Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : espaces et sous-espaces vectoriels (201-NYC)

Cette fiche ne reprend pas la liste des huit axiomes : vous l'avez dans vos notes, et l'examen ne la demande presque jamais. Elle traite ce qui se corrige vraiment sur les copies : l'ordre dans lequel on vérifie le critère du sous-espace, la phrase qui prouve une stabilité, et la dimension qui se compte sur une base.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un sous-espace se PROUVE, il ne se constate pas : trois conditions, dont la première, $\vec{0}\in W$ , règle la moitié des questions en une ligne. Et une dimension se compte sur une BASE, jamais sur le nombre de vecteurs qu'on a sous la main.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Combinaisons linéaires, dépendance et bases Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
2Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
3Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
4Combinaisons linéaires, dépendance et bases

Notions couvertes

Espace vectoriel
Sous-espace vectoriel
Critère du sous-espace
Sous-espace engendré
Famille génératrice
Dimension
Noyau d'une transformation linéaire
Image d'une transformation linéaire
Théorème du rang
Rang d'une matrice
Formule de Grassmann

L'essentiel

Le critère du sous-espace, dans l'ordre où il se vérifie

• $W\subseteq V$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si les TROIS conditions suivantes sont réunies.
• 1) $\vec{0}\in W$ . C'est le premier test, et il règle la question en une ligne quand il échoue.
• 2) Stabilité par addition : si $u\in W$ et $v\in W$ , alors $u+v\in W$ .
• 3) Stabilité par multiplication scalaire : si $u\in W$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ , alors $\lambda u\in W$ .
• Trois objets sont des sous-espaces SANS aucune vérification : $\text{vect}\{v_{1}\ ;\ \dots\ ;\ v_{k}\}$ , $\ker T$ et $\text{Im}\,T$ . Le dire suffit et rapporte les points.

Les seuls sous-espaces du plan sont ces trois-là : le vecteur nul seul, une droite PASSANT PAR L'ORIGINE, et le plan entier. Tout ce qui ne figure pas ici, en particulier une droite décalée, n'en est pas un.

Un sous-espace n'est jamais vide : il contient toujours $\vec{0}$ . C'est pour cela que le test du vecteur nul passe en premier, avant toute manipulation.

Des vecteurs qui ne sont pas des flèches

• $P_{n}$ , les polynômes de degré au plus $n$ , avec la base canonique $\{1\ ;\ x\ ;\ x^{2}\ ;\ \dots\ ;\ x^{n}\}$ : $\dim P_{n}=n+1$ , et non $n$ .
• $M_{m\times n}$ , les matrices, avec pour base les matrices élémentaires : $\dim M_{m\times n}=mn$ . En particulier $\dim M_{2\times 2}=4$ .
• Les fonctions continues sur un intervalle, espace de dimension infinie, où l'on ne parle plus de base finie.
• Dans tous ces espaces, une question de liberté ou de dimension se ramène à un système ordinaire en écrivant chaque vecteur dans la base canonique de l'espace.

$\{1+x\ ;\ 1-x\}$ dans $P_{1}$ se lit $\{(1\ ;\ 1)\ ;\ (1\ ;\ -1)\}$ dans la base $\{1\ ;\ x\}$ : le déterminant vaut $-2\neq 0$ , la famille est libre, et c'est une base de $P_{1}$ .

Dimension, rang, noyau et image

• La DIMENSION est le nombre de vecteurs d'une BASE, donc d'une famille à la fois libre et génératrice. Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal.
• $\ker T=\{v : T(v)=\vec{0}\}$ est un sous-espace de l'espace de DÉPART. $\text{Im}\,T=\{T(v)\}$ est un sous-espace de l'espace d'ARRIVÉE.
• THÉORÈME DU RANG : $\dim(\ker T)+\dim(\text{Im}\,T)=\dim V$ , où $V$ est l'espace de DÉPART. L'espace d'arrivée n'intervient pas.
• Le rang d'une matrice est le nombre de pivots de sa forme échelonnée, et c'est aussi $\dim(\text{Im}\,T)$ ainsi que la dimension de l'espace des colonnes.
• FORMULE DE GRASSMANN : $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ .

$T$ est injective si et seulement si $\ker T=\{\vec{0}\}$ , c'est-à-dire $\dim\ker T=0$ . Le noyau n'est jamais vide, il est au minimum réduit au vecteur nul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre une droite qui ne passe pas par l'origine pour un sous-espace

toute la question, en général 3 points, et la réponse tenait en une ligne.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $W=\{(x\ ;\ y) : y=2x+1\}$ est une droite, donc c'est un sous-espace de $\mathbb{R}^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(0\ ;\ 0)$ ne vérifie pas $y=2x+1$ , car $0\neq 1$ : $\vec{0}\notin W$ , donc $W$ n'est pas un sous-espace vectoriel. »

Les deux points pleins sont sur la droite, leur somme, le point creux, ne l'est pas, et l'origine non plus : deux des trois conditions échouent d'un coup sur la même figure.

Pourquoi : Le mot « droite » n'est pas le critère. Une droite est un sous-espace exactement quand elle passe par l'origine, et le terme constant de son équation le dit immédiatement.

2. Vérifier la stabilité sur un exemple numérique au lieu de la démontrer

2 points sur 3 : le calcul est juste, la démonstration n'existe pas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u=(1\ ;\ 2)$ et $v=(3\ ;\ 6)$ sont dans $W$ , et $u+v=(4\ ;\ 8)$ aussi : $W$ est stable par addition. »

Ce qu'il faut écrire

« Soient $u=(a\ ;\ 2a)$ et $v=(b\ ;\ 2b)$ deux éléments QUELCONQUES de $W$ . Alors $u+v=(a+b\ ;\ 2(a+b))$ , qui est bien de la forme $(t\ ;\ 2t)$ , donc $u+v\in W$ . »

Pourquoi : Un exemple ne prouve jamais une propriété universelle, il ne peut que la réfuter. Les éléments doivent être écrits sous leur forme générale, avec des lettres.

3. Croire que la réunion de deux sous-espaces en est un

toute la question de démonstration, souvent 4 points.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de $\mathbb{R}^{2}$ , donc $F\cup G$ est un sous-espace. »

Ce qu'il faut écrire

« Faux en général : avec $F$ la droite $y=\frac{x}{2}$ et $G$ la droite $y=-\frac{3x}{2}$ , on a $u=(2\ ;\ 1)\in F$ et $v=(-1\ ;\ \frac{3}{2})\in G$ , mais $u+v=(1\ ;\ \frac{5}{2})$ n'est ni dans $F$ ni dans $G$ . En revanche $F\cap G$ et $F+G$ sont toujours des sous-espaces. »

Les deux points pleins sont chacun sur une des droites, leur somme, le point creux, n'est sur aucune des deux : la réunion n'est pas stable par addition.

Pourquoi : La réunion garde les deux ensembles séparés, alors que l'addition les fait sortir l'un de l'autre. C'est justement pour réparer cela qu'on définit la SOMME $F+G$ .

4. Prendre le nombre de générateurs pour la dimension

2 points, et la fausse dimension contamine ensuite le théorème du rang et la formule de Grassmann.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $W=\text{vect}\{v_{1}\ ;\ v_{2}\ ;\ v_{3}\}$ , donc $\dim W=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dim W$ est le nombre de vecteurs d'une BASE. Si $v_{3}=v_{1}+v_{2}$ , la famille est liée et $\dim W=2$ . J'échelonne la matrice des trois vecteurs et je compte les pivots. »

Pourquoi : Une famille génératrice peut contenir n'importe quelle quantité de redondance. Seule une famille LIBRE et génératrice a le bon cardinal.

5. Appliquer le théorème du rang à l'espace d'arrivée

3 points, et toutes les questions suivantes qui utilisent la base du noyau.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ avec $\dim\text{Im}\,T=2$ , donc $\dim\ker T=3-2=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème du rang porte sur l'espace de DÉPART : $\dim\ker T=\dim\mathbb{R}^{4}-\dim\text{Im}\,T=4-2=2$ . »

Le théorème découpe la barre du DÉPART en deux morceaux, noyau et image. La barre de l'arrivée est dessinée à part : elle ne fournit aucun terme de l'égalité.

Pourquoi : Le noyau vit dans l'espace de départ, et c'est lui que le théorème découpe. La dimension d'arrivée ne sert qu'à borner le rang par le haut.

6. Écrire que le noyau est vide quand la transformation est injective

1 point de rigueur, et 2 de plus si la suite utilise $\dim\ker T$ dans le théorème du rang.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T$ est injective, donc $\ker T=\varnothing$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ker T=\{\vec{0}\}$ : le noyau contient TOUJOURS le vecteur nul, il n'est jamais vide. Injective signifie qu'il est réduit à $\{\vec{0}\}$ , donc de dimension $0$ . »

Pourquoi : $\{\vec{0}\}$ est un ensemble à un élément, de dimension $0$ ; $\varnothing$ n'est même pas un espace vectoriel. Confondre les deux fausse tous les comptes de dimension.

7. Conclure au sous-espace parce que le vecteur nul y est

2 points, et l'erreur se reproduit sur chaque ensemble défini par une inégalité ou un carré.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $W=\{(x\ ;\ y\ ;\ z) : x^{2}+y=0\}$ contient $(0\ ;\ 0\ ;\ 0)$ , donc c'est un sous-espace. »

Ce qu'il faut écrire

« Le test du vecteur nul ne fait qu'ÉLIMINER. Ici $(1\ ;\ -1\ ;\ 0)\in W$ , mais $2\times(1\ ;\ -1\ ;\ 0)=(2\ ;\ -2\ ;\ 0)$ donne $4-2=2\neq 0$ : pas de stabilité par multiplication, donc pas un sous-espace. »

Pourquoi : $\vec{0}\in W$ est nécessaire, jamais suffisant. Seules les équations LINÉAIRES et HOMOGÈNES définissent des sous-espaces : un carré, un produit, une valeur absolue ou une inégalité les tuent.

8. Additionner les dimensions d'une somme de sous-espaces

2 points, et une réponse absurde, une dimension $4$ dans un espace de dimension $3$.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F$ et $G$ sont deux plans de $\mathbb{R}^{3}$ , donc $\dim(F+G)=2+2=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ . Comme $F+G\subseteq\mathbb{R}^{3}$ , sa dimension vaut au plus $3$ , donc $\dim(F\cap G)\geq 1$ : deux plans distincts de $\mathbb{R}^{3}$ se coupent toujours au moins selon une droite. »

Pourquoi : La somme compte deux fois ce qui appartient aux deux sous-espaces. Retrancher l'intersection est exactement la même correction que dans $\text{card}(A\cup B)$ en dénombrement.

Quelle méthode choisir

Est-ce un sous-espace ? On décide sur la FORME de la définition

On lit l'écriture de l'ensemble avant de calculer quoi que ce soit. La forme de la définition donne la réponse dans quatre cas sur cinq.

Si défini par une ou plusieurs équations LINÉAIRES HOMOGÈNES → OUI, c'est un sous-espace : c'est le noyau de la matrice du système

Exemple : $\{(x\ ;\ y\ ;\ z) : x+2y-z=0\}$ est un plan vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$
Si une équation avec un terme constant NON NUL → NON : $\vec{0}$ n'y est pas, et une ligne suffit à conclure

Exemple : $y=2x+1$ , ou $x+y=3$
Si un carré, un produit de variables, une valeur absolue ou une racine → NON en général : tester la multiplication par $2$ ou par $-1$ sur un élément bien choisi

Exemple : $x^{2}+y=0$ contient $(1\ ;\ -1)$ mais pas $(2\ ;\ -2)$
Si une INÉGALITÉ → NON : multiplier par $-1$ fait sortir de l'ensemble

Exemple : $\{(x\ ;\ y) : x\geq 0\}$ contient $(1\ ;\ 0)$ mais pas $(-1\ ;\ 0)$
Si écrit comme $\text{vect}\{\dots\}$ , comme $\ker T$ ou comme $\text{Im}\,T$ → OUI automatiquement : le dire suffit, il n'y a rien à vérifier

C'est la branche la plus rentable de l'examen, et celle que les copies utilisent le moins.

Aucune branche ne s'applique, par exemple pour un ensemble de matrices ou de polynômes défini par une condition ? On revient aux trois conditions dans l'ordre, en écrivant les éléments sous leur forme générale.

Quelle méthode pour une dimension, selon ce qui est donné

On regarde comment le sous-espace ARRIVE dans l'énoncé, car chaque écriture a sa méthode et une seule.

Si $W=\text{vect}\{v_{1}\ ;\ \dots\ ;\ v_{k}\}$ → ranger les $v_{i}$ en lignes, échelonner, et compter les PIVOTS : c'est le rang, donc la dimension

Exemple : trois vecteurs dont un est la somme des deux autres donnent $\dim W=2$
Si $W$ est l'ensemble des solutions d'un système homogène $AX=\vec{0}$ → échelonner $A$ : $\dim W=$ nombre d'inconnues $-$ rang, c'est-à-dire le nombre de paramètres libres

Exemple : une équation à trois inconnues donne $\dim W=3-1=2$
Si $W=\ker T$ ou $W=\text{Im}\,T$ et l'autre dimension est connue → théorème du rang, avec la dimension de l'espace de DÉPART

Exemple : $T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ de rang $1$ donne $\dim\ker T=3-1=2$
Si $W=F\cap G$ → réunir les équations des deux sous-espaces en un seul système et le résoudre

Ne jamais intersecter des familles génératrices : ce sont les ÉQUATIONS qui s'ajoutent, pas les générateurs.
Si $W=F+G$ → réunir les générateurs des deux et échelonner, ou appliquer la formule de Grassmann si les trois autres dimensions sont connues

Contrôle valable dans tous les cas : la dimension trouvée doit être un ENTIER compris entre $0$ et la dimension de l'espace ambiant. Une dimension $4$ dans $\mathbb{R}^{3}$ signale une erreur, pas une découverte.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ », ou « $W$ est-il un sous-espace vectoriel ? ».

1 Annoncer l'inclusion : « $W$ est une partie de $\mathbb{R}^{3}$ », puis exhiber le vecteur nul et vérifier qu'il satisfait la condition, en montrant le calcul.
2 Prendre DEUX éléments quelconques, sous forme littérale : « soient $u=(a\ ;\ b\ ;\ a+b)$ et $v=(a'\ ;\ b'\ ;\ a'+b')$ deux éléments de $W$ ».
3 Calculer $u+v$ et faire apparaître qu'il a EXACTEMENT la forme demandée, en nommant les nouveaux paramètres.
4 Prendre $\lambda\in\mathbb{R}$ et faire le même travail sur $\lambda u$ .
5 Conclure par la phrase complète, qui reprend les trois conditions dans l'ordre.

Phrase de conclusion

$W$ contient le vecteur nul, il est stable par addition et stable par multiplication par un scalaire : $W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ .

Le piège : Prendre deux éléments PARTICULIERS, avec des nombres. La démonstration n'a alors aucune valeur, et c'est l'erreur la plus fréquente de la copie moyenne. Les lettres sont obligatoires.

Barème : 0,5 point pour le vecteur nul, 1 point pour l'addition, 1 point pour la multiplication, 0,5 point pour la phrase de conclusion.

Déterminer une base et la dimension du noyau

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « déterminer $\ker T$ », « une base du noyau », ou « les solutions de $AX=\vec{0}$ ».

1 Écrire $T(v)=\vec{0}$ sous forme de système homogène, avec la matrice des coefficients.
2 Échelonner par la méthode de Gauss et identifier les inconnues PIVOTS et les inconnues LIBRES, en les nommant.
3 Poser un paramètre par inconnue libre et exprimer toutes les autres inconnues en fonction de ces paramètres.
4 Écrire la solution générale comme une combinaison linéaire de vecteurs fixes, un vecteur par paramètre : ces vecteurs engendrent le noyau.
5 Justifier que cette famille est libre, ce qui est immédiat par la place des $1$ et des $0$ sur les lignes des paramètres, puis conclure sur la dimension.

Phrase de conclusion

$\ker T=\text{vect}\{(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ;\ (1\ ;\ 0\ ;\ 1)\}$ ; cette famille est libre, c'est donc une base de $\ker T$ , et $\dim\ker T=2$ .

Le piège : S'arrêter à la description « $\ker T$ est l'ensemble des $(x\ ;\ y\ ;\ z)$ tels que $x+2y-z=0$ ». La question demande une BASE, c'est-à-dire des vecteurs explicites, et le paramétrage est la seule façon de les produire.

Barème : 1 point pour le système et l'échelonnement, 1 point pour le paramétrage, 0,5 point pour les vecteurs de base, 0,5 point pour la dimension.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester le vecteur nul en premier, toujours

Remplacer toutes les variables par $0$ dans la définition de l'ensemble. Si l'égalité est fausse, c'est fini : l'ensemble n'est pas un sous-espace, et la réponse tient en une ligne.

Sur $x+y=3$ , $0+0=0\neq 3$ : la question est réglée sans écrire un seul $u+v$ .
Multiplier un élément par $-1$

Prendre un élément non nul de l'ensemble et le multiplier par $-1$ , puis vérifier s'il y reste. Ce test attrape d'un coup les inégalités, les carrés et les valeurs absolues.

$\{(x\ ;\ y) : x\geq 0\}$ contient $(1\ ;\ 0)$ mais pas $(-1\ ;\ 0)$ : ce n'est pas un sous-espace, malgré la présence de $\vec{0}$ .
Refermer le théorème du rang

Additionner la dimension du noyau et celle de l'image trouvées : la somme doit valoir exactement la dimension de l'espace de DÉPART. C'est un contrôle gratuit sur deux résultats à la fois.

$T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ avec $\dim\ker T=2$ et $\dim\text{Im}\,T=1$ : la somme vaut $3$ , tout est cohérent. Une somme qui vaut $2$ signale un pivot manqué.
Borner la dimension par l'espace ambiant

La dimension d'un sous-espace de $\mathbb{R}^{n}$ est un entier entre $0$ et $n$ , et le rang d'une matrice $m\times n$ est au plus le plus petit des deux nombres $m$ et $n$ .

Un rang $3$ annoncé pour une matrice $2\times 5$ est impossible : il vaut au plus $2$ , quel que soit le contenu de la matrice.
Réinjecter les vecteurs de base dans le système

Chaque vecteur de la base du noyau doit annuler TOUTES les équations du système de départ, pas seulement la première. Trois substitutions rapides valident tout le paramétrage.

$(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ dans $x+2y-z$ donne $-2+2-0=0$ : le vecteur est bien dans le noyau.

L'exercice type décortiqué

Noyau, image et théorème du rang, sur une matrice de rang 1

Soit $T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ définie par $T(x\ ;\ y\ ;\ z)=(x+2y-z\ ;\ 2x+4y-2z)$ .

1) Écrire la matrice de $T$ et déterminer son rang.

2) Déterminer une base et la dimension de $\text{Im}\,T$ .

3) Déterminer une base et la dimension de $\ker T$ , puis vérifier le théorème du rang.

Étape 1

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ , obtenue en lisant les coefficients de chaque composante ligne par ligne.

Pourquoi

La matrice est le seul objet sur lequel on sait calculer. Tout ce qui suit, rang, noyau et image, se lit dessus et non sur la formule de $T$ .

Étape 2

$L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1}$ donne $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ : il reste UN seul pivot, donc $\text{rang}(A)=1$ .

Pourquoi

La deuxième ligne était le double de la première, ce qui ne se voit pas toujours à l'oeil nu. L'échelonnement le révèle et fixe la dimension de l'image.

Étape 3

Les colonnes de $A$ sont $(1\ ;\ 2)$ , $(2\ ;\ 4)$ et $(-1\ ;\ -2)$ , toutes proportionnelles à $(1\ ;\ 2)$ . Donc $\text{Im}\,T=\text{vect}\{(1\ ;\ 2)\}$ et $\dim\text{Im}\,T=1$ .

Pourquoi

L'image est engendrée par les COLONNES, jamais par les lignes. Sa dimension vaut le rang, ce qui donne une deuxième lecture du même nombre et un contrôle immédiat.

Étape 4

Le système $AX=\vec{0}$ se réduit à l'unique équation $x+2y-z=0$ . Les inconnues $y$ et $z$ sont LIBRES : on pose $y=s$ et $z=t$ , d'où $x=-2s+t$ .

Pourquoi

Une équation, trois inconnues : deux paramètres libres, donc $\dim\ker T=2$ avant même d'écrire les vecteurs. Le compte des paramètres EST la dimension.

Étape 5

$(x\ ;\ y\ ;\ z)=(-2s+t\ ;\ s\ ;\ t)=s(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)+t(1\ ;\ 0\ ;\ 1)$ , donc $\ker T=\text{vect}\{(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ;\ (1\ ;\ 0\ ;\ 1)\}$ .

Pourquoi

Un vecteur par paramètre : c'est le geste qui transforme une description en BASE. Sans lui, on n'a répondu qu'à la moitié de la question.

Étape 6

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, à cause des positions du $1$ et du $0$ sur les deux dernières composantes : la famille est libre, donc $\dim\ker T=2$ .

Pourquoi

La liberté des vecteurs issus d'un paramétrage est toujours immédiate par ces positions, et la signaler vaut un demi-point sans aucun calcul.

Étape 7

Vérification : $T(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)=(-2+2-0\ ;\ -4+4-0)=(0\ ;\ 0)$ et $T(1\ ;\ 0\ ;\ 1)=(1+0-1\ ;\ 2+0-2)=(0\ ;\ 0)$ .

Pourquoi

La substitution inverse teste les DEUX composantes, alors que le paramétrage n'utilisait que la première équation. C'est le seul contrôle qui attrape une ligne oubliée.

Étape 8

Théorème du rang : $\dim\ker T+\dim\text{Im}\,T=2+1=3=\dim\mathbb{R}^{3}$ , l'espace de départ.

Pourquoi

Le contrôle final ferme les deux questions à la fois. S'il tombait sur $2$ , c'est que l'image ou le noyau serait faux, et on saurait le savoir avant de rendre.

Conclusion rédigée

$\text{rang}(A)=1$ , $\text{Im}\,T=\text{vect}\{(1\ ;\ 2)\}$ de dimension $1$ , $\ker T=\text{vect}\{(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ;\ (1\ ;\ 0\ ;\ 1)\}$ de dimension $2$ , et $2+1=3$ conformément au théorème du rang.

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer $\dim\text{Im}\,T=2$ parce que l'espace d'arrivée est $\mathbb{R}^{2}$ , puis conclure $\dim\ker T=3-2=1$ . Les deux lignes de $A$ sont proportionnelles : l'image n'est qu'une droite.

À savoir par cœur

• Trois conditions, dans cet ordre : $\vec{0}\in W$ , puis stabilité par $+$ , puis stabilité par $\lambda\cdot$ .
• $\vec{0}\notin W$ règle la question en une ligne. $\vec{0}\in W$ ne prouve RIEN.
• $\text{vect}\{\dots\}$ , $\ker T$ et $\text{Im}\,T$ sont des sous-espaces sans vérification.
• L'intersection de deux sous-espaces en est un; la réunion, presque jamais.
• Dimension $=$ nombre de vecteurs d'une BASE $=$ nombre de pivots après échelonnement.
• $\dim P_{n}=n+1$ et $\dim M_{m\times n}=mn$ .
• Théorème du rang : $\dim\ker T+\dim\text{Im}\,T=\dim(\text{espace de DÉPART})$ .
• $T$ injective équivaut à $\ker T=\{\vec{0}\}$ , de dimension $0$ , jamais à $\varnothing$ .
• Grassmann : $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ .
• L'image est engendrée par les COLONNES; le rang se lit sur les lignes échelonnées. Les deux nombres coïncident.

Questions fréquentes

Comment montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

On vérifie trois choses, dans cet ordre. D'abord que le vecteur nul appartient à l'ensemble. Ensuite que la somme de deux éléments quelconques, écrits avec des lettres et non avec des nombres, y reste. Enfin que le produit d'un élément par un scalaire quelconque y reste aussi. Les trois réunies suffisent, et la première élimine à elle seule la moitié des cas.

Pourquoi une droite qui ne passe pas par l'origine n'est-elle pas un sous-espace ?

Parce qu'un sous-espace contient toujours le vecteur nul, et le vecteur nul est l'origine. Une droite d'équation avec un terme constant non nul ne passe pas par l'origine, donc elle échoue au premier test. Sa somme de deux points n'y reste pas non plus, mais il est inutile de le vérifier : la première condition suffit.

Quelle est la différence entre le noyau et l'image ?

Le noyau vit dans l'espace de départ : ce sont les vecteurs que la transformation envoie sur le vecteur nul. L'image vit dans l'espace d'arrivée : ce sont toutes les valeurs effectivement atteintes. Le théorème du rang relie leurs dimensions, et la somme des deux vaut la dimension de l'espace de départ.

Comment trouver la dimension d'un sous-espace engendré ?

On range les vecteurs générateurs en lignes dans une matrice et on échelonne par la méthode de Gauss. Le nombre de lignes non nulles obtenues, c'est-à-dire le nombre de pivots, est le rang, et ce rang est la dimension cherchée. Le nombre de générateurs de départ, lui, ne dit rien tant qu'on n'a pas éliminé la redondance.

Le théorème du rang utilise-t-il la dimension d'arrivée ?

Non. Il découpe la dimension de l'espace de départ en deux morceaux, la dimension du noyau et celle de l'image. La dimension de l'espace d'arrivée ne sert qu'à une chose, borner le rang par le haut, puisque l'image est contenue dedans. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Les polynômes forment-ils vraiment un espace vectoriel ?

Oui. On peut additionner deux polynômes et multiplier un polynôme par un nombre, et toutes les règles habituelles sont respectées. L'ensemble des polynômes de degré au plus n est de dimension n plus un, avec pour base les monômes, du terme constant jusqu'au degré n. Toute question s'y ramène alors à un système ordinaire.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Espaces et sous-espaces vectoriels

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Combinaisons linéaires, dépendance et bases Fiche suivante Vecteurs dans l'espace : les trois produits

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices : espaces et sous-espaces vectoriels Combinaisons linéaires, dépendance et bases Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan Compléments québécois au lycée Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en algèbre linéaire 201-NYC à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes qui coûtent des points à l'examen d'algèbre linéaire, de la lecture d'un système jusqu'à la rédaction d'une démonstration sur les familles libres, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des évaluations de cégep.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli