Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : Trouver l'erreur : le catalogue des pièges

La plupart des points perdus en secondaire 5 ne viennent pas de notions incomprises : ils viennent d'une poignée de fautes répétées, les mêmes d'une copie à l'autre et d'une année à l'autre.

Cette fiche les nomme. Toutes se rangent dans trois familles, et chaque famille possède un contrôle qui la détecte, en dix secondes, avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une erreur ne se corrige pas en refaisant le calcul, elle se corrige en NOMMANT la règle violée : tant qu'elle n'a pas de nom, elle revient à l'examen suivant.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Les trois familles d'erreurs, et leur contrôle

• FAMILLE 1, la RÈGLE inventée : on applique une loi qui n'existe pas, comme $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ ou $\log(a+b)=\log a+\log b$ . Contrôle : le contre-exemple numérique.
• FAMILLE 2, le SIGNE : la loi est bonne, un signe a sauté. $-(x-3)=-x-3$ , $\frac{-b}{2a}$ avec $a$ négatif, une inéquation divisée par un nombre négatif. Contrôle : substituer une valeur dans la ligne de départ.
• FAMILLE 3, le DOMAINE : le calcul est juste mais la réponse n'est pas admissible. Valeur interdite acceptée, racine étrangère gardée, temps négatif conservé. Contrôle : écrire les conditions d'existence AVANT de résoudre, et trier les solutions à la fin.
• Les trois n'ont pas la même gravité : la première révèle une notion non comprise, la deuxième une relecture absente, la troisième une méthode incomplète.

À gauche de zéro les deux courbes se séparent :

\sqrt{x^{2}}

remonte quand

y=x

descend, donc

\sqrt{x^{2}}=|x|

et jamais

x

Le contre-exemple numérique, mode d'emploi

• Une égalité littérale vous paraît commode ? Remplacez les lettres par des nombres simples, $0$ , $1$ , $2$ , et calculez les DEUX membres séparément.
• S'ils diffèrent, la loi n'existe pas. Ce n'est pas une impression, c'est une preuve, et elle tient en une ligne.
• Éviter $0$ et $1$ seuls : ils rendent vraies beaucoup d'égalités fausses. $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ est vraie pour $a=0$ , il faut donc tester $a=b=1$ .
• Le même outil sert dans l'autre sens : quand on doute d'une identité VRAIE, un test numérique rassure avant de se lancer dans la démonstration.
• Trois opérations ne se distribuent JAMAIS sur une somme : la racine carrée, l'inverse et le logarithme. Elles se distribuent toutes les trois sur un produit, et c'est cette moitié vraie qui entretient la faute.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Développer $-(x-3)$ au milieu d'un long calcul.

1 point ici, mais souvent toute la question, car l'erreur est en amont et fausse tout le reste.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$-(x-3)=-x-3$

Ce qu'il faut écrire

$-(x-3)=-x+3$

Pourquoi : Le signe moins devant une parenthèse se distribue sur TOUS les termes. Contre-exemple : en $x=0$ , la gauche vaut $3$ et la droite $-3$ . Réflexe : dès qu'un signe moins précède une parenthèse, récrire la ligne entière avant de continuer.

2. Développer $(x+4)^{2}$ .

2 points, et une forme canonique fausse ensuite.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(x+4)^{2}=x^{2}+16$

Ce qu'il faut écrire

$(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$

Pourquoi : Le carré ne se distribue pas sur une somme, seulement sur un produit : $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$ est vrai, et c'est cette ressemblance qui trompe. Contre-exemple en $x=1$ : $25$ contre $17$ . Le terme oublié, $8x$ , est le double produit.

3. Simplifier $\dfrac{3x+6}{3}$ ou $\dfrac{x+3}{x}$ .

1 à 2 points, et une fonction complètement différente.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{3x+6}{3}=x+6$ et $\dfrac{x+3}{x}=3$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{3x+6}{3}=\dfrac{3(x+2)}{3}=x+2$ et $\dfrac{x+3}{x}=1+\dfrac{3}{x}$

Pourquoi : On ne simplifie que par un FACTEUR commun à tout le numérateur, jamais par un terme isolé. Il faut donc factoriser avant de simplifier. Formulation qui sauve : « je simplifie par un facteur, pas par un morceau ».

4. Résoudre $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=6$ .

Toute la question, car la réponse rendue est exactement la valeur interdite.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On simplifie, $x+3=6$ , donc $x=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Valeur interdite $x=3$ . On simplifie, $x+3=6$ donne $x=3$ , qui est REJETÉE : l'équation n'a aucune solution. »

Pourquoi : Simplifier ne supprime pas les valeurs interdites : elles se lisent sur l'expression de DÉPART et se traînent jusqu'à la réponse. Bonne pratique : les écrire sur la première ligne, avant tout calcul, et confronter chaque solution à cette liste.

5. Résoudre l'inéquation $-2x>4$ , puis $\dfrac{3}{x}>1$ .

2 points par inéquation, car l'ensemble solution est entièrement faux.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$-2x>4$ donne $x>-2$ ; $\dfrac{3}{x}>1$ donne $x<3$

Ce qu'il faut écrire

$-2x>4$ donne $x<-2$ ; $\dfrac{3}{x}>1$ donne $x\in\ ]0\ ;3[$ par un tableau de signes

Les deux demi-droites sont exactement complémentaires : la copie a gardé le mauvais côté de

-2

. Un seul test,

x=0

, suffit à trancher, puisque

-2\times 0=0

n'est pas supérieur à

4

Pourquoi : Diviser par un nombre NÉGATIF renverse le sens. Et multiplier par une expression littérale dont on ignore le signe est interdit : $x=-1$ appartient à l'ensemble de la copie, or $\frac{3}{-1}=-3$ n'est pas supérieur à $1$ . Contrôle : tester une valeur de l'ensemble trouvé et une valeur en dehors.

6. Simplifier $\sqrt{x^{2}}$ , ou résoudre $\sqrt{x+6}=x$ .

1 point pour la valeur absolue, 2 points pour la racine étrangère gardée.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{x^{2}}=x$ ; et les deux solutions $3$ et $-2$ conviennent

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{x^{2}}=|x|$ ; et seule $x=3$ convient, car $\sqrt{4}=2\neq -2$

Pourquoi : Une racine carrée ne rend jamais un résultat négatif, c'est sa définition. Et élever au carré peut CRÉER des solutions : ce n'est pas une équivalence. Toute solution obtenue après élévation au carré doit être testée dans l'équation de départ, sans exception.

7. Résoudre $\sin x=\dfrac{1}{2}$ , ou développer $\sin(a+b)$ .

2 points pour la solution manquante, davantage si l'énoncé demandait toutes les solutions d'un intervalle.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$x=\dfrac{\pi}{6}$ , seule solution ; et $\sin(a+b)=\sin a+\sin b$

Ce qu'il faut écrire

$x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ ; et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

La droite

y=\frac{1}{2}

coupe le cercle en DEUX points, d'angles

\frac{\pi}{6}

\frac{5\pi}{6}

: ils ont le même sinus parce qu'ils ont la même ordonnée.

Pourquoi : La calculatrice ne rend qu'un angle, alors qu'une équation trigonométrique en a une infinité. Sur le cercle, la droite horizontale coupe DEUX fois. Et le sinus ne se distribue pas : contre-exemple avec $a=b=\frac{\pi}{2}$ , la gauche vaut $0$ et la droite $2$ .

Quelle méthode choisir

Quelle vérification, selon ce que vous venez de faire

Vous avez trouvé une ou plusieurs solutions. Avant de rendre.

Si Vous avez élevé au carré → Tester CHAQUE solution dans l'équation de départ, et rejeter celles qui ne conviennent pas

Exemple : $\sqrt{x+6}=x$ : $x=-2$ donne $2\neq -2$ , rejetée
Si Il y avait un dénominateur → Confronter les solutions à la liste des valeurs interdites écrite au départ

Exemple : Valeur interdite $3$ , solution trouvée $3$ : aucune solution
Si Il y avait un logarithme → Vérifier que chaque argument est strictement positif pour la solution trouvée

Exemple : $\log_{2}(x-3)$ avec $x=-1$ : argument négatif, rejetée
Si C'était une inéquation → Tester une valeur DEDANS et une valeur DEHORS

Exemple : Ensemble $x<-2$ : tester $-5$ , qui doit marcher, et $0$ , qui ne doit pas
Si C'était une équation trigonométrique → Chercher la SECONDE famille de solutions, puis ajouter les tours si l'énoncé ne restreint pas l'intervalle

Exemple : $\sin x=\frac{1}{2}$ : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$
Si C'était un problème en contexte → Vérifier le domaine du contexte, l'unité, et relire la question

Exemple : Un temps négatif ou un nombre d'objets décimal se rejette

Ces vérifications ne sont pas facultatives : dans les trois premiers cas, une solution peut être fausse alors que tout le calcul est juste.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire les conditions d'existence AVANT de résoudre

Quand l'utiliser : Dès qu'une équation contient un dénominateur, une racine carrée ou un logarithme.

1 Avant la première ligne de calcul, poser les conditions : dénominateur non nul, radicande positif ou nul, argument de logarithme strictement positif.
2 Les écrire comme des inéquations résolues, pas comme des intentions : « $x>3$ », pas « il faut que ce soit positif ».
3 Résoudre normalement.
4 Confronter chaque solution obtenue aux conditions posées, et écrire explicitement la décision, acceptée ou rejetée.

Phrase de conclusion

« Conditions d'existence : $x>0$ et $x-3>0$ , donc $x>3$ . Les solutions de l'équation sont $4$ et $-1$ . Comme $-1$ ne vérifie pas $x>3$ , elle est rejetée. La seule solution est $x=4$ . »

Le piège : Poser les conditions à la fin, une fois les solutions trouvées : on oublie alors la moitié d'entre elles, parce qu'on ne relit plus l'énoncé de départ.

Barème : En général 1 point pour les conditions, 1 point pour le rejet écrit. Deux points gratuits, indépendants de la difficulté du calcul.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le contre-exemple, pour les lois

Remplacer les lettres par $1$ et $2$ et calculer les deux membres séparément.

$(1+2)^{2}=9$ contre $1+4=5$ : la loi $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ n'existe pas.
La substitution, pour les signes

Remettre la solution dans la LIGNE DE DÉPART, pas dans une ligne intermédiaire qui contient peut-être déjà l'erreur.

Solution $x=19$ pour $2\sqrt{x-3}+1=9$ : $2\times 4+1=9$ ✓.
La liste des conditions, pour le domaine

Relire la liste écrite au départ et cocher chaque solution.

Conditions $x>3$ , solutions $4$ et $-1$ : la seconde est rejetée.
La relecture de la question

Dernier geste de toute copie : relire la question mot à mot et vérifier que la dernière ligne écrite y répond, avec l'unité.

La question demandait la hauteur maximale, pas l'instant : la réponse est $21$ mètres, pas $2$ secondes.

L'exercice type décortiqué

Une équation logarithmique corrigée ligne à ligne

Résoudre $\log_{2}(x)+\log_{2}(x-3)=2$ .

Voici la copie rendue : « $\log_{2}\left(x^{2}-3x\right)=2$ , donc $x^{2}-3x=2$ , donc $x^{2}-3x-2=0$ , donc $x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$ . Les deux solutions conviennent. »

Étape 1

Conditions d'existence, absentes de la copie : $x>0$ ET $x-3>0$ , donc $x>3$ .

Pourquoi

C'est la ligne manquante la plus coûteuse. Un logarithme exige un argument strictement positif, et il y a ici DEUX arguments, donc deux conditions à intersecter.

Étape 2

Regroupement : $\log_{2}(x)+\log_{2}(x-3)=\log_{2}\left(x(x-3)\right)=\log_{2}\left(x^{2}-3x\right)$ . Cette ligne de la copie est CORRECTE.

Pourquoi

La loi du produit s'applique bien : une somme de logarithmes de même base est le logarithme du produit. Il faut savoir reconnaître ce qui est juste dans une copie fausse, sinon on recommence tout inutilement.

Étape 3

Passage à l'exponentielle : $\log_{2}(A)=2$ signifie $A=2^{2}=4$ , et non $A=2$ . La copie a oublié de défaire le logarithme.

Pourquoi

C'est une erreur de RÈGLE, famille 1. Le nombre $2$ du membre de droite est un logarithme, pas une valeur : il faut l'exponentier. Contrôle : $\log_{2}(4)=2$ puisque $2^{2}=4$ .

Étape 4

L'équation correcte est donc $x^{2}-3x=4$ , soit $x^{2}-3x-4=0$ , qui se factorise en $(x-4)(x+1)=0$ . Les candidats sont $4$ et $-1$ .

Pourquoi

Avec le bon second membre, le trinôme se factorise sur des entiers, ce qui est un bon signe : un énoncé de secondaire 5 produit rarement $\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$ . Une réponse laide invite à relire les lignes précédentes.

Étape 5

Tri par les conditions : $4>3$ , accepté. $-1$ ne vérifie pas $x>3$ , REJETÉ.

Pourquoi

C'est le second point gratuit de l'exercice, et la copie ne l'a pas pris. Un candidat négatif dans une équation logarithmique est presque toujours à rejeter, mais il faut l'écrire, pas seulement l'omettre.

Étape 6

Vérification finale : $\log_{2}(4)+\log_{2}(1)=2+0=2$ ✓.

Pourquoi

La vérification se fait dans l'équation de DÉPART, avec les deux logarithmes séparés, et non dans la version regroupée qui contient déjà nos transformations.

Conclusion rédigée

La seule solution est $x=4$ . La copie contenait trois fautes : conditions d'existence absentes, logarithme non défait, solution négative acceptée.

L'erreur classique sur cet exercice : Rendre les deux racines de $x^{2}-3x-2=0$ sans jamais regarder si elles sont admissibles : le calcul du discriminant peut être parfait et la réponse quand même entièrement fausse.

À savoir par cœur

• Trois opérations ne se distribuent jamais sur une somme : la racine carrée, l'inverse et le logarithme.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , et jamais $x$ .
• Élever au carré peut créer des solutions : on vérifie toujours.
• Simplifier ne supprime pas les valeurs interdites.
• Diviser une inéquation par un nombre négatif renverse le sens ; multiplier par une expression de signe inconnu est interdit.
• $\log_{c}(A)=k$ signifie $A=c^{k}$ , il faut défaire le logarithme.
• Une équation trigonométrique a deux familles de solutions, la calculatrice n'en donne qu'une.
• Un produit scalaire nul signifie orthogonaux, pas parallèles.

Questions fréquentes

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes en maths de secondaire 5 ?

Trois familles couvrent presque tout. La règle inventée, comme le carré d'une somme développé en somme de carrés. Le signe qui saute, surtout devant une parenthèse ou dans la formule du sommet. Et le domaine oublié, c'est-à-dire une valeur interdite acceptée ou une racine étrangère conservée. Chacune a son contrôle, et les trois contrôles prennent moins d'une minute au total.

Comment savoir si une formule que j'ai en tête est vraie ?

Testez-la avec des nombres. Remplacez les lettres par un et deux, calculez les deux membres séparément, et comparez. Si les résultats diffèrent, la formule n'existe pas, et c'est prouvé, pas supposé. Évitez de tester uniquement avec zéro ou un, qui rendent vraies beaucoup d'égalités fausses. Ce test fonctionne pour toutes les lois du programme.

Pourquoi faut-il vérifier les solutions d'une équation avec une racine ?

Parce qu'élever au carré n'est pas une équivalence : cette opération peut fabriquer des solutions qui ne vérifient pas l'équation de départ. On les appelle des solutions étrangères. Dans l'équation racine de x plus six égale x, le calcul donne trois et moins deux, mais moins deux ne convient pas, puisqu'une racine carrée ne peut pas valoir un nombre négatif.

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité ?

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif, et dans ce cas seulement. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens. Attention aussi à deux cas particuliers : une exponentielle de base comprise entre zéro et un renverse le sens, et il est interdit de multiplier une inéquation par une expression littérale dont on ignore le signe.

Comment vérifier une copie de maths avant de la rendre ?

Quatre gestes, dans cet ordre. Un, tester les formules douteuses avec des nombres. Deux, remettre chaque solution dans la ligne de départ, jamais dans une ligne intermédiaire. Trois, relire la liste des conditions d'existence et trier les solutions. Quatre, relire la question posée et vérifier que la dernière ligne y répond littéralement, avec la bonne unité.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Trouver l'erreur : le catalogue des pièges

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Les pièges qui coûtent des points

1. Développer −(x−3)-(x-3)−(x−3) au milieu d'un long calcul.

2. Développer (x+4)2(x+4)^{2}(x+4)2.

3. Simplifier 3x+63\dfrac{3x+6}{3}33x+6​ ou x+3x\dfrac{x+3}{x}xx+3​.

4. Résoudre x2−9x−3=6\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=6x−3x2−9​=6.

5. Résoudre l'inéquation −2x>4-2x>4−2x>4, puis 3x>1\dfrac{3}{x}>1x3​>1.

6. Simplifier x2\sqrt{x^{2}}x2​, ou résoudre x+6=x\sqrt{x+6}=xx+6​=x.

7. Résoudre sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}sinx=21​, ou développer sin⁡(a+b)\sin(a+b)sin(a+b).

Quelle méthode choisir

Quelle vérification, selon ce que vous venez de faire

La rédaction attendue

Écrire les conditions d'existence AVANT de résoudre

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une équation logarithmique corrigée ligne à ligne

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes en maths de secondaire 5 ?

Comment savoir si une formule que j'ai en tête est vraie ?

Pourquoi faut-il vérifier les solutions d'une équation avec une racine ?

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité ?

Comment vérifier une copie de maths avant de la rendre ?

Exercices corrigés : Trouver l'erreur : le catalogue des pièges

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1. Développer $-(x-3)$ au milieu d'un long calcul.

2. Développer $(x+4)^{2}$ .

3. Simplifier $\dfrac{3x+6}{3}$ ou $\dfrac{x+3}{x}$ .

4. Résoudre $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=6$ .

5. Résoudre l'inéquation $-2x>4$ , puis $\dfrac{3}{x}>1$ .

6. Simplifier $\sqrt{x^{2}}$ , ou résoudre $\sqrt{x+6}=x$ .

7. Résoudre $\sin x=\dfrac{1}{2}$ , ou développer $\sin(a+b)$ .