Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : la dérivée et les règles de dérivation

Cette fiche ne réécrit pas le tableau des dérivées : vous l'avez dans vos notes, et le recopier ne fait perdre aucun point à personne. Elle traite ce qui décide réellement de la note au deuxième examen de 201-NYA : reconnaître la structure d'une expression avant de choisir une règle, ne pas perdre la dérivée intérieure, et rédiger une équation de tangente comme le correcteur l'attend.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Avant de dériver, on lit la STRUCTURE de l'expression, jamais ses symboles : la règle à appliquer est décidée par la DERNIÈRE opération effectuée. Presque toutes les pertes de points de ce chapitre viennent d'avoir vu un $\sin$ ou un carré au lieu de voir un produit, un quotient ou un emboîtement.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Limites et continuité Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Variation inverse et proportionnalitéSecondaire 3
2Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
4La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
5Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
6Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
7Fonctions et domaine
8Limites et continuité

Notions couvertes

Taux de variation moyen
Dérivée comme limite
Nombre dérivé
Règle du produit
Règle du quotient
Règle de chaîne
Dérivation implicite
Dérivation logarithmique
Dérivées des fonctions transcendantes
Dérivées d'ordre supérieur
Dérivabilité et continuité
Équation de la tangente

L'essentiel

La dérivée est une limite, et laquelle

• $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , ou de façon équivalente $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
• Le quotient est TOUJOURS de forme $\frac{0}{0}$ : c'est pour cela qu'il faut transformer l'écriture, jamais substituer $h=0$ .
• Interprétation : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est la pente de la SÉCANTE; sa limite est la pente de la TANGENTE.
• $f'$ est une FONCTION, $f'(a)$ est un NOMBRE. Cette distinction décide de la moitié des questions de tangente.

La sécante par

(2;4)

(3;9)

a pour pente

5

; en rapprochant le second point du premier, elle bascule vers la tangente en

(2;4)

, de pente

4

. C'est ce basculement, et lui seul, que la limite calcule.

Quand l'énoncé dit « par la définition » ou « à partir de la limite », toute réponse obtenue par les règles vaut zéro, même juste.

Les règles, dans l'ordre où on les cherche

• Somme et multiple : $(u\pm v)'=u'\pm v'$ et $(ku)'=ku'$ . Ce sont les SEULES règles qui se distribuent.
• Produit : $(uv)'=u'v+uv'$ . Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , numérateur dans CET ordre.
• Chaîne : $\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ . Le second facteur est la dérivée intérieure.
• Transcendantes : $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , $(\tan x)'=\sec^{2}x$ , $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ , $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ , toutes en RADIANS.
• Composées usuelles : $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , $\left(u^{n}\right)'=nu^{n-1}u'$ .

Le facteur $u'$ qui apparaît partout est la même chose : la dérivée intérieure. L'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Ce qui n'est PAS une règle

• $(uv)'\neq u'v'$ : le produit ne se dérive pas terme à terme.
• $\left(\frac{u}{v}\right)'\neq\frac{u'}{v'}$ : le quotient non plus.
• $\left(x^{x}\right)'\neq x\cdot x^{x-1}$ : la règle de puissance suppose un exposant CONSTANT.
• $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ , et non $x\,a^{x-1}$ : base constante, exposant variable, c'est l'exponentielle.
• Continuité n'entraîne PAS dérivabilité; dérivabilité entraîne continuité. L'implication ne va que dans un sens.

Lire la non-dérivabilité sur un graphe d'examen

• La question ne demande pas une définition, elle demande un balayage : on parcourt la courbe de gauche à droite et on s'arrête partout où le crayon change brutalement de direction, se lève, ou part à la verticale.
• Une DISCONTINUITÉ suffit à conclure, sans calcul : non continue, donc non dérivable. Les coins et les tangentes verticales, eux, se produisent sur des morceaux parfaitement continus, et c'est ce qui les rend faciles à manquer.
• Un morceau CONSTANT n'est pas un point à dérivée nulle, c'est un INTERVALLE entier : répondre par une seule abscisse là où l'on attend $f'=0$ sur $]a,b[$ coûte la question.
• Le signe de $f'$ ne se discute qu'aux points où $f'$ EXISTE. Annoncer que la dérivée est positive « en » un coin est une faute de logique, pas d'étourderie.

Un graphe d'examen ne trie pas les accidents : ici un coin en

x=-3

, un saut en

x=0

et une tangente verticale en

x=3

, plus un morceau constant sur

]-6\,;-3[

où

f'

est nulle partout et non en un point.

« Où $f$ n'est-elle pas dérivable ? » attend une LISTE d'abscisses ET une raison par abscisse. Citer les points sans nommer la cause vaut la moitié des points.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les dérivées usuelles

La table que l'examen suppose sue. Chaque ligne est donnée avec le nombre qu'elle produit en un point, parce qu'une dérivée fausse se repère plus vite sur une pente que sur une formule.

$f(x)$	Où c'est valable	$f'(x)$
$k$ , une constante	partout	$0$
Exemple : $\left(\pi^{2}\right)'=0$ , et $\left(\sqrt{2}\,x^{3}\right)'=3\sqrt{2}\,x^{2}$ : tout ce qui ne contient pas $x$ est une constante.
$x^{n}$ , $n$ constant	$n$ réel quelconque	$nx^{n-1}$
Exemple : $\left(x^{5}\right)'=5x^{4}$ , donc la pente en $x=2$ vaut $80$ .
$\sqrt{x}$	$x>0$ strictement	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Exemple : En $x=9$ , la pente vaut $\frac{1}{6}\approx 0{,}167$ . En $x=0$ elle n'existe pas, la tangente y est verticale.
$\frac{1}{x}$	$x\neq 0$	$-\frac{1}{x^{2}}$
Exemple : En $x=2$ , la pente vaut $-0{,}25$ : toujours négative, ce qui se voit sur les deux branches de l'hyperbole.
$\mathrm{e}^{x}$	partout	$\mathrm{e}^{x}$
Exemple : La seule fonction égale à sa dérivée. En $x=0$ , la pente vaut $1$ , en $x=1$ elle vaut $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ .
$a^{x}$ , $a>0$	partout	$a^{x}\ln a$
Exemple : $\left(2^{x}\right)'=2^{x}\ln 2$ , donc la pente en $x=3$ vaut $8\ln 2\approx 5{,}55$ , et non $3\times 2^{2}=12$ .
$\ln x$	$x>0$	$\frac{1}{x}$
Exemple : En $x=4$ , la pente vaut $0{,}25$ . Avec $\ln\|x\|$ , la même dérivée $\frac{1}{x}$ vaut sur tout $x\neq 0$ .
$\sin x$	en radians	$\cos x$
Exemple : En $x=0$ , la pente vaut $1$ : c'est exactement la limite $\frac{\sin x}{x}\to 1$ vue au chapitre précédent.
$\cos x$	en radians	$-\sin x$
Exemple : En $x=\frac{\pi}{2}$ , la pente vaut $-1$ . Le signe moins est la seule chose à retenir de cette ligne.
$\tan x$	$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$	$\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$
Exemple : En $x=0$ , la pente vaut $1$ ; en $x=\frac{\pi}{4}$ elle vaut déjà $2$ . Une dérivée qui ne s'annule jamais, donc une fonction strictement croissante sur chaque branche.

Chaque ligne se lit avec un $u$ à la place du $x$ , et un facteur $u'$ derrière : $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , $\left(u^{n}\right)'=nu'u^{n-1}$ . La table donne l'extérieur, c'est vous qui écrivez $u'$ .

Les cinq opérations, et ce qu'elles produisent

On lit la DERNIÈRE opération de l'expression, celle qu'on effectuerait en dernier avec une calculatrice, et on prend la ligne correspondante.

Forme de $f$	Ce qu'on pose au brouillon	$f'$
$u+v$	rien, on dérive chaque morceau	$u'+v'$
Exemple : $\left(x^{3}+\sin x\right)'=3x^{2}+\cos x$ , qui vaut $3+\cos 1\approx 3{,}540$ en $x=1$ .
$ku$ , $k$ constante	on sort $k$	$ku'$
Exemple : $\left(5\ln x\right)'=\frac{5}{x}$ , donc la pente en $x=5$ vaut exactement $1$ .
$uv$	$u$ , $v$ , $u'$ , $v'$	$u'v+uv'$
Exemple : $\left(x^{2}\sin x\right)'=2x\sin x+x^{2}\cos x$ , qui vaut $-\pi^{2}\approx -9{,}87$ en $x=\pi$ . Avec $u'v'$ on trouverait $2\pi\cos\pi\approx -6{,}28$ , une autre pente.
$\frac{u}{v}$	$u$ , $v$ , $u'$ , $v'$	$\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
Exemple : $\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^{2}}$ , donc $0{,}25$ en $x=1$ . Le numérateur se lit dans CET ordre, sinon la pente change de signe.
$v\bigl(u(x)\bigr)$	$u$ intérieure et $u'$	$u'\times v'\bigl(u(x)\bigr)$
Exemple : $\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ , qui vaut $\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894$ en $x=2$ .
$u^{n}$	$u$ et $u'$	$nu'u^{n-1}$
Exemple : $\left((3x+1)^{4}\right)'=12(3x+1)^{3}$ , donc $768$ en $x=1$ . Développer d'abord donnerait le même nombre après beaucoup plus de lignes.

Aucune de ces lignes ne se distribue sauf les deux premières : $(uv)'\neq u'v'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'\neq\frac{u'}{v'}$ . C'est l'erreur la plus fréquente du premier examen, et elle se détecte en comparant deux pentes numériques.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver un produit terme à terme

2 points, et toute la question si la suite en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\left(x^{2}\sin x\right)'=2x\cos x$

Ce qu'il faut écrire

$\left(x^{2}\sin x\right)'=2x\sin x+x^{2}\cos x$

Pourquoi : Un contre-exemple règle la question une fois pour toutes : avec $u=v=x$ , le produit est $x^{2}$ dont la dérivée est $2x$ , alors que $u'v'=1$ . La règle du produit n'a pas deux termes par élégance, elle en a deux parce que chacun des deux facteurs varie.

2. Perdre la dérivée intérieure dans la règle de chaîne

1 point par occurrence, et elles sont nombreuses

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\left(\sin(3x)\right)'=\cos(3x)$

Ce qu'il faut écrire

$\left(\sin(3x)\right)'=3\cos(3x)$

Pourquoi : Le facteur oublié vaut ici $3$ , donc la réponse est trois fois trop petite. Le contrôle en dix secondes : la dérivée de $\sin(3x)$ en $0$ doit valoir la pente de la courbe à l'origine, visiblement plus raide que celle de $\sin x$ . Une réponse égale à $1$ au lieu de $3$ se repère sans calcul.

3. Inverser l'ordre au numérateur de la règle du quotient

toute la question, car le signe du résultat est inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^{2}}$

Ce qu'il faut écrire

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , le HAUT dérivé en premier

Pourquoi : Le résultat n'est pas approximatif, il est l'opposé du bon : un tableau de variations construit dessus est intégralement faux. Contrôle instantané sur $\frac{1}{x}$ , dont la dérivée doit être $-\frac{1}{x^{2}}$ , donc négative : la bonne formule donne $\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ ✓, la mauvaise donne $+\frac{1}{x^{2}}$ .

4. Écrire la tangente avec la fonction dérivée au lieu du nombre dérivé

2 points, alors que la dérivée était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f'(x)=3x^{2}$ , donc la tangente en $x=2$ est $y=3x^{2}(x-2)+8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'(2)=12$ , donc la tangente est $y=12(x-2)+8$ , soit $y=12x-16$ . »

Pourquoi : Une tangente est une DROITE : son équation ne peut contenir aucun $x^{2}$ . On substitue $a$ dans $f'$ avant d'écrire quoi que ce soit. Le contrôle est visuel : si l'équation finale n'est pas de la forme $y=mx+p$ , c'est que la substitution n'a pas été faite.

5. Croire qu'une fonction continue est dérivable

toute la question de dérivabilité, souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f$ est continue en $0$ , donc $f'(0)$ existe. »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est continue en $0$ , mais les deux limites du taux d'accroissement diffèrent, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ . »

Trois courbes continues, aucune dérivable au point marqué : le coin de

|x|

a deux pentes opposées, la pointe de

x^{2/3}

deux pentes infinies,

x^{1/3}

une seule pente, verticale.

Pourquoi : $|x|$ , $x^{2/3}$ et $\sqrt[3]{x}$ sont continues partout et pourtant non dérivables en $0$ , pour trois raisons différentes : un coin, un rebroussement, une tangente verticale. L'implication ne va que dans l'autre sens : dérivable entraîne continue, ce qui sert à montrer qu'une fonction discontinue n'est certainement pas dérivable.

6. Appliquer la règle de puissance à un exposant variable

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\left(x^{x}\right)'=x\cdot x^{x-1}=x^{x}$

Ce qu'il faut écrire

$y=x^{x}$ donne $\ln y=x\ln x$ , puis $\frac{y'}{y}=\ln x+1$ , donc $\left(x^{x}\right)'=x^{x}\left(\ln x+1\right)$

Pourquoi : La règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ exige un exposant CONSTANT, et $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ exige une base constante. Quand les deux varient, aucune des deux ne s'applique et la dérivation logarithmique est la seule voie. Contrôle numérique en $x=1$ : la bonne formule donne $1\cdot(0+1)=1$ , ce que confirme le taux d'accroissement.

7. Oublier le facteur $y'$ en dérivation implicite

toute la question, l'équation obtenue ne contenant plus l'inconnue

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\,y'$ , parce que $y$ est une fonction de $x$

Pourquoi : En dérivation implicite, chaque $y$ est une fonction inconnue de $x$ : dériver un $y$ produit toujours un $y'$ , exactement comme la règle de chaîne le prévoit. Le signal d'alarme est immédiat : si l'équation obtenue ne contient aucun $y'$ , il n'y a plus rien à isoler et la copie s'arrête.

8. Dériver un sinus avec un argument en degrés

1 point, plus tous ceux qui dépendent de la valeur numérique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La calculatrice est en degrés, donc $(\sin x)'=\cos x$ marche quand même. »

Ce qu'il faut écrire

« Toutes les formules trigonométriques de dérivation supposent des RADIANS; en degrés, $(\sin x)'=\frac{\pi}{180}\cos x$ . »

Pourquoi : La formule vient de $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ , qui vaut $\frac{\pi}{180}\approx 0{,}01745$ en degrés. Une pente qui sort cinquante-sept fois trop petite, ou l'apparition du nombre $0{,}01745$ à l'écran, sont les deux signaux de ce réglage.

9. Dériver une constante parce qu'elle contient un symbole

1 à 2 points, sur la question réputée facile de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $f(x)=5x^{4}+\sqrt{2}\,x^{3}-\pi^{2}$ , le terme $-\pi^{2}$ se dérive en $-2\pi$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\pi$ est un NOMBRE, donc $\pi^{2}$ est une constante et sa dérivée vaut $0$ ; $\sqrt{2}$ est un coefficient, donc $\left(\sqrt{2}\,x^{3}\right)'=3\sqrt{2}\,x^{2}$ . Au total $f'(x)=20x^{3}+3\sqrt{2}\,x^{2}$ . »

Pourquoi : La règle est sans exception : tout ce qui ne contient pas la variable est une constante, quelle que soit sa complication apparente. Le même réflexe fait buter sur $\sqrt[3]{8x^{4}}$ , qu'il suffit de réécrire $2x^{4/3}$ pour retomber sur la règle de puissance et obtenir $\frac{8}{3}x^{1/3}$ . Avant de dériver, entourez ce qui contient $x$ : le reste est un nombre.

10. Croire qu'une tangente ne touche la courbe qu'en un seul point

toute la question quand l'énoncé demande où la tangente recoupe la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cette droite recoupe la courbe plus loin, donc ce n'est pas la tangente. »

Ce qu'il faut écrire

« Tangente est une propriété LOCALE, qui décrit le contact en un point. La tangente à $f(x)=x^{3}-\frac{9}{2}x^{2}-12x+2$ en $(0,2)$ est $y=-12x+2$ , et elle recoupe la courbe en $(4{,}5\,;-52)$ . »

Pourquoi : Résoudre $f(x)=-12x+2$ donne $x^{2}\left(x-\frac{9}{2}\right)=0$ : la racine DOUBLE en $0$ est la signature du contact tangentiel, la racine simple en $\frac{9}{2}$ est une intersection ordinaire. C'est la multiplicité de la racine qui distingue toucher de couper, jamais le nombre de points d'intersection. Le raisonnement fonctionne dans les deux sens et sert à retrouver un point de tangence quand l'énoncé donne la droite au lieu du point.

Quelle méthode choisir

Quelle règle, selon la dernière opération de l'expression

On ne regarde pas les symboles présents, on cherche la DERNIÈRE opération qu'on effectuerait pour évaluer l'expression en un nombre. C'est elle qui nomme la règle.

Si la dernière opération est une addition ou une soustraction → dériver terme à terme, c'est la seule règle qui se distribue

Exemple : $\left(x^{3}+\sin x\right)'=3x^{2}+\cos x$
Si la dernière opération est une multiplication de deux facteurs qui dépendent tous deux de $x$ → règle du produit $u'v+uv'$

Exemple : $\left(x^{2}e^{x}\right)'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=xe^{x}(x+2)$

Si l'un des facteurs est une CONSTANTE, ce n'est pas un produit au sens de la règle : la constante sort simplement.
Si la dernière opération est une division → règle du quotient $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , ou réécriture en puissance négative quand le dénominateur est un monôme

Exemple : $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$ se dérive en $-6x^{-3}$ , sans la règle du quotient
Si la dernière opération est l'application d'une fonction à une expression, autrement dit un emboîtement → règle de chaîne : dériver l'extérieur en gardant l'intérieur, puis multiplier par la dérivée intérieure

Exemple : $\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Si l'exposant contient la variable → dérivation logarithmique : prendre le logarithme des deux membres, dériver, puis multiplier par $y$

Exemple : $y=\left(\sin x\right)^{x}$ donne $\ln y=x\ln\sin x$
Si l'équation n'est pas résolue en $y$ → dérivation implicite : dériver les deux membres par rapport à $x$ , chaque $y$ produisant un $y'$ , puis isoler $y'$

Exemple : $x^{2}+y^{2}=25$ donne $2x+2yy'=0$ , donc $y'=-\frac{x}{y}$

Un emboîtement de trois couches se dérive de l'extérieur vers l'intérieur, une couche à la fois, et le résultat est un PRODUIT de trois facteurs. Compter les couches avant de commencer évite d'en oublier une.

Faut-il simplifier avant de dériver

Une minute de réécriture économise souvent cinq minutes de calcul et supprime la moitié des erreurs de signe.

Si le dénominateur est un monôme → réécrire en puissances négatives et dériver terme à terme

Exemple : $\frac{x^{3}+2x}{x^{2}}=x+2x^{-1}$ , de dérivée $1-2x^{-2}$
Si l'expression est un produit de racines ou de puissances de la même base → regrouper les exposants avant de dériver

Exemple : $\sqrt{x}\cdot x^{2}=x^{5/2}$ , de dérivée $\frac{5}{2}x^{3/2}$
Si l'expression contient un logarithme de produit, de quotient ou de puissance → développer avec les propriétés du logarithme avant de dériver

Exemple : $\ln\frac{x^{2}\sqrt{x+1}}{x-3}=2\ln x+\frac{1}{2}\ln(x+1)-\ln(x-3)$
Si aucune de ces formes → dériver directement, et simplifier seulement à la fin si la question le demande

Attention toutefois : la simplification peut changer le DOMAINE. $\frac{x^{2}-4}{x-2}$ vaut $x+2$ sauf en $2$ , où la fonction initiale n'est pas définie et n'a donc pas de dérivée.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

L'équation d'une tangente, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande la tangente, la normale, ou l'approximation linéaire en un point.

1 Calculer $f(a)$ et l'écrire : « $f(2)=8$ , donc le point de contact est $A(2\,;8)$ . »
2 Calculer la FONCTION dérivée $f'(x)$ , en nommant la règle utilisée.
3 Substituer : « $f'(2)=12$ », un NOMBRE, qui est la pente.
4 Écrire l'équation sous la forme point-pente $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ , puis développer.
5 Vérifier que le point de contact satisfait l'équation trouvée.

Phrase de conclusion

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y=12(x-2)+8$ , soit $y=12x-16$ .

Le piège : Laisser un $x$ dans la pente. Une tangente est une droite : si l'équation finale contient un $x^{2}$ ou un $\sin x$ , la substitution de $a$ dans $f'$ a été oubliée.

Barème : En général 1 point pour $f(a)$ , 1 point pour $f'(x)$ , 1 point pour $f'(a)$ , 1 point pour l'équation finale mise sous forme réduite.

La dérivée par la définition, quand l'énoncé l'exige

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « par la définition », « à partir de la limite » ou « sans utiliser les règles ». Toute réponse obtenue autrement vaut zéro.

1 Écrire la limite complète, avec le $\lim_{h\to 0}$ , avant tout calcul.
2 Développer $f(a+h)$ sans simplifier trop vite, et poser la différence $f(a+h)-f(a)$ .
3 Constater la forme $\frac{0}{0}$ et transformer : factoriser $h$ , ou multiplier par le conjugué si une racine apparaît.
4 Simplifier le $h$ en disant explicitement que $h\neq 0$ , puisque $h$ TEND vers zéro sans l'atteindre.
5 Passer à la limite et conclure par une phrase.

Phrase de conclusion

Le quotient d'accroissement vaut $2a+h$ pour tout $h\neq 0$ , donc $f'(a)=\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$ .

Le piège : Substituer $h=0$ avant d'avoir simplifié, ce qui donne $\frac{0}{0}$ et bloque la copie. La forme indéterminée n'est pas un obstacle, c'est l'ordre de transformer l'écriture.

Barème : La limite écrite au départ vaut souvent autant que le calcul lui-même : elle prouve qu'on a compris ce qu'on calcule.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler la dérivée par un taux d'accroissement numérique

Choisir un $a$ simple, puis calculer $\frac{f(a+0{,}001)-f(a-0{,}001)}{0{,}002}$ à la calculatrice. Le résultat doit coïncider avec $f'(a)$ à deux ou trois décimales près.

Sur $f(x)=x^{2}\sin x$ en $a=1$ : la formule donne $2\sin 1+\cos 1\approx 2{,}223$ , et le taux numérique affiche $2{,}223$ ✓. La dérivée fausse $2\cos 1\approx 1{,}081$ est éliminée en dix secondes.
Compter les termes attendus

Un produit de deux facteurs donne DEUX termes, un quotient donne deux termes au numérateur, une chaîne à trois couches donne un produit de TROIS facteurs. Un résultat qui n'a pas la bonne forme signale une règle sautée.

Une dérivée de $x^{2}e^{x}$ qui tient en un seul terme est forcément fausse; une dérivée de $\sin\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)$ qui n'a que deux facteurs a perdu une couche.
Vérifier le signe sur un point où le sens de variation est évident

Prendre un point où la fonction monte visiblement et contrôler que la dérivée y est positive, et inversement. C'est ce qui attrape l'inversion du numérateur dans la règle du quotient.

$\frac{1}{x}$ décroît sur $\left]0,+\infty\right[$ , donc sa dérivée doit être négative : un $+\frac{1}{x^{2}}$ trahit la formule inversée.
Tester la formule sur un cas particulier connu

Substituer une valeur qui ramène l'expression à un cas déjà connu, et comparer.

La formule $\left(u^{n}\right)'=nu^{n-1}u'$ avec $u=x$ doit redonner $nx^{n-1}$ , puisque $u'=1$ . Si ce n'est pas le cas, la formule mémorisée est fausse.
Relire le verbe de l'énoncé

« Dériver », « calculer $f'(2)$ », « donner l'équation de la tangente » et « montrer que $f$ est dérivable » demandent quatre réponses de natures différentes : une fonction, un nombre, une équation de droite, une comparaison de deux limites.

Une dérivée impeccable en réponse à « montrer que $f$ est dérivable en $0$ » ne rapporte rien : la question portait sur l'existence de la limite du taux d'accroissement.

L'exercice type décortiqué

Tangente à une courbe définie implicitement, comme à l'examen

La courbe d'équation $x^{2}+xy+y^{2}=7$ passe par le point $A(1\,;2)$ .

Déterminer l'équation de la tangente à cette courbe au point $A$ .

À une même abscisse, l'ellipse

x^{2}+xy+y^{2}=7

associe DEUX ordonnées : aucune fonction

y=f(x)

ne la décrit en entier, d'où la dérivation implicite.

Étape 1

Vérification préalable : $1^{2}+1\times 2+2^{2}=1+2+4=7$ ✓, le point $A$ appartient bien à la courbe.

Pourquoi

Dix secondes qui évitent de résoudre un faux problème. Un point hors de la courbe rend la suite entièrement vaine, et le correcteur commence toujours par là.

Étape 2

On dérive les deux membres par rapport à $x$ , en traitant $y$ comme une fonction inconnue de $x$ : $\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x$ , $\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\,y'$ , et $\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y+x\cdot y'$ par la règle du produit. Le membre de droite est constant, sa dérivée est nulle. D'où $2x+y+xy'+2yy'=0$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui porte tout le chapitre : chaque $y$ dérivé produit un $y'$ par la règle de chaîne, et le terme croisé $xy$ est un vrai produit de deux fonctions de $x$ . Une copie qui écrit $2x+y+2yy'=0$ a traité $xy$ comme une constante fois $y$ .

Étape 3

On regroupe les termes en $y'$ : $y'(x+2y)=-(2x+y)$ , d'où $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$ .

Pourquoi

Isoler $y'$ AVANT de substituer donne une formule valable en tout point de la courbe, réutilisable si l'énoncé demande une seconde tangente. Substituer d'abord obligerait à tout recommencer.

Étape 4

On substitue les coordonnées de $A$ : $y'(1\,;2)=-\frac{2(1)+2}{1+2(2)}=-\frac{4}{5}$ .

Pourquoi

En dérivation implicite, la pente dépend des DEUX coordonnées, pas seulement de l'abscisse. C'est la traduction algébrique du fait qu'une même abscisse porte deux points de la courbe, avec deux tangentes différentes.

Étape 5

Forme point-pente : $y-2=-\frac{4}{5}(x-1)$ , soit $y=-\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}+2=-\frac{4}{5}x+\frac{14}{5}$ .

Pourquoi

On développe pour livrer une équation réduite, ce que le barème demande presque toujours, mais la forme point-pente est écrite d'abord parce qu'elle est la moins risquée : elle contient le point et la pente, visibles au premier coup d'œil.

Étape 6

Vérification : en $x=1$ , la tangente donne $-\frac{4}{5}+\frac{14}{5}=\frac{10}{5}=2$ ✓, l'ordonnée de $A$ . Et la pente est négative, ce que confirme le dessin : au point $A$ , la courbe descend.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants, l'un algébrique et l'autre graphique. Ils attrapent aussi bien une erreur de signe qu'une erreur d'arithmétique dans le développement.

Conclusion rédigée

La tangente à la courbe $x^{2}+xy+y^{2}=7$ au point $A(1\,;2)$ a pour équation $y=-\frac{4}{5}x+\frac{14}{5}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\frac{d}{dx}(xy)=y'$ en oubliant la règle du produit, ce qui donne $2x+xy'+2yy'=0$ puis une pente de $-\frac{2}{5}$ . Le terme croisé $xy$ est le seul endroit du calcul où deux règles se combinent, produit ET chaîne, et c'est là que se joue la question.

À savoir par cœur

• $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , toujours de forme $\frac{0}{0}$ : on transforme, on ne substitue pas.
• $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , le numérateur du quotient dans CET ordre.
• Chaîne : $\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\,g'(x)$ . Le second facteur, la dérivée intérieure, est ce qu'on oublie.
• $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , $\left(u^{n}\right)'=nu^{n-1}u'$ : le même $u'$ partout.
• Exposant variable : dérivation logarithmique. $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ , jamais $x\,a^{x-1}$ .
• Dérivation implicite : chaque $y$ dérivé donne un $y'$ ; sans $y'$ dans l'équation, il n'y a rien à isoler.
• Tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , où $f'(a)$ est un NOMBRE. Aucune tangente ne contient de $x^{2}$ .
• Dérivable entraîne continue; la réciproque est fausse, comme le montre $|x|$ en $0$ .
• Trois façons de ne pas être dérivable : point anguleux (les deux côtés diffèrent), tangente verticale (les deux côtés s'accordent sur l'infini), discontinuité. Dans les deux premiers cas, la fonction est pourtant continue.
• Tout ce qui ne contient pas la variable est une constante : $\left(\pi^{2}\right)'=0$ et $\left(\sqrt{2}\,x^{3}\right)'=3\sqrt{2}\,x^{2}$ .

Questions fréquentes

Comment savoir quelle règle de dérivation utiliser ?

On repère la dernière opération qu'on effectuerait pour évaluer l'expression. Une addition se dérive terme à terme, une multiplication appelle la règle du produit, une division la règle du quotient, et une fonction appliquée à une expression appelle la règle de chaîne. C'est la structure de l'expression qui décide, jamais les symboles qui y figurent.

Pourquoi faut-il multiplier par la dérivée intérieure ?

Parce que la variation de l'expression intérieure est amplifiée ou réduite avant d'entrer dans la fonction extérieure. Si l'intérieur varie trois fois plus vite, la composée varie trois fois plus vite aussi. C'est exactement ce que dit la règle de chaîne, et l'oublier donne une réponse fausse d'un facteur constant.

Quelle est la différence entre f prime de x et f prime de a ?

La première est une fonction, qui donne la pente en chaque point. La seconde est un nombre, la pente au point d'abscisse a précisément. Une équation de tangente utilise le nombre, jamais la fonction, et c'est pourquoi une tangente est toujours une droite dont l'équation ne contient aucun carré ni aucun sinus.

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non, et c'est une erreur classique. La valeur absolue est continue partout mais présente un coin à l'origine, où les pentes à gauche et à droite valent moins un et plus un. L'implication ne fonctionne que dans l'autre sens : une fonction dérivable en un point y est nécessairement continue.

Comment dériver quand y n'est pas isolé dans l'équation ?

On utilise la dérivation implicite. On dérive les deux membres par rapport à x en traitant y comme une fonction de x, ce qui fait apparaître un facteur y prime chaque fois qu'un y est dérivé, puis on regroupe et on isole y prime. La pente obtenue dépend alors des deux coordonnées du point.

Comment dériver x puissance x ?

Ni la règle de puissance ni celle de l'exponentielle ne s'appliquent, car la base et l'exposant varient tous les deux. On passe par la dérivation logarithmique : on prend le logarithme des deux membres, on dérive, puis on multiplie par y. Le résultat est x puissance x multiplié par le logarithme de x plus un.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivée et ses règles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Limites et continuité Fiche suivante Les dérivées des fonctions transcendantes

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les dérivées des fonctions transcendantes La dérivation implicite Différentielle et approximation linéaire Applications de la dérivée Le mouvement rectiligne Rolle et les accroissements finis Bissection, Newton et point fixe Cinématique en une et deux dimensionsMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : limites et continuité Examen pratique 2 : la dérivée et ses règles Exercices : taux de variation liés Exercices : applications de la dérivée Exercices corrigés : La dérivée et les règles de dérivation Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en calcul différentiel 201-NYA à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes qui coûtent des points à l'examen de calcul différentiel, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des évaluations de cégep.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : la dérivée et les règles de dérivation

L'essentiel

La dérivée est une limite, et laquelle

Les règles, dans l'ordre où on les cherche

Ce qui n'est PAS une règle

Lire la non-dérivabilité sur un graphe d'examen

Les règles de calcul en tableau

Les dérivées usuelles

Les cinq opérations, et ce qu'elles produisent

Les pièges qui coûtent des points

1. Dériver un produit terme à terme

2. Perdre la dérivée intérieure dans la règle de chaîne

3. Inverser l'ordre au numérateur de la règle du quotient

4. Écrire la tangente avec la fonction dérivée au lieu du nombre dérivé

5. Croire qu'une fonction continue est dérivable

6. Appliquer la règle de puissance à un exposant variable

7. Oublier le facteur y′y'y′ en dérivation implicite

8. Dériver un sinus avec un argument en degrés

9. Dériver une constante parce qu'elle contient un symbole

10. Croire qu'une tangente ne touche la courbe qu'en un seul point

Quelle méthode choisir

Quelle règle, selon la dernière opération de l'expression

Faut-il simplifier avant de dériver

La rédaction attendue

L'équation d'une tangente, rédigée pour le correcteur

La dérivée par la définition, quand l'énoncé l'exige

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Tangente à une courbe définie implicitement, comme à l'examen

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir quelle règle de dérivation utiliser ?

Pourquoi faut-il multiplier par la dérivée intérieure ?

Quelle est la différence entre f prime de x et f prime de a ?

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Comment dériver quand y n'est pas isolé dans l'équation ?

Comment dériver x puissance x ?

Exercices corrigés : La dérivée et ses règles

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en calcul différentiel 201-NYA à Montréal ?

7. Oublier le facteur $y'$ en dérivation implicite