Exercices corrigés : trouver la règle d'une fonction à partir de sa courbe

a) Courbe 1 : fonction RACINE CARRÉE. Courbe 2 : fonction EXPONENTIELLE. Courbe 3 : fonction VALEUR ABSOLUE. Courbe 4 : fonction PARTIE ENTIÈRE. Aucune de ces identifications ne demande une seule opération, et c'est le point de la série : la reconnaissance précède le calcul et ne s'en sert jamais.

b) Courbe 1 : elle S'ARRÊTE NET à gauche, sur un point marqué, et n'existe pas avant. Aucune autre famille du programme ne fait cela, sauf une fonction définie par parties dont on aurait choisi de restreindre le domaine. Courbe 2 : elle S'APLATIT contre une droite horizontale sans jamais la rejoindre. Courbe 3 : elle possède un POINT ANGULEUX, une pointe, et se compose de deux demi-droites rectilignes. C'est ce caractère rectiligne qui la distingue d'une parabole, dont le sommet est arrondi et les branches courbes. Courbe 4 : elle procède par PALIERS horizontaux séparés par des sauts, avec un point plein et un point vide à chaque extrémité de palier.

c) Le paramètre $k$ vaut $3$, la valeur lue sur la droite en pointillés. Dans $f(x)=a\,c^{x}+k$, le terme $a\,c^{x}$ tend vers $0$ quand $x$ grandit si la base est entre $0$ et $1$, et il ne reste que $k$. L'asymptote horizontale EST le paramètre $k$, toujours, dans toutes les exponentielles. C'est le seul paramètre du programme qui se lise sur une droite plutôt que sur un point, et c'est aussi le plus souvent raté : beaucoup d'élèves lisent $k$ sur l'ordonnée à l'origine, ce qui est faux dès que la courbe ne part pas de l'asymptote.

d) La base est comprise entre $0$ et $1$. La justification est purement visuelle : la courbe DESCEND vers son asymptote quand $x$ augmente, et le facteur $a$ est ici positif puisque la courbe reste au-dessus de l'asymptote. Une exponentielle de base supérieure à $1$ multipliée par un $a$ positif s'éloigne de l'asymptote vers le haut ; pour qu'elle s'en rapproche, il faut que $c^{x}$ décroisse, donc que $0<c<1$. Attention à la formulation courante « la courbe descend donc $c<1$ » : elle n'est correcte que parce que $a>0$ ici. Avec $a<0$, la courbe monterait vers son asymptote par en dessous, avec la même base.

e) Les courbes 1 et 2 se ressemblent beaucoup sur leur partie DROITE : toutes deux montent lentement en s'aplatissant. C'est même l'erreur la plus fréquente de tout ce chapitre. Ce qui tranche est à gauche : la racine carrée s'arrête sur un point de départ, l'exponentielle continue indéfiniment vers la gauche. Il existe aussi un test valable sur la partie droite seule, et il est décisif : la racine carrée continue de monter sans borne, très lentement mais sans borne, tandis qu'une exponentielle décroissante plafonne. Si l'on prolonge assez loin, la racine finit toujours par dépasser n'importe quelle droite horizontale.

a) $h=-2$ et $k=5$. Pour $f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k$, le point de départ est toujours $(h\,;k)$, parce que c'est le seul point où le radicande s'annule. Piège de signe à connaître : le point de départ étant en $x=-2$, on a $x-h=x+2$ dans la règle, donc $h=-2$ et non $h=2$. C'est la faute la plus fréquente de tout le chapitre des paramètres, et elle coûte un point à chaque fois.

b) $h=3$ et $k=-1$. Le sommet d'une valeur absolue est le point où la quantité entre barres s'annule, donc $(h\,;k)$ là encore.

c) $h=-4$ et $k=7$. Sous la forme canonique $f(x)=a(x-h)^{2}+k$, le sommet est $(h\,;k)$. Notez que cette lecture est immédiate sous la forme canonique et impossible sous la forme générale $ax^{2}+bx+c$ : c'est précisément à cela que sert la forme canonique.

d) $k=-4$, lu sur l'ASYMPTOTE et non sur l'ordonnée à l'origine. Le paramètre $h$, lui, ne se lit pas ici : une exponentielle n'a pas de point de référence visible, et on choisit presque toujours de poser $h=0$, quitte à faire porter la différence par $a$. Le point $(0\,;1)$ servira à trouver $a$, puisque $a\,c^{0}+k=a-4=1$ donne $a=5$, mais ce n'était pas la question. Retenez la dissymétrie : pour une exponentielle, $k$ est gratuit et $h$ est arbitraire.

e) $h=2$ et $k=-3$. Les deux asymptotes d'une homographique $f(x)=\frac{a}{b(x-h)}+k$ se croisent exactement en $(h\,;k)$ : la verticale $x=h$ est la valeur interdite, l'horizontale $y=k$ est la valeur que la fonction n'atteint jamais. Cette famille est la plus généreuse de toutes : le graphique donne deux des trois paramètres sans aucun calcul.

f) $h=5$. Pour $f(x)=a\log_{c}(b(x-h))+k$, l'asymptote verticale est en $x=h$, car c'est là que l'argument du logarithme s'annule. Le paramètre $k$, lui, ne se lit pas : le logarithme n'a pas d'asymptote horizontale, il n'est borné ni en haut ni en bas. C'est la situation inverse de l'exponentielle, ce qui est logique puisque les deux familles sont réciproques l'une de l'autre et que la réciproque échange les rôles des deux axes. Le point $(6\,;0)$ servira ensuite à lier $a$ et $k$.

a) On calcule directement : $3\sqrt{4(x-1)}=3\sqrt{4}\cdot\sqrt{x-1}=3\times 2\times\sqrt{x-1}=6\sqrt{x-1}$. Les deux écritures désignent bien la même fonction, avec le même domaine $[1\ ;+\infty[$. Le cas général repose sur $\sqrt{uv}=\sqrt{u}\sqrt{v}$ pour des quantités positives : si $b>0$, $a\sqrt{b(x-h)}=a\sqrt{b}\cdot\sqrt{x-h}$ ; si $b<0$, on écrit $b=-|b|$ et $a\sqrt{b(x-h)}=a\sqrt{|b|}\cdot\sqrt{-(x-h)}$, la courbe étant alors ouverte vers la gauche.

b) Trois seulement : $h$, $k$, et le produit $a\sqrt{|b|}$. Le paramètre $b$ n'est pas déterminé par la courbe, seul son SIGNE l'est, car c'est lui qui décide du côté vers lequel la courbe s'ouvre. On peut donc TOUJOURS poser $b=1$ ou $b=-1$ et faire porter tout le reste par $a$. Conséquence pratique très utile : si un examen demande une règle « sous la forme $a\sqrt{b(x-h)}+k$ », une infinité de réponses sont justes, et une correction sérieuse accepte n'importe laquelle pourvu qu'elle donne la bonne courbe. Inversement, si vous obtenez $a$ et $b$ différents de ceux du corrigé, vérifiez d'abord si vos deux fonctions ne sont pas égales avant de chercher une erreur.

c) $5\cdot 2^{3(x-1)}=5\cdot\left(2^{3}\right)^{x-1}=5\cdot 8^{x-1}$, en utilisant $\left(c^{m}\right)^{n}=c^{mn}$. Même conclusion : dans $a\,c^{b(x-h)}+k$, le paramètre $b$ peut toujours être absorbé dans la base, et le paramètre $h$ peut toujours être absorbé dans $a$, puisque $a\,c^{x-h}=a\,c^{-h}\cdot c^{x}$ et que $a\,c^{-h}$ est juste un autre nombre. Une exponentielle n'a donc que trois paramètres essentiels, que l'on écrit commodément $f(x)=a\,c^{x}+k$.

d) Trois inconnues, donc trois informations. Le sommet en fournit DEUX à lui seul, puisqu'il donne à la fois $h$ et $k$ : un point remarquable vaut deux points ordinaires. Il ne reste plus qu'un point quelconque de la courbe pour obtenir $a$. C'est la raison pour laquelle un exercice de lecture graphique fournit presque toujours un élément remarquable plus un point, et non trois points quelconques : trois points quelconques mèneraient à un système de trois équations, faisable mais long, et c'est d'ailleurs exactement ce que l'on fait sous la forme générale $ax^{2}+bx+c$.

e) Il faut trois points, et le système obtenu n'est plus linéaire. Avec $f(x_{1})=y_{1}$, $f(x_{2})=y_{2}$, $f(x_{3})=y_{3}$, l'inconnue $c$ apparaît en exposant dans les trois équations. L'astuce à connaître : si les abscisses sont ÉQUIDISTANTES, les différences $y_{2}-y_{1}$ et $y_{3}-y_{2}$ éliminent $k$ et leur rapport vaut exactement $c^{\Delta x}$. Sur $x=0,1,2$ avec $y=9,13,21$, on obtient $\frac{21-13}{13-9}=\frac{8}{4}=2$, donc $c=2$ ; puis $a\,c^{1}-a\,c^{0}=a=4$ ; puis $k=9-4=5$. La règle est $f(x)=4\cdot 2^{x}+5$, et l'on vérifie $f(2)=21$ ✓. Retenez ce mécanisme : sans asymptote visible, ce sont les DIFFÉRENCES qui se comportent comme une exponentielle pure, jamais les ordonnées elles-mêmes.

a) L'asymptote horizontale est la droite $y=2$, donc $k=2$. C'est gratuit et c'est toujours la première chose à écrire : tant que $k$ est inconnu, aucune autre équation n'a une seule inconnue.

b) On substitue $x=0$ : $f(0)=a\,c^{0}+k=a\times 1+2=a+2$. Or la courbe donne $f(0)=5$, donc $a+2=5$ et $a=3$. Ce point est le plus commode parce que $c^{0}=1$ quelle que soit la base : c'est le seul point qui donne $a$ sans rien connaître de $c$. Quand l'ordonnée à l'origine est lisible, on la prend toujours en deuxième.

c) On substitue $x=2$ dans $f(x)=3c^{x}+2$ : $3c^{2}+2=14$, donc $3c^{2}=12$ et $c^{2}=4$. Comme une base d'exponentielle est strictement positive, on ne garde que $c=2$ et l'on rejette $c=-2$. Ce rejet n'est pas une formalité : $(-2)^{x}$ n'a aucun sens pour $x=\frac{1}{2}$, et une base négative ne définit pas une fonction sur les réels.

d) La règle est $f(x)=3\cdot 2^{x}+2$. Validation sur un point non utilisé, par exemple $x=1$ : $f(1)=3\times 2+2=8$, et la courbe passe bien par $(1\,;8)$ ✓. On peut en prendre un second à gauche, $x=-1$ : $f(-1)=3\times\frac{1}{2}+2=3{,}5$, ce que le graphique confirme. Cette validation est ce qui sépare une réponse juste d'une réponse par chance ; réutiliser $(0\,;5)$ ou $(2\,;14)$ ne prouve strictement rien, puisque ces points ont servi à construire la règle.

e) Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier : une exponentielle est définie partout, sans valeur interdite ni condition d'existence. L'image est $\left]2\ ;+\infty\right[$. La valeur $2$ est exclue parce que $3\cdot 2^{x}$ est strictement positif pour tout réel $x$ : une puissance de base positive ne s'annule jamais, elle peut devenir aussi petite qu'on veut mais jamais nulle. L'asymptote est approchée, jamais atteinte, et le crochet ouvert traduit exactement cela.

f) Il confond l'asymptote avec l'ordonnée à l'origine. Ces deux nombres ne coïncident que dans le cas particulier où $a=0$, c'est-à-dire quand il n'y a plus d'exponentielle du tout. Ici l'ordonnée à l'origine vaut $a+k=5$ et l'asymptote vaut $k=2$ : leur différence est précisément $a$.

a) Chaque palier s'étend sur $2$ unités en abscisse, par exemple de $x=1$ à $x=3$. Or la fonction $\lfloor b(x-h)\rfloor$ change de valeur chaque fois que $b(x-h)$ franchit un entier, c'est-à-dire tous les $\frac{1}{|b|}$ en abscisse. On a donc $\frac{1}{|b|}=2$, d'où $|b|=\frac{1}{2}$. Retenez le sens de cette inversion : un $b$ PETIT donne des paliers LONGS, ce qui est contre-intuitif et régulièrement inversé en examen.

b) D'un palier au suivant, l'ordonnée passe de $2$ à $5$, puis de $5$ à $8$ : le saut vaut $3$ à chaque fois. Comme la partie entière augmente de $1$ exactement à chaque saut, la hauteur du saut est $|a|\times 1=|a|$, donc $|a|=3$.

c) La fonction monte de gauche à droite. Or l'escalier monte quand $a$ et $b$ sont de MÊME signe et descend quand ils sont de signes contraires : c'est le produit qui décide, exactement comme pour la racine carrée. On a choisi $b=\frac{1}{2}>0$, donc $a>0$ et finalement $a=3$. Si l'on avait choisi $b=-\frac{1}{2}$, il aurait fallu $a=-3$, et la règle obtenue, quoique différente d'apparence, aurait décrit le même escalier à un détail près : le côté fermé des paliers change, ce qui se voit sur les points pleins et vides.

d) Le palier qui commence en $x=1$ porte l'ordonnée $2$. On veut donc que $\lfloor b(x-h)\rfloor=0$ sur ce palier, ce qui donnera $f=k=2$. La partie entière vaut $0$ quand son argument est dans $[0\ ;1[$, donc quand $x-h\in[0\ ;2[$, c'est-à-dire $x\in[h\ ;h+2[$. En identifiant avec $[1\ ;3[$, on obtient $h=1$, et alors $k=2$. La règle est $f(x)=3\left\lfloor\frac{x-1}{2}\right\rfloor+2$.

e) $f(4)=3\left\lfloor\frac{3}{2}\right\rfloor+2=3\times 1+2=5$ ✓, le graphique donne bien $5$ sur le palier $[3\ ;5[$. $f(0)=3\left\lfloor-\frac{1}{2}\right\rfloor+2=3\times(-1)+2=-1$ ✓. $f(-2)=3\left\lfloor-\frac{3}{2}\right\rfloor+2=3\times(-2)+2=-4$ ✓. Les deux dernières valeurs contiennent le piège classique des négatifs : $\lfloor-0{,}5\rfloor$ vaut $-1$ et non $0$, car la partie entière descend toujours vers l'entier INFÉRIEUR, jamais vers le plus proche.

f) $f(3)=3\left\lfloor\frac{2}{2}\right\rfloor+2=3\times 1+2=5$. La valeur en $x=3$ appartient au palier du HAUT, et c'est pourquoi le graphique porte un point plein en $(3\,;5)$ et un point vide en $(3\,;2)$. La règle générale, avec $b>0$ : chaque palier est fermé à gauche et ouvert à droite. Lire cette valeur sur le mauvais palier est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle fausse ensuite tout problème de tarification.

a) La courbe A est la racine carrée : elle S'ARRÊTE sur le point $(1\,;0)$ et n'existe pas à gauche de $1$. La courbe B est le logarithme : elle PLONGE le long de la droite verticale en pointillés, sans jamais l'atteindre, et descend vers des ordonnées aussi négatives qu'on veut.

b) Le test repose sur le comportement des deux familles quand on MULTIPLIE la distance. Pour un logarithme, $a\log_{2}(2d)-a\log_{2}(d)=a\log_{2}2=a$ : chaque fois que la distance à l'asymptote DOUBLE, l'ordonnée augmente de la MÊME quantité. Pour une racine carrée, $a\sqrt{2d}=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{d}$ : chaque fois que la distance double, l'ordonnée est MULTIPLIÉE par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$. On choisit donc trois abscisses en progression géométrique de raison $2$ à partir du point suspect, et l'on regarde si les ordonnées progressent par additions égales (logarithme) ou par multiplications égales (racine).

c) Distances $1$, $2$, $4$ à la droite $x=0{,}5$, soit les abscisses $1{,}5$, $2{,}5$ et $4{,}5$. Le graphique donne des ordonnées voisines de $0$, $1{,}6$ et $3{,}2$. Les écarts successifs valent $1{,}6$ et $1{,}6$ : ils sont ÉGAUX. C'est la signature du logarithme, confirmée. Notez que le test s'applique tel quel sur la seule partie droite de la fenêtre, sans jamais approcher l'asymptote.

d) Distances $1$, $2$, $4$ au point de départ $(1\,;0)$, soit les abscisses $2$, $3$ et $5$. Le graphique donne $2$, environ $2{,}83$ et $4$. Les RAPPORTS successifs valent $\frac{2{,}83}{2}\approx 1{,}41$ et $\frac{4}{2{,}83}\approx 1{,}41$ : ils sont égaux à $\sqrt{2}$. Signature de la racine carrée, confirmée. Les écarts, eux, valent $0{,}83$ puis $1{,}17$, donc ils ne sont pas égaux : le test discrimine bien.

e) Courbe A : le point de départ est $(1\,;0)$, donc $h=1$ et il n'y a pas de $k$. Le point $(5\,;4)$ donne $a\sqrt{4}=4$, soit $2a=4$ et $a=2$. La règle est $f(x)=2\sqrt{x-1}$, vérifiée sur le point non utilisé $(2\,;2)$ : $2\sqrt{1}=2$ ✓. Courbe B : l'asymptote verticale est $x=0{,}5$, donc $h=0{,}5$. Le point $(2{,}5\,;1{,}6)$ donne $a\log_{2}(2)=a=1{,}6$. La règle est $g(x)=1{,}6\log_{2}(x-0{,}5)$, vérifiée sur $(4{,}5\,;3{,}2)$ : $1{,}6\log_{2}(4)=1{,}6\times 2=3{,}2$ ✓. Ces deux validations portent chacune sur un point qui n'a pas servi à construire la règle, ce qui est la seule forme de vérification qui prouve quelque chose.

a) Différences premières : $8-5=3$, $13-8=5$, $20-13=7$, $29-20=9$. Elles ne sont pas constantes, donc ce n'est pas une fonction affine. Différences secondes : $5-3=2$, $7-5=2$, $9-7=2$. Elles sont CONSTANTES, ce qui caractérise une fonction quadratique. Le coefficient dominant se lit directement : $a=\frac{\text{seconde différence}}{2}=1$. Ensuite $f(0)=5$ donne le terme constant, et $f(1)=8$ donne $1+b+5=8$, soit $b=2$. La règle est $f(x)=x^{2}+2x+5$, vérifiée sur $x=4$ : $16+8+5=29$ ✓.

b) Rapports : $\frac{9}{6}=1{,}5$, $\frac{13{,}5}{9}=1{,}5$, $\frac{20{,}25}{13{,}5}=1{,}5$, $\frac{30{,}375}{20{,}25}=1{,}5$. Le rapport est constant, signature de l'exponentielle. La valeur en $0$ donne le coefficient : $g(x)=6\times 1{,}5^{x}$. Vérification en $x=4$ : $6\times 1{,}5^{4}=6\times 5{,}0625=30{,}375$ ✓. Retenez la symétrie des deux critères : la quadratique se reconnaît sur des DIFFÉRENCES de différences, l'exponentielle sur des RAPPORTS d'ordonnées.

c) Les abscisses sont $1$, $2$, $5$, $10$, $17$ : leurs écarts au premier terme sont $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, c'est-à-dire les CARRÉS parfaits. Pendant ce temps les ordonnées avancent régulièrement, de $3$ en $3$. Or c'est exactement ce que fait une racine carrée : si $x-1=n^{2}$, alors $\sqrt{x-1}=n$ progresse de $1$ en $1$. On pose $h=1$ et $k=2$, la valeur en $x=1$, puis $x=2$ donne $a\sqrt{1}+2=5$, soit $a=3$. La règle est $f(x)=3\sqrt{x-1}+2$, vérifiée sur $x=17$ : $3\times 4+2=14$ ✓. Ce tableau est une invitation déguisée : quand les abscisses d'un énoncé sont $1$, $2$, $5$, $10$, $17$ ou $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, c'est presque toujours qu'on attend une racine carrée.

d) La méthode des différences n'est valable que si les abscisses sont ÉQUIDISTANTES. La raison est simple : une différence d'ordonnées ne signifie quelque chose que rapportée à un même pas en abscisse. Appliquée telle quelle au tableau 3, elle donne des différences constantes égales à $3$ et conclurait à une fonction AFFINE, ce qui est faux : la fonction n'est pas affine, ce sont les abscisses qui s'espacent de plus en plus. C'est une erreur classique et elle est invisible si l'on ne regarde pas la colonne des $x$.

e) Différences successives : $15-11=4$, $23-15=8$, $39-23=16$. Ces différences, elles, ont un rapport constant égal à $2$. Or si $f(x)=a\,c^{x}+k$, alors $f(x+1)-f(x)=a\,c^{x}(c-1)$, une exponentielle pure de même base : le $k$ a disparu. Le rapport des différences vaut donc $c$, ici $c=2$. Ensuite $a\,c^{0}(c-1)=a=4$, puis $k=f(0)-a=11-4=7$. La règle est $f(x)=4\cdot 2^{x}+7$, vérifiée sur $x=3$ : $32+7=39$ ✓. Ce détour par les différences est LA méthode à connaître quand une exponentielle possède une asymptote non nulle, cas où les rapports d'ordonnées ne donnent rien.