Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : L'étude complète d'une fonction

Q: Quelles sont les propriétés à donner dans une étude de fonction ?

Huit, toujours dans le même ordre : le domaine, l'image, les zéros, l'ordonnée à l'origine, le signe, la variation, les extremums et les asymptotes. Pour une fonction périodique, on ajoute la période et l'on précise l'intervalle sur lequel l'étude est faite. Écrire les huit intitulés en colonne avant de répondre évite d'en oublier un.

Q: Quelle est la différence entre le signe et la variation ?

Le signe dit si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, la variation dit si elle monte ou descend. Ce sont deux questions indépendantes : une fonction peut très bien être négative et croissante, comme deux puissance x moins huit entre zéro et trois. Les frontières ne sont pas les mêmes non plus, les zéros pour le signe, les extremums pour la variation.

Q: Peut-on écrire qu'une fonction est décroissante sur R privé de 0 ?

Non, jamais. Une variation s'énonce sur un intervalle, pas sur une réunion d'intervalles. La fonction un sur x en est la preuve : elle vaut moins un en moins un et plus un en un, donc elle a monté entre les deux. On écrit qu'elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément, reliés par le mot et.

Q: Comment trouver l'image d'une fonction en secondaire 5 ?

On la lit sur la forme canonique, jamais en devinant sur un dessin. On part de la partie variable, on suit ce que lui font les paramètres, et l'on note qu'un coefficient négatif retourne l'intervalle. La borne vaut k, et le crochet est fermé si elle est atteinte, ouvert si c'est une asymptote. Contrôle : la borne fermée de l'image doit être l'extremum trouvé plus loin.

Q: Comment écrire correctement un maximum dans une copie ?

Un maximum est une valeur, donc un nombre, accompagné de l'abscisse où il est atteint. On écrit : le maximum est quatre, atteint en x égale trois. Écrire que le maximum est le couple trois point quatre est sanctionné, parce que cela confond le sommet, qui est un point, avec le maximum, qui est une hauteur. En contexte, la valeur porte aussi son unité.

« Décrivez les propriétés de cette fonction » est la question la plus rentable de l'année : elle tombe dans chaque chapitre, elle vaut des points à chaque fois, et elle se travaille une seule fois pour toutes.

Cette fiche donne la grille, l'ordre de lecture, les formulations attendues, et les sept pièges qui font perdre des points alors que le raisonnement est juste.

Le fil du chapitre

Le SIGNE dit où la courbe se trouve par rapport à l'axe des abscisses, la VARIATION dit si elle monte : deux questions différentes, avec deux familles de frontières différentes, les zéros pour l'une, les extremums pour l'autre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Les huit propriétés, toujours dans cet ordre

• 1. DOMAINE : les $x$ admis. Trois obstacles seulement, radicande négatif, dénominateur nul, argument de logarithme non strictement positif. Plus, en contexte, ce que la situation autorise.
• 2. IMAGE : les valeurs prises par $f(x)$ . Elle se lit sur la forme canonique, à partir de $k$ et du signe de $a$ .
• 3. ZÉROS : les $x$ tels que $f(x)=0$ . 4. ORDONNÉE À L'ORIGINE : la valeur $f(0)$ , qui n'existe que si $0$ est dans le domaine.
• 5. SIGNE : où $f(x)>0$ et où $f(x)<0$ . Frontières : les zéros, plus les valeurs interdites.
• 6. VARIATION : où $f$ croît et où elle décroît. Frontières : les extremums. 7. EXTREMUMS : la VALEUR atteinte, et l'abscisse où elle l'est.
• 8. ASYMPTOTES : les droites approchées sans être atteintes. Seules l'homographique, l'exponentielle, la logarithmique et la tangente en ont.

La courbe de

f(x)=-2\sqrt{x-3}+4

commence en

(3\,;4)

et n'existe pas avant : elle a donc un maximum, un zéro en

x=7

, et AUCUNE ordonnée à l'origine, puisque

0

n'est pas dans le domaine.

Signe et variation ne parlent pas de la même chose

• Le SIGNE compare $f(x)$ à zéro : la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses ?
• La VARIATION compare $f(x_{1})$ à $f(x_{2})$ : la courbe monte-t-elle quand on avance ?
• Les quatre combinaisons existent : négative et croissante, négative et décroissante, positive et croissante, positive et décroissante.
• Une variation s'énonce sur un INTERVALLE, jamais sur une réunion. On écrit « décroissante sur $A$ ET décroissante sur $B$ », jamais « sur $A\cup B$ ».
• Un extremum est une VALEUR : « le maximum est $4$ , atteint en $x=3$ », jamais « le maximum est $(3\,;4)$ ».

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. $f(x)=-2\sqrt{x-3}+4$ , on demande l'ordonnée à l'origine.

1 point, et le signe de sérieux qui manque à toute la copie.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(0)=-2\sqrt{-3}+4$ , donc $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $0$ n'appartient pas au domaine $[3\ ;+\infty[$ : la fonction n'a PAS d'ordonnée à l'origine. »

Pourquoi : L'ordonnée à l'origine n'existe que si $0$ est dans le domaine. Répondre par un nombre revient à calculer une racine carrée de nombre négatif sans s'en apercevoir. Le réflexe : avant tout $f(0)$ , vérifier que $0$ est admis.

2. $h(x)=\dfrac{1}{x}$ , on demande la variation.

1 point systématiquement, et l'erreur est répétée dans toute la copie.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $h$ est décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $h$ est décroissante sur $]-\infty\ ;0[$ et décroissante sur $]0\ ;+\infty[$ . »

Pourquoi : Contre-exemple chiffré : $h(-1)=-1$ et $h(1)=1$ . En passant de $-1$ à $1$ la fonction a MONTÉ, ce qu'une fonction décroissante ne fait jamais. Elle décroît sur chaque branche, pas d'une branche à l'autre, parce qu'elle saute en traversant l'asymptote.

3. Une parabole de sommet $(3\,;4)$ ouverte vers le bas.

1 point, et davantage en situation-problème, où la question porte souvent sur l'un des deux nombres seulement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le maximum est $(3\,;4)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le maximum est $4$ , atteint en $x=3$ . »

Pourquoi : Un extremum répond à « quelle est la plus grande valeur », donc c'est un nombre, avec une unité en contexte. L'abscisse répond à « où ». Le test qui tranche : quelle est l'UNITÉ de la réponse ? Si l'énoncé parle de hauteur en mètres, la réponse est en mètres.

4. Une fonction définie sur $[-4\ ;8]$ dont la courbe monte de $-3$ à $3$ .

1 point, et parfois 2 quand la suite de la question utilise l'image.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image est $[-4\ ;8]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine est $[-4\ ;8]$ , l'image est $[-3\ ;3]$ . »

Pourquoi : Le domaine se lit sur l'axe HORIZONTAL, l'image sur l'axe VERTICAL. Recopier le domaine dans la case image est l'une des confusions les plus fréquentes en début d'année, et elle disparaît dès qu'on prend l'habitude de dire à voix haute « les $x$ admis » et « les $y$ atteints ».

5. $f(x)=3\cdot 2^{x}+2$ , on demande l'image.

0,5 à 1 point, et c'est la même erreur qu'affirmer qu'une exponentielle atteint son asymptote.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image est $[2\ ;+\infty[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'image est $]2\ ;+\infty[$ , crochet OUVERT, car $3\cdot 2^{x}$ est strictement positif et ne s'annule jamais. »

Pourquoi : Une borne d'image est FERMÉE quand elle est atteinte, comme le sommet d'une parabole ou le point de départ d'une racine carrée, et OUVERTE quand elle est seulement approchée, comme une asymptote. Le crochet n'est pas décoratif, il dit lequel des deux cas on a.

6. $f(x)=2^{x}-8$ , on demande le signe et la variation.

2 points, un pour le signe et un pour la cohérence du raisonnement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Elle est croissante, donc elle est positive. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle est croissante sur $\mathbb{R}$ , et négative sur $]-\infty\ ;3[$ , positive sur $]3\ ;+\infty[$ . Entre $0$ et $3$ elle est négative ET croissante. »

Entre

x=0

x=3

, la courbe monte franchement et reste pourtant sous l'axe : négative et croissante en même temps. Le zéro en

x=3

est la frontière du SIGNE, pas de la variation, qui n'en a aucune ici.

Pourquoi : Monter et être au-dessus de l'axe sont deux choses différentes, comme prendre de l'altitude et être au-dessus du niveau de la mer. $f(0)=-7$ et $f(2)=-4$ : la fonction a bien monté en restant sous l'axe.

7. $f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2$ , on demande le signe.

2 points, car il manque un intervalle entier dans la réponse.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le zéro est en $x=2{,}5$ , donc négative avant et positive après. »

Ce qu'il faut écrire

« Frontières : le zéro $2{,}5$ ET la valeur interdite $3$ . Positive sur $]-\infty\ ;2{,}5]$ , négative sur $[2{,}5\ ;3[$ , positive sur $]3\ ;+\infty[$ . »

Pourquoi : Une fonction rationnelle change aussi de signe en traversant une asymptote verticale, sans y valoir zéro. Les frontières du signe sont donc les zéros ET les valeurs interdites, et oublier les secondes est l'erreur numéro un du chapitre.

Quelle méthode choisir

Comment trouver l'image, selon la famille

Une règle sous forme canonique, et la question « quelle est l'image ».

Si Quadratique ou valeur absolue, $a>0$ → $[k\ ;+\infty[$ , borne FERMÉE car atteinte au sommet

Exemple : $3|x+2|-6$ donne $[-6\ ;+\infty[$
Si Quadratique ou valeur absolue, $a<0$ → $]-\infty\ ;k]$ , borne fermée

Exemple : $-2(x-1)^{2}+5$ donne $]-\infty\ ;5]$
Si Racine carrée, $a>0$ → $[k\ ;+\infty[$ , la borne étant atteinte au point de départ

Exemple : $\sqrt{5-x}-2$ donne $[-2\ ;+\infty[$
Si Racine carrée, $a<0$ → $]-\infty\ ;k]$

Exemple : $-2\sqrt{x-3}+4$ donne $]-\infty\ ;4]$
Si Exponentielle → $]k\ ;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\ ;k[$ si $a<0$ , crochet OUVERT dans les deux cas

Exemple : $3\cdot 2^{x}+2$ donne $]2\ ;+\infty[$
Si Homographique → $\mathbb{R}\setminus\{k\}$

Exemple : $\frac{1}{x+3}+2$ donne $\mathbb{R}\setminus\{2\}$
Si Logarithmique → $\mathbb{R}$ tout entier, la fonction n'est bornée ni en haut ni en bas

Exemple : $\log_{3}(2x-6)+1$ donne $\mathbb{R}$
Si Sinusoïdale → $[k-|a|\ ;k+|a|]$ , les deux bornes étant atteintes

Exemple : $2\cos\left(\frac{\pi}{6}x\right)-1$ donne $[-3\ ;1]$

Le crochet suit une règle unique : FERMÉ quand la borne est atteinte, OUVERT quand elle est seulement approchée. Une asymptote donne toujours un crochet ouvert.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rendre une étude complète

Quand l'utiliser : Sur toute question « décrivez les propriétés » ou « faites l'étude complète de ».

1 Écrire les huit intitulés à l'avance, en colonne : cela empêche d'en oublier un, et un intitulé sans réponse rapporte parfois un demi-point.
2 Domaine, puis image, en justifiant par la règle et non par le dessin.
3 Zéros, avec vérification si l'on a élevé au carré ; puis ordonnée à l'origine, après avoir vérifié que $0$ est admis.
4 Signe, en citant les frontières utilisées, zéros ET valeurs interdites.
5 Variation, intervalle par intervalle, reliés par « et », jamais par une réunion ; puis extremums, en donnant la valeur et l'abscisse.
6 Asymptotes, ou la mention explicite « aucune asymptote ».

Phrase de conclusion

« $f$ est décroissante sur $[3\ ;+\infty[$ . Son maximum est $4$ , atteint en $x=3$ ; elle n'a pas de minimum. Elle n'a aucune asymptote. »

Le piège : Sauter une propriété parce qu'elle est « évidente ». Écrire « domaine $\mathbb{R}$ , aucune asymptote » prend cinq secondes et rapporte autant qu'un calcul long.

Barème : En général un demi-point à un point par propriété, soit quatre à huit points pour une étude complète.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'extremum est la borne de l'image

Comparer la valeur de l'extremum trouvé à la borne fermée de l'image annoncée : ce doit être le même nombre.

Image $[-6\ ;+\infty[$ et minimum $-6$ : cohérent ✓. Image $[0\ ;+\infty[$ et minimum $-3$ : impossible, il y a une erreur.
Les zéros bornent le signe

Vérifier que chaque changement de signe annoncé se produit à un zéro ou à une valeur interdite, et nulle part ailleurs.

Deux zéros et une valeur interdite donnent au plus quatre intervalles de signe.
Les extremums bornent la variation

Vérifier que chaque changement de sens se produit à un extremum annoncé, et que tout extremum annoncé correspond bien à un changement de sens ou à un bord du domaine.

Décroissante puis croissante avec un changement en $x=-2$ : il doit y avoir un minimum en $x=-2$ .
Un test numérique dans chaque intervalle

Choisir un nombre simple dans chaque intervalle de signe et calculer $f$ pour confirmer le signe annoncé.

Signe négatif annoncé sur $[-4\ ;0]$ : tester $f(-2)$ , on doit trouver un nombre négatif.

L'exercice type décortiqué

Étude complète de $f(x)=-3|x-2|+9$

Soit $f(x)=-3|x-2|+9$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Faites l'étude complète en respectant l'ordre des huit propriétés.

Le sommet

(2\,;9)

est un maximum puisque

a=-3

est négatif ; les deux zéros

-1

5

encadrent la zone où la courbe est au-dessus de l'axe.

Étape 1

Domaine : $\mathbb{R}$ . Image : $|x-2|$ parcourt $[0\ ;+\infty[$ , multiplié par $-3$ il parcourt $]-\infty\ ;0]$ , plus $9$ donne $]-\infty\ ;9]$ .

Pourquoi

Une valeur absolue n'a aucune restriction. Pour l'image, on suit la règle morceau par morceau, et l'on écrit explicitement que le facteur négatif RETOURNE l'intervalle : c'est cette ligne qui vaut le point.

Étape 2

Zéros : $-3|x-2|+9=0$ donne $|x-2|=3$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , soit $x=5$ ou $x=-1$ . Ordonnée à l'origine : $f(0)=-3\times 2+9=3$ .

Pourquoi

Une valeur absolue égale à un nombre strictement positif donne TOUJOURS deux solutions. Oublier le second cas est l'erreur classique. Et $0$ appartient au domaine, donc l'ordonnée à l'origine existe bien ici.

Étape 3

Signe : positive sur $[-1\ ;5]$ , négative sur $]-\infty\ ;-1]$ et sur $[5\ ;+\infty[$ . Contrôle : $f(0)=3>0$ ✓ et $f(6)=-12+9=-3<0$ ✓.

Pourquoi

Les deux zéros sont les seules frontières possibles, puisqu'il n'y a pas de valeur interdite. Un test numérique par intervalle suffit à décider, et il se rédige en une ligne.

Étape 4

Variation : croissante sur $]-\infty\ ;2]$ , décroissante sur $[2\ ;+\infty[$ .

Pourquoi

Le sommet est en $x=2$ , valeur qui annule la quantité entre barres, et $a<0$ ouvre la courbe vers le bas : elle monte puis descend. Les deux intervalles sont écrits séparément, reliés par une virgule, jamais par un symbole de réunion.

Étape 5

Extremums : le maximum est $9$ , atteint en $x=2$ . Il n'y a pas de minimum.

Pourquoi

On donne la valeur puis l'abscisse, dans cet ordre. Dire qu'il n'y a pas de minimum fait partie de la réponse : la fonction descend indéfiniment des deux côtés.

Étape 6

Asymptotes : aucune. Contrôle final : le maximum $9$ est bien la borne fermée de l'image $]-\infty\ ;9]$ ✓.

Pourquoi

La famille valeur absolue n'a jamais d'asymptote, et le dire explicitement vaut mieux que laisser la ligne vide. Le recoupement final entre l'extremum et l'image est gratuit et il attrape la plupart des erreurs.

Conclusion rédigée

Domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\ ;9]$ , zéros $-1$ et $5$ , ordonnée à l'origine $3$ , positive sur $[-1\ ;5]$ , croissante puis décroissante avec un maximum de $9$ en $x=2$ , aucune asymptote.

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer l'image $[9\ ;+\infty[$ en oubliant que $a=-3$ est négatif : l'intervalle est retourné, et le contrôle immédiat est que $f(0)=3$ n'appartiendrait pas à l'image annoncée.

À savoir par cœur

• Domaine sur l'axe horizontal, image sur l'axe vertical.
• Crochet FERMÉ si la borne est atteinte, OUVERT si elle est seulement approchée.
• Frontières du signe : les zéros ET les valeurs interdites.
• Frontières de la variation : les extremums.
• Jamais de réunion dans une variation : « décroissante sur $A$ et sur $B$ ».
• Un extremum est une valeur, pas un couple de coordonnées.
• L'ordonnée à l'origine n'existe que si $0$ appartient au domaine.
• Une fonction périodique s'étudie sur UNE période, et on le dit.

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés à donner dans une étude de fonction ?

Huit, toujours dans le même ordre : le domaine, l'image, les zéros, l'ordonnée à l'origine, le signe, la variation, les extremums et les asymptotes. Pour une fonction périodique, on ajoute la période et l'on précise l'intervalle sur lequel l'étude est faite. Écrire les huit intitulés en colonne avant de répondre évite d'en oublier un.

Quelle est la différence entre le signe et la variation ?

Le signe dit si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, la variation dit si elle monte ou descend. Ce sont deux questions indépendantes : une fonction peut très bien être négative et croissante, comme deux puissance x moins huit entre zéro et trois. Les frontières ne sont pas les mêmes non plus, les zéros pour le signe, les extremums pour la variation.

Peut-on écrire qu'une fonction est décroissante sur R privé de 0 ?

Non, jamais. Une variation s'énonce sur un intervalle, pas sur une réunion d'intervalles. La fonction un sur x en est la preuve : elle vaut moins un en moins un et plus un en un, donc elle a monté entre les deux. On écrit qu'elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément, reliés par le mot et.

Comment trouver l'image d'une fonction en secondaire 5 ?

On la lit sur la forme canonique, jamais en devinant sur un dessin. On part de la partie variable, on suit ce que lui font les paramètres, et l'on note qu'un coefficient négatif retourne l'intervalle. La borne vaut k, et le crochet est fermé si elle est atteinte, ouvert si c'est une asymptote. Contrôle : la borne fermée de l'image doit être l'extremum trouvé plus loin.

Comment écrire correctement un maximum dans une copie ?

Un maximum est une valeur, donc un nombre, accompagné de l'abscisse où il est atteint. On écrit : le maximum est quatre, atteint en x égale trois. Écrire que le maximum est le couple trois point quatre est sanctionné, parce que cela confond le sommet, qui est un point, avec le maximum, qui est une hauteur. En contexte, la valeur porte aussi son unité.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'étude complète d'une fonction

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Mathématiques SN5 De la courbe à la règle Les paramètres a, b, h, k Tuteur secondaire

Votre enfant perd des points sur « décrivez les propriétés » ?

Contactez-moi pour une première séance. Cette question revient dans chaque examen de secondaire 5, et elle se travaille une fois pour toutes plutôt que chapitre par chapitre.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : L'étude complète d'une fonction

L'essentiel

Les huit propriétés, toujours dans cet ordre

Signe et variation ne parlent pas de la même chose

Les pièges qui coûtent des points

1. f(x)=−2x−3+4f(x)=-2\sqrt{x-3}+4f(x)=−2x−3​+4, on demande l'ordonnée à l'origine.

2. h(x)=1xh(x)=\dfrac{1}{x}h(x)=x1​, on demande la variation.

3. Une parabole de sommet (3 ;4)(3\,;4)(3;4) ouverte vers le bas.

4. Une fonction définie sur [−4 ;8][-4\ ;8][−4 ;8] dont la courbe monte de −3-3−3 à 333.

5. f(x)=3⋅2x+2f(x)=3\cdot 2^{x}+2f(x)=3⋅2x+2, on demande l'image.

6. f(x)=2x−8f(x)=2^{x}-8f(x)=2x−8, on demande le signe et la variation.

7. f(x)=1x−3+2f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2f(x)=x−31​+2, on demande le signe.

Quelle méthode choisir

Comment trouver l'image, selon la famille

La rédaction attendue

Rendre une étude complète

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étude complète de f(x)=−3∣x−2∣+9f(x)=-3|x-2|+9f(x)=−3∣x−2∣+9

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés à donner dans une étude de fonction ?

Quelle est la différence entre le signe et la variation ?

Peut-on écrire qu'une fonction est décroissante sur R privé de 0 ?

Comment trouver l'image d'une fonction en secondaire 5 ?

Comment écrire correctement un maximum dans une copie ?

Exercices corrigés : L'étude complète d'une fonction

Voir aussi

Votre enfant perd des points sur « décrivez les propriétés » ?

1. $f(x)=-2\sqrt{x-3}+4$ , on demande l'ordonnée à l'origine.

2. $h(x)=\dfrac{1}{x}$ , on demande la variation.

3. Une parabole de sommet $(3\,;4)$ ouverte vers le bas.

4. Une fonction définie sur $[-4\ ;8]$ dont la courbe monte de $-3$ à $3$ .

5. $f(x)=3\cdot 2^{x}+2$ , on demande l'image.

6. $f(x)=2^{x}-8$ , on demande le signe et la variation.

7. $f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2$ , on demande le signe.

Étude complète de $f(x)=-3|x-2|+9$