Exercices corrigés : trouver l'erreur, le catalogue des pièges de secondaire 5

a) Contre-exemple : pour $x=0$, le membre de gauche vaut $-(0-3)=3$ et celui de droite $-0-3=-3$. Règle violée : le signe moins devant une parenthèse se distribue sur TOUS les termes, y compris le second. Ligne correcte : $-(x-3)=-x+3$. C'est la faute la plus fréquente de toute l'année, tous chapitres confondus, et elle prospère parce qu'elle apparaît au milieu d'un long calcul où personne ne la relit. Réflexe : dès qu'un signe moins précède une parenthèse, on récrit la ligne entière avant de continuer.

b) Contre-exemple : $x=1$ donne $(1+4)^{2}=25$ à gauche et $1+16=17$ à droite. Règle violée : le carré ne se distribue pas sur une somme. Ligne correcte : $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$, le terme $8x$ étant le double produit. Vérification : $1+8+16=25$ ✓. Le carré ne se distribue que sur un PRODUIT, $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$, et c'est cette ressemblance qui trompe.

c) Contre-exemple direct : la calculatrice, comme la convention mathématique, donne $-3^{2}=-9$. Règle violée : l'exposant s'applique au nombre qu'il touche, ici le $3$ seul, et le signe moins reste devant. Ligne correcte : $-3^{2}=-9$, tandis que $(-3)^{2}=9$. Les parenthèses ne sont donc pas décoratives, elles changent la réponse. Cette distinction devient critique dans la formule quadratique, où $b^{2}-4ac$ avec $b=-3$ vaut $9-4ac$ et non $-9-4ac$.

d) Contre-exemple : $x=0$ donne $2\times 25=50$ à gauche et $10^{2}=100$ à droite. Règle violée : on a fait entrer le facteur $2$ à l'intérieur d'une parenthèse ÉLEVÉE AU CARRÉ, ce qui le met au carré au passage. Ligne correcte : le membre de gauche ne se transforme pas ainsi ; si l'on veut absolument faire entrer un facteur, il faut écrire $2(x+5)^{2}=\left(\sqrt{2}(x+5)\right)^{2}$, ce qui n'a aucun intérêt. Le lien avec le cours : c'est exactement pour cette raison que le paramètre $a$ d'une parabole ne peut pas être absorbé dans la parenthèse, alors qu'il peut l'être dans une racine carrée.

e) Contre-exemple : $x=3$ donne $\frac{9+6}{3}=5$ à gauche et $3+6=9$ à droite. Règle violée : on ne simplifie une fraction que par un FACTEUR commun à tout le numérateur, jamais par un terme isolé. Ligne correcte : on factorise d'abord, $\frac{3x+6}{3}=\frac{3(x+2)}{3}=x+2$. Vérification : pour $x=3$, cela donne $5$ ✓. Retenez la formulation qui sauve : « je simplifie par un facteur, pas par un morceau ».

a) Le calcul est juste, la conclusion est fausse. En factorisant, $\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, mais cette simplification suppose $x-2\neq 0$. La valeur interdite $x=2$ vient de l'expression de DÉPART et ne disparaît pas parce qu'on a simplifié. Réponse correcte : $\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2$ pour tout $x\neq 2$, et l'expression n'a aucune valeur en $x=2$. Bonne pratique : écrire la valeur interdite AVANT de simplifier, sur la même ligne.

b) Contre-exemple : $x=y=1$ donne $1+1=2$ à gauche et $\frac{1}{2}$ à droite. Règle violée : l'inverse ne se distribue pas sur une somme. Ligne correcte : on met au même dénominateur, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}$. Vérification avec $x=y=1$ : $\frac{2}{1}=2$ ✓. C'est la même faute que $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ et que $\log(a+b)=\log a+\log b$, sous trois habits différents.

c) Contre-exemple : $x=1$ donne $\frac{4}{1}=4$, pas $3$. Règle violée : le $x$ du numérateur est un TERME, pas un facteur, donc il ne se simplifie pas. Ligne correcte : $\frac{x+3}{x}=1+\frac{3}{x}$, ce qui est d'ailleurs la forme canonique d'une homographique et se lit directement, avec une asymptote horizontale $y=1$ et une asymptote verticale $x=0$.

d) Le calcul mène effectivement à $x=3$ : en simplifiant, $x+3=6$ donne $x=3$. Mais $x=3$ est justement la valeur interdite de l'équation de départ, où le dénominateur s'annule. Cette solution doit être REJETÉE : l'équation n'a aucune solution. C'est l'exemple type de la solution étrangère produite non par une élévation au carré mais par une simplification, et un examen le pose régulièrement parce qu'il distingue nettement ceux qui écrivent leurs valeurs interdites de ceux qui ne les écrivent pas.

e) Le calcul est correct et donne bien $9=3x$, donc $x=3$. La conclusion sur la vérification est en revanche fausse : le produit croisé n'est valide que si aucun des deux dénominateurs n'est nul, donc il faut vérifier que $x\neq 1$ et $x\neq -2$. Ici $x=3$ respecte les deux conditions, la solution est donc acceptée, mais après contrôle et non par principe. Formulation correcte : « valeurs interdites $1$ et $-2$ ; la solution $3$ n'en fait pas partie, elle est donc acceptée ». Vérification numérique : $\frac{2}{2}=1$ et $\frac{5}{5}=1$ ✓.

a) Faux, et le contre-exemple est dans la ligne elle-même : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, pas $7$. Règle violée : la racine carrée ne se distribue pas sur une somme. Elle se distribue sur un PRODUIT, $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$, et sur un quotient, et c'est cette moitié vraie qui entretient la faute. À retenir sous la forme d'un slogan : la racine aime le produit, elle déteste la somme.

b) Sur le graphique, les deux courbes coïncident pour $x\geq 0$ et se séparent pour $x<0$ : la courbe de $\sqrt{x^{2}}$ remonte alors que la droite $y=x$ descend. L'égalité $\sqrt{x^{2}}=x$ n'est donc vraie que pour $x\geq 0$. L'égalité valable pour tout réel est $\sqrt{x^{2}}=|x|$. Vérification en $x=-3$ : $\sqrt{9}=3=|-3|$ ✓, et non $-3$. Une racine carrée ne rend jamais un résultat négatif, c'est sa définition même.

c) La factorisation est juste, la conclusion ne l'est pas. L'élévation au carré n'est pas une équivalence, elle peut créer des solutions, donc les deux candidats doivent être testés dans l'équation de DÉPART. Pour $x=3$ : $\sqrt{9}=3$ ✓, accepté. Pour $x=-2$ : $\sqrt{4}=2$, or le membre de droite vaut $-2$, et $2\neq -2$, donc REJETÉ. La seule solution est $x=3$. On pouvait le prévoir sans calcul : le membre de gauche est une racine carrée, donc positif ou nul, donc l'équation impose $x\geq 0$ dès le départ.

d) La première affirmation est fausse, la seconde est juste. $\sqrt{50}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ : celle-ci est en fait correcte, puisqu'on additionne deux termes semblables, exactement comme $5u+u=6u$. Et $\sqrt{50}\times\sqrt{2}=\sqrt{100}=10$, également correct. Les deux affirmations sont donc justes, et la copie est piégée par la consigne : il fallait le dire. Vérification numérique : $6\sqrt{2}\approx 8{,}485$ et $\sqrt{50}+\sqrt{2}\approx 7{,}071+1{,}414=8{,}485$ ✓. Morale : ne corrigez jamais une ligne parce qu'on vous suggère qu'elle est fausse, vérifiez.

e) Presque. La condition d'existence est $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$, avec une inégalité LARGE : $\sqrt{0}=0$ existe parfaitement. Le domaine est $[3\ ;+\infty[$ et non $]3\ ;+\infty[$. L'inégalité stricte est réservée au logarithme et au dénominateur. Cette erreur d'un seul crochet coûte régulièrement un point, et elle change la réponse à la question des extremums, puisque le maximum ou le minimum d'une racine carrée est justement atteint à cette borne.

a) Contre-exemple : $8\times 16=128$, alors que $4^{7}=16384$. Règle violée : quand on multiplie deux puissances de MÊME base, on additionne les exposants et l'on GARDE la base. Ligne correcte : $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ ✓. Multiplier les bases revient à compter deux fois la même chose.

b) Contre-exemple : $\log(1+1)=\log 2\approx 0{,}301$, tandis que $\log 1+\log 1=0+0=0$. Règle violée : le logarithme transforme un PRODUIT en somme, pas une somme en somme. Ligne correcte : $\log(ab)=\log a+\log b$, et $\log(a+b)$ ne se simplifie pas du tout. C'est la même faute structurelle que $\sqrt{a+b}$ et que $\frac{1}{a+b}$ : trois opérations qui distribuent sur le produit et jamais sur la somme.

c) Contre-exemple : $\frac{\log 8}{\log 2}=\frac{0{,}9031}{0{,}3010}=3$, alors que $\log 4\approx 0{,}602$. Règle violée : un QUOTIENT de deux logarithmes n'est pas le logarithme d'un quotient. Ce quotient a d'ailleurs un sens précis, c'est la formule de changement de base : $\frac{\log 8}{\log 2}=\log_{2}8=3$, puisque $2^{3}=8$. La règle qui s'applique aux quotients est $\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$, avec une soustraction, pas une division.

d) Deux fautes en une ligne. D'abord, $\log_{2}(x)+\log_{2}(x-3)$ vaut $\log_{2}\left(x(x-3)\right)$, ce qui est correct, mais l'équation devient alors $\log_{2}(x^{2}-3x)=1$, et non $x^{2}-3x=1$ : on a oublié de défaire le logarithme. Ensuite, défaire le logarithme donne $x^{2}-3x=2^{1}=2$, donc $x^{2}-3x-2=0$. Enfin, et c'est le point le plus souvent perdu, les conditions d'existence $x>0$ ET $x-3>0$ imposent $x>3$ : toute solution inférieure ou égale à $3$ doit être rejetée. Ici $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3{,}56$ convient, et $x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0{,}56$ est rejetée.

e) Contre-exemple : $x=2$ donne $\left(8\right)^{2}=64$ à gauche et $2^{5}=32$ à droite. Règle violée : une puissance de puissance MULTIPLIE les exposants, elle ne les additionne pas. Ligne correcte : $\left(x^{3}\right)^{2}=x^{6}$, et $2^{6}=64$ ✓. La règle d'addition est celle du produit, $x^{3}\times x^{2}=x^{5}$, et c'est la proximité des deux écritures qui fait la faute. Moyen sûr de trancher : écrire en toutes lettres, $\left(x^{3}\right)^{2}$ signifie $x^{3}\times x^{3}$, donc six facteurs.

a) Faux. En divisant les deux membres par $-2$, un nombre NÉGATIF, le sens de l'inégalité se renverse : $x<-2$. Contrôle immédiat, et c'est celui qu'il faut prendre l'habitude de faire : on teste une valeur. Pour $x=0$, qui appartient à l'ensemble de la copie, $-2\times 0=0$, qui n'est pas supérieur à $4$ : la copie est donc fausse. Pour $x=-5$, $-2\times(-5)=10>4$ ✓. Le schéma montre les deux demi-droites, qui sont exactement complémentaires.

b) Faux, et l'erreur est plus grave qu'elle n'en a l'air : on a multiplié les deux membres par $x$, dont on ignore le signe. Contre-exemple : $x=-1$ appartient à l'ensemble de la copie, or $\frac{3}{-1}=-3$, qui n'est pas supérieur à $1$. Méthode correcte : on ramène tout d'un côté, $\frac{3}{x}-1>0$, soit $\frac{3-x}{x}>0$, puis on fait un tableau de signes avec les deux frontières $0$ et $3$. Le quotient est positif entre elles : l'ensemble solution est $]0\ ;3[$. On ne multiplie JAMAIS une inéquation par une expression littérale de signe inconnu.

c) Incomplet, donc faux. Une valeur absolue inférieure à $3$ signifie une distance inférieure à $3$, donc DEUX conditions : $-3<x-5<3$, c'est-à-dire $2<x<8$. La copie a gardé la moitié droite et oublié la moitié gauche. Contre-exemple : $x=0$ vérifie $x<8$, or $|0-5|=5$, qui n'est pas inférieur à $3$. Retenez la distinction de forme : $|A|<k$ donne un SEUL intervalle encadré, $|A|>k$ donne une RÉUNION de deux intervalles.

d) Incomplet. $x^{2}>9$ signifie $|x|>3$, donc $x>3$ OU $x<-3$. Contre-exemple de l'oubli : $x=-10$ vérifie bien $100>9$ et n'est pas dans l'ensemble de la copie. L'ensemble solution correct est $]-\infty\ ;-3[\cup]3\ ;+\infty[$. Cette faute vient d'un réflexe faux, celui de prendre la racine carrée des deux membres comme on le ferait dans une équation, et il faut lui substituer le réflexe de la valeur absolue.

e) Faux, il fallait renverser. La base $0{,}5$ est comprise entre $0$ et $1$, donc la fonction $0{,}5^{x}$ est DÉCROISSANTE : quand l'exposant augmente, la valeur diminue. En écrivant $0{,}25=0{,}5^{2}$, l'inéquation $0{,}5^{x}<0{,}5^{2}$ donne $x>2$ et non $x<2$. Contrôle : $x=3$ donne $0{,}125<0{,}25$ ✓, alors que $x=1$ donne $0{,}5$, qui n'est pas inférieur à $0{,}25$. Règle à retenir : avec une base supérieure à $1$, le sens se conserve ; avec une base entre $0$ et $1$, il se renverse. La même chose vaut pour les logarithmes de base inférieure à $1$.

a) Faux, il y a une infinité de solutions et la calculatrice n'en donne qu'une. Sur le cercle, la droite horizontale $y=\frac{1}{2}$ coupe le cercle en DEUX points, d'abscisses angulaires $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ : ces deux angles ont le même sinus, car le sinus se lit sur l'axe vertical et deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées partagent leur ordonnée. En ajoutant les tours complets, l'ensemble solution est $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, avec $k$ entier. Si l'énoncé restreint à $[0\ ;2\pi[$, il reste les deux valeurs $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$. Ne rendre qu'une solution est la faute numéro un du chapitre.

b) Contre-exemple : $a=b=\frac{\pi}{2}$ donne $\sin(\pi)=0$ à gauche et $1+1=2$ à droite. Règle violée : le sinus n'est pas une fonction qui se distribue, et il n'existe aucune raison qu'il le soit. La formule correcte est $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, qu'il faut connaître et qu'aucune intuition ne remplace. Vérification sur le contre-exemple : $1\times 0+0\times 1=0$ ✓.

c) Faux. $\sin^{2}x$ est une notation abrégée pour $\left(\sin x\right)^{2}$, c'est-à-dire qu'on prend d'abord le sinus, puis on élève au carré. $\sin\left(x^{2}\right)$ fait l'inverse. Contre-exemple : pour $x=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$, on a $\sin^{2}x=1^{2}=1$, tandis que $\sin\left(x^{2}\right)=\sin(2{,}467)\approx 0{,}625$. L'ordre des opérations n'est pas une question de goût.

d) Faux, et l'erreur est de domaine. Le cosinus d'un angle est toujours compris entre $-1$ et $1$, puisque c'est l'abscisse d'un point du cercle de rayon $1$ : aucun angle n'a un cosinus égal à $1{,}4$. L'équation n'a AUCUNE solution, et la calculatrice renvoie d'ailleurs un message d'erreur, qu'il ne faut pas interpréter comme une panne. Réflexe à installer : avant de chercher un angle, vérifier que la valeur cible est bien dans $[-1\ ;1]$.

e) Faux. Le paramètre $b=2$ comprime horizontalement la courbe d'un facteur $2$, donc la période est $\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$. Vérification : $f(x+\pi)=3\sin(2x+2\pi)+1=3\sin(2x)+1=f(x)$ ✓, alors que $\pi$ est bien la plus petite valeur qui fonctionne. Erreur voisine à connaître : ni $a$ ni $k$ n'ont le moindre effet sur la période, ils ne touchent qu'à l'amplitude et à l'axe médian.

a) Erreur de signe dans la première parenthèse : l'abscisse de $A$ vaut $-2$, donc la différence est $4-(-2)=6$, et non $4-2$. Calcul correct : $AB=\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21$. Contrôle graphique, celui qui aurait sauvé la copie : sur le dessin, le segment traverse six colonnes et quatre lignes, il mesure donc visiblement plus de $7$, alors que $\sqrt{20}\approx 4{,}47$ serait beaucoup trop court. Une longueur se vérifie toujours à vue d'oeil.

b) Confusion entre la formule du milieu et celle du vecteur. Le milieu utilise la SOMME des coordonnées, divisée par deux ; c'est la différence qui donne les composantes du vecteur. Calcul correct : $M=\left(\frac{-2+4}{2}\ ;\frac{3+(-1)}{2}\right)=(1\,;1)$, ce que le dessin confirme, $M$ étant bien au milieu du segment. La copie a d'ailleurs calculé $\left(\frac{6}{2}\ ;\frac{-4}{2}\right)=(3\,;-2)$, c'est-à-dire la moitié du vecteur $\vec{AB}$, un objet parfaitement défini mais qui n'est pas un point du segment.

c) Faux. Deux droites sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut $-1$. Ici $2\times(-2)=-4$, ce n'est pas $-1$. La pente perpendiculaire à $2$ est $-\frac{1}{2}$ : on prend l'opposé de l'INVERSE, pas seulement l'opposé. Contrôle graphique : une droite de pente $2$ monte de deux carreaux quand on avance d'un ; sa perpendiculaire doit descendre d'un carreau quand on avance de deux, ce qui se dessine en une seconde.

d) Faux, c'est exactement le contraire. Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont ORTHOGONAUX, puisque $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et que le cosinus s'annule à l'angle droit. Le critère de parallélisme est tout autre : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont parallèles quand leurs composantes sont proportionnelles, autrement dit quand $x_{u}y_{v}-y_{u}x_{v}=0$. Exemple : $\vec{u}(3\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;4)$ ont un produit scalaire nul et sont perpendiculaires, ce que le dessin montre immédiatement.

e) Faux en général. Contre-exemple : $\vec{u}(3\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;4)$ donnent $\vec{u}+\vec{v}=(3\,;4)$, de norme $\sqrt{9+16}=5$, alors que $\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|=3+4=7$. L'égalité n'est vraie que si les deux vecteurs ont la même direction ET le même sens ; dans tous les autres cas, la somme est strictement plus courte. C'est l'inégalité triangulaire, et elle dit une chose de bon sens : le chemin direct est plus court que le détour.

a) Famille 1, la règle inventée : $(x+4)^{2}=x^{2}+16$, $\log(a+b)=\log a+\log b$, et $\sqrt{x^{2}}=x$ pour $x=-3$, qui est bien une loi fausse et non un accident de signe. Famille 2, le signe : $\frac{-20}{2\times 5}$ au lieu de $\frac{-20}{2\times(-5)}$, $-(x-3)=-x-3$, et $-2x>4$ qui donne $x>-2$, ce dernier cas étant un signe oublié dans le SENS de l'inégalité. Famille 3, le domaine : accepter une valeur interdite, et garder la racine négative d'un temps. Notez que les trois familles n'ont pas la même gravité aux yeux d'un correcteur : la famille 1 révèle une notion non comprise, la famille 2 une relecture absente, la famille 3 une méthode incomplète.

b) Le CONTRE-EXEMPLE NUMÉRIQUE. Dès qu'une égalité littérale vous paraît commode, remplacez les lettres par des nombres simples, souvent $0$, $1$ et $2$, et calculez les deux membres. S'ils diffèrent, la loi n'existe pas, et c'est une preuve, pas une impression. Ce contrôle coûte dix secondes et il fonctionne pour toutes les lois du programme, y compris celles qu'on n'a pas apprises.

c) La SUBSTITUTION dans la ligne de départ, ou le contrôle graphique. Une fois le résultat obtenu, on le remet dans l'énoncé initial et l'on regarde si le compte y est. Pour les inéquations, on teste une valeur de l'ensemble solution et une valeur hors de cet ensemble : c'est infaillible et cela prend une ligne. Et pour tout ce qui a un dessin, un ordre de grandeur lu sur le graphique attrape à peu près toutes les erreurs de signe, parce qu'un signe faux déplace en général massivement le résultat.

d) L'écriture des CONDITIONS D'EXISTENCE AVANT de résoudre, puis le tri des solutions à la fin. Concrètement : avant la première ligne de calcul, on note les valeurs interdites, les radicandes positifs, les arguments de logarithme strictement positifs et, en contexte, ce que la situation autorise. Puis chaque solution trouvée est confrontée à cette liste. Ce contrôle est le seul qui doive être fait aux DEUX bouts du calcul, et c'est ce qui le rend si souvent oublié.

e) La quatrième famille est l'erreur de LECTURE DE L'ÉNONCÉ : répondre à une autre question que celle posée. Donner l'abscisse quand on demandait la valeur, le périmètre quand on demandait l'aire, la hauteur maximale quand on demandait l'instant où elle est atteinte, ou encore rendre une réponse sans la phrase de conclusion. Son contrôle est simple et il est le dernier geste de toute copie : on relit la question, mot à mot, et l'on vérifie que la dernière ligne écrite y répond littéralement, avec la bonne unité. C'est le contrôle le plus rentable de tous, parce qu'il porte sur des points déjà gagnés que l'on s'apprête à perdre.