Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal
Changer de forme n'est pas une corvée imposée par l'énoncé : c'est le geste qui rend une question facile. Sous la forme générale, le sommet d'une parabole est invisible ; sous la forme canonique, il se lit.
Cette fiche donne le tableau des formes, les manipulations famille par famille, et les six erreurs qui reviennent le plus souvent dans ces passages.
Le fil du chapitre
Chaque forme rend UNE propriété visible en cachant les autres : on ne change pas de forme par habitude, on en change parce que la question posée l'exige.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
Ce qu'il faut écrire
Pourquoi : La mise en évidence ne porte que sur les DEUX PREMIERS termes. Contre-exemple en : la gauche vaut , la droite . Si l'on veut vraiment mettre en évidence partout, il faut écrire , ce qui complique inutilement.
Ce qu'il ne faut pas écrire
Ce qu'il faut écrire
Pourquoi : Le terme excédentaire sort de la parenthèse, il est donc MULTIPLIÉ par . C'est de très loin l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle qui l'attrape en dix secondes : et .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est l'ordonnée à l'origine. »
Ce qu'il faut écrire
« est l'ordonnée du SOMMET. L'ordonnée à l'origine vaut . »
Pourquoi : Les deux nombres ne coïncident que si . La règle générale : l'ordonnée à l'origine vaut , et elle ne se lit directement que sur la forme GÉNÉRALE, où elle est le terme constant.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je cherche deux nombres de somme et de produit ... »
Ce qu'il faut écrire
« Discriminant : . Cette fonction n'a aucun zéro réel, elle n'a donc pas de forme factorisée dans les réels. »
Pourquoi : La forme canonique existe toujours, la factorisée non. Le test à faire AVANT de chercher une factorisation est donc systématique : calculer le discriminant. Une courbe entièrement au-dessus de l'axe ne se factorise pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« C'est la même chose, le est juste écrit ailleurs. »
Ce qu'il faut écrire
« , sans asymptote décalée. a pour asymptote . »
Pourquoi : Dans l'exposant, le produit un ÉTIREMENT vertical ; en dehors, il produit une TRANSLATION verticale. Contre-exemple en : la première vaut , la seconde . Ce sont deux transformations différentes, et la figure les sépare nettement.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je me suis trompé, je recommence tout. »
Ce qu'il faut écrire
« : c'est la même fonction, ma réponse est juste. »
Pourquoi : Changer de forme change l'écriture, jamais la fonction : même domaine, même image, même courbe. Avant de chercher une erreur, testez les deux écritures sur deux valeurs. Si elles concordent, elles sont égales.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le dénominateur n'est pas , je ne peux pas. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc , avec les asymptotes et . »
Pourquoi : On travaille avec le dénominateur TEL QU'IL EST, puis on factorise le coefficient de à la fin si l'on veut la forme . Vérification : et ✓.
Une fonction quadratique et une question précise.
Si On demande l'ordonnée à l'origine → FORME GÉNÉRALE : c'est le terme constant
Exemple : donne
Si On demande les zéros ou le signe → FORME FACTORISÉE : les zéros se lisent, et le signe se déduit de celui des facteurs
Exemple : donne les zéros et
Si On demande le sommet, l'extremum, l'image ou la variation → FORME CANONIQUE : tout s'y lit d'un coup
Exemple : donne le minimum en
Si On demande le nombre de solutions de → FORME CANONIQUE, sans résoudre : comparer à
Exemple : Minimum : a une solution, aucune
Si On demande d'évaluer en un point → N'IMPORTE laquelle, la plus simple à calculer, souvent la factorisée
Exemple : est plus rapide que
Si On demande les asymptotes d'une homographique → FORME CANONIQUE obtenue par division du numérateur
Exemple : donne et
La forme de DÉPART est imposée par les données de l'énoncé, la forme de TRAVAIL par la question posée. Passer de l'une à l'autre coûte deux lignes, s'en priver en coûte dix.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on demande le sommet, l'image, la variation ou la forme canonique d'une quadratique donnée sous forme générale.
Phrase de conclusion
« . Le sommet est , et comme il s'agit d'un minimum. »
Le piège : Écrire directement le résultat sans montrer la ligne du crochet : c'est justement là que se fait la multiplication par , et un correcteur qui ne la voit pas ne peut pas créditer l'étape.
Barème : En général 2 points pour la forme canonique, 1 pour le sommet, 1 pour la nature de l'extremum.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le double contrôle du sommet
Après toute complétion du carré, recalculer et sur la forme générale. Les deux méthodes doivent donner le même sommet.
Canonique : ✓ et ✓.
Deux valeurs numériques
Évaluer l'ancienne et la nouvelle écriture en deux nombres simples, souvent et . Si elles concordent, le passage est correct.
et donnent toutes deux en ✓.
Le sommet est au milieu des zéros
Quand la fonction a deux zéros, l'abscisse du sommet en est la moyenne. Un désaccord signale une erreur dans l'une des deux formes.
Zéros et , sommet annoncé en : ✓.
Le discriminant avant la factorisation
Calculer avant de chercher une forme factorisée : si elle est négative, il n'y en a pas, et il faut le dire.
: , donc aucune factorisation réelle.
Soit .
Donnez son ordonnée à l'origine, ses zéros, son sommet, sa nature, son image, et le nombre de solutions de .
Étape 1
Ordonnée à l'origine, sur la forme GÉNÉRALE : .
Pourquoi
C'est le terme constant, lisible sans aucun calcul. On répond à cette question en premier, tant qu'on est encore sous la forme générale.
Étape 2
Forme FACTORISÉE : , les deux nombres de somme et de produit étant et . Les zéros sont et .
Pourquoi
On met en évidence sur les TROIS termes ici, parce qu'on cherche une factorisation et non une complétion du carré : la règle des deux premiers termes ne vaut que pour la seconde.
Étape 3
Forme CANONIQUE : . Le sommet est .
Pourquoi
Cette fois on met en évidence sur les deux premiers termes seulement, et le intérieur ressort multiplié par , donc en . C'est l'étape où la moitié des copies se trompent.
Étape 4
Contrôles : ✓, ✓, et le sommet est bien au milieu des zéros, ✓.
Pourquoi
Trois contrôles indépendants pour dix secondes de travail. Le troisième est le plus élégant : il relie la forme factorisée à la forme canonique, donc il valide les deux d'un coup.
Étape 5
Nature et image : , la parabole s'ouvre vers le haut, donc est un MINIMUM et l'image est .
Pourquoi
L'image se lit uniquement sur la forme canonique : donne , et la valeur est atteinte en , d'où le crochet fermé.
Étape 6
Nombre de solutions de : exactement UNE, , sans résoudre.
Pourquoi
La valeur cible est exactement le minimum : la droite horizontale touche la parabole en son sommet et nulle part ailleurs. Pour il n'y aurait aucune solution, pour il y en aurait deux. C'est la lecture la plus rentable de la forme canonique.
Conclusion rédigée
. Ordonnée à l'origine , zéros et , minimum en , image , et a une seule solution.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en oubliant de multiplier le par : le contrôle le révèle immédiatement, puisque la forme fausse donnerait .
Par la complétion du carré, en quatre lignes. On met le coefficient a en évidence sur les deux premiers termes seulement, on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse, on sort le terme excédentaire en le multipliant par a, puis on réduit. On contrôle ensuite avec la formule moins b sur deux a pour l'abscisse du sommet, et en calculant l'image de cette abscisse.
La forme canonique, où le sommet se lit directement dans les paramètres h et k. Sous la forme générale, on peut aussi utiliser la formule moins b sur deux a, puis calculer l'image, ce qui est souvent plus rapide. Les deux méthodes doivent donner le même résultat, et les faire toutes les deux est le meilleur contrôle possible.
Non. La forme factorisée exige des zéros réels, donc un discriminant positif ou nul. La fonction x au carré plus x plus un a un discriminant de moins trois : sa courbe reste entièrement au-dessus de l'axe et elle n'a aucune forme factorisée dans les réels. La forme canonique, elle, existe toujours, quelle que soit la fonction quadratique.
En forçant le dénominateur à apparaître au numérateur. Pour la fraction deux x plus sept sur x plus trois, on écrit le numérateur comme deux fois x plus trois, plus un, ce qui donne deux plus un sur x plus trois. Les deux asymptotes se lisent alors immédiatement, la verticale en h et l'horizontale en k, et l'image s'en déduit.
Souvent parce qu'elle est simplement écrite autrement. Deux racine de neuf fois x moins un et six racine de x moins un sont la même fonction. Avant de chercher une erreur, testez vos deux écritures sur deux ou trois valeurs numériques : si elles concordent, elles sont égales, et votre réponse est juste sauf si l'énoncé imposait explicitement une forme.
