Exercices corrigés : les situations-problèmes en math SN5

a) La grandeur cherchée est un NOMBRE DE MINUTES, plus précisément le seuil à partir duquel le second forfait devient le moins cher. La question « conseillez un client » n'est pas une question mathématique tant qu'on ne l'a pas traduite, et c'est au candidat de le faire. La réponse finale ne sera d'ailleurs pas un nombre seul mais un conseil : en dessous de tant de minutes, prendre A ; au-delà, prendre B. Une copie qui donne le seuil sans conclure sur le conseil perd des points de communication.

b) La grandeur cherchée est un VOLUME D'EAU à ajouter, en litres. L'énoncé ne le dit nulle part : il faut comprendre que « le bassin en contient trop » et que la seule action possible sans retirer de chlore est de DILUER. C'est l'étape de compréhension, et c'est là que la plupart des copies s'égarent, en cherchant à calculer une concentration alors qu'on la connaît déjà.

c) La grandeur cherchée est la HAUTEUR du ballon à l'abscisse $20$ m, en mètres. La réponse attendue n'est pas ce nombre mais un OUI ou un NON justifié par comparaison avec les $4$ m du mur. C'est une nuance de rédaction qui compte : le calcul produit $5{,}5$ m, la réponse est « oui, le ballon passe, avec $1{,}5$ m de marge ».

d) Parce que la compétence évaluée n'est pas de calculer mais de MODÉLISER. Dans la vie professionnelle comme dans la grille du Ministère, personne ne reçoit un énoncé découpé en questions a), b), c) : on reçoit une situation et un objectif, et le travail consiste précisément à construire les étapes intermédiaires que l'exercice guidé fournissait gratuitement.

C'est aussi ce qui rend le format redoutable et pourtant très payant à travailler. Redoutable, parce qu'une copie qui ne franchit pas l'étape de traduction reste blanche. Payant, parce que la démarche est notée séparément du résultat : identifier correctement la grandeur cherchée et poser le bon modèle rapporte des points même si le calcul final échoue. Le réflexe à installer est d'écrire, avant tout calcul, une phrase du type « je cherche le volume d'eau à ajouter, en litres, pour que la concentration descende à $3{,}0$ mg/L ».

a) « Je cherche le nombre de minutes $t$ à partir duquel le forfait B coûte moins cher que le forfait A. » La phrase nomme la grandeur, lui donne une lettre et une unité, et énonce la condition. Elle prend trente secondes et vaut des points à elle seule dans la grille du Ministère, au critère de compréhension de la situation.

b) Le forfait B est le plus simple : $C_{B}(t)=45$, une constante, puisque rien ne dépend de la consommation. Le forfait A est défini PAR PARTIES, car la facturation change de règle à $300$ minutes : $C_{A}(t)=25$ si $0\leq t\leq 300$, et $C_{A}(t)=25+0{,}08(t-300)$ si $t>300$. Le point délicat est le $(t-300)$ : on ne facture que les minutes EXCÉDENTAIRES, et écrire $25+0{,}08t$ ferait payer les trois cents minutes incluses.

c) On cherche l'égalité des deux coûts, en se plaçant nécessairement dans la seconde branche puisque $25<45$ tant qu'on reste sous $300$ minutes. On résout $25+0{,}08(t-300)=45$, donc $0{,}08(t-300)=20$, puis $t-300=\frac{20}{0{,}08}=250$ et $t=550$ minutes. En dessous de $550$ minutes le forfait A est moins cher, au-delà c'est B.

d) Validation par trois points de contrôle, ce que la grille appelle la validation des étapes. À $t=550$ : $C_{A}=25+0{,}08\times 250=45$ dollars, égal à $C_{B}$ ✓, le seuil est bien un point d'égalité. À $t=500$, en dessous du seuil : $C_{A}=25+0{,}08\times 200=41$ dollars, moins que $45$ ✓, A est bien avantageux. À $t=600$, au-dessus : $C_{A}=25+0{,}08\times 300=49$ dollars, plus que $45$ ✓, B l'emporte.

Communication, et c'est la cinquième étape qu'on oublie le plus : « Si le client parle moins de $550$ minutes par mois, soit environ $9$ heures, le forfait A est le plus économique. Au-delà de $550$ minutes, le forfait B devient avantageux et le reste quelle que soit la consommation, puisqu'il est illimité. Comme le client dit parler beaucoup, on lui conseille le forfait B. » La réponse revient à la question posée, en français, et tranche. Un nombre encadré ne suffit jamais.

a) Il faut d'abord uniformiser les unités : $200$ g $=200\,000$ mg. La concentration vaut $C=\frac{200\,000}{50\,000}=4{,}0$ mg/L. La norme plafonne à $3{,}0$ mg/L, donc la concentration est TROP ÉLEVÉE et le bassin n'est pas conforme. La conversion des grammes en milligrammes est le seul vrai piège de la question, et l'oublier donne $0{,}004$, une valeur qui semblerait au contraire trop faible et enverrait toute la suite dans la mauvaise direction.

b) Sont inutiles : les dimensions $25$ m sur $10$ m, les horaires d'ouverture et la fréquence hebdomadaire. Les dimensions sont particulièrement tentantes, car elles invitent à calculer une aire ou un volume, mais le volume d'eau est DÉJÀ donné, à $50\,000$ L. Un candidat qui calcule $25\times 10=250$ m$^{2}$ puis cherche une profondeur perd du temps et introduit une donnée qu'il devra inventer. La règle vue plus haut s'applique : on écrit la relation, ici concentration égale masse divisée par volume, puis on ne prélève QUE ce qui y figure.

c) Non, aucune. Tout ce qu'il faut est présent : la masse de chlore, le volume d'eau et les deux bornes de la norme. C'est une réponse qu'il faut oser écrire, car les candidats supposent souvent qu'une donnée manque lorsqu'ils ne voient pas comment démarrer. Vérifier explicitement que l'énoncé est complet fait partie de l'étape de tri.

d) Ajouter de l'eau pure augmente le volume sans changer la masse de chlore, qui reste $200\,000$ mg. Donc $C(x)=\frac{200\,000}{50\,000+x}$, avec $x$ en litres et $C$ en mg/L. C'est une fonction RATIONNELLE, du type homographique, décroissante sur le domaine considéré et d'asymptote horizontale $y=0$.

Cette asymptote a un sens concret qu'il faut savoir énoncer : en ajoutant de l'eau, on peut faire descendre la concentration aussi bas qu'on veut, mais jamais jusqu'à zéro, puisque les $200$ g de chlore restent dans le bassin. Diluer n'est pas retirer. Le modèle est donc cohérent avec la situation physique, et c'est ce genre de remarque qui distingue une copie de haut niveau.

a) Fonction AFFINE. Le mot décisif est « chaque année » associé à un montant FIXE de $40$ dollars : c'est une même quantité ajoutée à chaque pas, donc des DIFFÉRENCES constantes, ce qui caractérise l'affine. La règle s'écrit $L(t)=L_{0}+40t$.

b) Fonction EXPONENTIELLE. Le mot décisif est « pour cent » : trois pour cent d'une grande population représentent plus d'individus que trois pour cent d'une petite, donc la quantité ajoutée n'est pas constante. Ce sont les RAPPORTS qui le sont, chaque année valant $1{,}03$ fois la précédente, et la règle s'écrit $P(t)=P_{0}\times 1{,}03^{t}$. C'est la distinction la plus rentable de tout le chapitre : un montant fixe donne une affine, un POURCENTAGE donne une exponentielle.

c) Fonction RATIONNELLE. Deux indices se combinent. D'abord la décroissance avec une valeur PLANCHER jamais atteinte, ce qui est exactement une asymptote horizontale. Ensuite le contexte économique du coût unitaire, qui répartit un coût fixe sur un nombre croissant d'unités. La règle est du type $c(n)=\frac{a}{n}+2$, où le $2$ est le coût variable incompressible et $\frac{a}{n}$ le coût fixe dilué.

d) Fonction SINUSOÏDALE. Le mot décisif est « le cycle se répète » : seule une fonction périodique revient à sa valeur de départ et recommence indéfiniment. La période de $12$ heures donne directement $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$. Aucune autre famille du programme n'a cette propriété, une exponentielle ou une rationnelle étant monotones sur chaque intervalle.

e) Fonction PARTIE ENTIÈRE, en escalier. Le mot décisif est « par tranche entamée » : le tarif ne varie pas continûment mais saute d'un coup au franchissement de chaque demi-heure. Trente-et-une minutes coûtent le même prix que cinquante-neuf. Attention au mot ENTAMÉE, qui impose un arrondi vers le HAUT et donc des paliers fermés à droite.

Résumé du décodage, à connaître pour l'examen : montant fixe ajouté à chaque pas donne l'affine ; pourcentage donne l'exponentielle ; valeur plancher ou plafond jamais atteinte donne la rationnelle ; cycle qui se répète donne la sinusoïdale ; tranche entamée donne l'escalier ; et un maximum ou un minimum atteint puis quitté donne la quadratique. Chercher ces mots-clés dans l'énoncé AVANT de calculer est ce qui fait gagner le plus de temps.

a) CONTRÔLE PAR SUBSTITUTION. Il suffit de reporter $t=250$ dans les deux modèles. À $250$ minutes, on est encore dans les $300$ minutes incluses, donc $C_{A}=25$ dollars, contre $45$ pour B : les deux coûts sont très loin de s'égaler. L'erreur est identifiable : l'élève a résolu $0{,}08(t-300)=20$ et s'est arrêté à $t-300=250$ en oubliant d'ajouter $300$. C'est une erreur d'étape finale, la plus fréquente et la plus facile à attraper, et une seule substitution la révèle.

b) CONTRÔLE DU SIGNE ET DU SENS. Un volume d'eau à ajouter ne peut pas être négatif. Le résultat est donc rejeté d'emblée, sans vérifier le calcul. L'erreur vient probablement d'une inéquation retournée ou d'une soustraction inversée. Notez que ce contrôle ne demande aucune connaissance du problème : il suffit de se rappeler ce que la grandeur REPRÉSENTE, et une longueur, une masse, une durée, un effectif ou un volume ajouté sont positifs.

c) CONTRÔLE DE L'ORDRE DE GRANDEUR ET DU SENS DE VARIATION. On partait de $4{,}0$ mg/L et l'on ajoute de l'eau pure, donc la concentration doit DIMINUER. Trouver $4000$ mg/L, mille fois plus, est doublement absurde : le sens est inversé et l'ordre de grandeur est aberrant. L'erreur est très probablement une conversion, des grammes laissés en grammes au numérateur ou un volume en millilitres. Ce contrôle attrape toutes les erreurs d'unité, qui sont les plus coûteuses parce que le reste du raisonnement est souvent correct.

d) CONTRÔLE DE LA COMMUNICATION. Il manque trois choses. L'UNITÉ d'abord : $550$ quoi, des minutes, des dollars, des mois ? Le SENS ensuite : le nombre est un seuil, mais dans quel sens, faut-il être au-dessus ou en dessous pour que B soit avantageux ? La RÉPONSE À LA QUESTION enfin : l'énoncé demandait de conseiller un client, pas de calculer un nombre.

Une rédaction complète serait : « au-delà de $550$ minutes par mois, le forfait B devient le moins cher ; comme le client parle beaucoup, je lui conseille le forfait B ». Dans la grille du Ministère, la communication est un critère distinct, et une copie dont tous les calculs sont justes mais qui s'arrête sur un nombre nu n'obtient pas la note maximale. Résumé des quatre contrôles : SUBSTITUER dans l'énoncé de départ, vérifier le SIGNE, vérifier l'ORDRE DE GRANDEUR et le sens de variation, et RÉPONDRE en français à la question posée.

a) La concentration après ajout de $x$ litres est $C(x)=\frac{200\,000}{50\,000+x}$, en mg/L, établie à l'exercice 3. La norme s'écrit $1{,}0\leq C(x)\leq 3{,}0$, un encadrement qu'on traite comme DEUX inéquations séparées, ce qui est plus sûr que de manipuler les trois membres à la fois.

Première inéquation, $C(x)\leq 3{,}0$ : $\frac{200\,000}{50\,000+x}\leq 3{,}0$. Le dénominateur est strictement positif puisque $x\geq 0$, on peut donc multiplier sans renverser : $200\,000\leq 3{,}0\,(50\,000+x)$, soit $200\,000\leq 150\,000+3x$, donc $3x\geq 50\,000$ et $x\geq 16\,666{,}7$ L. Seconde inéquation, $C(x)\geq 1{,}0$ : $200\,000\geq 50\,000+x$, donc $x\leq 150\,000$ L.

b) En combinant, les volumes acceptables sont ceux de l'intervalle $\left[16\,667\ ;\ 150\,000\right]$ litres, en arrondissant la borne basse au litre supérieur puisqu'il faut ATTEINDRE la conformité. Notez le sens de chaque borne : la borne basse vient du plafond de $3{,}0$ mg/L, car il faut diluer assez ; la borne haute vient du plancher de $1{,}0$ mg/L, car trop diluer rendrait l'eau insuffisamment désinfectée. Les deux contraintes tirent en sens opposés, ce qui est la structure même de cette situation.

c) La réserve n'est que de $100\,000$ L, ce qui restreint le choix à $\left[16\,667\ ;\ 100\,000\right]$. Cet intervalle n'est pas vide, donc OUI, le gestionnaire peut rendre le bassin conforme, et il dispose même d'une large marge de manœuvre : tout ajout compris entre environ $16\,700$ L et $100\,000$ L convient. En pratique on lui conseillera de viser le milieu de la plage plutôt qu'une borne, par exemple $50\,000$ L, ce qui donne une concentration de $2{,}0$ mg/L, bien centrée dans la norme et donc robuste à une petite erreur de dosage.

d) Validation aux deux bornes. À $x=16\,667$ L : $C=\frac{200\,000}{66\,667}\approx 3{,}00$ mg/L ✓, on est exactement au plafond. À $x=150\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{200\,000}=1{,}00$ mg/L ✓, exactement au plancher. Contrôle supplémentaire à l'intérieur, à $x=50\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{100\,000}=2{,}00$ mg/L, bien compris entre $1$ et $3$ ✓. Et contrôle à l'extérieur, à $x=10\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{60\,000}\approx 3{,}33$ mg/L, supérieur au plafond ✓, donc non conforme comme prévu. Les quatre points confirment l'intervalle.

a) Le point de frappe correspond à $x=0$ : $h(0)=1{,}5$ m. C'est le terme constant de la règle, lisible sans calcul. Le ballon n'est donc pas frappé au ras du sol mais à hauteur de hanche, ce qui est cohérent avec une frappe de volée.

b) On évalue la hauteur à l'abscisse du mur : $h(20)=-0{,}05\times 400+1{,}2\times 20+1{,}5=-20+24+1{,}5=5{,}5$ m. Le mur mesure $4$ m, et $5{,}5>4$, donc OUI, le ballon franchit le mur, avec une marge de $5{,}5-4=1{,}5$ m. La réponse doit être formulée ainsi, avec la comparaison explicite et la marge : donner $5{,}5$ m sans conclure ne répond pas à la question posée.

c) Le sommet d'une parabole d'équation $ax^{2}+bx+c$ se trouve en $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1{,}2}{2\times(-0{,}05)}=-\frac{1{,}2}{-0{,}1}=12$ m. La hauteur y vaut $h(12)=-0{,}05\times 144+1{,}2\times 12+1{,}5=-7{,}2+14{,}4+1{,}5=8{,}7$ m. Comme $a=-0{,}05<0$, la parabole est ouverte vers le bas et il s'agit bien d'un MAXIMUM. Le ballon culmine donc à $8{,}7$ m, à $12$ m du point de frappe, soit avant le mur, ce qui est cohérent avec le fait qu'il redescende déjà en l'atteignant.

d) Le ballon touche le sol quand $h(x)=0$ : $-0{,}05x^{2}+1{,}2x+1{,}5=0$. On multiplie par $-20$ pour simplifier les coefficients : $x^{2}-24x-30=0$. Discriminant : $\Delta=(-24)^{2}-4\times 1\times(-30)=576+120=696$, dont la racine vaut environ $26{,}38$. Les solutions sont $x=\frac{24\pm 26{,}38}{2}$, soit $x\approx 25{,}19$ m et $x\approx -1{,}19$ m. On REJETTE la racine négative, qui correspondrait à un point situé derrière le frappeur, hors du domaine physique.

Le ballon retombe donc à environ $25{,}2$ m du point de frappe. Validation d'ensemble : le sommet à $12$ m est bien situé entre le départ à $0$ m et la chute à $25{,}2$ m, et il en est presque à mi-chemin, ce qui est attendu puisque la parabole est symétrique ; le léger décalage vient de ce que le ballon part de $1{,}5$ m et non de zéro, donc il vole un peu plus longtemps après le sommet qu'avant. Réponse rédigée : « le ballon passe le mur avec $1{,}5$ m de marge, culmine à $8{,}7$ m après $12$ m de course, et retombe à $25{,}2$ m du point de frappe ».

a) L'énoncé donne une augmentation en POUR CENT, donc les rapports successifs sont constants et la famille est EXPONENTIELLE, conformément au décodage de l'exercice 4. Chaque année, la population est multipliée par $1+0{,}12=1{,}12$. Le modèle est $P(t)=500\times(1{,}12)^{t}$, où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis l'ensemencement et $P$ un nombre de truites. Contrôle : $P(0)=500$ ✓, l'effectif initial est bien retrouvé.

b) On résout $500\times(1{,}12)^{t}=5000$, donc $(1{,}12)^{t}=\frac{5000}{500}=10$. La valeur $10$ n'étant pas une puissance simple de $1{,}12$, on passe au logarithme : $t\ln(1{,}12)=\ln(10)$, d'où $t=\frac{\ln 10}{\ln 1{,}12}=\frac{2{,}3026}{0{,}1133}\approx 20{,}3$ années. La capacité sera donc atteinte au cours de la vingt-et-unième année.

c) Encadrement à l'année près, qui est la validation attendue : $P(20)=500\times(1{,}12)^{20}\approx 500\times 9{,}646\approx 4823$ truites, encore sous la capacité ✓ ; $P(21)=500\times(1{,}12)^{21}\approx 500\times 10{,}804\approx 5402$ truites, au-dessus ✓. Le seuil est donc bien franchi entre la vingtième et la vingt-et-unième année, ce qui confirme les $20{,}3$ ans. Cet encadrement vaut mieux qu'une simple vérification, car il prouve l'unicité du moment de franchissement, la fonction étant strictement croissante.

d) Un prélèvement annuel de $200$ truites change la NATURE du modèle : la population n'est plus multipliée par un facteur constant, elle est multipliée puis diminuée d'un nombre fixe, ce qui donne une relation de la forme $P_{n+1}=1{,}12\,P_{n}-200$. Ce n'est plus une exponentielle pure et la formule explicite sort du cadre du programme, mais on peut raisonner qualitativement, et c'est ce que la question demande.

Le point clé est de comparer la croissance annuelle au prélèvement. La première année, la croissance est de $12$ pour cent de $500$, soit $60$ truites, ce qui est INFÉRIEUR aux $200$ prélevées : la population diminuerait. Mais la croissance étant proportionnelle à l'effectif, elle atteint $200$ truites lorsque $0{,}12\,P=200$, soit $P\approx 1667$. En dessous de ce seuil la population décline jusqu'à disparaître, au-dessus elle croît encore. Comme on part de $500$, très en dessous de $1667$, le prélèvement de $200$ ne retarderait pas l'échéance : il ÉTEINDRAIT la population. La réponse au ministère est donc qu'un tel prélèvement est excessif, et qu'il faudrait attendre que la population dépasse environ $1700$ truites avant d'en retirer $200$ par an.

a) Déneige-Tout facture un montant fixe plus un montant par sortie, sans palier : c'est une fonction AFFINE, $D(n)=300+45n$. Neige-Express change de règle à vingt sorties, c'est donc une fonction DÉFINIE PAR PARTIES : $N(n)=600$ si $0\leq n\leq 20$, et $N(n)=600+25(n-20)$ si $n>20$. Le $(n-20)$ traduit que seules les sorties AU-DELÀ de la vingtième sont facturées ; écrire $600+25n$ ferait payer deux fois les vingt sorties comprises.

b) Pour $18$ sorties : $D(18)=300+45\times 18=300+810=1110$ dollars, contre $N(18)=600$ dollars, puisqu'on reste dans le forfait. Neige-Express est nettement moins chère. Pour $27$ sorties : $D(27)=300+45\times 27=300+1215=1515$ dollars, contre $N(27)=600+25\times 7=600+175=775$ dollars. Neige-Express est encore moins chère, et l'écart s'est même creusé.

c) Les deux calculs de b) suggèrent que Neige-Express l'emporte partout, mais il faut le vérifier sur le début du domaine, là où Déneige-Tout est peu coûteux. On résout $D(n)=N(n)$ dans la première branche : $300+45n=600$ donne $45n=300$, soit $n\approx 6{,}67$. En dessous de sept sorties, Déneige-Tout est moins cher ; au-delà, Neige-Express l'est. Comme le nombre de sorties est entier, le basculement se fait à $n=7$ : $D(6)=570$ contre $600$, Déneige-Tout gagne ; $D(7)=615$ contre $600$, Neige-Express gagne.

d) Le conseil doit intégrer l'incertitude, puisque le nombre de sorties de la saison à venir est inconnu. Les deux années observées, $18$ et $27$ sorties, sont toutes deux très au-dessus du seuil de sept. Il faudrait un hiver exceptionnellement doux, avec moins de sept sorties, pour que Déneige-Tout redevienne intéressante, ce qui n'est jamais arrivé sur les deux années connues.

On conseille donc NEIGE-EXPRESS. On peut chiffrer l'enjeu pour appuyer le conseil : sur les deux hivers observés, elle aurait fait économiser $1110-600=510$ dollars la première année et $1515-775=740$ dollars la seconde, soit $1250$ dollars sur deux ans. Le risque de se tromper est faible et son coût est borné : même dans le pire cas plausible, un hiver à cinq sorties, Neige-Express coûterait $600$ dollars contre $525$, soit $75$ dollars de plus seulement. Un bon conseil compare donc le gain espéré au risque encouru, et pas seulement les deux courbes.

a) Les quatre critères sont : la manifestation d'une COMPRÉHENSION de la situation, ce qui passe par la reformulation et l'identification de la grandeur cherchée ; la MOBILISATION de savoirs mathématiques appropriés, c'est-à-dire le choix du bon modèle et des bons outils ; l'ÉLABORATION d'une solution appropriée, qui est la chaîne de raisonnement conduisant au résultat ; et la VALIDATION des étapes, qui regroupe les vérifications et le retour critique. La communication écrite, clarté et vocabulaire, est également évaluée. Aucun de ces critères ne porte sur l'exactitude du seul nombre final.

b) Elle perd peu. La compréhension, la mobilisation et l'essentiel de l'élaboration sont acquises, puisque la démarche est correcte de bout en bout. Elle perd des points sur la fin de l'élaboration et, surtout, sur la VALIDATION : une erreur de dernière ligne aurait dû être attrapée par une substitution dans l'énoncé de départ, et son absence signale que le contrôle n'a pas été fait. Une telle copie conserve typiquement une large majorité des points.

c) Elle perd beaucoup, et c'est ce qui surprend les élèves habitués aux exercices guidés. Un résultat juste sans démarche ne démontre ni compréhension, ni mobilisation, ni élaboration, ni validation : le correcteur n'a aucun moyen de savoir si l'élève a raisonné ou deviné. Dans une situation-problème, le raisonnement EST le livrable ; le nombre final n'en est que la conclusion. C'est exactement l'inverse du réflexe acquis en calculant des exercices d'entraînement.

d) La stratégie est de MAXIMISER LES CRITÈRES ACCESSIBLES plutôt que de s'acharner sur le calcul. Concrètement, dans l'ordre : écrire la phrase de compréhension, « je cherche telle grandeur, en telle unité, sous telle condition » ; écrire le ou les modèles retenus avec la justification du choix de famille ; poser l'équation ou l'inéquation même sans la résoudre ; mener les calculs partiels qu'on sait faire ; et écrire une phrase indiquant ce qui bloque et ce qu'on aurait fait ensuite.

Cette stratégie récupère la compréhension, la mobilisation et une partie de l'élaboration, soit une part substantielle de la note, là où une copie laissée blanche n'obtient rien. Elle demande cinq minutes, jamais dix. La formule à retenir pour tout le format : dans une situation-problème, on est payé pour le CHEMIN, pas seulement pour l'arrivée, et un chemin honnêtement commencé vaut toujours mieux qu'une page vide.