Exercices corrigés : la méthode des situations-problèmes en math SN5

La grandeur cherchée est un NOMBRE DE MINUTES, plus précisément le seuil à partir duquel le second forfait devient le moins cher. La question « conseillez un client » n'est pas une question mathématique tant qu'on ne l'a pas traduite, et c'est au candidat de le faire. La réponse finale ne sera d'ailleurs pas un nombre seul mais un conseil : en dessous de tant de minutes, prendre A ; au-delà, prendre B. Une copie qui donne le seuil sans conclure sur le conseil n'a pas terminé sa solution : la grille la pénalise au critère d'élaboration, qui exige une trace complète jusqu'à la réponse à la question posée.

La grandeur cherchée est un VOLUME D'EAU à ajouter, en litres. L'énoncé ne le dit nulle part : il faut comprendre que « le bassin en contient trop » et que la seule action possible sans retirer de chlore est de DILUER. C'est l'étape de compréhension, et c'est là que la plupart des copies s'égarent, en cherchant à calculer une concentration alors qu'on la connaît déjà.

La grandeur cherchée est la HAUTEUR du ballon à l'abscisse $20$ m, en mètres. La réponse attendue n'est pas ce nombre mais un OUI ou un NON justifié par comparaison avec les $4$ m du mur. C'est une nuance de rédaction qui compte : le calcul produit $5{,}5$ m, la réponse est « oui, le ballon passe, avec $1{,}5$ m de marge ».

Parce que la compétence évaluée n'est pas de calculer mais de MODÉLISER. Dans la vie professionnelle comme dans la grille du Ministère, personne ne reçoit un énoncé découpé en questions a), b), c) : on reçoit une situation et un objectif, et le travail consiste précisément à construire les étapes intermédiaires que l'exercice guidé fournissait gratuitement.

« Je cherche le nombre de minutes $t$ à partir duquel le forfait B coûte moins cher que le forfait A. » La phrase nomme la grandeur, lui donne une lettre et une unité, et énonce la condition. Elle prend trente secondes et donne au correcteur la trace du critère de compréhension de la situation.

Le forfait B est le plus simple : $C_{B}(t)=45$, une constante, puisque rien ne dépend de la consommation. Le forfait A est défini PAR PARTIES, car la facturation change de règle à $300$ minutes : $C_{A}(t)=25$ si $0\leq t\leq 300$, et $C_{A}(t)=25+0{,}08(t-300)$ si $t>300$. Le point délicat est le $(t-300)$ : on ne facture que les minutes EXCÉDENTAIRES, et écrire $25+0{,}08t$ ferait payer les trois cents minutes incluses.

On cherche l'égalité des deux coûts, en se plaçant nécessairement dans la seconde branche puisque $25<45$ tant qu'on reste sous $300$ minutes. On résout $25+0{,}08(t-300)=45$, donc $0{,}08(t-300)=20$, puis $t-300=\frac{20}{0{,}08}=250$ et $t=550$ minutes. En dessous de $550$ minutes le forfait A est moins cher, au-delà c'est B.

Validation par trois points de contrôle, ce que la grille appelle la validation des étapes. À $t=550$ : $C_{A}=25+0{,}08\times 250=45$ dollars, égal à $C_{B}$ ✓, le seuil est bien un point d'égalité. À $t=500$, en dessous du seuil : $C_{A}=25+0{,}08\times 200=41$ dollars, moins que $45$ ✓, A est bien avantageux. À $t=600$, au-dessus : $C_{A}=25+0{,}08\times 300=49$ dollars, plus que $45$ ✓, B l'emporte.

Il faut d'abord uniformiser les unités : $200$ g $=200\,000$ mg. La concentration vaut $C=\frac{200\,000}{50\,000}=4{,}0$ mg/L. La norme plafonne à $3{,}0$ mg/L, donc la concentration est TROP ÉLEVÉE et le bassin n'est pas conforme. La conversion des grammes en milligrammes est le seul vrai piège de la question, et l'oublier donne $0{,}004$, une valeur qui semblerait au contraire trop faible et enverrait toute la suite dans la mauvaise direction.

Sont inutiles : les dimensions $25$ m sur $10$ m, les horaires d'ouverture et la fréquence hebdomadaire. Les dimensions sont particulièrement tentantes, car elles invitent à calculer une aire ou un volume, mais le volume d'eau est DÉJÀ donné, à $50\,000$ L. Un candidat qui calcule $25\times 10=250$ m$^{2}$ puis cherche une profondeur perd du temps et introduit une donnée qu'il devra inventer. La règle vue plus haut s'applique : on écrit la relation, ici concentration égale masse divisée par volume, puis on ne prélève QUE ce qui y figure.

Non, aucune. Tout ce qu'il faut est présent : la masse de chlore, le volume d'eau et les deux bornes de la norme. C'est une réponse qu'il faut oser écrire, car les candidats supposent souvent qu'une donnée manque lorsqu'ils ne voient pas comment démarrer. Vérifier explicitement que l'énoncé est complet fait partie de l'étape de tri.

Ajouter de l'eau pure augmente le volume sans changer la masse de chlore, qui reste $200\,000$ mg. Donc $C(x)=\frac{200\,000}{50\,000+x}$, avec $x$ en litres et $C$ en mg/L. C'est une fonction RATIONNELLE, du type homographique, décroissante sur le domaine considéré et d'asymptote horizontale $y=0$.

Fonction AFFINE. Le mot décisif est « chaque année » associé à un montant FIXE de $40$ dollars : c'est une même quantité ajoutée à chaque pas, donc des DIFFÉRENCES constantes, ce qui caractérise l'affine. La règle s'écrit $L(t)=L_{0}+40t$.

Fonction EXPONENTIELLE. Le mot décisif est « pour cent » : trois pour cent d'une grande population représentent plus d'individus que trois pour cent d'une petite, donc la quantité ajoutée n'est pas constante. Ce sont les RAPPORTS qui le sont, chaque année valant $1{,}03$ fois la précédente, et la règle s'écrit $P(t)=P_{0}\times 1{,}03^{t}$. C'est la distinction la plus rentable de tout le chapitre : un montant fixe donne une affine, un POURCENTAGE de la valeur courante donne une exponentielle (un pourcentage d'un montant fixe, comme un intérêt simple, redonne une affine).

Fonction RATIONNELLE. Deux indices se combinent. D'abord la décroissance avec une valeur PLANCHER jamais atteinte : c'est une asymptote horizontale, que possèdent la rationnelle et l'exponentielle de la forme $a\,c^{x}+k$. Ensuite le contexte, qui tranche : le coût unitaire répartit un coût fixe sur un nombre croissant d'unités, d'où une division par $n$. La règle est du type $c(n)=\frac{a}{n}+2$, où le $2$ est le coût variable incompressible et $\frac{a}{n}$ le coût fixe dilué.

Fonction SINUSOÏDALE. Le mot décisif est « le cycle se répète » : seule une fonction périodique revient à sa valeur de départ et recommence indéfiniment. La période de $12$ heures donne directement $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$. Parmi les familles du programme, seules les fonctions trigonométriques sont périodiques ; la tangente l'est aussi, mais elle ne fait que monter sur chaque branche, sans redescendre. Seule la sinusoïdale monte puis redescend de façon régulière ; une exponentielle ou une rationnelle sont monotones sur chaque intervalle.

Fonction PARTIE ENTIÈRE, en escalier. Le mot décisif est « par tranche entamée » : le tarif ne varie pas continûment mais saute d'un coup au franchissement de chaque demi-heure. Trente-et-une minutes coûtent le même prix que cinquante-neuf. Attention au mot ENTAMÉE, qui impose un arrondi vers le HAUT et donc des paliers fermés à droite.

CONTRÔLE PAR SUBSTITUTION. Il suffit de reporter $t=250$ dans les deux modèles. À $250$ minutes, on est encore dans les $300$ minutes incluses, donc $C_{A}=25$ dollars, contre $45$ pour B : les deux coûts sont très loin de s'égaler. L'erreur est identifiable : l'élève a résolu $0{,}08(t-300)=20$ et s'est arrêté à $t-300=250$ en oubliant d'ajouter $300$. C'est une erreur d'étape finale, la plus fréquente et la plus facile à attraper, et une seule substitution la révèle.

CONTRÔLE DU SIGNE ET DU SENS. Un volume d'eau à ajouter ne peut pas être négatif. Le résultat est donc rejeté d'emblée, sans vérifier le calcul. L'erreur vient probablement d'une inéquation retournée ou d'une soustraction inversée. Notez que ce contrôle ne demande aucune connaissance du problème : il suffit de se rappeler ce que la grandeur REPRÉSENTE, et une longueur, une masse, une durée, un effectif ou un volume ajouté sont positifs.

CONTRÔLE DE L'ORDRE DE GRANDEUR ET DU SENS DE VARIATION. On partait de $4{,}0$ mg/L et l'on ajoute de l'eau pure, donc la concentration doit DIMINUER. Trouver $4000$ mg/L, mille fois plus, est doublement absurde : le sens est inversé et l'ordre de grandeur est aberrant. L'erreur est très probablement une conversion : le volume pris en mètres cubes ($50$ m$^{3}$ au lieu de $50\,000$ L) au dénominateur, ou la masse convertie deux fois, en microgrammes. Des grammes laissés en grammes ou un volume en millilitres donneraient au contraire $0{,}004$ mg/L, mille fois trop PEU. Ce contrôle attrape toutes les erreurs d'unité, qui sont les plus coûteuses parce que le reste du raisonnement est souvent correct.

CONTRÔLE DE LA COMMUNICATION. Il manque trois choses. L'UNITÉ d'abord : $550$ quoi, des minutes, des dollars, des mois ? Le SENS ensuite : le nombre est un seuil, mais dans quel sens, faut-il être au-dessus ou en dessous pour que B soit avantageux ? La RÉPONSE À LA QUESTION enfin : l'énoncé demandait de conseiller un client, pas de calculer un nombre.

La concentration après ajout de $x$ litres est $C(x)=\frac{200\,000}{50\,000+x}$, en mg/L, établie à l'exercice 3. La norme s'écrit $1{,}0\leq C(x)\leq 3{,}0$, un encadrement qu'on traite comme DEUX inéquations séparées, ce qui est plus sûr que de manipuler les trois membres à la fois.

En combinant, les volumes acceptables sont ceux de l'intervalle $\left[16\,667\ ;\ 150\,000\right]$ litres, en arrondissant la borne basse au litre supérieur puisqu'il faut ATTEINDRE la conformité. Notez le sens de chaque borne : la borne basse vient du plafond de $3{,}0$ mg/L, car il faut diluer assez ; la borne haute vient du plancher de $1{,}0$ mg/L, car trop diluer rendrait l'eau insuffisamment désinfectée. Les deux contraintes tirent en sens opposés, ce qui est la structure même de cette situation.

La réserve n'est que de $100\,000$ L, ce qui restreint le choix à $\left[16\,667\ ;\ 100\,000\right]$. Cet intervalle n'est pas vide, donc OUI, le gestionnaire peut rendre le bassin conforme, et il dispose même d'une large marge de manœuvre : tout ajout compris entre $16\,667$ L et $100\,000$ L convient, soit une infinité de volumes possibles. En pratique on lui conseillera de viser le milieu de la plage plutôt qu'une borne, par exemple $50\,000$ L, ce qui donne une concentration de $2{,}0$ mg/L, bien centrée dans la norme et donc robuste à une petite erreur de dosage.

Validation aux deux bornes. À $x=16\,667$ L : $C=\frac{200\,000}{66\,667}\approx 3{,}00$ mg/L ✓, on est exactement au plafond. À $x=150\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{200\,000}=1{,}00$ mg/L ✓, exactement au plancher. Contrôle supplémentaire à l'intérieur, à $x=50\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{100\,000}=2{,}00$ mg/L, bien compris entre $1$ et $3$ ✓. Et contrôle à l'extérieur, à $x=10\,000$ L : $C=\frac{200\,000}{60\,000}\approx 3{,}33$ mg/L, supérieur au plafond ✓, donc non conforme comme prévu. Les quatre points confirment l'intervalle. Contrôle de vraisemblance : même avec $100\,000$ L de plus, le bassin de $25$ m sur $10$ m contiendrait $150\,000$ L, soit $0{,}6$ m d'eau ; il ne déborde pas. La figure du corrigé montre la courbe de $C$, la bande de la norme et l'intervalle des volumes acceptables.

Le point de frappe correspond à $x=0$ : $h(0)=1{,}5$ m. C'est le terme constant de la règle, lisible sans calcul. Le ballon n'est donc pas frappé au ras du sol mais à $1{,}5$ m du sol, à peu près à hauteur d'épaule.

On évalue la hauteur à l'abscisse du mur : $h(20)=-0{,}05\times 400+1{,}2\times 20+1{,}5=-20+24+1{,}5=5{,}5$ m. Le mur mesure $4$ m, et $5{,}5>4$, donc OUI, le ballon franchit le mur, avec une marge de $5{,}5-4=1{,}5$ m. La réponse doit être formulée ainsi, avec la comparaison explicite et la marge : donner $5{,}5$ m sans conclure ne répond pas à la question posée.

Le sommet d'une parabole d'équation $ax^{2}+bx+c$ se trouve en $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1{,}2}{2\times(-0{,}05)}=-\frac{1{,}2}{-0{,}1}=12$ m. La hauteur y vaut $h(12)=-0{,}05\times 144+1{,}2\times 12+1{,}5=-7{,}2+14{,}4+1{,}5=8{,}7$ m. Comme $a=-0{,}05<0$, la parabole est ouverte vers le bas et il s'agit bien d'un MAXIMUM. Le ballon culmine donc à $8{,}7$ m, à $12$ m du point de frappe, soit avant le mur, ce qui est cohérent avec le fait qu'il redescende déjà en l'atteignant.

Le ballon touche le sol quand $h(x)=0$ : $-0{,}05x^{2}+1{,}2x+1{,}5=0$. On multiplie par $-20$ pour simplifier les coefficients : $x^{2}-24x-30=0$. Discriminant : $\Delta=(-24)^{2}-4\times 1\times(-30)=576+120=696$, dont la racine vaut environ $26{,}38$. Les solutions sont $x=\frac{24\pm 26{,}38}{2}$, soit $x\approx 25{,}19$ m et $x\approx -1{,}19$ m. On REJETTE la racine négative, qui correspondrait à un point situé derrière le frappeur, hors du domaine physique.

L'énoncé donne une augmentation en POUR CENT, donc les rapports successifs sont constants et la famille est EXPONENTIELLE, conformément au décodage de l'exercice 4. Chaque année, la population est multipliée par $1+0{,}12=1{,}12$. Le modèle est $P(t)=500\times(1{,}12)^{t}$, où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis l'ensemencement et $P$ un nombre de truites. Contrôle : $P(0)=500$ ✓, l'effectif initial est bien retrouvé.

On résout $500\times(1{,}12)^{t}=5000$, donc $(1{,}12)^{t}=\frac{5000}{500}=10$. La valeur $10$ n'étant pas une puissance simple de $1{,}12$, on passe au logarithme : $t\ln(1{,}12)=\ln(10)$, d'où $t=\frac{\ln 10}{\ln 1{,}12}=\frac{2{,}3026}{0{,}1133}\approx 20{,}3$ années. La capacité sera donc atteinte au cours de la vingt-et-unième année. Limite du modèle, à écrire dans la copie : une hausse de $12$ pour cent par an jusqu'au bout suppose que la nourriture ne manque jamais ; à l'approche de $5000$ truites la croissance ralentit, donc ces $20{,}3$ ans sont une estimation basse.

Encadrement à l'année près, qui est la validation attendue : $P(20)=500\times(1{,}12)^{20}\approx 500\times 9{,}646\approx 4823$ truites, encore sous la capacité ✓ ; $P(21)=500\times(1{,}12)^{21}\approx 500\times 10{,}804\approx 5402$ truites, au-dessus ✓. Le seuil est donc bien franchi entre la vingtième et la vingt-et-unième année, ce qui confirme les $20{,}3$ ans. Cet encadrement vaut mieux qu'une simple vérification : il situe le franchissement à l'année près, et la stricte croissance de $P$ garantit qu'il est unique.

Un prélèvement annuel de $200$ truites change la NATURE du modèle : la population n'est plus multipliée par un facteur constant, elle est multipliée puis diminuée d'un nombre fixe, ce qui donne une relation de la forme $P_{n+1}=1{,}12\,P_{n}-200$. Ce n'est plus une exponentielle pure et la formule explicite sort du cadre du programme, mais on peut raisonner qualitativement, et c'est ce que la question demande.

Déneige-Tout facture un montant fixe plus un montant par sortie, sans palier : c'est une fonction AFFINE, $D(n)=300+45n$. Neige-Express change de règle à vingt sorties, c'est donc une fonction DÉFINIE PAR PARTIES : $N(n)=600$ si $0\leq n\leq 20$, et $N(n)=600+25(n-20)$ si $n>20$. Le $(n-20)$ traduit que seules les sorties AU-DELÀ de la vingtième sont facturées ; écrire $600+25n$ ferait payer deux fois les vingt sorties comprises.

Pour $18$ sorties : $D(18)=300+45\times 18=300+810=1110$ dollars, contre $N(18)=600$ dollars, puisqu'on reste dans le forfait. Neige-Express est nettement moins chère. Pour $27$ sorties : $D(27)=300+45\times 27=300+1215=1515$ dollars, contre $N(27)=600+25\times 7=600+175=775$ dollars. Neige-Express est encore moins chère, et l'écart s'est même creusé.

Les deux calculs de b) suggèrent que Neige-Express l'emporte partout, mais il faut le vérifier sur le début du domaine, là où Déneige-Tout est peu coûteux. On résout $D(n)=N(n)$ dans la première branche : $300+45n=600$ donne $45n=300$, soit $n\approx 6{,}67$. En dessous de sept sorties, Déneige-Tout est moins cher ; au-delà, Neige-Express l'est. Comme le nombre de sorties est entier, le basculement se fait à $n=7$ : $D(6)=570$ contre $600$, Déneige-Tout gagne ; $D(7)=615$ contre $600$, Neige-Express gagne. Reste la seconde branche : pour $n>20$, $D(n)-N(n)=300+45n-600-25(n-20)=20n+200>0$, donc Déneige-Tout reste plus chère et il n'y a pas d'autre croisement.

Le conseil doit intégrer l'incertitude, puisque le nombre de sorties de la saison à venir est inconnu. Les deux années observées, $18$ et $27$ sorties, sont toutes deux très au-dessus du seuil de sept. Il faudrait un hiver exceptionnellement doux, avec moins de sept sorties, pour que Déneige-Tout redevienne intéressante, ce qui n'est jamais arrivé sur les deux années connues.

Le Cadre d'évaluation du Ministère nomme quatre critères pour la compétence 1.

Cr1, la COMPRÉHENSION de la situation : reformuler, identifier la grandeur cherchée, les données utiles et les contraintes.

Cr2, la MOBILISATION des savoirs mathématiques appropriés : choisir le bon modèle et les bons outils, et les appliquer correctement. C'est là que se distinguent l'erreur mineure (recopie, inversion de chiffres, calcul) et l'erreur conceptuelle.

Cr3, l'ÉLABORATION d'une solution appropriée : des traces claires et complètes, de la démarche jusqu'au résultat et à la réponse à la question posée.

Cr4, la VALIDATION des étapes : elle donne lieu à une rétroaction à l'élève, mais ne compte pas dans la note.

Piège : croire que la communication est notée à part. La compétence Communiquer n'entre pas au bulletin ; ce qui coûte des points, c'est une trace incomplète, au critère 3.

Aucun de ces critères ne porte sur l'exactitude du seul nombre final.

Elle perd peu.

La compréhension et l'élaboration sont acquises, puisque la démarche est correcte et complète de bout en bout.

La perte se fait au critère 2, qui juge aussi l'application des concepts : une erreur de calcul en dernière ligne y compte comme une erreur mineure, bien moins coûteuse qu'une erreur conceptuelle.

La validation, elle, ne rapporte rien en soi, mais c'est elle qui aurait attrapé l'erreur : une substitution dans l'énoncé de départ protège les points du critère 2.

Une telle copie conserve typiquement une large majorité des points.

Elle perd beaucoup, et c'est ce qui surprend les élèves habitués aux exercices guidés. Un résultat juste sans démarche ne démontre ni compréhension, ni mobilisation, ni élaboration, ni validation : le correcteur n'a aucun moyen de savoir si l'élève a raisonné ou deviné. Dans une situation-problème, le raisonnement EST le livrable ; le nombre final n'en est que la conclusion. C'est exactement l'inverse du réflexe acquis en calculant des exercices d'entraînement.

La stratégie est de MAXIMISER LES CRITÈRES ACCESSIBLES plutôt que de s'acharner sur le calcul. Concrètement, dans l'ordre : écrire la phrase de compréhension, « je cherche telle grandeur, en telle unité, sous telle condition » ; écrire le ou les modèles retenus avec la justification du choix de famille ; poser l'équation ou l'inéquation même sans la résoudre ; mener les calculs partiels qu'on sait faire ; et écrire une phrase indiquant ce qui bloque et ce qu'on aurait fait ensuite.