Exercices corrigés : passer d'une forme à l'autre (canonique, générale, factorisée)

a) En $x=0$ : $0{,}5\times 0-0+2{,}5=2{,}5$ ; $0{,}5\times 9-2=4{,}5-2=2{,}5$ ; $0{,}5\times(-1)\times(-5)=2{,}5$. Les trois donnent $2{,}5$ ✓. En $x=2$ : $2-6+2{,}5=-1{,}5$ ; $0{,}5\times 1-2=-1{,}5$ ; $0{,}5\times 1\times(-3)=-1{,}5$ ✓. En $x=6$ : $18-18+2{,}5=2{,}5$ ; $0{,}5\times 9-2=2{,}5$ ; $0{,}5\times 5\times 1=2{,}5$ ✓. Trois valeurs communes ne prouvent pas l'identité de trois expressions quelconques, mais pour des polynômes de degré $2$, trois points suffisent : c'est un cas où la vérification vaut démonstration.

b) La forme GÉNÉRALE $0{,}5x^{2}-3x+2{,}5$ donne l'ordonnée à l'origine, $c=2{,}5$, le point où la courbe coupe l'axe vertical. La forme CANONIQUE $0{,}5(x-3)^{2}-2$ donne le sommet $(3\,;-2)$, donc l'extremum, l'axe de symétrie $x=3$, la variation et l'image $[-2\ ;+\infty[$. La forme FACTORISÉE $0{,}5(x-1)(x-5)$ donne les zéros $1$ et $5$, donc le signe. Les trois donnent aussi le coefficient $a=0{,}5$, seule information commune aux trois, et c'est elle qui décide de l'ouverture.

c) On développe : $0{,}5(x-1)(x-5)=0{,}5\left(x^{2}-5x-x+5\right)=0{,}5\left(x^{2}-6x+5\right)=0{,}5x^{2}-3x+2{,}5$ ✓. Le passage vers la forme générale est toujours le plus facile des trois : il ne demande qu'un développement, sans aucune astuce.

d) On met $0{,}5$ en évidence sur les deux premiers termes : $f(x)=0{,}5\left(x^{2}-6x\right)+2{,}5$. On complète le carré à l'intérieur : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$. Donc $f(x)=0{,}5\left[(x-3)^{2}-9\right]+2{,}5=0{,}5(x-3)^{2}-4{,}5+2{,}5=0{,}5(x-3)^{2}-2$ ✓. Contrôle par le raccourci : $h=\frac{-(-3)}{2\times 0{,}5}=3$ et $k=f(3)=4{,}5-9+2{,}5=-2$, mêmes valeurs. Faites systématiquement ce contrôle, il coûte dix secondes.

e) Oui. Une parabole qui ne coupe jamais l'axe des abscisses n'a pas de zéros réels, donc pas de forme factorisée dans les réels. Exemple : $g(x)=x^{2}+1$, dont le discriminant vaut $0-4=-4<0$ et qui vaut au moins $1$ partout. On dit alors qu'elle est irréductible. Le test à faire avant de chercher une factorisation est donc toujours le même : calculer le discriminant.

f) Non, jamais. Toute fonction quadratique possède une forme canonique, car toute parabole possède un sommet : la complétion du carré fonctionne quels que soient $a$, $b$ et $c$, avec $a\neq 0$. C'est ce qui fait de la forme canonique la plus utile des trois, et c'est aussi pour cela qu'un examen la demande si souvent : elle est la seule qui existe toujours.

a) Ici $a=1$, le cas le plus simple. La moitié de $8$ est $4$, et $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ : il y a donc $16$ de trop, qu'on retranche. $f(x)=(x+4)^{2}-16+3=(x+4)^{2}-13$. Sommet $(-4\,;-13)$. Contrôle : $h=\frac{-8}{2}=-4$ ✓ et $f(-4)=16-32+3=-13$ ✓.

b) On met $2$ en évidence sur les deux premiers termes SEULEMENT : $g(x)=2\left(x^{2}-6x\right)+7$. Complétion à l'intérieur : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$. En ressortant, le $-9$ est MULTIPLIÉ par $2$ : $g(x)=2(x-3)^{2}-18+7=2(x-3)^{2}-11$. Sommet $(3\,;-11)$. Contrôle : $h=\frac{12}{4}=3$ ✓ et $g(3)=18-36+7=-11$ ✓. La faute classique consiste à écrire $-9+7=-2$ en oubliant de multiplier par $2$.

c) $p(x)=-3\left(x^{2}-2x\right)+1$. Attention au signe en mettant $-3$ en évidence : $6x$ divisé par $-3$ donne $-2x$. Complétion : $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$. En ressortant : $p(x)=-3(x-1)^{2}+3+1=-3(x-1)^{2}+4$. Le $-1$ multiplié par $-3$ donne $+3$, un double changement de signe. Sommet $(1\,;4)$, et c'est un maximum puisque $a<0$. Contrôle : $h=\frac{-6}{-6}=1$ ✓ et $p(1)=-3+6+1=4$ ✓.

d) La moitié de $5$ est $\frac{5}{2}$, et son carré $\frac{25}{4}$. Donc $x^{2}+5x=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}$, et $q(x)=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}-2=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{33}{4}$. Sommet $\left(-\frac{5}{2}\ ;-\frac{33}{4}\right)$, soit $(-2{,}5\,;-8{,}25)$. Contrôle : $q(-2{,}5)=6{,}25-12{,}5-2=-8{,}25$ ✓. Les fractions ne changent rien à la méthode, et il ne faut surtout pas arrondir : $\frac{33}{4}$ est la réponse, pas $8{,}3$.

e) $r(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}-2x\right)+4$, car $-x$ divisé par $\frac{1}{2}$ donne $-2x$. Complétion : $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$. En ressortant, le $-1$ est multiplié par $\frac{1}{2}$ : $r(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{2}-\frac{1}{2}+4=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+\frac{7}{2}$. Sommet $(1\,;3{,}5)$. Contrôle : $r(1)=0{,}5-1+4=3{,}5$ ✓. Le piège propre à ce cas est la division par une fraction, qui MULTIPLIE : diviser par $\frac{1}{2}$, c'est multiplier par $2$.

f) Piège numéro un : mettre $a$ en évidence sur les trois termes au lieu des deux premiers. Le terme constant ne doit pas entrer dans la parenthèse, sinon il faut le ressortir aussi et l'on s'emmêle. Piège numéro deux, de loin le plus coûteux : oublier de multiplier par $a$ le terme excédentaire quand on le sort de la parenthèse. La parade est le contrôle systématique par $k=f(h)$ : il détecte les deux fautes en une seule ligne, et il n'y a aucune raison de s'en priver.

a) Le dénominateur est $x$ tout seul, donc on sépare directement : $f(x)=\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{x}$. Asymptote verticale $x=0$, asymptote horizontale $y=3$. C'est le cas le plus simple, et il montre le principe : on découpe le numérateur en une partie divisible par le dénominateur et un reste.

b) On veut faire apparaître $x-1$ au numérateur. Comme $3(x-1)=3x-3$ et qu'il faut $3x+3$, il manque $6$ : $3x+3=3(x-1)+6$. Donc $g(x)=\frac{3(x-1)+6}{x-1}=3+\frac{6}{x-1}$, c'est-à-dire $g(x)=\frac{6}{x-1}+3$. Asymptote verticale $x=1$, asymptote horizontale $y=3$, exactement les deux droites en pointillés du graphique ✓. Contrôle numérique : $g(4)=\frac{15}{3}=5$ et la forme canonique donne $\frac{6}{3}+3=5$ ✓.

c) On veut $x-4$ au numérateur : $-2(x-4)=-2x+8$, et il faut $-2x+7$, donc il y a $1$ de trop : $-2x+7=-2(x-4)-1$. Donc $h(x)=\frac{-2(x-4)-1}{x-4}=-2-\frac{1}{x-4}$, soit $h(x)=\frac{-1}{x-4}-2$. Asymptotes $x=4$ et $y=-2$. Attention au signe du reste : une erreur d'un signe ici retourne la courbe.

d) On procède exactement de la même façon, en travaillant avec $2x-1$ : $4x+5=2(2x-1)+7$, puisque $2(2x-1)=4x-2$ et qu'il manque $7$. Donc $p(x)=2+\frac{7}{2x-1}$. Si l'on veut la forme canonique avec $x-h$ au dénominateur, on factorise le $2$ : $\frac{7}{2x-1}=\frac{7}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=\frac{3{,}5}{x-\frac{1}{2}}$. Finalement $p(x)=\frac{3{,}5}{x-0{,}5}+2$, avec les asymptotes $x=0{,}5$ et $y=2$. Vérification : $p(3)=\frac{17}{5}=3{,}4$ et $\frac{3{,}5}{2{,}5}+2=1{,}4+2=3{,}4$ ✓.

e) La forme canonique $g(x)=\frac{6}{x-1}+3$ dit tout. Image : $\frac{6}{x-1}$ prend toutes les valeurs réelles sauf $0$, donc l'image est $\mathbb{R}\setminus\{3\}$. Variation : le numérateur $6$ est positif, donc $\frac{6}{x-1}$ décroît sur chaque branche, et $g$ est décroissante sur $]-\infty\ ;1[$ et décroissante sur $]1\ ;+\infty[$, les deux intervalles étant cités séparément. Aucune de ces deux réponses n'était lisible sur la forme de départ : c'est très exactement ce à quoi sert le changement de forme.

a) On sort le facteur du radical : $\sqrt{16(x-2)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x-2}=4\sqrt{x-2}$, l'égalité $\sqrt{uv}=\sqrt u\sqrt v$ étant valable car les deux facteurs sont positifs sur le domaine. Donc $f(x)=3\times 4\sqrt{x-2}=12\sqrt{x-2}$. Domaine inchangé : $[2\ ;+\infty[$. Contrôle : $f(6)=3\sqrt{16\times 4}=3\times 8=24$, et $12\sqrt{4}=24$ ✓.

b) Ici le radicande est $9(5-x)$, positif quand $x\leq 5$. On écrit $\sqrt{9(5-x)}=3\sqrt{5-x}$, donc $g(x)=-6\sqrt{5-x}$, de domaine $]-\infty\ ;5]$. La courbe part du point $(5\,;0)$ et descend vers la gauche : $a$ est négatif et l'ouverture se fait vers la gauche. Contrôle : $g(1)=-2\sqrt{9\times 4}=-2\times 6=-12$, et $-6\sqrt{4}=-12$ ✓.

c) $\left|-3(x+1)\right|=|-3|\cdot|x+1|=3|x+1|$, car la valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues. Donc $p(x)=4\times 3|x+1|=12|x+1|$, que l'on écrit $12|x-(-1)|$ pour lire $h=-1$. Contrôle : $p(3)=4|-12|=48$, et $12\times 4=48$ ✓.

d) Les deux ont raison, et ce sont la même fonction : $2\sqrt{9(x-2)}=2\times 3\sqrt{x-2}=6\sqrt{x-2}$. Elles ont le même domaine, les mêmes valeurs et la même courbe. Sauf si l'énoncé impose explicitement une forme, par exemple « écrivez sous la forme $a\sqrt{x-h}$ », les deux réponses valent, et une correction qui n'accepterait que la première serait injuste. La vérification qui tranche tient en deux points : elles coïncident en $x=2$ et en $x=6$, donc elles coïncident partout.

e) Parce que la valeur absolue rend tout positif, alors que la racine carrée exige que le radicande le soit. Pour $|b(x-h)|$, le facteur $b$ sort en $|b|$ quel que soit son signe, et le domaine reste $\mathbb{R}$ : rien ne change, la courbe garde ses deux branches. Pour $\sqrt{b(x-h)}$, en revanche, le signe de $b$ décide de l'endroit où le radicande est positif, donc du DOMAINE lui-même : $b>0$ donne $[h\ ;+\infty[$ et une courbe ouverte à droite, $b<0$ donne $]-\infty\ ;h]$ et une courbe ouverte à gauche, comme le montre la figure. Le signe de $b$ n'agit donc pas sur la forme de la courbe mais sur son côté d'existence.

a) $2^{2x}=\left(2^{2}\right)^{x}=4^{x}$, par la loi $\left(c^{m}\right)^{n}=c^{mn}$ lue à l'envers. Donc $f(x)=3\cdot 4^{x}$. Contrôle : $f(2)=3\cdot 2^{4}=48$, et $3\cdot 4^{2}=48$ ✓. Le paramètre $b$ a disparu dans la base : c'est le mécanisme général.

b) $3^{x-2}=3^{x}\cdot 3^{-2}=\frac{3^{x}}{9}$. Donc $g(x)=\frac{5}{9}\cdot 3^{x}$. Contrôle : $g(2)=5\cdot 3^{0}=5$, et $\frac{5}{9}\times 9=5$ ✓. Le paramètre $h$ a disparu dans le coefficient : une translation horizontale d'une exponentielle est indiscernable d'un étirement vertical, ce qui n'est vrai d'AUCUNE autre famille du programme.

c) On combine les deux opérations précédentes. $2^{2x-6}=2^{2(x-3)}=\left(2^{2}\right)^{x-3}=4^{x-3}=\frac{4^{x}}{4^{3}}=\frac{4^{x}}{64}$. Donc $p(x)=\frac{3}{64}\cdot 4^{x}$. Contrôle : $p(3)=3\cdot 2^{0}=3$, et $\frac{3}{64}\times 64=3$ ✓. Trois écritures pour une seule fonction : $3\cdot 2^{2x-6}$, $3\cdot 4^{x-3}$ et $\frac{3}{64}\cdot 4^{x}$.

d) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(2^{-1}\right)^{x}=2^{-x}$. Donc $q(x)=7\cdot 2^{-x}$, qui a bien une base supérieure à $1$, la décroissance étant maintenant portée par le signe de l'exposant. Contrôle : $q(3)=\frac{7}{8}$, et $7\cdot 2^{-3}=\frac{7}{8}$ ✓. Les deux écritures sont équivalentes, et il faut savoir passer de l'une à l'autre parce que les énoncés utilisent les deux : une base entre $0$ et $1$ avec un exposant positif, ou une base supérieure à $1$ avec un exposant négatif.

e) $\log_{2}(8x)=\log_{2}8+\log_{2}x$, par la loi du produit. Or $8=2^{3}$, donc $\log_{2}8=3$. Donc $r(x)=\log_{2}(x)+3$, c'est-à-dire $k=3$. Contrôle : $r(2)=\log_{2}16=4$, et $\log_{2}2+3=1+3=4$ ✓. Géométriquement, cela signifie qu'un facteur multiplicatif à l'INTÉRIEUR du logarithme produit une simple TRANSLATION VERTICALE de la courbe : étirer horizontalement le logarithme revient à le monter. Aucune autre famille ne confond ainsi les deux transformations, et c'est la raison pour laquelle le paramètre $b$ d'une fonction logarithmique est presque toujours pris égal à $1$ dans les énoncés.

a) Forme GÉNÉRALE, parce que l'ordonnée à l'origine est le terme constant $c$. Réponse immédiate : $f(0)=10$. Aucun calcul, c'est le seul renseignement que la forme générale donne gratuitement, et c'est pour cela qu'on ne la quitte jamais avant d'avoir lu $c$.

b) Forme FACTORISÉE. On factorise : $f(x)=2\left(x^{2}-6x+5\right)=2(x-1)(x-5)$, les deux nombres de somme $6$ et de produit $5$ étant $1$ et $5$. Les zéros sont $x=1$ et $x=5$. Vérification : $f(1)=2-12+10=0$ ✓ et $f(5)=50-60+10=0$ ✓.

c) Forme CANONIQUE. $f(x)=2\left(x^{2}-6x\right)+10=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+10=2(x-3)^{2}-18+10=2(x-3)^{2}-8$. Le sommet est $(3\,;-8)$, et comme $a=2>0$, c'est un MINIMUM, égal à $-8$, atteint en $x=3$. Contrôle rapide : le sommet est au milieu des deux zéros, $\frac{1+5}{2}=3$ ✓, ce qui est vrai chaque fois que les zéros existent et fournit un excellent recoupement entre les questions b) et c).

d) Forme FACTORISÉE, car le signe d'un produit se lit sur celui de ses facteurs. $f(x)=2(x-1)(x-5)$ : les deux facteurs sont négatifs avant $1$, donc le produit est positif ; entre $1$ et $5$, l'un est positif et l'autre négatif, donc le produit est négatif ; après $5$, les deux sont positifs. Conclusion : $f$ est positive sur $]-\infty\ ;1]$ et sur $[5\ ;+\infty[$, négative sur $[1\ ;5]$. On aurait pu tester trois points, mais le raisonnement par les facteurs est plus rapide et il s'étend à des polynômes de degré supérieur.

e) Forme CANONIQUE. Comme $2(x-3)^{2}\geq 0$, on a $f(x)\geq -8$ pour tout $x$, et la valeur $-8$ est atteinte en $x=3$. L'image est $[-8\ ;+\infty[$. Retenez que l'image d'une quadratique se lit UNIQUEMENT sur la forme canonique : ni la générale ni la factorisée ne la donnent sans travail.

f) Forme CANONIQUE encore, et sans résoudre. Le minimum de $f$ vaut exactement $-8$, donc la droite $y=-8$ touche la parabole en son sommet et nulle part ailleurs : l'équation $f(x)=-8$ a exactement UNE solution, $x=3$. Pour $f(x)=-9$, il n'y en aurait aucune ; pour $f(x)=0$, il y en a deux. C'est la lecture la plus rentable de toute la série : la position de $k$ par rapport à la valeur cible décide du nombre de solutions, sans qu'aucune équation soit résolue.