Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : la droite et le plan dans l'espace (201-NYC)

Cette fiche ne redonne pas les formules de distance : elles sont dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : reconnaître en une seconde si un vecteur est directeur ou normal, savoir quel test tranche entre deux positions relatives, et rédiger une intersection comme le correcteur de 201-NYC l'attend.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une droite se donne par un POINT et une DIRECTION, un plan par un POINT et une NORMALE. Presque toutes les pertes de points du chapitre viennent d'utiliser le vecteur normal comme s'il était directeur, ou l'inverse.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Vecteurs dans l'espace : les trois produits Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
2Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
3Combinaisons linéaires, dépendance et bases
4Vecteurs dans l'espace : les trois produits

Notions couvertes

Vecteur directeur
Vecteur normal
Équations paramétriques d'une droite
Équations symétriques
Équation cartésienne d'un plan
Droites gauches
Position relative droite-plan
Distance point-plan
Distance point-droite
Angle entre deux plans
Projeté orthogonal

L'essentiel

Quatre écritures, et ce qu'on y lit

• DROITE, forme vectorielle : $(x\ ;\ y\ ;\ z)=(x_{0}\ ;\ y_{0}\ ;\ z_{0})+t\,\vec{u}$ . Le point est devant, la DIRECTION est le coefficient de $t$ .
• DROITE, forme paramétrique : $x=x_{0}+at$ , $y=y_{0}+bt$ , $z=z_{0}+ct$ . Un paramètre par droite, et jamais le même pour deux droites différentes.
• DROITE, forme symétrique : $\dfrac{x-x_{0}}{a}=\dfrac{y-y_{0}}{b}=\dfrac{z-z_{0}}{c}$ . Le POINT est aux numérateurs, avec le signe changé; la DIRECTION est aux dénominateurs.
• PLAN : $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$ , que l'on développe en $ax+by+cz+d=0$ . Les trois coefficients $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ forment le vecteur NORMAL, jamais un vecteur directeur.
• Une normale d'un plan défini par trois points s'obtient par $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$ .

Le réflexe qui sauve : devant une équation de plan, écrire tout de suite « $\vec{n}=(a\ ;\ b\ ;\ c)$ » en marge. Devant une droite, écrire « $A(\dots)$ et $\vec{u}=(\dots)$ ». Tout le reste du chapitre se calcule à partir de ces deux lignes.

Les positions relatives, et le test qui les tranche

• DROITE ET PLAN : si $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ , la droite PERCE le plan en un point unique. Si $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ , elle est parallèle, et il reste à savoir si elle est incluse.
• Pour trancher entre parallèle stricte et incluse : remplacer UN point de la droite dans l'équation du plan. Vérifiée, la droite est incluse; non vérifiée, elle est strictement parallèle.
• DEUX DROITES : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires donnent parallèles ou confondues; non colinéaires laissent sécantes ou GAUCHES.
• Le critère de coplanarité : $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$ avec $A$ sur la première droite et $C$ sur la seconde. Nul, elles sont coplanaires donc sécantes; non nul, elles sont gauches.
• DEUX PLANS : normales colinéaires donnent parallèles ou confondus; sinon l'intersection est une DROITE, de vecteur directeur $\vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}$ .

Les trois seules positions d'une droite et d'un plan. Le produit scalaire

\vec{u}\cdot\vec{n}

sépare la première des deux autres; le test d'un point de la droite sépare les deux dernières.

Deux plans de l'espace ne sont jamais sécants en un seul point : leur intersection est vide, une droite, ou le plan entier. Une réponse « ils se coupent en $(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ » est fausse d'office.

Distances et angles, avec ce qui les distingue

• Point $S$ au plan $ax+by+cz+d=0$ : $\text{dist}=\dfrac{|ax_{S}+by_{S}+cz_{S}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ . L'équation doit d'abord être ramenée à $=0$ .
• Point $S$ à la droite passant par $A$ de direction $\vec{u}$ : $\text{dist}=\dfrac{\|\vec{AS}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ .
• Entre deux droites GAUCHES : $\text{dist}=\dfrac{|\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}$ , c'est-à-dire le produit mixte divisé par la norme du produit vectoriel.
• Angle entre deux plans, ou entre deux droites : $\cos\theta=\dfrac{|\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}|}{\|\vec{n_{1}}\|\,\|\vec{n_{2}}\|}$ , avec un COSINUS.
• Angle entre une droite et un plan : $\sin\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{n}\|}$ , avec un SINUS, parce que la normale est perpendiculaire au plan.

Toutes ces formules portent une valeur absolue ou une norme au numérateur : une distance et un angle de droites sont toujours positifs, et un résultat négatif signale une erreur, jamais une découverte.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire les coefficients d'un plan comme un vecteur directeur

2 points, et toute la suite du problème puisque le vecteur utilisé est perpendiculaire à celui qu'il fallait.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le plan $2x-y+3z-5=0$ a pour vecteur directeur $(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ est le vecteur NORMAL du plan, donc perpendiculaire à lui. Un vecteur directeur du plan est n'importe quel vecteur orthogonal à $\vec{n}$ , par exemple $(1\ ;\ 2\ ;\ 0)$ , car $2-2+0=0$ . »

Pourquoi : L'équation d'un plan dit « le vecteur qui joint $A$ à $M$ est orthogonal à $\vec{n}$ ». Les coefficients décrivent donc la direction INTERDITE au plan, pas une direction du plan.

2. Intervertir point et direction dans les équations symétriques

toute la question, car les deux objets sont échangés d'un bout à l'autre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{4}$ passe par $(2\ ;\ -1\ ;\ 4)$ et a pour direction $(1\ ;\ -3\ ;\ 0)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le point est $(1\ ;\ -3\ ;\ 0)$ , lu aux NUMÉRATEURS en changeant le signe, et la direction est $(2\ ;\ -1\ ;\ 4)$ , lue aux DÉNOMINATEURS. »

Pourquoi : La forme symétrique n'est que la forme paramétrique dont on a isolé $t$ : $t=\frac{x-x_{0}}{a}$ . Le dénominateur est donc bien le coefficient de $t$ , c'est-à-dire la direction.

3. Conclure au caractère sécant parce que les directions ne sont pas colinéaires

3 points, et un système d'intersection résolu pour rien puisqu'il n'a pas de solution.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, donc les deux droites sont sécantes. »

Ce qu'il faut écrire

« Non colinéaires signifie seulement NON PARALLÈLES. Il reste deux cas dans l'espace : sécantes ou GAUCHES. Je calcule $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$ : nul, elles sont coplanaires donc sécantes; non nul, elles sont gauches. »

Les deux dessins sont identiques à la projection près : seule l'interruption du trait, à gauche, dit qu'une droite passe DERRIÈRE l'autre. Le produit mixte est ce qui décide, jamais le dessin.

Pourquoi : Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent forcément. Dans l'espace, elles peuvent se croiser sans se toucher, et c'est le cas le plus fréquent, pas l'exception.

4. Utiliser le même paramètre pour deux droites différentes

toute la question, avec la conclusion inverse de la vraie : on annonce des droites gauches là où elles se coupent.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=1+2t$ pour $D_{1}$ et $x=3-t$ pour $D_{2}$ : j'égale les deux et je résous en $t$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque droite a SON paramètre : $t$ pour $D_{1}$ , $s$ pour $D_{2}$ . Le système à résoudre est $1+2t=3-s$ , et ainsi de suite sur les trois composantes, à deux inconnues. »

Pourquoi : Le paramètre repère la position SUR sa propre droite. Deux droites peuvent parfaitement se couper en un point atteint pour $t=3$ sur l'une et $s=-1$ sur l'autre.

5. Oublier la valeur absolue dans une distance à un plan

1 point, et une réponse qui ne peut pas exister, ce que le correcteur voit immédiatement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $d=\dfrac{2\times 1-1\times 4+3\times 0-5}{\sqrt{14}}=\dfrac{-7}{\sqrt{14}}$ , la distance est négative. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule porte une VALEUR ABSOLUE au numérateur : $d=\dfrac{|-7|}{\sqrt{14}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ . Une distance est toujours positive. »

La distance est la longueur de la perpendiculaire

SH

, pas celle d'un segment quelconque

SM

: tout autre segment joignant

S

au plan est strictement plus long.

Pourquoi : Le signe du numérateur indique de quel CÔTÉ du plan se trouve le point, information utile pour un demi-espace, mais qui n'a rien à faire dans une longueur.

6. Appliquer la formule de distance sans ramener l'équation à zéro

2 points, et l'erreur passe inaperçue puisque le résultat reste positif et plausible.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour le plan $2x-y+3z=5$ , la distance vaut $\dfrac{|2x_{S}-y_{S}+3z_{S}+5|}{\sqrt{14}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je passe d'abord tout du même côté : $2x-y+3z-5=0$ , donc $d=-5$ et le numérateur est $|2x_{S}-y_{S}+3z_{S}-5|$ . »

Pourquoi : La formule suppose la forme $ax+by+cz+d=0$ . Le terme constant y entre avec SON signe, celui qu'il a une fois passé à gauche, et non celui qu'il avait à droite.

7. Conclure qu'une droite parallèle à un plan lui est extérieure

2 points, et l'oubli complet d'un des trois cas de l'arbre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ , donc la droite est parallèle au plan et n'a aucun point commun avec lui. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ laisse DEUX cas : strictement parallèle, ou INCLUSE dans le plan. Je remplace le point $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ de la droite dans l'équation du plan : si elle est vérifiée, la droite est incluse. »

Pourquoi : Le produit scalaire ne parle que de DIRECTIONS. La position de la droite par rapport au plan demande en plus l'information d'un POINT, que le produit scalaire n'a jamais vue.

8. Calculer l'angle entre une droite et un plan avec un cosinus

2 points, et une réponse presque droite là où la droite est presque couchée sur le plan.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{n}\|}$ , donc l'angle de la droite avec le plan vaut $84^{\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est un SINUS : $\sin\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{n}\|}$ , donc $\theta\approx 6^{\circ}$ . Le cosinus donne l'angle avec la NORMALE, et l'angle cherché en est le complémentaire. »

Pourquoi : Le seul vecteur dont on dispose pour représenter le plan est sa normale, qui lui est perpendiculaire. Passer du plan à sa normale ajoute exactement $90^{\circ}$ , d'où le passage du cosinus au sinus.

Quelle méthode choisir

Quelle position relative, selon les deux tests

On calcule d'abord un produit scalaire ou un produit vectoriel sur les DIRECTIONS, puis, si besoin, on teste UN point. Jamais l'inverse.

Si une droite et un plan, avec $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ → la droite PERCE le plan : substituer les paramétriques dans l'équation et résoudre en $t$

Exemple : $\vec{u}=(2\ ;\ 1\ ;\ 3)$ et $\vec{n}=(1\ ;\ 2\ ;\ -1)$ donnent $2+2-3=1\neq 0$
Si une droite et un plan, avec $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ → tester un point de la droite dans l'équation : vérifiée, la droite est INCLUSE; sinon, STRICTEMENT PARALLÈLE
Si deux droites de directions COLINÉAIRES → parallèles; tester un point de l'une dans l'autre pour distinguer confondues et strictement parallèles
Si deux droites de directions non colinéaires, produit mixte $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$ → coplanaires, donc SÉCANTES : résoudre le système à deux paramètres $t$ et $s$
Si deux droites de directions non colinéaires, produit mixte non nul → GAUCHES : ne pas chercher d'intersection, calculer directement leur distance

$\text{dist}=\frac{|\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}$ , et le numérateur est déjà calculé.
Si deux plans de normales non colinéaires → sécants selon une DROITE de vecteur directeur $\vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}$ ; un point commun s'obtient en fixant une variable

Aucun test ne se fait à l'oeil sur un dessin : dans l'espace, deux droites gauches se projettent exactement comme deux sécantes. Seul le produit mixte tranche.

Quelle formule de distance, selon les deux objets

On regarde la nature des deux objets en jeu, et le nom de la formule s'impose. Chacune a son numérateur caractéristique.

Si un point et un PLAN → $\frac{|ax_{S}+by_{S}+cz_{S}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ , après avoir ramené l'équation à $=0$

Exemple : $S(1\ ;\ 0\ ;\ -2)$ et $x+2y-z-6=0$ donnent $\frac{|-3|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
Si un point et une DROITE → $\frac{\|\vec{AS}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ , avec un produit VECTORIEL au numérateur

C'est la lecture « aire divisée par base » du parallélogramme construit sur $\vec{AS}$ et $\vec{u}$ .
Si deux droites GAUCHES → $\frac{|\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}$ , avec un produit MIXTE au numérateur
Si deux droites PARALLÈLES, ou une droite parallèle à un plan → se ramener au cas point-objet en prenant N'IMPORTE QUEL point de l'un des deux

C'est le cas que les copies traitent le plus mal, alors qu'il ne demande aucune formule nouvelle.
Si deux plans PARALLÈLES → prendre un point de l'un et appliquer la distance point-plan à l'autre

Contrôle universel : une distance est positive, et elle vaut $0$ exactement quand les deux objets se touchent. Trouver $0$ entre deux droites annoncées gauches est donc une contradiction.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une droite et un plan et demande leur intersection, ou le point de percée, ou la position relative.

1 Extraire et écrire les deux données de base : le point $A$ et le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite, le vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
2 Calculer $\vec{u}\cdot\vec{n}$ et CONCLURE sur la position relative avant tout calcul d'intersection.
3 Si le produit est non nul, écrire les équations paramétriques de la droite, puis substituer $x$ , $y$ et $z$ dans l'équation du plan.
4 Résoudre l'équation en $t$ , qui n'a plus qu'une inconnue, puis remplacer la valeur trouvée dans les paramétriques pour obtenir le point.
5 Vérifier que le point trouvé satisfait l'équation du plan, et écrire cette vérification sur la copie.

Phrase de conclusion

Comme $\vec{u}\cdot\vec{n}=1\neq 0$ , la droite perce le plan en un point unique; la substitution donne $t=3$ , donc $D\cap P=\{I(7\ ;\ 3\ ;\ 7)\}$ .

Le piège : Passer directement à la substitution sans le test $\vec{u}\cdot\vec{n}$ . Quand le produit est nul, la substitution donne soit une équation impossible, soit une identité, et beaucoup de copies concluent alors « pas de solution » au lieu de « droite incluse ».

Barème : 0,5 point pour le test de position, 1 point pour la substitution, 1 point pour la résolution, 0,5 point pour le point et sa vérification.

Montrer que deux droites sont gauches et calculer leur distance

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux droites et demande leur position relative, ou directement la distance entre elles.

1 Écrire les deux couples point-direction : $A$ et $\vec{u}$ pour la première, $C$ et $\vec{v}$ pour la seconde.
2 Vérifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, en calculant $\vec{u}\times\vec{v}$ et en constatant qu'il n'est pas nul.
3 Calculer $\vec{AC}$ , puis le produit mixte $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$ , et conclure : non nul, les droites sont gauches.
4 Diviser la valeur absolue du produit mixte par la norme de $\vec{u}\times\vec{v}$ pour obtenir la distance.
5 Conclure en une phrase qui donne la position relative ET la distance, avec la valeur exacte.

Phrase de conclusion

Le produit mixte $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$ vaut $12\neq 0$ : les droites ne sont pas coplanaires, elles sont donc gauches, et leur distance vaut $\frac{12}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}=2$ .

Le piège : Recalculer $\vec{u}\times\vec{v}$ une seconde fois pour la distance. Il est déjà calculé à l'étape 2, et le produit mixte à l'étape 3 : la distance ne coûte plus qu'une division.

Barème : 0,5 point pour les deux couples point-direction, 0,5 point pour la non-colinéarité, 1 point pour le produit mixte et la conclusion, 1 point pour la distance.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer le point trouvé dans les deux équations

Un point d'intersection doit satisfaire l'équation du plan ET les équations de la droite. Deux substitutions rapides valident tout le calcul, y compris le paramètre.

$I(7\ ;\ 3\ ;\ 7)$ dans $x+2y-z-6$ donne $7+6-7-6=0$ : le point est bien sur le plan.
Contrôler le signe d'une distance

Une distance est toujours positive ou nulle. Un résultat négatif signale une valeur absolue oubliée; un résultat nul entre deux droites déclarées gauches est une contradiction.

Un $-\frac{7}{\sqrt{14}}$ n'est pas une distance : c'est le numérateur signé, qui indique seulement de quel côté du plan on se trouve.
Vérifier qu'un vecteur directeur du plan est bien orthogonal à la normale

Après avoir fabriqué un vecteur directeur d'un plan, faire son produit scalaire avec la normale : il doit valoir $0$ . C'est le seul contrôle qui attrape la confusion normal-directeur.

$(1\ ;\ 2\ ;\ 0)\cdot(2\ ;\ -1\ ;\ 3)=2-2+0=0$ : le vecteur est bien dans la direction du plan.
Comparer l'angle trouvé à la figure mentale

Un angle entre deux droites ou deux plans ne dépasse jamais $90^{\circ}$ . Un angle droite-plan proche de $90^{\circ}$ signifie une droite presque perpendiculaire au plan, ce qui doit se voir sur les données.

$\vec{u}$ et $\vec{n}$ presque orthogonaux donnent un angle droite-plan proche de $0^{\circ}$ : une réponse de $84^{\circ}$ dénonce un cosinus utilisé à la place du sinus.
Tester deux paramètres distincts sur une intersection de droites

Après avoir résolu le système en $t$ et $s$ , remplacer $t$ dans la première droite et $s$ dans la seconde : les deux triplets doivent être IDENTIQUES. C'est la vérification qui attrape le paramètre unique.

$t=3$ donne $(7\ ;\ 3\ ;\ 7)$ et $s=-1$ donne aussi $(7\ ;\ 3\ ;\ 7)$ : les droites se coupent bien en ce point.

L'exercice type décortiqué

Une droite qui perce un plan : point, distance et angle

La droite $D$ passe par $A(1\ ;\ 0\ ;\ -2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}=(2\ ;\ 1\ ;\ 3)$ . Le plan $P$ a pour équation $x+2y-z-6=0$ .

1) Déterminer la position relative de $D$ et de $P$ , puis leur intersection.

2) Calculer la distance du point $A$ au plan $P$ .

3) Calculer l'angle que fait la droite $D$ avec le plan $P$ .

La droite part de

A

, à l'extérieur du plan, et le traverse au point

I

: c'est cette configuration que le signe non nul de

\vec{u}\cdot\vec{n}

garantit avant tout calcul.

Étape 1

Le plan est déjà sous la forme $ax+by+cz+d=0$ , donc $\vec{n}=(1\ ;\ 2\ ;\ -1)$ et $d=-6$ .

Pourquoi

Écrire $\vec{n}$ en marge dès la lecture de l'énoncé évite la confusion avec un vecteur directeur, et fournit d'un coup la donnée des trois questions.

Étape 2

$\vec{u}\cdot\vec{n}=2\times 1+1\times 2+3\times(-1)=2+2-3=1\neq 0$ , donc $D$ perce $P$ en un point unique.

Pourquoi

Ce test décide de la suite : nul, il aurait fallu tester un point pour trancher entre incluse et parallèle. Le poser AVANT la substitution vaut un demi-point.

Étape 3

Paramétriques de $D$ : $x=1+2t$ , $y=t$ , $z=-2+3t$ .

Pourquoi

La forme paramétrique est la seule qui se substitue directement dans une équation de plan. La forme symétrique demanderait un détour inutile.

Étape 4

Substitution : $(1+2t)+2t-(-2+3t)-6=0$ , soit $1+2t+2t+2-3t-6=t-3=0$ .

Pourquoi

Les termes en $t$ se réduisent à un seul coefficient, qui est exactement $\vec{u}\cdot\vec{n}=1$ . Un coefficient nul aurait confirmé le cas parallèle : les deux calculs se contrôlent l'un l'autre.

Étape 5

$t=3$ , donc $I(1+6\ ;\ 3\ ;\ -2+9)=I(7\ ;\ 3\ ;\ 7)$ . Vérification : $7+6-7-6=0$ .

Pourquoi

La vérification est immédiate et elle teste le paramètre en même temps que les trois coordonnées. Sans elle, une erreur d'arithmétique passe inaperçue.

Étape 6

Distance de $A$ à $P$ : $\dfrac{|1+2\times 0-(-2)-6|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{6}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ .

Pourquoi

La valeur absolue transforme $-3$ en $3$ ; le signe moins disait seulement de quel côté du plan se trouve $A$ , information dont la question ne veut pas.

Étape 7

$\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$ et $\|\vec{n}\|=\sqrt{6}$ , donc $\sin\theta=\dfrac{|1|}{\sqrt{14}\times\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{84}}$ .

Pourquoi

Un SINUS, parce que l'angle calculé avec $\vec{n}$ est celui avec la perpendiculaire au plan. Le numérateur est le produit scalaire déjà calculé à l'étape 2.

Étape 8

$\theta=\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{84}}\right)\approx 6{,}3^{\circ}$ , un angle très faible.

Pourquoi

L'ordre de grandeur confirme le calcul : $\vec{u}\cdot\vec{n}=1$ est petit devant $\sqrt{84}\approx 9{,}2$ , donc la droite est presque parallèle au plan, et un résultat proche de $84^{\circ}$ aurait dénoncé un cosinus.

Conclusion rédigée

La droite $D$ perce le plan $P$ au point $I(7\ ;\ 3\ ;\ 7)$ ; la distance de $A$ à $P$ vaut $\frac{\sqrt{6}}{2}$ unités de longueur, et l'angle de $D$ avec $P$ mesure environ $6{,}3^{\circ}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Donner $\theta\approx 83{,}7^{\circ}$ en prenant l'arccosinus au lieu de l'arcsinus : c'est l'angle entre la droite et la NORMALE, complémentaire de celui qui est demandé.

À savoir par cœur

• Droite : un POINT et un vecteur DIRECTEUR. Plan : un POINT et un vecteur NORMAL.
• $ax+by+cz+d=0$ : $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ est la NORMALE, jamais une direction du plan.
• Forme symétrique : le point aux numérateurs avec le signe changé, la direction aux dénominateurs.
• $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ : la droite perce. $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ : parallèle ou incluse, et un point tranche.
• Directions non colinéaires ne veut pas dire sécantes : dans l'espace, il reste le cas GAUCHE.
• Coplanarité de deux droites : $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$ .
• Deux paramètres distincts, $t$ et $s$ , pour deux droites différentes.
• Distance à un plan : valeur absolue au numérateur, et équation ramenée à $=0$ d'abord.
• Angle entre deux plans ou deux droites : COSINUS. Angle droite-plan : SINUS.
• Intersection de deux plans non parallèles : une DROITE, de direction $\vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si deux droites de l'espace sont gauches ?

On vérifie d'abord que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, sinon elles sont parallèles. Ensuite on calcule le produit mixte du vecteur qui joint un point de chaque droite avec les deux vecteurs directeurs. S'il est nul, les droites sont coplanaires donc sécantes; s'il ne l'est pas, elles sont gauches.

Quelle différence entre vecteur normal et vecteur directeur d'un plan ?

Le vecteur normal est perpendiculaire au plan, et ce sont les trois coefficients de l'équation cartésienne. Un vecteur directeur, lui, est contenu dans le plan, donc orthogonal au normal. Confondre les deux fausse tout le problème, puisque les deux directions sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Comment trouver l'intersection d'une droite et d'un plan ?

On teste d'abord le produit scalaire du vecteur directeur et du vecteur normal. S'il n'est pas nul, on écrit les équations paramétriques de la droite, on remplace les trois coordonnées dans l'équation du plan, et on résout l'équation obtenue, qui n'a qu'une inconnue. La valeur du paramètre redonne le point cherché.

Pourquoi l'angle entre une droite et un plan se calcule-t-il avec un sinus ?

Parce que le seul vecteur qui représente le plan est sa normale, qui lui est perpendiculaire. Le rapport habituel donne donc l'angle entre la droite et la normale, et l'angle cherché en est le complémentaire. Passer du cosinus au sinus effectue exactement ce complément à quatre-vingt-dix degrés.

Une droite parallèle à un plan peut-elle avoir des points communs avec lui ?

Oui, si elle est incluse dans le plan. Le test du produit scalaire ne parle que des directions, donc il ne distingue pas les deux cas. Pour trancher, on remplace un point quelconque de la droite dans l'équation du plan : si l'égalité est vérifiée, la droite est entièrement contenue dans le plan.

Deux plans peuvent-ils se couper en un seul point ?

Non, jamais. Dans l'espace, l'intersection de deux plans est vide s'ils sont strictement parallèles, un plan entier s'ils sont confondus, et une droite dans tous les autres cas. Le vecteur directeur de cette droite s'obtient par le produit vectoriel des deux vecteurs normaux.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La droite et le plan dans l'espace

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

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