Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : nombres complexes et De Moivre (201-NYC)

Q: Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?

On calcule d'abord le module, puis on écrit deux équations : le cosinus vaut la partie réelle divisée par le module, le sinus vaut la partie imaginaire divisée par le module. Ce sont les signes de ces deux quantités ensemble qui fixent le quadrant. La tangente seule ne suffit jamais, car elle ne distingue pas un nombre de son opposé.

Q: Pourquoi une équation z puissance n égale a a-t-elle n solutions ?

Parce que l'argument d'un nombre complexe est défini à un multiple de deux pi près. En écrivant le second membre avec ce terme périodique avant de prendre la racine, on obtient n angles différents, tous compris dans un tour complet. Les solutions se répartissent alors régulièrement sur un cercle, aux sommets d'un polygone régulier.

Q: Comment diviser deux nombres complexes ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient alors le carré du module, donc un nombre réel, et le quotient se met sous forme algébrique. En forme exponentielle, c'est encore plus simple : les modules se divisent et les arguments se soustraient.

Q: Quand utiliser le théorème de De Moivre ?

Dès qu'il faut élever un nombre complexe à une puissance supérieure à deux, ou résoudre une équation où l'inconnue est à une puissance. On met le nombre sous forme exponentielle, on élève le module à la puissance et on multiplie l'argument par l'exposant. Développer en forme algébrique serait beaucoup plus long et beaucoup plus risqué.

Q: Le module d'une somme est-il la somme des modules ?

Non, sauf cas particulier. Le module se comporte comme une longueur : il se distribue sur un produit, mais pas sur une somme. On a seulement une inégalité, le module de la somme étant inférieur ou égal à la somme des modules, avec égalité uniquement si les deux nombres ont le même argument.

Q: Peut-on écrire la racine carrée d'un nombre négatif ?

Mieux vaut ne pas le faire. Sur les complexes, tout nombre non nul a deux racines carrées, donc la notation habituelle perd son sens unique. On écrit directement le résultat avec i, par exemple deux i pour moins quatre. La règle qui permet de multiplier deux racines n'est d'ailleurs valable que pour des nombres positifs.

Cette fiche ne redonne pas les formules de passage entre les trois formes : elles sont dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire le choix de la forme selon l'opération, la détermination correcte de l'argument, et la rédaction attendue sur une équation $z^{n}=a$ .

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

La forme algébrique sert à ADDITIONNER, la forme exponentielle à MULTIPLIER et à élever à une puissance. Presque toutes les pertes de points viennent d'avoir gardé la mauvaise forme, ou d'avoir choisi l'argument avec le seul cosinus.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
4Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4
5La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
6Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
8Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5

L'essentiel

Trois formes, et ce que chacune sert à faire

• FORME ALGÉBRIQUE $z=a+bi$ , avec $i^{2}=-1$ : c'est la forme des ADDITIONS et des soustractions, qui se font composante par composante.
• Conjugué $\bar{z}=a-bi$ , module $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , et la relation clé $z\bar{z}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$ , qui est un nombre RÉEL positif.
• FORME TRIGONOMÉTRIQUE $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et FORME EXPONENTIELLE $z=r\,e^{i\theta}$ , avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$ .
• Ce sont les formes des PRODUITS, des quotients et des puissances : $r_{1}e^{i\theta_{1}}\times r_{2}e^{i\theta_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$ . Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.
• DIVISION en forme algébrique : on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur, ce qui le rend réel : $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{z_{1}\bar{z_{2}}}{|z_{2}|^{2}}$ .

Le module est la longueur du segment qui joint l'origine au point, l'argument l'angle qu'il fait avec l'axe des réels, et le conjugué le symétrique par rapport à cet axe.

Le premier réflexe devant un exercice : regarder l'OPÉRATION demandée. Une somme reste en algébrique, une puissance passe en exponentielle, et changer de forme coûte moins cher que de s'obstiner dans la mauvaise.

L'argument se détermine par un COUPLE, jamais par un seul rapport

• On résout $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ ET $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ : ce sont les deux équations ensemble qui fixent le quadrant.
• La seule tangente ne suffit jamais : $z$ et $-z$ ont exactement le même rapport $\frac{b}{a}$ , donc la même tangente, alors que leurs arguments diffèrent de $\pi$ .
• Le signe de $a$ donne la moitié du plan, le signe de $b$ donne l'autre : positif et positif pour le premier quadrant, négatif et positif pour le deuxième, et ainsi de suite.
• L'argument est défini MODULO $2\pi$ : $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{7\pi}{3}$ sont le même argument, et l'énoncé demande souvent celui de $]-\pi\ ;\ \pi]$ .
• Cas particuliers à connaître sans calcul : $\arg(1)=0$ , $\arg(i)=\frac{\pi}{2}$ , $\arg(-1)=\pi$ , $\arg(-i)=-\frac{\pi}{2}$ .

Faire un croquis du point dans le plan complexe avant de conclure prend dix secondes et rend l'erreur de quadrant impossible. C'est la vérification la plus rentable du chapitre.

De Moivre, les racines et le polygone régulier

• THÉORÈME DE DE MOIVRE : $\left(re^{i\theta}\right)^{n}=r^{n}e^{in\theta}$ , c'est-à-dire $r^{n}\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right)$ . Le module est élevé à la puissance, l'argument est MULTIPLIÉ.
• RACINES $n$ -IÈMES de $z=re^{i\theta}$ : il y en a exactement $n$ , données par $z_{k}=r^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}$ pour $k=0\ ;\ 1\ ;\ \dots\ ;\ n-1$ .
• Le terme $2k\pi$ n'est pas un ornement : c'est lui qui produit les $n$ racines distinctes. Sans lui, on n'en trouve qu'une.
• Ces racines se placent sur le cercle de rayon $r^{1/n}$ , régulièrement espacées de $\frac{2\pi}{n}$ : elles forment un POLYGONE RÉGULIER à $n$ côtés, et leur somme vaut $0$ .
• RACINES CONJUGUÉES : si un polynôme est à coefficients RÉELS et admet $z_{0}$ pour racine, alors $\bar{z_{0}}$ en est aussi une. Les racines non réelles vont par paires.

Une fois la première racine trouvée, les autres s'obtiennent en ajoutant $\frac{2\pi}{n}$ à l'argument, sans recalculer le module. C'est ce qui permet de traiter les six racines sixièmes en trois lignes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre l'arctangente sans regarder le quadrant

toute la question, et l'erreur se propage à toutes les puissances calculées ensuite.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=-1-i$ donne $\tan\theta=\frac{-1}{-1}=1$ , donc $\theta=\frac{\pi}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ : les deux sont négatifs, donc $z$ est dans le TROISIÈME quadrant et $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , ou $-\frac{3\pi}{4}$ . »

Les deux points sont sur la MÊME droite passant par l'origine, donc ils ont la même tangente; leurs arguments diffèrent pourtant de

180^{\circ}

Pourquoi : La tangente ne distingue pas $z$ de $-z$ : ils ont le même rapport $\frac{b}{a}$ . Seul le COUPLE cosinus-sinus fixe le quadrant, et c'est pour cela que le cours écrit les deux équations.

2. Diviser sans passer par le conjugué

2 points, et un signe faux qui contamine tout le reste de l'exercice.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{i}=i$ , puisque $i\times i$ donne bien quelque chose de simple. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{1}{i}=\dfrac{\bar{i}}{i\bar{i}}=\dfrac{-i}{|i|^{2}}=\dfrac{-i}{1}=-i$ . On multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur, ce qui le rend RÉEL. »

Pourquoi : Un quotient de complexes n'a pas de forme algébrique tant que le dénominateur n'est pas réel. Le conjugué est le seul outil qui réalise cela, grâce à $z\bar{z}=|z|^{2}$ .

3. Distribuer le module sur une somme

toute la question de démonstration, et un résultat numérique faux dès le premier calcul.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|z_{1}+z_{2}|=|z_{1}|+|z_{2}|$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le module se distribue sur le PRODUIT, pas sur la somme : $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|$ , mais $|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|$ , avec égalité seulement si les deux ont le même argument. »

Le trajet direct de l'origine au point

z_{1}+z_{2}

est plus court que le détour par

z_{1}

: c'est exactement l'inégalité

|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|

Pourquoi : Le module est une longueur : c'est l'inégalité triangulaire ordinaire. Deux vecteurs ne s'additionnent en longueur que s'ils pointent dans la même direction.

4. Appliquer De Moivre à la forme algébrique

toute la question, et la réponse est fausse d'un facteur $8$.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(1+i)^{8}=1^{8}+i^{8}=1+1=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« De Moivre s'applique à la forme trigonométrique. $1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ , donc $(1+i)^{8}=\left(\sqrt{2}\right)^{8}e^{2i\pi}=16$ . »

Pourquoi : Une puissance ne se distribue jamais sur une somme, pas plus sur les complexes que sur les réels. Passer en exponentielle est le seul moyen de transformer la puissance en multiplication d'angle.

5. Ne donner qu'une seule racine n-ième

les cinq sixièmes de la question, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z^{6}=64$ donne $z=64^{1/6}=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il y a SIX racines : $z_{k}=2\,e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ pour $k=0$ à $5$ , soit $2$ , $1+i\sqrt{3}$ , $-1+i\sqrt{3}$ , $-2$ , $-1-i\sqrt{3}$ et $1-i\sqrt{3}$ . »

Pourquoi : L'argument d'un complexe est défini modulo $2\pi$ : écrire $64=64e^{i(0+2k\pi)}$ avant de prendre la racine est ce qui fait apparaître les $n$ solutions. Sans le $2k\pi$ , on n'en voit qu'une.

6. Multiplier deux racines carrées de nombres négatifs

toute la question, avec un signe inversé qui ne se voit nulle part ailleurs.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}=\sqrt{36}=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La règle $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ne vaut que pour $a\geq 0$ et $b\geq 0$ . Ici $\sqrt{-4}=2i$ et $\sqrt{-9}=3i$ , donc le produit vaut $6i^{2}=-6$ . »

Pourquoi : La notation $\sqrt{\ }$ n'a plus de sens univoque sur les complexes : chaque nombre non nul a DEUX racines carrées. On écrit donc $2i$ dès le départ, et on ne garde jamais un radical d'un nombre négatif.

7. Invoquer les racines conjuguées sur un polynôme à coefficients complexes

2 points, et une racine inventée qui fausse la factorisation entière.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z_{0}=1+2i$ est racine, donc $1-2i$ est aussi racine, quel que soit le polynôme. »

Ce qu'il faut écrire

« Cette propriété exige des coefficients RÉELS. Le polynôme $z-(1+2i)$ admet $1+2i$ pour unique racine, et $1-2i$ n'en est pas une : il faut vérifier les coefficients avant d'invoquer le théorème. »

Pourquoi : La démonstration repose sur $\overline{P(z)}=P(\bar{z})$ , égalité qui n'est vraie que si tous les coefficients sont égaux à leur propre conjugué, c'est-à-dire réels.

8. Confondre $z\bar{z}$ et le module

1 point à chaque occurrence, et une division sur deux tombe fausse.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z\bar{z}=|z|$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z\bar{z}=|z|^{2}$ , avec le CARRÉ : pour $z=3+4i$ , $z\bar{z}=9+16=25$ alors que $|z|=5$ . »

Pourquoi : $z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$ , qui est le carré de la racine définissant le module. C'est aussi pourquoi le dénominateur d'une division est $|z_{2}|^{2}$ et non $|z_{2}|$ .

Quelle méthode choisir

Quelle forme choisir, selon l'opération demandée

On regarde l'OPÉRATION avant les nombres. Chaque opération a sa forme, et changer de forme coûte moins cher que de s'obstiner.

Si somme ou différence → forme ALGÉBRIQUE, composante par composante

Exemple : $(2+3i)+(1-i)=3+2i$
Si produit ou quotient de deux nombres donnés en algébrique → rester en algébrique si les nombres sont simples, en développant et en utilisant le conjugué pour diviser

Au-delà de deux facteurs, l'exponentielle devient plus rapide.
Si puissance d'exposant $3$ ou plus → forme EXPONENTIELLE et théorème de De Moivre

Exemple : $(1+i)^{8}=\left(\sqrt{2}e^{i\pi/4}\right)^{8}=16$
Si équation du type $z^{n}=a$ → forme exponentielle du second membre, avec le $2k\pi$ , puis $n$ racines

Exemple : $z^{6}=64$ donne $z_{k}=2e^{i\frac{2k\pi}{6}}$
Si lieu géométrique, ou condition sur un module → poser $z=x+iy$ et traduire en équation cartésienne

$|z-z_{0}|=R$ est le cercle de centre $z_{0}$ et de rayon $R$ , sans aucun calcul.
Si équation polynomiale à coefficients réels → forme algébrique et discriminant, en se rappelant que les racines non réelles vont par paires conjuguées

Aucune branche ne s'applique ? Regarder ce que la RÉPONSE doit être : un lieu se décrit en cartésien, un nombre exact souvent en exponentielle, une valeur numérique en algébrique.

Comment fixer l'argument, quadrant par quadrant

On calcule d'abord $r=|z|$ , puis on lit les SIGNES de $a$ et de $b$ avant de chercher un angle.

Si $a>0$ et $b>0$ → premier quadrant : $\theta\in\left]0\ ;\ \frac{\pi}{2}\right[$ , et l'arctangente donne directement la réponse

Exemple : $1+i$ donne $\frac{\pi}{4}$
Si $a<0$ et $b>0$ → deuxième quadrant : ajouter $\pi$ à l'arctangente

Exemple : $-1+i$ donne $\frac{3\pi}{4}$
Si $a<0$ et $b<0$ → troisième quadrant : ajouter $\pi$ à l'arctangente, ou retrancher $\pi$

Exemple : $-1-i$ donne $\frac{5\pi}{4}$ , ou $-\frac{3\pi}{4}$
Si $a>0$ et $b<0$ → quatrième quadrant : l'arctangente donne un angle négatif, qui convient tel quel

Exemple : $1-i$ donne $-\frac{\pi}{4}$
Si $a=0$ ou $b=0$ → cas particulier à lire directement : $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ ou $-\frac{\pi}{2}$

L'arctangente n'est même pas définie quand $a=0$ : c'est le cas où la formule échoue le plus visiblement.

Le contrôle final, valable dans tous les cas : recalculer $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ et vérifier qu'on retrouve $a$ et $b$ , SIGNES compris.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Mettre un nombre complexe sous forme exponentielle

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la forme trigonométrique ou exponentielle, ou impose une puissance élevée.

1 Calculer le module $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ et l'écrire sous forme exacte, en simplifiant le radical.
2 Écrire les DEUX équations $\cos\theta=\frac{a}{r}$ et $\sin\theta=\frac{b}{r}$ , avec leurs signes.
3 Situer le quadrant à partir de ces deux signes, et le DIRE explicitement sur la copie.
4 Donner $\theta$ comme valeur exacte, en précisant l'intervalle choisi si l'énoncé l'impose.
5 Conclure par l'écriture complète $z=r\,e^{i\theta}$ , et vérifier en recalculant $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ .

Phrase de conclusion

$|z|=2$ , $\cos\theta=\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $\theta=\frac{\pi}{3}$ et $z=2\,e^{i\pi/3}$ .

Le piège : Donner $\theta$ en degrés quand tout le reste de l'exercice est en radians, ou l'inverse. La forme exponentielle exige des RADIANS : $e^{i60}$ n'a rien à voir avec $e^{i\pi/3}$ .

Barème : 0,5 point pour le module, 1 point pour les deux équations et le quadrant, 0,5 point pour l'écriture finale.

Résoudre une équation $z^{n}=a$

Quand l'utiliser : L'énoncé demande les racines $n$ -ièmes d'un nombre, ou de résoudre $z^{n}=a$ dans $\mathbb{C}$ .

1 Mettre le second membre sous forme exponentielle, en écrivant l'argument AVEC le terme $2k\pi$ : $a=|a|\,e^{i(\alpha+2k\pi)}$ .
2 Poser $z=\rho\,e^{i\varphi}$ et écrire l'équation $\rho^{n}e^{in\varphi}=|a|e^{i(\alpha+2k\pi)}$ .
3 Identifier les modules, ce qui donne $\rho=|a|^{1/n}$ , valeur réelle positive unique.
4 Identifier les arguments, ce qui donne $\varphi=\frac{\alpha+2k\pi}{n}$ , puis énumérer $k=0$ jusqu'à $n-1$ et pas au-delà.
5 Donner les $n$ solutions, sous forme exponentielle et sous forme algébrique si l'énoncé le demande, puis vérifier que leur somme est nulle.

Phrase de conclusion

Les solutions de $z^{6}=64$ sont $z_{k}=2\,e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ pour $k\in\{0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\}$ , soit six points formant un hexagone régulier de rayon $2$ .

Le piège : Continuer au-delà de $k=n-1$ . Pour $k=n$ , on retombe sur $z_{0}$ : les racines se répètent, et écrire une septième solution coûte un point de rigueur.

Barème : 0,5 point pour le $2k\pi$ , 0,5 point pour le module, 1 point pour les arguments, 1 point pour l'énumération complète.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recalculer $a$ et $b$ à partir de la forme exponentielle

Une fois $r$ et $\theta$ trouvés, calculer $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ : on doit retrouver exactement $a$ et $b$ , SIGNES compris. C'est le contrôle qui attrape toutes les erreurs de quadrant.

Pour $-1-i$ , un $\theta=\frac{\pi}{4}$ donnerait $r\cos\theta=+1$ au lieu de $-1$ : l'erreur saute aux yeux.
Compter les racines trouvées

Une équation $z^{n}=a$ a exactement $n$ solutions, ni plus ni moins. Compter avant de conclure est immédiat et attrape les deux erreurs opposées, l'oubli et la répétition.

Quatre solutions annoncées pour $z^{6}=64$ signalent que le $2k\pi$ n'a pas été poussé jusqu'à $k=5$ .
Vérifier que la somme des racines est nulle

Les $n$ racines $n$ -ièmes d'un nombre s'additionnent toujours à $0$ , puisqu'elles sont les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine. Une somme non nulle dénonce une racine fausse.

$2+(1+i\sqrt{3})+(-1+i\sqrt{3})+(-2)+(-1-i\sqrt{3})+(1-i\sqrt{3})=0$ : les six racines sont bonnes.
Contrôler le module d'un produit ou d'une puissance

$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$ et $|z^{n}|=|z|^{n}$ . Comparer le module du résultat à celui prévu par cette règle valide le calcul sans le refaire.

$(1+i)^{8}$ doit avoir pour module $\left(\sqrt{2}\right)^{8}=16$ : un résultat de module $2$ est faux d'emblée.
Placer le point dans le plan complexe

Faire un croquis à main levée avec les deux axes et le point. Le quadrant se lit alors sans calcul, et l'argument trouvé doit s'y accorder.

Un argument de $\frac{\pi}{4}$ annoncé pour un point visiblement en bas à gauche est faux : le dessin l'a montré avant tout calcul.

L'exercice type décortiqué

De la forme algébrique aux six racines sixièmes de 64

Soit $z=1+i\sqrt{3}$ .

1) Écrire $z$ sous forme exponentielle.

2) Calculer $z^{6}$ .

3) Résoudre l'équation $w^{6}=64$ dans $\mathbb{C}$ , et situer $z$ parmi les solutions.

Les six solutions se placent sur le cercle de rayon

2

, espacées de

60^{\circ}

: elles forment un hexagone régulier, et

z

est celle qui correspond à

k=1

Étape 1

$|z|=\sqrt{1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=2$ .

Pourquoi

Le module se calcule toujours en premier : il sert à normer le cosinus et le sinus, et il donnera directement le rayon du cercle des racines.

Étape 2

$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : les deux sont positifs, donc $z$ est dans le premier quadrant et $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ .

Pourquoi

Les DEUX équations, pas une seule. Le rapport $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$ correspondrait aussi à $\frac{4\pi}{3}$ , dans le troisième quadrant : ce sont les signes qui tranchent.

Étape 3

$z=2\,e^{i\pi/3}$ , ce qui s'écrit aussi $2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ .

Pourquoi

Contrôle immédiat : $2\cos\frac{\pi}{3}=1$ et $2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ , on retrouve bien $a$ et $b$ . Dix secondes qui valident le quadrant.

Étape 4

De Moivre : $z^{6}=2^{6}\,e^{i\times 6\times\frac{\pi}{3}}=64\,e^{2i\pi}=64$ .

Pourquoi

Le module est élevé à la puissance, l'argument est MULTIPLIÉ. Développer $(1+i\sqrt{3})^{6}$ en algébrique demanderait une demi-page et donnerait le même $64$ .

Étape 5

Pour l'équation $w^{6}=64$ , on écrit le second membre avec le terme périodique : $64=64\,e^{i(0+2k\pi)}$ .

Pourquoi

C'est l'étape décisive de la question 3. Sans le $2k\pi$ , on ne trouve que $w=2$ et l'on perd cinq solutions sur six.

Étape 6

En posant $w=\rho e^{i\varphi}$ : $\rho^{6}=64$ donne $\rho=2$ , et $6\varphi=2k\pi$ donne $\varphi=\dfrac{k\pi}{3}$ .

Pourquoi

On identifie séparément les modules, qui sont des réels positifs, et les arguments, qui sont définis modulo $2\pi$ . C'est cette seconde identification qui produit les six angles.

Étape 7

Pour $k=0$ à $5$ : $2$ , $1+i\sqrt{3}$ , $-1+i\sqrt{3}$ , $-2$ , $-1-i\sqrt{3}$ , $1-i\sqrt{3}$ . Au-delà de $k=5$ , on retombe sur les mêmes.

Pourquoi

Six valeurs de $k$ , six racines : les compter est la vérification la plus rapide. Pour $k=6$ , l'angle vaut $2\pi$ , c'est-à-dire $z_{0}$ de nouveau.

Étape 8

Contrôle : la somme des six racines vaut $0$ , et $z=1+i\sqrt{3}$ est bien la racine correspondant à $k=1$ .

Pourquoi

La somme nulle est garantie par la symétrie de l'hexagone, et elle teste les six valeurs à la fois. Retrouver $z$ dans la liste ferme la boucle avec la question 2.

Conclusion rédigée

$z=2\,e^{i\pi/3}$ , $z^{6}=64$ , et les six solutions de $w^{6}=64$ sont $2$ , $1+i\sqrt{3}$ , $-1+i\sqrt{3}$ , $-2$ , $-1-i\sqrt{3}$ et $1-i\sqrt{3}$ , dont $z$ est celle de rang $k=1$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $w=2$ seul à la question 3, parce que $64$ a été écrit $64\,e^{i0}$ sans le terme $2k\pi$ . La réponse est juste, mais elle ne vaut qu'un sixième des points.

À savoir par cœur

• Somme : forme ALGÉBRIQUE. Produit, quotient, puissance : forme EXPONENTIELLE.
• $z\bar{z}=|z|^{2}$ , un réel positif : c'est ce qui rend un dénominateur réel.
• L'argument se fixe par le COUPLE $\cos\theta=\frac{a}{r}$ et $\sin\theta=\frac{b}{r}$ , jamais par la seule tangente.
• $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$ , mais $|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|$ .
• De Moivre : $\left(re^{i\theta}\right)^{n}=r^{n}e^{in\theta}$ , module à la puissance, argument MULTIPLIÉ.
• $z^{n}=a$ a exactement $n$ solutions : écrire $a=|a|e^{i(\alpha+2k\pi)}$ AVANT de prendre la racine.
• Les $n$ racines forment un polygone régulier de rayon $|a|^{1/n}$ , et leur somme vaut $0$ .
• $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ est FAUX si $a$ ou $b$ est négatif : écrire $2i$ , jamais $\sqrt{-4}$ .
• Racines conjuguées : seulement si les coefficients du polynôme sont RÉELS.
• $|z-z_{0}|=R$ est le cercle de centre $z_{0}$ et de rayon $R$ .

Questions fréquentes

Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?

On calcule d'abord le module, puis on écrit deux équations : le cosinus vaut la partie réelle divisée par le module, le sinus vaut la partie imaginaire divisée par le module. Ce sont les signes de ces deux quantités ensemble qui fixent le quadrant. La tangente seule ne suffit jamais, car elle ne distingue pas un nombre de son opposé.

Pourquoi une équation z puissance n égale a a-t-elle n solutions ?

Parce que l'argument d'un nombre complexe est défini à un multiple de deux pi près. En écrivant le second membre avec ce terme périodique avant de prendre la racine, on obtient n angles différents, tous compris dans un tour complet. Les solutions se répartissent alors régulièrement sur un cercle, aux sommets d'un polygone régulier.

Comment diviser deux nombres complexes ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient alors le carré du module, donc un nombre réel, et le quotient se met sous forme algébrique. En forme exponentielle, c'est encore plus simple : les modules se divisent et les arguments se soustraient.

Quand utiliser le théorème de De Moivre ?

Dès qu'il faut élever un nombre complexe à une puissance supérieure à deux, ou résoudre une équation où l'inconnue est à une puissance. On met le nombre sous forme exponentielle, on élève le module à la puissance et on multiplie l'argument par l'exposant. Développer en forme algébrique serait beaucoup plus long et beaucoup plus risqué.

Le module d'une somme est-il la somme des modules ?

Non, sauf cas particulier. Le module se comporte comme une longueur : il se distribue sur un produit, mais pas sur une somme. On a seulement une inégalité, le module de la somme étant inférieur ou égal à la somme des modules, avec égalité uniquement si les deux nombres ont le même argument.

Peut-on écrire la racine carrée d'un nombre négatif ?

Mieux vaut ne pas le faire. Sur les complexes, tout nombre non nul a deux racines carrées, donc la notation habituelle perd son sens unique. On écrit directement le résultat avec i, par exemple deux i pour moins quatre. La règle qui permet de multiplier deux racines n'est d'ailleurs valable que pour des nombres positifs.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Nombres complexes et De Moivre

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : nombres complexes et De Moivre (201-NYC)

L'essentiel

Trois formes, et ce que chacune sert à faire

L'argument se détermine par un COUPLE, jamais par un seul rapport

De Moivre, les racines et le polygone régulier

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre l'arctangente sans regarder le quadrant

2. Diviser sans passer par le conjugué

3. Distribuer le module sur une somme

4. Appliquer De Moivre à la forme algébrique

5. Ne donner qu'une seule racine n-ième

6. Multiplier deux racines carrées de nombres négatifs

7. Invoquer les racines conjuguées sur un polynôme à coefficients complexes

8. Confondre zzˉz\bar{z}zzˉ et le module

Quelle méthode choisir

Quelle forme choisir, selon l'opération demandée

Comment fixer l'argument, quadrant par quadrant

La rédaction attendue

Mettre un nombre complexe sous forme exponentielle

Résoudre une équation zn=az^{n}=azn=a

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

De la forme algébrique aux six racines sixièmes de 64

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?

Pourquoi une équation z puissance n égale a a-t-elle n solutions ?

Comment diviser deux nombres complexes ?

Quand utiliser le théorème de De Moivre ?

Le module d'une somme est-il la somme des modules ?

Peut-on écrire la racine carrée d'un nombre négatif ?

Exercices corrigés : Nombres complexes et De Moivre

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8. Confondre $z\bar{z}$ et le module

Résoudre une équation $z^{n}=a$