Exercices corrigés : la fonction tangente (math SN5)

a) La tangente est un quotient, elle n'existe donc pas là où son dénominateur s'annule. Or $\cos x=0$ pour $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, avec $k$ entier. Le domaine est donc $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$. En chacune de ces valeurs, le numérateur $\sin x$ vaut $\pm 1$ et le dénominateur tend vers $0$ : le quotient explose, ce qui donne une asymptote verticale. Sur $[0;2\pi]$ il y en a deux, $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3\pi}{2}$, visibles sur la figure comme les deux droites en pointillé où le tracé se coupe.

b) Un quotient est nul quand son numérateur l'est, à condition que le dénominateur ne le soit pas. Ici $\sin x=0$ pour $x=k\pi$, et en ces valeurs $\cos x=\pm 1\neq 0$ : ce sont bien des zéros. Sur $[0;2\pi]$ : $x=0$, $x=\pi$ et $x=2\pi$. On remarque que les zéros de la tangente sont exactement ceux du sinus, ce qui est une conséquence directe de la définition.

c) L'image est $\mathbb{R}$ tout entier. Sur une seule branche, la fonction part de $-\infty$ et monte jusqu'à $+\infty$ en prenant toute valeur réelle exactement une fois. Il n'y a donc NI maximum NI minimum, et par conséquent aucune amplitude. C'est la différence la plus importante avec le sinus et le cosinus : parler de l'amplitude d'une tangente n'a aucun sens, et le paramètre $a$ d'une tangente transformée est un simple étirement vertical.

d) Il faut montrer que $\tan(x+\pi)=\tan x$ pour tout $x$ du domaine. On part de la définition et on utilise les identités de translation d'un demi-tour : $\sin(x+\pi)=-\sin x$ et $\cos(x+\pi)=-\cos x$. Donc $\tan(x+\pi)=\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$. Les deux signes moins se simplifient, et c'est exactement là que naît la période $\pi$. Contrôle numérique : $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ et $\tan\dfrac{5\pi}{4}=1$ ✓, alors que le sinus, lui, change de signe entre ces deux valeurs.

a) On calcule chaque fois le quotient $\dfrac{\sin}{\cos}$. $\tan 0=\dfrac{0}{1}=0$. $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577$. $\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$. $\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\approx 1{,}732$. À retenir : les valeurs de $\dfrac{\pi}{6}$ et de $\dfrac{\pi}{3}$ sont inverses l'une de l'autre, puisque leurs sinus et cosinus s'échangent.

b) Le signe du quotient est le produit des signes. Quadrant I : $\sin>0$ et $\cos>0$, donc $\tan>0$. Quadrant II : $\sin>0$ et $\cos<0$, donc $\tan<0$. Quadrant III : $\sin<0$ et $\cos<0$, donc $\tan>0$. Quadrant IV : $\sin<0$ et $\cos>0$, donc $\tan<0$. La tangente est donc positive dans les quadrants I et III, négatifs dans les quadrants II et IV. Ce sont des quadrants OPPOSÉS par le sommet, ce qui redit géométriquement que la période vaut $\pi$ : un demi-tour ramène au même signe.

c) La valeur $\sqrt{3}$ correspond à l'angle de référence $\dfrac{\pi}{3}$. Comme la tangente demandée est NÉGATIVE, on cherche dans les quadrants II et IV. Quadrant II : $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$. Quadrant IV : $\theta=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$. Les deux solutions sont $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$. Vérification de cohérence : elles sont distantes de $\dfrac{5\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\pi$ exactement, comme l'exige la période ✓.

d) L'angle de référence est $\dfrac{\pi}{4}$ et la tangente est positive, donc quadrants I et III : $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $\theta=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$. Deux solutions, distantes de $\pi$. L'équation $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a elle aussi deux solutions sur $[0;2\pi]$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$, mais celles-ci sont distantes de $\dfrac{\pi}{2}$ et NE se répètent qu'au bout de $2\pi$. La différence de fond : une équation tangentielle a une solution par période de $\pi$, donc les solutions forment une seule famille $\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ ; une équation sinusoïdale en a deux par période de $2\pi$, donc deux familles distinctes. C'est l'erreur la plus fréquente en examen, écrire deux familles là où une seule suffit.

a) Pour $f$, $b=2$, donc la période vaut $\dfrac{\pi}{|2|}=\dfrac{\pi}{2}$. La figure le confirme : les coupures se succèdent tous les $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57$. Pour $g$, $b=\dfrac{1}{2}$, donc la période vaut $\dfrac{\pi}{1/2}=2\pi$. Un $b$ plus grand que $1$ comprime, un $b$ entre $0$ et $1$ étire, exactement comme pour une sinusoïde.

b) Une asymptote apparaît quand l'argument de la tangente vaut $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Pour $f$ : $2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, donc $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$. Les premières sont $x=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785$, $x=\dfrac{3\pi}{4}\approx 2{,}356$, $x=\dfrac{5\pi}{4}\approx 3{,}927$, ce que montre la figure. Pour $g$ : $\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, donc $x=\pi+2k\pi$. Noter que l'écart entre deux asymptotes consécutives est toujours égal à la période, ce qui donne un contrôle immédiat.

c) $f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=3\tan\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=3\tan\dfrac{\pi}{4}=3\times 1=3$. $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$. Ce que cela révèle : $a$ multiplie simplement l'ordonnée. Là où la tangente de base vaudrait $1$, $f$ vaut $3$ et $g$ vaut $-1$. Un $a$ négatif provoque en plus une réflexion par rapport à l'axe des $x$, ce qui rend $g$ DÉCROISSANTE sur chacune de ses branches, alors que la tangente de base y est croissante.

d) Non et non. La fonction $f$ n'a pas de maximum : sur chaque branche elle prend toutes les valeurs réelles, de $-\infty$ à $+\infty$. Et elle n'a pas d'amplitude $3$ non plus, car l'amplitude se définit comme la demi-différence entre le maximum et le minimum, or ni l'un ni l'autre n'existe. Le nombre $3$ est un étirement vertical de facteur $3$, rien de plus. Formulation correcte en examen : « le paramètre $a=3$ étire verticalement la courbe d'un facteur $3$ », et surtout pas « l'amplitude vaut $3$ ».

a) Ici $b=1$, donc la période vaut $\dfrac{\pi}{1}=\pi$. Les paramètres $h=\dfrac{\pi}{3}$ et $k=-1$ déplacent la courbe mais ne l'étirent pas horizontalement : la période reste inchangée. C'est un point à énoncer explicitement en examen, beaucoup d'élèves croient qu'une translation modifie la période.

b) On pose l'argument égal à $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ : $x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, donc $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}+k\pi$. On additionne les fractions : $\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$. Les asymptotes sont donc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi$, la première valant environ $2{,}618$.

c) La tangente de base est symétrique par rapport à chacun de ses zéros. Après transformation, ces points de symétrie se trouvent là où l'argument s'annule, c'est-à-dire $x-\dfrac{\pi}{3}=k\pi$, donc $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$. Leur ordonnée n'est PAS zéro : elle vaut $f=2\tan(0)-1=-1$, à cause du paramètre $k$. Les points de symétrie sont donc $\left(\dfrac{\pi}{3}+k\pi\ ;\ -1\right)$. Confondre ces points avec les zéros de $f$ est le piège central de la question suivante.

d) $f\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ : l'argument vaut $\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{4\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}$. Donc $f=2\tan\dfrac{\pi}{4}-1=2(1)-1=1$. Pour les zéros, on résout $2\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-1=0$, soit $\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$. À la calculatrice, $x-\dfrac{\pi}{3}=\tan^{-1}(0{,}5)\approx 0{,}4636$, donc $x\approx 1{,}0472+0{,}4636\approx 1{,}511$, et plus généralement $x\approx 1{,}511+k\pi$. Les zéros ne coïncident donc pas avec les points de symétrie trouvés en c), qui valaient $\dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}047$ : la translation verticale de $-1$ les a décalés.

a) L'angle de référence de la valeur $1$ est $\dfrac{\pi}{4}$, et la tangente est positive, donc quadrants I et III. Les solutions sont $x=\dfrac{\pi}{4}$ et $x=\dfrac{5\pi}{4}$. Écriture générale : $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, et sur $[0;2\pi]$ seuls $k=0$ et $k=1$ conviennent.

b) Angle de référence $\dfrac{\pi}{3}$, tangente négative, donc quadrants II et IV : $x=\dfrac{2\pi}{3}$ et $x=\dfrac{5\pi}{3}$. Écriture générale : $x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$. Contrôle : $\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$ ✓.

c) On traite l'argument comme un bloc. $2x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, donc $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$. Il faut maintenant balayer les $k$ qui laissent $x$ dans $[0;\pi]$. Pour $k=0$ : $x=\dfrac{\pi}{8}\approx 0{,}393$ ✓. Pour $k=1$ : $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{8}\approx 1{,}963$ ✓. Pour $k=2$ : $x=\dfrac{9\pi}{8}\approx 3{,}534$, qui dépasse $\pi\approx 3{,}142$ ✗. Il y a donc DEUX solutions, $\dfrac{\pi}{8}$ et $\dfrac{5\pi}{8}$. Le piège : comme $b=2$ divise la période par deux, il y a deux fois plus de solutions par unité de longueur, et un élève qui oublie de balayer les $k$ n'en trouve qu'une.

d) On isole d'abord : $\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$. Donc $x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, d'où $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}+k\pi$. On additionne : $\dfrac{3\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}$. La solution générale est $x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$, soit environ $1{,}309+k\pi$. Vérification : $3\tan\left(\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\pi}{6}\right)=3\tan\dfrac{\pi}{4}=3$ ✓.

a) Les coupures du tracé se situent en $x\approx 0{,}785$ et $x\approx 2{,}356$, c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$. La période est l'écart entre deux asymptotes consécutives : $\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$. Attention à ne pas confondre avec le sinus, où l'on lirait la période entre deux maximums ; ici il n'y a pas de maximum, ce sont les asymptotes qui donnent l'information.

b) La période d'une tangente vaut $\dfrac{\pi}{|b|}$. On pose donc $\dfrac{\pi}{b}=\dfrac{\pi}{2}$, ce qui donne $b=2$. On garde $b>0$ comme l'énonce le problème. Vérification par les asymptotes : avec $b=2$, elles seraient en $2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, donc $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$, ce qui redonne bien $\dfrac{\pi}{4}$ puis $\dfrac{3\pi}{4}$ ✓.

c) On substitue le point dans $f(x)=a\tan(2x)$ : $2=a\tan\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=a\tan\dfrac{\pi}{4}=a\times 1=a$. Donc $a=2$. Le choix du point n'est pas anodin : $\dfrac{\pi}{8}$ est exactement à mi-chemin entre le point de symétrie $x=0$ et l'asymptote $x=\dfrac{\pi}{4}$, ce qui rend la tangente égale à $1$ et permet de lire $a$ directement.

d) La règle est $f(x)=2\tan(2x)$. Vérification sur un second point : prenons $x=-\dfrac{\pi}{8}$. La formule donne $2\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=2\times(-1)=-2$, et la courbe passe effectivement par $\left(-\dfrac{\pi}{8}\ ;\ -2\right)$, ce qui est cohérent avec la symétrie par rapport à l'origine ✓. Second contrôle possible : en $x=\dfrac{\pi}{6}$, $f=2\tan\dfrac{\pi}{3}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46$, une valeur bien comprise entre $2$ et l'explosion vers l'asymptote.

a) Sur la branche centrale, la tangente est croissante et prend toutes les valeurs réelles. Elle vaut $1$ en $x=\dfrac{\pi}{4}$, donc elle dépasse $1$ exactement à droite de cette valeur, jusqu'à l'asymptote : $S=\left]\dfrac{\pi}{4}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$. Borne de gauche ouverte car l'inégalité est stricte, borne de droite ouverte car $\dfrac{\pi}{2}$ n'appartient pas au domaine.

b) Même raisonnement de l'autre côté. La tangente vaut $-1$ en $x=-\dfrac{\pi}{4}$, et comme elle est croissante, elle est inférieure à $-1$ à GAUCHE de cette valeur : $S=\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ -\dfrac{\pi}{4}\right[$. Contrôle : $\tan(-1{,}2)\approx-2{,}57<-1$ ✓ et $\tan(0)=0>-1$ ✓.

c) La tangente vaut $\sqrt{3}$ en $x=\dfrac{\pi}{3}$. Comme on accepte l'égalité, cette borne est INCLUSE : $S=\left[\dfrac{\pi}{3}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$. Le contraste entre les deux crochets est ce qui est évalué : fermé sur la valeur atteinte, ouvert sur l'asymptote qui n'est jamais atteinte.

d) Son erreur est d'avoir traité la tangente comme si elle était croissante sur tout $[0;2\pi]$, et donc d'avoir relié la solution $\dfrac{\pi}{4}$ à la solution suivante $\dfrac{5\pi}{4}$ par un seul intervalle. Or entre les deux se trouve l'asymptote $x=\dfrac{\pi}{2}$ : juste après elle, la tangente redevient très NÉGATIVE. Contre-exemple immédiat : $x=\pi$ appartient à son intervalle, mais $\tan\pi=0$, qui n'est pas supérieur à $1$. La bonne méthode est de découper $[0;2\pi]$ aux asymptotes $\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$, puis de résoudre sur chaque morceau. On obtient $S=\left]\dfrac{\pi}{4}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{4}\ ;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$ : deux intervalles, un par branche, chacun de longueur $\dfrac{\pi}{4}$.

a) On part du membre de gauche. $1+\tan^2x=1+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}$. On met au même dénominateur : $\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$. Par l'identité fondamentale, le numérateur vaut $1$, donc l'expression égale $\dfrac{1}{\cos^2x}$, ce qu'il fallait démontrer. Contrôle numérique en $x=\dfrac{\pi}{3}$ : à gauche $1+3=4$, à droite $\dfrac{1}{(1/2)^2}=4$ ✓.

b) $\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}$. Le sinus est impair, donc $\sin(-x)=-\sin x$ ; le cosinus est pair, donc $\cos(-x)=\cos x$. D'où $\tan(-x)=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$. La fonction tangente est donc IMPAIRE, ce qui se traduit graphiquement par une symétrie par rapport à l'ORIGINE, et non par rapport à l'axe des $y$. Contrôle : $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1=-\tan\dfrac{\pi}{4}$ ✓.

c) $\dfrac{\tan x}{\sin x}=\dfrac{\sin x/\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}\times\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{\cos x}$, après simplification du facteur $\sin x$. Les valeurs exclues sont celles qui annulent un dénominateur À UN MOMENT QUELCONQUE du calcul : $\cos x=0$, donc $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, ET $\sin x=0$, donc $x\neq k\pi$. La seconde condition est celle qu'on oublie, parce que $\sin x$ disparaît de l'expression finale alors qu'il était bien au dénominateur au départ. Autrement dit, l'égalité n'est valable que pour $x$ multiple ni de $\pi$ ni de $\dfrac{\pi}{2}$.

d) On cherche d'abord le cosinus par l'identité fondamentale : $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, donc $\cos\theta=\pm\dfrac{4}{5}$. C'est le quadrant qui tranche : dans le quadrant II le cosinus est NÉGATIF, donc $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}$. Enfin $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}$. Contrôle de cohérence : la tangente doit être négative dans le quadrant II, et elle l'est ✓. Sans l'information du quadrant, les deux réponses $\pm\dfrac{3}{4}$ auraient été également possibles, ce qui est exactement pourquoi l'énoncé la fournit.

a) Pour $\theta=30^\circ$ : $d=500\tan 30^\circ=500\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 500\times 0{,}5774\approx 288{,}7$ m. Pour $\theta=60^\circ$ : $d=500\tan 60^\circ=500\sqrt{3}\approx 500\times 1{,}7321\approx 866{,}0$ m. Les deux positions sont marquées sur la figure.

b) Non, elle a TRIPLÉ. Le rapport vaut $\dfrac{866{,}0}{288{,}7}\approx 3{,}00$, et il est exactement $3$ : $\dfrac{\tan 60^\circ}{\tan 30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3}=\sqrt{3}\times\dfrac{3}{\sqrt{3}}=3$. C'est le cœur du problème : la relation entre l'angle et la distance n'est PAS proportionnelle. Doubler l'angle ne double pas la distance, parce que la tangente croît de plus en plus vite à mesure qu'on approche de $90^\circ$. Concrètement, le point lumineux se déplace de plus en plus rapidement sur le mur alors que le phare, lui, tourne à vitesse constante.

c) On résout $500\tan\theta=1000$, soit $\tan\theta=2$. Donc $\theta=\tan^{-1}(2)\approx 63{,}43^\circ$. Vérification : $500\tan(63{,}43^\circ)\approx 500\times 2{,}000\approx 1000$ m ✓. On remarque qu'il ne faut que $3{,}43^\circ$ de plus que les $60^\circ$ de la question a) pour gagner $134$ m supplémentaires, alors que les $30$ premiers degrés n'en avaient donné que $288{,}7$ : la même illustration de la croissance accélérée.

d) Lorsque $\theta\to 90^\circ$, la distance $d$ tend vers l'INFINI. Physiquement, le faisceau devient parallèle au mur et ne le rencontre plus : il n'y a alors plus aucun point éclairé. Mathématiquement, c'est exactement l'asymptote verticale de la fonction tangente en $\dfrac{\pi}{2}$, c'est-à-dire $90^\circ$. Le modèle et la réalité disent donc la même chose : la valeur $\theta=90^\circ$ est exclue du domaine parce qu'aucune distance finie ne lui correspond. C'est un des rares contextes concrets où une asymptote verticale s'interprète aussi directement.