Math SN5, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie
Cette fiche ne refait pas le cours sur la fonction tangente : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, tout ce qui distingue la tangente d'une sinusoïde, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.
Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.
Le fil du chapitre
La tangente n'est pas une sinusoïde, et presque tous les points perdus viennent de la traiter comme telle : elle n'a ni amplitude, ni maximum, ni minimum, sa période vaut et non , et elle est coupée par des asymptotes verticales. Tout se déduit du quotient : les zéros viennent du numérateur, les asymptotes du dénominateur, et l'image est tout entier parce qu'un quotient peut devenir aussi grand qu'on veut.
Retenir le quotient dispense de mémoriser quoi que ce soit d'autre : le domaine, les zéros et les asymptotes se retrouvent en dix secondes en se demandant où le sinus et le cosinus s'annulent.
Le paramètre est un étirement vertical, jamais une amplitude : il rend la courbe plus raide ou plus plate, et un négatif la retourne, mais il ne borne rien du tout.
Le point est le CENTRE DE SYMÉTRIE d'une branche : c'est le point de repère à placer en premier, exactement comme le sommet d'une parabole ou le centre d'une hyperbole.
L'erreur la plus coûteuse du chapitre est d'écrire par automatisme : la moitié des solutions disparaît alors, et le graphique le montre immédiatement puisque les branches se succèdent tous les .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne . »
Ce qu'il faut écrire
« La période de la tangente vaut , donc : il y a aussi la solution , que la formule fautive oublie. »
Pourquoi : La tangente est un quotient dont le numérateur et le dénominateur changent de signe ensemble tous les : le rapport reprend donc les mêmes valeurs deux fois plus souvent. Le contrôle est direct : également.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : l'amplitude vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« La tangente n'a pas d'amplitude, puisqu'elle n'est bornée ni en haut ni en bas. Le paramètre est un ÉTIREMENT vertical, qui rend la courbe plus raide. »
Pourquoi : L'amplitude mesure l'écart maximal à un axe d'oscillation, ce qui suppose une fonction bornée. La tangente prend toutes les valeurs réelles sur chaque branche : parler d'amplitude revient à confondre deux familles de fonctions.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« a ses asymptotes en . »
Ce qu'il faut écrire
« Les asymptotes sont là où le DÉNOMINATEUR s'annule, donc où , c'est-à-dire en . En , ce sont les ZÉROS. »
Pourquoi : Zéros et asymptotes viennent des deux étages du quotient : le numérateur donne les zéros, le dénominateur les valeurs interdites. C'est exactement la même règle que pour une fraction rationnelle, et elle se vérifie en calculant .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est croissante sur privé des asymptotes. »
Ce qu'il faut écrire
« Elle est croissante sur CHAQUE branche, mais pas sur leur réunion : est plus grand que , alors que . »
Pourquoi : En franchissant une asymptote, la fonction saute de à : la croissance est interrompue. C'est exactement le même phénomène que pour l'hyperbole, et la formulation attendue est « croissante sur chacun des intervalles ».
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne . »
Ce qu'il faut écrire
« Sur la branche , la tangente dépasse pour . On ajoute ensuite pour les autres branches. »
Pourquoi : Juste après une asymptote, la tangente repart de : l'intervalle contient donc des zones où elle est inférieure à . L'asymptote borne toujours l'intervalle solution, et le graphique le montre en un coup d'oeil.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : la période vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« La période de la tangente vaut : elle est deux fois plus courte que celle d'une sinusoïde de même paramètre. »
Pourquoi : La période de base est pour la tangente et pour le sinus : le paramètre la divise dans les deux cas, mais la valeur de départ diffère. Le contrôle est de vérifier que , ce que la formule fautive ne donne pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« En divisant par : . Les solutions sont espacées d'un tiers de , soit la période de la fonction. »
Pourquoi : Diviser une égalité par divise chaque terme, terme périodique compris. Et l'écart entre deux solutions consécutives doit valoir exactement la période, ce qui donne un contrôle immédiat : ici , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : la valeur est trop grande, il n'y a pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« L'image de la tangente est tout entier : a une solution par branche, ici radian, tout près de l'asymptote. »
Pourquoi : Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente n'est bornée par rien : en approchant d'une asymptote, elle prend des valeurs arbitrairement grandes. Aucune valeur réelle n'est donc inatteignable, et c'est ce qui distingue ses équations de celles des sinusoïdes.
Mettez d'abord en évidence dans , puis appliquez les trois formules dans cet ordre : période, asymptotes, zéros. Chacune découle de la précédente.
Si on cherche la PÉRIODE → , et non
Exemple : : période
C'est la seule fonction du programme dont la période de base vaut .
Si on cherche les ASYMPTOTES → résoudre , ce qui donne des droites espacées d'une période
Exemple : : donne , puis toutes les
Si on cherche les ZÉROS → résoudre , ce qui place un zéro au MILIEU de chaque branche
Exemple : : zéros en
Quand , la fonction ne s'annule plus là : il faut résoudre .
Si on cherche le POINT DE REPÈRE à placer sur le graphique → est le centre de symétrie d'une branche, à mi-chemin entre deux asymptotes
Exemple : pour , le repère est
Si on cherche l'effet de → étirement vertical, et réflexion si : la courbe devient plus raide ou se retourne, mais reste non bornée
Exemple : transforme une branche croissante en branche décroissante
Un négatif inverse le sens de variation sur chaque branche, et c'est la seule conséquence.
Aucune formule ne fonctionne tant que n'est pas en facteur devant . L'écriture doit devenir , sans quoi le déphasage est lu au double de sa valeur.
Isolez la tangente, puis distinguez équation et inéquation : les deux se traitent très différemment, la seconde exigeant un découpage par branche.
Si c'est une ÉQUATION → UNE solution par période : , avec un et non un
Exemple : donne
Toute valeur de convient : l'image de la tangente est , il n'y a jamais d'ensemble vide.
Si l'argument est → résoudre pour l'argument, puis diviser TOUT par , terme périodique compris, et ajouter
Exemple : donne
Si c'est une INÉQUATION → se placer sur UNE branche, entre deux asymptotes, résoudre, puis ajouter
Exemple : donne par branche
L'asymptote est toujours une borne de l'intervalle solution, et elle est toujours EXCLUE.
Si l'inéquation est du type → l'intervalle part de l'asymptote GAUCHE de la branche jusqu'à la solution de l'équation
Exemple : donne sur la branche centrale
Si l'énoncé impose un intervalle précis, comme → compter les branches contenues dans cet intervalle et donner une solution par branche
Exemple : sur , la tangente de base a deux branches complètes, donc y a deux solutions
Le nombre de solutions vaut la longueur de l'intervalle divisée par la période, ce qui donne un contrôle rapide.
Le nombre de solutions attendu se calcule avant de résoudre : longueur de l'intervalle divisée par la période. Sur avec une période de , on attend six solutions, et en trouver deux signale un oublié.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé compare une tangente à un nombre avec un symbole d'inégalité, ou demande sur quels intervalles une grandeur dépasse un seuil.
Phrase de conclusion
« La fonction a pour période et pour asymptotes . Sur la branche , la tangente est croissante et vaut en ; elle dépasse donc pour . L'ensemble solution est la réunion de ces intervalles translatés de . »
Le piège : Rendre une demi-droite non bornée. Juste après une asymptote, la tangente repart de moins l'infini : elle repasse donc sous le seuil, et l'intervalle solution est toujours borné par l'asymptote suivante.
Barème : 1 point la période et les asymptotes, 1 point la valeur charnière, 1 point l'intervalle de la branche avec les bons crochets, 1 point la généralisation en .
Quand l'utiliser : L'énoncé demande le domaine, l'image, la période, les asymptotes, les zéros et un tracé.
Phrase de conclusion
« La fonction a pour période . Ses asymptotes vérifient , donc . Son domaine est privé de ces valeurs et son image est tout entier : la fonction n'a ni amplitude, ni maximum, ni minimum. Elle est croissante sur chacune de ses branches et s'annule en . »
Le piège : Annoncer une image bornée en s'appuyant sur le paramètre . Ce paramètre étire verticalement une courbe déjà non bornée : multiplier l'infini par ne change rien, et l'image reste quelle que soit la valeur de .
Barème : 1 point les paramètres après mise en évidence de , 1 point la période avec , 1 point les asymptotes, 1 point domaine, image et absence d'amplitude.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'écart entre deux solutions consécutives
Deux solutions consécutives d'une équation tangentielle sont espacées d'exactement une période. Soustrayez-les : le résultat doit valoir . Ce test attrape à la fois le écrit par automatisme et l'oubli de la division par .
Vous annoncez pour . L'écart vaut , alors que la période est : deux solutions sur trois manquent.
Le test de périodicité numérique
Calculer et pour la période annoncée : les deux doivent être égales. Puis calculer : la valeur doit être différente, sans quoi la vraie période est plus courte que ce que vous avez écrit.
Pour avec : et , identiques. Avec , l'égalité tient aussi, mais ce n'est pas la plus petite période.
Le comportement près d'une asymptote
Calculer la fonction juste avant et juste après chaque asymptote annoncée : les valeurs doivent exploser, avec des signes OPPOSÉS de part et d'autre. Si la fonction reste sage, l'asymptote a été placée au mauvais endroit.
Vous placez une asymptote en pour : le calcul donne , une valeur parfaitement finie. Il s'agit d'un zéro, pas d'une asymptote.
Compter les solutions attendues avant de résoudre
Diviser la longueur de l'intervalle imposé par la période : le quotient donne le nombre de solutions attendu pour une équation. Comparez-le au nombre que vous avez trouvé; un écart signale un terme périodique mal traité.
Sur avec une période de , on attend solutions. En n'en trouvant que deux, on sait immédiatement que le n'a pas été divisé par .
Un phare situé à mètres d'un long mur droit tourne à raison d'un tour complet toutes les secondes. Le faisceau touche le mur en un point dont la position , mesurée en mètres depuis le point du mur le plus proche du phare, est donnée par .
a) Quelle est la période de et que représente-t-elle ? b) Où se trouve le point lumineux à seconde ? c) À quels instants le faisceau quitte-t-il le mur ? d) Pendant quels intervalles le point lumineux est-il à plus de mètres du point le plus proche ?
Étape 1
Ici , donc la période vaut secondes. Elle représente le temps entre deux balayages successifs du mur, soit un DEMI-tour du phare.
Pourquoi
Le phare fait un tour en secondes, mais le faisceau balaie le mur deux fois par tour, une fois vers l'avant et une fois vers l'arrière. La période de la tangente traduit exactement cette symétrie physique, et c'est pourquoi ce phénomène se modélise par une tangente et non par une sinusoïde.
Étape 2
mètres.
Pourquoi
La valeur remarquable évite la calculatrice. Le résultat a un sens géométrique direct : après une seconde, le faisceau a tourné de degrés, donc le triangle est isocèle et la distance le long du mur égale la distance au mur.
Étape 3
Le faisceau quitte le mur quand il devient parallèle à celui-ci, c'est-à-dire aux asymptotes : , donc secondes.
Pourquoi
L'asymptote verticale n'est pas une abstraction ici : elle correspond au moment où le faisceau, parallèle au mur, n'y touche plus aucun point. Le modèle mathématique et la situation physique coïncident exactement, ce qui rend la lecture de l'asymptote naturelle.
Étape 4
Les asymptotes sont donc en , , secondes, et ainsi de suite, espacées de secondes, soit exactement une période.
Pourquoi
L'espacement des asymptotes vaut toujours une période, ce qui donne un contrôle immédiat : , cohérent avec la question a). Si l'écart avait valu , la période aurait été calculée avec au lieu de .
Étape 5
donne . Sur la branche contenant , c'est-à-dire , la tangente est croissante et vaut en : donc .
Pourquoi
On se place sur UNE branche, bornée par les asymptotes et , avant de résoudre. Sans ce découpage, on annoncerait , ce qui inclurait où la tangente est très négative et le point lumineux du côté opposé.
Étape 6
En généralisant, le point est à plus de mètres pour , avec entier. Sur les huit premières secondes : et .
Pourquoi
On ajoute la période , et non ni : le terme périodique se lit sur la variable , après division par . Le résultat est cohérent avec le phénomène, deux passages par tour de phare de secondes.
Étape 7
Vérification : , le faisceau vise le point le plus proche; mètres; mètres, très loin, ce qui confirme l'approche de l'asymptote; enfin mètres, de l'autre côté.
Pourquoi
Les quatre valeurs testent le zéro, la valeur charnière, le comportement près de l'asymptote et le changement de signe après elle. Ce dernier point est décisif : il montre pourquoi l'intervalle de la question d) devait être borné à .
Conclusion rédigée
« La période de vaut secondes, soit le temps entre deux balayages successifs du mur, c'est-à-dire un demi-tour du phare. À seconde, le point lumineux est à mètres du point le plus proche. Le faisceau quitte le mur aux instants secondes, où le modèle a ses asymptotes verticales et où le faisceau devient parallèle au mur. Enfin le point lumineux est à plus de mètres pour , soit et pendant les huit premières secondes. »
L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la période avec secondes : les asymptotes seraient alors espacées de secondes, alors que le calcul direct en donne une en et une autre en . Le second travers est de répondre à la question d) : à , le modèle donne mètres, donc un point situé de l'autre côté du mur, ce qui contredit la réponse.
Parce que la tangente est le quotient du sinus par le cosinus, et que ces deux fonctions changent de signe en même temps tous les pi. Le rapport de deux nombres qui changent de signe ensemble reste inchangé : la tangente reprend donc ses valeurs deux fois plus souvent que le sinus. Ses solutions s'écrivent avec un k pi, pas un deux k pi.
Là où le cosinus s'annule, puisqu'il est le dénominateur du quotient, c'est-à-dire à pi sur deux plus un multiple de pi. Les zéros, eux, se trouvent là où le sinus s'annule, donc aux multiples de pi. Entre deux asymptotes consécutives se trouve exactement un zéro, situé au milieu de la branche.
Elle n'en a pas. L'amplitude mesure l'écart maximal à un axe d'oscillation, ce qui suppose une fonction bornée. La tangente prend toutes les valeurs réelles sur chaque branche, donc son image est l'ensemble des réels. Le paramètre placé devant elle est un étirement vertical, qui rend la courbe plus raide sans jamais la borner.
On se place sur une seule branche, entre deux asymptotes consécutives, où la fonction est croissante. On résout l'équation associée pour trouver la valeur charnière, puis on écrit l'intervalle borné par cette valeur et par l'asymptote. On généralise ensuite en ajoutant un multiple de la période à toutes les bornes.
Non. Elle est croissante sur chacune de ses branches, mais pas sur leur réunion, car elle saute de plus l'infini à moins l'infini chaque fois qu'elle franchit une asymptote. La formulation attendue est donc croissante sur chacun des intervalles, exactement comme pour la fonction homographique.
