Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les problèmes de vitesse, de débit et de taux (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur la proportionnalité : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la seule grandeur qui s'additionne dans ces problèmes, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

On additionne des TAUX, jamais des temps ni des vitesses : deux robinets qui remplissent un bassin en $4$ et $6$ heures ne le remplissent pas ensemble en $5$ heures, mais en $2{,}4$ heures, parce que ce sont leurs débits qui s'ajoutent. Le même principe explique pourquoi une vitesse moyenne n'est jamais la moyenne des vitesses : elle est la distance totale divisée par la durée totale, et le trajet lent pèse plus longtemps dans ce quotient que le trajet rapide.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Le taux est un quotient, sous trois formes

• $\text{quantité}=\text{taux}\times\text{durée}$ , $\text{taux}=\frac{\text{quantité}}{\text{durée}}$ , $\text{durée}=\frac{\text{quantité}}{\text{taux}}$ .
• La même relation vaut pour la distance et la vitesse, le volume et le débit, le travail et le rendement.
• Les UNITÉS du taux disent tout : des kilomètres par heure, des litres par minute, des dollars par article.
• Avant tout calcul, convertir toutes les grandeurs dans un même système d'unités.
• Un taux exprimé « par heure » et une durée en minutes ne se multiplient pas : l'un des deux doit changer.

Écrire les unités à chaque ligne du calcul est le contrôle le plus efficace de ce chapitre : si les unités du résultat ne sont pas celles attendues, une conversion a été sautée.

On additionne des taux, jamais des temps

• Deux robinets qui remplissent en $a$ et $b$ heures ont pour débits $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ bassin par heure.
• Ensemble, leur débit vaut $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ , donc le temps est $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$ .
• Une FUITE se soustrait : le taux net vaut $\frac{1}{a}-\frac{1}{f}$ , et le remplissage est impossible si la fuite est plus rapide.
• Contrôle : deux robinets ensemble remplissent PLUS VITE que le plus rapide seul.
• Contrôle : une fuite allonge le temps, donc le résultat doit dépasser le temps sans fuite.

$\frac{ab}{a+b}$ est toujours inférieur au plus petit des deux nombres, ce qui est exactement le comportement attendu. Un résultat compris entre $a$ et $b$ signale que les temps ont été moyennés.

La vitesse moyenne n'est pas la moyenne des vitesses

• Vitesse moyenne $=\frac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}$ , TOUJOURS, sans exception.
• Sur un aller-retour à $v_{1}$ puis $v_{2}$ , elle vaut $\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ , la moyenne harmonique.
• Cette valeur est strictement INFÉRIEURE à $\frac{v_{1}+v_{2}}{2}$ dès que les deux vitesses diffèrent.
• La raison : on passe plus de temps à la vitesse lente qu'à la vitesse rapide, donc elle pèse davantage.
• La moyenne arithmétique ne serait correcte que si les deux DURÉES étaient égales, jamais si les distances le sont.

Le contrôle de bon sens : la vitesse moyenne d'un aller-retour est toujours plus proche de la vitesse LENTE que de la rapide. Un résultat au milieu des deux est faux.

Rencontres, poursuites et mélanges

• SENS CONTRAIRES : les mobiles se rapprochent au taux $v_{1}+v_{2}$ , donc le temps est $\frac{d}{v_{1}+v_{2}}$ .
• MÊME SENS : l'écart varie au taux $v_{1}-v_{2}$ , et le rattrapage est impossible si le poursuivant n'est pas plus rapide.
• MÉLANGE : deux quantités se conservent, le volume total et la masse de soluté, donc deux équations.
• Les POURCENTAGES ne s'additionnent jamais : on additionne les masses de soluté, puis on divise par le volume total.
• Contrôle : la concentration d'un mélange reste toujours ENTRE les deux concentrations de départ.

Le tableau à trois colonnes, volume, concentration, masse de soluté, avec une ligne par liquide et une ligne pour le total, transforme n'importe quel problème de mélange en un système à deux équations.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner les temps de deux robinets

toute la question, et la réponse est plus lente que le robinet rapide seul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un robinet remplit en $4$ heures, l'autre en $6$ heures : ensemble, ils mettent $\frac{4+6}{2}=5$ heures. »

Ce qu'il faut écrire

« Leurs débits s'additionnent : $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$ bassin par heure, donc le temps est $\frac{12}{5}=2{,}4$ heures. »

En une heure, le premier robinet remplit

3

douzièmes et le second

2

: ce sont les DÉBITS qui s'additionnent,

\frac{5}{12}

de bassin, jamais les durées.

Pourquoi : Ce sont les débits qui s'ajoutent, pas les durées : à deux, on remplit forcément PLUS VITE qu'à un seul. Le contrôle est immédiat : $5$ heures est plus long que les $4$ heures du robinet rapide, ce qui est absurde.

2. Prendre la moyenne des vitesses pour la vitesse moyenne

toute la question, et une valeur toujours surestimée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Aller à $60$ kilomètres par heure et retour à $40$ : la vitesse moyenne est $\frac{60+40}{2}=50$ kilomètres par heure. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $120$ kilomètres chaque sens : $2$ heures à l'aller, $3$ heures au retour, donc $\frac{240}{5}=48$ kilomètres par heure. »

La pente moyenne, en pointillés, relie le départ à l'arrivée :

240

kilomètres en

5

heures, donc

48

et non

50

. Le retour, plus lent, dure plus longtemps et pèse davantage.

Pourquoi : On passe plus de temps à la vitesse lente, qui pèse donc davantage dans la moyenne. La formule exacte est $\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ , et le résultat est toujours plus proche de la vitesse lente que de la rapide.

3. Additionner les pourcentages de deux mélanges

toute la question, et un pourcentage supérieur aux deux mélanges de départ

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On mélange $2$ litres à $10$ pour cent et $3$ litres à $20$ pour cent : le mélange est à $30$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« On additionne les MASSES de soluté : $0{,}2+0{,}6=0{,}8$ litre dans $5$ litres, donc $16$ pour cent. »

Pourquoi : Un pourcentage est un quotient, et deux quotients ne s'additionnent pas : ce sont les quantités qu'ils décrivent qui se conservent. Le contrôle est imparable : la concentration finale doit rester ENTRE $10$ et $20$ pour cent.

4. Soustraire les vitesses dans une rencontre

toute la question, et une durée sept fois trop longue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux voitures se dirigent l'une vers l'autre à $80$ et $60$ kilomètres par heure, distantes de $140$ kilomètres : elles se rencontrent après $\frac{140}{80-60}=7$ heures. »

Ce qu'il faut écrire

« En sens contraires, les vitesses s'ADDITIONNENT : elles se rapprochent à $140$ kilomètres par heure, donc elles se rencontrent après $1$ heure. »

Les deux voitures avancent l'une vers l'autre : la distance fond à

80+60=140

kilomètres par heure, donc la rencontre a lieu au bout d'une heure exactement.

Pourquoi : En sens contraires, chaque kilomètre parcouru par l'une réduit l'écart, et celui de l'autre aussi : les deux contributions s'ajoutent. La soustraction est réservée à la POURSUITE, où les deux mobiles vont dans le même sens.

5. Mélanger les unités sans convertir

toute la question, et un résultat soixante fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un robinet débite $12$ litres par minute pendant $2$ heures : cela fait $24$ litres. »

Ce qu'il faut écrire

« $2$ heures valent $120$ minutes, donc $12\times 120=1440$ litres. Le taux est PAR MINUTE, la durée doit l'être aussi. »

Pourquoi : Multiplier un taux par une durée n'a de sens que si les unités de temps coïncident. Écrire les unités à chaque étape rend l'erreur visible : des litres par minute multipliés par des heures ne donnent pas des litres.

6. Ignorer une fuite ou la traiter comme un second remplissage

toute la question, et le remplissage annoncé plus rapide que sans fuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un robinet remplit en $3$ heures, une fuite vide en $5$ heures : le taux net est $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La fuite SOUSTRAIT : le taux net vaut $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}$ bassin par heure, donc le remplissage prend $7{,}5$ heures. »

Pourquoi : Une fuite retire de l'eau, donc son taux se soustrait. Le contrôle est immédiat : avec une fuite, le remplissage doit prendre PLUS de temps que les $3$ heures du robinet seul, ce que l'addition contredit.

7. Croire qu'un rattrapage est toujours possible

toute la question, et un temps négatif obtenu sans réagir

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un cycliste à $25$ kilomètres par heure part $10$ minutes avant un autre à $22$ : quand le second le rattrape-t-il ? »

Ce qu'il faut écrire

« Le poursuivant est plus LENT que le premier : l'écart augmente, le rattrapage est impossible. Il faut le dire, c'est la réponse complète. »

Pourquoi : L'écart varie au taux $v_{1}-v_{2}$ : s'il est positif, l'écart grandit indéfiniment. Un temps négatif dans un problème de poursuite est le signal de cette impossibilité, et la conclusion attendue est de l'énoncer.

8. Poser une seule équation pour un problème de mélange

toute la question, le système est sous-déterminé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On veut $10$ litres à $15$ pour cent à partir de deux solutions à $10$ et $25$ pour cent : je pose $x+y=10$ et c'est tout. »

Ce qu'il faut écrire

« DEUX quantités se conservent, donc deux équations : $x+y=10$ pour le volume, et $0{,}10x+0{,}25y=1{,}5$ pour le soluté. »

Pourquoi : Un mélange conserve le volume total ET la masse de soluté : ce sont deux informations indépendantes, donc deux équations pour deux inconnues. Le tableau à trois colonnes fait apparaître les deux automatiquement.

Quelle méthode choisir

Quelle relation, selon la situation décrite

Repérez d'abord ce qui est décrit : un mobile seul, deux mobiles, deux sources, un mélange. Chaque situation a sa relation, et se tromper de relation rend tout le calcul inutile.

Si un seul mobile ou une seule source, à taux constant → $\text{quantité}=\text{taux}\times\text{durée}$ , sous la forme dont l'inconnue est isolée

Exemple : $12$ litres par minute pendant $120$ minutes : $1440$ litres

Convertir les unités AVANT de multiplier : le taux et la durée doivent parler du même temps.
Si DEUX sources qui remplissent, ou deux ouvriers qui travaillent ensemble → additionner les TAUX, puis inverser : $t=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$

Exemple : $4$ et $6$ heures donnent $\frac{24}{10}=2{,}4$ heures

Contrôle : le résultat doit être inférieur au plus petit des deux temps.
Si une source ET une fuite → SOUSTRAIRE le taux de la fuite, puis inverser le taux net

Exemple : $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}$ , donc $7{,}5$ heures

Si la fuite est plus rapide, le taux net est négatif et le remplissage est impossible : le dire.
Si un ALLER-RETOUR ou deux tronçons de MÊME distance → vitesse moyenne $=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ , jamais la moyenne des vitesses

Exemple : $60$ et $40$ donnent $48$ kilomètres par heure
Si deux mobiles en SENS CONTRAIRES → les vitesses s'ADDITIONNENT : $t=\frac{d}{v_{1}+v_{2}}$

Exemple : $140$ kilomètres à $80+60$ : rencontre après $1$ heure
Si deux mobiles dans le MÊME SENS, poursuite → les vitesses se SOUSTRAIENT : $t=\frac{\text{avance}}{v_{2}-v_{1}}$ , et le rattrapage exige $v_{2}>v_{1}$

Exemple : avance de $10$ kilomètres, écart de vitesse $5$ : rattrapage après $2$ heures

Un temps négatif signale que le poursuivant est plus lent : le rattrapage est impossible.
Si un MÉLANGE de deux liquides ou deux alliages → tableau volume, concentration, soluté; puis DEUX équations, une par quantité conservée

Exemple : $x+y=10$ et $0{,}10x+0{,}25y=1{,}5$

Aucune branche ne dispense du contrôle de plausibilité : deux sources remplissent plus vite qu'une, une fuite ralentit, une concentration de mélange reste entre les deux concentrations de départ. Ces trois contrôles attrapent la quasi-totalité des erreurs de relation.

Le tableau qui construit le système

Pour tout problème à deux inconnues, dressez un tableau : une ligne par élément, une colonne par grandeur, et une ligne de total. Chaque COLONNE qui se conserve donne une équation.

Si c'est un mélange de liquides ou d'alliages → colonnes volume, concentration, quantité de soluté; la première et la troisième se conservent

Exemple : volume : $x+y=10$ ; soluté : $0{,}10x+0{,}25y=1{,}5$

La colonne des concentrations ne s'additionne JAMAIS : c'est celle des quotients.
Si c'est un problème de vitesse avec deux tronçons → colonnes distance, vitesse, temps; la distance et le temps se conservent, la vitesse non

Exemple : distance : $d_{1}+d_{2}=240$ ; temps : $\frac{d_{1}}{60}+\frac{d_{2}}{40}=5$
Si c'est un bateau avec un courant, ou un avion avec du vent → deux inconnues, la vitesse propre et celle du courant, et deux situations : avec et contre

Exemple : $v+c$ dans le sens du courant, $v-c$ à contre-courant : système à deux équations

C'est le seul cas où les vitesses s'additionnent et se soustraient dans le même problème.
Si c'est un problème de travail avec deux personnes → colonnes taux, durée, travail accompli; la fraction de travail se conserve et doit valoir $1$

Exemple : $\frac{t}{4}+\frac{t}{6}=1$ , donc $t=2{,}4$ heures
Si une des deux personnes ne travaille qu'une partie du temps → chaque ligne porte SA propre durée, et la somme des travaux accomplis vaut encore $1$

Exemple : $\frac{5}{4}+\frac{t}{6}=1$ est impossible, donc le premier a déjà fini

Une fraction de travail supérieure à $1$ signale que la tâche était terminée avant la fin du temps annoncé.

La colonne des taux, vitesses ou concentrations ne s'additionne jamais : ce sont des quotients. Seules les colonnes de QUANTITÉS, volumes, distances, masses ou travaux, se somment, et ce sont elles qui donnent les équations.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème de remplissage ou de travail commun

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit deux robinets, deux ouvriers, deux machines, avec ou sans fuite, et demande le temps commun.

1 Convertir le temps de chacun en TAUX : « le premier remplit $\frac{1}{4}$ de bassin par heure ».
2 Additionner les taux qui remplissent, SOUSTRAIRE ceux qui vident.
3 Écrire le taux net obtenu, sous forme de fraction unique.
4 Inverser ce taux pour obtenir la durée : $t=\frac{1}{\text{taux net}}$ .
5 Convertir le résultat dans l'unité demandée, heures et minutes s'il le faut.
6 VÉRIFIER que le résultat est inférieur au plus petit temps individuel, ou supérieur en présence d'une fuite.
7 Répondre par une phrase complète avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Le premier robinet remplit $\frac{1}{4}$ de bassin par heure et le second $\frac{1}{6}$ . Ensemble, leur débit vaut $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3+2}{12}=\frac{5}{12}$ de bassin par heure. Le temps de remplissage est donc $\frac{12}{5}=2{,}4$ heures, soit $2$ heures et $24$ minutes, ce qui est bien inférieur aux $4$ heures du robinet le plus rapide. »

Le piège : Moyenner les deux durées. À deux, on va nécessairement plus vite qu'à un seul : tout résultat compris entre les deux temps individuels, ou supérieur au plus petit, est faux avant même d'être relu.

Barème : 1 point les taux écrits, 1 point l'addition ou la soustraction correcte, 1 point l'inversion du taux net, 1 point la vérification de plausibilité et la réponse rédigée.

Résoudre un problème de mélange par un système

Quand l'utiliser : L'énoncé demande combien de chaque solution il faut mélanger pour obtenir un volume et une concentration donnés.

1 Nommer les inconnues avec leur unité : « soit $x$ le volume de la solution à $10$ pour cent, en litres ».
2 Dresser le tableau : une ligne par solution, une ligne de total, et les colonnes volume, concentration, soluté.
3 Écrire l'équation de conservation du VOLUME : la somme des volumes vaut le volume final.
4 Écrire l'équation de conservation du SOLUTÉ : la somme des masses de soluté vaut celle du mélange.
5 Résoudre le système, par substitution ou par élimination.
6 VÉRIFIER que les deux volumes sont positifs et que leur somme donne bien le volume demandé.
7 Vérifier que la concentration finale est bien comprise entre les deux concentrations de départ.

Phrase de conclusion

« Soit $x$ le volume en litres de la solution à $10$ pour cent et $y$ celui de la solution à $25$ pour cent. Le volume total donne $x+y=10$ , et la conservation du soluté donne $0{,}10x+0{,}25y=0{,}15\times 10=1{,}5$ . En substituant $x=10-y$ , on obtient $1+0{,}15y=1{,}5$ , donc $y=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$ litres et $x\approx 6{,}67$ litres. »

Le piège : Additionner les pourcentages. Un pourcentage est un quotient, et deux quotients ne s'ajoutent pas : c'est la MASSE de soluté qui se conserve, et elle s'obtient en multipliant chaque volume par sa concentration.

Barème : 1 point les inconnues nommées, 1 point l'équation des volumes, 1 point l'équation du soluté, 1 point la résolution et la vérification de plausibilité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les trois contrôles de plausibilité

Trois questions à se poser systématiquement : deux sources ensemble vont-elles plus vite que la plus rapide seule ? une fuite allonge-t-elle bien le temps ? la concentration finale est-elle entre les deux de départ ? Chacune prend trois secondes et attrape une famille d'erreurs.

Vous trouvez $5$ heures pour deux robinets de $4$ et $6$ heures : c'est plus long que le robinet rapide seul, donc faux. Les durées ont été moyennées au lieu des débits additionnés.
Les unités écrites à chaque ligne

Noter l'unité à côté de chaque nombre, et vérifier que les unités du résultat sont celles attendues. Des litres par minute multipliés par des heures ne donnent rien de cohérent, et l'écriture le montre avant même le calcul.

Vous écrivez $12\text{ L/min}\times 2\text{ h}=24$ : les unités ne se simplifient pas, il fallait convertir les heures en minutes. Le résultat correct est $1440$ litres.
Recalculer la distance ou le volume à partir du résultat

Reprendre le temps trouvé, multiplier par chaque taux, et vérifier que la somme redonne la quantité totale de l'énoncé. C'est la substitution inverse, et elle valide le raisonnement entier en une ligne.

Rencontre après $1$ heure entre deux voitures à $80$ et $60$ : $80(1)+60(1)=140$ kilomètres, exactement l'écart initial. Le résultat est confirmé.
La vitesse moyenne comparée à la vitesse lente

La vitesse moyenne d'un aller-retour est toujours strictement comprise entre les deux vitesses, et plus proche de la LENTE. Comparez votre résultat aux deux valeurs et au milieu : il doit être en dessous de la moyenne arithmétique.

Vous trouvez $50$ kilomètres par heure pour un aller à $60$ et un retour à $40$ : c'est exactement la moyenne arithmétique, donc faux. La vraie valeur, $48$ , est bien inférieure.

L'exercice type décortiqué

Le bassin, les deux robinets et la fuite

Un bassin est rempli par deux robinets : le premier seul le remplit en $4$ heures, le second en $6$ heures. Une fuite au fond viderait le bassin plein en $12$ heures.

a) En combien de temps les deux robinets remplissent-ils le bassin, fuite bouchée ? b) Et avec la fuite ouverte ? c) Si l'on n'ouvre que le premier robinet, la fuite étant ouverte, quel est le temps de remplissage ? d) La fuite seule pourrait-elle empêcher le remplissage dans l'un de ces cas ?

Étape 1

On convertit chaque durée en TAUX : le premier robinet remplit $\frac{1}{4}$ de bassin par heure, le second $\frac{1}{6}$ , et la fuite vide $\frac{1}{12}$ de bassin par heure.

Pourquoi

C'est le seul geste qui rend les grandeurs additionnables : des durées ne s'ajoutent pas, des débits oui. Et l'unité, bassin par heure, doit être écrite : elle rappelle que le bassin entier vaut $1$ .

Étape 2

Fuite bouchée : $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$ bassin par heure. Le temps est l'INVERSE : $t=\frac{12}{5}=2{,}4$ heures, soit $2$ heures et $24$ minutes.

Pourquoi

On additionne d'abord, on inverse ensuite : inverser chaque terme séparément donnerait $4+6=10$ heures, ce qui est absurde. Et le contrôle passe : $2{,}4$ heures est bien inférieur aux $4$ heures du robinet le plus rapide.

Étape 3

Fuite ouverte : le taux net vaut $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{3+2-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ bassin par heure. Le temps est donc $3$ heures.

Pourquoi

La fuite se SOUSTRAIT, puisqu'elle retire de l'eau. Le contrôle de plausibilité fonctionne dans les deux sens : $3$ heures est plus long que les $2{,}4$ heures sans fuite, comme attendu, mais reste inférieur aux $4$ heures d'un seul robinet.

Étape 4

Premier robinet seul avec la fuite : $\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{3-1}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ bassin par heure, donc $6$ heures.

Pourquoi

Le taux net reste positif, donc le remplissage aboutit, mais il prend $6$ heures au lieu de $4$ : la fuite a coûté deux heures. Le résultat est plausible puisqu'il dépasse le temps sans fuite, exactement comme le contrôle l'exige.

Étape 5

Le remplissage serait impossible si le taux net devenait négatif ou nul, c'est-à-dire si la fuite était plus rapide que le remplissage. Ici la fuite vide $\frac{1}{12}$ par heure, alors que le robinet le plus lent remplit $\frac{1}{6}$ par heure : elle est deux fois plus lente.

Pourquoi

La comparaison des taux, et non des durées, répond directement à la question : une fuite de $12$ heures est plus lente qu'un robinet de $6$ heures, puisqu'un temps plus long correspond à un débit plus faible. C'est l'inversion du sens qui rend cette comparaison délicate.

Étape 6

Aucun des trois cas ne pose problème : les taux nets valent $\frac{5}{12}$ , $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{6}$ , tous strictement positifs. Le remplissage aboutit dans tous les cas.

Pourquoi

Répondre par la négative en le JUSTIFIANT vaut le point entier : il ne suffit pas de dire que cela fonctionne, il faut montrer que chaque taux net est positif. C'est exactement ce que la question teste.

Étape 7

Vérification : en $2{,}4$ heures, le premier robinet verse $\frac{2{,}4}{4}=0{,}6$ bassin et le second $\frac{2{,}4}{6}=0{,}4$ bassin, soit $1$ bassin au total. En $3$ heures avec la fuite : $0{,}75+0{,}5-0{,}25=1$ bassin. Les deux résultats sont confirmés.

Pourquoi

La substitution inverse recalcule la quantité à partir du temps trouvé : le total doit valoir exactement un bassin. Deux vérifications indépendantes, chacune en une ligne, et sans reprendre le moindre raisonnement.

Conclusion rédigée

« Le premier robinet remplit $\frac{1}{4}$ de bassin par heure, le second $\frac{1}{6}$ , et la fuite en vide $\frac{1}{12}$ . Fuite bouchée, le débit commun vaut $\frac{5}{12}$ de bassin par heure, donc le remplissage prend $2{,}4$ heures, soit $2$ heures et $24$ minutes. Avec la fuite ouverte, le taux net devient $\frac{1}{3}$ et le temps passe à $3$ heures. Avec le seul premier robinet et la fuite, le taux net vaut $\frac{1}{6}$ et le remplissage prend $6$ heures. Dans aucun cas la fuite n'empêche le remplissage, puisque tous les taux nets restent strictement positifs. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner les durées et annoncer $10$ heures, ou les moyenner et annoncer $5$ heures : dans les deux cas le résultat dépasse les $4$ heures du robinet le plus rapide, ce qui est impossible à deux. Le second travers est d'ajouter le taux de la fuite au lieu de le soustraire : le remplissage deviendrait plus rapide avec une fuite, ce qu'un simple contrôle de bon sens écarte.

À savoir par cœur

• Un taux est un QUOTIENT : quantité égale taux fois durée, sous ses trois formes.
• On additionne des TAUX, jamais des temps : deux robinets en $a$ et $b$ heures donnent $\frac{ab}{a+b}$ .
• Une FUITE se soustrait; si le taux net est négatif, le remplissage est impossible et il faut le dire.
• Vitesse moyenne $=\frac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}$ , TOUJOURS. Sur un aller-retour, $\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ .
• SENS CONTRAIRES : les vitesses s'additionnent. MÊME SENS : elles se soustraient.
• Les POURCENTAGES ne s'additionnent jamais : on additionne les MASSES de soluté.
• Un mélange donne DEUX équations : conservation du volume et conservation du soluté.
• Convertir toutes les unités AVANT de multiplier, et les écrire à chaque ligne.
• Trois contrôles : deux sources vont plus vite qu'une, une fuite ralentit, une concentration reste entre les deux.

Questions fréquentes

Pourquoi n'additionne-t-on pas les temps de deux robinets ?

Parce que ce sont les débits qui s'ajoutent, pas les durées. Un robinet qui remplit en quatre heures a un débit d'un quart de bassin par heure. À deux, on remplit forcément plus vite qu'à un seul, donc le résultat doit être inférieur au plus petit des deux temps, ce qu'une addition ou une moyenne ne donne jamais.

Pourquoi la vitesse moyenne n'est pas la moyenne des vitesses ?

Parce que la vitesse moyenne est la distance totale divisée par la durée totale, et qu'on passe plus de temps à la vitesse lente qu'à la vitesse rapide sur une même distance. Le trajet lent pèse donc davantage dans le calcul. La vraie valeur est toujours inférieure à la moyenne arithmétique, et plus proche de la vitesse lente.

Comment résoudre un problème de mélange ?

On dresse un tableau avec une ligne par solution et les colonnes volume, concentration et masse de soluté. Deux quantités se conservent, le volume total et la masse de soluté, ce qui donne deux équations pour deux inconnues. Les pourcentages, eux, ne s'additionnent jamais : ce sont des quotients.

Faut-il additionner ou soustraire les vitesses de deux mobiles ?

En sens contraires, on additionne : chaque mobile réduit l'écart, donc ils se rapprochent à la somme des vitesses. Dans le même sens, on soustrait : seul l'excédent de vitesse du poursuivant réduit l'écart. Si le poursuivant n'est pas strictement plus rapide, le rattrapage est impossible, et c'est la réponse attendue.

Comment traiter une fuite dans un problème de remplissage ?

On convertit la fuite en taux comme les robinets, puis on la soustrait au lieu de l'ajouter, puisqu'elle retire de l'eau. Le taux net obtenu s'inverse ensuite pour donner la durée. Si ce taux net est négatif ou nul, la fuite est plus rapide que le remplissage et le bassin ne se remplira jamais.

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Exercices corrigés : Problèmes de vitesse, de débit et de taux

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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