Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : charge, champ et potentiel électriques (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

Q: Quelle est la différence entre le champ électrique et le potentiel électrique ?

Le champ est un vecteur : il a une direction et s'additionne par composantes. Le potentiel est un scalaire : il n'a pas de direction et s'additionne comme un nombre signé. Le champ décroît comme l'inverse du carré de la distance, le potentiel comme l'inverse de la distance. En un même point, l'un peut être nul sans que l'autre le soit.

Q: Où le champ électrique de deux charges s'annule-t-il ?

Entre les deux charges si elles ont le même signe, et à l'extérieur du côté de la plus faible si elles ont des signes opposés. Le raisonnement se fait d'abord sur les directions : entre deux charges opposées, les deux champs pointent dans le même sens et ne peuvent donc jamais se compenser.

Q: Un flux nul signifie-t-il que le champ est nul ?

Non. Un flux nul signifie seulement qu'il entre autant de lignes de champ dans la surface fermée qu'il en sort, donc qu'elle ne contient aucune charge nette. Une charge placée juste à l'extérieur crée un champ non nul en tout point de la surface, alors que le flux total reste rigoureusement nul.

Q: Pourquoi le champ est-il nul à l'intérieur d'un conducteur ?

Parce que les électrons y sont libres de se déplacer. S'il subsistait un champ, ils bougeraient, et l'on ne serait pas à l'équilibre. Ils se redistribuent donc sur la surface extérieure jusqu'à créer un champ qui annule exactement le champ extérieur à l'intérieur du métal. C'est le principe de la cage de Faraday.

Q: Comment calculer l'énergie d'un système de trois charges ?

On additionne un terme par paire de charges, soit trois termes pour trois charges, et on garde les signes des charges. Chaque paire ne se compte qu'une seule fois, puisque l'énergie appartient à la paire et non à chaque charge séparément. Une énergie totale négative signale un système lié.

Q: Comment trouver la vitesse d'un électron accéléré par une tension ?

On égale l'énergie électrique gagnée à l'énergie cinétique acquise : la charge multipliée par la différence de potentiel vaut la moitié de la masse par la vitesse au carré. Aucune distance n'est nécessaire. Pour quelques kilovolts, on obtient quelques dizaines de millions de mètres par seconde, soit environ un dixième de la vitesse de la lumière.

L'électrostatique de 203-SN2-RE (ancien 203-SN2-RE) introduit quatre grandeurs qui se ressemblent et ne se manipulent pas du tout de la même façon : la force, le champ, le potentiel et l'énergie potentielle. Deux sont des vecteurs, deux sont des scalaires, et chaque erreur d'aiguillage coûte une question entière.

Cette fiche rassemble ce qui se corrige réellement en séance : les additions vectorielles bâclées, le signe de la charge perdu dans le potentiel, le théorème de Gauss appliqué sans symétrie, le flux nul pris pour un champ nul, et la double comptabilisation des paires dans l'énergie d'un système de charges.

Le fil du chapitre

Le champ est un VECTEUR, le potentiel un SCALAIRE. Presque tous les points perdus du chapitre viennent de cette seule ligne de partage : on additionne des composantes pour l'un, des nombres signés pour l'autre.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3, Mathématiques
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3, Mathématiques
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4, Mathématiques
4Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
5Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
7Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
8Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
9La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
10Cinématique en une et deux dimensionsMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
11Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Notions couvertes

Charge élémentaire
Loi de Coulomb
Champ électrique
Principe de superposition
Lignes de champ
Potentiel électrique
Différence de potentiel
Énergie potentielle électrique
Surfaces équipotentielles
Champ uniforme
Théorème de Gauss
Conducteur à l'équilibre

L'essentiel

La ligne de partage : vecteur ou scalaire

• VECTEURS, à additionner par composantes : la force $\vec{F}$ et le champ $\vec{E}$ . $E=\dfrac{k|q|}{r^{2}}$ avec $k=9{,}0\times 10^{9}$ N·m $^{2}$ /C $^{2}$ , direction fixée par le SIGNE de la charge source.
• SCALAIRES, à additionner comme des nombres signés : le potentiel $V=\dfrac{kq}{r}$ et l'énergie $U=qV$ . Le signe de $q$ entre directement dans la valeur, aucune composante à projeter.
• $\vec{F}=q\vec{E}$ : si $q<0$ , la force est OPPOSÉE au champ. C'est la seule façon dont le signe d'une charge d'essai intervient.
• Attention aux exposants : le champ est en $\dfrac{1}{r^{2}}$ , le potentiel en $\dfrac{1}{r}$ . Une seule de ces deux formules porte un carré.
• Travail du champ pour déplacer $q$ de A vers B : $W=q(V_{A}-V_{B})$ ; travail de l'opérateur extérieur : l'opposé.

Au milieu de deux charges identiques, les deux champs s'annulent parce qu'ils sont OPPOSÉS, alors que les deux potentiels s'ajoutent parce qu'ils n'ont pas de direction. Champ nul et potentiel nul ne vont pas ensemble.

Avant chaque calcul, écrire en marge « vecteur » ou « scalaire ». Ce mot d'un seul terme fait gagner plus de points que n'importe quelle formule apprise en plus.

Le champ uniforme, et l'énergie qui va avec

• Entre deux plaques parallèles : $E=\dfrac{\Delta V}{d}$ , dirigé de la plaque positive vers la négative, et uniforme partout entre les plaques.
• Le N/C et le V/m sont la MÊME unité : $1$ N/C $=1$ V/m.
• Charge accélérée sous une différence de potentiel, partie du repos : $\dfrac{1}{2}mv^{2}=|q|\,\Delta V$ . La masse et la charge n'apparaissent que là.
• Dans un champ uniforme, une charge décrit une PARABOLE, exactement comme un projectile : mouvement uniforme dans un sens, accélération constante $a=\dfrac{|q|E}{m}$ dans l'autre.
• Énergie d'un système de charges : un terme $\dfrac{kq_{i}q_{j}}{r_{ij}}$ par PAIRE, avec les signes, chaque paire comptée une seule fois. $U<0$ signifie système lié.

Trois charges donnent trois paires, quatre charges en donnent six. Compter les paires avant de calculer évite l'erreur la plus coûteuse de la question d'énergie.

Gauss et les conducteurs, les résultats à connaître

• $\Phi_{E}=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$ à travers une surface FERMÉE, avec $\varepsilon_{0}=8{,}85\times 10^{-12}$ C $^{2}$ /(N·m $^{2}$ ) et $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$ .
• Sphère chargée, vue de l'extérieur : elle se comporte comme une charge ponctuelle placée en son centre.
• Fil infini : $E=\dfrac{2k\lambda}{r}$ . Plan infini : $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ , indépendant de la distance. Condensateur plan : $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ .
• Conducteur à l'équilibre : $E=0$ à l'intérieur du métal, toute la charge excédentaire sur la surface extérieure, champ perpendiculaire à la surface.
• Une cavité vide dans un conducteur est protégée du champ extérieur : c'est la cage de Faraday.

Le théorème de Gauss est toujours vrai, mais il ne sert à CALCULER que dans trois symétries : sphérique, cylindrique, plane. Hors de là, il faut la superposition ou l'intégration.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Chercher le point de champ nul ENTRE deux charges de signes opposés

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $q_{1}=+9{,}0$ µC en $x=0$ et $q_{2}=-4{,}0$ µC en $x=3{,}0$ m, le champ s'annule entre les deux, plus près de la petite charge. »

Ce qu'il faut écrire

« Entre les deux, les deux champs pointent dans le MÊME sens et ne peuvent pas s'annuler. Le point nul est à l'extérieur, du côté de la petite charge : $\dfrac{9}{x^{2}}=\dfrac{4}{(x-3)^{2}}$ donne $x=9{,}0$ m. »

Entre les deux charges, le champ de la positive et celui de la négative pointent tous deux vers la droite : leur somme ne peut pas être nulle. Le point nul est en

x=9{,}0

m, au-delà de la charge la plus faible.

Pourquoi : Le raisonnement se fait sur les DIRECTIONS avant les grandeurs. Deux charges de même signe annulent leur champ entre elles; deux charges de signes opposés ne l'annulent qu'à l'extérieur, au-delà de la plus faible.

2. Additionner les grandeurs des champs au lieu de leurs composantes

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux charges créent en P des champs de $4{,}0\times 10^{4}$ N/C et $3{,}0\times 10^{4}$ N/C, donc $E=7{,}0\times 10^{4}$ N/C. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux champs font entre eux un angle : je projette. $E_{x}=\Sigma E_{ix}$ , $E_{y}=\Sigma E_{iy}$ , puis $E=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}$ . Perpendiculaires, ces deux champs donnent $5{,}0\times 10^{4}$ N/C, pas $7{,}0$ . »

Pourquoi : L'addition directe n'est valable que si les deux champs sont colinéaires et de même sens. C'est un cas particulier, jamais la règle, et l'énoncé le signale toujours par une figure où les charges ne sont pas alignées avec le point.

3. Perdre le signe de la charge dans le potentiel

3 points, et le calcul d'énergie qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=\dfrac{k|q_{1}|}{r_{1}}+\dfrac{k|q_{2}|}{r_{2}}$ , en valeurs absolues comme pour le champ. »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\dfrac{kq_{1}}{r_{1}}+\dfrac{kq_{2}}{r_{2}}$ AVEC les signes : une charge négative abaisse le potentiel. Le potentiel résultant peut être nul, positif ou négatif. »

Pourquoi : Les valeurs absolues servent au champ, parce que sa direction porte déjà l'information du signe. Le potentiel n'a pas de direction : c'est son signe qui porte tout, et le supprimer revient à effacer la donnée.

4. Croire que la force sur une charge suit toujours le champ

toute la question, la trajectoire part du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ pointe vers la droite, donc l'électron placé là est poussé vers la droite. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{F}=q\vec{E}$ et l'électron a $q<0$ : la force est OPPOSÉE au champ, donc dirigée vers la gauche. »

Pourquoi : Le champ est défini par la force sur une charge d'essai POSITIVE. Pour toute charge négative, la relation change de sens, et c'est le cas de l'électron, c'est-à-dire de la moitié des problèmes du cours.

5. Compter deux fois les paires dans l'énergie d'un système

toute la question, un facteur 2 sur le résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois charges, donc six termes : $U_{12}+U_{21}+U_{13}+U_{31}+U_{23}+U_{32}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trois charges donnent TROIS paires : $U=\dfrac{kq_{1}q_{2}}{r_{12}}+\dfrac{kq_{1}q_{3}}{r_{13}}+\dfrac{kq_{2}q_{3}}{r_{23}}$ . »

Pourquoi : L'énergie appartient à la PAIRE, pas à chaque charge séparément : le travail pour rapprocher A de B est le même que pour rapprocher B de A, ce n'est pas deux travaux. Le nombre de paires vaut $\dfrac{n(n-1)}{2}$ .

6. Conclure que le champ est nul parce que le flux l'est

3 points, et une réponse absurde en présence d'une charge extérieure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La surface de Gauss ne contient aucune charge, donc $\Phi=0$ , donc $E=0$ sur toute la surface. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Phi=0$ signifie qu'il entre autant de lignes de champ qu'il en sort. Le champ, lui, est non nul partout sur la surface : le flux est une SOMME algébrique, pas une mesure du champ. »

La charge est à l'EXTÉRIEUR de la surface : chaque ligne de champ qui entre finit par ressortir, donc le flux total est nul. Le champ, lui, est non nul en chaque point de cette surface.

Pourquoi : Le théorème de Gauss ne donne le champ que si la symétrie permet de sortir $E$ de l'intégrale. Sans symétrie, il reste vrai mais muet, et c'est précisément ce que la question veut faire dire.

7. Écrire le potentiel en $\dfrac{1}{r^{2}}$ ou le champ en $\dfrac{1}{r}$

2 points par occurrence, et souvent trois occurrences par copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=\dfrac{kq}{r^{2}}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $E=\dfrac{k|q|}{r^{2}}$ et $V=\dfrac{kq}{r}$ : le carré est au champ, jamais au potentiel. »

Pourquoi : Le potentiel est l'intégrale du champ le long d'un déplacement : intégrer $\dfrac{1}{r^{2}}$ donne $\dfrac{1}{r}$ . La règle se retrouve en dix secondes plutôt que de s'apprendre par cœur, et se contrôle par les unités.

8. Oublier que le champ est nul À L'INTÉRIEUR d'un conducteur

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La sphère métallique porte une charge $Q$ : à mi-rayon, le champ vaut $\dfrac{kQ}{r^{2}}$ avec $r$ égal à la moitié du rayon. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un conducteur à l'équilibre, $E=0$ partout dans le métal, quelle que soit la charge portée : toute la charge est sur la surface extérieure. La formule ne vaut qu'à l'extérieur. »

Pourquoi : Si le champ n'était pas nul, les électrons libres se mettraient en mouvement et l'on ne serait plus à l'équilibre. La formule en $\dfrac{kQr}{R^{3}}$ vaut pour une boule ISOLANTE uniformément chargée, jamais pour un métal.

Quelle méthode choisir

Vecteur ou scalaire, donc quelle addition

La grandeur demandée, avant tout calcul

Si on demande le CHAMP créé par plusieurs charges → vecteur : une grandeur par charge, puis projection sur $x$ et sur $y$

Exemple : $E=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}$ et $\tan\theta=\dfrac{E_{y}}{E_{x}}$
Si on demande le POTENTIEL en un point → scalaire : somme algébrique des $\dfrac{kq_{i}}{r_{i}}$ , signes compris, sans aucune projection

Exemple : deux charges opposées équidistantes donnent $V=0$
Si on demande la FORCE sur une charge placée en un point → calculer $\vec{E}$ , puis $\vec{F}=q\vec{E}$ , et inverser le sens si $q<0$

Exemple : un électron dans un champ vers la droite subit une force vers la gauche
Si on demande l'ÉNERGIE d'une charge placée en un point → $U=qV$ , un seul produit, avec les deux signes

Exemple : $q<0$ dans un $V>0$ donne $U<0$
Si on demande l'ÉNERGIE D'ASSEMBLAGE d'un système → une somme sur les PAIRES, $\dfrac{n(n-1)}{2}$ termes

Exemple : trois charges donnent trois termes
Si on demande un TRAVAIL ou une vitesse finale → conservation de l'énergie : $\dfrac{1}{2}mv^{2}=|q|\Delta V$ , jamais la force ni l'accélération

Exemple : un électron accéléré sous $2{,}00$ kV atteint $2{,}65\times 10^{7}$ m/s

Une question qui contient le mot « vitesse » ou « travail » se traite par l'énergie, donc par des scalaires. Une question qui contient « direction » ou « angle » se traite par le champ, donc par des composantes. Le vocabulaire de l'énoncé décide.

Quelle méthode pour trouver un champ

La géométrie de la distribution de charge

Si une seule charge ponctuelle → $E=\dfrac{k|q|}{r^{2}}$ , direction selon le signe

Exemple : aucune intégrale, aucun théorème
Si deux, trois ou quatre charges ponctuelles → superposition par composantes

Exemple : champ résultant au sommet d'un triangle
Si symétrie SPHÉRIQUE, CYLINDRIQUE ou PLANE → théorème de Gauss, avec la surface adaptée à la symétrie

Exemple : sphère, fil infini, plan infini, condensateur plan
Si un anneau ou une tige, sur son axe → formule intégrée : $E=\dfrac{kQx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}$ pour l'anneau

Exemple : un anneau donne un champ NUL en son centre, par symétrie
Si entre deux plaques parallèles → $E=\dfrac{\Delta V}{d}$ , uniforme

Exemple : $60$ V sur $1{,}5$ cm donnent $4{,}0\times 10^{3}$ V/m
Si à l'intérieur du métal d'un conducteur à l'équilibre → $E=0$ , sans calcul

Exemple : cage de Faraday, cavité protégée

Le théorème de Gauss reste vrai sans symétrie, mais il ne permet plus de calculer : on ne peut pas sortir $E$ de l'intégrale. Une question de Gauss sans symétrie annoncée attend donc une réponse sur le FLUX, pas sur le champ.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer le théorème de Gauss, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé annonce une sphère, un fil, un cylindre ou un plan, et demande le champ à une distance donnée.

1 Nommer la symétrie et en déduire la direction du champ : « la distribution a la symétrie sphérique, donc $\vec{E}$ est radial et sa grandeur ne dépend que de $r$ . »
2 Choisir la surface fermée qui épouse cette symétrie, et le dire : sphère de rayon $r$ , cylindre coaxial de longueur $L$ , boîte traversant le plan.
3 Justifier la sortie de $E$ hors de l'intégrale : « $\vec{E}$ est constant en grandeur et parallèle à $d\vec{A}$ sur toute la surface latérale », et signaler les faces où le flux est nul.
4 Écrire $\Phi=EA=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$ , en explicitant $A$ et surtout $Q_{int}$ , la charge RÉELLEMENT contenue dans la surface choisie.
5 Isoler $E$ , puis vérifier le cas limite : de très loin, la distribution doit se comporter comme une charge ponctuelle.

Phrase de conclusion

« Par symétrie sphérique, $\vec{E}$ est radial et de grandeur constante sur la sphère de rayon $r$ . Le flux vaut donc $E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$ , d'où $E=\dfrac{Q_{int}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\dfrac{kQ_{int}}{r^{2}}$ . »

Le piège : Mettre la charge TOTALE dans $Q_{int}$ alors que la surface de Gauss n'en contient qu'une partie. À l'intérieur d'une boule isolante uniformément chargée, $Q_{int}$ ne vaut que la fraction $\dfrac{r^{3}}{R^{3}}$ de la charge.

Barème : Souvent 1 point pour la symétrie énoncée, 1 pour le choix de la surface, 2 pour le flux correctement écrit, 1 pour $Q_{int}$ , 1 pour l'isolement de $E$ .

Accélérer une charge sous une différence de potentiel

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une vitesse finale, une énergie ou un temps de vol après un passage entre deux électrodes.

1 Choisir l'énergie plutôt que la force : la question ne demande ni direction ni durée, donc aucune raison de calculer une accélération.
2 Écrire la conservation : l'énergie potentielle perdue devient de l'énergie cinétique, $|q|\Delta V=\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$ .
3 Vérifier le SENS : une charge n'est accélérée que si elle va vers le potentiel qui lui convient, un électron du potentiel bas vers le potentiel haut.
4 Isoler $v=\sqrt{\dfrac{2|q|\Delta V}{m}}$ et contrôler l'ordre de grandeur, quelques $10^{7}$ m/s pour un électron sous quelques kilovolts.

Phrase de conclusion

« L'électron part du repos et traverse une différence de potentiel de $2{,}00$ kV : $\dfrac{1}{2}mv^{2}=e\Delta V$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{2(1{,}6\times 10^{-19})(2000)}{9{,}11\times 10^{-31}}}=2{,}65\times 10^{7}$ m/s. »

Le piège : Passer par la force et l'accélération, ce qui oblige à connaître la distance entre les électrodes. L'énergie ne demande que la différence de potentiel, et c'est pour cela que l'énoncé ne donne pas cette distance.

Barème : 2 points pour l'équation d'énergie posée, 1 pour la substitution, 1 pour le résultat avec son unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le mot « vecteur » ou « scalaire » écrit en marge

Repasser sur chaque ligne de la copie et vérifier que les champs y sont projetés et que les potentiels y sont additionnés directement. Une racine de somme de carrés sur des potentiels est une erreur immédiate.

Un $V=\sqrt{V_{1}^{2}+V_{2}^{2}}$ : le potentiel n'a pas de composantes.
Les exposants de $r$

Contrôler par les unités : le champ est en N/C, donc en $\dfrac{1}{r^{2}}$ ; le potentiel est en volts, donc en $\dfrac{1}{r}$ . Le rapport $\dfrac{V}{E}$ doit avoir la dimension d'une longueur.

Un $\dfrac{V}{E}$ qui sort en mètres carrés : un des deux exposants est faux.
Le signe du résultat, relu comme une information

Un potentiel négatif, une énergie négative ou un travail négatif ne sont pas des erreurs : ils disent respectivement charge négative dominante, système lié, et déplacement contre la force.

Un $U=-3{,}2\times 10^{-18}$ J pour un électron près d'un proton : parfaitement normal, le système est lié.
L'ordre de grandeur d'une vitesse d'électron

Sous quelques kilovolts, un électron atteint quelques $10^{7}$ m/s, soit environ un dixième de la vitesse de la lumière. Toute valeur supérieure à $3\times 10^{8}$ m/s est impossible.

Un $v=2{,}6\times 10^{9}$ m/s : la masse de l'électron a été prise pour celle du proton, ou l'exposant est faux.
Le nombre de paires dans une énergie de système

Compter les paires avant de calculer : $3$ charges donnent $3$ termes, $4$ en donnent $6$ . Écrire ce nombre en marge, puis compter les termes réellement présents.

Six termes pour trois charges : chaque paire a été comptée deux fois, l'énergie est doublée.

L'exercice type décortiqué

Le canon à électrons : accélérer, puis dévier

Un électron part du repos et est accéléré sous une différence de potentiel $\Delta V_{acc}=2{,}00$ kV. Il entre ensuite, parallèlement aux plaques et à mi-distance, dans un condensateur plan de longueur $L=6{,}00$ cm dont les plaques sont séparées de $d=1{,}50$ cm et soumises à $\Delta V_{p}=60{,}0$ V.

Calculer la vitesse d'entrée, puis la déviation verticale à la sortie des plaques, et vérifier que l'électron ne heurte pas une plaque. On prend $e=1{,}6\times 10^{-19}$ C et $m=9{,}11\times 10^{-31}$ kg.

Deux étages, deux physiques : le champ accélère l'électron LE LONG du mouvement dans le canon, puis PERPENDICULAIREMENT entre les plaques, d'où la parabole. La déviation est exagérée ici, elle ne vaut que

1{,}80

mm.

Étape 1

Vitesse d'entrée, par l'énergie : $e\Delta V_{acc}=\dfrac{1}{2}mv^{2}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{2(1{,}6\times 10^{-19})(2000)}{9{,}11\times 10^{-31}}}=2{,}65\times 10^{7}$ m/s.

Pourquoi

L'énergie évite complètement la géométrie du canon : ni la distance entre cathode et anode ni la forme du champ n'interviennent, ce qui explique que l'énoncé ne les donne pas.

Étape 2

Champ entre les plaques : $E=\dfrac{\Delta V_{p}}{d}=\dfrac{60{,}0}{0{,}0150}=4{,}00\times 10^{3}$ V/m, dirigé de la plaque positive vers la négative.

Pourquoi

C'est la seule formule du chapitre où la distance entre les plaques compte. L'électron, de charge négative, est attiré vers la plaque POSITIVE, donc dans le sens opposé au champ.

Étape 3

Accélération transversale : $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1{,}6\times 10^{-19})(4{,}00\times 10^{3})}{9{,}11\times 10^{-31}}=7{,}03\times 10^{14}$ m/s $^{2}$ .

Pourquoi

Le poids de l'électron, de l'ordre de $10^{-29}$ N, est négligeable devant la force électrique, de l'ordre de $10^{-16}$ N : c'est pourquoi la gravité ne figure jamais dans ce type de problème.

Étape 4

Durée du passage : la composante horizontale de la vitesse est INCHANGÉE, donc $t=\dfrac{L}{v}=\dfrac{0{,}0600}{2{,}65\times 10^{7}}=2{,}26\times 10^{-9}$ s.

Pourquoi

Exactement comme pour un projectile : le mouvement horizontal reste uniforme parce que le champ n'a pas de composante dans cette direction. C'est ce découplage qui rend le problème soluble.

Étape 5

Déviation verticale : $y=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}(7{,}03\times 10^{14})(2{,}26\times 10^{-9})^{2}=1{,}80\times 10^{-3}$ m, soit $1{,}80$ mm.

Pourquoi

L'électron part à mi-distance, donc il dispose de $\dfrac{d}{2}=7{,}50$ mm avant de toucher la plaque. Comme $1{,}80<7{,}50$ , il sort bien du condensateur : cette comparaison fait partie de la réponse.

Étape 6

Vérification par la formule compacte : $y=\dfrac{L^{2}\Delta V_{p}}{4d\,\Delta V_{acc}}=\dfrac{(0{,}0600)^{2}(60{,}0)}{4(0{,}0150)(2000)}=1{,}80\times 10^{-3}$ m.

Pourquoi

Ni $e$ ni $m$ n'y figurent : ils se sont simplifiés. Le contrôle est donc indépendant des deux constantes utilisées plus haut, et c'est ce qui en fait une vraie vérification.

Étape 7

Angle de sortie : $\tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{x}}=\dfrac{at}{v}=\dfrac{1{,}59\times 10^{6}}{2{,}65\times 10^{7}}=0{,}0600$ , donc $\theta=3{,}43^{\circ}$ .

Pourquoi

L'angle reste petit, ce qui confirme la faible déviation. Une valeur de plusieurs dizaines de degrés signalerait une erreur d'exposant sur le champ ou sur la vitesse.

Conclusion rédigée

« L'électron entre dans le condensateur à $2{,}65\times 10^{7}$ m/s. Le champ entre les plaques vaut $4{,}00\times 10^{3}$ V/m et lui donne une accélération transversale de $7{,}03\times 10^{14}$ m/s $^{2}$ pendant $2{,}26$ ns, d'où une déviation de $1{,}80$ mm. Comme $1{,}80$ mm est inférieur à la demi-distance de $7{,}50$ mm, l'électron sort des plaques, avec un angle de $3{,}43^{\circ}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la déviation avec la vitesse verticale finale au lieu de la moyenne, c'est-à-dire écrire $y=v_{y}t$ au lieu de $y=\dfrac{1}{2}at^{2}$ . Le résultat est exactement doublé, et rien dans les unités ne le signale.

À savoir par cœur

• $E=\dfrac{k|q|}{r^{2}}$ est un vecteur; $V=\dfrac{kq}{r}$ est un scalaire SIGNÉ. Le carré est au champ.
• $\vec{F}=q\vec{E}$ : pour $q<0$ , la force est opposée au champ.
• Deux charges opposées : champ nul À L'EXTÉRIEUR, du côté de la plus faible. Deux charges de même signe : champ nul ENTRE elles.
• Énergie d'un système : un terme par PAIRE, $\dfrac{n(n-1)}{2}$ termes, signes compris.
• $\Phi=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$ : flux nul ne veut pas dire champ nul.
• Conducteur à l'équilibre : $E=0$ dans le métal, charge sur la surface extérieure.
• Champ uniforme : $E=\dfrac{\Delta V}{d}$ , et $1$ N/C $=1$ V/m.
• Charge accélérée depuis le repos : $\dfrac{1}{2}mv^{2}=|q|\Delta V$ , quelques $10^{7}$ m/s pour un électron sous quelques kilovolts.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le champ électrique et le potentiel électrique ?

Le champ est un vecteur : il a une direction et s'additionne par composantes. Le potentiel est un scalaire : il n'a pas de direction et s'additionne comme un nombre signé. Le champ décroît comme l'inverse du carré de la distance, le potentiel comme l'inverse de la distance. En un même point, l'un peut être nul sans que l'autre le soit.

Où le champ électrique de deux charges s'annule-t-il ?

Entre les deux charges si elles ont le même signe, et à l'extérieur du côté de la plus faible si elles ont des signes opposés. Le raisonnement se fait d'abord sur les directions : entre deux charges opposées, les deux champs pointent dans le même sens et ne peuvent donc jamais se compenser.

Un flux nul signifie-t-il que le champ est nul ?

Non. Un flux nul signifie seulement qu'il entre autant de lignes de champ dans la surface fermée qu'il en sort, donc qu'elle ne contient aucune charge nette. Une charge placée juste à l'extérieur crée un champ non nul en tout point de la surface, alors que le flux total reste rigoureusement nul.

Pourquoi le champ est-il nul à l'intérieur d'un conducteur ?

Parce que les électrons y sont libres de se déplacer. S'il subsistait un champ, ils bougeraient, et l'on ne serait pas à l'équilibre. Ils se redistribuent donc sur la surface extérieure jusqu'à créer un champ qui annule exactement le champ extérieur à l'intérieur du métal. C'est le principe de la cage de Faraday.

Comment calculer l'énergie d'un système de trois charges ?

On additionne un terme par paire de charges, soit trois termes pour trois charges, et on garde les signes des charges. Chaque paire ne se compte qu'une seule fois, puisque l'énergie appartient à la paire et non à chaque charge séparément. Une énergie totale négative signale un système lié.

Comment trouver la vitesse d'un électron accéléré par une tension ?

On égale l'énergie électrique gagnée à l'énergie cinétique acquise : la charge multipliée par la différence de potentiel vaut la moitié de la masse par la vitesse au carré. Aucune distance n'est nécessaire. Pour quelques kilovolts, on obtient quelques dizaines de millions de mètres par seconde, soit environ un dixième de la vitesse de la lumière.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Charge, champ et potentiel électriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Le théorème de Gauss

Voir aussi

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Fiche de révision : charge, champ et potentiel électriques (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

L'essentiel

La ligne de partage : vecteur ou scalaire

Le champ uniforme, et l'énergie qui va avec

Gauss et les conducteurs, les résultats à connaître

Les pièges qui coûtent des points

1. Chercher le point de champ nul ENTRE deux charges de signes opposés

2. Additionner les grandeurs des champs au lieu de leurs composantes

3. Perdre le signe de la charge dans le potentiel

4. Croire que la force sur une charge suit toujours le champ

5. Compter deux fois les paires dans l'énergie d'un système

6. Conclure que le champ est nul parce que le flux l'est

7. Écrire le potentiel en 1r2\dfrac{1}{r^{2}}r21​ ou le champ en 1r\dfrac{1}{r}r1​

8. Oublier que le champ est nul À L'INTÉRIEUR d'un conducteur

Quelle méthode choisir

Vecteur ou scalaire, donc quelle addition

Quelle méthode pour trouver un champ

La rédaction attendue

Appliquer le théorème de Gauss, rédigé pour le correcteur

Accélérer une charge sous une différence de potentiel

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le canon à électrons : accélérer, puis dévier

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le champ électrique et le potentiel électrique ?

Où le champ électrique de deux charges s'annule-t-il ?

Un flux nul signifie-t-il que le champ est nul ?

Pourquoi le champ est-il nul à l'intérieur d'un conducteur ?

Comment calculer l'énergie d'un système de trois charges ?

Comment trouver la vitesse d'un électron accéléré par une tension ?

Exercices corrigés : Charge, champ et potentiel électriques

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7. Écrire le potentiel en $\dfrac{1}{r^{2}}$ ou le champ en $\dfrac{1}{r}$