.

Aucune branche ne s'applique ? C'est que le système contient un paramètre. On mène alors la discussion sur $\det A$ en fonction du paramètre, et chaque valeur qui l'annule se traite à part.

Cette identité des réels survit-elle aux matrices ?

On se demande où la démonstration de l'identité utilise la commutativité du produit. Si elle l'utilise, l'identité tombe.

Si l'identité ne fait intervenir qu'une seule matrice, comme $A^{2}A=A^{3}$ → elle SURVIT : une matrice commute toujours avec ses propres puissances et avec $I$
Si l'identité regroupe deux termes du type $AB$ et $BA$ → elle TOMBE : $(A+B)^{2}$ garde quatre termes distincts

Exemple : $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$
Si l'identité renverse une opération sur un produit, transposée ou inverse → elle survit à condition de RENVERSER l'ordre

Exemple : $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Si l'identité simplifie un facteur commun, comme $AB=AC$ donc $B=C$ → elle TOMBE, sauf si $A$ est inversible, ce qu'il faut alors écrire
Si l'identité utilise la règle du produit nul → elle TOMBE : $AB=0$ n'oblige aucun facteur à être nul

Un contre-exemple d'ordre $2$ suffit toujours à réfuter, et les deux plus utiles sont $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : les apprendre par coeur fait gagner cinq minutes à l'examen.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un système par la matrice inverse

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de résoudre « matriciellement », ou fournit $A$ et $B$ et demande $X$ .

1 Écrire le système sous la forme $AX=B$ , en donnant explicitement les trois matrices, et en rappelant que $X$ est une COLONNE.
2 Calculer $\det A$ et conclure sur l'existence de l'inverse : « $\det A=-5\neq 0$ , donc $A$ est inversible et le système admet une solution unique ».
3 Écrire $A^{-1}$ en appliquant la permutation de la diagonale et le changement de signe, puis simplifier la fraction.
4 Justifier le passage : « en multipliant à GAUCHE par $A^{-1}$ , on obtient $X=A^{-1}B$ », puis effectuer le produit.
5 Vérifier en recalculant $AX$ et en retrouvant $B$ , et écrire cette vérification sur la copie.

Phrase de conclusion

Comme $\det A=-5\neq 0$ , la matrice $A$ est inversible et le système admet une solution unique : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ , c'est-à-dire $x=2$ et $y=1$ .

Le piège : Écrire $X=BA^{-1}$ . Le produit n'est pas commutatif, et ici il n'existe même pas : $B$ est $2\times 1$ et $A^{-1}$ est $2\times 2$ . Le côté de la multiplication doit être le même dans les deux membres.

Barème : 0,5 point pour l'écriture matricielle, 0,5 point pour le déterminant et la conclusion d'inversibilité, 1 point pour l'inverse, 1 point pour le produit et la vérification.

Démontrer une propriété sur des matrices quelconques

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que », « démontrer que pour toutes matrices $A$ et $B$ », ou demande un contre-exemple.

1 Poser le cadre : « Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n$ », ou préciser les formats si le produit doit exister.
2 Partir du membre le plus COMPLEXE et le transformer, en nommant à chaque ligne la propriété utilisée, associativité, distributivité, définition de l'inverse.
3 Ne jamais échanger deux facteurs sans avoir écrit et justifié que les matrices commutent.
4 Conclure en revenant exactement à l'énoncé de départ, avec les quantificateurs.
5 Si la propriété est FAUSSE, produire un contre-exemple d'ordre $2$ complet, avec le calcul des deux membres, et le dire.

Phrase de conclusion

Pour toutes matrices $A$ et $B$ telles que le produit $AB$ existe, $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ , ce qui achève la démonstration.

Le piège : Prouver une propriété générale sur un exemple numérique. Un exemple ne peut que RÉFUTER : il faut des lettres pour démontrer, et des nombres seulement pour contredire.

Barème : 0,5 point pour le cadre et les quantificateurs, 1,5 point pour le calcul justifié ligne à ligne, 0,5 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Écrire les formats avant de poser un produit

Noter en marge $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$ avec les vrais nombres. Si les deux dimensions du milieu diffèrent, le produit n'existe pas et il n'y a rien à calculer.

$(2\times 3)(2\times 3)$ : les valeurs du milieu sont $3$ et $2$ , le produit n'existe pas. Avec la transposée, $(2\times 3)(3\times 2)=(2\times 2)$ fonctionne.
Multiplier la matrice trouvée par la matrice de départ

Après avoir calculé un inverse, faire le produit $AA^{-1}$ : il doit donner exactement l'identité. Quatre multiplications suffisent en ordre deux.

Un produit qui donne $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ signale que la permutation de la diagonale a été oubliée.
Réinjecter la solution dans le système d'origine

Remplacer les valeurs trouvées dans CHAQUE équation du système de départ, pas seulement dans la première. C'est la vérification la plus rentable de tout le chapitre.

$x=2$ et $y=1$ donnent $2\times 2+3\times 1=7$ et $2-1=1$ : les deux équations sont satisfaites.
Recouper l'inverse par la règle de Cramer

Calculer une seule inconnue par Cramer et la comparer à celle obtenue par l'inverse. Deux méthodes indépendantes qui concordent, c'est un résultat validé.

$x=\frac{\det A_{1}}{\det A}=\frac{-10}{-5}=2$ , la même valeur que par $A^{-1}B$ .
Contrôler le signe du déterminant d'ordre deux

$ad-bc$ avec un MOINS, et l'ordre $ad$ d'abord. Un déterminant nul annoncé sur une matrice manifestement inversible signale presque toujours un signe inversé.

$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=2\times(-1)-3\times 1=-5$ , et non $-2+3=1$ .

L'exercice type décortiqué

Un système d'ordre deux, résolu par l'inverse puis contrôlé par Cramer

Résoudre le système $\begin{cases} 2x+3y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$ par la méthode matricielle, puis vérifier le résultat par la règle de Cramer.

Étape 1

$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$ , et le système s'écrit $AX=B$ .

Pourquoi

Écrire les trois matrices séparément évite l'erreur la plus fréquente, celle qui range les inconnues en ligne au lieu de les ranger en colonne.

Étape 2

$\det A=2\times(-1)-3\times 1=-2-3=-5\neq 0$ , donc $A$ est inversible et le système admet une solution unique.

Pourquoi

Ce calcul décide de tout : sans lui, on écrirait un $A^{-1}$ qui n'existe peut-être pas. C'est aussi la seule justification de l'unicité, qui vaut un demi-point.

Étape 3

$A^{-1}=\dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

La diagonale $2$ et $-1$ a permuté, et $3$ et $1$ ont changé de signe. C'est le double geste que la moitié des copies réduit à un seul.

Étape 4

Contrôle : $AA^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5}+\frac{3}{5} & \frac{6}{5}-\frac{6}{5} \\ \frac{1}{5}-\frac{1}{5} & \frac{3}{5}+\frac{2}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Trente secondes qui garantissent l'étape la plus fautive du problème. Un $-1$ à la place d'un $1$ sur la diagonale dénoncerait la permutation oubliée.

Étape 5

En multipliant à GAUCHE par $A^{-1}$ : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} \frac{7}{5}+\frac{3}{5} \\ \frac{7}{5}-\frac{2}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Le mot « à gauche » n'est pas décoratif : $BA^{-1}$ n'existe même pas ici, les formats ne s'accordant pas. Le préciser rapporte un demi-point de rigueur.

Étape 6

Vérification dans le système : $2\times 2+3\times 1=7$ et $2-1=1$ .

Pourquoi

La substitution inverse teste les DEUX équations, alors que le calcul matriciel a pu se tromper sur une seule ligne de $A^{-1}$ .

Étape 7

Contrôle par Cramer : $\det A_{1}=\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-7-3=-10$ , donc $x=\dfrac{-10}{-5}=2$ .

Pourquoi

On remplace la PREMIÈRE colonne par $B$ pour obtenir $x$ , et non la première ligne. Cette confusion est la seule erreur possible dans la règle de Cramer.

Étape 8

$\det A_{2}=\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-7=-5$ , donc $y=\dfrac{-5}{-5}=1$ , les mêmes valeurs que par l'inverse.

Pourquoi

Deux méthodes indépendantes qui donnent le même couple : c'est la meilleure garantie disponible avant de rendre, et elle ne coûte que deux déterminants d'ordre deux.

Conclusion rédigée

Le système admet la solution unique $x=2$ et $y=1$ , obtenue par $X=A^{-1}B$ et confirmée par la règle de Cramer.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ , en changeant seulement les signes sans permuter la diagonale. Le produit $AA^{-1}$ ne donne alors pas l'identité, et le contrôle de l'étape 4 l'aurait montré.

À savoir par cœur

• $AB$ existe si colonnes de $A$ $=$ lignes de $B$ ; le format du produit est lignes de $A$ par colonnes de $B$ .
• $AB\neq BA$ en général : l'ordre est imposé par l'énoncé, jamais choisi.
• $AB=0$ n'entraîne ni $A=0$ ni $B=0$ .
• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : l'ordre se RENVERSE.
• $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , quatre termes.
• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ , et $A$ est inversible si et seulement s'il est non nul.
• $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : PERMUTER $a$ et $d$ , changer le signe de $b$ et $c$ .
• La division de matrices n'existe pas : on multiplie par l'inverse, et on dit de quel côté.
• Cramer : $x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A}$ , en remplaçant la COLONNE $i$ par $B$ .
• $\det A=0$ : ni inverse, ni Cramer. On passe à la méthode de Gauss.

Questions fréquentes

Pourquoi le produit de deux matrices n'est-il pas commutatif ?

Parce que chaque coefficient du produit croise une ligne du premier facteur avec une colonne du second. Échanger les deux facteurs échange le rôle des lignes et des colonnes, donc change les coefficients obtenus. Les deux produits peuvent même ne pas avoir le même format, ou l'un exister et l'autre pas.

Comment savoir si un produit de matrices existe ?

Il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde. Le résultat a alors autant de lignes que la première et autant de colonnes que la seconde. Écrire les deux formats côte à côte avant de calculer règle la question en cinq secondes.

Comment inverser une matrice deux par deux ?

On calcule d'abord le déterminant, produit des termes de la diagonale principale moins produit des deux autres. S'il n'est pas nul, on échange les deux termes de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, puis on divise toute la matrice par le déterminant. Le contrôle est de retrouver l'identité en multipliant par la matrice de départ.

Peut-on diviser par une matrice ?

Non. La division n'existe pas pour les matrices, parce que le produit n'est pas commutatif et qu'une écriture en fraction ne dirait pas de quel côté on multiplie. On multiplie donc par la matrice inverse, en précisant si c'est à gauche ou à droite, et en faisant le même geste dans les deux membres de l'égalité.

Que faire quand le déterminant du système est nul ?

Ni la matrice inverse ni la règle de Cramer ne s'appliquent, puisque les deux divisent par ce déterminant. Le système n'a alors pas de solution unique : il en a soit aucune, soit une infinité. On passe à la méthode de Gauss sur la matrice augmentée, qui seule permet de distinguer les deux cas.

Quand vaut-il mieux inverser la matrice que faire un pivot de Gauss ?

Quand la même matrice de coefficients sert avec plusieurs seconds membres différents, ce qui arrive dans les problèmes de production ou de billetterie. On calcule l'inverse une seule fois, puis chaque situation se résout par une simple multiplication. Dans tous les autres cas, la méthode de Gauss est plus rapide et moins risquée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Matrices, systèmes et déterminants

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan Transformations linéaires du plan

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