Mathématiques SN, secondaire 5 à Montréal • Synthèse

Fiche de révision : la géométrie par les vecteurs et l'analytique (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours de géométrie analytique ni celui des vecteurs : vous les avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, le choix de l'outil qui divise le calcul par deux, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un problème de géométrie se résout de deux façons, par les pentes ou par les vecteurs, et le choix décide de la longueur du calcul : le produit scalaire ne bute jamais sur une droite verticale, alors que le produit des pentes n'a plus de sens dès qu'une pente est indéfinie. Le second obstacle est la lecture d'un lieu : « le lieu des points d'où l'on voit un segment sous un angle droit » ne se dessine pas, il se traduit par $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ , et le calcul livre alors un cercle sans qu'on ait eu besoin de le deviner.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Notions couvertes

Nature d'un quadrilatère
Produit scalaire
Cercle de diamètre donné
Tangente à un cercle
Vecteur normal
Cercle circonscrit
Médiatrice
Distance point-droite
Minimisation d'une distance
Complétion des carrés
Conique développée
Lieu géométrique

L'essentiel

Deux outils pour la même question

• PARALLÈLES : pentes égales, ou vecteurs colinéaires avec $ad-bc=0$ .
• PERPENDICULAIRES : produit des pentes égal à $-1$ , ou produit scalaire nul avec $ac+bd=0$ .
• Le PRODUIT SCALAIRE ne bute jamais sur une droite verticale, contrairement au produit des pentes qui devient indéfini.
• $\vec{AB}=\vec{DC}$ caractérise un parallélogramme $ABCD$ : c'est une égalité de vecteurs, donc deux égalités de composantes.
• Un seul produit scalaire nul suffit ensuite à faire d'un parallélogramme un RECTANGLE.

Devant une figure qui contient un segment vertical ou horizontal, le réflexe est de passer aux vecteurs : le produit scalaire reste défini partout, et il évite la discussion de cas que les pentes imposent.

Les lieux qui redonnent un cercle

• Le lieu des $M$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est le CERCLE de diamètre $[AB]$ : c'est le théorème de l'angle droit inscrit.
• On le trouve en développant : $(x-x_{A})(x-x_{B})+(y-y_{A})(y-y_{B})=0$ , puis en complétant les carrés.
• Le centre est le milieu de $[AB]$ et le rayon vaut la moitié de $AB$ : les deux se lisent avant même le calcul.
• Le lieu des points équidistants de $A$ et $B$ reste une DROITE, la médiatrice : ne pas confondre les deux lieux.
• Le lieu des points à distance fixe d'un point est un cercle; d'une droite, deux droites parallèles.

Reconnaître le lieu avant de calculer permet de vérifier le résultat : si le développement de $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ ne donne pas un cercle centré au milieu de $[AB]$ , il y a une erreur de signe quelque part.

Tangente, normale et cercle circonscrit

• La TANGENTE à un cercle en un point $T$ est perpendiculaire au rayon $\vec{OT}$ : son équation est $\vec{OM}\cdot\vec{OT}=\|\vec{OT}\|^{2}$ .
• Le VECTEUR NORMAL à la droite $ax+by+c=0$ est $(a;b)$ : il donne la direction perpendiculaire sans calcul.
• La distance d'un point à une droite n'est que la projection de $\vec{QP}$ sur ce vecteur normal, ce qui explique la formule.
• Le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT est l'intersection de deux MÉDIATRICES, pas de trois : la troisième y passe automatiquement.
• Chaque médiatrice s'écrit directement : elle passe par le milieu d'un côté et a pour vecteur normal le vecteur de ce côté.

Écrire une médiatrice par le vecteur normal évite tout calcul de pente : la médiatrice de $[AB]$ a pour équation $\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0$ où $M$ est le milieu, ce qui se développe en une ligne.

Reconnaître une conique cachée

• Une conique développée se ramène à sa forme canonique par COMPLÉTION DES CARRÉS, en $x$ et en $y$ séparément.
• Le signe entre les deux carrés décide : plus donne une ellipse ou un cercle, moins donne une hyperbole.
• Un seul terme carré donne une parabole, quel que soit le reste de l'équation.
• Après complétion, si le membre de droite est négatif pour une somme de carrés, l'ensemble est VIDE.
• S'il est nul, l'ensemble se réduit à un point pour une somme, à deux droites pour une différence.

Les cas dégénérés ne sont pas des pièges gratuits : ils apparaissent quand un lieu géométrique se réduit à un point ou disparaît, et les reconnaître fait partie de la réponse.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser le produit des pentes avec une droite verticale

toute la question, laissée sans conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite $x=3$ a une pente indéfinie, donc je ne peux pas savoir si elle est perpendiculaire à $y=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec les vecteurs directeurs $(0;1)$ et $(1;0)$ : le produit scalaire vaut $0(1)+1(0)=0$ , donc les droites SONT perpendiculaires. »

Une droite verticale n'a pas de pente, mais elle a un vecteur directeur

(0\,;1)

: le produit scalaire avec

(1\,;0)

vaut

0

, donc l'angle est bien droit.

Pourquoi : Le produit des pentes exige que les deux pentes existent, ce qui exclut les verticales. Le produit scalaire, lui, se calcule sur des vecteurs directeurs qui existent toujours : c'est l'outil qui ne connaît aucun cas particulier.

2. Conclure au rectangle sans vérifier l'angle droit

2 points, et une conclusion non démontrée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{AB}=\vec{DC}$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme, donc c'est un rectangle. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{AB}=\vec{DC}$ prouve le parallélogramme. Pour le rectangle, il faut EN PLUS un angle droit : $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$ . Sans cela, ce peut être un parallélogramme quelconque. »

Pourquoi : Chaque propriété supplémentaire exige sa propre vérification : côtés opposés égaux pour le parallélogramme, un angle droit pour le rectangle, deux côtés consécutifs égaux pour le losange, les deux pour le carré. Une seule vérification ne peut pas en prouver deux.

3. Chercher le cercle circonscrit par un système de trois équations

1 point de méthode, et un système non linéaire beaucoup plus long

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ et je substitue les trois sommets : trois équations, trois inconnues. »

Ce qu'il faut écrire

« On intersecte DEUX médiatrices, ce qui donne un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Le rayon se calcule ensuite comme la distance du centre à un sommet. »

Pourquoi : Substituer dans l'équation du cercle donne des équations du second degré, qu'il faut ensuite soustraire deux à deux pour les linéariser : c'est exactement construire les médiatrices, mais en trois fois plus de lignes. Autant partir des médiatrices directement.

4. Écrire la tangente à un cercle avec la pente du rayon

toute la question, la droite obtenue coupe le cercle en deux points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rayon $\vec{OT}$ a pour pente $\frac{4}{3}$ , donc la tangente a la même pente. »

Ce qu'il faut écrire

« La tangente est PERPENDICULAIRE au rayon : sa pente est $-\frac{3}{4}$ . Ou plus directement, son équation est $\vec{OM}\cdot\vec{OT}=\|\vec{OT}\|^{2}$ . »

La tangente touche le cercle en formant un angle DROIT avec le rayon : sa pente est l'opposée inverse,

-\frac{3}{4}

, jamais celle du rayon.

Pourquoi : La tangente touche le cercle en un seul point, ce qui n'est possible que si elle est perpendiculaire au rayon en ce point. Le contrôle est immédiat : la distance du centre à la tangente doit valoir exactement le rayon.

5. Confondre les deux lieux, médiatrice et cercle

toute la question, et le lieu obtenu est d'une autre nature

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le lieu des points $M$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est la médiatrice de $[AB]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est le CERCLE de diamètre $[AB]$ : la condition dit que l'angle en $M$ est droit, pas que $M$ est équidistant. La médiatrice correspond à $MA=MB$ . »

La condition dit que l'angle en

M

est DROIT : tous ces points dessinent le cercle de diamètre

[AB]

. La médiatrice, en pointillés, décrirait l'équidistance, qui est une autre condition.

Pourquoi : Deux conditions voisines dans l'écriture donnent deux lieux complètement différents : un produit scalaire nul parle d'ANGLE, une égalité de distances parle de LONGUEUR. Le développement le confirme, puisque l'un donne un cercle et l'autre une droite.

6. Chercher le pied de la perpendiculaire pour une distance

aucun point perdu, mais cinq lignes et plusieurs occasions de se tromper

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour la distance du point à la droite, je cherche l'équation de la perpendiculaire, puis l'intersection, puis la distance entre les deux points. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ donne la réponse en une ligne. Le pied de la perpendiculaire n'est nécessaire que si l'énoncé le demande explicitement. »

Pourquoi : La formule EST la projection sur le vecteur normal $(a;b)$ : elle contient déjà tout le raisonnement de la perpendiculaire. La méthode longue donne le même résultat, mais elle multiplie par cinq les chances d'erreur de calcul.

7. Oublier de compléter les carrés avant de nommer la conique

2 points, alors que la nature se lisait en trois secondes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4=0$ : c'est une équation compliquée, je ne peux pas dire quelle conique c'est. »

Ce qu'il faut écrire

« Deux carrés de MÊME signe : c'est déjà une ellipse. La complétion des carrés donne ensuite $\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1$ , de centre $(1;-2)$ . »

Pourquoi : La nature d'une conique se lit sur les seuls termes du second degré, avant toute manipulation : les termes du premier degré ne font que translater. La complétion des carrés ne sert qu'à trouver le CENTRE et les demi-axes, pas la famille.

8. Minimiser une distance en testant des points au hasard

toute la question, et la valeur trouvée n'est qu'approchée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je teste plusieurs points de la droite pour voir lequel est le plus proche du point donné. »

Ce qu'il faut écrire

« La distance minimale d'un point à une droite est la distance PERPENDICULAIRE, donnée directement par la formule. Aucun essai n'est nécessaire. »

Pourquoi : Le minimum d'une distance à une droite est atteint au pied de la perpendiculaire, ce qui est un théorème et non une constatation. Pour une distance à une courbe, on écrit la distance comme fonction d'une variable et on cherche le sommet de la quadratique obtenue.

Quelle méthode choisir

Pentes ou vecteurs : lequel choisir

Les deux outils répondent aux mêmes questions, mais l'un est presque toujours plus rapide. Regardez la figure et l'énoncé avant de vous engager.

Si la figure contient une droite VERTICALE, ou risque d'en contenir une → VECTEURS obligatoirement : le produit scalaire est défini partout, la pente non

Exemple : $x=3$ et $y=5$ : vecteurs directeurs $(0;1)$ et $(1;0)$ , produit scalaire nul

C'est aussi le cas quand les points sont donnés par des lettres et non par des nombres.
Si on doit démontrer une propriété pour une figure QUELCONQUE → VECTEURS : ils permettent un raisonnement général, sans coordonnées particulières

Exemple : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, pour tout losange
Si on doit trouver l'ÉQUATION d'une droite passant par deux points connus → PENTES : c'est plus direct, et le résultat est déjà sous la forme attendue

Exemple : $A(1;2)$ et $B(5;10)$ : pente $2$ , donc $y=2x$
Si on doit calculer une DISTANCE d'un point à une droite → la FORMULE avec le vecteur normal, en une ligne, sans chercher le pied de la perpendiculaire

Exemple : $\frac{|3(1)+4(1)-20|}{5}=2{,}6$
Si on doit déterminer la NATURE d'un quadrilatère → VECTEURS : $\vec{AB}=\vec{DC}$ pour le parallélogramme, puis produit scalaire et normes pour préciser

Exemple : $\vec{AB}=\vec{DC}$ et $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$ donnent un rectangle

Chaque propriété se démontre séparément : aucune ne découle d'une autre gratuitement.
Si on doit écrire une MÉDIATRICE ou une TANGENTE → VECTEURS : la médiatrice a pour normal le vecteur du côté, la tangente le vecteur rayon

Exemple : médiatrice de $[AB]$ : $\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0$ avec $M$ le milieu, développé en une ligne

Aucun des deux outils n'est faux, et l'examen accepte les deux. Mais l'un demande souvent trois lignes et l'autre dix, avec autant d'occasions d'erreur : le temps gagné se retrouve dans les questions suivantes.

Reconnaître le lieu avant de le calculer

La formulation de la condition annonce le lieu. Le reconnaître d'avance ne dispense pas du calcul, mais il permet de vérifier le résultat et de ne pas se perdre.

Si $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ , ou « on voit $[AB]$ sous un angle droit » → CERCLE de diamètre $[AB]$ , de centre le milieu et de rayon $\frac{AB}{2}$

Exemple : $A(0;0)$ et $B(6;0)$ donnent le cercle $(x-3)^{2}+y^{2}=9$
Si $MA=MB$ , ou « équidistant de deux points » → MÉDIATRICE de $[AB]$ , une droite perpendiculaire à $[AB]$ en son milieu

Exemple : $A(1;2)$ et $B(5;6)$ donnent $x+y-7=0$

La confusion avec le lieu précédent est fréquente : l'un parle d'angle, l'autre de longueur.
Si $MA=r$ , distance fixe à un point → CERCLE de centre $A$ et de rayon $r$
Si distance à une DROITE fixe et égale à $d$ → DEUX droites parallèles à la première, à distance $d$ de part et d'autre

Exemple : à $2$ unités de $y=0$ : les droites $y=2$ et $y=-2$

La valeur absolue de la formule donne bien deux équations, donc deux droites.
Si $MA=$ distance à une droite, ou « équidistant d'un point et d'une droite » → PARABOLE de foyer le point et de directrice la droite
Si $MA+MB$ constante, ou $|MA-MB|$ constante → ELLIPSE dans le premier cas, HYPERBOLE dans le second, de foyers $A$ et $B$

Dans tous les cas, on pose $M(x;y)$ , on écrit la condition, on élève au carré et on développe. Le lieu reconnu d'avance sert de vérification : un développement qui donnerait une droite là où l'on attendait un cercle signale une erreur de signe.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer l'équation de la tangente à un cercle

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un cercle et un point $T$ situé dessus, et demande la tangente en ce point.

1 VÉRIFIER d'abord que le point appartient bien au cercle, en substituant ses coordonnées.
2 Calculer le vecteur rayon $\vec{OT}$ , où $O$ est le centre du cercle.
3 Annoncer la propriété : « la tangente en $T$ est perpendiculaire au rayon $\vec{OT}$ ».
4 Écrire l'équation par le vecteur normal : la tangente passe par $T$ et a pour normal $\vec{OT}$ , donc $\vec{OT}\cdot\vec{TM}=0$ .
5 Développer pour obtenir la forme générale $ax+by+c=0$ .
6 VÉRIFIER que la distance du centre à cette droite vaut exactement le rayon.
7 Vérifier aussi que le point $T$ appartient bien à la droite trouvée.

Phrase de conclusion

« Le point $T(3;4)$ vérifie $3^{2}+4^{2}=25$ , il appartient donc au cercle de centre $O(0;0)$ et de rayon $5$ . Le rayon $\vec{OT}=(3;4)$ est normal à la tangente, dont l'équation est $3(x-3)+4(y-4)=0$ , soit $3x+4y-25=0$ . La distance de $O$ à cette droite vaut $\frac{|{-25}|}{\sqrt{9+16}}=5$ , ce qui est bien le rayon. »

Le piège : Donner à la tangente la pente du rayon. La tangente lui est PERPENDICULAIRE : sa pente est l'inverse opposé, et la méthode par vecteur normal évite entièrement cette inversion, puisqu'elle utilise le rayon tel quel comme normal.

Barème : 1 point l'appartenance de $T$ au cercle vérifiée, 1 point la propriété de perpendicularité annoncée, 1 point l'équation développée, 1 point la vérification par la distance au centre.

Déterminer la nature d'un quadrilatère par les vecteurs

Quand l'utiliser : L'énoncé donne quatre points et demande la nature du quadrilatère qu'ils forment.

1 Calculer les quatre vecteurs côtés, ou au moins $\vec{AB}$ , $\vec{DC}$ , $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ .
2 Tester le PARALLÉLOGRAMME : $\vec{AB}=\vec{DC}$ , ce qui donne deux égalités de composantes.
3 Si ce n'est pas un parallélogramme, chercher un seul couple de côtés parallèles, ce qui donne un trapèze.
4 Tester l'ANGLE DROIT par un produit scalaire : $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$ donne un rectangle.
5 Tester l'ÉGALITÉ DES CÔTÉS par les normes : $\|\vec{AB}\|=\|\vec{AD}\|$ donne un losange.
6 Conclure : les deux tests réussis donnent un carré, un seul donne un rectangle ou un losange, aucun donne un parallélogramme quelconque.
7 Écrire la conclusion complète en citant les propriétés démontrées.

Phrase de conclusion

« On a $\vec{AB}=(4;0)$ et $\vec{DC}=(4;0)$ : ces vecteurs sont égaux, donc $ABCD$ est un parallélogramme. De plus $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=4(0)+0(3)=0$ , donc l'angle en $A$ est droit et $ABCD$ est un rectangle. Enfin $\|\vec{AB}\|=4$ et $\|\vec{AD}\|=3$ : les côtés consécutifs ne sont pas égaux, ce n'est donc pas un carré. »

Le piège : Tester $\vec{AB}=\vec{CD}$ au lieu de $\vec{AB}=\vec{DC}$ . Dans un parallélogramme $ABCD$ , les sommets se suivent dans l'ordre, donc les côtés opposés sont parcourus en sens INVERSE : c'est $\vec{DC}$ qui égale $\vec{AB}$ , et l'autre écriture donne un quadrilatère croisé.

Barème : 1 point les vecteurs calculés, 1 point le test du parallélogramme, 1 point le produit scalaire ou les normes selon le cas, 1 point la conclusion complète et justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La distance du centre à la tangente

Une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance du centre à cette droite vaut exactement le rayon. Une seule application de la formule, et la tangente trouvée est validée ou invalidée sans ambiguïté.

Vous trouvez $4x-3y=0$ comme tangente en $T(3;4)$ au cercle de centre $O$ et de rayon $5$ : la distance de $O$ à cette droite vaut $0$ , donc la droite passe par le centre. C'est le rayon prolongé, pas la tangente.
Le centre du cercle circonscrit équidistant des trois sommets

Calculer les trois distances du centre trouvé aux trois sommets : elles doivent être rigoureusement égales, et cette valeur commune est le rayon. Trois calculs de distance, et l'intersection des médiatrices est validée.

Vous trouvez le centre $(3;2)$ pour un triangle de sommets $(0;0)$ , $(6;0)$ et un troisième : les deux premières distances valent $\sqrt{13}$ . Si la troisième diffère, une médiatrice a été mal écrite.
Le croquis avant tout choix d'outil

Placer les points sur un quadrillage et regarder la figure : une droite verticale, un angle qui paraît droit, deux côtés visiblement égaux. Le croquis annonce le résultat, ce qui permet de détecter une conclusion aberrante avant même de calculer.

Le croquis montre un quadrilatère manifestement allongé, et votre calcul conclut au carré : l'un des deux se trompe, et il faut vérifier les normes avant d'écrire la conclusion.
Le lieu obtenu contre le lieu attendu

Reconnaître le type de lieu avant de calculer, puis comparer avec l'équation obtenue. Un produit scalaire nul doit donner un cercle, une égalité de distances une droite : un résultat d'une autre nature signale une erreur de développement.

Vous développez $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ et obtenez une équation du premier degré : impossible, ce lieu est un cercle. Un terme en $x^{2}$ ou $y^{2}$ a été perdu en chemin.

L'exercice type décortiqué

Le lieu où l'on voit un segment sous un angle droit : de la condition au cercle

On donne $A(0;0)$ et $B(6;0)$ dans un repère orthonormé.

a) Déterminer l'équation du lieu des points $M$ d'où l'on voit le segment $[AB]$ sous un angle droit. b) Reconnaître ce lieu et donner ses éléments. c) Le point $P(3;3)$ appartient-il à ce lieu ? d) Écrire l'équation de la tangente à ce lieu au point $P$ .

Étape 1

Soit $M(x;y)$ . « Voir $[AB]$ sous un angle droit » signifie que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit, donc que $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont perpendiculaires : la condition s'écrit $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ .

Pourquoi

La traduction est tout l'enjeu de la question : une condition d'ANGLE se traduit par un produit scalaire nul, jamais par une égalité de distances. Une fois écrite, la suite est un calcul mécanique.

Étape 2

$\vec{MA}=(0-x;\ 0-y)=(-x;-y)$ et $\vec{MB}=(6-x;\ 0-y)=(6-x;-y)$ . Le produit scalaire vaut $(-x)(6-x)+(-y)(-y)=-6x+x^{2}+y^{2}$ .

Pourquoi

Les vecteurs partent tous deux de $M$ , le sommet de l'angle : c'est ce point qui doit être le point de DÉPART des deux vecteurs. Prendre $\vec{AM}$ et $\vec{MB}$ décrirait un tout autre angle et donnerait un lieu faux.

Étape 3

La condition devient $x^{2}+y^{2}-6x=0$ . En complétant le carré : $(x-3)^{2}-9+y^{2}=0$ , soit $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ .

Pourquoi

La présence de deux carrés de même signe annonçait un cercle avant même la complétion. Et le fait que les termes du second degré subsistent, contrairement au cas d'une médiatrice, confirme qu'il s'agit bien d'une courbe et non d'une droite.

Étape 4

C'est le CERCLE de centre $(3;0)$ et de rayon $3$ . Or $(3;0)$ est le milieu de $[AB]$ et $3$ est la moitié de $AB=6$ : c'est bien le cercle de diamètre $[AB]$ , conformément au théorème de l'angle droit inscrit.

Pourquoi

Le résultat était prévisible, et cette prévision sert de vérification : un centre qui ne serait pas le milieu de $[AB]$ , ou un rayon différent de la moitié de $AB$ , signalerait une erreur de développement. Les points $A$ et $B$ eux-mêmes sont exclus, puisque l'angle n'y est pas défini.

Étape 5

Pour $P(3;3)$ : $(3-3)^{2}+3^{2}=0+9=9$ . Le point appartient donc au cercle. On peut aussi vérifier directement : $\vec{PA}=(-3;-3)$ et $\vec{PB}=(3;-3)$ , dont le produit scalaire vaut $-9+9=0$ .

Pourquoi

Les deux vérifications sont indépendantes, l'une par l'équation trouvée et l'autre par la condition d'origine. Leur concordance valide en même temps le point et tout le développement de la question a).

Étape 6

La tangente en $P$ est perpendiculaire au rayon $\vec{OP}$ , où $O(3;0)$ est le centre : $\vec{OP}=(0;3)$ . L'équation s'écrit $\vec{OP}\cdot\vec{PM}=0$ , soit $0(x-3)+3(y-3)=0$ , donc $y=3$ .

Pourquoi

Le rayon est ici VERTICAL, donc la tangente est horizontale : sa pente est nulle et le produit des pentes n'aurait aucun sens, puisque la pente du rayon est indéfinie. La méthode par vecteur normal traverse ce cas sans aucune discussion, ce qui est exactement son intérêt.

Étape 7

Vérification : la distance du centre $(3;0)$ à la droite $y=3$ , soit $0x+1y-3=0$ , vaut $\frac{|0+0-3|}{\sqrt{0+1}}=3$ , ce qui est bien le rayon. Et $P(3;3)$ appartient à cette droite.

Pourquoi

Les deux conditions caractérisent une tangente : elle touche le cercle au point voulu, et sa distance au centre égale le rayon. Une droite qui vérifierait la première sans la seconde serait une sécante passant par $P$ .

Conclusion rédigée

« Soit $M(x;y)$ . La condition « voir $[AB]$ sous un angle droit » s'écrit $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ , ce qui donne $x^{2}+y^{2}-6x=0$ , soit après complétion du carré $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ . Le lieu est donc le cercle de centre $(3;0)$ , milieu de $[AB]$ , et de rayon $3$ , moitié de $AB$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$ , les points $A$ et $B$ étant exclus. Le point $P(3;3)$ y appartient, ce que confirme $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0$ . Enfin la tangente en $P$ , perpendiculaire au rayon vertical $\vec{OP}=(0;3)$ , a pour équation $y=3$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Traduire la condition par $MA=MB$ : on obtiendrait la médiatrice $x=3$ , une droite, alors que le lieu cherché est un cercle. Une condition d'angle et une condition de distance donnent des lieux de natures différentes. Le second travers est de vouloir la tangente par le produit des pentes à la question d) : le rayon étant vertical, sa pente est indéfinie et la méthode se bloque, alors que le vecteur normal la traverse sans difficulté.

À savoir par cœur

• Le PRODUIT SCALAIRE ne bute jamais sur une droite verticale, contrairement au produit des pentes.
• $\vec{AB}=\vec{DC}$ caractérise le parallélogramme $ABCD$ ; il faut EN PLUS un produit scalaire nul pour le rectangle.
• $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ donne le CERCLE de diamètre $[AB]$ ; $MA=MB$ donne la MÉDIATRICE.
• Tangente en $T$ : perpendiculaire au rayon, donc $\vec{OT}$ est son vecteur NORMAL.
• Le vecteur normal à $ax+by+c=0$ est $(a;b)$ : il donne la perpendiculaire sans calcul de pente.
• Cercle circonscrit : intersection de DEUX médiatrices, jamais un système de trois équations du second degré.
• La distance d'un point à une droite se calcule par la FORMULE, pas en cherchant le pied de la perpendiculaire.
• La nature d'une conique se lit sur les termes du SECOND degré, avant toute complétion des carrés.
• Reconnaître le lieu d'avance sert de vérification : un angle donne un cercle, une distance donne une droite.

Questions fréquentes

Faut-il utiliser les pentes ou les vecteurs en géométrie analytique ?

Les deux sont acceptés, mais les vecteurs sont plus sûrs. Le produit scalaire reste défini même quand une droite est verticale, alors que le produit des pentes n'a plus de sens dans ce cas. Les vecteurs permettent aussi de démontrer une propriété pour une figure quelconque, ce que des coordonnées numériques ne feraient pas.

Comment démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle ?

Il faut deux preuves distinctes. D'abord que c'est un parallélogramme, en montrant que le vecteur d'un côté égale celui du côté opposé parcouru dans le bon sens. Ensuite qu'un angle est droit, en montrant qu'un produit scalaire de deux côtés consécutifs est nul. Une seule des deux preuves ne suffit jamais.

Quel est le lieu des points d'où l'on voit un segment sous un angle droit ?

C'est le cercle ayant ce segment pour diamètre, privé de ses deux extrémités. On l'obtient en écrivant que le produit scalaire des deux vecteurs partant du point courant vers les extrémités est nul, puis en développant et en complétant les carrés. Le centre est le milieu du segment et le rayon sa moitié.

Comment trouver l'équation de la tangente à un cercle ?

La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Le vecteur rayon sert donc de vecteur normal : la tangente passe par le point de contact et son équation s'écrit en annulant le produit scalaire du rayon avec le vecteur allant du point de contact au point courant. La distance du centre à cette droite doit valoir le rayon.

Comment trouver le centre d'un cercle circonscrit à un triangle ?

C'est l'intersection des médiatrices des côtés, et deux médiatrices suffisent puisque la troisième y passe automatiquement. Chaque médiatrice s'écrit directement en prenant le milieu du côté comme point et le vecteur de ce côté comme vecteur normal. Le rayon est ensuite la distance du centre à n'importe quel sommet.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Géométrie : vecteurs, analytique et coniques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes qui coûtent des points à l'examen, du choix entre pentes et vecteurs jusqu'aux lieux géométriques par produit scalaire, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des évaluations.

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