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Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : Maximum ou minimum : choisir la méthode

« Quelle est la hauteur maximale », « combien faut-il produire », « quelle est la distance la plus courte » : ces trois questions occupent une part énorme des points de secondaire 5, et elles se ressemblent bien plus qu'elles n'en ont l'air.

Cette fiche donne les cinq méthodes du programme, la question à se poser pour choisir entre elles, et les six pièges qui font perdre des points alors que le calcul est bon.

Le fil du chapitre

Un extremum se trouve toujours là où la liberté s'arrête : au sommet d'une parabole, aux bornes d'un intervalle, ou aux sommets d'un polygone de contraintes. Cherchez la limite, l'extremum y est.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Les cinq méthodes, et ce qui les déclenche

  • • MÉTHODE 1, le SOMMET. Déclencheur : la quantité à optimiser est une fonction quadratique d'une seule variable. x=−b2ax=\frac{-b}{2a}, ou x=hx=h sous la forme canonique. Maximum si a<0a<0, minimum si a>0a>0.
  • • MÉTHODE 2, les BORNES. Déclencheur : la fonction est monotone sur un intervalle FERMÉ. Deux images à calculer, et rien d'autre.
  • • MÉTHODE 3, les SOMMETS DU POLYGONE. Déclencheur : deux variables et une liste de contraintes du premier degré.
  • • MÉTHODE 4, la PERPENDICULAIRE. Déclencheur : le mot distance. On minimise le CARRÉ de la distance, ce qui évite le radical et donne le même point.
  • • MÉTHODE 5, la SUBSTITUTION. Déclencheur : deux variables liées par une contrainte. On élimine l'une, on retombe sur une seule variable, puis on redescend dans la liste.
sommet a l'interieurmonotone : les bornes
À gauche la fonction change de sens : l'extremum est à l'intérieur, au sommet. À droite elle ne fait que monter : l'extremum est forcément à l'une des deux bornes, et chercher un sommet est une perte de temps.

Ce qu'une réponse d'optimisation doit contenir

  • • La VALEUR de l'extremum, avec son unité : c'est elle que la question demande le plus souvent.
  • • L'ABSCISSE où il est atteint, c'est-à-dire la décision à prendre : quel prix, combien d'arbres, quelle dimension.
  • • La nature, maximum ou minimum, justifiée par le signe de aa ou par la monotonie.
  • • Une phrase de conclusion en français, qui répond à la question posée et non au calcul fait.
  • • La vérification que la valeur trouvée appartient au domaine du CONTEXTE, et qu'elle est du bon type, entière s'il s'agit d'objets.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le coût unitaire est C(q)=500q+4C(q)=\frac{500}{q}+4 pour qq entre 2020 et 8080. On demande le minimum.

Toute la question, par blocage : il n'y a pas de sommet à trouver.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je cherche le sommet, −b2a\frac{-b}{2a}... »

Ce qu'il faut écrire

« Cette fonction est homographique et décroissante sur [20 ;80][20\ ;80] : le minimum est à la borne droite, C(80)=10,25C(80)=10{,}25 dollars. »

Pourquoi : Le sommet n'existe que pour les fonctions qui CHANGENT de sens, quadratiques, valeurs absolues, sinusoïdales. Une fonction monotone n'en a pas : ses extremums sont aux bornes, et deux calculs suffisent.

2. Une récolte P(x)=−12x2+40x+12000P(x)=-12x^{2}+40x+12000 avec au plus un arbre supplémentaire, donc x∈[0 ;1]x\in[0\ ;1].

2 à 3 points, car la réponse rendue est hors du domaine autorisé.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le sommet est en x=53x=\frac{5}{3}, donc on plante 1,671{,}67 arbre. »

Ce qu'il faut écrire

« Le sommet 53\frac{5}{3} n'appartient pas à [0 ;1][0\ ;1]. Sur cet intervalle la fonction est croissante, donc le maximum est à la borne droite : P(1)=12028P(1)=12028. »

-1123456785101520253035x au plus 2sommet en x = 5
Le sommet est en x=5x=5, mais le domaine s'arrête à x=2x=2 : sur la partie autorisée la courbe ne fait que monter, donc le maximum admissible est en x=2x=2, à la borne.

Pourquoi : Un sommet ne sert que s'il appartient au domaine. Quand il en sort, l'optimum revient TOUJOURS à la borne la plus proche du sommet, parce que la parabole est monotone de ce côté. C'est le cas le plus discriminant des examens.

3. Une parabole de sommet (3 ;47)(3\,;47) modélisant une hauteur.

1 à 2 points, et la question portait justement sur ce nombre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le maximum est x=3x=3. »

Ce qu'il faut écrire

« La hauteur maximale est 4747 mètres, atteinte à t=3t=3 secondes. »

Pourquoi : Le maximum est une VALEUR, l'abscisse dit où. Le test qui tranche en une seconde : quelle est l'unité de la réponse attendue ? Si l'énoncé parle de hauteur en mètres, la réponse est en mètres, donc c'est f(3)f(3) et pas 33.

4. On optimise W=3x+3yW=3x+3y sur un polygone dont un côté porte x+y=8x+y=8.

1 point, et la réponse est incomplète alors que le calcul est juste.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le maximum est 2424, atteint au sommet (2 ;6)(2\,;6). »

Ce qu'il faut écrire

« W=24W=24 en (2 ;6)(2\,;6) ET en (0 ;8)(0\,;8) : l'optimum est atteint en tout point du segment qui les joint, donc en une infinité de points. »

Pourquoi : Quand la fonction à optimiser est PARALLÈLE à un côté du polygone, tout ce côté est optimal. Le signe qui doit alerter : deux sommets donnent exactement la même valeur. Et si la région n'est pas bornée, l'un des deux optimums peut ne pas exister du tout.

5. 310310 élèves, des autobus de 4848 places. Le calcul donne 6,4586{,}458.

Toute la question, et la réponse est absurde en contexte.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On arrondit, il faut 66 autobus. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut 77 autobus, car 66 autobus ne transportent que 288288 élèves. »

Pourquoi : Un nombre d'objets NÉCESSAIRES pour couvrir un besoin s'arrondit toujours vers le haut, quelle que soit la décimale. La question à se poser n'est jamais « quelle est la décimale » mais « que se passe-t-il si je prends l'entier du dessous ». Pour une quantité à PRODUIRE, en revanche, on teste les deux entiers voisins et l'on compare.

6. On cherche le point de la parabole y=x2y=x^{2} le plus proche de A(0 ;3)A(0\,;3).

Toute la question, et l'écart est grand : $3$ contre $1{,}66$.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« C'est le sommet (0 ;0)(0\,;0), le point le plus bas de la courbe. »

Ce qu'il faut écrire

« On minimise d2=x4−5x2+9d^{2}=x^{4}-5x^{2}+9. Avec u=x2u=x^{2}, le minimum est en u=2,5u=2{,}5, donc en (±2,5 ;2,5)\left(\pm\sqrt{2{,}5}\ ;2{,}5\right), à distance 2,75≈1,66\sqrt{2{,}75}\approx 1{,}66. »

Pourquoi : « Le point le plus bas de la courbe » et « le point le plus proche de AA » sont deux questions différentes. Et l'on minimise toujours le CARRÉ de la distance : comme la fonction racine carrée est croissante, elle conserve l'ordre, donc le minimum est atteint à la même abscisse.

7. Une recette R(x)=−10x2+100x+6000R(x)=-10x^{2}+100x+6000 où xx est une hausse de prix en dollars.

1 point, et parfois la conclusion entière quand l'optimum tombe hors du domaine réel.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Domaine : R\mathbb{R}, puisque c'est un polynôme. »

Ce qu'il faut écrire

« Domaine du contexte : x>−20x>-20 pour que le prix reste positif, et x≤30x\leq 30 pour qu'il reste des abonnés. »

Pourquoi : Le domaine mathématique et le domaine du contexte sont deux choses distinctes. Un prix négatif, un temps négatif, une longueur nulle n'existent pas. Répondre R\mathbb{R} sans commentaire est sanctionné, même quand la suite du calcul est juste.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode ? Trois questions dans l'ordre

Un énoncé qui demande un maximum, un minimum, le meilleur, le moins cher ou le plus court.

  • Si Deux variables libres et une liste de contraintes du premier degré → MÉTHODE 3 : construire le polygone, évaluer la fonction en chaque sommet, comparer

    Exemple : Tables et chaises, contraintes de bois et de temps

  • Si Deux variables liées par UNE contrainte que l'on peut résoudre → MÉTHODE 5 : tirer une variable de la contrainte, substituer, puis reprendre l'arbre au début

    Exemple : Périmètre 3030 imposé : L=15−lL=15-l, donc A(l)=l(15−l)A(l)=l(15-l)

  • Si Une seule variable, fonction du second degré → MÉTHODE 1 : le sommet, APRÈS avoir vérifié qu'il appartient au domaine

    Exemple : h(t)=−5t2+30t+2h(t)=-5t^{2}+30t+2, sommet en t=3t=3

  • Si Une seule variable, fonction monotone sur un intervalle fermé → MÉTHODE 2 : calculer les deux images des bornes et comparer

    Exemple : 500q+4\frac{500}{q}+4 sur [20 ;80][20\ ;80]

  • Si Le mot distance apparaît → MÉTHODE 4 : la perpendiculaire, ou la minimisation du carré de la distance

    Exemple : Point le plus proche de B(5 ;0)B(5\,;0) sur la droite y=2xy=2x

  • Si Une sinusoïdale → Lecture directe : maximum k+∣a∣k+|a|, minimum k−∣a∣k-|a|, sans aucun calcul

    Exemple : 8sin⁡(π12x)+158\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right)+15 : maximum 2323

Le sommet trouvé n'est valable que s'il appartient au domaine. S'il en sort, on bascule sur la méthode 2 et l'on prend la borne la plus proche du sommet.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rendre un problème d'optimisation en contexte

Quand l'utiliser : Sur toute situation-problème qui demande un maximum ou un minimum.

  1. 1 Poser la variable explicitement, avec sa signification ET son unité : « soit xx le nombre de hausses de 11 dollar ».
  2. 2 Écrire la quantité à optimiser en fonction de cette seule variable, sous forme de produit puis développée.
  3. 3 Donner le domaine du contexte, justifié par la situation.
  4. 4 Appliquer la méthode choisie, en nommant la nature de l'extremum et en vérifiant que l'abscisse trouvée est dans le domaine.
  5. 5 Conclure par une phrase en français qui répond à la question posée, avec l'unité.

Phrase de conclusion

« La recette est maximale pour un tarif de 2525 dollars, et elle vaut alors 62506250 dollars par an. »

Le piège : Rendre l'abscisse du sommet comme réponse finale alors que la question portait sur la valeur, ou l'inverse. Relire la question avant d'écrire la phrase de conclusion.

Barème : En général 1 point pour la variable, 2 pour la mise en fonction, 1 pour le domaine, 2 pour l'optimisation, 1 pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La gouttière pliée dans une tôle de 30 centimètres

Une tôle rectangulaire de 3030 centimètres de largeur est pliée sur ses deux bords, à la même hauteur xx, pour former une gouttière de section rectangulaire.

Quelle hauteur de pli donne la section d'aire maximale, et quelle est cette aire ?

24681012141620406080100120max 112,5 en x = 7,5
L'aire de la section, en centimètres carrés, selon la hauteur du pli : elle s'annule aux deux extrémités et culmine exactement au milieu, en x=7,5x=7{,}5.

Étape 1

Soit xx la hauteur de chaque pli, en centimètres. Le fond de la gouttière mesure alors 30−2x30-2x centimètres.

Pourquoi

Deux bords sont pliés, donc on retranche DEUX fois xx. C'est l'endroit où la moitié des copies perdent le problème, en écrivant 30−x30-x. Le contrôle : si x=15x=15, il ne doit plus rester de fond, et 30−30=030-30=0 ✓.

Étape 2

Aire de la section : A(x)=x(30−2x)=−2x2+30xA(x)=x(30-2x)=-2x^{2}+30x.

Pourquoi

La section est un rectangle de hauteur xx et de largeur 30−2x30-2x. On garde la forme produit, utile pour les zéros, et on développe, utile pour le sommet : les deux écritures servent.

Étape 3

Domaine du contexte : x>0x>0 et 30−2x>030-2x>0, donc 0<x<150<x<15.

Pourquoi

Une hauteur de pli est strictement positive, et il doit rester un fond. Sans ce domaine, la question du maximum n'a pas de sens, puisque la parabole descend indéfiniment en dehors.

Étape 4

Sommet : a=−2<0a=-2<0, donc c'est un maximum. x=−302×(−2)=−30−4=7,5x=\frac{-30}{2\times(-2)}=\frac{-30}{-4}=7{,}5, qui appartient bien à ]0 ;15[]0\ ;15[.

Pourquoi

On annonce la nature AVANT de calculer, en regardant le signe de aa : cela évite de conclure à un minimum par distraction. Et l'on vérifie l'appartenance au domaine, sans quoi le calcul ne vaut rien.

Étape 5

Aire maximale : A(7,5)=7,5×(30−15)=7,5×15=112,5A(7{,}5)=7{,}5\times(30-15)=7{,}5\times 15=112{,}5 centimètres carrés.

Pourquoi

On calcule sur la forme PRODUIT, plus rapide et moins risquée que la forme développée. Contrôle par la symétrie : les zéros sont 00 et 1515, leur milieu est bien 7,57{,}5 ✓.

Étape 6

Contrôle de plausibilité : A(5)=5×20=100A(5)=5\times 20=100 et A(10)=10×10=100A(10)=10\times 10=100, tous deux inférieurs à 112,5112{,}5 ✓.

Pourquoi

Deux points symétriques par rapport au sommet donnent la même image, et cette image doit être plus petite que le maximum. Ce double contrôle coûte dix secondes et attrape toute erreur de signe sur aa.

Conclusion rédigée

La section est maximale pour un pli de 7,57{,}5 centimètres de hauteur, et son aire vaut alors 112,5112{,}5 centimètres carrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire A(x)=x(30−x)A(x)=x(30-x) en ne retranchant qu'un seul pli : le maximum trouvé serait 225225 en x=15x=15, une gouttière sans fond, ce que le contrôle de plausibilité aurait immédiatement révélé.

À savoir par cœur

  • • Sommet : x=−b2ax=\frac{-b}{2a}, maximum si a<0a<0, minimum si a>0a>0.
  • • Fonction monotone sur un intervalle fermé : les extremums sont aux bornes.
  • • Programmation linéaire : l'optimum est en un sommet, ou sur un côté entier.
  • • Distance : on minimise le CARRÉ, l'ordre est conservé.
  • • Deux variables liées : on substitue pour n'en garder qu'une.
  • • Sinusoïdale : maximum k+∣a∣k+|a|, minimum k−∣a∣k-|a|, sans calcul.
  • • Le sommet ne compte que s'il appartient au domaine ; sinon, la borne la plus proche.
  • • Objets à fournir pour couvrir un besoin : on arrondit vers le HAUT.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle méthode utiliser pour un problème d'optimisation ?

Trois questions, dans l'ordre. Combien de variables libres ? Deux avec des contraintes donne la programmation linéaire, deux liées par une contrainte donne la substitution. Ensuite, la fonction est-elle du second degré ? Si oui, le sommet. Sinon, est-elle monotone sur un intervalle fermé ? Alors les bornes. Et si le mot distance apparaît, c'est la perpendiculaire.

Que faire si le sommet de la parabole n'est pas dans le domaine ?

On prend la borne du domaine la plus proche du sommet. La raison est que la parabole est monotone de chaque côté de son sommet : sur un intervalle situé entièrement à gauche ou à droite, elle ne fait que monter ou que descendre, donc son extremum est à une borne. C'est le cas le plus discriminant des examens, et il faut le signaler explicitement dans la copie.

Pourquoi minimise-t-on le carré de la distance ?

Pour éviter le radical, qui se manipule mal au secondaire. Le point trouvé est exactement le même, parce que la fonction racine carrée est croissante et conserve donc l'ordre : ce qui rend le carré minimal rend la distance minimale. On prend simplement la racine carrée à la toute fin, une seule fois, pour donner la distance.

Comment arrondir la réponse d'une optimisation en contexte ?

Cela dépend de ce que compte la variable. Si elle compte des objets nécessaires pour couvrir un besoin, autobus ou boîtes, on arrondit vers le haut, quelle que soit la décimale. Si elle compte des objets à produire pour maximiser un gain, on calcule la fonction aux deux entiers voisins et on garde le meilleur. On n'arrondit jamais automatiquement au plus proche.

Y a-t-il toujours une seule solution en programmation linéaire ?

Non. Quand la fonction à optimiser est parallèle à un côté du polygone, tout ce côté est optimal, donc il existe une infinité de solutions, et la réponse doit le dire. Et quand la région admissible n'est pas bornée, l'un des deux optimums peut ne pas exister du tout. Le signe qui alerte : deux sommets donnent exactement la même valeur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Maximum ou minimum : choisir la méthode

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
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