Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : De la courbe à la règle

À l'examen, on vous montre une courbe et on vous demande sa règle. Les chapitres, eux, vous annoncent toujours la famille dans l'énoncé : c'est exactement la moitié du travail qui manque le jour de l'épreuve.

Cette fiche donne l'ordre de lecture, les signatures visuelles de chaque famille, et les six pièges qui coûtent des points sur cette question précise.

Le fil du chapitre

La famille d'une fonction se lit sur la FORME de sa courbe, jamais sur ses valeurs : ce qu'elle fait à ses bords la nomme, et les points ne servent qu'après, pour ajuster les paramètres.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Les six signatures visuelles

• La courbe S'ARRÊTE NET sur un point : RACINE CARRÉE. Ce point est $(h\,;k)$ .
• Un sommet ANGULEUX, deux demi-droites rectilignes : VALEUR ABSOLUE, sommet en $(h\,;k)$ . Un sommet ARRONDI et symétrique : QUADRATIQUE, sommet en $(h\,;k)$ .
• La courbe s'APLATIT contre une horizontale sans la toucher : EXPONENTIELLE, et cette horizontale est $y=k$ .
• Une verticale approchée sans être touchée, et rien d'autre : LOGARITHME, et cette verticale est $x=h$ .
• Une verticale ET une horizontale approchées : HOMOGRAPHIQUE, elles se croisent en $(h\,;k)$ .
• Des PALIERS séparés par des sauts : PARTIE ENTIÈRE. Longueur d'un palier $\frac{1}{|b|}$ , hauteur d'un saut $|a|$ .

Les deux courbes montent en s'aplatissant, mais la bleue s'arrête net en

(1\,;0)

et monte sans borne, alors que l'orange vient de la gauche et plafonne sous

y=5

: racine carrée à gauche, exponentielle à droite.

L'ordre de lecture, jamais dans l'autre sens

• 1. La FAMILLE, sur la forme. Aucun calcul.
• 2. Le POINT DE RÉFÉRENCE, qui donne $h$ et $k$ d'un coup d'oeil : point de départ, sommet, croisement des asymptotes.
• 3. UN SECOND POINT, qui donne $a$ : on substitue, il ne reste qu'une inconnue.
• 4. La VALIDATION, sur un troisième point du graphique qui n'a pas servi.
• Un élément remarquable vaut DEUX informations, un point quelconque n'en vaut qu'une. Trois informations suffisent dans toutes les familles.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Une exponentielle coupe l'axe des ordonnées en $5$ et son asymptote est $y=2$ .

2 points, et toute la suite de la question, puisque $c$ se calcule ensuite avec un $k$ faux.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe passe par $(0\,;5)$ , donc $k=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'asymptote horizontale est $y=2$ , donc $k=2$ . L'ordonnée à l'origine vaut $a+k=5$ , ce qui donne $a=3$ . »

Pourquoi : Le paramètre $k$ est la valeur que la fonction n'atteint jamais, pas celle qu'elle prend en $x=0$ . Les deux ne coïncident que si $a=0$ , c'est-à-dire s'il n'y a plus d'exponentielle du tout.

2. Une racine carrée part du point $(-2\,;5)$ .

1 point, et un domaine faux, donc souvent une deuxième perte plus loin.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le départ est en $-2$ , donc $f(x)=a\sqrt{x-2}+5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le départ est en $-2$ , donc $h=-2$ et $x-h=x+2$ : $f(x)=a\sqrt{x+2}+5$ . »

Pourquoi : Dans la forme canonique, la lettre $h$ est PRÉCÉDÉE d'un signe moins. Un point de référence d'abscisse négative produit donc un signe plus dans la parenthèse. Le contrôle qui sauve : remplacer $x$ par $-2$ et vérifier que le radicande s'annule.

3. On cherche la règle d'une racine carrée sous la forme $a\sqrt{b(x-h)}+k$ .

La question entière, par blocage, alors qu'elle était finissable.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il me manque une donnée, je ne peux pas trouver $b$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Seul le SIGNE de $b$ est déterminé par la courbe. Je pose $b=1$ si elle s'ouvre à droite, $b=-1$ si elle s'ouvre à gauche, et je fais porter le reste par $a$ . »

Pourquoi : Parce que $a\sqrt{b(x-h)}=a\sqrt{|b|}\cdot\sqrt{\pm(x-h)}$ : le facteur $\sqrt{|b|}$ se fond dans $a$ . Deux réponses d'apparence différente peuvent donc être toutes deux justes, et $3\sqrt{4(x-1)}$ est exactement $6\sqrt{x-1}$ .

4. Un escalier a des paliers de $2$ unités de long et des sauts de $3$ unités de haut.

2 points, et un escalier quatre fois trop serré au tracé.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les paliers mesurent $2$ , donc $b=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La longueur d'un palier vaut $\frac{1}{|b|}$ , donc $|b|=\frac{1}{2}$ . La hauteur d'un saut vaut $|a|$ , donc $|a|=3$ . »

Pourquoi : Le paramètre $b$ comprime l'axe des abscisses : plus il est grand, plus les paliers sont COURTS. La relation est inverse, et c'est contre-intuitif. Contrôle immédiat : avec $b=2$ , la fonction changerait de palier tous les $0{,}5$ , ce que le dessin dément.

5. Une courbe croissante et concave vers le bas, dont on ne voit que la partie droite.

Toute la question, car la famille décide de toute la suite.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Elle monte en s'aplatissant, c'est une exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« Trois abscisses en progression géométrique : si les ordonnées progressent par ÉCARTS égaux, c'est un logarithme ; si elles sont MULTIPLIÉES par un même facteur, c'est une racine carrée. »

Pourquoi : Une exponentielle CROISSANTE ne s'aplatit jamais, elle accélère : l'aplatissement à droite est le signe d'une racine carrée ou d'un logarithme, jamais d'une exponentielle croissante. Une exponentielle qui s'aplatit est décroissante vers son asymptote.

6. Un relevé donne $(0\,;1)$ , $(1\,;2)$ et $(2\,;4)$ .

La question de modélisation entière, et toutes les prévisions qui en découlent.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ça double à chaque fois, donc $f(x)=2^{x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Ces trois points sont aussi sur la parabole $g(x)=0{,}5x^{2}+0{,}5x+1$ . Trois points ne choisissent pas une famille : je regarde le comportement global avant de conclure. »

Les deux courbes passent exactement par les trois mêmes points marqués, et se séparent à gauche : la parabole remonte après un minimum, l'exponentielle plonge vers son asymptote.

Pourquoi : Une infinité de familles passent par un nombre fini de points. Ici les deux modèles se séparent violemment à gauche : en $x=-2$ , l'exponentielle vaut $0{,}25$ et la parabole $2$ . C'est le comportement aux bords, pas les points, qui tranche.

7. Une courbe de racine carrée descend de gauche à droite.

1 point, et une courbe tracée du mauvais côté.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Elle descend, donc $a<0$ et $b<0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le sens est décidé par le PRODUIT : elle descend quand $a$ et $b$ sont de signes contraires. Je choisis $b=1$ , donc $a<0$ . »

Pourquoi : Avec $a=-2$ et $b=-1$ , la fonction $-2\sqrt{-(x-1)}$ est en fait CROISSANTE sur $]-\infty\ ;1]$ : deux signes négatifs se compensent. Il faut donc raisonner sur le produit, exactement comme pour la partie entière.

Quelle méthode choisir

Quelle famille ? On regarde les bords, dans cet ordre

Une courbe, sans aucune indication de famille.

Si Elle procède par paliers horizontaux avec des sauts → PARTIE ENTIÈRE. Lire la longueur d'un palier, puis la hauteur d'un saut

Exemple : Paliers de $2$ , sauts de $3$ : $f(x)=3\left\lfloor\frac{x-h}{2}\right\rfloor+k$
Si Elle s'arrête net sur un point et n'existe pas au-delà → RACINE CARRÉE. Le point d'arrêt est $(h\,;k)$

Exemple : Départ en $(3\,;4)$ : $f(x)=a\sqrt{x-3}+4$
Si Elle a un point anguleux, avec deux morceaux rectilignes → VALEUR ABSOLUE. Le sommet est $(h\,;k)$

Exemple : Sommet en $(-2\,;1)$ : $f(x)=a|x+2|+1$
Si Elle a un sommet arrondi et un axe de symétrie → QUADRATIQUE. Le sommet est $(h\,;k)$

Exemple : Sommet en $(2\,;-3)$ : $f(x)=a(x-2)^{2}-3$
Si Elle a une asymptote verticale ET une horizontale → HOMOGRAPHIQUE. Elles se croisent en $(h\,;k)$

Exemple : Asymptotes $x=2$ et $y=-1$ : $f(x)=\frac{a}{x-2}-1$
Si Elle n'a qu'une asymptote horizontale → EXPONENTIELLE. L'asymptote donne $k$ , puis $f(0)$ donne $a$ , puis un point donne la base

Exemple : Asymptote $y=2$ , $f(0)=5$ , $f(2)=14$ : $f(x)=3\cdot 2^{x}+2$
Si Elle n'a qu'une asymptote verticale et monte sans borne → LOGARITHME. L'asymptote donne $h$

Exemple : Asymptote $x=0{,}5$ : $f(x)=a\log_{c}(x-0{,}5)+k$

Aucune de ces branches ne demande un calcul : elles se décident toutes à l'oeil, en regardant ce que la courbe fait à ses extrémités.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rendre une lecture graphique complète

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé fournit une courbe et demande sa règle.

1 Nommer la famille et citer l'indice : « la courbe s'arrête en $(1\,;3)$ , c'est une fonction racine carrée ».
2 Lire le point de référence et écrire $h$ et $k$ séparément, avec le signe correct dans la parenthèse.
3 Substituer le second point pour obtenir $a$ , en une seule équation à une inconnue.
4 Écrire la règle complète.
5 Valider sur un troisième point du graphique, et le dire.

Phrase de conclusion

« La règle de la fonction est $f(x)=-2\sqrt{x-1}+3$ . Vérification sur le point $(5\,;-1)$ , qui n'a pas servi : $-2\sqrt{4}+3=-4+3=-1$ ✓. »

Le piège : Réutiliser pour la validation l'un des points qui ont servi à trouver les paramètres : cela ne prouve rien, et un correcteur attentif ne l'accepte pas.

Barème : En général 1 point pour la famille, 1 point pour $h$ et $k$ , 1 point pour $a$ , 1 point pour la validation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le point témoin

Choisir sur le graphique un point à coordonnées entières qui n'a servi à rien, et le substituer dans la règle trouvée.

Règle $f(x)=3\cdot 2^{x}+2$ , point témoin $(1\,;8)$ : $3\times 2+2=8$ ✓.
Le domaine et l'image

Confronter le domaine et l'image de la règle écrite à ce que montre le dessin. Une racine carrée ouverte à droite ne peut pas avoir un domaine qui part vers la gauche.

Règle $f(x)=a\sqrt{x+2}+5$ : domaine $[-2\ ;+\infty[$ , et la courbe doit bien commencer en $x=-2$ .
Le signe de a contre le sens de la courbe

Vérifier que le signe trouvé pour $a$ produit bien le sens observé, en tenant compte du signe de $b$ quand il y en a un.

Courbe descendante avec $b=1$ : il faut $a<0$ . Si votre calcul a donné $a>0$ , il y a une erreur de signe en amont.
Le nombre de paramètres

Compter les informations utilisées : il en faut exactement trois, un élément remarquable valant pour deux.

Sommet plus un point : $2+1=3$ ✓. Deux points quelconques seulement : $2$ , il en manque une, la question est incomplète.

L'exercice type décortiqué

Une rationnelle (homographique) lue sur son graphique

La courbe ci-dessous a pour asymptotes $x=2$ et $y=-1$ , et elle passe par le point $(4\,;1)$ .

Déterminez sa règle sous la forme $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ , puis donnez son zéro.

Les deux asymptotes en pointillés se croisent en

(2\,;-1)

: ce point n'appartient pas à la courbe, il donne directement

h

k

Étape 1

Deux asymptotes, l'une verticale et l'autre horizontale : la fonction est HOMOGRAPHIQUE.

Pourquoi

Aucune autre famille du programme n'en possède deux. Nommer la famille avant tout calcul est ce qui rend les étapes suivantes immédiates.

Étape 2

L'asymptote verticale donne $h=2$ , l'horizontale donne $k=-1$ . La forme est donc $f(x)=\frac{a}{x-2}-1$ .

Pourquoi

Les deux asymptotes se croisent en $(h\,;k)$ , qui est le centre de symétrie de la courbe. Deux paramètres sur trois sont obtenus sans une seule opération.

Étape 3

Le point $(4\,;1)$ donne $\frac{a}{4-2}-1=1$ , soit $\frac{a}{2}=2$ , donc $a=4$ .

Pourquoi

Il ne restait qu'une inconnue, donc un seul point suffit. C'est le bénéfice direct de l'ordre de lecture : on ne résout jamais de système.

Étape 4

La règle est $f(x)=\frac{4}{x-2}-1$ .

Pourquoi

On l'écrit en entier, sur une ligne à part : un correcteur cherche cette ligne, et une règle noyée dans un calcul est souvent comptée absente.

Étape 5

Validation sur $(6\,;0)$ , qui n'a pas servi : $\frac{4}{4}-1=1-1=0$ ✓.

Pourquoi

Ce point est visible sur le dessin et n'a joué aucun rôle dans le calcul : sa concordance prouve la règle au lieu de la répéter.

Étape 6

Zéro : $\frac{4}{x-2}-1=0$ donne $\frac{4}{x-2}=1$ , donc $x-2=4$ et $x=6$ .

Pourquoi

Le zéro se calcule sur la règle, et il retombe sur le point témoin : deux chemins indépendants donnent la même abscisse, ce qui est le meilleur contrôle possible.

Conclusion rédigée

La règle est $f(x)=\frac{4}{x-2}-1$ , son unique zéro est $x=6$ , son domaine est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ et son image $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $f(x)=\frac{4}{x+2}-1$ en lisant l'asymptote $x=2$ : le signe de $h$ s'inverse dans la parenthèse une fois sur trois, et le contrôle est immédiat, le dénominateur doit s'annuler en $x=2$ .

À savoir par cœur

• Point d'arrêt visible : racine carrée, et ce point est $(h\,;k)$ .
• Asymptote horizontale : c'est $k$ , jamais l'ordonnée à l'origine.
• Deux asymptotes : homographique, elles se croisent en $(h\,;k)$ .
• Paliers : longueur $\frac{1}{|b|}$ , saut $|a|$ . Un $b$ petit donne des paliers longs.
• Un élément remarquable vaut deux informations, un point quelconque une seule, et il en faut trois.
• Le paramètre $b$ d'une racine, d'une valeur absolue ou d'une exponentielle est absorbable : seul son signe compte, quand il compte.
• Toujours valider sur un point qui n'a pas servi.

Questions fréquentes

Comment trouver la règle d'une fonction à partir de son graphique ?

Dans cet ordre, et jamais dans un autre. D'abord la famille, reconnue sur la forme de la courbe : point d'arrêt, sommet, paliers, asymptotes. Ensuite le point de référence, qui donne h et k sans calcul. Ensuite un second point, qui donne a par une seule équation. Enfin la validation sur un troisième point du graphique qui n'a pas servi au calcul.

Comment reconnaître la famille d'une fonction sur une courbe ?

On regarde ce que la courbe fait à ses extrémités. Elle s'arrête net sur un point : racine carrée. Elle a une pointe anguleuse : valeur absolue. Un sommet arrondi symétrique : quadratique. Elle s'aplatit contre une horizontale : exponentielle. Une verticale seule : logarithme. Une verticale et une horizontale : homographique. Des paliers : partie entière.

Pourquoi trois points ne suffisent-ils pas à trouver une fonction ?

Parce que plusieurs familles différentes passent exactement par les mêmes points. Les points 0 et 1, 1 et 2, 2 et 4 conviennent aussi bien à une exponentielle qu'à une parabole, et les deux modèles se séparent complètement ailleurs. La famille se choisit sur le comportement global de la courbe, les points ne servent qu'à ajuster les paramètres ensuite.

Le paramètre b est-il toujours trouvable sur un graphique ?

Non, et c'est normal. Pour la racine carrée, la valeur absolue et l'exponentielle, seul le signe de b est déterminé par la courbe, le reste se fond dans a ou dans la base. On peut donc toujours poser b égal à 1 ou à moins 1. Il n'y a que deux familles où b porte une vraie information : la partie entière, où il fixe la longueur des paliers, et la sinusoïdale, où il fixe la période.

Où lit-on le paramètre k d'une fonction exponentielle ?

Sur l'asymptote horizontale, toujours, et jamais sur l'ordonnée à l'origine. Si la courbe s'aplatit contre la droite y égale 2, alors k vaut 2. L'ordonnée à l'origine, elle, vaut a plus k : la différence entre les deux nombres est exactement le paramètre a. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : De la courbe à la règle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche de révision : De la courbe à la règle

L'essentiel

Les six signatures visuelles

L'ordre de lecture, jamais dans l'autre sens

Les pièges qui coûtent des points

1. Une exponentielle coupe l'axe des ordonnées en 555 et son asymptote est y=2y=2y=2.

2. Une racine carrée part du point (−2 ;5)(-2\,;5)(−2;5).

3. On cherche la règle d'une racine carrée sous la forme ab(x−h)+ka\sqrt{b(x-h)}+kab(x−h)​+k.

4. Un escalier a des paliers de 222 unités de long et des sauts de 333 unités de haut.

5. Une courbe croissante et concave vers le bas, dont on ne voit que la partie droite.

6. Un relevé donne (0 ;1)(0\,;1)(0;1), (1 ;2)(1\,;2)(1;2) et (2 ;4)(2\,;4)(2;4).

7. Une courbe de racine carrée descend de gauche à droite.

Quelle méthode choisir

Quelle famille ? On regarde les bords, dans cet ordre

La rédaction attendue

Rendre une lecture graphique complète

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une rationnelle (homographique) lue sur son graphique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver la règle d'une fonction à partir de son graphique ?

Comment reconnaître la famille d'une fonction sur une courbe ?

Pourquoi trois points ne suffisent-ils pas à trouver une fonction ?

Le paramètre b est-il toujours trouvable sur un graphique ?

Où lit-on le paramètre k d'une fonction exponentielle ?

Exercices corrigés : De la courbe à la règle

Voir aussi

Votre enfant sait calculer mais bloque devant un graphique ?

1. Une exponentielle coupe l'axe des ordonnées en $5$ et son asymptote est $y=2$ .

2. Une racine carrée part du point $(-2\,;5)$ .

3. On cherche la règle d'une racine carrée sous la forme $a\sqrt{b(x-h)}+k$ .

4. Un escalier a des paliers de $2$ unités de long et des sauts de $3$ unités de haut.

6. Un relevé donne $(0\,;1)$ , $(1\,;2)$ et $(2\,;4)$ .