Exercices corrigés : la différentielle et l'approximation linéaire (201-NYA)

a) Définition : $dy=f'(x)\,dx$, où $dx$ est un accroissement arbitraire (et non nécessairement infinitésimal) de la variable. Ici $f(x)=x^{2}$, donc $f'(x)=2x$ et $f'(3)=6$. Avec $dx=0{,}1$ : $dy=6\times 0{,}1=0{,}6$. Notez que $dy$ dépend de DEUX quantités, le point $x$ où l'on se place et l'accroissement $dx$ que l'on s'accorde.

b) $\Delta y=f(3{,}1)-f(3)=9{,}61-9=0{,}61$. L'écart vaut $\Delta y-dy=0{,}61-0{,}6=0{,}01$. Il vient d'un calcul algébrique exact : $\Delta y=(3+dx)^{2}-3^{2}=6\,dx+(dx)^{2}$, alors que $dy=6\,dx$. L'écart est donc exactement $(dx)^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01$ ✓. Autrement dit, la différentielle capture la partie LINÉAIRE de l'accroissement et abandonne le terme quadratique. C'est le sens précis de « la dérivée linéarise la fonction ».

c) Avec $dx=0{,}01$ : $dy=0{,}06$, $\Delta y=(3{,}01)^{2}-9=0{,}0601$, écart $=0{,}0001=(dx)^{2}$. Avec $dx=0{,}001$ : $dy=0{,}006$, $\Delta y=0{,}006001$, écart $=10^{-6}=(dx)^{2}$. L'écart est le CARRÉ de $dx$ : quand $dx$ est divisé par 10, l'écart est divisé par 100. En proportion de $dx$ lui-même, l'erreur relative $\frac{\Delta y-dy}{dx}=dx$ tend vers zéro. C'est la propriété qui justifie tout l'usage pratique de la différentielle : l'erreur commise n'est pas seulement petite, elle est négligeable DEVANT $dx$.

d) Sur la figure, la parabole et sa tangente au point $(3,9)$ se quittent très lentement. En partant de $x=3$ et en avançant de $dx$, la montée le long de la TANGENTE est $dy$, et la montée le long de la COURBE est $\Delta y$. La tangente étant une droite, sa montée est proportionnelle à $dx$, ce qui rend $dy$ facile à calculer; la courbe, elle, s'incurve légèrement au-dessus, d'où $\Delta y>dy$ ici. L'approximation s'améliore quand $dx$ diminue parce que, de plus en plus près du point de contact, la courbe et sa tangente deviennent visuellement indiscernables : c'est exactement ce que dit la dérivabilité, à savoir qu'une fonction dérivable est LOCALEMENT une droite. Sur la figure, l'écart n'est perceptible qu'aux extrémités du domaine tracé.

a) $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f(4)=2$ et $f'(4)=\frac{1}{4}$. La linéarisation est $L(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)$. Estimation : $\sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)=2+\frac{0{,}1}{4}=2{,}025$. Valeur exacte : $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}0248457$. L'erreur absolue vaut environ $0{,}000154$, soit une erreur relative de $0{,}0076$ pour cent. Pour un calcul mental, la performance est remarquable : trois décimales correctes sans aucun outil.

b) $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, avec $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ : $L(x)=0+1\cdot(x-0)=x$. Donc $\sin(0{,}1)\approx 0{,}1$, à comparer à la valeur exacte $0{,}0998334$, soit une erreur de $1{,}67\times 10^{-4}$. On retrouve l'approximation des PETITS ANGLES, $\sin\theta\approx\theta$ (en radians), qui sert à linéariser l'équation du pendule simple en physique et sans laquelle le pendule n'aurait pas de période constante. C'est l'exemple le plus rentable du chapitre, car il explique pourquoi une approximation mathématique peut changer un modèle physique tout entier.

c) Avec $f(x)=(1+x)^{n}$ en $a=0$ : $f(0)=1$ et $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ donne $f'(0)=n$. Donc $L(x)=1+nx$, c'est-à-dire $(1+x)^{n}\approx 1+nx$ pour $x$ petit. Applications. Pour $\sqrt[3]{1{,}03}=(1+0{,}03)^{1/3}\approx 1+\frac{0{,}03}{3}=1{,}01$ (valeur exacte $1{,}009901$, erreur $10^{-4}$). Pour $\frac{1}{1{,}02}=(1+0{,}02)^{-1}\approx 1-0{,}02=0{,}98$ (valeur exacte $0{,}980392$, erreur $4\times 10^{-4}$). Cette formule unique couvre les racines, les inverses et les puissances : c'est la plus utile du chapitre et elle mérite d'être sue par cœur.

d) Double critère. D'abord $a$ doit être PROCHE de la valeur visée, car l'erreur croît avec la distance $|x-a|$ : $a=5$ serait dix fois plus loin de $4{,}1$ que $a=4$, et l'estimation s'en ressentirait ($L(4{,}1)$ construite en $a=5$ donnerait $2{,}236+\frac{-0{,}9}{2(2{,}236)}\approx 2{,}035$, nettement moins bon). Ensuite $a$ doit être COMMODE, c'est-à-dire que $f(a)$ et $f'(a)$ doivent se calculer exactement et de tête : c'est ce qui disqualifie $a=4{,}1$, pour lequel $f(a)=\sqrt{4{,}1}$ est précisément la quantité inconnue que l'on cherche. Choisir $a=4{,}1$ rendrait le raisonnement circulaire. Le bon point d'appui est donc le carré parfait, le cube parfait ou l'angle remarquable le plus proche : c'est toujours ainsi que se pose la question à l'examen.

a) $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, donc $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ et $dV=4\pi r^{2}\,dr$. Avec $r=10$ et $dr=0{,}05$ : $dV=4\pi(100)(0{,}05)=20\pi\approx 62{,}83$ cm³. Le volume lui-même vaut $V=\frac{4}{3}\pi(1000)\approx 4188{,}79$ cm³. On écrit donc $V=4188{,}8\pm 62{,}8$ cm³. Remarquez que $4\pi r^{2}$ est l'AIRE de la sphère : l'erreur sur le volume est l'aire multipliée par l'épaisseur $dr$, ce qui est exactement la coquille mince ajoutée, et l'interprétation géométrique tombe juste.

b) Erreur relative sur le volume : $\frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\frac{3\,dr}{r}$. Numériquement : $\frac{3\times 0{,}05}{10}=0{,}015$, soit $1{,}5$ pour cent. L'erreur relative sur le rayon vaut $\frac{dr}{r}=\frac{0{,}05}{10}=0{,}005$, soit $0{,}5$ pour cent. Le rapport est exactement 3 : l'erreur relative est TRIPLÉE en passant du rayon au volume. On peut vérifier directement, $\frac{62{,}83}{4188{,}79}=0{,}0150$ ✓.

c) Volume du cube : $V=a^{3}$, donc $dV=3a^{2}da=3(25)(0{,}02)=1{,}5$ cm³, sur un volume $V=125$ cm³, soit une erreur relative de $\frac{1{,}5}{125}=1{,}2$ pour cent (ou directement $3\times\frac{0{,}02}{5}=3\times 0{,}4$ pour cent). Aire totale : $A=6a^{2}$, donc $dA=12a\,da=12(5)(0{,}02)=1{,}2$ cm², sur $A=150$ cm², soit $0{,}8$ pour cent (ou $2\times 0{,}4$ pour cent). On voit apparaître le facteur 3 pour le volume et le facteur 2 pour l'aire, conformément aux exposants.

d) On utilise $dV$ parce qu'il est LINÉAIRE en $dr$, donc immédiat à calculer et à interpréter, alors que $\Delta V$ exige de développer un cube et fournit une expression encombrante sans gain de sens. Vérification sur la sphère : $\Delta V=\frac{4}{3}\pi\left(10{,}05^{3}-10^{3}\right)=\frac{4}{3}\pi(1015{,}075-1000)=\frac{4}{3}\pi(15{,}0751)\approx 63{,}14$ cm³, contre $dV\approx 62{,}83$ cm³. L'écart vaut $0{,}31$ cm³, soit un demi pour cent de l'erreur elle-même, et $0{,}007$ pour cent du volume. Il est doublement négligeable : d'abord parce qu'il est minuscule, ensuite et surtout parce que l'incertitude de mesure $\pm 0{,}05$ n'est elle-même connue qu'approximativement. Raffiner le calcul d'erreur au-delà de la précision de l'incertitude n'aurait aucun sens physique, et c'est l'argument décisif en laboratoire.

a) Chacune est la linéarisation $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$ en $a=0$. Pour $\sin$ : $f(0)=0$, $f'(0)=\cos 0=1$, donc $\sin x\approx x$. Pour $\tan$ : $f(0)=0$, $f'(0)=\sec^{2}0=1$, donc $\tan x\approx x$. Pour l'exponentielle : $f(0)=1$, $f'(0)=1$, donc $e^{x}\approx 1+x$. Pour le logarithme : $f(0)=\ln 1=0$, $f'(x)=\frac{1}{1+x}$ donc $f'(0)=1$, d'où $\ln(1+x)\approx x$. Pour la racine : $f(0)=1$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ donc $f'(0)=\frac{1}{2}$, d'où $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$. Cette dernière est le cas $n=\frac{1}{2}$ de la formule générale $(1+x)^{n}\approx 1+nx$, qui les résume toutes pour les puissances.

b) Pour $x=0{,}1$ : $\sin(0{,}1)=0{,}0998334$, l'approximation donne $0{,}1$, l'erreur absolue vaut $1{,}666\times 10^{-4}$ et l'erreur RELATIVE $\frac{1{,}666\times 10^{-4}}{0{,}0998334}\approx 0{,}167$ pour cent. Pour $x=0{,}5$ : $\sin(0{,}5)=0{,}4794255$, l'erreur absolue vaut $0{,}0205745$ et l'erreur relative $\approx 4{,}29$ pour cent. L'argument a été multiplié par 5, mais l'erreur relative par environ 26, soit $5^{2}$. Cela ne devrait pas surprendre : l'erreur de linéarisation est en $(x-a)^{2}$, donc quintupler la distance au point d'appui multiplie l'erreur par 25. Le comportement quadratique de l'erreur est le fait central du chapitre.

c) L'erreur relative de $\sin x\approx x$ vaut approximativement $\frac{x^{2}}{6}$, puisque $\sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6}$ au degré 3. On impose $\frac{x^{2}}{6}\leq 0{,}01$, soit $x^{2}\leq 0{,}06$ et $x\leq 0{,}245$ radian. Vérification directe : $\sin(0{,}245)=0{,}242556$, l'erreur relative vaut $\frac{0{,}245-0{,}242556}{0{,}242556}\approx 1{,}008$ pour cent, effectivement au seuil ✓. Conversion : $0{,}245$ rad $=0{,}245\times\frac{180}{\pi}\approx 14{,}0^{\circ}$. Retenir donc que l'approximation des petits angles est fiable à 1 pour cent jusqu'à environ QUATORZE DEGRÉS, ce qui est bien plus généreux que l'intuition ne le suggère, et ce qui explique qu'on l'emploie sans remords pour un pendule de faible amplitude.

d) Erreurs relatives en $x=0{,}1$ : $\sqrt{1+x}$ donne $0{,}114$ pour cent ; $\sin x$, $0{,}167$ pour cent ; $\tan x$, $0{,}334$ pour cent ; $e^{x}$, $0{,}468$ pour cent ; $\ln(1+x)$, $4{,}92$ pour cent. Classement du plus fidèle au moins fidèle : $\sqrt{1+x}$, $\sin x$, $\tan x$, $e^{x}$, $\ln(1+x)$. Deux facteurs l'expliquent. L'erreur ABSOLUE vaut environ $\frac{|f''(0)|}{2}x^{2}$ : $\frac{x^{2}}{8}$ pour la racine, $\frac{x^{2}}{2}$ pour l'exponentielle et pour le logarithme ; pour $\sin$ et $\tan$, $f''(0)=0$ et l'erreur ne commence qu'au degré 3, en $\frac{x^{3}}{6}$ et $\frac{x^{3}}{3}$, d'où leur excellente tenue. L'erreur RELATIVE divise ensuite par la valeur de la fonction : environ $1$ pour la racine et l'exponentielle, mais seulement $0{,}1$ pour $\ln(1+x)$, $\sin x$ et $\tan x$. Le logarithme cumule les deux handicaps, une erreur absolue en $x^{2}$ divisée par une petite valeur : son erreur relative vaut environ $\frac{x}{2}$, soit $5$ pour cent, dix fois celle de l'exponentielle pour une erreur absolue presque identique.

a) $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ donne $T(1{,}00)=2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}}\approx 2{,}00607$ s. La longueur intervenant avec l'exposant $\frac{1}{2}$, l'erreur relative se transporte selon $\frac{dT}{T}=\frac{1}{2}\frac{dL}{L}=\frac{1}{2}(0{,}03)=0{,}015$, soit 1,5 pour cent. D'où $dT=0{,}015\times 2{,}00607\approx 0{,}03009$ s. Valeur exacte : $T(1{,}03)=2\pi\sqrt{\frac{1{,}03}{9{,}81}}\approx 2{,}03594$ s, donc $\Delta T\approx 0{,}02987$ s. L'estimation est correcte à moins d'un pour cent de l'écart lui-même, ce qui est amplement suffisant pour un dimensionnement.

b) $E=\frac{1}{2}(1200)v^{2}=600v^{2}$, donc $dE=1200v\,dv$. Avec $v=20$ et $dv=0{,}4$ : $dE=1200(20)(0{,}4)=9600$ J. Valeur exacte : $E(20{,}4)-E(20)=600\left(416{,}16-400\right)=600(16{,}16)=9696$ J. L'écart entre les deux vaut 96 J, soit 1 pour cent de l'estimation : la différentielle sous-estime légèrement, et le point d) explique pourquoi.

c) L'exposant de $v$ dans $E=\frac{1}{2}mv^{2}$ vaut 2, donc $\frac{dE}{E}=2\frac{dv}{v}=2(0{,}02)=0{,}04$, soit 4 pour cent. Aucun calcul d'énergie n'est nécessaire : la règle d'amplification par l'exposant suffit. Vérification avec les chiffres du point b) : $\frac{9696}{240000}=0{,}0404$, soit 4,04 pour cent ✓. C'est ce facteur 2 qui explique qu'un excès de vitesse de 10 pour cent augmente l'énergie à dissiper au freinage de 21 pour cent, et c'est l'argument physique central des campagnes de sécurité routière.

d) La différentielle ne retient que la partie LINÉAIRE de la variation : elle mesure la montée le long de la TANGENTE, alors que la variation exacte suit la COURBE. L'écart est le terme d'ordre 2 négligé, soit approximativement $\frac{f''}{2}(dx)^{2}$. Pour l'énergie, $E(v)=600v^{2}$ est CONVEXE ($E''=1200>0$), la tangente passe donc sous la courbe et la différentielle SOUS-ESTIME : on trouve bien 9600 J contre 9696 J réels. On peut même retrouver l'écart exactement, puisque pour un polynôme de degré 2 le terme négligé vaut $600(dv)^{2}=600(0{,}16)=96$ J ✓, ce qui rend compte de la totalité de la différence. Pour la période, $T(L)\propto\sqrt{L}$ est CONCAVE, la tangente passe au-dessus de la courbe et la différentielle SURESTIME : $0{,}03009$ s annoncés contre $0{,}02987$ s réels ✓. Le sens de l'erreur se lit donc, dans les deux cas, sur le signe de la dérivée seconde, exactement comme pour l'approximation linéaire.

a) De $y=x^{n}$ on tire $dy=nx^{n-1}dx$, donc $\frac{dy}{y}=\frac{nx^{n-1}dx}{x^{n}}=n\frac{dx}{x}$ ✓. La démonstration n'utilise à aucun moment le signe de $n$, ni le fait qu'il soit entier : le résultat vaut pour $n$ négatif (inverses) et pour $n$ fractionnaire (racines). Pour $n$ négatif, l'erreur relative change de SIGNE, ce qui traduit simplement qu'augmenter $x$ diminue $y$; en valeur absolue l'amplification reste $|n|$. Une manière élégante d'obtenir le même résultat est la dérivation logarithmique : $\ln y=n\ln x$, puis en différentiant, $\frac{dy}{y}=n\frac{dx}{x}$ directement.

b) Aire du disque : $A=\pi r^{2}$, exposant $n=2$, donc $\frac{dA}{A}=2\frac{dr}{r}=2$ pour cent. Dans l'autre sens, si c'est l'aire qui est connue à 1 pour cent près, alors $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ a pour exposant $n=\frac{1}{2}$, d'où $\frac{dr}{r}=\frac{1}{2}\frac{dA}{A}=0{,}5$ pour cent. La relation s'inverse en inversant l'exposant, ce qui est cohérent : mesurer une grandeur puis en extraire une racine ATTÉNUE l'erreur, alors que l'élever à une puissance l'amplifie.

c) $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ dépend de $L$ avec l'exposant $n=\frac{1}{2}$, donc $\frac{dT}{T}=\frac{1}{2}\frac{dL}{L}=\frac{1}{2}(2\text{ pour cent})=1$ pour cent. L'erreur est DIVISÉE par deux en passant de la longueur à la période. C'est très confortable pour l'expérimentateur : la racine carrée amortit les imprécisions, si bien qu'une mesure de longueur médiocre donne tout de même une période acceptable. C'est l'une des raisons pour lesquelles le pendule a longtemps servi d'étalon de temps.

d) Il faut soigner davantage la mesure de $T$. Dans $g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$, la longueur intervient avec l'exposant $+1$ et la période avec l'exposant $-2$. En combinant les contributions : $\frac{dg}{g}=\frac{dL}{L}-2\frac{dT}{T}$, donc en valeur absolue, une erreur de 1 pour cent sur $L$ donne 1 pour cent sur $g$, alors qu'une erreur de 1 pour cent sur $T$ en donne 2. La mesure du temps pèse DEUX FOIS plus lourd que celle de la longueur. Conséquence pratique classique en laboratoire : plutôt que de chronométrer une seule oscillation, on en chronomètre vingt et on divise, ce qui divise l'erreur relative sur $T$ par vingt et rend sa contribution négligeable. C'est le raisonnement d'erreur qui dicte le protocole expérimental, et non l'inverse.

a) La linéarisation vaut $L(x)=2+\frac{x-4}{4}$, donc $L(9)=2+\frac{5}{4}=3{,}25$, alors que $\sqrt{9}=3$ exactement. L'erreur absolue est de $0{,}25$ et l'erreur relative de $\frac{0{,}25}{3}\approx 8{,}3$ pour cent. À comparer aux $0{,}0076$ pour cent obtenus pour $\sqrt{4{,}1}$ avec la même linéarisation : l'erreur a été multipliée par plus de mille, uniquement parce qu'on s'est éloigné du point d'appui.

b) L'estimation est TROP GRANDE ($3{,}25>3$). Justification par la concavité : $f(x)=x^{1/2}$ donne $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}$ puis $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0$ pour tout $x>0$. La fonction est donc CONCAVE, sa tangente passe au-DESSUS de la courbe en tout point autre que le point de contact, et l'approximation SURESTIME systématiquement. La figure le confirme : la droite est au-dessus de la racine partout sauf en $x=4$ où elles se touchent. Ce n'est pas un accident du point choisi : pour une fonction concave, la surestimation est garantie sur tout le domaine.

c) $f(x)=e^{x}$ en $a=0$ : $f(0)=1$, $f'(0)=1$, donc $L(x)=1+x$ et $L(0{,}5)=1{,}5$. La valeur exacte est $e^{0{,}5}\approx 1{,}64872$, donc l'estimation est TROP PETITE, avec une erreur de $0{,}149$ (environ 9 pour cent). Justification : $f''(x)=e^{x}>0$ partout, la fonction est CONVEXE, sa tangente passe SOUS la courbe, et l'approximation sous-estime systématiquement. La règle générale se retient donc en une phrase : le signe de $f''$ donne le sens de l'erreur, convexe donne une sous-estimation et concave une surestimation.

d) Les deux facteurs. Premier facteur, la DISTANCE $|x-a|$ au point d'appui : l'erreur croît essentiellement comme le carré de cette distance, ce qui explique qu'elle explose vite. Second facteur, la COURBURE, mesurée par $|f''|$ au voisinage : une fonction très incurvée s'écarte rapidement de sa tangente, une fonction presque droite reste proche longtemps. Le résultat précis, que le chapitre des séries de Taylor démontrera, est que l'erreur vaut $\frac{f''(c)}{2}(x-a)^{2}$ pour un certain $c$ entre $a$ et $x$ : les deux facteurs y apparaissent explicitement, en produit. Pour le point a), c'est clairement la DISTANCE qui est en cause : la courbure de $\sqrt{x}$ est faible et diminue même quand $x$ augmente, mais on s'est éloigné de 5 unités au lieu de $0{,}1$, et le carré de cette distance vaut $25$ contre $0{,}01$, soit un facteur $2500$ qui rend compte de l'essentiel de la dégradation observée.

a) À l'étape $n$, on remplace $f$ par sa linéarisation en $x_{n}$, soit $L(x)=f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n})$, puis on cherche où cette DROITE coupe l'axe des abscisses. En résolvant $L(x)=0$ : $f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n})=0$, d'où $x=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$, ce qui est exactement la formule de Newton ✓. À chaque étape on cherche donc le zéro de la TANGENTE, en espérant qu'il soit plus proche du zéro de la courbe que le point de départ. La méthode converge très vite parce que l'erreur de linéarisation est quadratique : chaque itération double approximativement le nombre de décimales exactes.

b) $f(x)=x^{2}-2$, $f'(x)=2x$, donc $x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}}=\frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}}$. Première itération depuis $x_{0}=1{,}5$ : $x_{1}=0{,}75+0{,}6667=1{,}416667$. Seconde : $x_{2}=0{,}708333+0{,}705882=1{,}4142157$. Or $\sqrt{2}=1{,}4142136$ : après deux itérations seulement, cinq décimales sont exactes. On observe bien le doublement annoncé, l'erreur passant de $8{,}6\times 10^{-2}$ à $2{,}5\times 10^{-3}$ puis à $2{,}1\times 10^{-6}$.

c) Le polynôme de Taylor de degré 2 est $P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}$. Pour $f(x)=\sqrt{x}$ en $a=4$ : $f(4)=2$, $f'(4)=\frac{1}{4}$, et $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}$ donne $f''(4)=-\frac{1}{32}$. Donc $P_{2}(x)=2+\frac{x-4}{4}-\frac{(x-4)^{2}}{64}$. En $x=9$ : $P_{2}(9)=2+1{,}25-\frac{25}{64}=3{,}25-0{,}390625=2{,}859375$. L'erreur passe de $0{,}25$ (par excès) à $0{,}140625$ (par défaut), soit une réduction d'environ 44 pour cent, et le sens de l'erreur s'est inversé. La correction va dans le bon sens mais reste insuffisante ici, ce qui confirme le diagnostic du point d) de l'exercice précédent : à cette distance du point d'appui, aucun polynôme de bas degré ne peut suffire. Ajouter des étages ne remplace jamais un bon point de départ.

d) Liste de contrôle. 1) L'énoncé demande « de combien varie approximativement » une grandeur pour une petite variation d'une autre : c'est une DIFFÉRENTIELLE, calculer $dy=f'(x)dx$. 2) L'énoncé demande d'ESTIMER une valeur numérique sans calculatrice (racine, puissance, fonction trigonométrique d'un angle proche d'un angle remarquable) : c'est une LINÉARISATION, choisir le point d'appui commode le plus proche et écrire $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. 3) L'énoncé fournit une mesure avec une incertitude et demande l'effet sur une grandeur calculée : c'est une PROPAGATION D'ERREUR, avec deux réponses possibles à distinguer, l'erreur absolue $|dy|$ et l'erreur relative $\left|\frac{dy}{y}\right|$ en pourcentage; se rappeler que les exposants multiplient l'erreur relative. 4) L'énoncé demande si l'estimation est par excès ou par défaut : regarder le signe de $f''$. Et dans tous les cas, vérifier que $dx$ est effectivement PETIT devant $x$, faute de quoi la méthode ne garantit plus rien.

a) TANGENTE : $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ donne $f'(4)=\frac{1}{4}$, d'où $L(x)=2+\frac{x-4}{4}$. SÉCANTE : elle passe par $(4,2)$ et $(9,3)$, sa pente vaut $\frac{3-2}{9-4}=\frac{1}{5}=0{,}2$, d'où $S(x)=2+0{,}2(x-4)$. Notez que la sécante exige de connaître DEUX valeurs exactes de la fonction, alors que la tangente n'en demande qu'une, mais réclame en revanche la dérivée.

b) $L(4{,}5)=2+\frac{0{,}5}{4}=2{,}125$ et $S(4{,}5)=2+0{,}2(0{,}5)=2{,}100$. Valeur exacte : $\sqrt{4{,}5}\approx 2{,}121320$. Erreurs : la tangente donne $+0{,}00368$, la sécante $-0{,}02132$. La TANGENTE gagne nettement, d'un facteur près de 6. C'est attendu : $4{,}5$ est tout près du point de contact $a=4$, là où la tangente épouse la courbe au plus serré.

c) $L(8)=2+\frac{4}{4}=3$ et $S(8)=2+0{,}2(4)=2{,}800$. Valeur exacte : $\sqrt{8}\approx 2{,}828427$. Erreurs : la tangente donne $+0{,}17157$, la sécante $-0{,}02843$. La SÉCANTE gagne cette fois, d'un facteur 6 également. Le classement s'est inversé parce que $8$ est LOIN du point de contact $a=4$ mais proche du milieu de l'intervalle $[4,9]$ sur lequel la sécante a été construite. L'erreur de la tangente croît comme le carré de la distance à $a$ et devient donc catastrophique en s'éloignant, alors que l'erreur de la sécante est BORNÉE sur tout l'intervalle et minimale vers son centre. Règle pratique : la tangente pour extrapoler tout près d'un point connu, la sécante (interpolation) pour estimer entre deux points connus.

d) Les signes sont opposés parce que $\sqrt{x}$ est CONCAVE ($f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0$). Pour une fonction concave, la tangente passe entièrement AU-DESSUS de la courbe, donc elle surestime toujours : les deux erreurs de tangente sont bien positives. Et la corde joignant deux points d'une courbe concave passe entièrement EN DESSOUS de l'arc, donc la sécante sous-estime toujours : les deux erreurs de sécante sont bien négatives. Ce que cela permet d'affirmer est précieux : la vraie valeur est nécessairement COMPRISE entre les deux estimations. On obtient donc un ENCADREMENT gratuit, sans connaître la réponse. Pour $\sqrt{8}$ : $2{,}800<\sqrt{8}<3{,}000$, ce qui est vrai ✓, et pour $\sqrt{4{,}5}$ : $2{,}100<\sqrt{4{,}5}<2{,}125$ ✓. Un encadrement vaut toujours mieux qu'une estimation isolée, car il porte sa propre garantie d'erreur; et pour une fonction convexe les deux rôles s'échangent simplement, la tangente passant dessous et la corde dessus.