Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les dérivées des fonctions transcendantes (201-NYA)

Q: Comment dériver une fonction du type deux puissance x ?

On n'utilise pas la règle de puissance : l'exposant est la variable, pas la base. La dérivée de deux puissance x est deux puissance x multiplié par le logarithme népérien de deux. Plus généralement, la dérivée de a puissance u vaut a puissance u, fois le logarithme népérien de a, fois la dérivée de u. Avec la base e, ce facteur vaut un et disparaît.

Q: Quand faut-il utiliser la dérivation logarithmique ?

Dans deux cas. D'abord quand la base et l'exposant contiennent tous les deux la variable, comme x puissance x : aucune autre règle n'existe alors. Ensuite par confort, quand l'expression est un produit ou un quotient d'au moins trois facteurs avec des racines ou des puissances : le logarithme transforme ces produits en sommes, bien plus faciles à dériver.

Q: Pourquoi la dérivée de arc cosinus est-elle négative ?

Parce que la fonction arc cosinus décroît : elle part de pi quand x vaut moins un et descend jusqu'à zéro quand x vaut un. Une fonction décroissante a une dérivée négative partout, d'où le signe moins devant un sur racine de un moins x au carré. Arc sinus, elle, croît, donc sa dérivée est positive.

Q: Comment trouver le domaine de la dérivée d'un logarithme ?

On écrit d'abord le domaine de la fonction, en imposant que l'argument du logarithme soit strictement positif, puis on dérive. La formule obtenue reste souvent calculable en dehors de ce domaine, mais elle n'y a aucun sens. C'est le piège le plus coûteux du chapitre : le domaine s'écrit avant la dérivée, jamais après.

Q: Que signifie un taux de croissance de trois pour cent par an ?

Cela veut dire que la dérivée divisée par la quantité vaut zéro virgule zéro trois, et non que la dérivée vaut zéro virgule zéro trois. C'est un taux relatif, qui conduit à une croissance exponentielle de la forme y égale y zéro fois e puissance zéro virgule zéro trois t. Un taux absolu, lui, donnerait une droite.

Cette fiche ne réécrit pas la table des dérivées : vous l'avez déjà dans vos notes, et recopier une table ne fait perdre ni gagner de points. Elle traite ce qui les fait perdre vraiment, à savoir le facteur $u'$ qui disparaît dès qu'il y a deux étages, la règle de puissance appliquée à $2^{x}$ , et le domaine du logarithme qu'on découvre après avoir dérivé.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal et pour les élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une dérivée transcendante ne se lit jamais telle quelle dans la table : il y a toujours un facteur $u'$ derrière, et un domaine à vérifier avant de dériver. Presque toutes les pertes de points de ce chapitre viennent de l'un ou de l'autre.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (19 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
2La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
4Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
5Puissances et exposants fractionnairesSecondaire 5 SN5
6Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
7Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
8Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
9Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
10La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
11La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
12Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
13Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
14Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
15Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
16Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
17Fonctions et domaine
18Limites et continuité
19La dérivée et ses règles

Notions couvertes

Dérivées des fonctions trigonométriques
Règle de chaîne
Dérivée de l'exponentielle
Dérivée du logarithme népérien
Changement de base
Dérivation logarithmique
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions hyperboliques
Taux de variation relatif
Croissance exponentielle
Modèle logistique
Refroidissement de Newton

L'essentiel

Les six dérivées trigonométriques, et le signe qui les sépare

• $(\sin x)'=\cos x$ , $(\tan x)'=\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ , $(\sec x)'=\sec x\tan x$ .
• $(\cos x)'=-\sin x$ , $(\cot x)'=-\csc^{2}x$ , $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ .
• Règle de lecture : les trois fonctions dont le nom commence par « co » portent le signe MOINS. Rien d'autre n'est à mémoriser sur les signes.
• Tout cela suppose l'argument en RADIANS. En degrés, $(\sin x)'=\frac{\pi}{180}\cos x$ , ce qui n'est jamais ce que l'énoncé veut.

Les trois dérivées en « co » se retrouvent aussi en dérivant la cofonction : $\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ produit le signe moins par la règle de chaîne, puisque la dérivée intérieure vaut $-1$ .

Exponentielle et logarithme : la base change un FACTEUR, jamais la forme

• $(e^{x})'=e^{x}$ , et plus généralement $(e^{u})'=u'e^{u}$ .
• $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ : le facteur $\ln a$ est la seule trace de la base.
• $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ sur $x>0$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , et $(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$ sur tout $x\neq 0$ .
• $(\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}$ , qui n'est que $\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'$ avec la constante $\frac{1}{\ln a}$ devant.

La dérivée de

2^{x}

, en pointillés, est la même courbe multipliée par

\ln 2

, donc elle passe EN DESSOUS : seule la base

e

donne une courbe confondue avec sa dérivée.

Le nombre $e$ se définit exactement par là : c'est l'unique base dont la tangente en $0$ a pour pente $1$ , donc l'unique base pour laquelle le facteur $\ln a$ vaut $1$ et disparaît.

Le facteur $u'$ : un par étage, sans exception

• $\frac{d}{dx}\big[F(u(x))\big]=F'(u)\cdot u'$ . La table donne $F'$ ; c'est vous qui écrivez $u'$ .
• Trois étages donnent trois facteurs : $\left(\sin(e^{3x})\right)'=\cos(e^{3x})\cdot e^{3x}\cdot 3$ .
• Contrôle de compte : autant de facteurs multipliés que de fonctions emboîtées. Deux emboîtements et deux facteurs seulement, il en manque un.
• Le seul cas où $u'=1$ est $u(x)=x$ : c'est la ligne de la table, et elle est rare dans un examen.

Réciproques et hyperboliques : les deux tables où le signe se joue

• $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ et $(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , toutes deux sur $|x|<1$ STRICTEMENT.
• $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans condition.
• $(\sinh x)'=\cosh x$ et $(\cosh x)'=\sinh x$ , SANS signe moins, avec $\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1$ .
• Conséquence à retenir : $\cos$ et $\sin$ vérifient $y''=-y$ et oscillent; $\cosh$ et $\sinh$ vérifient $y''=y$ et partent à l'infini.

Le domaine de la dérivée est l'INTÉRIEUR du domaine de la fonction. $\arcsin$ est définie en $1$ , sa dérivée ne l'est pas : la tangente y est verticale.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les six dérivées trigonométriques

Trois lignes sans signe, trois lignes avec. La règle de lecture tient en un mot : les fonctions dont le nom commence par « co » portent le moins.

$f(x)$	Version composée	$f'(x)$
$\sin x$	$u'\cos u$	$\cos x$
Exemple : $\left(\sin(3x)\right)'=3\cos(3x)$ , qui vaut $3$ en $x=0$ et non $1$ : le facteur $3$ est la moitié de la note.
$\cos x$	$-u'\sin u$	$-\sin x$
Exemple : $\left(\cos(x^{2})\right)'=-2x\sin(x^{2})$ , qui vaut environ $-1{,}68$ en $x=1$ .
$\tan x$	$u'\sec^{2}u$	$\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$
Exemple : En $x=\frac{\pi}{4}$ , $\sec^{2}x=2$ : la pente de la tangente y est deux fois celle de $y=x$ .
$\cot x$	$-u'\csc^{2}u$	$-\csc^{2}x$
Exemple : En $x=\frac{\pi}{4}$ , la pente vaut $-2$ , exactement l'opposée de celle de $\tan$ au même point.
$\sec x$	$u'\sec u\tan u$	$\sec x\tan x$
Exemple : En $x=\frac{\pi}{3}$ , $\sec x=2$ et $\tan x=\sqrt{3}$ , donc la pente vaut $2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ .
$\csc x$	$-u'\csc u\cot u$	$-\csc x\cot x$
Exemple : En $x=\frac{\pi}{3}$ , la pente vaut $-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0{,}667$ .

Tout ce tableau suppose l'argument en RADIANS. En degrés, $(\sin x)'=\frac{\pi}{180}\cos x\approx 0{,}01745\cos x$ , ce que la calculatrice affiche sans prévenir quand elle est restée en mode DEG.

Exponentielles, logarithmes, réciproques et hyperboliques

Quatre familles, une seule difficulté par ligne : le facteur que la base laisse derrière elle, et le domaine qui s'écrit AVANT de dériver.

$f(x)$	Domaine	$f'(x)$
$\mathrm{e}^{x}$	partout	$\mathrm{e}^{x}$
Exemple : $\left(\mathrm{e}^{3x}\right)'=3\mathrm{e}^{3x}$ : le $3$ vient de $u'$ , il vaut $3$ en $x=0$ .
$a^{x}$ , $a>0$	partout	$a^{x}\ln a$
Exemple : $\left(5^{x}\right)'=5^{x}\ln 5$ , donc environ $8{,}05$ en $x=1$ . Le facteur $\ln a$ est la seule trace de la base.
$\ln x$	$x>0$	$\frac{1}{x}$
Exemple : $\left(\ln(x^{2}+1)\right)'=\frac{2x}{x^{2}+1}$ , qui vaut $1$ en $x=1$ : le $u'$ est au numérateur, jamais ailleurs.
$\log_{a}x$	$x>0$	$\frac{1}{x\ln a}$
Exemple : $\left(\log_{10}x\right)'=\frac{1}{x\ln 10}$ , soit environ $0{,}0434$ en $x=10$ .
$\arcsin x$	$\|x\|<1$ strictement	$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
Exemple : En $x=0$ la pente vaut $1$ ; en $x=0{,}8$ elle vaut déjà $\frac{1}{0{,}6}\approx 1{,}67$ , et elle explose en $\pm 1$ .
$\arccos x$	$\|x\|<1$ strictement	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
Exemple : Même valeur absolue que $\arcsin$ , signe opposé : la somme $\arcsin x+\arccos x$ vaut $\frac{\pi}{2}$ pour tout $x$ , donc sa dérivée est nulle.
$\arctan x$	partout	$\frac{1}{1+x^{2}}$
Exemple : En $x=1$ , la pente vaut $0{,}5$ . Aucune condition de domaine, c'est la seule réciproque trigonométrique dans ce cas.
$\sinh x$ et $\cosh x$	partout	$\cosh x$ et $\sinh x$
Exemple : Aucun signe moins, contrairement au cercle : en $x=1$ , $\sinh'(1)=\cosh 1\approx 1{,}543$ . Elles vérifient $y''=y$ , quand $\sin$ et $\cos$ vérifient $y''=-y$ .

Le domaine s'écrit avant la dérivation, pas après : $\left(\ln(x-3)\right)'=\frac{1}{x-3}$ est faux tant que $x>3$ n'a pas été posé, et l'examen compte cette ligne à part.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le facteur $u'$ oublié dès qu'il y a deux étages

1 point à chaque occurrence, et souvent 4 ou 5 par copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(\sin 3x)'=\cos 3x$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(\sin 3x)'=3\cos 3x$ : la table donne la dérivée extérieure, la règle de chaîne ajoute $u'=3$ . »

Pourquoi : C'est l'erreur la plus rentable à corriger de tout le chapitre, parce qu'elle se répète : une copie qui l'a faite une fois l'a faite partout. Le contrôle est mécanique, on compte les emboîtements et on compte les facteurs.

2. Dériver $2^{x}$ avec la règle de puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2^{x})'=x\,2^{x-1}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(2^{x})'=2^{x}\ln 2$ : l'exposant est la VARIABLE, donc ce n'est pas une puissance mais une exponentielle. »

Pourquoi : La règle $(x^{n})'=nx^{n-1}$ suppose l'exposant CONSTANT. Ici c'est la base qui est constante : les deux règles portent sur des objets différents, et seule la place du $x$ permet de les distinguer.

3. Dériver le logarithme avant d'avoir écrit son domaine

2 points, plus la question de variations qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\ln(x^{2}-4)$ donc $f'(x)=\frac{2x}{x^{2}-4}$ , et $f'(0)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est définie que pour $x^{2}-4>0$ , c'est à dire $|x|>2$ . La formule $f'(x)=\frac{2x}{x^{2}-4}$ ne vaut que là, et $f'(0)$ n'existe pas. »

Pourquoi : La formule de la dérivée reste calculable là où la fonction n'existe pas : elle ne proteste pas. C'est le seul chapitre où le domaine doit être écrit AVANT de dériver, et le correcteur cherche cette ligne.

4. Croire que $\ln(5x)$ et $\ln x$ ont des dérivées différentes

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(\ln 5x)'=\frac{1}{5x}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(\ln 5x)'=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}$ , la même dérivée que $\ln x$ , ce qui se voit aussi sur $\ln 5x=\ln 5+\ln x$ . »

Pourquoi : Un facteur constant à l'intérieur d'un logarithme devient une constante ADDITIVE, donc il disparaît en dérivant. Simplifier le logarithme avant de dériver évite l'erreur et fait gagner du temps.

5. Appliquer une règle de puissance à $x^{x}$ , où base ET exposant varient

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x^{x})'=x\cdot x^{x-1}=x^{x}$ »

Ce qu'il faut écrire

« Aucune règle ne s'applique. On pose $y=x^{x}$ , donc $\ln y=x\ln x$ , on dérive : $\frac{y'}{y}=\ln x+1$ , d'où $y'=x^{x}(\ln x+1)$ . »

Pourquoi : La règle de puissance fige l'exposant, la règle exponentielle fige la base : quand les deux bougent, il ne reste que la dérivation logarithmique. La réponse fausse $x^{x}$ se démasque en $x=1$ , où elle donne $1$ au lieu de $1$ ... mais en $x=e$ elle donne $e^{e}$ au lieu de $2e^{e}$ .

6. Arrêter la dérivation logarithmique à $\frac{y'}{y}$

2 points, la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{y'}{y}=\frac{3}{x}+\frac{1}{2x+1}$ , donc $y'=\frac{3}{x}+\frac{1}{2x+1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y'=y\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{2x+1}\right)$ , où l'on remplace $y$ par l'expression de départ. »

Pourquoi : $\frac{y'}{y}$ est le taux de variation RELATIF, pas la dérivée. La dernière multiplication est l'étape que tout le monde saute parce que le calcul intéressant est déjà fini.

7. Le signe moins d' $\arccos$ , et celui de trop sur $\cosh$

1 point chacun, et le sens de variation de toute l'étude

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(\arccos x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ » et « $(\cosh x)'=-\sinh x$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , car $\arccos$ est DÉCROISSANTE » et « $(\cosh x)'=+\sinh x$ , il n'y a pas de signe moins chez les hyperboliques. »

\arcsin

monte et

\arccos

descend : c'est là tout le signe moins. Aux deux bords

x=\pm 1

les tangentes sont verticales, donc la dérivée n'y existe pas.

Pourquoi : Le réflexe « co veut dire moins » vient de la trigonométrie circulaire et ne se transporte ni aux réciproques ni aux hyperboliques. Le contrôle est visuel : une fonction décroissante a une dérivée négative, une fonction croissante une dérivée positive.

8. Confondre le taux de variation absolu et le taux relatif

toute la question, le modèle étant faux dès la première ligne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population croît de $3\%$ par an, donc $P'=0{,}03$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un pourcentage est un taux RELATIF : $\frac{P'}{P}=0{,}03$ , donc $P'=0{,}03P$ et $P(t)=P_{0}e^{0{,}03t}$ . »

Pourquoi : $P'=0{,}03$ décrit une croissance LINÉAIRE de trois centièmes d'individu par an. Le mot « pourcentage » dans un énoncé désigne toujours $\frac{P'}{P}$ , et c'est ce qui produit l'exponentielle.

Quelle méthode choisir

Quelle règle selon la FORME de l'écriture

On regarde où se trouve le $x$ , à la base ou à l'exposant, avant de regarder de quelle fonction il s'agit. C'est la place du $x$ qui décide, pas le chapitre.

Trois courbes voisines et trois règles différentes : exposant constant, base constante, puis les deux variables. C'est la place du

x

dans l'écriture qui décide, jamais l'allure.

Si base variable, exposant CONSTANT, comme $x^{5}$ ou $x^{-1/2}$ → règle de puissance $(x^{n})'=nx^{n-1}$

Exemple : $(x^{7})'=7x^{6}$
Si base CONSTANTE, exposant variable, comme $2^{x}$ ou $e^{3x}$ → règle exponentielle $(a^{u})'=a^{u}\ln a\cdot u'$

Exemple : $(5^{x^{2}})'=5^{x^{2}}\ln 5\cdot 2x$

Avec $a=e$ le facteur $\ln a$ vaut $1$ , ce qui explique pourquoi $e$ est la base de travail.
Si base ET exposant variables, comme $x^{x}$ ou $(\sin x)^{x}$ → dérivation logarithmique, aucune autre règle n'existe

Exemple : $y=x^{\sin x}$ , $\ln y=\sin x\ln x$
Si produit ou quotient d'au moins TROIS facteurs, avec des exposants ou des racines → dérivation logarithmique aussi, par confort : le logarithme transforme les produits en sommes

Exemple : $y=\frac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}$ , décortiqué plus bas

Le calcul direct est possible, mais il empile deux règles de quotient et une règle de produit : c'est là que naissent les erreurs de signe.
Si une transcendante appliquée à autre chose que $x$ tout seul → la ligne de la table, multipliée par $u'$

Exemple : $(\ln(3x^{2}+1))'=\frac{6x}{3x^{2}+1}$

Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'expression est une somme : on dérive terme à terme et l'on retombe sur l'une des branches à chaque terme.

Quel modèle exponentiel selon la phrase de l'énoncé

Les problèmes de la partie B se ressemblent tous. C'est une expression précise de l'énoncé qui désigne l'équation différentielle, donc le modèle.

Si « croît de $k$ pour cent par an », « se multiplie par deux tous les $T$ », « demi-vie » → $y'=ky$ , donc $y=y_{0}e^{kt}$ , avec un taux RELATIF constant

Exemple : demi-vie $T$ donne $k=\frac{\ln 2}{T}$ , au signe près
Si « tend vers la température ambiante », « se rapproche de la valeur $a$ » → refroidissement de Newton $y'=k(y-a)$ , donc $y=a+(y_{0}-a)e^{kt}$

Exemple : un café à $80$ degrés dans une pièce à $20$ degrés

C'est l'ÉCART à $a$ qui décroît exponentiellement, pas la température elle-même : poser $u=y-a$ ramène au cas précédent.
Si « capacité limite », « plafond », « le milieu ne peut pas nourrir plus de $K$ individus » → logistique $y'=\frac{r}{K}y(K-y)$ , courbe en S

Exemple : vitesse maximale $\frac{rK}{4}$ , atteinte quand $y=\frac{K}{2}$
Si l'énoncé donne deux mesures et demande le taux → on ne devine pas le modèle, on l'identifie : deux points suffisent à trouver $y_{0}$ et $k$ dans $y=y_{0}e^{kt}$

Exemple : $y(0)=1200$ et $y(10)=1620$ donnent $k=\frac{1}{10}\ln\frac{1620}{1200}$

Dans tous les cas, on écrit l'équation différentielle AVANT sa solution : c'est elle qui porte les points de modélisation, la résolution étant admise à ce niveau.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

La dérivation logarithmique, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Base et exposant tous deux variables, ou produit et quotient d'au moins trois facteurs à exposants.

1 Poser la fonction et annoncer la méthode : « Posons $y=\frac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}$ , définie et strictement positive pour $x>0$ . »
2 Prendre le logarithme des deux membres en justifiant qu'on en a le droit : « Sur $x>0$ , $y>0$ , donc $\ln y$ existe. » Si le signe n'est pas garanti, écrire $\ln|y|$ , dont la dérivée est la même.
3 Casser en somme AVANT de dériver, c'est là que la méthode paie : « $\ln y=3\ln x+\frac{1}{2}\ln(2x+1)-4\ln(x^{2}+1)$ . »
4 Dériver les deux membres par rapport à $x$ , en n'oubliant pas que le membre de gauche donne $\frac{y'}{y}$ et non $y'$ .
5 Multiplier par $y$ et remplacer $y$ par son expression de départ : c'est l'étape qui conclut, et celle qu'on saute.

Phrase de conclusion

Pour tout $x>0$ , $y'=\frac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{2x+1}-\frac{8x}{x^{2}+1}\right)$ .

Le piège : Écrire $\ln y=\ldots$ puis dériver le membre de gauche en $\frac{1}{y}$ au lieu de $\frac{y'}{y}$ . Le $y$ est une fonction de $x$ , donc la règle de chaîne s'applique aussi de ce côté du signe égal.

Barème : En général 1 point pour le passage au logarithme justifié, 2 points pour la décomposition en somme et sa dérivation, 1 point pour la multiplication finale par $y$ .

Résoudre un problème de décroissance exponentielle

Quand l'utiliser : Demi-vie, datation au carbone 14, élimination d'un médicament, refroidissement : dès qu'une quantité décroît d'un pourcentage constant.

1 Nommer la fonction et son unité : « Soit $N(t)$ la masse restante, en grammes, après $t$ années. »
2 Écrire l'équation différentielle et la justifier par l'énoncé : « La désintégration est proportionnelle à la quantité présente, donc $N'=-kN$ avec $k>0$ . »
3 Donner la solution générale $N(t)=N_{0}e^{-kt}$ , puis utiliser la donnée de demi-vie pour trouver $k$ : $N(T)=\frac{N_{0}}{2}$ donne $e^{-kT}=\frac{1}{2}$ , donc $k=\frac{\ln 2}{T}$ .
4 Répondre à la question posée en isolant l'inconnue par un logarithme, jamais par tâtonnement à la calculatrice.
5 Vérifier l'ordre de grandeur : si l'échantillon a perdu un peu moins de la moitié, l'âge doit être un peu inférieur à une demi-vie.

Phrase de conclusion

Avec $T=5730$ ans, $k=\frac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}$ par an; l'échantillon contenant $72\%$ du carbone 14 initial, son âge est $t=\frac{-\ln 0{,}72}{k}\approx 2716$ ans.

Le piège : Oublier le signe moins dans $N'=-kN$ puis trouver un âge négatif, et le rendre tel quel. Une quantité qui décroît a une dérivée négative : le signe se décide avant le calcul, pas après.

Barème : 1 point pour l'équation différentielle posée et justifiée, 1 point pour la détermination de $k$ par la demi-vie, 1 point pour la réponse numérique avec son unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Faire recalculer la dérivée par la calculatrice, en un point

Sur TI, MATH puis nDeriv $(f(x),x,a)$ donne la valeur numérique de $f'(a)$ ; sur Casio, le menu RUN et la commande $\frac{d}{dx}$ . On compare avec la valeur que donne votre expression au même point.

Sur $f(x)=\sin 3x$ en $x=1$ , la calculatrice affiche $-2{,}97$ ; une réponse $\cos 3x$ donnerait $-0{,}99$ , exactement trois fois moins : c'est le facteur $u'$ manquant qui se voit.
Compter les facteurs avant de tourner la page

Compter les fonctions emboîtées dans l'énoncé, puis compter les facteurs multipliés dans votre réponse. Les deux nombres doivent coïncider.

$\sin(e^{3x})$ contient trois emboîtements, donc la dérivée doit contenir trois facteurs : $\cos(e^{3x})\cdot e^{3x}\cdot 3$ . Deux facteurs seulement signalent une ligne sautée.
Confronter le domaine de la dérivée à celui de la fonction

La dérivée ne peut pas exister là où la fonction n'existe pas. On relit le domaine écrit au début, et l'on vérifie que la formule trouvée n'est utilisée nulle part ailleurs.

$\frac{2x}{x^{2}-4}$ se calcule en $x=0$ alors que $\ln(x^{2}-4)$ n'y est pas définie : le calcul ne proteste jamais, c'est à vous de le faire.
Contrôler le signe par le sens de variation

Une fonction croissante a une dérivée positive sur son domaine, une fonction décroissante une dérivée négative. On teste la formule en un point commode.

$\arccos$ décroît de $\pi$ à $0$ , donc une dérivée trouvée positive est fausse; $e^{-x}$ décroît, donc $-e^{-x}$ est bien négative, tandis que $+e^{-x}$ trahit un signe perdu.
Vérifier le mode RADIAN avant toute dérivée trigonométrique

Toutes les formules du chapitre supposent l'argument en radians. Un contrôle en trois secondes : $\sin(0{,}01)$ doit afficher $0{,}00999\ldots$ , pas $0{,}000174$ .

En mode degré, $(\sin x)'$ vaut $\frac{\pi}{180}\cos x$ : une vérification numérique donnerait alors $0{,}0175$ fois la valeur attendue, ce qui ressemble à une erreur de calcul et n'en est pas une.

L'exercice type décortiqué

Dériver un quotient à trois facteurs, puis évaluer la pente en $x=1$

Soit $y=\dfrac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}$ pour $x>0$ .

Calculer $y'$ par dérivation logarithmique, puis donner la pente de la tangente au point d'abscisse $1$ .

Étape 1

Sur $x>0$ , on a $2x+1>0$ et $x^{3}>0$ , donc $y>0$ et $\ln y$ existe. On écrit $\ln y=\ln\left(x^{3}\right)+\ln\left(\sqrt{2x+1}\right)-\ln\left((x^{2}+1)^{4}\right)$ .

Pourquoi

Justifier la positivité avant de prendre le logarithme est le premier point du barème : sans elle, l'écriture $\ln y$ n'a pas de sens et le correcteur le relève.

Étape 2

Les exposants descendent devant : $\ln y=3\ln x+\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)-4\ln(x^{2}+1)$ .

Pourquoi

C'est ici que la méthode gagne son temps : la racine devient un demi et la puissance quatrième un coefficient. Le calcul direct, lui, aurait gardé un quotient à dériver.

Étape 3

On dérive les deux membres : $\dfrac{y'}{y}=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{2x+1}-4\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{8x}{x^{2}+1}$ .

Pourquoi

Le membre de gauche donne $\frac{y'}{y}$ et non $\frac{1}{y}$ : $y$ est une fonction de $x$ , donc la règle de chaîne s'applique des deux côtés du signe égal. Chaque terme de droite est un $\frac{u'}{u}$ .

Étape 4

On multiplie par $y$ : $y'=\dfrac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{8x}{x^{2}+1}\right)$ .

Pourquoi

L'étape sautée par la moitié des copies. Tant qu'on n'a pas multiplié par $y$ , on tient le taux RELATIF, qui n'est pas la dérivée demandée.

Étape 5

En $x=1$ : $y(1)=\dfrac{1\cdot\sqrt{3}}{2^{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{16}$ et la parenthèse vaut $3+\dfrac{1}{3}-4=-\dfrac{2}{3}$ , donc $y'(1)=\dfrac{\sqrt{3}}{16}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{24}$ .

Pourquoi

On évalue APRÈS avoir dérivé symboliquement. Substituer $x=1$ dès la troisième étape ferait perdre la formule générale, que la question suivante demande presque toujours.

Étape 6

Vérification : $-\dfrac{\sqrt{3}}{24}\approx -0{,}0722$ , et la calculatrice donne $\text{nDeriv}\approx -0{,}0722$ . Le signe négatif est cohérent, la parenthèse étant négative et $y$ positif.

Pourquoi

Une vérification numérique en un point attrape à la fois une erreur de signe et un terme oublié, pour le prix de dix secondes de calculatrice.

Conclusion rédigée

Pour tout $x>0$ , $y'=\dfrac{x^{3}\sqrt{2x+1}}{(x^{2}+1)^{4}}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{8x}{x^{2}+1}\right)$ , et la tangente au point d'abscisse $1$ a pour pente $-\dfrac{\sqrt{3}}{24}\approx -0{,}072$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\ln y=3\ln x+\frac{1}{2}\ln(2x+1)-4\ln(x^{2}+1)$ puis conclure $y'=\frac{3}{x}+\frac{1}{2x+1}-\frac{8x}{x^{2}+1}$ : la multiplication finale par $y$ manque, et le résultat vaudrait $-\frac{2}{3}$ au lieu de $-\frac{\sqrt{3}}{24}$ , soit neuf fois trop grand.

À savoir par cœur

• Les trois dérivées trigonométriques en « co » portent le signe MOINS, les trois autres non.
• $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ , et $(x^{n})'=nx^{n-1}$ : c'est la place du $x$ , base ou exposant, qui choisit la règle.
• $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , mais le DOMAINE $u>0$ s'écrit avant de dériver, pas après.
• Autant de facteurs dans la dérivée que de fonctions emboîtées dans l'énoncé.
• Dérivation logarithmique : $\ln$ , casser en somme, dériver, PUIS multiplier par $y$ .
• $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ et $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , sur $|x|<1$ strictement.
• $(\cosh x)'=\sinh x$ et $(\sinh x)'=\cosh x$ : aucun signe moins chez les hyperboliques.
• Un pourcentage dans un énoncé désigne $\frac{y'}{y}$ , le taux RELATIF, donc une exponentielle.

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction du type deux puissance x ?

On n'utilise pas la règle de puissance : l'exposant est la variable, pas la base. La dérivée de deux puissance x est deux puissance x multiplié par le logarithme népérien de deux. Plus généralement, la dérivée de a puissance u vaut a puissance u, fois le logarithme népérien de a, fois la dérivée de u. Avec la base e, ce facteur vaut un et disparaît.

Quand faut-il utiliser la dérivation logarithmique ?

Dans deux cas. D'abord quand la base et l'exposant contiennent tous les deux la variable, comme x puissance x : aucune autre règle n'existe alors. Ensuite par confort, quand l'expression est un produit ou un quotient d'au moins trois facteurs avec des racines ou des puissances : le logarithme transforme ces produits en sommes, bien plus faciles à dériver.

Pourquoi la dérivée de arc cosinus est-elle négative ?

Parce que la fonction arc cosinus décroît : elle part de pi quand x vaut moins un et descend jusqu'à zéro quand x vaut un. Une fonction décroissante a une dérivée négative partout, d'où le signe moins devant un sur racine de un moins x au carré. Arc sinus, elle, croît, donc sa dérivée est positive.

Comment trouver le domaine de la dérivée d'un logarithme ?

On écrit d'abord le domaine de la fonction, en imposant que l'argument du logarithme soit strictement positif, puis on dérive. La formule obtenue reste souvent calculable en dehors de ce domaine, mais elle n'y a aucun sens. C'est le piège le plus coûteux du chapitre : le domaine s'écrit avant la dérivée, jamais après.

Que signifie un taux de croissance de trois pour cent par an ?

Cela veut dire que la dérivée divisée par la quantité vaut zéro virgule zéro trois, et non que la dérivée vaut zéro virgule zéro trois. C'est un taux relatif, qui conduit à une croissance exponentielle de la forme y égale y zéro fois e puissance zéro virgule zéro trois t. Un taux absolu, lui, donnerait une droite.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les dérivées des fonctions transcendantes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente La dérivée et ses règles Fiche suivante La dérivation implicite

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

L'Hôpital et formes indéterminées Étude de fonction et tracé de courbes Primitives et intégrale indéfinieCalcul intégral (201-NYB)L'Hôpital et formes indéterminéesCalcul intégral (201-NYB)Séries entières et TaylorCalcul intégral (201-NYB)

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices La dérivée et ses règles (201-NYA)Dérivation implicite et réciproques (201-NYA)Étude de fonction et tracé de courbes (201-NYA)Techniques d'intégration (201-NYB)Compléments québécois au lycée Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en calcul différentiel 201-NYA à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille les dérivées transcendantes au niveau réel des évaluations, de la table trigonométrique jusqu'à la dérivation logarithmique et aux modèles exponentiels.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : les dérivées des fonctions transcendantes (201-NYA)

L'essentiel

Les six dérivées trigonométriques, et le signe qui les sépare

Exponentielle et logarithme : la base change un FACTEUR, jamais la forme

Le facteur u′u'u′ : un par étage, sans exception

Réciproques et hyperboliques : les deux tables où le signe se joue

Les règles de calcul en tableau

Les six dérivées trigonométriques

Exponentielles, logarithmes, réciproques et hyperboliques

Les pièges qui coûtent des points

1. Le facteur u′u'u′ oublié dès qu'il y a deux étages

2. Dériver 2x2^{x}2x avec la règle de puissance

3. Dériver le logarithme avant d'avoir écrit son domaine

4. Croire que ln⁡(5x)\ln(5x)ln(5x) et ln⁡x\ln xlnx ont des dérivées différentes

5. Appliquer une règle de puissance à xxx^{x}xx, où base ET exposant varient

6. Arrêter la dérivation logarithmique à y′y\frac{y'}{y}yy′​

7. Le signe moins d'arccos⁡\arccosarccos, et celui de trop sur cosh⁡\coshcosh

8. Confondre le taux de variation absolu et le taux relatif

Quelle méthode choisir

Quelle règle selon la FORME de l'écriture

Quel modèle exponentiel selon la phrase de l'énoncé

La rédaction attendue

La dérivation logarithmique, rédigée pour le correcteur

Résoudre un problème de décroissance exponentielle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Dériver un quotient à trois facteurs, puis évaluer la pente en x=1x=1x=1

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction du type deux puissance x ?

Quand faut-il utiliser la dérivation logarithmique ?

Pourquoi la dérivée de arc cosinus est-elle négative ?

Comment trouver le domaine de la dérivée d'un logarithme ?

Que signifie un taux de croissance de trois pour cent par an ?

Exercices corrigés : Les dérivées des fonctions transcendantes

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en calcul différentiel 201-NYA à Montréal ?

Le facteur $u'$ : un par étage, sans exception

1. Le facteur $u'$ oublié dès qu'il y a deux étages

2. Dériver $2^{x}$ avec la règle de puissance

4. Croire que $\ln(5x)$ et $\ln x$ ont des dérivées différentes

5. Appliquer une règle de puissance à $x^{x}$ , où base ET exposant varient

6. Arrêter la dérivation logarithmique à $\frac{y'}{y}$

7. Le signe moins d' $\arccos$ , et celui de trop sur $\cosh$

Dériver un quotient à trois facteurs, puis évaluer la pente en $x=1$