Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : systèmes linéaires, Gauss et Gauss-Jordan (201-NYC)

Cette fiche ne réexplique pas comment on fait un pivot : vous l'avez vu en classe et vous l'avez fait dix fois. Elle traite ce qui décide de la note : la lecture de la dernière ligne, le compte exact des paramètres libres, et la rédaction que le correcteur de 201-NYC attend quand la solution est un ensemble infini.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Le nombre de solutions ne se lit ni sur le nombre d'équations ni sur le nombre d'inconnues : il se lit sur le nombre de PIVOTS de la forme échelonnée. Tout le chapitre en découle, y compris le compte des paramètres libres.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Matrices, systèmes et déterminants Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
2Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
3La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
4Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
5Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4
6Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
7Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
8Combinaisons linéaires, dépendance et bases
9Matrices, systèmes et déterminants

L'essentiel

Les trois opérations autorisées, et rien d'autre

• Échanger deux lignes : $L_{i}\leftrightarrow L_{j}$ .
• Multiplier une ligne par un scalaire NON NUL : $L_{i}\leftarrow kL_{i}$ avec $k\neq 0$ .
• Ajouter à une ligne un multiple d'une AUTRE ligne : $L_{i}\leftarrow L_{i}+kL_{j}$ , où seule $L_{i}$ change.
• Chacune transforme le système en un système ÉQUIVALENT, c'est-à-dire ayant exactement le même ensemble de solutions. C'est ce qui autorise à travailler sur la matrice augmentée $[A\,|\,B]$ plutôt que sur les équations.
• Aucune opération n'agit sur les COLONNES : échanger deux colonnes reviendrait à renommer les inconnues, et la solution ne serait plus lisible.

Écrire l'opération employée à gauche de chaque nouvelle ligne, sous la forme $L_{2}\leftarrow L_{2}-4L_{1}$ , est exigé par tous les correcteurs et vaut un demi-point par étape sur la plupart des barèmes.

Échelonnée ou échelonnée réduite : deux formes, deux lectures

• FORME ÉCHELONNÉE, méthode de Gauss : dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul, le PIVOT, est strictement à droite du pivot de la ligne précédente, et les lignes nulles sont en bas.
• On termine alors par une REMONTÉE : la dernière équation donne une inconnue, qu'on reporte dans l'avant-dernière, et ainsi de suite.
• FORME ÉCHELONNÉE RÉDUITE, méthode de Gauss-Jordan : chaque pivot vaut $1$ et il est le SEUL coefficient non nul de sa colonne, donc il y a aussi des zéros AU-DESSUS de lui.
• La solution se lit alors directement dans la dernière colonne, sans aucune remontée.
• Le RANG est le nombre de pivots, et c'est le seul nombre qui décide de tout dans ce chapitre.

À gauche, des zéros SOUS les pivots seulement : il reste à remonter. À droite, des zéros des deux côtés et des pivots égaux à

1

: la solution se lit dans la dernière colonne.

Gauss-Jordan coûte quelques opérations de plus mais supprime la remontée, où se logent la plupart des erreurs de signe. Sur un système $3\times 3$ d'examen, c'est presque toujours le meilleur choix.

Les trois cas, et le compte qui les distingue

• SOLUTION UNIQUE : autant de pivots que d'inconnues, et aucune ligne du type $[0\ \dots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ .
• AUCUNE SOLUTION : apparition d'une ligne $[0\ \dots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ , qui traduit l'équation impossible $0=c$ . Le système est dit incompatible.
• UNE INFINITÉ DE SOLUTIONS : système compatible, mais moins de pivots que d'inconnues.
• Nombre de PARAMÈTRES LIBRES $=$ nombre d'inconnues $-$ nombre de pivots. Le nombre d'équations de départ n'intervient jamais dans ce compte.
• Système HOMOGÈNE, de second membre nul : il admet TOUJOURS la solution triviale $X=\vec{0}$ , donc il n'est jamais incompatible. Il a d'autres solutions si et seulement s'il a moins de pivots que d'inconnues.

Il n'existe pas de quatrième cas. Un système linéaire a zéro, une, ou une infinité de solutions : répondre « deux solutions » est impossible, quelle que soit la taille du système.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Multiplier une ligne par zéro pour faire apparaître des zéros

toute la question, car l'ensemble des solutions annoncé est faux.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $L_{3}\leftarrow 0\times L_{3}$ : la troisième ligne devient nulle, le système est plus simple. »

Ce qu'il faut écrire

« Le scalaire doit être NON NUL. Multiplier par $0$ détruit une équation, et le système obtenu n'est plus équivalent : il aurait plus de solutions que l'original. »

Pourquoi : L'équivalence des systèmes repose sur la réversibilité de chaque opération. Multiplier par $k\neq 0$ se défait en divisant par $k$ ; multiplier par $0$ ne se défait pas.

2. Remplacer deux lignes à la fois par leur combinaison

toute la question, avec une infinité de solutions annoncée là où il y en a une seule.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $L_{1}\leftarrow L_{1}+L_{2}$ et $L_{2}\leftarrow L_{1}+L_{2}$ dans la même étape. »

Ce qu'il faut écrire

« Une opération élémentaire ne remplace QU'UNE ligne, et la ligne qui sert de référence reste intacte. Sinon les deux lignes deviennent identiques et une équation est perdue. »

Pourquoi : Perdre une équation ne se voit pas dans la suite du calcul : le système reste cohérent, il est simplement devenu plus pauvre, et il admet donc plus de solutions que le vrai.

3. Prendre une ligne entièrement nulle pour une contradiction

3 points, et une conclusion exactement inverse de la vérité.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La dernière ligne est $[0\ \ 0\ \ 0\,|\,0]$ , donc le système n'a pas de solution. »

Ce qu'il faut écrire

« $[0\ \ 0\ \ 0\,|\,0]$ est l'équation $0=0$ , toujours vraie : elle signale une équation REDONDANTE, donc une infinité de solutions. C'est $[0\ \ 0\ \ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ qui rend le système impossible. »

Les trois seuls cas, vus sur deux équations à deux inconnues : deux droites qui se coupent, deux droites parallèles, et deux droites confondues. Il n'y a pas de quatrième dessin possible.

Pourquoi : Toute la lecture se joue sur le DERNIER coefficient, celui qui est après la barre. Nul, la ligne ne dit rien; non nul, elle dit l'impossible.

4. Compter les paramètres libres sur le nombre d'équations

2 points, et une base du noyau à laquelle il manque un vecteur.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3$ équations et $4$ inconnues, donc $4-3=1$ paramètre libre. »

Ce qu'il faut écrire

« Le compte se fait sur les PIVOTS : inconnues moins pivots. Si l'une des trois équations est combinaison des deux autres, il ne reste que $2$ pivots, donc $4-2=2$ paramètres libres. »

Deux colonnes portent un pivot, deux n'en portent pas : ce sont ces deux dernières qui deviennent des paramètres libres, quel que soit le nombre d'équations écrites au départ.

Pourquoi : Le nombre d'équations de départ ne mesure rien : deux équations peuvent dire la même chose. Seul l'échelonnement révèle combien d'informations INDÉPENDANTES le système contient.

5. Lire une forme échelonnée comme si elle était réduite

toute la question, alors que le pivot était juste.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La forme échelonnée est $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ avec le second membre $\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ , donc $x=5$ et $y=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La forme échelonnée exige une REMONTÉE : $3y=6$ donne $y=2$ , puis $2x+2=5$ donne $x=\frac{3}{2}$ . Seule la forme échelonnée RÉDUITE, avec des pivots égaux à $1$ et des zéros au-dessus, se lit directement. »

Pourquoi : Un pivot différent de $1$ , ou un coefficient non nul au-dessus d'un pivot, signifie que l'inconnue de la ligne dépend encore des suivantes. La dernière colonne n'est la solution que dans la forme réduite.

6. Déclarer impossible un système homogène

2 points de rigueur, et souvent toute une question de cours.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le système homogène $AX=\vec{0}$ n'admet aucune solution. »

Ce qu'il faut écrire

« Un système homogène admet TOUJOURS la solution triviale $X=\vec{0}$ : il n'est jamais incompatible. La vraie question est de savoir s'il en a d'autres, ce qui arrive exactement quand il y a moins de pivots que d'inconnues. »

Pourquoi : Une ligne $[0\ \dots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ ne peut pas apparaître : le second membre est nul au départ et les opérations élémentaires le laissent nul. L'incompatibilité est donc structurellement exclue.

7. Conclure à l'impossibilité parce qu'il y a plus d'équations que d'inconnues

3 points, et une question rendue sans le moindre calcul.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $5$ équations pour $3$ inconnues : le système est surdéterminé, donc impossible. »

Ce qu'il faut écrire

« Rien ne l'assure. Si deux des cinq équations sont des combinaisons des trois autres, l'échelonnement donne deux lignes nulles et le système admet une solution unique. Seul le pivot décide. »

Pourquoi : Le mot « surdéterminé » décrit la FORME du système, pas son contenu. La redondance est fréquente dans les problèmes concrets, où les mêmes données sont mesurées de plusieurs façons.

8. Poursuivre une inversion par Gauss-Jordan après une ligne nulle

toute la question, et le temps passé à produire une matrice qui n'est pas un inverse.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La deuxième ligne de la partie gauche est devenue nulle, je continue les opérations sur la partie droite. »

Ce qu'il faut écrire

« Une ligne entièrement nulle dans la partie GAUCHE prouve que $A$ n'est pas inversible : on arrête le procédé et on conclut que $A^{-1}$ n'existe pas. »

Pourquoi : $[A\,|\,I]$ ne se transforme en $[I\,|\,A^{-1}]$ que si la partie gauche peut atteindre l'identité. Une ligne nulle signifie moins de pivots que de lignes, donc l'identité est hors d'atteinte.

Quelle méthode choisir

Que dit la matrice échelonnée, ligne par ligne

On regarde la matrice augmentée APRÈS échelonnement, en commençant par la dernière ligne non nulle. Une seule lecture décide du nombre de solutions.

Si une ligne $[0\ \ 0\ \ \dots\ \ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ → système INCOMPATIBLE : aucune solution, et on s'arrête là

Exemple : $[0\ \ 0\ \ 0\,|\,5]$ traduit $0=5$
Si autant de pivots que d'inconnues, et aucune ligne impossible → solution UNIQUE : on remonte, ou on lit directement si la forme est réduite
Si système compatible avec moins de pivots que d'inconnues → une INFINITÉ de solutions, avec (inconnues $-$ pivots) paramètres libres

Exemple : $4$ inconnues et $2$ pivots donnent $2$ paramètres
Si une ligne entièrement nulle, second membre compris → équation REDONDANTE : on l'ignore, elle réduit seulement le nombre de pivots

Elle ne rend jamais le système impossible, contrairement à la première branche.
Si le second membre est nul dès le départ → système HOMOGÈNE : jamais incompatible, et il suffit de comparer pivots et inconnues

Cette lecture se fait sur la matrice ÉCHELONNÉE, jamais sur celle de départ. Compter les pivots avant d'avoir pivoté n'a aucun sens, et c'est pourtant ce que font les copies pressées.

Gauss ou Gauss-Jordan, et jusqu'où pousser

On regarde ce que la question demande vraiment, car pousser jusqu'à la forme réduite n'est pas toujours utile.

Si on demande la solution d'un système carré à solution unique → GAUSS-JORDAN : la solution se lit sans remontée, et les erreurs de signe disparaissent
Si on demande seulement le RANG, ou de discuter le nombre de solutions → GAUSS suffit : la forme échelonnée montre déjà tous les pivots

Poursuivre jusqu'à la forme réduite serait du temps perdu, et le barème ne le demande pas.
Si on demande une BASE de l'ensemble des solutions ou du noyau → GAUSS-JORDAN, puis paramétrage : chaque inconnue libre reçoit un paramètre et fournit un vecteur
Si on demande l'INVERSE d'une matrice → GAUSS-JORDAN sur $[A\,|\,I]$ , jusqu'à $[I\,|\,A^{-1}]$ , en s'arrêtant net si une ligne de gauche s'annule
Si le système contient un PARAMÈTRE dans les coefficients → échelonner en évitant de diviser par une expression du paramètre, puis discuter les valeurs qui annulent un pivot

Diviser par $m-2$ sans traiter le cas $m=2$ est l'erreur classique de ce type d'exercice.

Dans tous les cas, ne jamais revenir aux équations en cours de route : on travaille sur la matrice augmentée du début à la fin, et on n'écrit les équations qu'au moment de conclure.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un système qui admet une infinité de solutions

Quand l'utiliser : L'échelonnement laisse moins de pivots que d'inconnues et le système est compatible.

1 Nommer les inconnues PIVOTS et les inconnues LIBRES, en disant sur quelles colonnes se trouvent les pivots.
2 Attribuer un paramètre à chaque inconnue libre, avec une lettre différente de celles des inconnues : « posons $y=s$ et $t=u$ ».
3 Exprimer chaque inconnue pivot en fonction des paramètres, à partir de la dernière ligne non nulle et en remontant.
4 Écrire la solution générale comme un vecteur, puis la décomposer en une somme de vecteurs fixes multipliés par les paramètres.
5 Conclure en donnant l'ENSEMBLE des solutions, et vérifier en réinjectant la solution générale dans une équation de départ.

Phrase de conclusion

L'ensemble des solutions est $\left\{(4-2s-3u\ ;\ s\ ;\ 2+u\ ;\ u)\ :\ s\in\mathbb{R},\ u\in\mathbb{R}\right\}$ , qui dépend de deux paramètres libres.

Le piège : S'arrêter sur la matrice échelonnée en écrivant « il y a une infinité de solutions ». La question demande LESQUELLES : sans paramétrage, la moitié des points est perdue.

Barème : 1 point pour l'échelonnement, 0,5 point pour l'identification des inconnues libres, 1 point pour le paramétrage, 0,5 point pour l'écriture de l'ensemble.

Discuter un système selon un paramètre

Quand l'utiliser : Les coefficients contiennent une lettre, et l'énoncé demande « discuter selon les valeurs de $m$ ».

1 Échelonner en n'utilisant que des opérations dont les coefficients ne dépendent PAS du paramètre, tant que c'est possible.
2 Repérer le coefficient du dernier pivot, qui est une expression en $m$ , et écrire explicitement pour quelles valeurs il s'annule.
3 Traiter d'abord le CAS GÉNÉRAL, celui où ce coefficient n'est pas nul : solution unique, qu'on donne en fonction de $m$ .
4 Traiter ensuite chaque valeur critique séparément, en remplaçant $m$ par cette valeur DÈS le départ et en relisant la dernière ligne.
5 Conclure par un récapitulatif des trois cas, en donnant pour chacun le nombre de solutions.

Phrase de conclusion

Si $m\neq 2$ et $m\neq -3$ , le système admet une solution unique; si $m=2$ , il admet une infinité de solutions à un paramètre; si $m=-3$ , il est incompatible.

Le piège : Diviser une ligne par une expression comme $m-2$ sans avoir écarté le cas $m=2$ . L'opération est alors interdite, et toute la discussion qui suit ne vaut plus rien.

Barème : 1 point pour l'échelonnement sans division illicite, 1 point pour le cas général, 0,5 point par cas particulier traité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter la solution dans TOUTES les équations de départ

Remplacer les valeurs trouvées dans chaque équation d'origine, pas seulement dans celle qui a servi à la dernière remontée. C'est la seule vérification qui attrape une erreur de pivot.

$a=1$ , $b=-2$ , $c=3$ donnent $1-2+3=2$ , $4-4+3=3$ et $9-6+3=6$ : les trois équations sont satisfaites.
Vérifier la solution générale avec deux jeux de paramètres

Dans le cas d'une infinité de solutions, donner deux valeurs différentes aux paramètres et vérifier les deux vecteurs obtenus. Si l'un passe et pas l'autre, le paramétrage est faux.

$s=0$ puis $s=1$ doivent tous deux donner des solutions valides; un seul essai ne teste pas le coefficient du paramètre.
Compter pivots et inconnues avant de conclure

Écrire le compte explicitement : nombre d'inconnues, nombre de pivots, différence. Une différence négative est impossible, et une différence nulle interdit d'annoncer une infinité de solutions.

$4$ inconnues, $2$ pivots, donc exactement $2$ paramètres libres, donc deux vecteurs dans la base des solutions du système homogène associé.
Relire la dernière ligne avant tout

Avant de résoudre, regarder si une ligne est de la forme $[0\ \dots\ 0\,|\,c]$ . Si $c\neq 0$ , le travail est terminé : le système n'a pas de solution, et toute résolution serait du temps perdu.

$[0\ \ 0\ \ 0\,|\,-4]$ signifie $0=-4$ : on écrit « le système est incompatible » et on passe à la question suivante.
Contrôler un inverse trouvé par Gauss-Jordan

Multiplier la matrice obtenue par la matrice de départ : le produit doit être l'identité. Sur une matrice $3\times 3$ , il suffit souvent de vérifier une ligne pour repérer une erreur.

Un coefficient hors diagonale non nul dans $AA^{-1}$ signale qu'une opération n'a pas été appliquée à la partie droite.

L'exercice type décortiqué

La parabole qui passe par trois points, par la méthode de Gauss

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y=ax^{2}+bx+c$ passe par les points $(1\ ;\ 2)$ , $(2\ ;\ 3)$ et $(3\ ;\ 6)$ .

Trois points non alignés déterminent exactement une parabole : c'est ce que traduit l'existence et l'unicité de la solution du système, et non un hasard de calcul.

Étape 1

Chaque point donne une équation : $a+b+c=2$ , $4a+2b+c=3$ , $9a+3b+c=6$ .

Pourquoi

Le passage du problème géométrique au système est la seule étape non mécanique. Les inconnues sont $a$ , $b$ , $c$ , et non $x$ et $y$ , qui sont les données.

Étape 2

Matrice augmentée : $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ avec le second membre $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

On quitte les équations tout de suite : la matrice est plus rapide à écrire et le risque d'oublier un terme y est bien moindre.

Étape 3

$L_{2}\leftarrow L_{2}-4L_{1}$ donne $[0\ \ -2\ \ -3\,|\,-5]$ , et $L_{3}\leftarrow L_{3}-9L_{1}$ donne $[0\ \ -6\ \ -8\,|\,-12]$ .

Pourquoi

Le pivot de la première colonne vaut déjà $1$ : c'est le cas le plus favorable, et il évite toute fraction à cette étape. Noter les deux opérations en marge vaut un demi-point.

Étape 4

$L_{3}\leftarrow L_{3}-3L_{2}$ donne $[0\ \ 0\ \ 1\,|\,3]$ . La matrice est échelonnée, avec trois pivots.

Pourquoi

Trois pivots pour trois inconnues : la solution est unique, et on peut l'annoncer avant même de remonter. C'est aussi ce qui prouve qu'une seule parabole convient.

Étape 5

Remontée : la troisième ligne donne $c=3$ ; la deuxième donne $-2b-3\times 3=-5$ , soit $-2b=4$ et $b=-2$ .

Pourquoi

On remonte ligne par ligne, en reportant à chaque fois la valeur qui vient d'être trouvée. Écrire l'équation complète avant de la résoudre évite l'erreur de signe sur $-2b$ .

Étape 6

La première ligne donne $a+(-2)+3=2$ , donc $a=1$ .

Pourquoi

Dernière substitution, et la plus rapide, puisque le pivot vaut $1$ . Une erreur ici serait immédiatement visible à la vérification suivante.

Étape 7

Vérification dans les trois équations de départ : $1-2+3=2$ , $4-4+3=3$ , $9-6+3=6$ .

Pourquoi

Les trois équations d'origine, pas les lignes échelonnées : c'est le seul contrôle qui attrape une opération élémentaire mal effectuée.

Étape 8

Conclusion : la parabole cherchée a pour équation $y=x^{2}-2x+3$ .

Pourquoi

La question portait sur une parabole, pas sur un triplet : rendre la réponse sous forme d'équation est ce que le barème attend, et cela vaut un demi-point.

Conclusion rédigée

Le système admet la solution unique $a=1$ , $b=-2$ , $c=3$ : la parabole cherchée a pour équation $y=x^{2}-2x+3$ , et c'est la seule qui passe par les trois points.

L'erreur classique sur cet exercice : Lire la matrice échelonnée comme si elle était réduite et annoncer $a=2$ , $b=-5$ , $c=3$ en recopiant la dernière colonne. La remontée est obligatoire tant que les pivots ne valent pas $1$ avec des zéros au-dessus.

À savoir par cœur

• Trois opérations seulement : échanger, multiplier par $k\neq 0$ , ajouter un multiple d'une AUTRE ligne.
• Une opération ne remplace qu'UNE ligne; la ligne de référence ne change pas.
• Forme échelonnée : on REMONTE. Forme échelonnée réduite : on LIT.
• Rang $=$ nombre de pivots. Paramètres libres $=$ inconnues $-$ pivots.
• $[0\ \dots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ : aucune solution. $[0\ \dots\ 0\,|\,0]$ : équation redondante.
• Zéro, une, ou une infinité de solutions. Jamais deux.
• Un système homogène a TOUJOURS la solution triviale : il n'est jamais incompatible.
• Plus d'équations que d'inconnues n'entraîne rien : seul le pivot décide.
• Inversion : $[A\,|\,I]$ vers $[I\,|\,A^{-1}]$ , et on s'arrête si une ligne de gauche s'annule.
• Ne jamais diviser par une expression du paramètre sans traiter à part la valeur qui l'annule.

Questions fréquentes

Quelle différence entre la méthode de Gauss et celle de Gauss-Jordan ?

La méthode de Gauss s'arrête à la forme échelonnée, avec des zéros seulement sous les pivots, et demande ensuite une remontée pour trouver les inconnues. Gauss-Jordan continue jusqu'à ce que chaque pivot vaille un et soit seul non nul dans sa colonne : la solution se lit alors directement dans la dernière colonne.

Comment savoir combien un système a de solutions ?

On échelonne la matrice augmentée puis on compte les pivots. Une ligne de zéros suivie d'un nombre non nul rend le système impossible. Sinon, autant de pivots que d'inconnues donne une solution unique, et moins de pivots que d'inconnues donne une infinité de solutions, avec autant de paramètres que la différence.

Que signifie une ligne entièrement nulle dans la matrice échelonnée ?

Elle signifie que l'équation correspondante était redondante, c'est-à-dire déductible des autres. Elle ne rend jamais le système impossible : elle réduit seulement le nombre de pivots, donc elle augmente le nombre de paramètres libres. La contradiction, elle, vient d'une ligne de zéros suivie d'un nombre non nul.

Un système homogène peut-il ne pas avoir de solution ?

Non, jamais. Le vecteur nul est toujours solution, puisque le second membre est nul et le reste après toute opération élémentaire. La vraie question est de savoir s'il existe d'autres solutions, ce qui arrive exactement quand le nombre de pivots est inférieur au nombre d'inconnues.

Comment compter les paramètres libres d'un système ?

On soustrait le nombre de pivots au nombre d'inconnues. Le nombre d'équations de départ n'intervient pas, car plusieurs équations peuvent dire la même chose. Chaque colonne sans pivot correspond à une inconnue libre, à laquelle on attribue un paramètre dans l'écriture de la solution générale.

Peut-on échanger deux colonnes pendant un pivot de Gauss ?

Non. Les opérations élémentaires portent uniquement sur les lignes, qui représentent les équations. Échanger deux colonnes reviendrait à renommer les inconnues, et la dernière colonne ne correspondrait plus aux bonnes variables. Seul l'échange de deux lignes est autorisé.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

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Déterminants, cofacteurs et règle de Cramer

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