Mathématiques SN, secondaire 5 • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : Passer d'une forme à l'autre

Changer de forme n'est pas une corvée imposée par l'énoncé : c'est le geste qui rend une question facile. Sous la forme générale, le sommet d'une parabole est invisible ; sous la forme canonique, il se lit.

Cette fiche donne le tableau des formes, les manipulations famille par famille, et les six erreurs qui reviennent le plus souvent dans ces passages.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Chaque forme rend UNE propriété visible en cachant les autres : on ne change pas de forme par habitude, on en change parce que la question posée l'exige.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

L'essentiel

Ce que chaque forme donne gratuitement

• GÉNÉRALE $ax^{2}+bx+c$ : l'ordonnée à l'origine, qui est $c$ . Rien d'autre.
• CANONIQUE $a(x-h)^{2}+k$ : le sommet $(h\,;k)$ , donc l'extremum, l'axe de symétrie, la variation et l'image. C'est la plus riche des trois.
• FACTORISÉE $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ : les zéros, donc le signe.
• Les trois donnent le coefficient $a$ , seule information commune, et c'est elle qui décide de l'ouverture.
• La forme canonique existe TOUJOURS. La forme factorisée n'existe que si le discriminant est positif ou nul : une parabole sans zéro réel n'en a pas.

La courbe bleue coupe l'axe en

1

5

: elle se factorise. L'orange ne le coupe jamais, son discriminant est négatif, et aucune forme factorisée n'existe pour elle dans les réels.

Les passages, famille par famille

• QUADRATIQUE, vers la canonique : mettre $a$ en évidence sur les DEUX premiers termes, compléter le carré, ressortir le terme excédentaire en le MULTIPLIANT par $a$ .
• HOMOGRAPHIQUE : forcer le dénominateur à apparaître au numérateur. $\frac{2x+7}{x+3}=\frac{2(x+3)+1}{x+3}=2+\frac{1}{x+3}$ .
• RACINE CARRÉE : $a\sqrt{b(x-h)}=a\sqrt{|b|}\cdot\sqrt{\pm(x-h)}$ , seul le signe de $b$ compte.
• VALEUR ABSOLUE : $a|b(x-h)|=a|b|\cdot|x-h|$ , et le signe de $b$ ne compte même pas.
• EXPONENTIELLE : $a\,c^{b(x-h)}=a\,c^{-bh}\cdot\left(c^{b}\right)^{x}$ , donc on se ramène toujours à $A\cdot C^{x}$ .
• LOGARITHME : $\log_{c}(bx)=\log_{c}b+\log_{c}x$ , donc un facteur devant $x$ devient une translation VERTICALE.

La canonique

2+\frac{1}{x+3}

\frac{2x+7}{x+3}

livre d'un coup les deux asymptotes,

x=-3

y=2

, que la forme de départ cachait.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mettre $2x^{2}-12x+7$ sous forme canonique.

2 points, car la suite du calcul est entièrement décalée.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2x^{2}-12x+7=2\left(x^{2}-6x+7\right)$

Ce qu'il faut écrire

$2x^{2}-12x+7=2\left(x^{2}-6x\right)+7$

Mettre

2

en évidence sur les TROIS termes fabrique

2x^{2}-12x+14

(rouge) : une autre parabole, qui coupe l'axe vertical en

14

au lieu de

7

(vert).

Pourquoi : La mise en évidence ne porte que sur les DEUX PREMIERS termes. Contre-exemple en $x=0$ : la gauche vaut $7$ , la droite $14$ . Si l'on veut vraiment mettre $2$ en évidence partout, il faut écrire $2\left(x^{2}-6x+3{,}5\right)$ , ce qui complique inutilement.

2. Compléter le carré dans $2\left(x^{2}-6x\right)+7$ .

2 points, et un sommet faux, donc une image et une variation fausses.

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2(x-3)^{2}-9+7=2(x-3)^{2}-2$

Ce qu'il faut écrire

$2\left[(x-3)^{2}-9\right]+7=2(x-3)^{2}-18+7=2(x-3)^{2}-11$

Oublier de multiplier le

-9

par

2

remonte le sommet en

(3;-2)

(rouge) ; le vrai sommet est

(3;-11)

(vert), et seule la verte passe par

f(0)=7

Pourquoi : Le terme excédentaire sort de la parenthèse, il est donc MULTIPLIÉ par $a$ . C'est de très loin l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle qui l'attrape en dix secondes : $h=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{4}=3$ et $k=f(3)=18-36+7=-11$ .

3. Lire les paramètres de $f(x)=(x-3)^{2}+2$ .

1 point, et une courbe tracée trop bas de neuf unités.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $k=2$ est l'ordonnée à l'origine. »

Ce qu'il faut écrire

« $k=2$ est l'ordonnée du SOMMET. L'ordonnée à l'origine vaut $f(0)=9+2=11$ . »

k=2

est la hauteur du SOMMET (orange) ; la courbe coupe l'axe vertical bien plus haut, en

f(0)=11

(bleu).

Pourquoi : Les deux nombres ne coïncident que si $h=0$ . La règle générale : l'ordonnée à l'origine vaut $ah^{2}+k$ , et elle ne se lit directement que sur la forme GÉNÉRALE, où elle est le terme constant.

4. On demande la forme factorisée de $x^{2}+x+1$ .

Le temps de la question, et souvent une factorisation inventée qui coûte 2 points.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je cherche deux nombres de somme $1$ et de produit $1$ ... »

Ce qu'il faut écrire

« Discriminant : $1-4=-3<0$ . Cette fonction n'a aucun zéro réel, elle n'a donc pas de forme factorisée dans les réels. »

x^{2}+x+1

reste au-dessus de l'axe, son minimum vaut

\frac{3}{4}

: aucun zéro, donc aucune forme factorisée dans les réels.

Pourquoi : La forme canonique existe toujours, la factorisée non. Le test à faire AVANT de chercher une factorisation est donc systématique : calculer le discriminant. Une courbe entièrement au-dessus de l'axe ne se factorise pas.

5. Comparer $3\cdot 2^{x-1}$ et $3\cdot 2^{x}-1$ .

2 points, et une asymptote inventée ou oubliée.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« C'est la même chose, le $-1$ est juste écrit ailleurs. »

Ce qu'il faut écrire

« $3\cdot 2^{x-1}=\frac{3}{2}\cdot 2^{x}$ , sans asymptote décalée. $3\cdot 2^{x}-1$ a pour asymptote $y=-1$ . »

x=1

les deux courbes valent

3

5

: celle du bas s'aplatit contre

y=-1

, l'autre descend vers

y=0

. Un

-1

dans l'exposant et un

-1

en dehors ne font pas du tout la même chose.

Pourquoi : Dans l'exposant, le $-1$ produit un ÉTIREMENT vertical ; en dehors, il produit une TRANSLATION verticale. Contre-exemple en $x=1$ : la première vaut $3$ , la seconde $5$ . Ce sont deux transformations différentes, et la figure les sépare nettement.

6. Votre réponse est $6\sqrt{x-1}$ , le corrigé donne $2\sqrt{9(x-1)}$ .

Du temps perdu, et parfois une réponse juste effacée et remplacée par une fausse.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je me suis trompé, je recommence tout. »

Ce qu'il faut écrire

« $2\sqrt{9(x-1)}=2\times 3\sqrt{x-1}=6\sqrt{x-1}$ : c'est la même fonction, ma réponse est juste. »

6\sqrt{x-1}

(vert) et

2\sqrt{9(x-1)}

(pointillé orange) tracent une seule courbe : deux écritures d'une même fonction.

Pourquoi : Changer de forme change l'écriture, jamais la fonction : même domaine, même image, même courbe. Avant de chercher une erreur, testez les deux écritures sur deux valeurs. Si elles concordent, elles sont égales.

7. Mettre $\dfrac{4x+5}{2x-1}$ sous forme canonique.

La question entière, par blocage.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dénominateur n'est pas $x-h$ , je ne peux pas. »

Ce qu'il faut écrire

« $4x+5=2(2x-1)+7$ , donc $\frac{4x+5}{2x-1}=2+\frac{7}{2x-1}=\frac{3{,}5}{x-0{,}5}+2$ , avec les asymptotes $x=0{,}5$ et $y=2$ . »

\frac{4x+5}{2x-1}=\frac{3{,}5}{x-0{,}5}+2

: les asymptotes

x=0{,}5

y=2

se lisent après avoir mis

2

en évidence au dénominateur.

Pourquoi : On travaille avec le dénominateur TEL QU'IL EST, puis on factorise le coefficient de $x$ à la fin si l'on veut la forme $\frac{a}{x-h}+k$ . Vérification : $p(3)=\frac{17}{5}=3{,}4$ et $\frac{3{,}5}{2{,}5}+2=3{,}4$ ✓.

Quelle méthode choisir

Quelle forme pour quelle question

Une fonction quadratique et une question précise.

Si On demande l'ordonnée à l'origine → FORME GÉNÉRALE : c'est le terme constant $c$

Exemple : $2x^{2}-12x+10$ donne $f(0)=10$
Si On demande les zéros ou le signe → FORME FACTORISÉE : les zéros se lisent, et le signe se déduit de celui des facteurs

Exemple : $2(x-1)(x-5)$ donne les zéros $1$ et $5$
Si On demande le sommet, l'extremum, l'image ou la variation → FORME CANONIQUE : tout s'y lit d'un coup

Exemple : $2(x-3)^{2}-8$ donne le minimum $-8$ en $x=3$
Si On demande le nombre de solutions de $f(x)=m$ → FORME CANONIQUE, sans résoudre : comparer $m$ à $k$

Exemple : Minimum $-8$ : $f(x)=-8$ a une solution, $f(x)=-9$ aucune
Si On demande d'évaluer $f$ en un point → N'IMPORTE laquelle, la plus simple à calculer, souvent la factorisée

Exemple : $2(4-1)(4-5)=-6$ est plus rapide que $32-48+10$
Si On demande les asymptotes d'une homographique → FORME CANONIQUE obtenue par division du numérateur

Exemple : $\frac{2}{x-1}+5$ donne $x=1$ et $y=5$

La forme de DÉPART est imposée par les données de l'énoncé, la forme de TRAVAIL par la question posée. Passer de l'une à l'autre coûte deux lignes, s'en priver en coûte dix.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

La complétion du carré, en quatre lignes

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on demande le sommet, l'image, la variation ou la forme canonique d'une quadratique donnée sous forme générale.

1 Mettre $a$ en évidence sur les DEUX premiers termes seulement, en laissant le terme constant dehors.
2 Compléter le carré à l'intérieur de la parenthèse : prendre la moitié du coefficient de $x$ , l'élever au carré, l'ajouter et le retrancher.
3 Sortir le terme excédentaire de la parenthèse en le MULTIPLIANT par $a$ .
4 Réduire le terme constant, et lire le sommet.
5 Contrôler avec $h=\frac{-b}{2a}$ et $k=f(h)$ .

Phrase de conclusion

« $g(x)=2x^{2}-12x+7=2\left(x^{2}-6x\right)+7=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+7=2(x-3)^{2}-11$ . Le sommet est $(3\,;-11)$ , et comme $a=2>0$ il s'agit d'un minimum. »

Le piège : Écrire directement le résultat sans montrer la ligne du crochet : c'est justement là que se fait la multiplication par $a$ , et un correcteur qui ne la voit pas ne peut pas créditer l'étape.

Barème : En général 2 points pour la forme canonique, 1 pour le sommet, 1 pour la nature de l'extremum.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le double contrôle du sommet

Après toute complétion du carré, recalculer $h=\frac{-b}{2a}$ et $k=f(h)$ sur la forme générale. Les deux méthodes doivent donner le même sommet.

Canonique $2(x-3)^{2}-11$ : $h=\frac{12}{4}=3$ ✓ et $f(3)=18-36+7=-11$ ✓.
Deux valeurs numériques

Évaluer l'ancienne et la nouvelle écriture en deux nombres simples, souvent $0$ et $1$ . Si elles concordent, le passage est correct.

$0{,}5x^{2}-3x+2{,}5$ et $0{,}5(x-1)(x-5)$ donnent toutes deux $2{,}5$ en $x=0$ ✓.
Le sommet est au milieu des zéros

Quand la fonction a deux zéros, l'abscisse du sommet en est la moyenne. Un désaccord signale une erreur dans l'une des deux formes.

Zéros $1$ et $5$ , sommet annoncé en $x=3$ : $\frac{1+5}{2}=3$ ✓.
Le discriminant avant la factorisation

Calculer $b^{2}-4ac$ avant de chercher une forme factorisée : si elle est négative, il n'y en a pas, et il faut le dire.

$x^{2}+x+1$ : $1-4=-3<0$ , donc aucune factorisation réelle.

L'exercice type décortiqué

Une même fonction, trois formes, six réponses

Soit $f(x)=2x^{2}-8x+6$ .

Donnez son ordonnée à l'origine, ses zéros, son sommet, sa nature, son image, et le nombre de solutions de $f(x)=-2$ .

Étape 1

Ordonnée à l'origine, sur la forme GÉNÉRALE : $f(0)=6$ .

Pourquoi

C'est le terme constant, lisible sans aucun calcul. On répond à cette question en premier, tant qu'on est encore sous la forme générale.

Étape 2

Forme FACTORISÉE : $f(x)=2\left(x^{2}-4x+3\right)=2(x-1)(x-3)$ , les deux nombres de somme $4$ et de produit $3$ étant $1$ et $3$ . Les zéros sont $1$ et $3$ .

Pourquoi

On met $2$ en évidence sur les TROIS termes ici, parce qu'on cherche une factorisation et non une complétion du carré : la règle des deux premiers termes ne vaut que pour la seconde.

Étape 3

Forme CANONIQUE : $f(x)=2\left(x^{2}-4x\right)+6=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+6=2(x-2)^{2}-8+6=2(x-2)^{2}-2$ . Le sommet est $(2\,;-2)$ .

Pourquoi

Cette fois on met $2$ en évidence sur les deux premiers termes seulement, et le $-4$ intérieur ressort multiplié par $2$ , donc en $-8$ . C'est l'étape où la moitié des copies se trompent.

Étape 4

Contrôles : $h=\frac{8}{4}=2$ ✓, $f(2)=8-16+6=-2$ ✓, et le sommet est bien au milieu des zéros, $\frac{1+3}{2}=2$ ✓.

Pourquoi

Trois contrôles indépendants pour dix secondes de travail. Le troisième est le plus élégant : il relie la forme factorisée à la forme canonique, donc il valide les deux d'un coup.

Étape 5

Nature et image : $a=2>0$ , la parabole s'ouvre vers le haut, donc $-2$ est un MINIMUM et l'image est $[-2\ ;+\infty[$ .

Pourquoi

L'image se lit uniquement sur la forme canonique : $2(x-2)^{2}\geq 0$ donne $f(x)\geq -2$ , et la valeur $-2$ est atteinte en $x=2$ , d'où le crochet fermé.

Étape 6

Nombre de solutions de $f(x)=-2$ : exactement UNE, $x=2$ , sans résoudre.

Pourquoi

La valeur cible $-2$ est exactement le minimum : la droite horizontale touche la parabole en son sommet et nulle part ailleurs. Pour $-3$ il n'y aurait aucune solution, pour $0$ il y en aurait deux. C'est la lecture la plus rentable de la forme canonique.

Conclusion rédigée

$f(x)=2x^{2}-8x+6=2(x-1)(x-3)=2(x-2)^{2}-2$ . Ordonnée à l'origine $6$ , zéros $1$ et $3$ , minimum $-2$ en $x=2$ , image $[-2\ ;+\infty[$ , et $f(x)=-2$ a une seule solution.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $f(x)=2(x-2)^{2}-4+6=2(x-2)^{2}+2$ en oubliant de multiplier le $-4$ par $2$ : le contrôle $f(2)=-2$ le révèle immédiatement, puisque la forme fausse donnerait $2$ .

À savoir par cœur

• Générale : l'ordonnée à l'origine. Canonique : le sommet. Factorisée : les zéros.
• La canonique existe toujours, la factorisée seulement si le discriminant est positif ou nul.
• Complétion du carré : $a$ en évidence sur les DEUX premiers termes.
• Le terme excédentaire sort de la parenthèse MULTIPLIÉ par $a$ .
• Contrôle systématique : $h=\frac{-b}{2a}$ et $k=f(h)$ .
• Homographique : forcer le dénominateur au numérateur.
• Le sommet est au milieu des deux zéros, quand ils existent.
• Changer de forme change l'écriture, jamais la fonction.

Questions fréquentes

Comment passer de la forme générale à la forme canonique ?

Par la complétion du carré, en quatre lignes. On met le coefficient a en évidence sur les deux premiers termes seulement, on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse, on sort le terme excédentaire en le multipliant par a, puis on réduit. On contrôle ensuite avec la formule moins b sur deux a pour l'abscisse du sommet, et en calculant l'image de cette abscisse.

Quelle forme utiliser pour trouver le sommet d'une parabole ?

La forme canonique, où le sommet se lit directement dans les paramètres h et k. Sous la forme générale, on peut aussi utiliser la formule moins b sur deux a, puis calculer l'image, ce qui est souvent plus rapide. Les deux méthodes doivent donner le même résultat, et les faire toutes les deux est le meilleur contrôle possible.

Est-ce que toutes les fonctions quadratiques se factorisent ?

Non. La forme factorisée exige des zéros réels, donc un discriminant positif ou nul. La fonction x au carré plus x plus un a un discriminant de moins trois : sa courbe reste entièrement au-dessus de l'axe et elle n'a aucune forme factorisée dans les réels. La forme canonique, elle, existe toujours, quelle que soit la fonction quadratique.

Comment mettre une fonction rationnelle sous forme canonique ?

En forçant le dénominateur à apparaître au numérateur. Pour la fraction deux x plus sept sur x plus trois, on écrit le numérateur comme deux fois x plus trois, plus un, ce qui donne deux plus un sur x plus trois. Les deux asymptotes se lisent alors immédiatement, la verticale en h et l'horizontale en k, et l'image s'en déduit.

Pourquoi ma réponse est différente de celle du corrigé ?

Souvent parce qu'elle est simplement écrite autrement. Deux racine de neuf fois x moins un et six racine de x moins un sont la même fonction. Avant de chercher une erreur, testez vos deux écritures sur deux ou trois valeurs numériques : si elles concordent, elles sont égales, et votre réponse est juste sauf si l'énoncé imposait explicitement une forme.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Passer d'une forme à l'autre

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn5-formes-canoniques. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur math SN5 Les fonctions quadratiques De la courbe à la règle Tuteur au secondaire

La complétion du carré ne passe toujours pas ?

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Fiche de révision : Passer d'une forme à l'autre

L'essentiel

Ce que chaque forme donne gratuitement

Les passages, famille par famille

Les pièges qui coûtent des points

1. Mettre 2x2−12x+72x^{2}-12x+72x2−12x+7 sous forme canonique.

2. Compléter le carré dans 2(x2−6x)+72\left(x^{2}-6x\right)+72(x2−6x)+7.

3. Lire les paramètres de f(x)=(x−3)2+2f(x)=(x-3)^{2}+2f(x)=(x−3)2+2.

4. On demande la forme factorisée de x2+x+1x^{2}+x+1x2+x+1.

5. Comparer 3⋅2x−13\cdot 2^{x-1}3⋅2x−1 et 3⋅2x−13\cdot 2^{x}-13⋅2x−1.

6. Votre réponse est 6x−16\sqrt{x-1}6x−1​, le corrigé donne 29(x−1)2\sqrt{9(x-1)}29(x−1)​.

7. Mettre 4x+52x−1\dfrac{4x+5}{2x-1}2x−14x+5​ sous forme canonique.

Quelle méthode choisir

Quelle forme pour quelle question

La rédaction attendue

La complétion du carré, en quatre lignes

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une même fonction, trois formes, six réponses

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment passer de la forme générale à la forme canonique ?

Quelle forme utiliser pour trouver le sommet d'une parabole ?

Est-ce que toutes les fonctions quadratiques se factorisent ?

Comment mettre une fonction rationnelle sous forme canonique ?

Pourquoi ma réponse est différente de celle du corrigé ?

Exercices corrigés : Passer d'une forme à l'autre

Voir aussi

La complétion du carré ne passe toujours pas ?

1. Mettre $2x^{2}-12x+7$ sous forme canonique.

2. Compléter le carré dans $2\left(x^{2}-6x\right)+7$ .

3. Lire les paramètres de $f(x)=(x-3)^{2}+2$ .

4. On demande la forme factorisée de $x^{2}+x+1$ .

5. Comparer $3\cdot 2^{x-1}$ et $3\cdot 2^{x}-1$ .

6. Votre réponse est $6\sqrt{x-1}$ , le corrigé donne $2\sqrt{9(x-1)}$ .

7. Mettre $\dfrac{4x+5}{2x-1}$ sous forme canonique.