Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : les trois produits de vecteurs dans l'espace (201-NYC)

Cette fiche ne redonne pas les formules des trois produits : elles sont dans vos notes et sur la feuille de formulaire. Elle traite ce qui décide de la note : la NATURE du résultat attendu, le facteur que tout le monde oublie, et la rédaction que le correcteur de 201-NYC attend sur une aire ou un volume.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Trois produits, trois natures de résultat : $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un NOMBRE, $\vec{u}\times\vec{v}$ est un VECTEUR, $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ est de nouveau un NOMBRE. La moitié des points perdus vient d'écrire une flèche sur un nombre, ou un nombre là où l'énoncé attend un vecteur.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Combinaisons linéaires, dépendance et bases Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
2Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
3Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
4Combinaisons linéaires, dépendance et bases

L'essentiel

Trois produits, trois natures de résultat

• PRODUIT SCALAIRE : $\vec{u}\cdot\vec{v}=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ . C'est un NOMBRE, jamais un vecteur.
• PRODUIT VECTORIEL : $\vec{u}\times\vec{v}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}\ ;\ c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2}\ ;\ a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})$ . C'est un VECTEUR, orthogonal aux deux autres.
• PRODUIT MIXTE : $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ . C'est un NOMBRE, égal au déterminant $3\times 3$ des trois vecteurs.
• Le produit vectoriel n'est PAS commutatif : $\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})$ . Le produit scalaire, lui, l'est.
• $\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}$ et $\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$ : deux égalités gratuites qui servent de contrôle.

À gauche, le produit scalaire mesure ce qui reste de

\vec{u}

le long de

\vec{v}

, un nombre. À droite, le produit vectoriel sort du plan des deux vecteurs, un vecteur, et sa norme est l'aire du parallélogramme.

Avant d'écrire une ligne, se demander ce que la question attend : une longueur, un angle et une aire sont des NOMBRES; une normale et une direction sont des VECTEURS. C'est ce qui choisit le produit.

Ce que chaque produit MESURE

• $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls) équivaut à ORTHOGONAUX. Le signe donne la nature de l'angle : positif aigu, négatif obtus.
• $\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$ est l'AIRE DU PARALLÉLOGRAMME construit sur les deux vecteurs. L'aire du triangle en est la MOITIÉ.
• $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ équivaut à COLINÉAIRES.
• $|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|$ est le VOLUME DU PARALLÉLÉPIPÈDE. Le volume du tétraèdre correspondant en est le SIXIÈME.
• $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$ équivaut à COPLANAIRES : le parallélépipède est aplati, son volume est nul.

Deux facteurs à ne jamais oublier, et ce sont les deux erreurs les plus fréquentes du chapitre : le $\frac{1}{2}$ du triangle et le $\frac{1}{6}$ du tétraèdre.

La projection orthogonale, et ses deux formes

• VECTEUR projeté de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ : $\vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}$ , avec la norme au CARRÉ au dénominateur.
• MESURE ALGÉBRIQUE de la projection : $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ , un nombre, qui peut être négatif.
• Décomposition orthogonale : $\vec{u}=\vec{u_{v}}+\vec{u_{\perp}}$ , où $\vec{u_{\perp}}=\vec{u}-\vec{u_{v}}$ est orthogonal à $\vec{v}$ . C'est le contrôle : leur produit scalaire doit valoir $0$ .
• Distance d'un point $S$ à la droite passant par $A$ de direction $\vec{u}$ : $\dfrac{\|\vec{AS}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ .
• Cosinus directeurs de $\vec{v}=(a\ ;\ b\ ;\ c)$ : $\cos\alpha=\frac{a}{\|\vec{v}\|}$ , $\cos\beta=\frac{b}{\|\vec{v}\|}$ , $\cos\gamma=\frac{c}{\|\vec{v}\|}$ , avec $\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1$ .

La somme des carrés des cosinus directeurs vaut toujours $1$ : c'est la vérification la plus rapide d'un calcul d'angles directeurs.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Se tromper sur la nature du résultat, nombre ou vecteur

1 point par occurrence, et le correcteur ne peut plus suivre la suite du raisonnement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$ » ou « $\vec{u}\times\vec{v}=7$ ».

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=7$ , un nombre; $\vec{u}\times\vec{v}=(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$ , un vecteur. »

Pourquoi : C'est la distinction fondatrice du chapitre. Toutes les questions se répartissent entre celles qui veulent un nombre, angle, aire, volume, distance, et celles qui veulent un vecteur, normale, direction.

2. Donner l'aire du triangle sans diviser par deux

2 points, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire du triangle $ABC$ vaut $\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=14$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=14$ est l'aire du PARALLÉLOGRAMME; l'aire du triangle vaut $\frac{14}{2}=7$ . »

La norme du produit vectoriel mesure le parallélogramme entier; la diagonale pointillée montre que le triangle de l'énoncé n'en est que la moitié.

Pourquoi : Le produit vectoriel mesure le parallélogramme construit sur les deux vecteurs, dont le triangle n'est que la moitié. Le facteur ne s'ajoute pas, il se retire.

3. Donner le volume du tétraèdre sans diviser par six

2 points, et un résultat six fois trop grand qu'aucun ordre de grandeur ne rattrape.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le volume du tétraèdre $ABCD$ vaut $|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})|=18$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})|=18$ est le volume du PARALLÉLÉPIPÈDE; le volume du tétraèdre vaut $\frac{18}{6}=3$ . »

Le même pavé, à gauche entier, à droite réduit à son tétraèdre de coin : six tétraèdres identiques remplissent le pavé, d'où le facteur

\frac{1}{6}

Pourquoi : Le parallélépipède se découpe en six tétraèdres de même volume, exactement comme le parallélogramme se découpe en deux triangles. Le facteur $\frac{1}{6}$ n'est pas une convention, c'est un découpage.

4. Traiter le produit vectoriel comme s'il était commutatif

1 point sur une normale, toute la question sur une orientation ou un produit mixte signé.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{v}\times\vec{u}=\vec{u}\times\vec{v}$ , l'ordre ne change rien puisqu'on prendra la norme. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})$ . Les normes sont bien égales, donc l'AIRE ne change pas, mais la NORMALE change de sens, ce qui inverse l'orientation du plan et le signe du produit mixte. »

Pourquoi : L'anticommutativité est sans effet quand on ne garde qu'une norme, et décisive dès qu'on garde le vecteur. Il faut savoir dans lequel des deux cas on est.

5. Conclure qu'un vecteur est nul parce qu'un produit scalaire l'est

toute la question de démonstration, et l'erreur réapparaît sur $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$, qui signifie colinéaires.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , donc $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ signifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont ORTHOGONAUX, ou que l'un des deux est nul. Par exemple $(1\ ;\ 0\ ;\ 0)\cdot(0\ ;\ 1\ ;\ 0)=0$ sans qu'aucun ne soit nul. »

Pourquoi : Les produits de vecteurs n'ont pas la propriété du produit des nombres réels, où un produit nul force un facteur nul. Ici, le zéro traduit une position relative.

6. Diviser la projection par la norme au lieu de son carré

2 points, et la décomposition orthogonale qui suit devient fausse.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le vecteur projeté de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ vaut $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\,\vec{v}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le VECTEUR projeté vaut $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}$ , avec le carré. Sans carré, on obtient la MESURE ALGÉBRIQUE multipliée par $\vec{v}$ , donc un vecteur $\|\vec{v}\|$ fois trop long. »

Pourquoi : Le carré vient de ce qu'on divise deux fois par la norme : une fois pour mesurer la projection, une fois pour transformer $\vec{v}$ en vecteur unitaire. Le contrôle est immédiat : si $\vec{u}=\vec{v}$ , la projection doit valoir exactement $\vec{v}$ .

7. Oublier la valeur absolue dans un angle entre deux droites

1,5 point, et une réponse supérieure à $90^{\circ}$ pour un angle de droites, ce qui n'existe pas.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=-0{,}6$ , donc l'angle entre les deux droites vaut $126{,}9^{\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle entre deux DROITES est le plus petit des deux, donc $\cos\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=0{,}6$ et $\theta\approx 53{,}1^{\circ}$ . L'angle entre deux VECTEURS, lui, garde le signe. »

Pourquoi : Une droite n'a pas de sens, seulement une direction : ses deux vecteurs directeurs opposés donnent deux angles supplémentaires, et la convention retient le plus petit.

8. Supprimer les parenthèses d'un double produit vectoriel

toute la question, et l'écriture sans parenthèses n'a même pas de sens.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})$ , donc j'écris $\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le produit vectoriel n'est PAS associatif : avec $\vec{u}=\vec{v}=(1\ ;\ 0\ ;\ 0)$ et $\vec{w}=(0\ ;\ 1\ ;\ 0)$ , on a $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{0}$ alors que $\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(0\ ;\ -1\ ;\ 0)$ . Les parenthèses sont obligatoires. »

Pourquoi : $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ ici, et le produit vectoriel du vecteur nul avec n'importe quoi reste nul, alors que l'autre parenthésage produit un vecteur non nul.

Quelle méthode choisir

Quel produit, selon ce que l'énoncé demande

On lit le mot de la question, pas les données. Chaque mot désigne un produit et un seul, et la nature du résultat le confirme.

Si « angle », « orthogonaux », « perpendiculaires », « projection » → produit SCALAIRE, qui rend un nombre

Exemple : $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$
Si « vecteur normal », « perpendiculaire aux deux », « équation d'un plan » → produit VECTORIEL, qui rend un vecteur

Exemple : $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$ donne la normale du plan $(ABC)$
Si « aire », « colinéaires », « distance d'un point à une droite » → produit VECTORIEL, puis on en prend la NORME

Exemple : aire du triangle $=\frac{1}{2}\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|$
Si « volume », « coplanaires », « distance entre deux droites gauches » → produit MIXTE, en valeur absolue

Exemple : volume du tétraèdre $=\frac{1}{6}|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})|$
Si « décomposer », « composante selon », « travail d'une force » → PROJECTION orthogonale, vecteur ou mesure algébrique selon ce qui est demandé

Si la réponse doit être un vecteur, la norme est au carré au dénominateur; si c'est un nombre, elle est à la puissance un.

Aucune branche ne s'applique ? Regarder ce que la réponse doit ÊTRE. Un nombre vient d'un produit scalaire ou mixte, un vecteur d'un produit vectoriel, et il n'y a pas d'autre possibilité.

Deux vecteurs, ou trois : ce que la nullité signifie

On regarde quel produit s'annule, et on traduit immédiatement en position relative.

Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ avec $\vec{u},\vec{v}$ non nuls → les deux vecteurs sont ORTHOGONAUX

Exemple : $(1\ ;\ 2\ ;\ 0)\cdot(2\ ;\ -1\ ;\ 5)=0$
Si $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ → les deux vecteurs sont COLINÉAIRES, donc l'aire est nulle

Exemple : $(2\ ;\ 4\ ;\ 6)$ et $(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$
Si $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$ → les trois vecteurs sont COPLANAIRES, donc le volume est nul

C'est aussi le critère qui dit que deux droites de l'espace sont coplanaires, donc sécantes ou parallèles.
Si $\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ → les deux vecteurs sont ORTHOGONAUX, car $\sin\theta=1$

Le cas symétrique du précédent, et une vérification commode.

Sur trois vecteurs, le produit mixte se calcule comme un déterminant $3\times 3$ : c'est le même objet, et deux lignes proportionnelles y donnent immédiatement zéro.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer l'aire d'un triangle de l'espace

Quand l'utiliser : L'énoncé donne trois points $A$ , $B$ , $C$ de l'espace et demande l'aire du triangle, ou l'aire du parallélogramme construit sur deux côtés.

1 Calculer les composantes de DEUX vecteurs partant du MÊME sommet, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , et les écrire.
2 Poser le produit vectoriel sous forme de déterminant symbolique, puis donner ses trois composantes.
3 Calculer la norme de ce produit vectoriel, en gardant la valeur exacte sous le radical.
4 Diviser par $2$ pour le triangle, et le DIRE explicitement : c'est là que se joue le point.
5 Conclure avec l'unité d'aire si l'énoncé en fournit une.

Phrase de conclusion

$\vec{AB}\times\vec{AC}=(-3\ ;\ 6\ ;\ -3)$ , donc $\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$ et l'aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unités d'aire.

Le piège : Prendre $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ , qui ne partent pas du même point. L'aire tombe juste par accident dans ce cas précis, mais la méthode est fausse et la construction du parallélogramme n'a plus de sens.

Barème : 0,5 point pour les deux vecteurs, 1 point pour le produit vectoriel, 0,5 point pour la norme, 0,5 point pour la division par deux.

Montrer que quatre points sont coplanaires

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de montrer que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires, ou que deux droites sont coplanaires.

1 Choisir un point de référence, en général $A$ , et calculer les TROIS vecteurs $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ à partir de lui.
2 Annoncer le critère : « les quatre points sont coplanaires si et seulement si le produit mixte des trois vecteurs est nul ».
3 Calculer $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})$ , soit par le produit vectoriel suivi du produit scalaire, soit directement comme déterminant $3\times 3$ .
4 Conclure sur la valeur trouvée, et interpréter géométriquement si l'énoncé le demande.

Phrase de conclusion

Le produit mixte $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})$ vaut $0$ , donc le parallélépipède construit sur ces trois vecteurs est aplati : les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires.

Le piège : Calculer les vecteurs à partir de points DIFFÉRENTS, par exemple $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ et $\vec{CD}$ . Le critère exige trois vecteurs issus du même point, sans quoi le produit mixte ne mesure plus le volume voulu.

Barème : 0,5 point pour les trois vecteurs issus du même point, 0,5 point pour l'énoncé du critère, 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion géométrique.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester l'orthogonalité du produit vectoriel

Faire le produit scalaire du vecteur obtenu avec CHACUN des deux vecteurs de départ. Les deux doivent donner exactement $0$ . Deux multiplications, aucun risque.

$(-3\ ;\ 6\ ;\ -3)\cdot(1\ ;\ 2\ ;\ 3)=-3+12-9=0$ : le produit vectoriel est correct. Un résultat non nul signale une erreur de signe dans la deuxième composante, la plus fautive des trois.
Contrôler le signe du produit scalaire sur la figure

Regarder l'angle sur un croquis à main levée. S'il paraît aigu, le produit scalaire doit être positif; obtus, négatif; droit, nul. Un désaccord signale un vecteur pris à l'envers.

Un $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$ trouvé positif alors que l'angle en $B$ est visiblement obtus : c'est $\vec{AB}$ qui a été utilisé au lieu de $\vec{BA}$ .
Vérifier la somme des carrés des cosinus directeurs

Additionner $\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma$ : le total doit valoir exactement $1$ . C'est une vérification instantanée sur trois résultats à la fois.

Pour $\vec{v}=(2\ ;\ 3\ ;\ 6)$ de norme $7$ : $\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}=1$ , tout est bon.
Regarder l'ordre de grandeur d'une aire ou d'un volume

Une aire de triangle ne peut pas dépasser celle du parallélogramme, et un volume de tétraèdre est six fois plus petit que celui du parallélépipède. Comparer avant de rendre attrape les facteurs oubliés.

Un volume de tétraèdre annoncé à $18$ alors que le produit mixte vaut $18$ : le sixième a été oublié, la réponse est $3$ .
Faire le test $\vec{u}=\vec{v}$ sur une formule de projection

Remplacer $\vec{u}$ par $\vec{v}$ dans la formule utilisée : la projection de $\vec{v}$ sur lui-même doit redonner exactement $\vec{v}$ . Si elle donne $\|\vec{v}\|\,\vec{v}$ , il manque le carré au dénominateur.

Avec $\vec{v}=(3\ ;\ 0\ ;\ 4)$ : $\frac{25}{25}\vec{v}=\vec{v}$ , la formule est bonne; $\frac{25}{5}\vec{v}=5\vec{v}$ dénonce l'oubli du carré.

L'exercice type décortiqué

Distance d'un point à une droite, par deux lectures de la même aire

Dans l'espace, la droite $D$ passe par $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}=(2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ . Soit $S(3\ ;\ 4\ ;\ 4)$ .

1) Calculer $\vec{AS}$ , puis $\vec{AS}\times\vec{u}$ .

2) En déduire la distance de $S$ à la droite $D$ .

3) Vérifier le résultat par la projection orthogonale.

Le parallélogramme construit sur

\vec{AS}

\vec{u}

a pour aire

\|\vec{AS}\times\vec{u}\|

, et aussi base fois hauteur, c'est-à-dire

\|\vec{u}\|\times d

: les deux lectures donnent la formule.

Étape 1

$\vec{AS}=(3-1\ ;\ 4-0\ ;\ 4-2)=(2\ ;\ 4\ ;\ 2)$ .

Pourquoi

Toujours l'extrémité moins l'origine, et dans cet ordre. Un $\vec{SA}$ écrit par distraction change tous les signes du produit vectoriel.

Étape 2

$\vec{AS}\times\vec{u}=(4\times 2-2\times 1\ ;\ 2\times 2-2\times 2\ ;\ 2\times 1-4\times 2)=(6\ ;\ 0\ ;\ -6)$ .

Pourquoi

La deuxième composante est celle qui se trompe le plus souvent, car son schéma est inversé. L'écrire à part évite l'erreur de signe.

Étape 3

Contrôle : $(6\ ;\ 0\ ;\ -6)\cdot(2\ ;\ 1\ ;\ 2)=12+0-12=0$ , et $(6\ ;\ 0\ ;\ -6)\cdot(2\ ;\ 4\ ;\ 2)=12+0-12=0$ .

Pourquoi

Le produit vectoriel doit être orthogonal aux deux vecteurs de départ. Ce contrôle coûte dix secondes et valide entièrement l'étape précédente.

Étape 4

$\|\vec{AS}\times\vec{u}\|=\sqrt{36+0+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ et $\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+4}=3$ .

Pourquoi

On garde la forme exacte $6\sqrt{2}$ : une valeur décimale ferait perdre la simplification qui vient ensuite, et le correcteur attend l'exact.

Étape 5

$d=\dfrac{\|\vec{AS}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}=\dfrac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$ .

Pourquoi

La formule n'est que la lecture « aire divisée par base » du parallélogramme de la figure. La retrouver ainsi évite de la confondre avec la distance à un PLAN, qui utilise un produit scalaire.

Étape 6

Vérification par projection : $\vec{AS}\cdot\vec{u}=4+4+4=12$ , donc le projeté vaut $\frac{12}{9}\vec{u}=\left(\frac{8}{3}\ ;\ \frac{4}{3}\ ;\ \frac{8}{3}\right)$ .

Pourquoi

Le carré de la norme au dénominateur, $9$ et non $3$ : c'est le contrôle de la formule de projection, et il tombe ici sur des fractions simples.

Étape 7

La composante orthogonale vaut $\vec{AS}-\left(\frac{8}{3}\ ;\ \frac{4}{3}\ ;\ \frac{8}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3}\ ;\ \frac{8}{3}\ ;\ -\frac{2}{3}\right)$ .

Pourquoi

C'est le vecteur qui joint le pied de la perpendiculaire à $S$ : sa norme EST la distance cherchée, et il permet aussi de donner les coordonnées de $H$ .

Étape 8

Sa norme vaut $\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{64}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ , la même valeur qu'à l'étape 5.

Pourquoi

Deux méthodes indépendantes qui donnent le même nombre : c'est la meilleure garantie possible avant de rendre, et cela répond à la question 3 sans travail supplémentaire.

Conclusion rédigée

La distance du point $S$ à la droite $D$ vaut $2\sqrt{2}$ unités de longueur, valeur confirmée par le produit vectoriel et par la décomposition orthogonale.

L'erreur classique sur cet exercice : Diviser $\|\vec{AS}\times\vec{u}\|$ par $\|\vec{u}\|^{2}$ au lieu de $\|\vec{u}\|$ , en recopiant la formule de la projection. Le résultat serait alors $\frac{6\sqrt{2}}{9}$ , une longueur trois fois trop petite.

À savoir par cœur

• $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un NOMBRE, $\vec{u}\times\vec{v}$ est un VECTEUR, $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ est un NOMBRE.
• $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ : orthogonaux. $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ : colinéaires. Produit mixte nul : coplanaires.
• Aire du parallélogramme $=\|\vec{u}\times\vec{v}\|$ ; aire du triangle : la MOITIÉ.
• Volume du parallélépipède $=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|$ ; volume du tétraèdre : le SIXIÈME.
• $\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})$ , et le produit vectoriel n'est pas associatif : les parenthèses comptent.
• Vecteur projeté : $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\vec{v}$ , avec le CARRÉ. Mesure algébrique : $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ .
• Distance point-droite $=\frac{\|\vec{AS}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ .
• Angle entre deux DROITES : valeur absolue au numérateur, donc réponse au plus $90^{\circ}$ .
• $\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1$ pour les cosinus directeurs.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?

Le produit scalaire donne un nombre, qui mesure l'angle entre les deux vecteurs et vaut zéro quand ils sont perpendiculaires. Le produit vectoriel donne un vecteur, perpendiculaire aux deux, dont la longueur est l'aire du parallélogramme qu'ils forment et qui vaut le vecteur nul quand ils sont colinéaires.

Comment calculer l'aire d'un triangle dans l'espace ?

On prend deux vecteurs partant du même sommet, par exemple de A vers B et de A vers C, on calcule leur produit vectoriel, puis la longueur de ce vecteur. Ce nombre est l'aire du parallélogramme. L'aire du triangle en est la moitié, et c'est cette division par deux que les copies oublient le plus souvent.

À quoi sert le produit mixte de trois vecteurs ?

Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, et le volume du tétraèdre correspondant en est le sixième. Il sert surtout de test de coplanarité : si le produit mixte est nul, le solide est aplati et les trois vecteurs sont dans un même plan.

Pourquoi le produit vectoriel change-t-il de signe quand on inverse l'ordre ?

Parce qu'il définit une orientation. Le vecteur obtenu est perpendiculaire au plan des deux vecteurs, mais il peut pointer d'un côté ou de l'autre, et c'est l'ordre des facteurs qui choisit le côté. La longueur, donc l'aire, ne change pas, mais le sens du vecteur normal est inversé.

Comment trouver la distance d'un point à une droite dans l'espace ?

On prend un point A de la droite et son vecteur directeur, on calcule le produit vectoriel du vecteur allant de A vers le point et du vecteur directeur, puis on divise sa longueur par celle du vecteur directeur. Cela revient à lire l'aire d'un parallélogramme comme base fois hauteur, la hauteur étant la distance cherchée.

Le produit scalaire peut-il être négatif ?

Oui, et son signe a un sens précis. Positif, l'angle entre les deux vecteurs est aigu; nul, ils sont perpendiculaires; négatif, l'angle est obtus. C'est pour cela qu'un angle entre deux droites se calcule avec une valeur absolue au numérateur : une droite n'ayant pas de sens, on garde le plus petit des deux angles.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Vecteurs dans l'espace : les trois produits

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

La droite et le plan dans l'espace

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