Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : combinaisons linéaires, dépendance et bases (201-NYC)

Q: Comment savoir si trois vecteurs sont linéairement indépendants ?

On écrit une combinaison linéaire nulle des trois vecteurs, on la traduit en un système d'équations, une par composante, et on résout. La famille est libre si la seule solution est celle où tous les coefficients valent zéro. Dans l'espace à trois dimensions, il suffit de vérifier que le déterminant de la matrice de leurs composantes n'est pas nul.

Q: Quelle différence entre une famille libre et une famille génératrice ?

Une famille libre ne contient aucune redondance : aucun vecteur ne s'écrit à partir des autres. Une famille génératrice atteint tout l'espace : chaque vecteur de l'espace est une combinaison de la famille. Une base est les deux à la fois, et c'est ce qui rend l'écriture de chaque vecteur unique.

Q: Comment trouver les coordonnées d'un vecteur dans une base ?

On écrit le vecteur comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base, avec des coefficients inconnus, puis on résout le système obtenu composante par composante. Les coefficients trouvés sont les coordonnées. Attention, ce ne sont pas les composantes usuelles du vecteur, sauf si la base est la base canonique.

Q: Deux vecteurs peuvent-ils former une base de l'espace à trois dimensions ?

Non. Une base de l'espace à trois dimensions compte exactement trois vecteurs. Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan qu'ils engendrent, mais il leur manque une direction entière pour atteindre tout l'espace. Le compte des vecteurs suffit à répondre, sans aucun calcul.

Q: Pourquoi trois vecteurs du plan sont-ils toujours liés ?

Parce que le plan est de dimension deux : toute famille libre y compte au plus deux vecteurs. Le système associé possède alors trois inconnues pour deux équations seulement, donc il admet une infinité de solutions, et en particulier une solution non nulle. La famille est liée, sans le moindre calcul.

Q: À quoi sert le déterminant dans ce chapitre du cégep ?

Il donne un verdict immédiat quand le nombre de vecteurs égale la dimension de l'espace. Un déterminant non nul signifie que la famille est libre, génératrice, et donc une base, le tout en un seul calcul. Il n'existe que pour une matrice carrée : hors de ce cas, il faut passer par la méthode de Gauss.

Cette fiche ne reprend pas le cours sur les familles de vecteurs : vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points, le système à poser selon la question, et la rédaction que le correcteur de 201-NYC attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Toutes les questions du chapitre sont le MÊME système linéaire : ce qui change d'une question à l'autre, ce n'est pas la méthode, c'est le second membre. Combinaison linéaire, c'est $A X=\vec{w}$ ; famille libre, c'est $A X=\vec{0}$ ; coordonnées dans une base, c'est encore $A X=\vec{v}$ .

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
4Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5

L'essentiel

Une seule machine pour quatre questions

• On range les vecteurs de la famille EN COLONNES dans une matrice $A$ , et toute question du chapitre devient un système $AX=B$ . Seul $B$ change.
• « $\vec{w}$ est-il combinaison linéaire de la famille ? » : $B=\vec{w}$ , et la réponse est oui si le système est compatible.
• « La famille est-elle libre ? » : $B=\vec{0}$ , et la réponse est oui si la SEULE solution est nulle.
• « Quelles sont les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathcal{B}$ ? » : $B=\vec{v}$ , avec les vecteurs de $\mathcal{B}$ en colonnes, et la solution unique donne les coordonnées.
• « La famille engendre-t-elle $\mathbb{R}^{n}$ ? » : le système doit être compatible pour TOUT second membre, ce qui revient à $n$ pivots.

Deux vecteurs colinéaires n'atteignent qu'une droite; deux vecteurs non colinéaires pavent le plan entier. Même nombre de vecteurs, espace engendré tout autre.

Écrire « je pose $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}$ , ce qui donne le système ... » avant de calculer rapporte presque toujours un demi-point de méthode, même si la suite est fausse.

Libre, liée, génératrice, base : les quatre mots exacts

• LIBRE : $a_{1}\vec{v_{1}}+\dots+a_{k}\vec{v_{k}}=\vec{0}$ entraîne $a_{1}=\dots=a_{k}=0$ . C'est une implication, pas une constatation sur un exemple.
• LIÉE : il existe une relation à coefficients non tous nuls. Autrement dit, AU MOINS UN vecteur s'écrit en fonction des autres, pas forcément tous.
• GÉNÉRATRICE de $E$ : tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire de la famille.
• BASE : libre ET génératrice. Dans $\mathbb{R}^{n}$ , une base compte EXACTEMENT $n$ vecteurs, jamais un de plus ni un de moins.
• Dans une base, les coordonnées d'un vecteur sont UNIQUES. Dans une famille génératrice mais liée, elles ne le sont pas : c'est exactement ce qui distingue les deux notions.

Une famille contenant $\vec{0}$ est toujours liée, et deux vecteurs proportionnels rendent toujours la famille liée : deux verdicts gratuits à chercher avant tout calcul.

Le compte qui règle la question sans calcul

• Dans $\mathbb{R}^{n}$ : plus de $n$ vecteurs, la famille est LIÉE, sans le moindre calcul.
• Dans $\mathbb{R}^{n}$ : moins de $n$ vecteurs, la famille n'est PAS génératrice, sans le moindre calcul.
• Exactement $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ : un seul déterminant décide de tout. S'il est non nul, la famille est libre, génératrice et donc une base.
• Dans $\mathbb{R}^{2}$ , deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{pmatrix}=0$ .

Ce compte ne dit jamais qu'une famille EST libre : trois vecteurs de $\mathbb{R}^{4}$ peuvent être libres ou liés, il faut calculer.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traduire « la famille est liée » par « les vecteurs sont tous colinéaires »

2 points, et la question suivante avec, car on cherche alors une colinéarité qui n'existe pas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\ ;\ \vec{w}\}$ est liée, donc les trois vecteurs sont colinéaires deux à deux. »

Ce qu'il faut écrire

« La famille est liée : AU MOINS un vecteur s'écrit en fonction des autres. Ici $\vec{w}=2\vec{u}-\vec{v}$ , alors que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. »

Aucun de ces trois vecteurs n'est colinéaire à un autre, et pourtant la famille est liée :

\vec{w}

se construit en suivant

2\vec{u}

puis

-\vec{v}

, ce que montre le chemin pointillé.

Pourquoi : La colinéarité concerne DEUX vecteurs; la dépendance concerne la famille entière. Trois vecteurs peuvent être liés sans qu'aucune paire ne soit colinéaire.

2. Lire une combinaison linéaire à vue, sans poser le système

toute la question, car $3\vec{u}+\vec{v}=(7\ ;\ 5)$ et non $(7\ ;\ 4)$.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{w}=(7\ ;\ 4)$ , $\vec{u}=(2\ ;\ 1)$ , $\vec{v}=(1\ ;\ 2)$ : je vois que $\vec{w}=3\vec{u}+\vec{v}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je pose $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}$ , soit $\begin{cases} 2a+b=7 \\ a+2b=4 \end{cases}$ , d'où $b=\frac{1}{3}$ et $a=\frac{10}{3}$ . »

Pourquoi : La première composante tombe juste par hasard une fois sur deux. Le système impose les DEUX composantes en même temps, et c'est cela qu'on est noté sur.

3. Calculer un déterminant sur une matrice qui n'est pas carrée

1 point de rigueur, plus les dix minutes passées à chercher une formule qui n'existe pas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$ : je forme la matrice $3\times 2$ et je calcule son déterminant pour tester la liberté. »

Ce qu'il faut écrire

« Le déterminant n'existe que pour une matrice CARRÉE. Trois vecteurs dans un espace de dimension $2$ forment toujours une famille liée : la réponse est immédiate, sans calcul. »

Pourquoi : Le test du déterminant est réservé au cas « $n$ vecteurs dans $\mathbb{R}^{n}$ ». Hors de ce cas, c'est le compte des vecteurs qui répond, ou la méthode de Gauss.

4. Donner les composantes canoniques comme coordonnées dans une autre base

3 points, c'est-à-dire la question entière, et souvent la suivante qui réutilise le résultat.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{v}=(3\ ;\ 3)$ , donc ses coordonnées dans $\mathcal{B}=\{\vec{u_{1}}\ ;\ \vec{u_{2}}\}$ sont $(3\ ;\ 3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(3\ ;\ 3)$ sont les composantes dans la base CANONIQUE. Dans $\mathcal{B}$ , je résous $a\vec{u_{1}}+b\vec{u_{2}}=\vec{v}$ et j'obtiens $(2\ ;\ 1)$ , car $2\vec{u_{1}}+\vec{u_{2}}=(3\ ;\ 3)$ . »

Un seul vecteur, deux lectures :

(3\ ;\ 3)

sur le quadrillage canonique,

(2\ ;\ 1)

dans la base oblique

\mathcal{B}

, ce que montre le chemin pointillé

2\vec{u_{1}}

puis

\vec{u_{2}}

Pourquoi : Un couple de nombres n'a aucun sens tout seul : il faut savoir DANS QUELLE BASE il est lu. Un même vecteur a autant d'écritures que de bases.

5. Promouvoir en base de l'espace une famille libre de deux vecteurs

2 points, et la question sur les coordonnées devient impossible à finir.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, donc $\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ est libre, donc c'est une base du PLAN $\text{vect}\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ . Ce n'est pas une base de $\mathbb{R}^{3}$ , qui en demande exactement trois. »

Les combinaisons de

\vec{u}

\vec{v}

restent dans le plan grisé;

\vec{w}

en sort et n'est atteint par aucune d'elles. La famille est libre, et pourtant elle n'engendre pas

\mathbb{R}^{3}

Pourquoi : Libre et génératrice sont deux exigences séparées. Deux vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ ne peuvent pas engendrer l'espace : il leur manque une direction entière.

6. Espérer qu'une famille contenant le vecteur nul soit libre

toute la question de démonstration, souvent 4 points.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\{\vec{0}\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ : comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, la famille est libre. »

Ce qu'il faut écrire

« Toute famille contenant $\vec{0}$ est liée : $1\cdot\vec{0}+0\cdot\vec{u}+0\cdot\vec{v}=\vec{0}$ est une relation dont les coefficients ne sont pas tous nuls. »

Pourquoi : Il suffit d'UNE relation non triviale pour que la famille soit liée. Le coefficient $1$ devant $\vec{0}$ la fournit gratuitement, quels que soient les autres vecteurs.

7. Tester la liberté avec le mauvais second membre

3 points, la démonstration entière portant sur le mauvais objet.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le système $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}$ admet une solution, donc $\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ est libre. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce système dit que $\vec{w}\in\text{vect}\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$ , rien de plus. La liberté se teste sur le système HOMOGÈNE $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$ . »

Pourquoi : C'est le fil du chapitre : le second membre change la question. Un second membre non nul interroge l'espace engendré, un second membre nul interroge la liberté.

8. Affirmer que les coordonnées sont uniques dans une famille quelconque

2 points, et surtout la compréhension de ce qu'une base apporte de plus.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les coordonnées d'un vecteur sont toujours uniques, donc peu importe si la famille est liée. »

Ce qu'il faut écrire

« L'unicité vaut DANS UNE BASE. Avec $\vec{u}=(1\ ;\ 0)$ , $\vec{v}=(0\ ;\ 1)$ et $\vec{w}=(1\ ;\ 1)$ , on a $(2\ ;\ 2)=2\vec{u}+2\vec{v}$ et aussi $(2\ ;\ 2)=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ : deux écritures pour un même vecteur. »

Pourquoi : L'unicité de l'écriture est EXACTEMENT ce que la liberté ajoute au caractère générateur. C'est pour cela qu'une base est utile et qu'une famille génératrice liée ne l'est pas.

Quelle méthode choisir

Quel système poser, selon ce que la question demande

On range toujours les vecteurs en colonnes dans $A$ . Le seul choix à faire est celui du SECOND MEMBRE, et il est dicté par le verbe de l'énoncé.

Si « $\vec{w}$ est-il combinaison linéaire de $\vec{v_{1}},\dots,\vec{v_{k}}$ ? » → résoudre $AX=\vec{w}$ ; la réponse est oui si le système est compatible

Exemple : $\begin{cases} 2a+b=7 \\ a+2b=4 \end{cases}$ est compatible, donc $\vec{w}\in\text{vect}\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\}$
Si « la famille est-elle libre ? » ou « montrer que la famille est libre » → résoudre le système HOMOGÈNE $AX=\vec{0}$ ; libre si la seule solution est $X=\vec{0}$

Exemple : $\det A=3\neq 0$ suffit quand la matrice est carrée
Si « quelles sont les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathcal{B}$ ? » → résoudre $AX=\vec{v}$ avec les vecteurs de $\mathcal{B}$ en colonnes; la solution unique EST le couple de coordonnées

Exemple : $2\vec{u_{1}}+\vec{u_{2}}=(3\ ;\ 3)$ donne les coordonnées $(2\ ;\ 1)$
Si « la famille engendre-t-elle $\mathbb{R}^{n}$ ? » → échelonner $A$ et compter les pivots : génératrice si et seulement s'il y a $n$ pivots

Inutile de traiter un second membre littéral : le compte des pivots suffit.
Si « est-ce une base de $\mathbb{R}^{n}$ ? » → vérifier d'abord qu'il y a EXACTEMENT $n$ vecteurs, puis un seul déterminant non nul conclut

Si le nombre de vecteurs n'est pas $n$ , la réponse est non et il n'y a rien à calculer.

Aucune branche ne s'applique ? C'est que la famille vit dans $P_{n}$ ou dans $M_{m\times n}$ : on écrit alors chaque vecteur dans la base canonique de cet espace (les monômes, les matrices élémentaires) et on retombe sur un système ordinaire.

Ce que le seul comptage tranche, avant tout calcul

On compare le nombre $k$ de vecteurs à la dimension $n$ de l'espace, et on regarde la famille sans calculer.

Si $k>n$ dans $\mathbb{R}^{n}$ → la famille est LIÉE, la question est réglée

Exemple : trois vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$ , quatre vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$
Si $k<n$ dans $\mathbb{R}^{n}$ → la famille n'est PAS génératrice, donc ce n'est pas une base

Exemple : deux vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ n'engendrent qu'un plan
Si la famille contient $\vec{0}$ → elle est LIÉE, quels que soient les autres vecteurs
Si deux vecteurs de la famille sont proportionnels → elle est LIÉE, sans regarder les autres

Exemple : $\vec{v_{2}}=-3\vec{v_{1}}$ fournit la relation $3\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}}=\vec{0}$
Si $k=n$ dans $\mathbb{R}^{n}$ → calculer $\det A$ : non nul donne libre, génératrice et base d'un seul coup

C'est le seul cas où un déterminant est légitime, et il économise tout le pivot de Gauss.

Ce comptage ne prouve JAMAIS qu'une famille est libre quand $k<n$ : trois vecteurs de $\mathbb{R}^{4}$ peuvent être libres comme liés, et il faut échelonner.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une famille est libre

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que la famille est libre », « montrer que les vecteurs sont linéairement indépendants », ou « montrer que $\mathcal{B}$ est une base ».

1 Ouvrir par la phrase de pose : « Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels tels que $a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}$ . » Sans elle, la suite n'a pas de statut logique.
2 Traduire cette égalité vectorielle en système, UNE ÉQUATION PAR COMPOSANTE, et l'écrire en entier.
3 Annoncer la méthode employée, déterminant ou méthode de Gauss, et la mener jusqu'au bout.
4 Conclure sur la solution du système, en disant explicitement que c'est la SEULE.
5 Si la question demandait une base de $\mathbb{R}^{n}$ , ajouter le compte : la famille est libre et compte $n$ vecteurs, donc c'est une base.

Phrase de conclusion

La seule solution du système est $a=b=c=0$ , donc la famille $\{\vec{u}\ ;\ \vec{v}\ ;\ \vec{w}\}$ est libre; comme elle compte $3$ vecteurs dans $\mathbb{R}^{3}$ , c'est une base de $\mathbb{R}^{3}$ .

Le piège : Écrire « supposons la famille liée » puis chercher une contradiction. Ce n'est pas faux, mais c'est trois fois plus long et la conclusion est presque toujours mal quantifiée. La preuve directe est celle qui est attendue.

Barème : 0,5 point pour la phrase de pose, 1 point pour le système correct, 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la conclusion avec le mot « seule ».

Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une base $\mathcal{B}$ non canonique et demande « les coordonnées de $\vec{v}$ dans $\mathcal{B}$ ».

1 Vérifier d'abord que $\mathcal{B}$ est bien une base, par le déterminant, et le DIRE : la suite n'a de sens que si l'écriture est unique.
2 Poser $\vec{v}=a\vec{u_{1}}+b\vec{u_{2}}$ avec des inconnues nommées, puis écrire le système composante par composante.
3 Résoudre, en gardant les valeurs exactes plutôt que des décimaux.
4 Vérifier en recalculant $a\vec{u_{1}}+b\vec{u_{2}}$ et en retrouvant $\vec{v}$ , puis écrire cette vérification sur la copie.
5 Conclure avec la notation des coordonnées, en rappelant la base dans laquelle elles sont lues.

Phrase de conclusion

Les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathcal{B}$ sont $(2\ ;\ 1)$ , autrement dit $\vec{v}=2\vec{u_{1}}+\vec{u_{2}}$ .

Le piège : Sauter la vérification de la question inverse. Quand l'énoncé donne les coordonnées et demande les composantes, il n'y a AUCUN système à résoudre : on multiplie et on additionne, c'est tout.

Barème : 0,5 point pour la vérification que $\mathcal{B}$ est une base, 1,5 point pour le système et sa résolution, 0,5 point pour la conclusion notée dans la bonne base.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter les coefficients trouvés

Reprendre les $a$ et $b$ obtenus et recalculer $a\vec{u}+b\vec{v}$ composante par composante. Le résultat doit être exactement le second membre, sur TOUTES les composantes.

$a=\frac{10}{3}$ et $b=\frac{1}{3}$ redonnent $\left(\frac{20}{3}+\frac{1}{3}\ ;\ \frac{10}{3}+\frac{2}{3}\right)=(7\ ;\ 4)$ . Trouver $(7\ ;\ 5)$ signale que la deuxième équation a été oubliée.
Compter avant de croire au résultat

Comparer le nombre de vecteurs à la dimension. Une famille de $4$ vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ annoncée libre est fausse à coup sûr, sans relire une ligne du calcul.

Une copie conclut « ces quatre vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ sont libres » : c'est impossible, l'erreur est dans le pivot.
Recalculer le déterminant par une autre ligne

Développer le déterminant $3\times 3$ selon une AUTRE ligne ou une autre colonne, de préférence celle qui contient le plus de zéros. Les deux valeurs doivent coïncider.

Sur la calculatrice, TI : $\texttt{matrice} \to \texttt{MATH} \to \texttt{det(}$ ; Casio : menu $\texttt{MAT}$ puis $\texttt{Det}$ . Un écart de signe trahit un cofacteur mal signé.
Contrôler les dimensions du système posé

Le système doit avoir autant d'ÉQUATIONS que de composantes des vecteurs, et autant d'INCONNUES que de vecteurs dans la famille. Un système carré quand la famille ne l'est pas est le symptôme d'une erreur de pose.

Trois vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$ donnent $2$ équations à $3$ inconnues, donc au moins une inconnue libre, donc une famille liée : le compte confirme le résultat.
Regarder le dessin dans le plan

En dimension $2$ , tracer les vecteurs à main levée. Deux vecteurs colinéaires se voient immédiatement, et un troisième vecteur ne peut jamais échapper au plan.

$\vec{u}=(2\ ;\ 1)$ et $\vec{v}=(4\ ;\ 2)$ tombent sur la même droite : inutile de calculer le déterminant, la famille est liée.

L'exercice type décortiqué

Une base oblique du plan, dans les deux sens

On pose $\vec{u_{1}}=(2\ ;\ 1)$ , $\vec{u_{2}}=(-1\ ;\ 1)$ et $\vec{v}=(3\ ;\ 3)$ dans $\mathbb{R}^{2}$ muni de sa base canonique.

1) Montrer que $\mathcal{B}=\{\vec{u_{1}}\ ;\ \vec{u_{2}}\}$ est une base de $\mathbb{R}^{2}$ .

2) Déterminer les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathcal{B}$ .

3) Le vecteur $\vec{w}$ a pour coordonnées $(1\ ;\ -2)$ dans $\mathcal{B}$ . Donner ses composantes dans la base canonique.

Étape 1

$\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=2\times 1-(-1)\times 1=3\neq 0$ , donc $\{\vec{u_{1}}\ ;\ \vec{u_{2}}\}$ est libre.

Pourquoi

Deux vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$ : le cas $k=n$ , le seul où un déterminant est légitime. Il répond en une ligne là où le système homogène prendrait cinq lignes.

Étape 2

La famille est libre et compte $2$ vecteurs dans $\mathbb{R}^{2}$ , qui est de dimension $2$ : c'est donc une base.

Pourquoi

C'est l'argument de comptage, et il vaut un demi-point à lui seul. Sans lui, on a prouvé la liberté mais pas le caractère générateur, donc pas la base.

Étape 3

Je pose $\vec{v}=a\vec{u_{1}}+b\vec{u_{2}}$ , ce qui donne $\begin{cases} 2a-b=3 \\ a+b=3 \end{cases}$ .

Pourquoi

Une équation par composante, jamais une seule. C'est ici que la question 2 se joue : le second membre est $\vec{v}$ , pas $\vec{0}$ .

Étape 4

En additionnant les deux équations : $3a=6$ , donc $a=2$ , puis $b=3-a=1$ .

Pourquoi

L'addition élimine $b$ sans manipulation : c'est l'opération élémentaire $L_{1}\leftarrow L_{1}+L_{2}$ , celle que la méthode de Gauss ferait de toute façon.

Étape 5

Vérification : $2\vec{u_{1}}+\vec{u_{2}}=(4\ ;\ 2)+(-1\ ;\ 1)=(3\ ;\ 3)=\vec{v}$ .

Pourquoi

La substitution inverse coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe, qui sont l'accident le plus fréquent quand la base contient un $-1$ .

Étape 6

Question 3 : $\vec{w}=1\times\vec{u_{1}}+(-2)\times\vec{u_{2}}=(2\ ;\ 1)-(-2\ ;\ 2)=(4\ ;\ -1)$ .

Pourquoi

Sens inverse, donc AUCUN système : les coordonnées sont données, on ne fait que multiplier et additionner. Reconnaître ce sens économise cinq minutes.

Étape 7

Contrôle : résoudre $2a-b=4$ et $a+b=-1$ donne $3a=3$ , soit $a=1$ et $b=-2$ , les coordonnées de départ.

Pourquoi

Faire l'aller-retour est la seule vérification qui teste les deux questions à la fois, et elle utilise le même système, donc elle ne coûte presque rien.

Conclusion rédigée

$\mathcal{B}$ est une base de $\mathbb{R}^{2}$ ; les coordonnées de $\vec{v}$ dans $\mathcal{B}$ sont $(2\ ;\ 1)$ , et le vecteur $\vec{w}$ a pour composantes $(4\ ;\ -1)$ dans la base canonique.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $(3\ ;\ 3)$ à la question 2, c'est-à-dire recopier les composantes canoniques, et traiter la question 3 comme un système alors qu'elle demande seulement un calcul direct.

À savoir par cœur

• Les vecteurs se rangent EN COLONNES dans $A$ . Ensuite, seul le second membre change d'une question à l'autre.
• Libre se teste sur $AX=\vec{0}$ . Appartenance à l'espace engendré et coordonnées se testent sur $AX=\vec{b}$ .
• Liée veut dire qu'AU MOINS un vecteur dépend des autres, pas que tous sont colinéaires.
• Dans $\mathbb{R}^{n}$ : plus de $n$ vecteurs, toujours LIÉE. Moins de $n$ , jamais GÉNÉRATRICE. Exactement $n$ , un déterminant décide.
• Une base de $\mathbb{R}^{n}$ compte EXACTEMENT $n$ vecteurs, et elle est libre et génératrice.
• Toute famille contenant $\vec{0}$ est liée, sans calcul.
• Les coordonnées sont uniques DANS UNE BASE, et seulement là.
• Coordonnées connues, composantes cherchées : on multiplie. Composantes connues, coordonnées cherchées : on résout.
• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ , et il ne s'écrit que pour une matrice CARRÉE.

Questions fréquentes

Comment savoir si trois vecteurs sont linéairement indépendants ?

On écrit une combinaison linéaire nulle des trois vecteurs, on la traduit en un système d'équations, une par composante, et on résout. La famille est libre si la seule solution est celle où tous les coefficients valent zéro. Dans l'espace à trois dimensions, il suffit de vérifier que le déterminant de la matrice de leurs composantes n'est pas nul.

Quelle différence entre une famille libre et une famille génératrice ?

Une famille libre ne contient aucune redondance : aucun vecteur ne s'écrit à partir des autres. Une famille génératrice atteint tout l'espace : chaque vecteur de l'espace est une combinaison de la famille. Une base est les deux à la fois, et c'est ce qui rend l'écriture de chaque vecteur unique.

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur dans une base ?

On écrit le vecteur comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base, avec des coefficients inconnus, puis on résout le système obtenu composante par composante. Les coefficients trouvés sont les coordonnées. Attention, ce ne sont pas les composantes usuelles du vecteur, sauf si la base est la base canonique.

Deux vecteurs peuvent-ils former une base de l'espace à trois dimensions ?

Non. Une base de l'espace à trois dimensions compte exactement trois vecteurs. Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan qu'ils engendrent, mais il leur manque une direction entière pour atteindre tout l'espace. Le compte des vecteurs suffit à répondre, sans aucun calcul.

Pourquoi trois vecteurs du plan sont-ils toujours liés ?

Parce que le plan est de dimension deux : toute famille libre y compte au plus deux vecteurs. Le système associé possède alors trois inconnues pour deux équations seulement, donc il admet une infinité de solutions, et en particulier une solution non nulle. La famille est liée, sans le moindre calcul.

À quoi sert le déterminant dans ce chapitre du cégep ?

Il donne un verdict immédiat quand le nombre de vecteurs égale la dimension de l'espace. Un déterminant non nul signifie que la famille est libre, génératrice, et donc une base, le tout en un seul calcul. Il n'existe que pour une matrice carrée : hors de ce cas, il faut passer par la méthode de Gauss.

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Exercices corrigés : Combinaisons linéaires, dépendance et bases

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Espaces et sous-espaces vectoriels Vecteurs dans l'espace : les trois produits Matrices, systèmes et déterminants

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