Exercices corrigés : les circuits RC en courant continu (203-SN2-RE)

a) $\tau=RC=4{,}70\times 10^{3}\times 220\times 10^{-6}=1{,}03$ s. Les kilohms et les microfarads se convertissent AVANT le produit ; un ohm fois un farad donne une seconde.

b) À $t=0$ le condensateur est déchargé, $v_{C}=0$ : toute la tension est aux bornes de la résistance. $i_{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{12{,}0}{4700}=2{,}55\times 10^{-3}$ A $=2{,}55$ mA. Juste après la fermeture, un condensateur déchargé se comporte comme un FIL.

c) En régime permanent le courant s'annule et $v_{C}=\mathcal{E}$ : $Q=C\mathcal{E}=220\times 10^{-6}\times 12{,}0=2{,}64\times 10^{-3}$ C $=2{,}64$ mC. Le condensateur chargé se comporte comme un circuit OUVERT.

d) $v_{C}=12{,}0\times\left(1-e^{-2{,}00/1{,}034}\right)=12{,}0\times(1-0{,}145)=10{,}3$ V.

e) $1-e^{-t/\tau}=0{,}99$, donc $e^{-t/\tau}=0{,}01$ et $t=\tau\ln 100=4{,}61\tau=4{,}76$ s. La règle pratique « chargé après $5\tau$ » vient de là : à $5\tau$, il reste moins de $1$ % à gagner.

a) En parcourant la maille, la tension du condensateur $\dfrac{q}{C}$ est égale à la chute de tension dans la résistance $Ri$ : $\dfrac{q}{C}=Ri=-R\dfrac{dq}{dt}$, donc $R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=0$. Le signe moins traduit que la charge DIMINUE quand le courant circule.

b) $\dfrac{dq}{q}=-\dfrac{dt}{RC}$, puis $\ln q=-\dfrac{t}{RC}+\text{cte}$, d'où $q=Q_{0}e^{-t/RC}$. $\tau=RC=100\times 10^{3}\times 47{,}0\times 10^{-6}=4{,}70$ s.

c) $i(0)=\dfrac{V_{0}}{R}=\dfrac{9{,}00}{1{,}00\times 10^{5}}=9{,}00\times 10^{-5}$ A $=90{,}0$ µA. On le retrouve en dérivant : $i=-\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{Q_{0}}{RC}e^{-t/RC}$.

d) $v_{C}=9{,}00\,e^{-10{,}0/4{,}70}=9{,}00\times 0{,}119=1{,}07$ V.

e) $e^{-t/\tau}=\dfrac{1{,}00}{9{,}00}$, donc $t=\tau\ln 9=4{,}70\times 2{,}197=10{,}3$ s. Cohérent avec d) : à $10{,}0$ s la tension est à peine au-dessus de $1$ V.

a) En régime permanent le condensateur ne laisse plus passer de courant : $R_{1}$ et $R_{2}$ forment un diviseur de tension parcouru par $\dfrac{10{,}0}{9{,}00\times 10^{3}}=1{,}11$ mA. $v_{C}=R_{2}I=\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mathcal{E}=3{,}33$ V, et non $10{,}0$ V.

b) Source éteinte (remplacée par un fil), le condensateur voit $R_{1}$ et $R_{2}$ en PARALLÈLE : $R_{eq}=\dfrac{6{,}00\times 3{,}00}{6{,}00+3{,}00}=2{,}00$ kΩ.

c) $\tau=R_{eq}C=2{,}00\times 10^{3}\times 100\times 10^{-6}=0{,}200$ s. Le piège est de prendre $R_{1}C=0{,}600$ s : une partie du courant fourni part dans $R_{2}$, la charge est plus rapide et plafonne plus bas.

d) K ouvert, $R_{1}$ est hors circuit : le condensateur se décharge dans $R_{2}$ seule, $\tau'=R_{2}C=0{,}300$ s. La charge et la décharge n'ont pas la même constante de temps.

e) $v_{C}=3{,}33\,e^{-0{,}500/0{,}300}=3{,}33\times 0{,}189=0{,}630$ V.

a) Condensateur déchargé : il se comporte comme un fil. $R_{2}$ et $R_{3}$ sont en parallèle, $\dfrac{2\times 4}{2+4}=1{,}33$ kΩ, en série avec $R_{1}$ : $R_{tot}=2{,}33$ kΩ. $I_{0}=\dfrac{18{,}0}{2333}=7{,}71\times 10^{-3}$ A $=7{,}71$ mA.

b) Tension aux bornes du bloc parallèle : $7{,}714\times 1{,}333=10{,}29$ V. Branche du condensateur : $\dfrac{10{,}29}{4{,}00}=2{,}57$ mA (et $5{,}14$ mA dans $R_{2}$, la loi des nœuds donne bien $7{,}71$ mA).

c) Condensateur chargé : sa branche ne conduit plus. Il reste $R_{1}$ et $R_{2}$ en série : $I=\dfrac{18{,}0}{3{,}00\times 10^{3}}=6{,}00$ mA.

d) Plus de courant dans $R_{3}$, donc aucune chute de tension à ses bornes : le condensateur a la tension de $R_{2}$, $v_{C}=2{,}00\times 10^{3}\times 6{,}00\times 10^{-3}=12{,}0$ V.

e) $U=\dfrac{1}{2}Cv_{C}^{2}=\dfrac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 12{,}0^{2}=7{,}2\times 10^{-4}$ J $=0{,}72$ mJ.

a) $U_{0}=\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}\times 2200\times 10^{-6}\times 25{,}0^{2}=0{,}688$ J.

b) $P_{0}=\dfrac{V_{0}^{2}}{R}=\dfrac{625}{50{,}0}=12{,}5$ W.

c) $\displaystyle\int_{0}^{\infty}R\dfrac{V_{0}^{2}}{R^{2}}e^{-2t/\tau}dt=\dfrac{V_{0}^{2}}{R}\left[-\dfrac{\tau}{2}e^{-2t/\tau}\right]_{0}^{\infty}=\dfrac{V_{0}^{2}}{R}\cdot\dfrac{RC}{2}=\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}$. Toute l'énergie du condensateur finit en chaleur, quelle que soit la valeur de $R$ : la résistance ne change que la DURÉE de la décharge.

d) $\tau=50{,}0\times 2200\times 10^{-6}=0{,}110$ s.

e) L'énergie restante est $\dfrac{1}{2}Cv_{C}^{2}\propto e^{-2t/\tau}$ : elle décroît DEUX fois plus vite que la tension. $e^{-2t/\tau}=0{,}10$ donne $t=\dfrac{\tau\ln 10}{2}=0{,}127$ s $=127$ ms, alors que la tension, elle, n'est tombée qu'à $32$ % de sa valeur initiale.

a) $v(t_{1/2})=\dfrac{V_{0}}{2}$ donne $e^{-t_{1/2}/\tau}=\dfrac{1}{2}$, donc $t_{1/2}=\tau\ln 2=0{,}693\,\tau$. La demi-vie ne dépend pas de la tension de départ : c'est ce qui en fait une bonne mesure.

b) $\tau=\dfrac{6{,}9}{0{,}693}=9{,}95$ s et $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{9{,}95}{1{,}0\times 10^{6}}=9{,}95\times 10^{-6}$ F $=9{,}95$ µF.

c) Le condensateur se décharge dans $R$ ET dans le voltmètre : $R_{p}=\dfrac{1{,}0\times 10}{1{,}0+10}=0{,}909$ MΩ.

d) $C=\dfrac{9{,}95}{0{,}909\times 10^{6}}=1{,}095\times 10^{-5}$ F $=10{,}9$ µF.

e) $\dfrac{10{,}95-9{,}95}{10{,}95}=9{,}1$ %. Un instrument de mesure fait partie du circuit : un voltmètre de $10$ MΩ est « parfait » face à des kilohms, pas face à un mégohm. On choisit $R\ll R_{V}$, ou on corrige.

a) $v_{C}(T)=\mathcal{E}\left(1-e^{-T/RC}\right)=V_{s}$ donne $e^{-T/RC}=\dfrac{\mathcal{E}-V_{s}}{\mathcal{E}}$, donc $T=RC\ln\dfrac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}-V_{s}}$. Ici $\ln\dfrac{6{,}0}{2{,}0}=\ln 3=1{,}099$.

b) $T=\dfrac{60}{72}=0{,}833$ s.

c) $R=\dfrac{T}{C\ln 3}=\dfrac{0{,}833}{10\times 10^{-6}\times 1{,}099}=7{,}59\times 10^{4}$ Ω $=75{,}9$ kΩ.

d) $T'=RC\ln\dfrac{5{,}5}{1{,}5}=0{,}759\times 1{,}299=0{,}985$ s. Le seuil représente maintenant une fraction plus grande de la tension de la pile : il faut plus longtemps pour l'atteindre.

e) $\dfrac{60}{0{,}985}=61$ battements par minute. La dérive de la fréquence est un indicateur d'usure de la pile, surveillé lors des contrôles ; les appareils réels régulent la tension pour l'éviter.

a) Aucune charge ne franchit l'isolant. Des électrons quittent une armature et, au même moment, autant d'électrons arrivent sur l'autre par le reste du circuit : le courant est le même partout dans la maille, mais il n'y a pas de passage à travers le diélectrique.

b) La tension d'un condensateur ne peut pas sauter : $v_{C}=\dfrac{q}{C}$ et la charge a besoin de temps pour s'accumuler. Juste après la fermeture, $v_{C}=0$ et toute la tension de la source est aux bornes de la résistance, d'où le courant maximal $\dfrac{\mathcal{E}}{R}$.

c) L'énergie finale $\dfrac{1}{2}C\mathcal{E}^{2}$ ne dépend pas de $R$. Doubler $R$ double seulement la constante de temps : la charge est deux fois plus LENTE, pas plus grande.

d) $1-e^{-n}=0{,}99$ donne $n=\ln 100=4{,}6$. Au bout de $2\tau$, le condensateur n'est chargé qu'à $1-e^{-2}=86{,}5$ %.

e) $\tau=RC$ ne dépend pas de la source : la tension finale double, mais la fraction atteinte à chaque instant est la même. La charge prend la même durée pour arriver à $63$ % de sa valeur finale, quelle que soit $\mathcal{E}$.

a) $\mathcal{E}\left(1-e^{-T/RC}\right)=\dfrac{2}{3}\mathcal{E}$ donne $e^{-T/RC}=\dfrac{1}{3}$ et $T=RC\ln 3$.

b) $R_{min}=10{,}0$ kΩ : $T=10{,}0\times 10^{3}\times 100\times 10^{-6}\times\ln 3=1{,}10$ s.

c) $R_{max}=510$ kΩ : $T=51{,}0\times 1{,}099=56{,}0$ s.

d) $R=\dfrac{15}{100\times 10^{-6}\times 1{,}099}=1{,}365\times 10^{5}$ Ω, soit $136{,}5$ kΩ au total, donc $126{,}5$ kΩ sur le potentiomètre. Oublier la résistance fixe donne $10$ kΩ d'erreur.

e) Si la batterie passe de $12{,}0$ à $13{,}5$ V, le seuil passe de $8{,}0$ à $9{,}0$ V : la FRACTION à atteindre reste $\dfrac{2}{3}$, et $\mathcal{E}$ se simplifie dans l'équation. C'est le principe du circuit intégré 555, contrairement au stimulateur de l'exercice précédent, dont le seuil était fixe.

a) $U=\dfrac{1}{2}CV^{2}=\dfrac{1}{2}\times 100\times 10^{-6}\times(2{,}00\times 10^{3})^{2}=200$ J. Il faut élever au carré la tension en VOLTS : $2{,}00$ kV $=2000$ V.

b) $t=\dfrac{U}{P}=\dfrac{200}{50{,}0}=4{,}00$ s. C'est pour cette raison que l'appareil demande quelques secondes avant d'autoriser le choc.

c) $I_{0}=\dfrac{V}{R}=\dfrac{2000}{50{,}0}=40{,}0$ A.

d) $\tau=RC=50{,}0\times 100\times 10^{-6}=5{,}00\times 10^{-3}$ s $=5{,}00$ ms.

e) L'énergie restante décroît en $e^{-2t/\tau}$ : à $t=\tau$, il en reste $e^{-2}=13{,}5$ %, donc $86{,}5$ % a été délivré. Une charge accumulée en quatre secondes est libérée en quelques millisecondes : c'est la fonction même du condensateur, un réservoir qui se remplit lentement et se vide vite.

a) En série, les inverses s'additionnent : $\dfrac{1}{C_{s}}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{3}{60}$, donc $C_{s}=20{,}0$ µF, plus petite que chacune. C'est la règle INVERSE de celle des résistances.

b) $\tau_{s}=RC_{s}=5{,}00\times 10^{3}\times 20{,}0\times 10^{-6}=0{,}100$ s.

c) En parallèle, les capacités s'additionnent : $C_{p}=90{,}0$ µF et $\tau_{p}=0{,}450$ s, quatre fois et demie plus long.

d) En série, les deux condensateurs portent la MÊME charge, celle qui a traversé la résistance : $Q=C_{s}\mathcal{E}=20{,}0\times 12{,}0=240$ µC chacun. L'armature intérieure de $C_{1}$ et celle de $C_{2}$, reliées et isolées du reste, ont des charges opposées dont la somme reste nulle.

e) $V_{1}=\dfrac{240}{30{,}0}=8{,}00$ V et $V_{2}=\dfrac{240}{60{,}0}=4{,}00$ V. Le plus PETIT condensateur prend la plus grande tension, et la somme redonne bien $12{,}0$ V.

a) $\tau=RC=10{,}0\times 10^{3}\times 100\times 10^{-9}=1{,}00\times 10^{-3}$ s $=1{,}00$ ms. Attention au préfixe : un nanofarad vaut $10^{-9}$ F.

b) $3{,}30\left(1-e^{-t/\tau}\right)=1{,}50$ donne $e^{-t/\tau}=\dfrac{1{,}80}{3{,}30}$, donc $t=\tau\ln\dfrac{3{,}30}{1{,}80}=1{,}00\times 0{,}606=0{,}606$ ms.

c) Non : l'entrée franchit le seuil au bout de $0{,}6$ ms, en plein milieu des rebonds. Chaque rebond qui referme le contact vide le condensateur et relance la charge, et plusieurs franchissements du seuil restent possibles.

d) Il faut $\tau\times 0{,}606\ge 5{,}0$ ms, donc $\tau\ge\dfrac{5{,}0}{0{,}606}=8{,}25$ ms.

e) $C\ge\dfrac{8{,}25\times 10^{-3}}{10{,}0\times 10^{3}}=8{,}25\times 10^{-7}$ F $=825$ nF. On prendra la valeur normalisée supérieure, $1$ µF. Trop grande, en revanche, la capacité rendrait le bouton paresseux : l'utilisateur sentirait le retard au-delà d'une centaine de millisecondes.

a) $Q=CV=30\times 10^{-15}\times 1{,}0=3{,}0\times 10^{-14}$ C, soit $N=\dfrac{3{,}0\times 10^{-14}}{1{,}60\times 10^{-19}}=1{,}9\times 10^{5}$ électrons. Un bit, c'est moins de deux cent mille électrons.

b) $\tau=RC=1{,}0\times 10^{14}\times 30\times 10^{-15}=3{,}0$ s.

c) $e^{-t/\tau}=0{,}50$, donc $t=\tau\ln 2=2{,}1$ s.

d) $e^{-0{,}064/3{,}0}=0{,}979$ : il reste $97{,}9$ % de la tension, largement au-dessus du seuil.

e) $\dfrac{2{,}08}{0{,}064}=32$ périodes. Les constructeurs gardent cette marge parce que la résistance de fuite chute fortement quand la puce chauffe : à haute température, $\tau$ peut être divisée par dix, et la marge fond d'autant.

a) $v_{C}=\mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ donne $t=-\tau\ln\left(1-\dfrac{v_{C}}{\mathcal{E}}\right)=-1{,}00\times\ln(0{,}953)=4{,}81\times 10^{-2}$ s $=48{,}1$ ms.

b) $v_{C}\approx\mathcal{E}\left(1-\left(1-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)=\mathcal{E}\dfrac{t}{\tau}$ : le condensateur se charge presque à courant constant $\dfrac{\mathcal{E}}{R}$. Durée estimée : $t\approx\tau\dfrac{v_{C}}{\mathcal{E}}=47{,}0$ ms.

c) $\dfrac{48{,}14-47{,}0}{48{,}14}=2{,}4$ %. L'approximation sous-estime la durée, parce que le courant diminue déjà un peu pendant la charge.

d) $\dfrac{t}{2\tau}=\dfrac{0{,}0481}{2}=0{,}024$, soit $2{,}4$ % : le premier terme négligé explique toute l'erreur.

e) Il faut $\dfrac{t}{2\tau}\le 0{,}01$, soit $\dfrac{t}{\tau}\le 0{,}02$ et donc $\dfrac{v_{C}}{\mathcal{E}}\approx\dfrac{t}{\tau}\le 2$ %. On rend le chronomètre linéaire en choisissant $\tau$ au moins cinquante fois plus grande que les durées à mesurer.

a) $U=\dfrac{1}{2}\times 470\times 10^{-6}\times 20{,}0^{2}=9{,}40\times 10^{-2}$ J $=94{,}0$ mJ.

b) $\tau=(R_{1}+R_{2})C=400\times 470\times 10^{-6}=0{,}188$ s $=188$ ms.

c) En série, le même courant traverse les deux résistances : à chaque instant $P_{1}=R_{1}i^{2}$ et $P_{2}=R_{2}i^{2}$, dans le rapport $\dfrac{R_{1}}{R_{2}}$. Sur toute la décharge, $R_{1}$ reçoit $\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}U=\dfrac{100}{400}\times 94{,}0=23{,}5$ mJ. La plus GRANDE résistance chauffe le plus.