Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : la différentielle et l'approximation linéaire

Cette fiche ne redémontre pas $dy=f'(x)\,dx$ : cette formule tient en une ligne et personne ne perd de points dessus. Elle traite ce qui coûte réellement des points au troisième examen de 201-NYA : distinguer $dy$ de $\Delta y$ , choisir le bon point de référence, et transformer une erreur de mesure en erreur relative sans se tromper d'un facteur.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

L'approximation linéaire remplace la courbe par sa TANGENTE : elle est excellente près du point de référence et de plus en plus fausse en s'en éloignant. Tout le chapitre consiste à savoir de quel côté de « près » on se trouve, et à ne pas confondre la variation réelle avec celle que la tangente prédit.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et ses règles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Fonctions et domaine
6Limites et continuité
7La dérivée et ses règles

L'essentiel

Trois quantités qu'il ne faut pas confondre

• $\Delta x=dx$ : l'écart réel sur la variable. Les deux notations désignent la même chose.
• $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ : la variation RÉELLE de la fonction, mesurée sur la courbe.
• $dy=f'(x)\,dx$ : la variation PRÉDITE par la tangente. C'est une approximation de $\Delta y$ .
• Approximation linéaire : $f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\,\Delta x$ , autrement dit $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ .

Entre

x=4

x=9

, la courbe monte de

2

3

, soit

\Delta y=1

, tandis que la tangente monte jusqu'à

3{,}25

, soit

dy=1{,}25

. L'écart de

0{,}25

est l'erreur de l'approximation linéaire.

$dy$ et $\Delta y$ coïncident exactement pour une fonction AFFINE, et pour elle seule : la tangente est alors la courbe.

Les deux erreurs, et celle qui compte

• Erreur ABSOLUE sur $y$ : $\left|dy\right|=\left|f'(x)\right|\left|dx\right|$ , dans l'unité de $y$ .
• Erreur RELATIVE sur $y$ : $\left|\frac{dy}{y}\right|$ , sans unité, souvent exprimée en pourcentage.
• Puissance : si $y=x^{n}$ , alors $\frac{dy}{y}=n\frac{dx}{x}$ . L'erreur relative est MULTIPLIÉE par l'exposant.
• Volume d'une sphère : $\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}$ ; aire : $\frac{dS}{S}=2\frac{dr}{r}$ .

En sciences, l'erreur relative est celle qui a un sens : $1$ mm d'erreur sur $1$ m est excellent, sur $1$ cm c'est inacceptable.

Les linéarisations à connaître autour de zéro

• $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$ , $\frac{1}{1+x}\approx 1-x$ , $(1+x)^{n}\approx 1+nx$ .
• $e^{x}\approx 1+x$ , $\ln(1+x)\approx x$ , $\sin x\approx x$ , $\tan x\approx x$ , $\cos x\approx 1$ .
• Toutes valables pour $x$ PROCHE DE ZÉRO, et toutes obtenues par la même formule $L(x)=f(0)+f'(0)x$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la différentielle et l'accroissement réel

1 à 2 points, selon que la question demandait une estimation ou une valeur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $dy=1{,}25$ , donc $f(9)=2+1{,}25=3{,}25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dy=1{,}25$ est une ESTIMATION; la valeur exacte est $f(9)=\sqrt{9}=3$ , et l'approximation surestime de $0{,}25$ . »

Pourquoi : $dy$ vit sur la tangente, $\Delta y$ sur la courbe. Les deux ne coïncident que pour une fonction affine. Quand l'énoncé dit « estimer », on donne $dy$ ; quand il dit « calculer », on donne $\Delta y$ , et l'énoncé demande souvent les deux pour comparer.

2. Choisir un point de référence éloigné

toute la question, l'estimation devenant absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour estimer $\sqrt{101}$ , je linéarise en $a=100$ ... non, en $a=0$ , c'est plus simple. »

Ce qu'il faut écrire

« Je linéarise au point CONNU le plus proche : $a=100$ , car $\sqrt{100}=10$ est exact et $101$ en est très proche. »

Pourquoi : Le point de référence doit remplir deux conditions : $f(a)$ et $f'(a)$ se calculent exactement, et $a$ est proche de la valeur cherchée. En $a=0$ , la linéarisation de $\sqrt{x}$ n'existe même pas, la dérivée y étant infinie. Le bon réflexe est de chercher le carré, le cube ou l'angle remarquable le plus proche.

3. Utiliser l'approximation loin du point de référence

toute la question, et une réponse hors de l'intervalle $\left[-1,1\right]$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin x\approx x$ , donc $\sin 3\approx 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin x\approx x$ n'est valable que pour $x$ proche de $0$ ; $\sin 3\approx 0{,}141$ , et l'approximation se trompe de plus de $2$ . »

La droite

y=x

et la courbe

y=\sin x

sont indiscernables entre

-0{,}3

0{,}3

, puis divergent sans retour : en

x=3

, la droite annonce

3

alors que le sinus vaut

0{,}14

Pourquoi : Une approximation linéaire n'a aucun domaine de validité imprimé sur elle : c'est à l'étudiant de le fixer. Le contrôle qui sauve : si la réponse sort du domaine des valeurs possibles de la fonction, comme un sinus supérieur à $1$ , elle est certainement fausse.

4. Oublier de multiplier l'erreur relative par l'exposant

2 points, et une conclusion scientifiquement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rayon est connu à $0{,}5\%$ près, donc le volume aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ donne $\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}$ , donc le volume est connu à $1{,}5\%$ près. »

Pourquoi : L'erreur relative se multiplie par l'exposant, parce que la dérivée logarithmique de $r^{n}$ vaut $\frac{n}{r}$ . C'est ce qui rend les mesures de volume beaucoup moins précises que les mesures de longueur, et c'est le résultat le plus utile du chapitre en laboratoire.

5. Confondre erreur absolue et erreur relative

1 point d'interprétation, souvent le dernier de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'erreur sur le volume est de $62{,}8$ , donc elle est énorme. »

Ce qu'il faut écrire

« L'erreur absolue vaut $62{,}8$ cm $^{3}$ pour un volume de $4189$ cm $^{3}$ , soit une erreur relative de $1{,}5\%$ , ce qui est excellent. »

Pourquoi : Un nombre absolu ne se juge pas seul : il faut le rapporter à la grandeur mesurée. C'est exactement pourquoi les énoncés demandent presque toujours les deux, et pourquoi la conclusion doit citer le pourcentage.

6. Ne pas dire dans quel sens l'approximation se trompe

1 point, celui de l'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'approximation donne $3{,}25$ au lieu de $3$ , l'erreur est de $0{,}25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe étant CONCAVE, la tangente passe au-dessus : l'approximation SURESTIME, ici de $0{,}25$ . »

Pourquoi : La concavité décide du sens de l'erreur, et le dire ne coûte rien : $f''<0$ donne une tangente au-dessus donc une surestimation, $f''>0$ une tangente en dessous donc une sous-estimation. C'est la seule information qualitative que l'on peut donner sans calculer la valeur exacte, donc précisément celle que la question cherche.

7. Écrire $dx$ avec le mauvais signe

2 points, l'estimation partant du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour estimer $\sqrt{98}$ à partir de $100$ , je prends $dx=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dx=98-100=-2$ , donc $dy=\frac{-2}{20}=-0{,}1$ et $\sqrt{98}\approx 9{,}9$ . »

Pourquoi : $dx$ est l'écart ORIENTÉ entre la valeur cherchée et le point de référence, dans cet ordre. Le contrôle est immédiat : $98<100$ donc $\sqrt{98}<10$ , et une estimation supérieure à $10$ est fausse avant même d'être vérifiée.

Quelle méthode choisir

Quel point de référence choisir

Deux conditions, toujours les mêmes : $f(a)$ et $f'(a)$ doivent se calculer exactement, et $a$ doit être aussi proche que possible de la valeur cherchée.

Si on estime une racine carrée → prendre le CARRÉ PARFAIT le plus proche

Exemple : $\sqrt{101}$ se linéarise en $a=100$ , $\sqrt{24}$ en $a=25$
Si on estime une racine cubique → prendre le CUBE PARFAIT le plus proche

Exemple : $\sqrt[3]{28}$ se linéarise en $a=27$
Si on estime une valeur trigonométrique → prendre l'angle REMARQUABLE le plus proche, en radians

Exemple : $\sin 31°$ se linéarise en $a=\frac{\pi}{6}$ , avec $dx=\frac{\pi}{180}$
Si on estime une exponentielle ou un logarithme → prendre $a=0$ pour $e^{x}$ et $\ln(1+x)$ , ou $a=1$ pour $\ln x$

Exemple : $\ln(1{,}02)\approx 0{,}02$
Si il s'agit d'une propagation d'erreur de mesure → le point de référence est la MESURE elle-même, et $dx$ est l'incertitude

Exemple : $r=10$ cm mesuré à $\pm 0{,}05$ cm donne $a=10$ et $dx=0{,}05$

Si aucun point commode n'est proche, l'approximation linéaire n'est pas l'outil demandé : la question attend alors un calcul exact ou la méthode de Newton.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une propagation d'erreur, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une mesure avec une incertitude et demande l'erreur sur une grandeur qui en dépend.

1 Écrire la relation entre les grandeurs : « Le volume de la sphère est $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ . »
2 Différentier : « $dV=4\pi r^{2}\,dr$ . »
3 Substituer la mesure et l'incertitude : « Avec $r=10$ cm et $dr=0{,}05$ cm, $dV=4\pi(100)(0{,}05)=20\pi$ cm $^{3}$ . »
4 Donner l'erreur ABSOLUE avec son unité, puis l'erreur RELATIVE en pourcentage.
5 Conclure par une phrase qui interprète le pourcentage.

Phrase de conclusion

Le volume vaut environ $4189$ cm $^{3}$ à $63$ cm $^{3}$ près, soit une erreur relative de $1{,}5\%$ , trois fois celle du rayon.

Le piège : S'arrêter à l'erreur absolue. Le nombre $62{,}8$ ne dit rien seul; c'est le rapport à $4189$ qui permet de juger la mesure, et c'est lui que le barème attend en dernière ligne.

Barème : En général 1 point pour la différentielle, 1 point pour la substitution, 1 point pour l'erreur relative exprimée en pourcentage.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Comparer l'estimation à la calculatrice

Calculer la valeur exacte à la calculatrice et vérifier que l'estimation en est proche, du bon côté, et avec un écart plausible.

$\sqrt[3]{28}\approx 3{,}0370$ par linéarisation, $3{,}03659$ à la calculatrice : écart de $0{,}0004$ , cohérent pour un déplacement de $1$ sur $27$ ✓.
Vérifier le sens de l'erreur par la concavité

Calculer le signe de $f''$ au point de référence. Concave vers le bas, la tangente est au-dessus et l'estimation surestime; convexe, elle sous-estime.

$f(x)=\sqrt{x}$ a $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0$ : toute estimation par la tangente surestime, ce que confirme $3{,}25>3$ .
Contrôler l'ordre de grandeur du côté de la réponse

Se demander si la valeur cherchée est plus grande ou plus petite que $f(a)$ , avant tout calcul, et vérifier que l'estimation respecte ce sens.

$98<100$ donc $\sqrt{98}<10$ : une estimation à $10{,}1$ signale un $dx$ de mauvais signe.
Vérifier l'unité de chaque erreur

L'erreur absolue porte l'unité de la grandeur calculée, l'erreur relative n'en a aucune. Une erreur relative avec une unité, ou un pourcentage supérieur à $100$ , signalent une confusion entre les deux.

$dV=62{,}8$ cm $^{3}$ et $\frac{dV}{V}=0{,}015$ , sans unité. Écrire $0{,}015$ cm $^{3}$ trahit un rapport mal formé.

L'exercice type décortiqué

Estimer une racine cubique sans calculatrice

Estimer $\sqrt[3]{28}$ par approximation linéaire, puis dire si l'estimation est trop grande ou trop petite, et de combien.

Autour de

x=27

, la courbe

y=\sqrt[3]{x}

et sa tangente sont pratiquement confondues : c'est ce qui rend l'estimation fiable à

28

et beaucoup moins à

36

Étape 1

On pose $f(x)=x^{1/3}$ et on choisit $a=27$ , le cube parfait le plus proche de $28$ , avec $f(27)=3$ exactement.

Pourquoi

Le choix du point de référence est la seule décision du problème. Prendre $a=8$ donnerait $f(8)=2$ , tout aussi exact, mais l'écart $dx=20$ ruinerait la précision.

Étape 2

$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$ , donc $f'(27)=\frac{1}{3\times 9}=\frac{1}{27}$ .

Pourquoi

La dérivée se calcule exactement parce que $27^{2/3}=9$ est entier. C'est la seconde condition du bon point de référence, et elle est aussi importante que la proximité.

Étape 3

$dx=28-27=1$ , donc $dy=f'(27)\,dx=\frac{1}{27}\approx 0{,}0370$ .

Pourquoi

$dx$ est l'écart ORIENTÉ, valeur cherchée moins point de référence. Ici il est positif, donc l'estimation sera supérieure à $3$ , ce qui est cohérent puisque $28>27$ .

Étape 4

$\sqrt[3]{28}\approx f(27)+dy=3+\frac{1}{27}=\frac{82}{27}\approx 3{,}0370$ .

Pourquoi

On additionne la valeur exacte au point de référence et la variation prédite. Écrire la fraction exacte $\frac{82}{27}$ avant l'arrondi est ce que le barème attend : la décimale seule ne prouve rien.

Étape 5

Sens de l'erreur : $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}<0$ pour $x>0$ , donc la courbe est concave et la tangente passe AU-DESSUS. L'estimation surestime.

Pourquoi

La concavité répond sans calculer la valeur exacte, ce qui est exactement ce que la question demande. C'est un point gratuit pour qui pense à dériver deux fois.

Étape 6

Contrôle : la valeur exacte est $3{,}03659$ , l'estimation $3{,}03704$ , l'écart vaut $0{,}00045$ , positif ✓ comme la concavité l'annonçait. L'erreur relative est de $0{,}015\%$ .

Pourquoi

Deux contrôles indépendants : le signe de l'écart confirme la concavité, et sa petitesse confirme que le point de référence était bien choisi.

Conclusion rédigée

$\sqrt[3]{28}\approx\frac{82}{27}\approx 3{,}0370$ . La fonction étant concave, la tangente passe au-dessus de la courbe : l'estimation SURESTIME la valeur exacte, ici de $0{,}00045$ environ.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $a=30$ « parce que c'est un nombre rond ». Ni $30^{1/3}$ ni $30^{-2/3}$ ne se calculent à la main : le point de référence doit être un CUBE parfait, pas un nombre rond.

À savoir par cœur

• $dy=f'(x)\,dx$ est la variation PRÉDITE par la tangente; $\Delta y$ est la variation réelle sur la courbe.
• $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ : la tangente, écrite comme une fonction.
• $dx$ est l'écart ORIENTÉ, valeur cherchée moins point de référence. Il peut être négatif.
• Erreur relative : $\frac{dy}{y}$ . Pour $y=x^{n}$ , elle vaut $n\frac{dx}{x}$ , donc elle se multiplie par l'exposant.
• $f''<0$ : tangente au-dessus, l'estimation surestime. $f''>0$ : elle sous-estime.
• Point de référence : le carré, le cube ou l'angle remarquable le plus PROCHE, jamais le plus rond.
• $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$ , $(1+x)^{n}\approx 1+nx$ , $e^{x}\approx 1+x$ , $\ln(1+x)\approx x$ , $\sin x\approx x$ , pour $x$ près de $0$ .

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre dy et delta y ?

Delta y est la variation réelle de la fonction, mesurée sur la courbe entre deux points. Dy est la variation que prédit la tangente sur le même écart. Les deux sont proches quand l'écart est petit, et ne coïncident exactement que pour une fonction affine, dont la tangente est la courbe elle-même.

Comment choisir le point de référence d'une approximation linéaire ?

Il doit remplir deux conditions. La valeur de la fonction et celle de sa dérivée doivent s'y calculer exactement, et il doit être le plus proche possible de la valeur cherchée. Pour une racine carrée on prend le carré parfait voisin, pour une racine cubique le cube parfait, pour un sinus l'angle remarquable le plus proche.

Comment savoir si l'approximation linéaire surestime ou sous-estime ?

Le signe de la dérivée seconde le dit. Si elle est négative, la courbe est concave et la tangente passe au-dessus, donc l'estimation est trop grande. Si elle est positive, la courbe est convexe et la tangente passe en dessous, donc l'estimation est trop petite. Aucun calcul de la valeur exacte n'est nécessaire.

Pourquoi l'erreur relative sur un volume vaut-elle trois fois celle du rayon ?

Parce que le volume dépend du cube du rayon. En différentiant, le rapport de l'erreur au volume vaut trois fois le rapport de l'erreur au rayon. C'est le résultat général pour une puissance : l'erreur relative se multiplie par l'exposant, ce qui rend les mesures de volume nettement moins précises que celles de longueur.

Jusqu'où l'approximation sin x égale x reste-t-elle valable ?

Elle reste excellente tant que l'angle en radians reste petit, disons en dessous de zéro virgule trois, où l'écart est inférieur à un demi pour cent. Au-delà elle se dégrade vite, et pour un angle de trois radians elle annonce trois alors que le sinus vaut zéro virgule quatorze. Une valeur de sinus supérieure à un signale toujours un usage abusif.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Différentielle et approximation linéaire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Taux de variation liés Fiche suivante Applications de la dérivée

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoireMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Voir aussi

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Fiche de révision : la différentielle et l'approximation linéaire

L'essentiel

Trois quantités qu'il ne faut pas confondre

Les deux erreurs, et celle qui compte

Les linéarisations à connaître autour de zéro

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre la différentielle et l'accroissement réel

2. Choisir un point de référence éloigné

3. Utiliser l'approximation loin du point de référence

4. Oublier de multiplier l'erreur relative par l'exposant

5. Confondre erreur absolue et erreur relative

6. Ne pas dire dans quel sens l'approximation se trompe

7. Écrire dxdxdx avec le mauvais signe

Quelle méthode choisir

Quel point de référence choisir

La rédaction attendue

Une propagation d'erreur, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Estimer une racine cubique sans calculatrice

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre dy et delta y ?

Comment choisir le point de référence d'une approximation linéaire ?

Comment savoir si l'approximation linéaire surestime ou sous-estime ?

Pourquoi l'erreur relative sur un volume vaut-elle trois fois celle du rayon ?

Jusqu'où l'approximation sin x égale x reste-t-elle valable ?

Exercices corrigés : Différentielle et approximation linéaire

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7. Écrire $dx$ avec le mauvais signe