Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal
Fiche de révision : la différentielle et l'approximation linéaire
Cette fiche ne redémontre pas dy=f′(x)dx : cette formule tient en une ligne et personne ne perd de points dessus. Elle traite ce qui coûte réellement des points au troisième examen de 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) : distinguer dy de Δy, choisir le bon point de référence, et transformer une erreur de mesure en erreur relative sans se tromper d'un facteur.
Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.
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Le fil du chapitre
L'approximation linéaire remplace la courbe par sa TANGENTE : elle est excellente près du point de référence et de plus en plus fausse en s'en éloignant. Tout le chapitre consiste à savoir de quel côté de « près » on se trouve, et à ne pas confondre la variation réelle avec celle que la tangente prédit.
•Δx=dx : l'écart réel sur la variable. Les deux notations désignent la même chose.
•Δy=f(x+Δx)−f(x) : la variation RÉELLE de la fonction, mesurée sur la courbe.
•dy=f′(x)dx : la variation PRÉDITE par la tangente. C'est une approximation de Δy.
•Approximation linéaire : f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)Δx, autrement dit L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).
Entre x=4 et x=9, la courbe monte de 2 à 3, soit Δy=1, tandis que la tangente monte jusqu'à 3,25, soit dy=1,25. L'écart de 0,25 est l'erreur de l'approximation linéaire.
dy et Δy coïncident exactement pour une fonction AFFINE, et pour elle seule : la tangente est alors la courbe.
Les deux erreurs, et celle qui compte
•Erreur ABSOLUE sur y : ∣dy∣=∣f′(x)∣∣dx∣, dans l'unité de y.
•Erreur RELATIVE sur y : ydy, sans unité, souvent exprimée en pourcentage.
•Puissance : si y=xn, alors ydy=nxdx. L'erreur relative est MULTIPLIÉE par l'exposant.
•Volume d'une sphère : VdV=3rdr; aire : SdS=2rdr.
En sciences, l'erreur relative est celle qui a un sens : 1 mm d'erreur sur 1 m est excellent, sur 1 cm c'est inacceptable.
Les linéarisations à connaître autour de zéro
•1+x≈1+2x, 1+x1≈1−x, (1+x)n≈1+nx.
•ex≈1+x, ln(1+x)≈x, sinx≈x, tanx≈x, cosx≈1.
•Toutes valables pour x PROCHE DE ZÉRO, et toutes obtenues par la même formule L(x)=f(0)+f′(0)x.
Près de 0, chaque courbe (trait plein) et sa linéarisation (pointillés) se confondent : ex≈1+x, 1+x≈1+2x. Elles se séparent dès qu'on s'éloigne de 0.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Confondre la différentielle et l'accroissement réel
1 à 2 points, selon que la question demandait une estimation ou une valeur
Ce qu'il ne faut pas écrire
« dy=1,25, donc f(9)=2+1,25=3,25. »
Ce qu'il faut écrire
« L(9)=2+1,25=3,25 n'est qu'une ESTIMATION; la valeur exacte est f(9)=9=3, et l'approximation surestime de 0,25. »
Pourquoi : dy vit sur la tangente, Δy sur la courbe. Les deux ne coïncident que pour une fonction affine. Quand l'énoncé dit « estimer », on donne dy; quand il dit « calculer », on donne Δy, et l'énoncé demande souvent les deux pour comparer.
2.Choisir un point de référence éloigné
toute la question, l'estimation devenant absurde
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour estimer 101, je linéarise en a=100... non, en a=0, c'est plus simple. »
Ce qu'il faut écrire
« Je linéarise au point CONNU le plus proche : a=100, car 100=10 est exact et 101 en est très proche. »
Pourquoi : Le point de référence doit remplir deux conditions : f(a) et f′(a) se calculent exactement, et a est proche de la valeur cherchée. En a=0, la linéarisation de x n'existe même pas, la dérivée y étant infinie. Le bon réflexe est de chercher le carré, le cube ou l'angle remarquable le plus proche.
3.Utiliser l'approximation loin du point de référence
toute la question, et une réponse hors de l'intervalle [−1,1]
Ce qu'il ne faut pas écrire
« sinx≈x, donc sin3≈3. »
Ce qu'il faut écrire
« sinx≈x n'est valable que pour x proche de 0; sin3≈0,141, et l'approximation se trompe de plus de 2. »
La droite y=x et la courbe y=sinx sont indiscernables entre −0,3 et 0,3, puis divergent sans retour : en x=3, la droite annonce 3 alors que le sinus vaut 0,14.
Pourquoi : Une approximation linéaire n'a aucun domaine de validité imprimé sur elle : c'est à l'étudiant de le fixer. Le contrôle qui sauve : si la réponse sort du domaine des valeurs possibles de la fonction, comme un sinus supérieur à 1, elle est certainement fausse.
4.Oublier de multiplier l'erreur relative par l'exposant
2 points, et une conclusion scientifiquement fausse
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rayon est connu à 0,5% près, donc le volume aussi. »
Ce qu'il faut écrire
« V=34πr3 donne VdV=3rdr, donc le volume est connu à 1,5% près. »
Pourquoi : L'erreur relative se multiplie par l'exposant, parce que la dérivée logarithmique de rn vaut rn. C'est ce qui rend les mesures de volume beaucoup moins précises que les mesures de longueur, et c'est le résultat le plus utile du chapitre en laboratoire.
5.Confondre erreur absolue et erreur relative
1 point d'interprétation, souvent le dernier de la question
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'erreur sur le volume est de 62,8, donc elle est énorme. »
Ce qu'il faut écrire
« L'erreur absolue vaut 62,8 cm3 pour un volume de 4189 cm3, soit une erreur relative de 1,5%, ce qui est excellent. »
Pourquoi : Un nombre absolu ne se juge pas seul : il faut le rapporter à la grandeur mesurée. C'est exactement pourquoi les énoncés demandent presque toujours les deux, et pourquoi la conclusion doit citer le pourcentage.
6.Ne pas dire dans quel sens l'approximation se trompe
1 point, celui de l'interprétation
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'approximation donne 3,25 au lieu de 3, l'erreur est de 0,25. »
Ce qu'il faut écrire
« La courbe étant CONCAVE, la tangente passe au-dessus : l'approximation SURESTIME, ici de 0,25. »
Courbe concave (x, bleu) : la tangente passe au-dessus, l'approximation SURESTIME. Courbe convexe (x2, orange) : la tangente passe au-dessous, elle SOUS-ESTIME. Le signe de f′′ décide.
Pourquoi : La concavité décide du sens de l'erreur, et le dire ne coûte rien : f′′<0 donne une tangente au-dessus donc une surestimation, f′′>0 une tangente en dessous donc une sous-estimation. C'est la seule information qualitative que l'on peut donner sans calculer la valeur exacte, donc précisément celle que la question cherche.
7.Écrire dx avec le mauvais signe
2 points, l'estimation partant du mauvais côté
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour estimer 98 à partir de 100, je prends dx=2. »
Ce qu'il faut écrire
« dx=98−100=−2, donc dy=20−2=−0,1 et 98≈9,9. »
98 se trouve à GAUCHE de 100 : dx=−2 et la tangente donne 9,9 (vert). Avec dx=+2, on lit 10,1, la valeur estimée de 102 (rouge).
Pourquoi : dx est l'écart ORIENTÉ entre la valeur cherchée et le point de référence, dans cet ordre. Le contrôle est immédiat : 98<100 donc 98<10, et une estimation supérieure à 10 est fausse avant même d'être vérifiée.
Quelle méthode choisir
Quel point de référence choisir
Deux conditions, toujours les mêmes : f(a) et f′(a) doivent se calculer exactement, et a doit être aussi proche que possible de la valeur cherchée.
Si on estime une racine carrée → prendre le CARRÉ PARFAIT le plus proche
Exemple : 101 se linéarise en a=100, 24 en a=25
Si on estime une racine cubique → prendre le CUBE PARFAIT le plus proche
Exemple : 328 se linéarise en a=27
Si on estime une valeur trigonométrique → prendre l'angle REMARQUABLE le plus proche, en radians
Exemple : sin31° se linéarise en a=6π, avec dx=180π
Si on estime une exponentielle ou un logarithme → prendre a=0 pour ex et ln(1+x), ou a=1 pour lnx
Exemple : ln(1,02)≈0,02
Si il s'agit d'une propagation d'erreur de mesure → le point de référence est la MESURE elle-même, et dx est l'incertitude
Exemple : r=10 cm mesuré à ±0,05 cm donne a=10 et dx=0,05
Si aucun point commode n'est proche, l'approximation linéaire n'est pas l'outil demandé : la question attend alors un calcul exact ou la méthode de Newton.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Une propagation d'erreur, rédigée pour le correcteur
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une mesure avec une incertitude et demande l'erreur sur une grandeur qui en dépend.
1Écrire la relation entre les grandeurs : « Le volume de la sphère est V=34πr3. »
2Différentier : « dV=4πr2dr. »
3Substituer la mesure et l'incertitude : « Avec r=10 cm et dr=0,05 cm, dV=4π(100)(0,05)=20π cm3. »
4Donner l'erreur ABSOLUE avec son unité, puis l'erreur RELATIVE en pourcentage.
5Conclure par une phrase qui interprète le pourcentage.
Phrase de conclusion
Le volume vaut environ 4189 cm3 à 63 cm3 près, soit une erreur relative de 1,5%, trois fois celle du rayon.
Le piège : S'arrêter à l'erreur absolue. Le nombre 62,8 ne dit rien seul; c'est le rapport à 4189 qui permet de juger la mesure, et c'est lui que le barème attend en dernière ligne.
Barème : En général 1 point pour la différentielle, 1 point pour la substitution, 1 point pour l'erreur relative exprimée en pourcentage.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Comparer l'estimation à la calculatrice
Calculer la valeur exacte à la calculatrice et vérifier que l'estimation en est proche, du bon côté, et avec un écart plausible.
328≈3,0370 par linéarisation, 3,03659 à la calculatrice : écart de 0,0004, cohérent pour un déplacement de 1 sur 27 ✓.
Vérifier le sens de l'erreur par la concavité
Calculer le signe de f′′ au point de référence. Concave vers le bas, la tangente est au-dessus et l'estimation surestime; convexe, elle sous-estime.
f(x)=x a f′′(x)=−41x−3/2<0 : toute estimation par la tangente surestime, ce que confirme 3,25>3.
Contrôler l'ordre de grandeur du côté de la réponse
Se demander si la valeur cherchée est plus grande ou plus petite que f(a), avant tout calcul, et vérifier que l'estimation respecte ce sens.
98<100 donc 98<10 : une estimation à 10,1 signale un dx de mauvais signe.
Vérifier l'unité de chaque erreur
L'erreur absolue porte l'unité de la grandeur calculée, l'erreur relative n'en a aucune. Une erreur relative avec une unité, ou un pourcentage supérieur à 100, signalent une confusion entre les deux.
dV=62,8 cm3 et VdV=0,015, sans unité. Écrire 0,015 cm3 trahit un rapport mal formé.
L'exercice type décortiqué
Estimer une racine cubique sans calculatrice
Estimer 328 par approximation linéaire, puis dire si l'estimation est trop grande ou trop petite, et de combien.
Autour de x=27, la courbe y=3x et sa tangente sont pratiquement confondues : c'est ce qui rend l'estimation fiable à 28 et beaucoup moins à 36.
Étape 1
On pose f(x)=x1/3 et on choisit a=27, le cube parfait le plus proche de 28, avec f(27)=3 exactement.
Pourquoi
Le choix du point de référence est la seule décision du problème. Prendre a=8 donnerait f(8)=2, tout aussi exact, mais l'écart dx=20 ruinerait la précision.
Étape 2
f′(x)=31x−2/3=33x21, donc f′(27)=3×91=271.
Pourquoi
La dérivée se calcule exactement parce que 272/3=9 est entier. C'est la seconde condition du bon point de référence, et elle est aussi importante que la proximité.
Étape 3
dx=28−27=1, donc dy=f′(27)dx=271≈0,0370.
Pourquoi
dx est l'écart ORIENTÉ, valeur cherchée moins point de référence. Ici il est positif, donc l'estimation sera supérieure à 3, ce qui est cohérent puisque 28>27.
Étape 4
328≈f(27)+dy=3+271=2782≈3,0370.
Pourquoi
On additionne la valeur exacte au point de référence et la variation prédite. Écrire la fraction exacte 2782 avant l'arrondi est ce que le barème attend : la décimale seule ne prouve rien.
Étape 5
Sens de l'erreur : f′′(x)=−92x−5/3<0 pour x>0, donc la courbe est concave et la tangente passe AU-DESSUS. L'estimation surestime.
Pourquoi
La concavité répond sans calculer la valeur exacte, ce qui est exactement ce que la question demande. C'est un point gratuit pour qui pense à dériver deux fois.
Étape 6
Contrôle : la valeur exacte est 3,03659, l'estimation 3,03704, l'écart vaut 0,00045, positif ✓ comme la concavité l'annonçait. L'erreur relative est de 0,015%.
Pourquoi
Deux contrôles indépendants : le signe de l'écart confirme la concavité, et sa petitesse confirme que le point de référence était bien choisi.
Conclusion rédigée
328≈2782≈3,0370. La fonction étant concave, la tangente passe au-dessus de la courbe : l'estimation SURESTIME la valeur exacte, ici de 0,00045 environ.
L'erreur classique sur cet exercice : Prendre a=30 « parce que c'est un nombre rond ». Ni 301/3 ni 30−2/3 ne se calculent à la main : le point de référence doit être un CUBE parfait, pas un nombre rond.
À savoir par cœur
•dy=f′(x)dx est la variation PRÉDITE par la tangente; Δy est la variation réelle sur la courbe.
•L(x)=f(a)+f′(a)(x−a) : la tangente, écrite comme une fonction.
•dx est l'écart ORIENTÉ, valeur cherchée moins point de référence. Il peut être négatif.
•Erreur relative : ydy. Pour y=xn, elle vaut nxdx, donc elle se multiplie par l'exposant.
•f′′<0 : tangente au-dessus, l'estimation surestime. f′′>0 : elle sous-estime.
•Point de référence : le carré, le cube ou l'angle remarquable le plus PROCHE, jamais le plus rond.
•1+x≈1+2x, (1+x)n≈1+nx, ex≈1+x, ln(1+x)≈x, sinx≈x, pour x près de 0.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre dy et delta y ?
Delta y est la variation réelle de la fonction, mesurée sur la courbe entre deux points. Dy est la variation que prédit la tangente sur le même écart. Les deux sont proches quand l'écart est petit, et ne coïncident exactement que pour une fonction affine, dont la tangente est la courbe elle-même.
Comment choisir le point de référence d'une approximation linéaire ?
Il doit remplir deux conditions. La valeur de la fonction et celle de sa dérivée doivent s'y calculer exactement, et il doit être le plus proche possible de la valeur cherchée. Pour une racine carrée on prend le carré parfait voisin, pour une racine cubique le cube parfait, pour un sinus l'angle remarquable le plus proche.
Comment savoir si l'approximation linéaire surestime ou sous-estime ?
Le signe de la dérivée seconde le dit. Si elle est négative, la courbe est concave et la tangente passe au-dessus, donc l'estimation est trop grande. Si elle est positive, la courbe est convexe et la tangente passe en dessous, donc l'estimation est trop petite. Aucun calcul de la valeur exacte n'est nécessaire.
Pourquoi l'erreur relative sur un volume vaut-elle trois fois celle du rayon ?
Parce que le volume dépend du cube du rayon. En différentiant, le rapport de l'erreur au volume vaut trois fois le rapport de l'erreur au rayon. C'est le résultat général pour une puissance : l'erreur relative se multiplie par l'exposant, ce qui rend les mesures de volume nettement moins précises que celles de longueur.
Jusqu'où l'approximation sin x égale x reste-t-elle valable ?
Elle reste fiable à un pour cent près tant que l'angle en radians reste en dessous d'environ zéro virgule vingt-cinq, soit à peu près quatorze degrés. Au-delà elle se dégrade vite, et pour un angle de trois radians elle annonce trois alors que le sinus vaut zéro virgule quatorze. Une valeur de sinus supérieure à un signale toujours un usage abusif.
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Exercices corrigés : Différentielle et approximation linéaire
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