Exercices corrigés : la différentielle et l'approximation linéaire (201-SN2-RE, ancien 201-NYA)

$f'(x)=6x^{2}-5$, donc $f'(2)=19$ et $dy=19\times 0{,}1=1{,}9$. Piège : calculer l'accroissement réel $\Delta y=f(2{,}1)-f(2)\approx 2{,}022$, qui n'est pas ce qu'on demande.

$f'(x)=-\frac{4}{x^{2}}$, donc $f'(5)=-\frac{4}{25}$ et $dy=-\frac{4}{25}\times(-0{,}25)=\frac{1}{25}=0{,}04$. Deux signes moins : la fonction décroît et l'on recule, donc $y$ augmente. Piège : perdre l'un des deux signes et répondre $-0{,}04$.

$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$, donc $f'(27)=\frac{2}{3\times 3}=\frac{2}{9}$ et $dy=\frac{2}{9}\times(-0{,}9)=-0{,}2$. Piège : l'exposant $-\frac{1}{3}$ donne une racine cubique AU DÉNOMINATEUR, pas un produit par $\sqrt[3]{27}$.

$f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $a=64$, $dx=63{,}2-64=-0{,}8$. Donc $L=\sqrt{64}+\frac{1}{16}\times(-0{,}8)=8-0{,}05=7{,}95$. Piège : prendre $dx=+0{,}8$ et répondre $8{,}05$, qui dépasse $8$ alors que $63{,}2<64$.

$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$, $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$, donc $f'(27)=\frac{1}{3\times 9}=\frac{1}{27}$. Avec $dx=0{,}54$ : $L=3+\frac{0{,}54}{27}=3+0{,}02=3{,}02$. Piège : $\sqrt[3]{27^{2}}=9$, pas $3$.

$f(x)=x^{4}$, $f'(x)=4x^{3}$, $f'(3)=108$, $dx=-0{,}02$. Donc $L=81+108\times(-0{,}02)=81-2{,}16=78{,}84$. Piège : appuyer sur $a=2{,}98$ lui-même, qui ramène au calcul qu'on voulait éviter.

$f(x)=\frac{1}{x}$, $f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$, $f'(10)=-\frac{1}{100}$, $dx=-0{,}1$. Donc $L=\frac{1}{10}+\left(-\frac{1}{100}\right)(-0{,}1)=0{,}1+0{,}001=0{,}101$. Le dénominateur diminue, la fraction augmente : le signe de la correction se vérifie avant même de calculer.

$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$, $f(1)=0$ et $f'(1)=1$, $dx=-0{,}04$. Donc $L=0+1\times(-0{,}04)=-0{,}04$. Le logarithme d'un nombre inférieur à $1$ est négatif : l'estimation doit l'être aussi.

$f(x)=e^{x}$, $f'(x)=e^{x}$, donc $f(1)=f'(1)=e$ et $dx=-0{,}03$. Donc $L=e+e\times(-0{,}03)=0{,}97\,e\approx 2{,}637$. Piège : appuyer en $0$ avec $1+x$, qui donnerait $1{,}97$, beaucoup trop loin du point d'appui.

$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, et $dx=0{,}5-\frac{\pi}{6}\approx-0{,}02360$. Donc $L=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(0{,}5-\frac{\pi}{6}\right)\approx 0{,}5-0{,}02044=0{,}4796$. Piège : prendre $dx=0{,}5$, comme si l'on partait de $0$, ou laisser la machine en degrés.

Définition : $dy=f'(x)\,dx$, où $dx$ est un accroissement arbitraire (et non nécessairement infinitésimal) de la variable. Ici $f(x)=x^{2}$, donc $f'(x)=2x$ et $f'(3)=6$. Avec $dx=0{,}1$ : $dy=6\times 0{,}1=0{,}6$. Notez que $dy$ dépend de DEUX quantités, le point $x$ où l'on se place et l'accroissement $dx$ que l'on s'accorde.

$\Delta y=f(3{,}1)-f(3)=9{,}61-9=0{,}61$. L'écart vaut $\Delta y-dy=0{,}61-0{,}6=0{,}01$. Il vient d'un calcul algébrique exact : $\Delta y=(3+dx)^{2}-3^{2}=6\,dx+(dx)^{2}$, alors que $dy=6\,dx$. L'écart est donc exactement $(dx)^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01$ ✓. Autrement dit, la différentielle capture la partie LINÉAIRE de l'accroissement et abandonne le terme quadratique. C'est le sens précis de « la dérivée linéarise la fonction ».

Avec $dx=0{,}01$ : $dy=0{,}06$, $\Delta y=(3{,}01)^{2}-9=0{,}0601$, écart $=0{,}0001=(dx)^{2}$. Avec $dx=0{,}001$ : $dy=0{,}006$, $\Delta y=0{,}006001$, écart $=10^{-6}=(dx)^{2}$. L'écart est le CARRÉ de $dx$ : quand $dx$ est divisé par 10, l'écart est divisé par 100. En proportion de $dx$ lui-même, l'erreur relative $\frac{\Delta y-dy}{dx}=dx$ tend vers zéro. C'est la propriété qui justifie tout l'usage pratique de la différentielle : l'erreur commise n'est pas seulement petite, elle est négligeable DEVANT $dx$.

Sur la figure, la parabole et sa tangente au point $(3,9)$ se quittent très lentement. En partant de $x=3$ et en avançant de $dx$, la montée le long de la TANGENTE est $dy$, et la montée le long de la COURBE est $\Delta y$. La tangente étant une droite, sa montée est proportionnelle à $dx$, ce qui rend $dy$ facile à calculer; la courbe, elle, s'incurve légèrement au-dessus, d'où $\Delta y>dy$ ici. L'approximation s'améliore quand $dx$ diminue parce que, de plus en plus près du point de contact, la courbe et sa tangente deviennent visuellement indiscernables : c'est exactement ce que dit la dérivabilité, à savoir qu'une fonction dérivable est LOCALEMENT une droite. Sur la figure, l'écart n'est perceptible qu'aux extrémités du domaine tracé.

$f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f(4)=2$ et $f'(4)=\frac{1}{4}$. La linéarisation est $L(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)$. Estimation : $\sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)=2+\frac{0{,}1}{4}=2{,}025$. Valeur exacte : $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}0248457$. L'erreur absolue vaut environ $0{,}000154$, soit une erreur relative de $0{,}0076$ pour cent. Pour un calcul mental, la performance est remarquable : trois décimales correctes sans aucun outil.

$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, avec $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ : $L(x)=0+1\cdot(x-0)=x$. Donc $\sin(0{,}1)\approx 0{,}1$, à comparer à la valeur exacte $0{,}0998334$, soit une erreur de $1{,}67\times 10^{-4}$. On retrouve l'approximation des PETITS ANGLES, $\sin\theta\approx\theta$ (en radians), qui sert à linéariser l'équation du pendule simple en physique et sans laquelle le pendule n'aurait pas de période constante. C'est l'exemple le plus rentable du chapitre, car il explique pourquoi une approximation mathématique peut changer un modèle physique tout entier.

Avec $f(x)=(1+x)^{n}$ en $a=0$ : $f(0)=1$ et $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ donne $f'(0)=n$. Donc $L(x)=1+nx$, c'est-à-dire $(1+x)^{n}\approx 1+nx$ pour $x$ petit. Applications. Pour $\sqrt[3]{1{,}03}=(1+0{,}03)^{1/3}\approx 1+\frac{0{,}03}{3}=1{,}01$ (valeur exacte $1{,}009901$, erreur $10^{-4}$). Pour $\frac{1}{1{,}02}=(1+0{,}02)^{-1}\approx 1-0{,}02=0{,}98$ (valeur exacte $0{,}980392$, erreur $4\times 10^{-4}$). Cette formule unique couvre les racines, les inverses et les puissances : c'est la plus utile du chapitre et elle mérite d'être sue par cœur.

Double critère. D'abord $a$ doit être PROCHE de la valeur visée, car l'erreur croît avec la distance $|x-a|$ : $a=5$ serait dix fois plus loin de $4{,}1$ que $a=4$, et l'estimation s'en ressentirait ($L(4{,}1)$ construite en $a=5$ donnerait $2{,}236+\frac{-0{,}9}{2(2{,}236)}\approx 2{,}035$, nettement moins bon). Ensuite $a$ doit être COMMODE, c'est-à-dire que $f(a)$ et $f'(a)$ doivent se calculer exactement et de tête : c'est ce qui disqualifie $a=4{,}1$, pour lequel $f(a)=\sqrt{4{,}1}$ est précisément la quantité inconnue que l'on cherche. Choisir $a=4{,}1$ rendrait le raisonnement circulaire. Le bon point d'appui est donc le carré parfait, le cube parfait ou l'angle remarquable le plus proche : c'est toujours ainsi que se pose la question à l'examen.

$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, donc $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ et $dV=4\pi r^{2}\,dr$. Avec $r=10$ et $dr=0{,}05$ : $dV=4\pi(100)(0{,}05)=20\pi\approx 62{,}83$ cm³. Le volume lui-même vaut $V=\frac{4}{3}\pi(1000)\approx 4188{,}79$ cm³. On écrit donc $V=4188{,}8\pm 62{,}8$ cm³. Remarquez que $4\pi r^{2}$ est l'AIRE de la sphère : l'erreur sur le volume est l'aire multipliée par l'épaisseur $dr$, ce qui est exactement la coquille mince ajoutée, et l'interprétation géométrique tombe juste. La figure montre le mécanisme sur une courbe quelconque : une erreur $dx$ sur la mesure devient une erreur $dy\approx f'(a)\,dx$ sur le résultat, lue sur la tangente.

Erreur relative sur le volume : $\frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\frac{3\,dr}{r}$. Numériquement : $\frac{3\times 0{,}05}{10}=0{,}015$, soit $1{,}5$ pour cent. L'erreur relative sur le rayon vaut $\frac{dr}{r}=\frac{0{,}05}{10}=0{,}005$, soit $0{,}5$ pour cent. Le rapport est exactement 3 : l'erreur relative est TRIPLÉE en passant du rayon au volume. On peut vérifier directement, $\frac{62{,}83}{4188{,}79}=0{,}0150$ ✓.

Volume du cube : $V=a^{3}$, donc $dV=3a^{2}da=3(25)(0{,}02)=1{,}5$ cm³, sur un volume $V=125$ cm³, soit une erreur relative de $\frac{1{,}5}{125}=1{,}2$ pour cent (ou directement $3\times\frac{0{,}02}{5}=3\times 0{,}4$ pour cent). Aire totale : $A=6a^{2}$, donc $dA=12a\,da=12(5)(0{,}02)=1{,}2$ cm², sur $A=150$ cm², soit $0{,}8$ pour cent (ou $2\times 0{,}4$ pour cent). On voit apparaître le facteur 3 pour le volume et le facteur 2 pour l'aire, conformément aux exposants.

On utilise $dV$ parce qu'il est LINÉAIRE en $dr$, donc immédiat à calculer et à interpréter, alors que $\Delta V$ exige de développer un cube et fournit une expression encombrante sans gain de sens. Vérification sur la sphère : $\Delta V=\frac{4}{3}\pi\left(10{,}05^{3}-10^{3}\right)=\frac{4}{3}\pi(1015{,}075-1000)=\frac{4}{3}\pi(15{,}0751)\approx 63{,}14$ cm³, contre $dV\approx 62{,}83$ cm³. L'écart vaut $0{,}31$ cm³, soit un demi pour cent de l'erreur elle-même, et $0{,}007$ pour cent du volume. Il est doublement négligeable : d'abord parce qu'il est minuscule, ensuite et surtout parce que l'incertitude de mesure $\pm 0{,}05$ n'est elle-même connue qu'approximativement. Raffiner le calcul d'erreur au-delà de la précision de l'incertitude n'aurait aucun sens physique, et c'est l'argument décisif en laboratoire.

Chacune est la linéarisation $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$ en $a=0$. Pour $\sin$ : $f(0)=0$, $f'(0)=\cos 0=1$, donc $\sin x\approx x$. Pour $\tan$ : $f(0)=0$, $f'(0)=\sec^{2}0=1$, donc $\tan x\approx x$. Pour l'exponentielle : $f(0)=1$, $f'(0)=1$, donc $e^{x}\approx 1+x$. Pour le logarithme : $f(0)=\ln 1=0$, $f'(x)=\frac{1}{1+x}$ donc $f'(0)=1$, d'où $\ln(1+x)\approx x$. Pour la racine : $f(0)=1$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ donc $f'(0)=\frac{1}{2}$, d'où $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$. Cette dernière est le cas $n=\frac{1}{2}$ de la formule générale $(1+x)^{n}\approx 1+nx$, qui les résume toutes pour les puissances.

Pour $x=0{,}1$ : $\sin(0{,}1)=0{,}0998334$, l'approximation donne $0{,}1$, l'erreur absolue vaut $1{,}666\times 10^{-4}$ et l'erreur RELATIVE $\frac{1{,}666\times 10^{-4}}{0{,}0998334}\approx 0{,}167$ pour cent. Pour $x=0{,}5$ : $\sin(0{,}5)=0{,}4794255$, l'erreur absolue vaut $0{,}0205745$ et l'erreur relative $\approx 4{,}29$ pour cent. L'argument a été multiplié par 5, mais l'erreur relative par environ 26, soit $5^{2}$. Cela ne devrait pas surprendre : l'erreur de linéarisation est en $(x-a)^{2}$, donc quintupler la distance au point d'appui multiplie l'erreur par 25. Le comportement quadratique de l'erreur est le fait central du chapitre.

L'erreur relative de $\sin x\approx x$ vaut approximativement $\frac{x^{2}}{6}$, puisque $\sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6}$ au degré 3. On impose $\frac{x^{2}}{6}\leq 0{,}01$, soit $x^{2}\leq 0{,}06$ et $x\leq 0{,}245$ radian. Vérification directe : $\sin(0{,}245)=0{,}242556$, l'erreur relative vaut $\frac{0{,}245-0{,}242556}{0{,}242556}\approx 1{,}008$ pour cent, effectivement au seuil ✓. Conversion : $0{,}245$ rad $=0{,}245\times\frac{180}{\pi}\approx 14{,}0^{\circ}$. Retenir donc que l'approximation des petits angles est fiable à 1 pour cent jusqu'à environ QUATORZE DEGRÉS, ce qui est bien plus généreux que l'intuition ne le suggère, et ce qui explique qu'on l'emploie sans remords pour un pendule de faible amplitude.

Erreurs relatives en $x=0{,}1$ : $\sqrt{1+x}$ donne $0{,}114$ pour cent ; $\sin x$, $0{,}167$ pour cent ; $\tan x$, $0{,}334$ pour cent ; $e^{x}$, $0{,}468$ pour cent ; $\ln(1+x)$, $4{,}92$ pour cent. Classement du plus fidèle au moins fidèle : $\sqrt{1+x}$, $\sin x$, $\tan x$, $e^{x}$, $\ln(1+x)$. Deux facteurs l'expliquent. L'erreur ABSOLUE vaut environ $\frac{|f''(0)|}{2}x^{2}$ : $\frac{x^{2}}{8}$ pour la racine, $\frac{x^{2}}{2}$ pour l'exponentielle et pour le logarithme ; pour $\sin$ et $\tan$, $f''(0)=0$ et l'erreur ne commence qu'au degré 3, en $\frac{x^{3}}{6}$ et $\frac{x^{3}}{3}$, d'où leur excellente tenue. L'erreur RELATIVE divise ensuite par la valeur de la fonction : environ $1$ pour la racine et l'exponentielle, mais seulement $0{,}1$ pour $\ln(1+x)$, $\sin x$ et $\tan x$. Le logarithme cumule les deux handicaps, une erreur absolue en $x^{2}$ divisée par une petite valeur : son erreur relative vaut environ $\frac{x}{2}$, soit $5$ pour cent, dix fois celle de l'exponentielle pour une erreur absolue presque identique.

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ donne $T(1{,}00)=2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}}\approx 2{,}00607$ s. La longueur intervenant avec l'exposant $\frac{1}{2}$, l'erreur relative se transporte selon $\frac{dT}{T}=\frac{1}{2}\frac{dL}{L}=\frac{1}{2}(0{,}03)=0{,}015$, soit 1,5 pour cent. D'où $dT=0{,}015\times 2{,}00607\approx 0{,}03009$ s. Valeur exacte : $T(1{,}03)=2\pi\sqrt{\frac{1{,}03}{9{,}81}}\approx 2{,}03594$ s, donc $\Delta T\approx 0{,}02987$ s. L'estimation est correcte à moins d'un pour cent de l'écart lui-même, ce qui est amplement suffisant pour un dimensionnement.

$E=\frac{1}{2}(1200)v^{2}=600v^{2}$, donc $dE=1200v\,dv$. Avec $v=20$ et $dv=0{,}4$ : $dE=1200(20)(0{,}4)=9600$ J. Valeur exacte : $E(20{,}4)-E(20)=600\left(416{,}16-400\right)=600(16{,}16)=9696$ J. L'écart entre les deux vaut 96 J, soit 1 pour cent de l'estimation : la différentielle sous-estime légèrement, et le point d) explique pourquoi.