Exercices corrigés : l'étude complète d'une fonction (les huit propriétés)

a) Le seul obstacle est le radicande, qui doit être positif ou nul : $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$. Le domaine est $[3\ ;+\infty[$, crochet FERMÉ en $3$ puisque $\sqrt{0}=0$ existe parfaitement. Confondre ce crochet avec celui d'une asymptote, qui serait ouvert, est une erreur classique.

b) On raisonne sur la règle, morceau par morceau. Le radical $\sqrt{x-3}$ parcourt $[0\ ;+\infty[$. En multipliant par $-2$, on obtient $]-\infty\ ;0]$ : le signe négatif RETOURNE l'intervalle, ce qu'il faut écrire explicitement. En ajoutant $4$, on translate le tout : l'image est $]-\infty\ ;4]$. Le crochet fermé en $4$ signifie que la valeur $4$ est bel et bien atteinte, en $x=3$.

c) Zéros : on résout $-2\sqrt{x-3}+4=0$, soit $2\sqrt{x-3}=4$, puis $\sqrt{x-3}=2$, puis $x-3=4$ et $x=7$. Vérification obligatoire après élévation au carré : $f(7)=-2\sqrt{4}+4=-4+4=0$ ✓. Il y a donc un seul zéro, $x=7$. Ordonnée à l'origine : elle N'EXISTE PAS, parce que $0$ n'appartient pas au domaine $[3\ ;+\infty[$. C'est le piège de l'exercice, et la bonne réponse n'est ni $4$ ni $0$, c'est « pas d'ordonnée à l'origine ». Le graphique le confirme : la courbe ne touche jamais l'axe des ordonnées.

d) Le signe se lit entre les frontières que sont le bord du domaine et le zéro. Sur $[3\ ;7[$, la fonction est POSITIVE : par exemple $f(4)=-2+4=2>0$. Sur $]7\ ;+\infty[$, elle est NÉGATIVE : $f(12)=-2\times 3+4=-2<0$. En $x=7$ elle est nulle. On écrit donc : $f$ est positive sur $[3\ ;7]$ et négative sur $[7\ ;+\infty[$, en incluant le zéro dans les deux ou dans aucun, selon la convention de votre enseignant, mais jamais en l'oubliant.

e) Variation : la fonction est DÉCROISSANTE sur tout son domaine $[3\ ;+\infty[$. Justification par la règle plutôt que par le dessin : $\sqrt{x-3}$ croît, et la multiplication par $-2$, un nombre négatif, renverse le sens. Extremums : le maximum est $4$, atteint en $x=3$. Il n'y a PAS de minimum, car la fonction descend indéfiniment. Notez la formulation : le maximum est la valeur $4$, pas le point $(3\,;4)$, et une copie qui écrit « le maximum est $(3\,;4)$ » se voit retirer le point.

f) Aucune asymptote. La courbe descend sans limite, mais descendre sans limite n'est pas s'approcher d'une droite : une asymptote suppose une droite dont on se rapproche indéfiniment. La famille racine carrée n'en a jamais, pas plus que la valeur absolue, la quadratique ou la partie entière. Les seules familles du programme qui en possèdent sont l'homographique, l'exponentielle, la logarithmique et la tangente.

a) Domaine : $\mathbb{R}$. Une valeur absolue accepte n'importe quel réel, il n'y a ni radicande, ni dénominateur, ni logarithme. Image : la quantité $|x+2|$ parcourt $[0\ ;+\infty[$ ; multipliée par $3$, elle parcourt encore $[0\ ;+\infty[$ puisque $3>0$ ne renverse rien ; en retranchant $6$, on obtient $[-6\ ;+\infty[$. L'image est $[-6\ ;+\infty[$, et la borne $-6$ est atteinte.

b) Zéros : $3|x+2|-6=0$ donne $|x+2|=2$, donc $x+2=2$ ou $x+2=-2$, c'est-à-dire $x=0$ ou $x=-4$. Il y a DEUX zéros, comme toujours quand une valeur absolue est égalée à un nombre strictement positif. Ordonnée à l'origine : $g(0)=3|2|-6=6-6=0$. Elle vaut $0$, ce qui est cohérent avec le fait que $x=0$ soit justement un zéro : la courbe passe par l'origine du repère.

c) Les deux zéros $-4$ et $0$ découpent la droite réelle en trois morceaux. Entre eux, la fonction est NÉGATIVE : $g(-2)=3\times 0-6=-6<0$. À l'extérieur, elle est POSITIVE : $g(-5)=3\times 3-6=3>0$ et $g(1)=3\times 3-6=3>0$. Conclusion : $g$ est négative sur $[-4\ ;0]$ et positive sur $]-\infty\ ;-4]$ et sur $[0\ ;+\infty[$.

d) Le sommet est en $x=-2$, valeur qui annule la quantité entre barres. Comme $a=3>0$, la courbe s'ouvre vers le haut : $g$ est DÉCROISSANTE sur $]-\infty\ ;-2]$ puis CROISSANTE sur $[-2\ ;+\infty[$. Le minimum est $-6$, atteint en $x=-2$, et il n'y a pas de maximum. Contrôle de cohérence avec la question a) : le minimum de la fonction est exactement la borne fermée de l'image, et ce n'est pas un hasard, c'est la même information dite deux fois.

e) Deux erreurs dans une seule phrase. D'abord le sens : sur $]-\infty\ ;-2]$ la fonction DÉCROÎT, elle ne croît pas. Ensuite, et c'est le point de fond, une variation ne s'énonce jamais sur une réunion d'intervalles. Dire « croissante sur $A\cup B$ » signifierait que pour tout couple de points, l'un dans $A$ et l'autre dans $B$, la fonction a monté du premier au second, ce qui est faux ici : $g(-5)=3$ et $g(1)=3$, deux points où la fonction prend la même valeur alors que $-5<1$. Énoncé correct : $g$ est décroissante sur $]-\infty\ ;-2]$ et croissante sur $[-2\ ;+\infty[$, avec « et », jamais avec un symbole de réunion.

a) Variation : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, car $2^{x}$ est croissante (base supérieure à $1$) et que retrancher $8$ translate la courbe vers le bas sans changer le sens. Signe : $2^{x}-8=0$ donne $2^{x}=8=2^{3}$, donc $x=3$ est l'unique zéro ; $f$ est négative sur $]-\infty\ ;3[$ et positive sur $]3\ ;+\infty[$. Entre $x=0$ et $x=3$, on constate donc que la fonction est NÉGATIVE ET CROISSANTE en même temps : $f(0)=1-8=-7$ et $f(2)=4-8=-4$, la fonction a bien monté, de $-7$ à $-4$, tout en restant sous l'axe. Monter et être au-dessus de l'axe sont deux choses différentes, exactement comme prendre de l'altitude et être au-dessus du niveau de la mer.

b) $f(x)=-x^{2}$ sur $[0\ ;+\infty[$ : elle vaut $0$ en $0$ puis devient strictement négative, et elle décroît. Autre exemple accepté : $f(x)=-2^{x}$ sur $\mathbb{R}$, négative partout et décroissante partout, puisque $2^{x}$ croît et que le signe moins renverse le sens. Ou encore la fonction $-\sqrt{x}$ sur $[0\ ;+\infty[$.

c) $f(x)=3\cdot 0{,}5^{x}$ sur $\mathbb{R}$ : une exponentielle de base comprise entre $0$ et $1$, avec $a>0$. Elle est strictement positive partout, puisqu'une puissance de base positive ne s'annule jamais, et strictement décroissante, puisque la base est inférieure à $1$. Autre exemple : $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0\ ;+\infty[$.

d) $f(x)=\sqrt{x}+1$ sur $[0\ ;+\infty[$ : elle vaut au moins $1$, donc elle est positive, et la racine carrée croît. Ou encore $f(x)=2^{x}$ sur $\mathbb{R}$, positive et croissante. Ces quatre exemples suffisent à démontrer l'indépendance des deux propriétés : les quatre cases du tableau sont remplies.

e) Parce que le signe est une comparaison entre $f(x)$ et $0$, et que la seule façon pour une fonction continue de passer du positif au négatif est de VALOIR $0$ au passage : les zéros sont donc les seuls endroits où le signe peut changer. La variation, elle, est une comparaison de $f$ avec elle-même, et la seule façon de passer de la montée à la descente est d'atteindre un point où l'on ne monte plus sans encore descendre, c'est-à-dire un extremum. Deux questions différentes, deux familles de frontières différentes, et aucune raison qu'elles tombent aux mêmes abscisses. Il arrive d'ailleurs qu'un zéro soit aussi un extremum, comme le sommet de $g(x)=|x|$ : c'est une coïncidence, pas une règle.

a) Domaine : $5-2x\geq 0$, donc $-2x\geq -5$ et, en divisant par $-2$, un nombre négatif, l'inégalité CHANGE de sens : $x\leq\frac{5}{2}$. Le domaine est $\left]-\infty\ ;\frac{5}{2}\right]$. Ce renversement de sens est l'erreur la plus fréquente de la question. Image : une racine carrée est toujours positive ou nulle, et ici elle prend toutes les valeurs positives puisque $5-2x$ balaie $[0\ ;+\infty[$ quand $x$ descend. L'image est $[0\ ;+\infty[$.

b) Il faut $x^{2}-9\neq 0$, c'est-à-dire $(x-3)(x+3)\neq 0$, donc $x\neq 3$ et $x\neq -3$. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{-3\ ;3\}$. Deux vigilances : on résout l'équation $x^{2}-9=0$ pour ensuite EXCLURE ses solutions, et il y en a deux, pas une ; oublier $-3$ parce qu'on n'a pensé qu'à la racine positive est courant.

c) Domaine : $2x-6>0$, donc $x>3$, avec une inégalité STRICTE, car le logarithme de zéro n'existe pas. Le domaine est $]3\ ;+\infty[$, crochet ouvert. Image : $\mathbb{R}$ tout entier. Un logarithme n'est borné ni en haut ni en bas, il descend indéfiniment près de son asymptote et monte indéfiniment vers la droite, même si c'est très lentement. Le $+1$ ne change rien à cela, il translate une droite réelle qui reste la droite réelle.

d) Les deux conditions doivent être satisfaites EN MÊME TEMPS, donc on les intersecte : $x-1\geq 0$ donne $x\geq 1$, et $x-4\neq 0$ donne $x\neq 4$. Le domaine est $[1\ ;+\infty[\setminus\{4\}$, que l'on peut aussi écrire $[1\ ;4[\cup]4\ ;+\infty[$. La faute à éviter est de réunir au lieu d'intersecter : une fonction n'est définie que là où TOUS ses morceaux le sont, jamais là où l'un ou l'autre l'est.

e) Domaine mathématique : $A(x)=x(10-x)=10x-x^{2}$ est un polynôme, défini sur $\mathbb{R}$ tout entier, y compris pour $x=-3$ ou $x=1000$. Domaine du contexte : un côté mesure une longueur strictement positive, donc $x>0$, et l'autre côté vaut $10-x$, qui doit aussi être strictement positif, donc $x<10$. Le domaine du contexte est $]0\ ;10[$. Cette distinction rapporte des points à chaque situation-problème : la question « quelles valeurs de $x$ ont un sens ici » se pose toujours, et la réponse n'est jamais $\mathbb{R}$. Selon l'énoncé, on discute parfois les bornes : si un rectangle aplati était toléré, on écrirait $[0\ ;10]$, mais une aire nulle n'est pas un rectangle.

a) Domaine : $[-4\ ;8]$, l'énoncé le donne et la courbe s'arrête bien à ces deux bornes. Image : la courbe descend jusqu'à $-3$ et monte jusqu'à $3$, en prenant toutes les valeurs intermédiaires ; l'image est $[-3\ ;3]$. Ne pas confondre : l'image se lit sur l'axe VERTICAL, le domaine sur l'axe horizontal, et une copie qui donne $[-4\ ;8]$ pour l'image a simplement recopié le domaine.

b) Zéros : la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=-2{,}5$ et en $x=3{,}5$. Il y en a deux. Ordonnée à l'origine : $f(0)=3$, puisque la courbe passe par $(0\,;3)$, sur son palier horizontal.

c) Entre les deux zéros la courbe est au-dessus de l'axe, à l'extérieur elle est en dessous. Donc $f$ est négative sur $[-4\ ;-2{,}5]$, positive sur $[-2{,}5\ ;3{,}5]$, et négative sur $[3{,}5\ ;8]$.

d) $f$ est croissante sur $[-4\ ;-1]$, constante sur $[-1\ ;2]$, décroissante sur $[2\ ;5]$, puis constante sur $[5\ ;8]$. Les quatre intervalles sont énoncés séparément, reliés par des virgules, jamais par un symbole de réunion. Les bornes sont incluses dans les deux intervalles voisins, c'est l'usage.

e) Le maximum est $3$, atteint sur tout l'intervalle $[-1\ ;2]$. Le minimum est $-3$, atteint sur tout l'intervalle $[5\ ;8]$. Deux points de rédaction : l'extremum est une VALEUR, ici $3$ et $-3$, et non un point ; et un extremum peut parfaitement être atteint en une infinité d'abscisses, ce qui arrive dès qu'il y a un palier. Écrire « le maximum est atteint en $x=-1$ » serait incomplet.

f) Oui, sur $[-1\ ;2]$ et sur $[5\ ;8]$. Cela ne contredit rien du tout : constante n'est ni croissante ni décroissante, c'est un troisième état, et il a parfaitement le droit d'exister. C'est même la situation la plus fréquente en contexte, où un palier signifie un stock épuisé, un tarif plafonné ou une température stabilisée. En revanche, une fonction constante sur un intervalle ne peut pas y être strictement croissante, et une copie qui écrirait « croissante sur $[-4\ ;2]$ » serait fausse à partir de $-1$.

a) On force l'apparition du dénominateur au numérateur : $2x+7=2(x+3)+1$, puisque $2(x+3)=2x+6$ et qu'il manque $1$. Donc $f(x)=\frac{2(x+3)+1}{x+3}=2+\frac{1}{x+3}$, soit $f(x)=\frac{1}{x+3}+2$. On lit $a=1$, $h=-3$ et $k=2$. Cette division est le passage obligé : sous la forme générale, aucune des huit propriétés ne se lit.

b) Domaine : $x+3\neq 0$, donc $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$. Image : $\frac{1}{x+3}$ prend toutes les valeurs réelles SAUF $0$, car un quotient de numérateur $1$ ne s'annule jamais ; en ajoutant $2$, l'image est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Asymptotes : la verticale $x=-3$, valeur interdite, et l'horizontale $y=2$, valeur non atteinte. Elles se croisent en $(-3\,;2)$, qui est le centre de symétrie de la courbe.

c) Zéro : $\frac{1}{x+3}+2=0$ donne $\frac{1}{x+3}=-2$, donc $1=-2(x+3)$, soit $1=-2x-6$ et $x=-\frac{7}{2}=-3{,}5$. Vérification : $f(-3{,}5)=\frac{-7+7}{-0{,}5}=0$ ✓. On pouvait aussi aller au plus court sur la forme générale : un quotient est nul quand son numérateur l'est, donc $2x+7=0$. Ordonnée à l'origine : $f(0)=\frac{7}{3}$, valeur exacte à laisser en fraction.

d) Le signe change en deux endroits seulement : au zéro $-3{,}5$ et à la valeur interdite $-3$, car une fonction rationnelle peut aussi changer de signe en traversant une asymptote verticale. On teste un point dans chacun des trois intervalles : $f(-10)=\frac{-13}{-7}\approx 1{,}86>0$ ; $f(-3{,}2)=\frac{0{,}6}{-0{,}2}=-3<0$ ; $f(0)=\frac{7}{3}>0$. Donc $f$ est positive sur $]-\infty\ ;-3{,}5]$, négative sur $[-3{,}5\ ;-3[$ et positive sur $]-3\ ;+\infty[$. Oublier la valeur interdite comme frontière de signe est l'erreur numéro un du chapitre.

e) $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;-3[$ et décroissante sur $]-3\ ;+\infty[$, ces deux intervalles étant énoncés SÉPARÉMENT. Non, on ne peut pas écrire qu'elle est décroissante sur son domaine, et la raison est numérique : $f(-4)=\frac{1}{-1}+2=1$ tandis que $f(0)=\frac{7}{3}\approx 2{,}33$. On a $-4<0$ et pourtant $f(-4)<f(0)$ : la fonction a MONTÉ entre ces deux abscisses. Elle décroît sur chaque branche prise à part, mais pas d'une branche à l'autre, parce qu'elle saute de $-\infty$ à $+\infty$ en traversant l'asymptote. C'est exactement pourquoi une variation ne s'énonce jamais sur une réunion d'intervalles.

a) L'amplitude est $|a|=2$, c'est-à-dire la demi-hauteur entre le sommet et le creux : la courbe monte jusqu'à $1$ et descend jusqu'à $-3$, soit une hauteur totale de $4$ et une amplitude de $2$. La période vaut $\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{\pi/6}=2\pi\times\frac{6}{\pi}=12$, ce que le graphique confirme, le motif se répétant de $0$ à $12$. L'axe médian est la droite $y=k=-1$, à mi-chemin entre $1$ et $-3$. L'image est $[-3\ ;1]$, et c'est toujours $[k-|a|\ ;k+|a|]$ pour une sinusoïdale.

b) $\mathbb{R}$. Le cosinus est défini pour tout réel, sans aucune restriction : ni radicande, ni dénominateur, ni logarithme. Seule la tangente fait exception parmi les fonctions trigonométriques du programme.

c) On résout $2\cos\left(\frac{\pi}{6}x\right)-1=0$, soit $\cos\left(\frac{\pi}{6}x\right)=\frac{1}{2}$. Le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ en $\frac{\pi}{3}$ et en $-\frac{\pi}{3}$, modulo $2\pi$. Donc $\frac{\pi}{6}x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ donne $x=2+12k$, et $\frac{\pi}{6}x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ donne $x=-2+12k$. Sur $[0\ ;12]$, cela laisse $x=2$ et $x=10$. Forme générale : $x=2+12k$ ou $x=10+12k$, avec $k$ entier. Une équation trigonométrique a toujours une infinité de solutions, et ne donner que celles de la fenêtre sans le dire coûte des points.

d) Ordonnée à l'origine : $f(0)=2\cos(0)-1=2-1=1$, qui se trouve être aussi le maximum. Signe sur $[0\ ;12]$ : les frontières sont les zéros $2$ et $10$. La fonction est positive sur $[0\ ;2]$, négative sur $[2\ ;10]$, positive sur $[10\ ;12]$. Contrôle : $f(6)=2\cos(\pi)-1=-2-1=-3<0$ ✓, et le creux est bien dans la zone négative.

e) Sur $[0\ ;12]$ : $f$ est décroissante sur $[0\ ;6]$ puis croissante sur $[6\ ;12]$. Le maximum est $1$, atteint en $x=0$ et en $x=12$ ; le minimum est $-3$, atteint en $x=6$. Sur $\mathbb{R}$ tout entier, ces extremums sont atteints une infinité de fois, en $x=12k$ pour le maximum et en $x=6+12k$ pour le minimum.

f) Parce qu'il manque la PÉRIODICITÉ, qui est une propriété à part entière et qui modifie la lecture de toutes les autres. Une fonction périodique n'a pas « un » zéro ou « un » extremum, elle en a une infinité, répartis régulièrement ; la variation alterne indéfiniment ; le signe alterne indéfiniment. La règle de rédaction qui en découle est simple et rapporte des points : on étudie la fonction sur UNE période, ici $[0\ ;12]$, on le dit explicitement, puis on ajoute que tout se répète de $12$ en $12$. Répondre sans préciser l'intervalle d'étude est la faute la plus fréquente sur ce chapitre.

a) Domaine mathématique : $\mathbb{R}$, puisque $B$ est un polynôme. Domaine du contexte : $p>0$, car un prix de vente est strictement positif, et l'on peut même plafonner raisonnablement, disons $p\leq 20$ dollars, au-delà de quoi le modèle n'a plus de sens commercial. On retient $]0\ ;20]$ en le justifiant, ou $]0\ ;+\infty[$ si l'énoncé ne borne pas. Ce qui est sanctionné, c'est de répondre $\mathbb{R}$ sans commentaire : un prix négatif n'existe pas.

b) Image mathématique : le carré $(p-9)^{2}$ parcourt $[0\ ;+\infty[$, multiplié par $-20$ il parcourt $]-\infty\ ;0]$, et en ajoutant $500$ on obtient $]-\infty\ ;500]$. La borne $500$ signifie que l'érablière ne peut pas gagner plus de $500$ dollars par mois avec ce modèle, quel que soit le prix affiché. C'est le genre de conclusion qu'un examen attend rédigée en toutes lettres, pas seulement sous forme d'intervalle.

c) $-20(p-9)^{2}+500=0$ donne $(p-9)^{2}=25$, donc $p-9=5$ ou $p-9=-5$, c'est-à-dire $p=14$ ou $p=4$. Vérification : $B(4)=-20\times 25+500=0$ ✓. Phrase : à $4$ dollars le litre comme à $14$ dollars le litre, l'érablière ne gagne ni ne perd rien, elle atteint tout juste son seuil de rentabilité.

d) Les deux zéros découpent le contexte en trois. $B$ est négative sur $]0\ ;4[$, positive sur $]4\ ;14[$, négative sur $]14\ ;20]$. Traduction : en dessous de $4$ dollars le litre, l'érablière vend à perte, le prix ne couvre pas les coûts ; au-dessus de $14$ dollars, elle perd aussi, mais pour la raison inverse, plus personne n'achète assez. Elle n'est bénéficiaire qu'entre $4$ et $14$ dollars. Voilà l'exemple parfait de deux zéros qui ont deux significations économiques opposées, alors que le calcul les traite de la même façon.

e) $B$ est croissante sur $]0\ ;9]$ et décroissante sur $[9\ ;20]$. Le maximum est $500$ dollars, atteint pour $p=9$ dollars. Conseil : afficher $9$ dollars le litre, ce qui maximise le bénéfice mensuel à $500$ dollars. Remarquez que le prix optimal est exactement au milieu des deux seuils de rentabilité, $\frac{4+14}{2}=9$ : la symétrie de la parabole garantit toujours ce résultat, et c'est un contrôle gratuit de vos calculs.