Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : appliquer l'algèbre linéaire et la géométrie vectorielle aux sciences de la nature (201-NYC)

Q: Comment transformer un problème de physique en système linéaire ?

Trois gestes, toujours dans cet ordre. On nomme une inconnue par grandeur que l'énoncé ne donne pas, avec son unité et son sens. On écrit ensuite une équation par contrainte : une par axe de projection en mécanique, une par grandeur conservée en chimie, un nœud et une maille indépendante en électricité. On range enfin les coefficients dans une matrice augmentée, une colonne par inconnue.

Q: Que signifie un système sans solution dans un problème de sciences ?

Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une réponse. Quand le rang de la matrice des coefficients est plus petit que celui de la matrice augmentée, une ligne dit zéro égale une constante non nulle : la situation décrite est physiquement impossible. Il faut alors nommer l'hypothèse fausse, par exemple des câbles horizontaux qui n'ont aucune composante verticale, au lieu de recommencer l'échelonnement.

Q: Combien de lois des nœuds faut-il écrire dans un circuit ?

Exactement une de moins que le nombre de nœuds. La somme de toutes les lois des nœuds d'un circuit est l'identité zéro égale zéro, puisque chaque courant de branche quitte un nœud et arrive dans un autre. La dernière ligne est donc une combinaison des précédentes et n'apporte aucun rang. On complète avec des lois des mailles indépendantes jusqu'à avoir autant de pivots que d'inconnues.

Q: Pourquoi une équation redox ne s'équilibre pas sans la conservation de la charge ?

Parce que les conservations d'éléments seules laissent une dimension de noyau de deux au lieu de un. Deux paramètres libres veulent dire que deux réactions indépendantes conservent tous les atomes, et aucune des deux n'est celle que l'on cherche. La charge est une grandeur conservée au même titre qu'un élément : elle s'ajoute comme une ligne, le rang monte d'un cran et l'équation redevient déterminée.

Q: Quelle différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel en mécanique ?

Ils sélectionnent des parts complémentaires de la même force. Le travail est un produit scalaire, donc un nombre, et seule la composante parallèle au déplacement compte : la composante perpendiculaire donne un travail exactement nul. Le moment est un produit vectoriel, donc un vecteur, et c'est l'inverse : seule la composante perpendiculaire au bras fait tourner. Là où l'un s'annule, l'autre est maximal.

Q: Un système peut-il être compatible sans avoir de solution utilisable ?

Oui, et c'est la question qui sépare les copies. L'échelonnement ne connaît aucune contrainte de signe : il peut livrer une droite de solutions dont aucune n'a toutes ses composantes positives. Une masse ou une concentration négative n'existe pas, donc il faut restreindre le paramètre libre au domaine physique, puis vérifier que l'intervalle obtenu n'est pas vide.

Le cinquième élément de compétence du cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle demande d'appliquer les méthodes du cours à des problèmes de sciences de la nature : équilibre de forces, biomécanique et moments, travail, équilibrage d'équations chimiques, mélange de solutions, lois de Kirchhoff, centre de masse. Une fois le système posé, Gauss-Jordan est mécanique. C'est avant qu'on perd les points.

Cette fiche ne refait donc pas dix corrigés. Elle tient sur un seul geste, celui que personne n'enseigne explicitement : poser les inconnues et COMPTER les contraintes avant de calculer, puis lire le rang comme un diagnostic. Autant de pivots que d'inconnues, la réponse est unique ; moins de pivots, il manque une contrainte ; une ligne $[0\ \cdots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ , et c'est la situation décrite qui est impossible. Une dernière vérification reste à votre charge, car l'algèbre l'ignore : le signe.

Le fil du chapitre

L'algèbre linéaire ne résout pas le problème de sciences, elle le MET EN FORME : les points se perdent à nommer les inconnues et à compter les contraintes, presque jamais au pivot.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
2Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
3Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4
4Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
5Combinaisons linéaires, dépendance et bases
6Vecteurs dans l'espace : les trois produits
7Matrices, systèmes et déterminants
8Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan

Notions couvertes

Matrice augmentée
Rang d'une matrice
Théorème de compatibilité de Rouché
Théorème du rang
Noyau d'une matrice
Produit scalaire
Produit vectoriel
Moment d'une force
Équilibre d'un solide
Lois de Kirchhoff
Centre de masse
Combinaison convexe

L'essentiel

Les trois gestes de la mise en forme, toujours dans cet ordre

• 1. NOMMER. Une inconnue par grandeur que l'énoncé ne donne pas, avec sa lettre, son unité et l'orientation choisie : $T$ en newtons, $x_{1}$ en grammes, $I_{2}$ en ampères compté dans le sens de la flèche. Une inconnue non nommée est une inconnue qu'on oubliera.
• 2. COMPTER. Une équation par CONTRAINTE, pas une par donnée numérique. Une contrainte est un axe de projection en mécanique, une grandeur conservée en chimie, un nœud ou une maille indépendante en électricité, une condition imposée par l'énoncé.
• 3. RANGER. Les coefficients dans une matrice augmentée $[A\,|\,B]$ , une colonne par inconnue, une ligne par contrainte. À partir de là, plus aucune trace du contexte : Gauss-Jordan ne sait pas si les lettres sont des newtons ou des grammes.
• Le décompte utile n'est jamais le nombre de LIGNES, c'est le RANG : deux équations peuvent n'en dire qu'une seule.

Écrire en toutes lettres la phrase « $T$ est la tension du câble en newtons, $N$ la réaction du plan en newtons » vaut un demi-point de mise en forme sur presque toutes les grilles, et c'est la ligne la plus rentable de la copie.

Lire le rang : trois verdicts, et pas un de plus

• Théorème de compatibilité de Rouché : $AX=B$ a des solutions si et seulement si $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\,|\,B])$ .
• Cas 1, $\operatorname{rang}=n$ inconnues : solution UNIQUE, le problème est bien posé. Sur une matrice carrée, $\det A\neq 0$ dit la même chose plus vite.
• Cas 2, $\operatorname{rang}<n$ et les deux rangs égaux : INFINITÉ de solutions, avec $n-\operatorname{rang}$ paramètres libres. Il manque une contrainte, ou bien le paramètre a lui-même un sens, comme l'échelle d'une réaction chimique.
• Cas 3, les deux rangs diffèrent : AUCUNE solution. Une ligne $[0\ \cdots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ dit $0=c$ , et c'est la situation décrite qui est impossible, pas votre échelonnement.

Trois pivots pour trois inconnues à gauche : réponse unique. Au milieu la dernière ligne est nulle, second membre compris : il manque une contrainte. À droite elle porte

5

, donc

0=5

: impossible.

Le rang est le seul outil du cours qui DIAGNOSTIQUE un énoncé au lieu de le résoudre. C'est ce que l'algèbre linéaire apporte aux sciences et que le calcul différentiel n'apporte pas.

Produit scalaire ou produit vectoriel : deux sélections complémentaires

• Travail d'une force constante sur un déplacement rectiligne : $W=\vec{F}\cdot\vec{d}=\|\vec{F}\|\,\|\vec{d}\|\cos\theta$ , un NOMBRE, en joules. Seule la part PARALLÈLE au déplacement travaille.
• Moment d'une force : $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$ , de norme $\|\vec{r}\|\,\|\vec{F}\|\sin\theta$ , un VECTEUR, en newtons-mètres. Seule la part PERPENDICULAIRE au bras fait tourner.
• Projection orthogonale, la formule qui sert dans les deux cas : $\vec{F_{\parallel}}=\dfrac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|^{2}}\,\vec{d}$ , puis $\vec{F_{\perp}}=\vec{F}-\vec{F_{\parallel}}$ . Le dénominateur est $\|\vec{d}\|^{2}$ , jamais $\|\vec{d}\|$ .
• Conséquence immédiate : $\cos\theta$ et $\sin\theta$ ne s'annulent pas au même endroit, donc les deux produits ne sont pas seulement différents, ils sont complémentaires. Là où l'un est nul, l'autre est maximal.

Le signe du travail se lit sur le seul signe du produit scalaire, sans calculer l'angle : positif, travail moteur ; négatif, travail résistant ; nul, la force ne travaille pas.

Ce que l'algèbre ignore : le signe

• Gauss-Jordan ne connaît aucune contrainte de signe. Une masse, une concentration, une longueur, un flux à sens unique sont pourtant positifs par nature.
• Un système peut donc être parfaitement COMPATIBLE et n'avoir AUCUNE solution admissible : la droite des solutions existe, mais elle ne traverse pas le domaine physique.
• Inversement, un composant négatif n'est pas toujours une faute : un courant ou une réaction articulaire négatifs disent simplement que le sens supposé sur la figure était l'inverse du sens réel.
• Contrôle du centre de masse : les coefficients $\frac{m_{i}}{\sum m_{j}}$ sont positifs et de somme $1$ , donc $G$ est une combinaison CONVEXE des points et ne sort jamais de leur enveloppe convexe. Un $G$ hors du polygone est une réponse fausse.

Toute réponse se contrôle deux fois : par le rang d'abord, par le domaine physique ensuite. La deuxième vérification est celle qu'aucune calculatrice ne fera à votre place.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Combien d'équations INDÉPENDANTES chaque contexte fournit

On compte le rang, jamais les lignes. Une case rouge signale une ligne qui n'apporte AUCUN rang : inutile de l'écrire pour se rassurer, la contrainte manquante est ailleurs.

Contexte	Lignes écrites	Rang apporté
Point dans le plan	2 projections	$2$
Exemple : Luminaire sur deux câbles à $30^{\circ}$ et $60^{\circ}$ : $2$ inconnues, $\det A=-\sin 90^{\circ}=-1$ , donc $T_{1}=100$ N et $T_{2}\approx 173{,}2$ N.
Solide dans le plan	2 projections et 1 moment	$3$
Exemple : Épaule de l'exemple : $3$ inconnues, $\det A=0{,}16\sin 16^{\circ}\approx 0{,}0441\neq 0$ , solution unique.
Moment pris en un 2e point	1 ligne de plus	$0$ aucun rang de plus
Exemple : À l'insertion du deltooïde on relit $R_{y}=-150$ N, valeur déjà donnée par les trois premières lignes. Ce qu'il faut faire : Choisir le point pour faire DISPARAÎTRE une inconnue de la ligne, jamais pour gagner une équation.
Circuit à $n$ nœuds	$n$ lois des nœuds	$n-1$ une ligne de trop
Exemple : Deux nœuds : $I_{1}-I_{2}+I_{3}=0$ en $A$ et $-I_{1}+I_{2}-I_{3}=0$ en $B$ , deux lignes pour un rang de $1$ . Même forme, autre résultat : Le même circuit à $4$ équations garde un rang de $3$ et donne pourtant $I_{1}=1{,}50$ A, $I_{2}=2{,}25$ A, $I_{3}=0{,}75$ A : plus de lignes que d'inconnues ne veut pas dire surdéterminé. Ce qu'il faut faire : Écrire $n-1$ lois des nœuds, puis compléter avec des lois des mailles indépendantes.
Chimie, $k$ éléments	$k$ conservations	$\dim\ker=p-r$
Exemple : $\mathrm{Al}+\mathrm{HCl}\rightarrow\mathrm{AlCl_{3}}+\mathrm{H_{2}}$ : $p=4$ espèces, $r=3$ , donc $\dim\ker=1$ et les coefficients sont $(2;\ 6;\ 2;\ 3)$ .
Redox sans la charge	4 conservations	$\dim\ker=2$ contrainte manquante
Exemple : $\mathrm{MnO_{4}^{-}}+\mathrm{Fe^{2+}}+\mathrm{H^{+}}$ : $6$ espèces, rang $4$ , donc $\dim\ker=6-4=2$ . Même forme, autre résultat : Les deux directions du noyau donnent $\mathrm{MnO_{4}^{-}}+8\,\mathrm{H^{+}}\rightarrow\mathrm{Mn^{2+}}+4\,\mathrm{H_{2}O}$ et $\mathrm{Fe^{2+}}\rightarrow\mathrm{Fe^{3+}}$ : tous les atomes sont conservés, et aucune des deux n'est la réaction. Ce qu'il faut faire : Ajouter la conservation de la CHARGE comme cinquième ligne : le rang passe à $5$ , $\dim\ker$ retombe à $1$ et les coefficients sont $(1;\ 5;\ 8;\ 1;\ 5;\ 4)$ .

Deux lignes de la même nature ne sont indépendantes que si elles portent une information nouvelle. Le test n'est pas de les regarder, c'est d'échelonner : une ligne qui s'annule entièrement, second membre compris, était une combinaison des autres.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Commencer à calculer sans avoir nommé les inconnues

1 point de mise en forme, et toute la question si une inconnue manque

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On projette : $F\cos 30^{\circ}+F'\cos 60^{\circ}=0$ et $F\sin 30^{\circ}+F'\sin 60^{\circ}=200$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On note $T_{1}$ la tension du câble $OA$ et $T_{2}$ celle du câble $OB$ , toutes deux en newtons, l'axe $x$ étant horizontal vers la droite et l'axe $y$ vertical vers le haut. »

Pourquoi : Sans déclaration, rien ne dit dans quel ORDRE les colonnes de la matrice sont rangées, et le correcteur ne peut pas suivre l'échelonnement. C'est aussi le seul moment où l'on s'aperçoit qu'une grandeur inconnue a été oubliée.

2. Compter les équations au lieu de compter le rang

2 points, et une donnée utile jetée si la ligne supprimée n'était pas la redondante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai quatre équations pour trois inconnues, donc le système est surdéterminé et je supprime une ligne au hasard. »

Ce qu'il faut écrire

« L'échelonnement annule entièrement la deuxième ligne, second membre compris : $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\,|\,B])=3$ , égal au nombre d'inconnues, donc la solution existe et elle est unique. »

Pourquoi : Le nombre de lignes mesure ce qu'on a écrit, le rang mesure ce qu'on sait. Quatre lignes de rang $3$ ne surdéterminent rien du tout.

3. Écrire la loi des nœuds à CHAQUE nœud et croire avoir gagné une équation

toute la question quand le système reste sous-déterminé et qu'on ne comprend pas pourquoi

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux nœuds, donc deux lois des nœuds : $I_{1}-I_{2}+I_{3}=0$ et $-I_{1}+I_{2}-I_{3}=0$ . Avec les deux mailles, ça fait quatre contraintes. »

Ce qu'il faut écrire

« La loi en $B$ est l'opposée de celle en $A$ , donc elle n'apporte aucun rang : un circuit à $n$ nœuds fournit $n-1$ lois des nœuds indépendantes. J'écris une loi des nœuds et deux lois des mailles. »

Les trois courants sont les mêmes dans les deux écritures : ce qui entre en

A

est ce qui sort en

B

. Les deux lignes sont opposées terme à terme, donc elles ne comptent que pour un rang de

1

Pourquoi : La somme de toutes les lois des nœuds est l'identité $0=0$ : chaque courant de branche quitte un nœud et arrive dans un autre, donc il figure une fois avec chaque signe. C'est exactement la définition d'une dépendance linéaire entre ces lignes.

4. Reprendre l'équation des moments en un second point pour obtenir une contrainte de plus

toute la question, plus le temps perdu à échelonner des lignes qui se détruisent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le système a trois inconnues, alors j'écris les moments à l'articulation, puis à l'insertion, puis à la main : ça me fait trois équations de moments. »

Ce qu'il faut écrire

« L'équilibre d'un solide dans le plan fournit trois contraintes, deux de résultante et une de moment. Les moments pris en un autre point sont une combinaison linéaire des trois premières, donc le rang reste $3$ . »

Pourquoi : Le choix du point n'ajoute pas d'information, il choisit QUELLE inconnue disparaît de la ligne. Aux moments à l'articulation, $R_{x}$ et $R_{y}$ disparaissent et $T$ s'isole ; à l'insertion, $T$ disparaît et $R_{y}$ s'isole. C'est un choix de pivot, pas une contrainte de plus.

5. Oublier le sens d'une force au moment de projeter

2 points, et des tensions négatives qu'on rend sans les commenter

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux câbles tirent vers le haut, donc $T_{1}\cos 30^{\circ}+T_{2}\cos 60^{\circ}=0$ sur l'axe $x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une tension TIRE le point vers son attache : $\vec{T_{1}}=T_{1}(-\cos 30^{\circ};\ \sin 30^{\circ})$ et $\vec{T_{2}}=T_{2}(\cos 60^{\circ};\ \sin 60^{\circ})$ , d'où $-T_{1}\cos 30^{\circ}+T_{2}\cos 60^{\circ}=0$ . »

Pourquoi : Une somme de composantes de même signe ne peut pas s'annuler : une équation de projection horizontale dont tous les termes sont positifs est fausse avant tout calcul, et cela se voit en trois secondes.

6. Confondre le produit scalaire et le produit vectoriel

toute la question, le résultat ayant même la mauvaise NATURE, un nombre au lieu d'un vecteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le moment vaut $\vec{r}\cdot\vec{F}=rF\cos\theta$ , soit $0{,}30\times 150\times\cos 60^{\circ}=22{,}5$ N $\cdot$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« Le moment est un produit VECTORIEL : $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$ , de norme $rF\sin\theta=0{,}30\times 150\times\sin 60^{\circ}\approx 38{,}97$ N $\cdot$ m. »

Même géométrie des deux côtés, sélection opposée : à gauche seule

F_{\parallel}

travaille et

F_{\perp}

donne

W=0

; à droite seule

F_{\perp}

fait tourner et

F_{\parallel}

donne

M=0

Pourquoi : Les deux produits sélectionnent des parts complémentaires. Avec $\vec{r}=(0{,}30;\ 0;\ 0)$ et $\vec{F}=(0;\ 200;\ 0)$ , le produit scalaire vaut exactement $0$ alors que le moment est MAXIMAL : le scalaire garde la part parallèle, le vectoriel garde la part perpendiculaire.

7. Croire qu'une force perpendiculaire au déplacement travaille un peu

1 point, et le double si la valeur est reportée dans un bilan d'énergie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La normale vaut $N\approx 225$ N et le déplacement $8{,}0$ m, donc elle fournit un petit travail qu'on néglige. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{N}$ est verticale et $\vec{d}$ horizontale, donc $W_{N}=\vec{N}\cdot\vec{d}=0$ J exactement, quelle que soit la valeur de $N$ . Il est inutile de calculer $N$ pour l'affirmer. »

Pourquoi : Le travail d'une force orthogonale au déplacement est nul, pas petit, et cela ne dépend ni de l'intensité ni de la longueur parcourue. Mais la composante perpendiculaire n'est pas inutile pour autant : elle soulage le sol, donc elle change le frottement, donc elle change le bilan.

8. Conclure « pas de solution » et s'arrêter là

2 points sur 3, la conclusion physique étant justement la question posée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux rangs diffèrent, le système est incompatible. » Puis on recommence l'échelonnement trois fois en cherchant l'erreur.

Ce qu'il faut écrire

« $\operatorname{rang}(A)=1$ et $\operatorname{rang}([A\,|\,B])=2$ : le système est incompatible. Deux câbles horizontaux n'ont aucune composante verticale, donc aucune tension ne peut équilibrer le poids : la situation décrite est physiquement impossible. »

Pourquoi : Dans un problème de sciences, l'incompatibilité est une RÉPONSE et non un échec : elle dit qu'une hypothèse de l'énoncé est fausse. C'est ainsi qu'un diagnostic se fait en atelier, quand une mesure d'ampèremètre contredit les valeurs de composants annoncées.

9. Prendre un système compatible pour un problème résolu

toute la dernière question, celle qui sépare les copies

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux rangs valent $2$ , donc le système est compatible : on peut préparer $600$ g de solution à $60\ \%$ avec les trois solutions mères. »

Ce qu'il faut écrire

« Le système est compatible, de solutions $(3t-2\,400;\ 3\,000-4t;\ t)$ . Mais une masse est positive : $3t-2\,400\geq 0$ exige $t\geq 800$ , alors que $t\leq 600$ . Aucune solution n'est ADMISSIBLE, ce qui était prévisible, la solution la plus concentrée titrant $50\ \%$ . »

Pourquoi : L'algèbre décide de la compatibilité, jamais de l'admissibilité : les contraintes de signe n'entrent pas dans la matrice. Deux vérifications sont donc toujours nécessaires, celle du rang puis celle du domaine physique.

10. Équilibrer une rédox en n'écrivant que les conservations d'éléments

toute la question, l'équation étant faussement équilibrée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Quatre éléments, donc quatre équations, et je résous. » On obtient deux paramètres libres et on en fixe un au hasard.

Ce qu'il faut écrire

« $\dim\ker=6-4=2$ , donc il manque une conservation : la CHARGE est une grandeur conservée au même titre qu'un élément. La ligne $(-1;\ 2;\ 1;\ -2;\ -3;\ 0)$ porte le rang à $5$ et $\dim\ker$ à $1$ . »

Pourquoi : Une dimension de noyau de $1$ signale une réaction bien posée, le paramètre étant simplement l'échelle. Une dimension de $2$ ou plus n'est pas un embarras de richesse, c'est le diagnostic d'une conservation oubliée.

Quelle méthode choisir

Combien d'équations écrire, selon la forme de l'énoncé

On regarde ce qui est à l'équilibre ou ce qui est conservé, jamais le thème de l'exercice. Le devis de contraintes se lit sur l'objet, pas sur le chapitre.

Si un POINT (nœud de câbles, anneau, masse suspendue) à l'équilibre dans le plan → 2 équations, une par axe de projection

Exemple : luminaire sur deux câbles : $2$ inconnues, $2$ équations, $\det A=-1$

dans l'espace, 3 équations
Si un SOLIDE (barre, avant-bras, poutre) à l'équilibre dans le plan → 3 équations : 2 de résultante et 1 de moment

Exemple : épaule et deltooïde : $T$ , $R_{x}$ , $R_{y}$ , trois lignes

une 4e équation de moment ne fait jamais monter le rang
Si un CIRCUIT à $n$ nœuds et $b$ branches → $n-1$ lois des nœuds, complétées par $b-n+1$ lois des mailles indépendantes

Exemple : $2$ nœuds et $3$ branches : $1$ nœud et $2$ mailles, soit $3$ équations

une maille est indépendante si elle contient une branche neuve
Si une ÉQUATION CHIMIQUE à équilibrer, $p$ espèces et $k$ éléments → $k$ conservations d'éléments, plus la charge dès qu'un ion apparaît ; on cherche $\ker A$

Exemple : $\mathrm{Al}+\mathrm{HCl}$ : $k=3$ , $p=4$ , $\dim\ker=1$

le système est HOMOGÈNE, le second membre est toujours nul
Si un MÉLANGE ou une répartition de masses → 1 équation par grandeur conservée (masse totale, masse de soluté) plus 1 par condition imposée par l'énoncé

Exemple : trois solutions mères, une masse cible, un protocole : $3$ équations pour $3$ inconnues

« deux fois plus de la solution à $20\ \%$ » est une contrainte, pas une donnée

Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'objet n'a pas été identifié : demandez-vous d'abord si l'énoncé parle d'un point, d'un solide, d'un réseau ou d'une conservation.

L'échelonnement est fini : que dire ?

On regarde la matrice augmentée échelonnée, on compte les pivots, et on lit la dernière ligne non nulle.

Si autant de pivots que d'inconnues → solution unique : on remonte, puis on vérifie le SIGNE de chaque composante

Exemple : $3$ pivots, $3$ inconnues : $I_{1}=1{,}50$ A, $I_{2}=2{,}25$ A, $I_{3}=0{,}75$ A
Si moins de pivots que d'inconnues, les deux rangs égaux → infinité de solutions : paramétrer par les inconnues libres, PUIS restreindre par les contraintes de signe

Exemple : $(3t-300;\ 900-4t;\ t)$ avec $t\in[100\,;225]$ , un segment et non une droite

en chimie, le paramètre libre est l'échelle de la réaction et se choisit entier minimal
Si une ligne $[0\ \cdots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq 0$ → système incompatible : nommer l'hypothèse de l'énoncé qui est fausse

Exemple : $0=200$ pour deux câbles horizontaux : aucune composante verticale disponible
Si le système est compatible mais une composante obligatoirement positive sort négative → aucune solution ADMISSIBLE : conclure sur le domaine physique, pas sur le rang

Exemple : $600$ g à $60\ \%$ avec des solutions mères à $50\ \%$ au plus

un courant ou une réaction articulaire négatifs sont en revanche admissibles : ils inversent un sens

Une seule chose est interdite ici : recommencer l'échelonnement parce que le résultat déplait. Une ligne $0=c$ se vérifie une fois, puis se commente.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Mettre un énoncé de sciences en système linéaire

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé décrit une situation physique ou chimique et demande des grandeurs numériques, même si le mot « système » n'apparaît nulle part.

1 Déclarer les inconnues, avec la lettre, la grandeur, l'unité et le sens ou l'orientation choisis. Une ligne, en français.
2 Poser le repère ou la convention : axes $x$ et $y$ , sens positif des courants, ordre des espèces en colonnes.
3 Énumérer les CONTRAINTES avant de les traduire, et les compter à voix haute : « deux projections », « une conservation par élément plus la charge », « un nœud et deux mailles ».
4 Traduire chaque contrainte en une équation, dans l'ordre de l'énumération, puis ranger les coefficients dans $[A\,|\,B]$ en respectant l'ordre des colonnes annoncé.
5 Échelonner, annoncer $\operatorname{rang}(A)$ et $\operatorname{rang}([A\,|\,B])$ , conclure par Rouché, puis résoudre.
6 Vérifier le domaine physique de chaque composante, et commenter tout signe négatif.

Phrase de conclusion

« Les inconnues sont $T$ , $R_{x}$ et $R_{y}$ , en newtons. L'équilibre d'un solide dans le plan fournit trois contraintes : deux projections et une équation des moments. Le système obtenu vérifie $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\,|\,B])=3$ , égal au nombre d'inconnues, donc la solution existe et elle est unique. »

Le piège : L'étape 3. Presque tout le monde traduit les contraintes une par une en les découvrant, et s'aperçoit trop tard qu'il en manque une ou qu'il en a écrit deux fois la même.

Barème : Typiquement 1 point pour les inconnues et la convention, 1 point par équation correcte, 1 point pour la lecture du rang, 1 point pour la conclusion physique.

Conclure sur un système qui n'a pas de solution unique

Quand l'utiliser : Dès que l'échelonnement produit une ligne nulle ou une ligne $[0\ \cdots\ 0\,|\,c]$ . C'est presque toujours la dernière question, et c'est celle qui vaut le plus.

1 Donner les deux rangs explicitement, celui de $A$ et celui de $[A\,|\,B]$ , et citer le théorème de compatibilité de Rouché par son nom.
2 Dire de quel cas il s'agit : infinité de solutions avec $n-\operatorname{rang}$ paramètres, ou aucune solution.
3 Traduire en PHYSIQUE : quelle contrainte manque, ou quelle hypothèse de l'énoncé ne peut pas être vraie.
4 Si le système est compatible, paramétrer puis restreindre le paramètre par les contraintes de signe, et donner l'intervalle admissible.

Phrase de conclusion

« $\operatorname{rang}(A)=1$ et $\operatorname{rang}([A\,|\,B])=2$ : les deux rangs diffèrent, donc par le théorème de compatibilité le système n'a aucune solution. Physiquement, deux câbles horizontaux n'ont aucune composante verticale : aucune tension, si grande soit-elle, ne peut équilibrer le poids. La situation décrite est impossible. »

Le piège : S'arrêter à « incompatible ». Le mot mathématique ne rapporte qu'un point sur trois : la question demandait ce que cela signifie pour le dispositif.

Barème : En général 1 point pour les deux rangs, 1 point pour la conclusion mathématique, 1 point pour l'interprétation physique.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter dans les équations de DÉPART

Reprendre les équations telles qu'elles ont été écrites à l'étape 4, pas la matrice échelonnée, et y remplacer les valeurs trouvées. Une erreur de pivot se voit immédiatement ; une erreur de MISE EN ÉQUATION, elle, ne se verrait jamais sur la forme échelonnée.

Maille de gauche : $3\times 1{,}50+6\times 2{,}25=4{,}5+13{,}5=18$ , la tension de la source. Maille de droite : $6\times 2{,}25+2\times 0{,}75=15$ . Si l'une des deux ne tombe pas juste, c'est la ligne qui est fausse, pas le calcul.
Le contrôle de signe, grandeur par grandeur

Parcourir la réponse et demander, pour chaque composante, si le négatif a un sens. Masse, concentration, longueur, intensité de tension de câble : non, il y a une erreur. Courant, réaction d'appui, composante de force : oui, le sens supposé était l'inverse, et il faut l'ÉCRIRE.

$R_{y}=-150$ N n'est pas une faute : l'articulation pousse le bras vers le bas, parce que le deltooïde tire déjà plus fort vers le haut que le poids total. Une masse de $-80$ g, elle, est une faute.
Le compte des pivots avant de rendre

Relire l'en-tête de la copie : combien d'inconnues déclarées, combien de pivots trouvés. Les deux nombres doivent être égaux, ou la réponse doit contenir un paramètre. Une réponse unique sortie d'un système de rang $2$ à trois inconnues est fausse par construction.

Trois inconnues et deux pivots, mais une réponse chiffrée unique sur la copie : une contrainte a été utilisée mentalement sans être écrite, et le correcteur ne peut pas la deviner.
L'ordre de grandeur et l'enveloppe convexe

Confronter le résultat à la géométrie. Un centre de masse doit tomber DANS le polygone des points ; une tension musculaire doit être grande devant la charge quand le bras de levier est court ; un pourcentage de mélange ne peut pas dépasser celui de la solution la plus concentrée.

Masses $2$ , $3$ et $5$ kg en $(0;0)$ , $(8;0)$ et $(4;5)$ : $G(4{,}4;\ 2{,}5)$ est bien dans le triangle, et les coefficients $0{,}2$ , $0{,}3$ et $0{,}5$ ont pour somme $1$ . Un $G$ d'ordonnée $6$ aurait été impossible.

L'exercice type décortiqué

Le bras tendu : trois inconnues, trois contraintes, et le choix du point

Un bras tendu à l'horizontale tient une charge de $50$ N dans la main, à $0{,}55$ m de l'articulation de l'épaule. Le bras lui-même pèse $32$ N, son centre de gravité étant à $0{,}30$ m de l'articulation. Le deltooïde s'insère à $0{,}16$ m de l'articulation et tire vers le haut et vers l'épaule, selon une direction faisant $16^{\circ}$ avec l'os.

Origine à l'articulation, axe $x$ le long du bras vers la main, axe $y$ vers le haut. Déterminer la tension $T$ du deltooïde et les deux composantes $R_{x}$ et $R_{y}$ de la force exercée par l'articulation sur le bras.

Les trois distances partent toutes de l'articulation

O

, jamais l'une de l'autre, et l'angle de

16^{\circ}

est celui de la tension avec l'OS, pas avec la verticale.

Étape 1

Inconnues : $T$ la tension du deltooïde, $R_{x}$ et $R_{y}$ les composantes de la réaction articulaire, les trois en newtons. Le bras est un SOLIDE, donc l'équilibre dans le plan fournit trois contraintes : deux projections et une équation des moments.

Pourquoi

C'est l'étape qui décide de tout le reste. Trois inconnues et trois contraintes annoncent dès la première ligne qu'on vise une solution unique. Un point matériel n'en aurait donné que deux, et le système serait resté sous-déterminé sans qu'on comprenne pourquoi.

Étape 2

La tension est portée par $(-\cos 16^{\circ};\ \sin 16^{\circ})$ , le poids du bras vaut $(0;\ -32)$ et la charge $(0;\ -50)$ . Projection sur $x$ : $-T\cos 16^{\circ}+R_{x}=0$ . Projection sur $y$ : $T\sin 16^{\circ}+R_{y}-32-50=0$ , soit $T\sin 16^{\circ}+R_{y}=82$ .

Pourquoi

Le signe moins vient du fait que le deltooïde tire vers l'ÉPAULE, donc dans le sens des $x$ décroissants. Écrire les composantes AVANT de projeter évite l'erreur de signe la plus coûteuse du chapitre.

Étape 3

Moments pris à l'ARTICULATION : $\vec{R}$ y est appliquée, donc son moment est nul ; la composante $-T\cos 16^{\circ}$ est portée par l'axe $x$ qui passe par l'origine, donc elle ne donne rien non plus. Il reste $0{,}16\,T\sin 16^{\circ}-0{,}30\times 32-0{,}55\times 50=0$ , soit $0{,}16\,T\sin 16^{\circ}=9{,}6+27{,}5=37{,}1$ .

Pourquoi

Le point n'est pas choisi au hasard : à l'articulation, DEUX inconnues disparaissent d'un coup et la ligne isole $T$ . C'est un choix de pivot fait à l'avance, et c'est ce qui transforme un système $3\times 3$ en trois calculs successifs.

Étape 4

$A=\begin{pmatrix} -\cos 16^{\circ} & 1 & 0 \\ \sin 16^{\circ} & 0 & 1 \\ 0{,}16\sin 16^{\circ} & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , et en développant selon la troisième ligne, $\det A=0{,}16\sin 16^{\circ}\approx 0{,}0441\neq 0$ : $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\,|\,B])=3$ , égal au nombre d'inconnues, donc la solution est unique.

Pourquoi

Sur une matrice carrée, le déterminant répond à la question du rang en une ligne. La troisième ligne n'ayant qu'un terme non nul, le développement se fait de tête : chercher un zéro avant de développer vaut toujours mieux que dérouler la règle de Sarrus.

Étape 5

$T\sin 16^{\circ}=\dfrac{37{,}1}{0{,}16}=231{,}875$ N, donc $T=\dfrac{231{,}875}{\sin 16^{\circ}}\approx 841$ N. Puis $R_{x}=T\cos 16^{\circ}\approx 809$ N et $R_{y}=82-231{,}875\approx -150$ N.

Pourquoi

On remonte dans l'ordre inverse de l'échelonnement, chaque ligne ne contenant plus qu'une inconnue nouvelle. Garder $T\sin 16^{\circ}$ comme bloc jusqu'au bout évite deux arrondis successifs sur la même quantité.

Étape 6

Contrôles. Signe : $R_{y}<0$ est admissible, l'articulation POUSSE le bras vers le bas. Norme : $\|\vec{R}\|=\sqrt{809^{2}+150^{2}}\approx 822$ N, environ $16$ fois la charge tenue. Moments à l'insertion, pour vérifier : $-0{,}16\,R_{y}-0{,}14\times 32-0{,}39\times 50=0$ donne $-0{,}16\,R_{y}=4{,}48+19{,}5=23{,}98$ , soit $R_{y}\approx -150$ N.

Pourquoi

Le troisième contrôle est le plus instructif : il redonne $R_{y}$ mais n'apporte aucun rang, puisque cette ligne est une combinaison linéaire des trois précédentes. Elle sert donc de vérification, jamais de quatrième contrainte.

Conclusion rédigée

« Les trois inconnues sont $T$ , $R_{x}$ et $R_{y}$ , en newtons, et l'équilibre du solide fournit exactement trois contraintes. Le déterminant du système vaut $0{,}16\sin 16^{\circ}\approx 0{,}0441\neq 0$ , donc la solution est unique : $T\approx 841$ N, $R_{x}\approx 809$ N et $R_{y}\approx -150$ N. Le signe négatif de $R_{y}$ signifie que l'articulation pousse le bras vers le bas, le deltooïde tirant déjà plus fort vers le haut que le poids total. La force articulaire, de norme $822$ N environ, vaut plus de seize fois la charge tenue. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre les moments à l'insertion du deltooïde DÈS le début, puis les reprendre à l'articulation en croyant obtenir une quatrième contrainte. Les deux lignes sont équivalentes modulo les projections, le rang reste $3$ , et l'échelonnement produit une ligne entièrement nulle qui fait croire à une erreur de calcul.

À savoir par cœur

• Trois gestes, jamais deux : NOMMER les inconnues, COMPTER les contraintes, RANGER dans $[A\,|\,B]$ .
• Rouché : il y a des solutions si et seulement si $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\,|\,B])$ , et elles sont uniques quand ce rang commun ÉGALE le nombre d'inconnues.
• Point dans le plan : $2$ contraintes. Solide dans le plan : $3$ contraintes, deux de résultante et une de moment. Un moment pris ailleurs n'ajoute JAMAIS de rang.
• Circuit à $n$ nœuds : $n-1$ lois des nœuds indépendantes, la somme de toutes valant $0=0$ .
• $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$ garde la part PARALLÈLE ; $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$ garde la part PERPENDICULAIRE. Là où l'un s'annule, l'autre est maximal.
• Équilibrage : espèces en colonnes, éléments en lignes, second membre nul, et $\dim\ker A=p-\operatorname{rang}(A)$ . $\dim\ker=1$ , réaction bien posée ; $\dim\ker=2$ , la CHARGE a été oubliée.
• Projection orthogonale : $\vec{F_{\parallel}}=\dfrac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|^{2}}\,\vec{d}$ , avec $\|\vec{d}\|^{2}$ au dénominateur et jamais $\|\vec{d}\|$ .
• Le rang décide de la COMPATIBILITÉ, le signe décide de l'ADMISSIBILITÉ. Les deux contrôles sont obligatoires.

Questions fréquentes

Comment transformer un problème de physique en système linéaire ?

Trois gestes, toujours dans cet ordre. On nomme une inconnue par grandeur que l'énoncé ne donne pas, avec son unité et son sens. On écrit ensuite une équation par contrainte : une par axe de projection en mécanique, une par grandeur conservée en chimie, un nœud et une maille indépendante en électricité. On range enfin les coefficients dans une matrice augmentée, une colonne par inconnue.

Que signifie un système sans solution dans un problème de sciences ?

Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une réponse. Quand le rang de la matrice des coefficients est plus petit que celui de la matrice augmentée, une ligne dit zéro égale une constante non nulle : la situation décrite est physiquement impossible. Il faut alors nommer l'hypothèse fausse, par exemple des câbles horizontaux qui n'ont aucune composante verticale, au lieu de recommencer l'échelonnement.

Combien de lois des nœuds faut-il écrire dans un circuit ?

Exactement une de moins que le nombre de nœuds. La somme de toutes les lois des nœuds d'un circuit est l'identité zéro égale zéro, puisque chaque courant de branche quitte un nœud et arrive dans un autre. La dernière ligne est donc une combinaison des précédentes et n'apporte aucun rang. On complète avec des lois des mailles indépendantes jusqu'à avoir autant de pivots que d'inconnues.

Pourquoi une équation redox ne s'équilibre pas sans la conservation de la charge ?

Parce que les conservations d'éléments seules laissent une dimension de noyau de deux au lieu de un. Deux paramètres libres veulent dire que deux réactions indépendantes conservent tous les atomes, et aucune des deux n'est celle que l'on cherche. La charge est une grandeur conservée au même titre qu'un élément : elle s'ajoute comme une ligne, le rang monte d'un cran et l'équation redevient déterminée.

Quelle différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel en mécanique ?

Ils sélectionnent des parts complémentaires de la même force. Le travail est un produit scalaire, donc un nombre, et seule la composante parallèle au déplacement compte : la composante perpendiculaire donne un travail exactement nul. Le moment est un produit vectoriel, donc un vecteur, et c'est l'inverse : seule la composante perpendiculaire au bras fait tourner. Là où l'un s'annule, l'autre est maximal.

Un système peut-il être compatible sans avoir de solution utilisable ?

Oui, et c'est la question qui sépare les copies. L'échelonnement ne connaît aucune contrainte de signe : il peut livrer une droite de solutions dont aucune n'a toutes ses composantes positives. Une masse ou une concentration négative n'existe pas, donc il faut restreindre le paramètre libre au domaine physique, puis vérifier que l'intervalle obtenu n'est pas vide.

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Exercices corrigés : Applications aux sciences de la nature

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
225 minutes

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