Fiche de révision : la fonction tangente (math SN5)

Si on cherche la PÉRIODE → $\frac{\pi}{|b|}$, et non $\frac{2\pi}{|b|}$

Exemple : $\tan(3x)$ : période $\frac{\pi}{3}$

C'est la seule fonction du programme dont la période de base vaut $\pi$.

Si on cherche les ASYMPTOTES → résoudre $b(x-h)=\frac{\pi}{2}+k\pi$, ce qui donne des droites espacées d'une période

Exemple : $\tan\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ : $2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{2}$, puis toutes les $\frac{\pi}{2}$

Si on cherche les ZÉROS → résoudre $b(x-h)=k\pi$, ce qui place un zéro au MILIEU de chaque branche

Exemple : $\tan\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ : zéros en $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$

Quand $k\neq 0$, la fonction ne s'annule plus là : il faut résoudre $a\tan(u)=-k$.

Si on cherche le POINT DE REPÈRE à placer sur le graphique → $(h;k)$ est le centre de symétrie d'une branche, à mi-chemin entre deux asymptotes

Exemple : pour $2\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$, le repère est $\left(\frac{\pi}{3};1\right)$

Au Québec, ce point s'appelle le POINT D'INFLEXION : on le place en premier, puis $|b|=\frac{\pi}{P}$, puis $a$ par un point.

Si on cherche l'effet de $a$ → étirement vertical, et réflexion si $a<0$ : la courbe devient plus raide ou se retourne, mais reste non bornée

Exemple : $a=-1$ transforme une branche croissante en branche décroissante

Un $a$ négatif inverse le sens de variation sur chaque branche, et c'est la seule conséquence.

Si c'est une ÉQUATION $\tan u=c$ → UNE solution par période : $u=\arctan(c)+k\pi$, avec un $k\pi$ et non un $2k\pi$

Exemple : $\tan x=1$ donne $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Toute valeur de $c$ convient : l'image de la tangente est $\mathbb{R}$, il n'y a jamais d'ensemble vide.

Si l'argument est $b(x-h)$ → résoudre pour l'argument, puis diviser TOUT par $b$, terme périodique compris, et ajouter $h$

Exemple : $\tan(3x)=1$ donne $x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}$

Si c'est une INÉQUATION → se placer sur UNE branche, entre deux asymptotes, résoudre, puis ajouter $k\pi$

Exemple : $\tan x>1$ donne $\left]\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right[$ par branche

L'asymptote est toujours une borne de l'intervalle solution, et elle est toujours EXCLUE.

Si l'inéquation est du type $\tan x<c$ → l'intervalle part de l'asymptote GAUCHE de la branche jusqu'à la solution de l'équation

Exemple : $\tan x<1$ donne $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right[$ sur la branche centrale

Si l'énoncé impose un intervalle précis, comme $[0;2\pi]$ → compter les branches contenues dans cet intervalle et donner une solution par branche

Exemple : sur $[0;2\pi]$, la tangente de base a deux branches complètes, donc $\tan x=1$ y a deux solutions

Le nombre de solutions vaut la longueur de l'intervalle divisée par la période, ce qui donne un contrôle rapide.