Exercices corrigés : le théorème de Gauss (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

a) Aire d'une face : $A=(0{,}200)^{2}=0{,}0400$ m$^{2}$. Les deux faces perpendiculaires au champ donnent $\Phi=\pm EA=\pm 350\times 0{,}0400=\pm 14{,}0$ N·m$^{2}$/C, l'une comptée négativement puisque le champ y ENTRE et l'autre positivement puisqu'il en SORT, la normale d'une surface fermée étant conventionnellement orientée vers l'extérieur. Les quatre autres faces sont parallèles au champ, leur normale lui est perpendiculaire, $\cos 90°=0$ et leur flux est nul. Total : $-14{,}0+14{,}0=0$. Le théorème de Gauss le confirme immédiatement : le cube n'enferme aucune charge, donc $\Phi=\dfrac{0}{\varepsilon_{0}}=0$.

b) Le flux TOTAL ne change pas, il reste nul : le théorème de Gauss ne dépend que de la charge enfermée, qui est toujours nulle, et absolument pas de l'orientation. En revanche, le flux à travers CHAQUE face change : les deux faces autrefois perpendiculaires ne reçoivent plus que $EA\cos 30{,}0°=12{,}1$ N·m$^{2}$/C en valeur absolue, et deux des faces autrefois parallèles reçoivent maintenant $EA\cos 60{,}0°=7{,}00$ N·m$^{2}$/C. La somme reste nulle, avec quatre contributions au lieu de deux. C'est la première leçon du chapitre : le théorème porte sur le total, jamais sur le détail.

c) $\Phi_{\text{tot}}=\dfrac{q}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{6{,}00\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}}=678$ N·m$^{2}$/C. Par symétrie, la charge étant au centre, les six faces sont rigoureusement équivalentes et se partagent le flux également : $\dfrac{678}{6}=113$ N·m$^{2}$/C chacune. Aucune intégrale n'est nécessaire, et c'est exactement l'intérêt du théorème : calculer directement l'intégrale du champ d'une charge ponctuelle sur une face carrée est un exercice pénible dont le résultat est ce nombre.

d) Un sommet est partagé par HUIT cubes identiques qui rempliraient l'espace autour de la charge. Par symétrie, chacun en reçoit un huitième : $\Phi=\dfrac{q}{8\varepsilon_{0}}=\dfrac{678}{8}=84{,}7$ N·m$^{2}$/C. La répartition entre les faces est plus subtile, et c'est la vraie question. Les TROIS faces qui touchent le sommet contiennent la charge dans leur propre plan : le champ y est partout parallèle à la face, donc leur flux est NUL. Les trois autres faces se partagent donc tout, par symétrie à parts égales : $\dfrac{84{,}7}{3}=28{,}2$ N·m$^{2}$/C chacune. Ce résultat, un huitième réparti sur trois faces, est un classique d'examen et il ne s'obtient que par l'argument d'angle solide, jamais par le calcul direct.

e) Le flux total est RIGOUREUSEMENT NUL, quelle que soit la proximité de la charge et quelle que soit sa valeur : elle n'est pas enfermée. Toutes les lignes de champ qui pénètrent dans le cube en ressortent, et les contributions positives et négatives se compensent exactement. Le champ, lui, n'est absolument pas nul sur cette face : à un centimètre, il vaut $\dfrac{k\times 50\times 10^{-9}}{(0{,}0100)^{2}}=4{,}49\times 10^{6}$ N/C, énorme. C'est la distinction à ne jamais perdre de vue : un flux nul ne dit rien du champ point par point, il dit seulement que le bilan entrant-sortant est équilibré.

a) $\rho=\dfrac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\dfrac{45{,}0\times 10^{-9}}{\frac{4}{3}\pi(0{,}100)^{3}}=\dfrac{45{,}0\times 10^{-9}}{4{,}189\times 10^{-3}}=1{,}07\times 10^{-5}$ C/m$^{3}$. Le mot ISOLANTE de l'énoncé est décisif : dans un conducteur la charge fuirait toute vers la surface, et il n'y aurait aucune densité volumique.

b) Surface de Gauss sphérique de rayon $r<R$. La charge enfermée est celle de la boule intérieure : $Q_{\text{int}}=Q\dfrac{r^{3}}{R^{3}}$, puisque la densité est uniforme et que les volumes sont dans le rapport des cubes. Alors $E(4\pi r^{2})=\dfrac{Q r^{3}}{\varepsilon_{0}R^{3}}$, d'où $E=\dfrac{kQr}{R^{3}}$. En $r=4{,}00$ cm : $E=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 45{,}0\times 10^{-9}\times 0{,}0400}{10^{-3}}=1{,}62\times 10^{4}$ V/m. Le champ croît parce que deux effets se battent et que l'un l'emporte : la charge enfermée augmente comme $r^{3}$, l'aire de la surface de Gauss seulement comme $r^{2}$, donc le quotient croît comme $r$. Ce n'est pas une exception à la décroissance habituelle, c'est ce qui se passe quand on ajoute de la source plus vite qu'on ne s'en éloigne. La gravité à l'intérieur de la Terre suit exactement la même loi.

c) Par l'expression intérieure : $E(R)=\dfrac{kQR}{R^{3}}=\dfrac{kQ}{R^{2}}=\dfrac{404{,}5}{0{,}0100}=4{,}04\times 10^{4}$ V/m. Par l'expression extérieure : $\dfrac{kQ}{R^{2}}$, identique. Le raccord est continu, et c'est la vérification obligatoire de tout champ défini par morceaux : si les deux branches ne se rejoignent pas en $r=R$, il y a une erreur. En $r=25{,}0$ cm : $E=\dfrac{404{,}5}{0{,}0625}=6{,}47\times 10^{3}$ V/m. Les trois points de la courbe sont bien $16{,}2$, $40{,}4$ et $6{,}47$ kV/m, avec le pic anguleux à la surface.

d) À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était ponctuelle : $V(0{,}250)=\dfrac{404{,}5}{0{,}250}=1{,}62\times 10^{3}$ V. À la surface : $V(R)=\dfrac{404{,}5}{0{,}100}=4{,}04\times 10^{3}$ V. À l'intérieur, $V=\dfrac{kQ}{2R^{3}}(3R^{2}-r^{2})$ : en $r=4{,}00$ cm, $V=\dfrac{404{,}5}{2\times 10^{-3}}(3\times 0{,}0100-0{,}00160)=2{,}022\times 10^{5}\times 0{,}0284=5{,}74\times 10^{3}$ V. Au centre : $V=\dfrac{3}{2}\dfrac{kQ}{R}=1{,}5\times 4{,}045\times 10^{3}=6{,}07\times 10^{3}$ V. Le potentiel est donc maximal au centre alors que le champ y est nul, ce qui est cohérent : $E=-\dfrac{dV}{dr}$, et une fonction maximale a une dérivée nulle.

e) Tout change à l'intérieur, rien à l'extérieur. Dans un conducteur en équilibre, la charge migre entièrement à la surface, donc pour $r<R$ la charge enfermée est nulle et $E=0$ partout à l'intérieur, en particulier en $r=4{,}00$ cm. À l'extérieur, en revanche, la charge enfermée reste $Q$ : le champ en $r=25{,}0$ cm est INCHANGÉ, $6{,}47\times 10^{3}$ V/m. C'est le point le plus important de la question, et il illustre la limite du théorème : le champ extérieur ne permet absolument pas de distinguer une sphère pleine d'une sphère creuse, d'un conducteur ou d'une charge ponctuelle, du moment que la charge totale est la même. Enfin, le champ étant nul dans tout le volume, le potentiel y est CONSTANT et vaut celui de la surface : $V=4{,}04\times 10^{3}$ V au centre, contre $6{,}07\times 10^{3}$ V dans le cas isolant.

a) La distribution est invariante par translation le long de l'axe et par rotation autour de lui, à condition de négliger les effets de bord, ce que fait l'hypothèse du câble infini. Le champ ne peut donc être que RADIAL et son module ne peut dépendre que de $r$. La surface adaptée est un cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$, fermé par deux disques. Sur la paroi latérale, $\vec{E}$ est partout perpendiculaire à la surface et de module constant : le flux vaut $E(2\pi rL)$. Sur les deux disques, $\vec{E}$ est radial donc PARALLÈLE au disque, la normale lui est perpendiculaire, et $\cos 90°=0$ : leur contribution est nulle. C'est exactement pour cette raison que la longueur $L$ finira par se simplifier, et qu'un choix arbitraire de $L$ ne pose aucun problème.

b) En $r=3{,}00$ mm, entre les deux conducteurs : $Q_{\text{int}}=\lambda L$, donc $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}=\dfrac{2k\lambda}{r}=\dfrac{2\times 8{,}988\times 10^{9}\times 3{,}20\times 10^{-9}}{3{,}00\times 10^{-3}}=1{,}92\times 10^{4}$ V/m. En $r=1{,}00$ mm, DANS le métal de l'âme : $E=0$, propriété d'un conducteur en équilibre, et cohérent avec le théorème puisque toute la charge de l'âme est sur sa surface, donc $Q_{\text{int}}=0$. En $r=5{,}00$ mm, dans le métal de la gaine : $E=0$ pour la même raison. En $r=8{,}00$ mm, à l'extérieur : la surface enferme $+\lambda L-\lambda L=0$, donc $E=0$. Le champ n'existe que dans l'anneau entre les deux conducteurs, et nulle part ailleurs.

c) Une surface de Gauss tracée DANS le métal de la gaine, entre $b$ et $c$, y voit un champ nul, donc un flux nul, donc une charge enfermée nulle. Elle enferme $+\lambda$ porté par l'âme et la charge de la surface intérieure de la gaine : celle-ci vaut donc $-\lambda=-3{,}20$ nC/m. La gaine portant $-\lambda$ au total, sa surface extérieure porte $-\lambda-(-\lambda)=0$. Aucune charge à l'extérieur, et c'est précisément ce qui annule le champ en $r=8{,}00$ mm.

d) $U=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{2k\lambda}{r}dr=2k\lambda\ln\dfrac{b}{a}=2\times 8{,}988\times 10^{9}\times 3{,}20\times 10^{-9}\times\ln 3{,}00=57{,}5\times 1{,}0986=63{,}2$ V, l'âme étant au potentiel le plus élevé puisqu'elle porte la charge positive. Capacité linéique : $\dfrac{C}{L}=\dfrac{\lambda}{U}=\dfrac{3{,}20\times 10^{-9}}{63{,}2}=5{,}06\times 10^{-11}$ F/m, soit $50{,}6$ pF/m. Vérification par la formule générale : $\dfrac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln(b/a)}=\dfrac{5{,}563\times 10^{-11}}{1{,}0986}=5{,}06\times 10^{-11}$ F/m. Cinquante picofarads par mètre est l'ordre de grandeur réel d'un câble d'instrumentation, et c'est ce qui limite la longueur utilisable avec une source de forte impédance.

e) Non, le signal n'est pas perturbé, et c'est la raison d'être du câble coaxial. La gaine est un conducteur fermé autour de l'âme : c'est une cage de Faraday cylindrique, et tout champ extérieur y induit une redistribution de charges qui annule le champ à l'intérieur. L'âme est donc électriquement aveugle au monde extérieur, et réciproquement elle ne rayonne pas. Si l'on COUPE la gaine sur quelques centimètres, la cage cesse d'être fermée : le champ extérieur pénètre par la fente, le blindage est perdu localement, et le câble se met à la fois à capter du bruit et à en émettre. C'est pourquoi une continuité de blindage médiocre à un connecteur suffit à ruiner tout un câblage, et pourquoi les mesures sensibles se font toujours avec des connecteurs à contact circonférentiel plutôt qu'avec une simple tresse tordue en un point.

a) Par symétrie, le champ est perpendiculaire au plan, dirigé vers l'extérieur si $\sigma>0$, et son module ne peut dépendre que de la distance $|x|$. On prend comme surface de Gauss une boîte cylindrique traversant le plan, de section $A$, dont les deux disques sont à égale distance de part et d'autre. La paroi latérale est parallèle au champ, son flux est nul ; chaque disque donne $EA$. Le flux total vaut donc $2EA$, et la charge enfermée $\sigma A$ : $2EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}$, d'où $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$. Pour le plan 1 : $\dfrac{4{,}00\times 10^{-9}}{2\times 8{,}854\times 10^{-12}}=226$ N/C. L'indépendance en distance vient de ce que $A$ se simplifie : en s'éloignant, on perd en intensité par charge mais on gagne autant en surface visible, un plan infini n'ayant aucune échelle de longueur propre pour dire ce qu'est « loin ».

b) Chaque plan crée $226$ N/C. ENTRE les plans, les deux champs pointent dans le même sens, du plan positif vers le plan négatif : ils s'ajoutent, $E=2\times 226=452$ N/C, dirigé selon $+x$. À l'EXTÉRIEUR, de chaque côté, les deux champs sont opposés et de même module : $E=0$. C'est le condensateur plan idéal, avec un champ uniforme confiné entre les armatures et rien au-dehors. On retrouve $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$, ce qui est cohérent avec la formule du condensateur.

c) Le plan 1 crée $226$ N/C, le plan 2 crée $\dfrac{6{,}00\times 10^{-9}}{2\times 8{,}854\times 10^{-12}}=339$ N/C, tous deux répulsifs puisque tous deux positifs. Région $x<0$ : les deux champs pointent selon $-x$, total $-565$ N/C, soit $565$ N/C vers la gauche. Région $0<x<d$ : le plan 1 pousse vers $+x$ à $226$ et le plan 2 pousse vers $-x$ à $339$ ; total $-113$ N/C, soit $113$ N/C vers la GAUCHE, en direction du plan le plus faiblement chargé. Région $x>d$ : les deux poussent vers $+x$, total $+565$ N/C. Le contrôle qui rassure est que la discontinuité du champ à la traversée de chaque plan vaut bien $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ : de $-565$ à $-113$ en franchissant le plan 1, soit $452=\dfrac{\sigma_{1}}{\varepsilon_{0}}$, et de $-113$ à $+565$ en franchissant le plan 2, soit $678=\dfrac{\sigma_{2}}{\varepsilon_{0}}$.

d) La formule reste une excellente approximation tant que la distance au plan est PETITE devant les dimensions de la plaque et devant la distance aux bords. Autrement dit, un observateur assez proche voit la plaque occuper tout son horizon et ne peut pas savoir qu'elle est finie. Près des bords, la symétrie est brisée : les lignes de champ s'incurvent vers l'extérieur, le champ cesse d'être perpendiculaire, il n'est plus uniforme, et il s'y concentre puisque la densité surfacique augmente sur une arête. Ce sont les effets de bord, et ils expliquent que la capacité réelle d'un condensateur plan soit toujours un peu SUPÉRIEURE à $\dfrac{\varepsilon_{0}A}{d}$, le champ de fuite stockant lui aussi de l'énergie.

e) Le champ juste à l'extérieur d'un conducteur vaut $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{4{,}00\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}}=452$ N/C, soit le DOUBLE de la question a) pour la même densité surfacique. Le paradoxe n'en est pas un dès qu'on démonte le raisonnement de Gauss. Pour la nappe isolée, la boîte dépasse des deux côtés et le flux sort par DEUX disques, d'où le facteur 2 au dénominateur. Pour le conducteur, la boîte a un disque à l'extérieur et l'autre DANS le métal, où le champ est nul : le flux ne sort que par un seul disque, $EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}$, sans facteur 2. Autre lecture, tout aussi juste : une plaque conductrice porte $\sigma$ sur CHACUNE de ses deux faces, soit $2\sigma$ au total, et deux nappes de $\sigma$ superposées donnent bien $2\times\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$. Les deux formules sont donc justes, elles ne parlent simplement pas du même $\sigma$, et il faut toujours préciser si la densité annoncée est celle d'une face ou celle de l'objet entier.

a) On découpe la sphère en coquilles d'épaisseur $dr'$, de volume $4\pi r'^{2}dr'$, chacune à densité constante : $Q=\displaystyle\int_{0}^{R}\rho_{0}\dfrac{r'}{R}4\pi r'^{2}\,dr'=\dfrac{4\pi\rho_{0}}{R}\displaystyle\int_{0}^{R}r'^{3}dr'=\dfrac{4\pi\rho_{0}}{R}\cdot\dfrac{R^{4}}{4}=\pi\rho_{0}R^{3}$. Numériquement : $\pi\times 2{,}50\times 10^{-6}\times(0{,}120)^{3}=1{,}36\times 10^{-8}$ C, soit $13{,}6$ nC. Notez que le résultat est $\pi\rho_{0}R^{3}$ et non $\dfrac{4}{3}\pi\rho_{0}R^{3}$ : la densité étant nulle au centre et maximale au bord, la moyenne pondérée par le volume vaut $\dfrac{3}{4}\rho_{0}$.

b) Le même calcul arrêté à $r$ donne $Q_{\text{int}}(r)=\dfrac{\pi\rho_{0}r^{4}}{R}$. Le théorème de Gauss sur une sphère de rayon $r$ : $E(4\pi r^{2})=\dfrac{\pi\rho_{0}r^{4}}{\varepsilon_{0}R}$, d'où $E=\dfrac{\rho_{0}r^{2}}{4\varepsilon_{0}R}=\dfrac{k\pi\rho_{0}r^{2}}{R}$. Le champ croît maintenant comme $r^{2}$ et non comme $r$ : la densité augmentant vers l'extérieur, la charge s'accumule plus vite que dans le cas uniforme. En $r=6{,}00$ cm : $E=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times\pi\times 2{,}50\times 10^{-6}\times(0{,}0600)^{2}}{0{,}120}=2{,}12\times 10^{3}$ V/m.

c) En $r=R$ : $E=\dfrac{k\pi\rho_{0}R^{2}}{R}=k\pi\rho_{0}R=8{,}988\times 10^{9}\times\pi\times 2{,}50\times 10^{-6}\times 0{,}120=8{,}47\times 10^{3}$ V/m. Contrôle par l'extérieur : $\dfrac{kQ}{R^{2}}=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 1{,}357\times 10^{-8}}{0{,}0144}=8{,}47\times 10^{3}$ V/m. Les deux coïncident, le raccord est bon. En $r=30{,}0$ cm, à l'extérieur, tout se passe comme pour une charge ponctuelle quelle que soit la répartition interne : $E=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 1{,}357\times 10^{-8}}{0{,}0900}=1{,}36\times 10^{3}$ V/m.

d) La formule uniforme donnerait $E=\dfrac{kQr}{R^{3}}=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 1{,}357\times 10^{-8}\times 0{,}0600}{1{,}728\times 10^{-3}}=4{,}24\times 10^{3}$ V/m, soit exactement le DOUBLE de la bonne réponse. L'écart n'est pas un hasard : le rapport des deux expressions vaut $\dfrac{R}{r}$ à un facteur près, et il vaut 2 précisément en $r=\dfrac{R}{2}$. L'origine de l'erreur est conceptuelle. La formule $\dfrac{kQr}{R^{3}}$ suppose que la charge enfermée croît comme $r^{3}$, ce qui n'est vrai que si la densité est uniforme ; ici elle croît comme $r^{4}$, la matière étant concentrée vers l'extérieur, et il y a donc moins de charge que prévu dans la région centrale. Rien à l'extérieur ne trahit cette différence, les deux distributions y donnant le même champ : le théorème de Gauss est incapable de distinguer deux répartitions de même charge totale, vues du dehors.

e) On veut $E$ constant, donc $\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}}$ constant, donc $Q_{\text{int}}(r)\propto r^{2}$. En dérivant, $\dfrac{dQ}{dr}=\rho(r)4\pi r^{2}\propto r$, d'où $\rho(r)\propto\dfrac{1}{r}$. La densité doit donc DIVERGER au centre comme $\dfrac{1}{r}$, ce qui est mathématiquement acceptable, l'intégrale $\int\dfrac{1}{r}r^{2}dr$ convergeant sans peine, mais physiquement irréaliste puisque la densité y deviendrait infinie. La question a pourtant un intérêt : elle montre qu'une loi de champ donnée détermine complètement la densité qui la produit, et c'est exactement le sens de la forme différentielle du théorème, $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}$, qui reconstruit la source à partir du champ.

a) Le théorème de Gauss reste vrai mais devient inutilisable, parce que la distribution n'a PLUS de symétrie sphérique : la cavité est décentrée, aucun axe ni aucun centre ne laisse la configuration invariante. Sur n'importe quelle surface fermée que l'on trace, le module de $\vec{E}$ n'est pas constant et sa direction n'est pas connue, donc on ne peut pas sortir $E$ de l'intégrale. Le déblocage vient du principe de superposition : le champ créé par une distribution est la somme des champs créés par ses morceaux, et rien n'oblige ces morceaux à exister physiquement. On écrit donc l'objet troué comme la SOMME de deux objets pleins et parfaitement symétriques : une sphère complète de rayon $R$ et de densité $+\rho$, plus une petite sphère de rayon $5{,}00$ cm et de densité $-\rho$ occupant exactement la cavité. Là où elles se superposent, les densités s'annulent, et l'on retrouve bien un trou.

b) Chaque sphère pleine crée, en un point intérieur repéré par le vecteur $\vec{r}$ depuis SON centre, un champ $\vec{E}=\dfrac{\rho\vec{r}}{3\varepsilon_{0}}$, ce qui est simplement $\dfrac{kQr}{R^{3}}$ réécrit avec la densité. Soit $O$ le centre de la grande sphère, $O'$ celui de la cavité, et $P$ un point quelconque de la cavité. La grande sphère y crée $\dfrac{\rho\,\overrightarrow{OP}}{3\varepsilon_{0}}$ et la petite sphère négative $-\dfrac{\rho\,\overrightarrow{O'P}}{3\varepsilon_{0}}$. La somme vaut $\dfrac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{O'P}\right)=\dfrac{\rho\,\overrightarrow{OO'}}{3\varepsilon_{0}}$, par la relation de Chasles. Le point $P$ a DISPARU du résultat : le champ ne dépend que du vecteur qui joint les deux centres, donc il est le même partout dans la cavité, en direction comme en module. C'est un résultat remarquable et parfaitement contre-intuitif, obtenu en trois lignes uniquement parce que le champ intérieur d'une sphère uniforme est linéaire en $\vec{r}$.

c) $E=\dfrac{\rho d}{3\varepsilon_{0}}=\dfrac{6{,}00\times 10^{-6}\times 0{,}0700}{3\times 8{,}854\times 10^{-12}}=\dfrac{4{,}20\times 10^{-7}}{2{,}656\times 10^{-11}}=1{,}58\times 10^{4}$ V/m, dirigé de $O$ vers $O'$, c'est-à-dire en s'éloignant du centre de la grande sphère. Remarquez ce qui n'intervient PAS : ni le rayon de la cavité, ni celui de la grande sphère. Seuls comptent la densité et la distance entre les centres.

d) Charge totale : $Q=\rho\dfrac{4}{3}\pi\left(R^{3}-r_{c}^{3}\right)=6{,}00\times 10^{-6}\times\dfrac{4}{3}\pi\left(3{,}375\times 10^{-3}-1{,}25\times 10^{-4}\right)=8{,}17\times 10^{-8}$ C, soit $81{,}7$ nC. À $50{,}0$ cm, on est loin devant toutes les dimensions de l'objet, et l'on peut le traiter comme une charge ponctuelle : $E=\dfrac{kQ}{r^{2}}=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 8{,}17\times 10^{-8}}{0{,}250}=2{,}94\times 10^{3}$ V/m. Il faut cependant rester honnête sur le statut de ce résultat : contrairement au cas parfaitement sphérique, ce n'est ici qu'une APPROXIMATION, valable parce que $50{,}0$ cm est grand devant $R$. La cavité décentrée donne à l'objet un moment dipolaire qui ajoute une correction en $\dfrac{1}{r^{3}}$, négligeable ici mais pas nulle.

e) Si $\vec{d}=\vec{0}$, l'expression donne $\vec{E}=\vec{0}$ : le champ est nul dans toute la cavité centrée. C'est parfaitement cohérent, et c'est même une vérification de la démonstration, car on retrouve par un autre chemin le résultat classique du théorème de Gauss : une coquille sphérique uniforme ne crée aucun champ dans sa cavité intérieure, puisqu'une surface de Gauss tracée dans le vide central n'enferme aucune charge. Le cas décentré est donc la généralisation du cas centré, et il montre que le champ nul de la coquille n'est pas dû à une propriété mystérieuse du vide mais à l'annulation exacte de deux contributions qui, dès qu'on brise la symétrie, cessent de se compenser.

a) Nappe isolante : $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\dfrac{8{,}00\times 10^{-9}}{2\times 8{,}854\times 10^{-12}}=452$ N/C, de part et d'autre. Conducteur : $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{8{,}00\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}}=904$ N/C juste à l'extérieur, et zéro à l'intérieur du métal. Le rapport est exactement 2, et il faut savoir l'expliquer, pas seulement le constater.

b) Pour la nappe, la boîte de Gauss est SYMÉTRIQUE : ses deux disques sont de part et d'autre du plan, dans le vide, et le champ sort par les deux. Le flux total vaut $2EA$, égal à $\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}$, d'où le facteur 2 au dénominateur. Pour le conducteur, la boîte est ASYMÉTRIQUE, et c'est tout le point : un disque est à l'extérieur, dans le vide, l'autre est enfoncé DANS LE MÉTAL, où le champ est rigoureusement nul. Le disque intérieur ne laisse donc passer aucun flux, la paroi latérale non plus puisque le champ y est parallèle, et tout le flux sort par le seul disque extérieur : $EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}$, sans facteur 2. Le facteur 2 n'est donc pas une propriété du matériau, c'est le nombre de faces par lesquelles le flux s'échappe.

c) Une plaque conductrice ISOLÉE et chargée porte de la charge sur ses DEUX faces, chacune à la densité $\sigma$. Un point situé juste à l'extérieur voit donc deux nappes, la face proche et la face lointaine, chacune créant $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ dans le même sens à l'extérieur : le total vaut $2\times\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$. À l'intérieur du métal, en revanche, les deux contributions sont opposées et s'annulent, ce qui redonne $E=0$. Les deux explications, celle de b) par la surface de Gauss et celle-ci par la superposition, sont rigoureusement équivalentes. La morale pratique est qu'il faut toujours demander si le $\sigma$ annoncé est celui d'UNE face ou celui de la plaque entière, car les deux réponses diffèrent d'un facteur deux.

d) $P=\dfrac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}=\dfrac{(8{,}00\times 10^{-9})^{2}}{2\times 8{,}854\times 10^{-12}}=\dfrac{6{,}40\times 10^{-17}}{1{,}771\times 10^{-11}}=3{,}61\times 10^{-6}$ Pa. C'est infime, trois millionièmes de pascal contre cent mille pascals pour l'atmosphère, et cela rappelle que les forces électrostatiques ne deviennent mécaniquement sensibles qu'à des champs très supérieurs. La pression est dirigée vers l'EXTÉRIEUR quel que soit le signe de la charge parce que $\sigma$ y intervient au CARRÉ : physiquement, les charges de surface, toutes de même signe, se repoussent mutuellement et tendent à écarter la surface. Changer le signe de toutes les charges ne change rien à leur répulsion mutuelle.

e) Une aspérité de rayon de courbure dix fois plus petit porte, à potentiel commun, une densité surfacique environ DIX fois plus grande, exactement comme la petite sphère du pouvoir des pointes. Le champ local, proportionnel à $\sigma$, est donc dix fois plus intense. Et la pression, proportionnelle à $\sigma^{2}$, est CENT fois plus grande. Ce dernier facteur explique un phénomène concret : une pointe soumise à un champ intense subit une traction bien plus forte que le reste de la surface, et sur un métal chauffé elle peut s'étirer jusqu'à s'arracher, ce qui déclenche l'arc. C'est le mécanisme de la rupture par émission de champ dans les tubes à vide et les accélérateurs, et la raison pour laquelle on polit électrolytiquement les électrodes destinées aux très hautes tensions.

a) Faux, et c'est la confusion la plus fréquente sur ce chapitre. Un flux nul signifie que le BILAN entre ce qui entre et ce qui sort est nul, pas que rien ne passe. Le cube de l'exercice 1 dans un champ uniforme en est l'exemple minimal : le champ y vaut partout $350$ N/C, il entre par une face et ressort par l'opposée, et le flux total est nul. Énoncé correct : un flux nul indique seulement que la charge enfermée est nulle, et il ne dit rien du champ point par point. La réciproque, elle, est vraie : si le champ est nul partout sur la surface, le flux l'est aussi.

b) Faux tel qu'écrit, et il manque un mot. Le théorème de Gauss est une loi générale de l'électrostatique, valable pour TOUTE distribution de charges et TOUTE surface fermée, sans aucune hypothèse de symétrie. Ce qui est restreint aux trois symétries, c'est sa capacité à donner le champ : seules elles permettent de sortir $E$ de l'intégrale. Énoncé correct : le théorème est toujours vrai, mais il n'est CALCULATOIREMENT utile que si une symétrie fournit une surface sur laquelle le module du champ est constant et sa direction connue. Ailleurs, il reste utilisable comme contrainte, comme dans l'exercice 6 où il fournit le champ de chaque sphère de la superposition.

c) La conclusion est juste, la justification est fausse. Les charges extérieures créent bel et bien un champ sur la surface, et il n'est pas petit : une charge de $50$ nC à un centimètre d'une face produit plus de quatre millions de volts par mètre, comme au 1e). Ce qui est nul, c'est leur contribution au FLUX TOTAL : leurs lignes de champ traversent la surface fermée de part en part, entrant d'un côté et ressortant de l'autre, et les deux contributions se compensent exactement. Énoncé correct : les charges extérieures contribuent au champ mais pas au flux net, et c'est pourquoi seul $Q_{\text{int}}$ figure au second membre.

d) Faux. À l'extérieur, une surface de Gauss sphérique enferme la même charge totale dans les deux cas, et la symétrie sphérique est la même : le théorème donne donc rigoureusement le même champ, $\dfrac{kQ}{r^{2}}$. Énoncé correct : vue de l'extérieur, toute distribution à symétrie sphérique est indiscernable d'une charge ponctuelle égale placée au centre, qu'elle soit creuse, pleine, uniforme ou de densité variable comme à l'exercice 5. C'est ce qui rend le théorème si puissant et, en même temps, ce qui en marque la limite : il ne peut pas servir à sonder la structure interne d'un objet depuis le dehors. C'est d'ailleurs pour la version gravitationnelle du même théorème que Newton a dû démontrer qu'une planète attire comme si toute sa masse était en son centre.

e) La conclusion est juste, la raison est fausse et elle est même absurde : au centre d'une sphère chargée, on n'est loin d'aucune charge, on est entouré par toutes. La bonne explication est celle du théorème. En se rapprochant du centre, la surface de Gauss n'enferme plus qu'une fraction de la charge, celle de la boule intérieure, et cette fraction décroît comme $r^{3}$ alors que l'aire ne décroît que comme $r^{2}$ : le quotient décroît donc comme $r$. Énoncé correct : le champ diminue vers le centre parce que la charge extérieure à la surface de Gauss cesse de contribuer, ses effets se compensant exactement, et non parce qu'on s'éloignerait de quoi que ce soit.

a) On trace une surface de Gauss entièrement dans le métal, entre $8{,}00$ et $9{,}00$ cm. Le champ y est nul par la propriété du conducteur en équilibre, donc le flux est nul, donc la charge enfermée est nulle. Cette surface enferme la bille, $+12{,}0$ nC, et la charge de la surface intérieure : celle-ci vaut donc $-12{,}0$ nC. La sphère étant globalement neutre, sa surface extérieure porte $+12{,}0$ nC. Le point remarquable est que l'induction est TOTALE : la surface intérieure porte exactement l'opposé de la charge introduite, ni plus ni moins, et cela ne dépend ni de la position de la bille ni de la forme de la cavité.

b) À $15{,}0$ cm, la surface de Gauss enferme $+12{,}0-12{,}0+12{,}0=+12{,}0$ nC : $E=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 12{,}0\times 10^{-9}}{(0{,}150)^{2}}=4{,}79\times 10^{3}$ V/m. Potentiel de la sphère, calculé en $r=9{,}00$ cm avec la formule extérieure : $V=\dfrac{8{,}988\times 10^{9}\times 12{,}0\times 10^{-9}}{0{,}0900}=1{,}20\times 10^{3}$ V, soit $1{,}20$ kV. Le métal entier est à ce potentiel.

c) Non, rien ne change, et c'est le résultat central de l'expérience. Où que se trouve la bille dans la cavité, la charge de la surface extérieure reste $+12{,}0$ nC, et à l'extérieur tout se passe comme si cette charge était uniformément répartie sur une sphère. Le champ et le potentiel extérieurs sont donc rigoureusement inchangés. La surface intérieure, elle, se redistribue en permanence pour suivre la bille, mais le monde extérieur ne peut pas le savoir : le métal EFFACE toute information sur la position et la forme de ce qui est à l'intérieur, et n'en laisse passer que la charge totale. C'est la version électrostatique du blindage, et c'est pourquoi le dispositif s'appelle aussi un écran.

d) Au contact, la bille et la sphère ne forment plus qu'un seul conducteur. Les $+12{,}0$ nC de la bille neutralisent exactement les $-12{,}0$ nC de la surface intérieure, et il ne reste plus que les $+12{,}0$ nC de la surface extérieure. L'électromètre indique EXACTEMENT LA MÊME CHOSE, $1{,}20$ kV, avant et après le contact. C'est un résultat déroutant qu'il faut savoir énoncer : le transfert de charge à l'intérieur d'une cavité conductrice ne modifie rien de ce qui se passe dehors, parce que la charge extérieure n'a jamais bougé. Le contact n'a fait que supprimer une paire de charges opposées qui, ensemble, ne contribuaient déjà à aucun champ extérieur.

e) La bille ressort déchargée parce que, une fois en contact, toute charge en excès d'un conducteur en équilibre migre vers la surface EXTÉRIEURE de l'ensemble, c'est-à-dire vers la sphère : il ne peut subsister aucune charge sur un conducteur situé dans une cavité, car il n'y a pas de surface extérieure disponible pour elle. Cela fonde deux applications. D'abord la MESURE : puisque la charge extérieure est rigoureusement égale à la charge introduite, quelle que soit sa position, il suffit de plonger un objet chargé dans le seau et de lire l'électromètre pour connaître sa charge, sans le toucher et sans le perturber. C'est la mesure de charge la plus précise dont on dispose, et c'est aussi la vérification expérimentale la plus fine de la loi en $\dfrac{1}{r^{2}}$, tout écart à l'exposant 2 produisant un champ résiduel dans la cavité. Ensuite le GÉNÉRATEUR : puisque déposer une charge à l'intérieur ne coûte rien de plus quand la sphère est déjà chargée, la cavité étant à potentiel uniforme, on peut y amener des charges indéfiniment sans lutter contre celles déjà accumulées. C'est exactement le principe du générateur de Van de Graaff, dont le peigne dépose toujours à l'intérieur.

a) Pour un conducteur, $E=\dfrac{|\sigma|}{\varepsilon_{0}}$ juste à l'extérieur, donc $\sigma=-\varepsilon_{0}E=-8{,}854\times 10^{-12}\times 130=-1{,}15\times 10^{-9}$ C/m$^{2}$, soit environ $-1{,}15$ nC par mètre carré. Le signe négatif traduit le sens du champ, dirigé vers le bas donc vers les charges négatives. Un nanocoulomb par mètre carré est très peu : cela correspond à environ sept milliards d'électrons en excès par mètre carré de sol, ce qui est négligeable devant le nombre d'atomes d'une seule couche superficielle.

b) $Q=\sigma\times 4\pi R^{2}=-1{,}15\times 10^{-9}\times 4\pi(6{,}37\times 10^{6})^{2}=-1{,}15\times 10^{-9}\times 5{,}10\times 10^{14}=-5{,}87\times 10^{5}$ C. Près de six cent mille coulombs, ce qui paraît colossal, mais rapporté à la taille de la planète cela reste une charge minuscule : le potentiel correspondant, $\dfrac{kQ}{R}$, ne vaut que $-830$ kV environ.

c) Avec un champ uniforme : $U=E\times h=130\times 5{,}00\times 10^{4}=6{,}50\times 10^{6}$ V, soit $6{,}5$ MV, plus de vingt fois la valeur réelle. L'écart vient de ce que le champ n'est pas du tout uniforme : il décroît très rapidement avec l'altitude, parce que l'air se ionise sous l'effet du rayonnement cosmique et devient de mieux en mieux conducteur en montant. Or dans un milieu conducteur parcouru par un courant, le champ vaut $\rho_{\text{résistivité}}J$ : à courant constant, plus la conductivité est grande, plus le champ est faible. Les $130$ V/m ne valent donc que dans les tout premiers mètres, et l'essentiel de la chute de potentiel se produit dans les premiers kilomètres. C'est le prototype de l'erreur commise en extrapolant une mesure de surface sur toute une épaisseur.

d) $t=\dfrac{|Q|}{I}=\dfrac{5{,}87\times 10^{5}}{1800}=326$ s, soit environ $5{,}4$ minutes. C'est le chiffre le plus frappant du problème : sans mécanisme de recharge, le champ électrique atmosphérique disparaîtrait en quelques minutes, et il est pourtant mesuré partout et en permanence depuis deux siècles. Il faut donc qu'un processus le régénère continûment, et c'est ce raisonnement, purement quantitatif, qui a conduit à chercher la source du circuit électrique global.