Exercices corrigés : mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire (203-SN1-RE)

a) La plus petite graduation vaut $1$ mm, donc $\Delta L=0{,}5$ mm $=0{,}05$ cm. On lit la position de chaque extrémité à la demi-graduation près.

b) $\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac{0{,}05}{23{,}47}=2{,}1\times 10^{-3}$, soit $0{,}21$ %.

c) L'incertitude s'arrondit à UN chiffre significatif (parfois deux quand ce chiffre est un $1$) : $0{,}0467\to 0{,}05$. La valeur s'arrondit ensuite à la même décimale que l'incertitude : $9{,}81234\to 9{,}81$. On écrit $g=(9{,}81\pm 0{,}05)$ m/s². Écrire $9{,}81234\pm 0{,}0467$ prétend connaître des millièmes alors que les centièmes sont déjà incertains.

d) $T=\dfrac{15{,}3}{10}=1{,}53$ s et $\Delta T=\dfrac{0{,}2}{10}=0{,}02$ s. $T=(1{,}53\pm 0{,}02)$ s.

e) L'incertitude de déclenchement ($0{,}2$ s) ne dépend pas de la durée mesurée : sur dix oscillations, elle se répartit sur dix périodes et l'incertitude sur une période est divisée par dix. Sur une seule oscillation, on aurait $\Delta T/T=13$ % ; sur dix, $1{,}3$ %.

a) $\Delta x=47{,}8-12{,}3=35{,}5$ cm.

b) $0{,}1+0{,}1=0{,}2$ cm : $\Delta x=(35{,}5\pm 0{,}2)$ cm. Chaque lecture peut être fausse dans un sens ou dans l'autre ; dans le pire cas, les deux erreurs s'ajoutent.

c) $\Delta T=23{,}1-22{,}4=0{,}7$ °C, avec une incertitude de $0{,}2$ °C : $(0{,}7\pm 0{,}2)$ °C.

d) $\dfrac{0{,}2}{0{,}7}=0{,}29$, soit $29$ %, alors que chaque lecture n'était incertaine qu'à $0{,}4$ %. Une DIFFÉRENCE de deux grandeurs voisines amplifie l'incertitude relative : c'est le premier réflexe à avoir en concevant une expérience.

e) Parce que rien ne garantit que les deux erreurs se compensent. Si $x_{1}$ est lu trop bas et $x_{2}$ trop haut, la différence est surestimée des deux erreurs à la fois. La règle $\Delta z=\Delta x+\Delta y$ couvre ce pire cas.

a) $V=\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}h=\pi\times 1{,}25^{2}\times 6{,}40=31{,}4$ cm³.

b) $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{85{,}2}{31{,}42}=2{,}712$ g/cm³.

c) $\rho=\dfrac{4m}{\pi d^{2}h}$ : le diamètre est au CARRÉ, son incertitude relative compte double. $\dfrac{\Delta\rho}{\rho}=\dfrac{0{,}1}{85{,}2}+2\times\dfrac{0{,}01}{2{,}50}+\dfrac{0{,}05}{6{,}40}=0{,}12\,\%+0{,}80\,\%+0{,}78\,\%=1{,}70$ %. Les facteurs exacts, $\pi$ et $4$, n'apportent aucune incertitude.

d) $\Delta\rho=0{,}0170\times 2{,}712=0{,}046$, arrondi à $0{,}05$ : $\rho=(2{,}71\pm 0{,}05)$ g/cm³.

e) L'intervalle $[2{,}66\,;2{,}76]$ contient $2{,}70$ : la mesure est compatible avec l'aluminium, et avec lui seul. On remarque que la balance, pourtant l'instrument le plus « visible », pèse le moins dans l'incertitude : c'est le pied à coulisse qu'il faudrait améliorer.

a) $g=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}800}{1{,}795^{2}}=9{,}802$ m/s².

b) $T$ est au DÉNOMINATEUR : $g$ est le plus grand quand $T$ est le plus PETIT. On prend donc $L_{max}=0{,}802$ m avec $T_{min}=1{,}790$ s. Associer $L_{max}$ et $T_{max}$ est l'erreur classique, elle fait se compenser les deux effets.

c) $g_{max}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}802}{1{,}790^{2}}=9{,}882$ m/s² et $g_{min}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}798}{1{,}800^{2}}=9{,}723$ m/s².

d) $\Delta g=\dfrac{9{,}882-9{,}723}{2}=0{,}079$ m/s², donc $g=(9{,}80\pm 0{,}08)$ m/s².

e) $\dfrac{\Delta g}{g}=\dfrac{0{,}002}{0{,}800}+2\times\dfrac{0{,}005}{1{,}795}=0{,}25\,\%+0{,}56\,\%=0{,}81$ %, soit $\Delta g=0{,}079$ m/s². Les deux méthodes concordent pour de petites incertitudes ; celle des extrêmes reste utilisable quand la formule est trop compliquée pour appliquer les règles.

a) $R=\dfrac{12{,}0^{2}\times\sin 80°}{9{,}81}=14{,}46$ m.

b) $\dfrac{\partial R}{\partial v_{0}}=\dfrac{2v_{0}\sin 2\theta}{g}=\dfrac{2R}{v_{0}}$, donc $\dfrac{2\times 14{,}46}{12{,}0}\times 0{,}1=0{,}24$ m. On retrouve la règle de la puissance : $v_{0}^{2}$ double l'incertitude relative de $v_{0}$.

c) $\dfrac{\partial R}{\partial\theta}=\dfrac{2v_{0}^{2}\cos 2\theta}{g}$, et $\Delta\theta=1°=0{,}01745$ rad : $\dfrac{2\times 144\times\cos 80°}{9{,}81}\times 0{,}01745=0{,}089$ m. Laisser $\Delta\theta=1$ dans la formule, en degrés, donnerait $5{,}1$ m, une incertitude absurde.

d) $\Delta R=0{,}24+0{,}09=0{,}33$ m, arrondi à $0{,}3$ : $R=(14{,}5\pm 0{,}3)$ m.

e) $\cos 90°=0$ : la contribution de l'angle s'annule. À $45°$, la portée est MAXIMALE, donc insensible au premier ordre à une petite erreur d'angle : c'est le sens de la dérivée nulle.

a) $\bar t=\dfrac{3{,}628}{8}=0{,}4535$ s.

b) Écarts à la moyenne, en ms : $-1{,}5$ ; $-5{,}5$ ; $7{,}5$ ; $1{,}5$ ; $-4{,}5$ ; $4{,}5$ ; $-2{,}5$ ; $0{,}5$. Somme des carrés : $138$ ms². $s=\sqrt{\dfrac{138}{7}}=4{,}4$ ms. On divise par $N-1$ : une moyenne calculée sur les données elles-mêmes « consomme » un degré de liberté.

c) $\dfrac{4{,}44}{\sqrt{8}}=1{,}6$ ms, d'où $\bar t=(0{,}4535\pm 0{,}0016)$ s, qu'on écrit $(0{,}454\pm 0{,}002)$ s.

d) $\dfrac{4{,}4}{1}\approx 4$. Le déclenchement de la bille, le passage devant le faisceau et les petits chocs varient d'un essai à l'autre : la résolution de l'affichage n'est PAS l'incertitude de la mesure. Le chiffre des millièmes est déjà incertain.

e) L'incertitude sur la moyenne décroît en $\dfrac{1}{\sqrt{N}}$ : pour la diviser par deux, il faut quatre fois plus de mesures, soit $32$. Répéter aide, mais de moins en moins, et ne corrige jamais une erreur systématique.

a) En élevant au carré : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{g}L$. Le graphique de $T^{2}$ en fonction de $L$ est une droite passant par l'origine, de pente $\dfrac{4\pi^{2}}{g}$. Tracer $T$ en fonction de $L$ donnerait une courbe en racine, dont on ne tire rien de précis à l'œil.

b) Valeurs de $T^{2}$ : $0{,}810$ ; $1{,}613$ ; $2{,}403$ ; $3{,}240$ ; $4{,}040$ s². La droite des moindres carrés a pour pente $a=4{,}04$ s²/m (tableur ou calculatrice).

c) $g=\dfrac{4\pi^{2}}{a}=\dfrac{39{,}48}{4{,}044}=9{,}76$ m/s².

d) $\dfrac{9{,}76-9{,}81}{9{,}81}=-0{,}5$ %. Utiliser TOUTE la série par une pente fait mieux que chaque mesure isolée, parce que les erreurs aléatoires se compensent partiellement le long de la droite.

e) Elle devrait être nulle : un pendule de longueur nulle n'a pas de période. Une ordonnée nettement non nulle signalerait une erreur SYSTÉMATIQUE sur $L$, par exemple une longueur mesurée jusqu'au crochet plutôt qu'au centre de la masse : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{g}(L+\ell)$ décale la droite sans changer sa pente. C'est un autre avantage de la pente : elle est insensible à ce décalage.

a) La précision est fixée par l'INCERTITUDE, pas par l'affichage. $9{,}81234$ m/s² issu d'une calculatrice n'est pas plus précis que $9{,}81$ si l'incertitude vaut $0{,}05$ : les chiffres au-delà sont du bruit.

b) Répéter réduit l'effet des erreurs ALÉATOIRES, en $\dfrac{1}{\sqrt{N}}$. Une erreur systématique (règle mal étalonnée, parallaxe toujours du même côté, temps de réaction constant) se retrouve identique dans chaque mesure et dans la moyenne.

c) Pour un produit ou un quotient, on additionne les incertitudes RELATIVES. Additionner des incertitudes absolues de grandeurs différentes (des grammes et des centimètres) n'aurait même pas de sens dimensionnel.

d) Le critère n'est pas la proximité mais l'intervalle : $[9{,}67\,;9{,}77]$ ne contient pas $9{,}81$. L'écart, $0{,}09$ m/s², vaut presque deux fois l'incertitude : la mesure n'est PAS compatible, et il faut chercher une erreur systématique ou une incertitude sous-estimée.

e) Tout dépend de ce qu'on veut conclure. $5$ % suffisent pour distinguer l'aluminium ($2{,}70$ g/cm³) du fer ($7{,}87$ g/cm³), pas pour distinguer $9{,}78$ de $9{,}81$ m/s². Une incertitude se juge par rapport à la question posée.

a) $h=\dfrac{g}{2}t^{2}$ : on porte $t^{2}$ en abscisse, et la pente vaut $\dfrac{g}{2}$. Valeurs de $t^{2}$ : $0{,}1024$ ; $0{,}2043$ ; $0{,}3058$ ; $0{,}4083$ s².

b) Régression : $a=4{,}91$ m/s², ordonnée à l'origine $-0{,}002$ m, négligeable.

c) $g=2a=9{,}81$ m/s².

d) Pentes extrêmes : $\Delta a=\dfrac{4{,}97-4{,}84}{2}=0{,}065$ m/s², donc $\Delta g=2\Delta a=0{,}13$ m/s² et $g=(9{,}8\pm 0{,}1)$ m/s². C'est la façon honnête de propager l'incertitude de chaque point jusqu'à la pente.

e) $t^{2}$ est une puissance : $\dfrac{\Delta(t^{2})}{t^{2}}=2\dfrac{\Delta t}{t}=2\times\dfrac{0{,}003}{0{,}639}=0{,}94$ %, donc $\Delta(t^{2})=0{,}0094\times 0{,}408=0{,}0038$ s². Les barres horizontales, pas les verticales, dominent ici : c'est le chronométrage qui limite l'expérience.

a) $F=0{,}300\times 9{,}81=2{,}94$ N et $\dfrac{F}{x}=\dfrac{2{,}943}{0{,}148}=19{,}9$ N/m, cohérent avec la pente de la régression.

b) $T=\dfrac{15{,}5}{20}=0{,}775$ s, avec $\Delta T=\dfrac{0{,}2}{20}=0{,}010$ s.

c) $k_{d}=\dfrac{4\pi^{2}m}{T^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}300}{0{,}775^{2}}=19{,}7$ N/m.

d) $\dfrac{\Delta k}{k}=\dfrac{0{,}001}{0{,}300}+2\times\dfrac{0{,}010}{0{,}775}=0{,}33\,\%+2{,}58\,\%=2{,}9$ %, donc $\Delta k_{d}=0{,}6$ N/m : $k_{d}=(19{,}7\pm 0{,}6)$ N/m.

e) Oui : les intervalles $[19{,}8\,;20{,}2]$ et $[19{,}1\,;20{,}3]$ se recouvrent. Deux mesures d'une même grandeur sont compatibles quand leurs intervalles d'incertitude ont une partie commune. La méthode statique est ici plus précise ; la dynamique est limitée par le chronométrage, dont l'incertitude compte double.

a) $\Delta v=0{,}0832\to 0{,}08$, au centième ; $v=3{,}46$ m/s. Résultat : $(3{,}46\pm 0{,}08)$ m/s.

b) $\Delta F=0{,}46\to 0{,}5$, au dixième ; $F=12{,}3$ N. Résultat : $(12{,}3\pm 0{,}5)$ N.

c) $\Delta E=27\to 30$ J, aux dizaines ; $E=1234{,}5\to 1230$ J. On écrit de préférence $(1{,}23\pm 0{,}03)\times 10^{3}$ J pour que les zéros ne passent pas pour significatifs.

d) $\Delta a=0{,}0013$ commence par un $1$ : on garde deux chiffres, $0{,}0013$, au dix-millième ; $a=0{,}0453$ m/s². Résultat : $(0{,}0453\pm 0{,}0013)$ m/s², ou $(4{,}53\pm 0{,}13)\times 10^{-2}$ m/s².

e) La valeur est donnée au dixième alors que l'incertitude annonce le millième : la valeur a été arrondie trop tôt, ou l'incertitude est inventée. Il faut revenir aux données et écrire la valeur au millième, par exemple $T=(2{,}003\pm 0{,}004)$ s ; on ne « complète » jamais avec des zéros qu'on n'a pas mesurés.

a) $v=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{0{,}0200}{0{,}0125}=1{,}60$ m/s. Les deux grandeurs doivent être dans les unités du SI AVANT la division.

b) $\dfrac{\Delta v}{v}=\dfrac{0{,}05}{2{,}00}+\dfrac{0{,}1}{12{,}5}=2{,}5\,\%+0{,}8\,\%=3{,}3$ %, donc $v=(1{,}60\pm 0{,}05)$ m/s.

c) $K=\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}250\times 1{,}60^{2}=0{,}320$ J.

d) $\dfrac{\Delta K}{K}=\dfrac{0{,}001}{0{,}250}+2\times 3{,}3\,\%=0{,}4\,\%+6{,}6\,\%=7{,}0$ %, et $\Delta K=0{,}022$ J : $K=(0{,}32\pm 0{,}02)$ J. La vitesse au carré double son incertitude relative.

e) La largeur du drapeau : ses $2{,}5$ % pèsent trois fois plus que le chronométrage électronique, et ils comptent double dans l'énergie. Un drapeau mesuré au pied à coulisse ($\pm 0{,}005$ cm) ramènerait l'incertitude sur $K$ à $2{,}5$ %.

a) $\dfrac{338-343}{343}=-1{,}5$ %.

b) $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ : l'écart dépasse l'incertitude d'un quart.

c) Non : $[334\,;342]$ ne contient pas $343$. Un écart relatif de $1{,}5$ % paraît faible, mais c'est l'incertitude annoncée qui juge, pas l'impression. Deux pistes : une erreur systématique (température mal estimée, correction de bout du tube oubliée), ou une incertitude sous-évaluée.

d) Oui : $[330\,;370]$ contient $343$.

e) La première, malgré son verdict. Son incertitude est cinq fois plus petite : elle est capable de révéler une erreur systématique de $1{,}5$ %, que la seconde, trop large, est incapable de voir. Être « compatible » avec une grosse incertitude n'est pas une qualité.

a) $e=\dfrac{5{,}10}{500}=0{,}0102$ cm $=0{,}102$ mm.

b) Diviser par un nombre EXACT divise l'incertitude absolue par ce même nombre : $\dfrac{0{,}05}{500}=1\times 10^{-4}$ cm $=0{,}001$ mm. $e=(0{,}102\pm 0{,}001)$ mm.

c) $\dfrac{0{,}001}{0{,}102}=1{,}0$ %, la même incertitude relative que sur la rame : $\dfrac{0{,}05}{5{,}10}=1{,}0$ %.

d) $\dfrac{0{,}05}{50}=1\times 10^{-3}$ cm $=0{,}01$ mm, soit $10$ %. Dix fois moins de feuilles, dix fois plus d'incertitude : on mesure toujours la plus grande quantité possible, puis on divise.

e) Que toutes les feuilles aient la même épaisseur et qu'elles soient empilées sans air entre elles. La méthode donne une épaisseur MOYENNE : elle ne dit rien d'une feuille particulière. C'est le même principe que chronométrer dix oscillations d'un pendule.

a) $mgh=0{,}500\times 9{,}81\times 1{,}000=4{,}905$ J et $\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}500\times 4{,}20^{2}=4{,}410$ J.

b) $W=4{,}905-4{,}410=0{,}495$ J.

c) $\Delta(mgh)=4{,}905\times\left(\dfrac{0{,}001}{0{,}500}+\dfrac{0{,}005}{1{,}000}\right)=4{,}905\times 0{,}7\,\%=0{,}034$ J. $\Delta K=4{,}410\times\left(0{,}2\,\%+2\times\dfrac{0{,}05}{4{,}20}\right)=4{,}410\times 2{,}58\,\%=0{,}114$ J.

d) Pour une différence, les incertitudes ABSOLUES s'additionnent : $\Delta W=0{,}034+0{,}114=0{,}148$ J, donc $W=(0{,}5\pm 0{,}1)$ J, avec une incertitude relative de $30$ %. Deux énergies connues à $1$ et $3$ % donnent une différence connue à $30$ %.

e) Mesurer la vitesse plus précisément : sa contribution ($0{,}114$ J) domine. Autre levier, souvent meilleur : augmenter la part du frottement, par une pente plus longue ou plus rugueuse, pour que $W$ ne soit plus une petite différence entre deux grands nombres.