Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : la dynamique, lois de Newton et frottement (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

Q: Est-ce que la force centrifuge existe ?

Pas dans le cours de mécanique du cégep, qui travaille dans un référentiel d'inertie. Un objet en virage n'est pas en équilibre : il accélère vers le centre, et les seules forces à mettre au diagramme sont réelles, comme le frottement, la normale ou la tension. La sensation d'être poussé vers l'extérieur vient de l'inertie du passager, pas d'une force qui agirait sur lui.

Q: Quand la force normale est-elle égale au poids ?

Seulement sur une surface horizontale, quand aucune autre force n'a de composante verticale et que l'objet n'accélère pas verticalement. Sur une pente elle vaut le poids multiplié par le cosinus de l'angle. Si l'on tire ou pousse de biais, ou si l'objet est dans un ascenseur qui accélère, elle change encore. La normale se calcule toujours, elle ne se suppose jamais.

Q: Comment savoir si un objet va glisser ou rester immobile ?

On compare deux nombres. D'abord la force motrice nette sans le frottement, c'est-à-dire la somme des forces le long du glissement possible. Ensuite le plafond du frottement statique, égal au coefficient statique multiplié par la normale. Si la force motrice dépasse le plafond, l'objet glisse et on repart avec le coefficient cinétique. Sinon il reste immobile et le frottement vaut exactement la force motrice.

Q: Quelle est la vitesse minimale au sommet d'une boucle verticale ?

C'est la racine carrée du produit de l'accélération gravitationnelle par le rayon. On l'obtient en écrivant que la force de contact devient nulle : la gravité fournit alors à elle seule l'accélération centripète. Attention, la condition n'est pas une vitesse nulle mais une force de contact nulle, ce qui est très différent.

Q: Pourquoi la tension n'est-elle pas égale au poids de la masse suspendue ?

Parce que cette égalité ne vaut qu'à l'équilibre. Dès que la masse descend en accélérant, la corde tire moins fort que le poids, sinon la masse ne descendrait pas. La tension vaut alors la masse multipliée par la différence entre l'accélération gravitationnelle et l'accélération du système, et elle reste toujours comprise entre zéro et le poids.

Q: Comment traiter deux blocs reliés par une corde et une poulie ?

On écrit un diagramme de corps libre par bloc, jamais un seul pour les deux. On oriente l'axe positif de chaque bloc dans le sens du mouvement présumé, on projette, puis on ajoute la contrainte de la corde : même accélération en grandeur et même tension si la poulie est idéale. En additionnant les deux équations, la tension disparaît et l'accélération sort seule.

En 203-SN1-RE (ancien 203-NYA), la dynamique n'ajoute presque rien au secondaire côté formules : $\Sigma\vec{F}=m\vec{a}$ et le frottement, c'est tout. Ce qui change, c'est la difficulté des configurations : deux corps couplés, un virage relevé, un cercle vertical, une vitesse limite. Dans chacune, l'erreur ne vient jamais du calcul, elle vient du diagramme de corps libre.

Cette fiche rassemble ce qui coûte réellement des points sur ce chapitre : les forces inventées, la normale supposée, le frottement écrit au maximum sans raison, et la confusion entre une force et une résultante. Chaque piège est écrit tel qu'il apparaît sur une copie.

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Le fil du chapitre

Une force n'entre dans une équation que si elle figure au diagramme de corps libre d'UN corps isolé. La force centripète n'est jamais une force de plus : c'est le nom que prend la résultante quand la trajectoire est courbe.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4, Mathématiques
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5, Mathématiques
3Les fonctions quadratiquesSecondaire 5, Mathématiques
4Cinématique et le MRUASecondaire 5
5Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5
6Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
7Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
8La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
9Cinématique en une et deux dimensions

L'essentiel

La méthode, toujours la même, dans cet ordre

• ISOLER un corps, et un seul. Le diagramme de corps libre n'est pas un dessin de la scène : c'est la liste des forces qui s'exercent SUR ce corps.
• Les forces qui existent dans ce cours : le poids $m\vec{g}$ , la normale $\vec{N}$ , le frottement $\vec{f}$ , la tension $\vec{T}$ , une force appliquée, une force de résistance fluide. Rien d'autre.
• CHOISIR les axes, de préférence un axe le long de l'accélération : sur une pente, le long de la pente; sur un cercle, vers le centre.
• PROJETER, puis écrire $\Sigma F_{x}=ma_{x}$ et $\Sigma F_{y}=ma_{y}$ . Deux équations par corps, autant de systèmes que de corps.
• Une force centrifuge, une force du mouvement, une force d'inertie : aucune n'apparaît dans un référentiel d'inertie, donc jamais dans ce cours.

Le poids (rouge) est la seule force à distance du cours ; la normale (bleu) et la tension (vert) n'existent que par un contact. Chaque diagramme ne garde que les forces qui s'exercent SUR le bloc.

Sur deux corps reliés par une corde inextensible, la contrainte s'écrit avant les équations : même grandeur d'accélération, même grandeur de tension si la poulie est idéale. C'est elle qui rend le système soluble.

Le frottement change de règle selon qu'on glisse ou non

• Statique : $f_{s}\le\mu_{s}N$ . Tant que rien ne glisse, $f_{s}$ vaut exactement ce qu'il faut pour équilibrer, PAS $\mu_{s}N$ .
• $\mu_{s}N$ est un PLAFOND, atteint seulement à l'instant du décrochage, c'est-à-dire quand l'énoncé dit « juste avant de glisser » ou « au minimum ».
• Cinétique : $f_{k}=\mu_{k}N$ , constante, opposée au GLISSEMENT relatif, avec toujours $\mu_{k}<\mu_{s}$ .
• La normale $N$ ne vaut $mg$ que sur un plan horizontal, sans autre force verticale et sans accélération verticale. Partout ailleurs elle sort de l'équation des $y$ .
• Sur un plan incliné seul : $N=mg\cos\theta$ , et l'objet reste immobile tant que $\tan\theta\le\mu_{s}$ , indépendamment de sa masse.

Le poids se décompose en deux flèches plus courtes que lui :

N

n'équilibre que

mg\cos\theta

, donc

N<mg

. Tant que rien ne glisse,

f

compense exactement

mg\sin\theta

, pas

\mu_{s}N

Le test d'immobilité s'écrit toujours dans le même ordre : calculer la force motrice nette hors frottement, calculer $\mu_{s}N$ , comparer. Écrire l'accélération avant cette comparaison, c'est répondre à une question qu'on n'a pas encore posée.

Deux corps reliés par une corde : Atwood et la table

• Machine d'Atwood, deux masses pendues de part et d'autre d'une poulie idéale : même $T$ des deux côtés, même grandeur d'accélération, et $a=\dfrac{(m_{2}-m_{1})g}{m_{1}+m_{2}}$ .
• Bloc sur une table relié à une masse pendante : sur la table, $T-f=m_{1}a$ avec $N=m_{1}g$ ; pour la masse pendante, $m_{2}g-T=m_{2}a$ .
• Dès que le système accélère, $T$ est strictement comprise entre ce qui retient et ce qui tire : $T=m_{2}g$ n'est vraie qu'à l'équilibre.

À l'échelle : sur chaque bloc, la tension (vert) est plus petite que le poids de la masse qui descend et plus grande que ce qui la retient, poids de

m_{1}

ou frottement

f

Le poids apparent, dans un ascenseur

• La balance mesure $N$ , pas le poids. Axe vers le haut : $N-mg=ma$ , donc $N=m(g+a)$ .
• Seul le SENS de l'accélération compte : vers le haut, $N>mg$ ; vers le bas, $N<mg$ ; nulle, $N=mg$ , à l'arrêt comme à vitesse constante.
• En chute libre, $a=-g$ et $N=0$ : le poids n'a pas disparu, c'est le contact qui a disparu.

Même poids dans les trois cas : seule la normale change, plus longue que

mg

quand

\vec{a}

monte, plus courte quand

\vec{a}

descend, égale à vitesse constante.

Le mouvement circulaire, là où le chapitre bascule

• Trajectoire courbe et vitesse constante en grandeur : $a=\dfrac{v^{2}}{r}$ dirigée VERS LE CENTRE, donc $\Sigma F_{\text{vers le centre}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ .
• Ce membre de droite n'est pas une force : c'est $ma$ . On l'écrit à droite du signe égal, jamais dans le diagramme.
• Virage relevé sans frottement : $\tan\theta=\dfrac{v^{2}}{rg}$ , obtenue en projetant $N$ sur l'horizontale et la verticale.
• Cercle vertical, au point le plus haut : le poids ET la tension (ou la normale) pointent tous deux vers le centre, donc $T+mg=\dfrac{mv^{2}}{r}$ . La vitesse minimale correspond à $T=0$ , soit $v_{min}=\sqrt{gr}$ .
• Au point le plus bas du même cercle : $T-mg=\dfrac{mv^{2}}{r}$ , donc $T$ y est maximale. Les deux points ne se traitent pas avec la même équation.

Virage relevé sans frottement :

N

penche vers le centre, sa part verticale porte

mg

et sa part horizontale est la résultante

\frac{mv^{2}}{r}

(pointillé noir). Aucune force centrifuge.

Choisir l'axe positif VERS LE CENTRE en mouvement circulaire supprime la moitié des erreurs de signe : l'accélération y est toujours positive, et chaque force prend son signe selon qu'elle pointe vers le centre ou non.

La bosse et le pendule conique : tout se lit vers le centre

• Sommet d'une bosse de rayon $r$ : le centre est SOUS la voiture, donc $mg-N=\dfrac{mv^{2}}{r}$ et $N<mg$ . La voiture décolle quand $N=0$ , soit $v=\sqrt{gr}$ .
• Pendule conique : $T\cos\theta=mg$ à la verticale, $T\sin\theta=\dfrac{mv^{2}}{R}$ vers l'axe, avec $R=L\sin\theta$ .
• Dans les deux cas, la somme des forces dirigée vers le centre s'égale à $\dfrac{mv^{2}}{r}$ : aucune force de plus n'entre au diagramme.

Au sommet de la bosse,

N<mg

et la résultante descend vers le centre ; dans le pendule conique,

T

porte

mg

et sa part horizontale est la résultante vers l'axe.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ajouter une force centrifuge au diagramme de corps libre d'un objet en virage

toute la question, 5 à 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La voiture est en équilibre dans le virage : la force centripète vers le centre équilibre la force centrifuge vers l'extérieur. »

Ce qu'il faut écrire

« La voiture n'est pas en équilibre, elle accélère vers le centre. Le frottement est la seule force horizontale : $f=\dfrac{mv^{2}}{r}$ . »

Une seule force horizontale, le frottement, et elle pointe vers le centre : c'est elle la résultante

\frac{mv^{2}}{r}

. Rien ne l'équilibre, la voiture n'est pas en équilibre.

Pourquoi : Écrire les deux forces égales et opposées revient à écrire $\Sigma F=0$ , donc $a=0$ , donc une trajectoire rectiligne. Le calcul démontre alors que la voiture ne tourne pas.

2. Poser la normale égale au poids alors qu'une force est appliquée de biais

3 points, et une accélération toujours sous-évaluée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On tire la caisse de $20$ kg avec $80$ N à $30°$ au-dessus de l'horizontale : $N=mg=196$ N et $f=\mu_{k}\times 196$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'équation des $y$ donne $N+80\sin 30°-196=0$ , donc $N=156$ N, et $f=\mu_{k}\times 156$ . La traction soulage la caisse. »

La traction a une composante verticale de

80\sin 30°=40

N qui soulage la caisse :

N=196-40=156

N, flèche bleue plus courte que le poids. Flèches à l'échelle.

Pourquoi : La normale est une inconnue, jamais une donnée : elle se lit dans l'équation perpendiculaire au mouvement. Toute force ayant une composante verticale la modifie, dans un sens ou dans l'autre.

3. Écrire le frottement au maximum sur un corps qui ne bouge pas

3 points, et une résultante non nulle sur un corps immobile

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La caisse de $10$ kg est poussée avec $20$ N et ne bouge pas, $\mu_{s}=0{,}5$ : donc $f=0{,}5\times 98=49$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle ne bouge pas, donc $\Sigma F=0$ et $f=20$ N. Les $49$ N sont le PLAFOND que le frottement pourrait atteindre, pas sa valeur ici. »

Pourquoi : Un frottement de $49$ N contre une poussée de $20$ N donnerait une résultante de $29$ N vers l'arrière : la caisse reculerait toute seule sous l'effet du frottement.

4. Additionner les deux forces d'une paire action-réaction sur le même corps

toute la question de raisonnement, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cheval tire la charrette et la charrette tire le cheval avec la même force : elles s'annulent, donc rien ne peut avancer. »

Ce qu'il faut écrire

« Ces deux forces s'exercent sur des corps DIFFÉRENTS, elles ne figurent donc jamais dans le même diagramme. Sur le cheval, ce qui compte est le frottement du sol vers l'avant contre la traction de la charrette vers l'arrière. »

Les deux flèches vertes de 700 N forment la paire action-réaction : l'une agit sur la charrette, l'autre sur le cheval. Sur le cheval seul, 900 N vers l'avant contre 700 N : il avance.

Pourquoi : La troisième loi relie deux corps, la deuxième décrit un seul corps. Confondre les deux niveaux est l'erreur conceptuelle la plus tenace du chapitre, et elle revient à chaque examen sous une forme différente.

5. Prendre la tension égale au poids de la masse suspendue dans un système qui accélère

3 points, et toute la suite du système faussée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La masse de $4{,}0$ kg pend au bout de la corde, donc $T=4{,}0\times 9{,}8=39{,}2$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« La masse descend en accélérant, donc $m_{2}g-T=m_{2}a$ et $T=m_{2}(g-a)<m_{2}g$ . Avec $a=1{,}60$ m/s $^{2}$ , $T=32{,}8$ N. »

Pourquoi : $T=mg$ n'est vrai qu'à l'équilibre. Dès qu'il y a accélération, la tension est comprise strictement entre les deux poids d'un système à deux masses : c'est d'ailleurs le meilleur contrôle de vraisemblance du résultat.

6. Chercher la vitesse minimale au sommet d'un cercle vertical en annulant la vitesse

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au sommet, la bille est sur le point de tomber, donc sa vitesse minimale est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« La condition limite est $N=0$ , pas $v=0$ : la gravité doit à elle seule fournir l'accélération centripète, donc $mg=\dfrac{mv^{2}}{r}$ et $v_{min}=\sqrt{gr}$ . »

En haut, les deux flèches descendent : elles s'ADDITIONNENT vers le centre, donc

T

peut s'annuler sans que la bille tombe. En bas, elles s'opposent, et c'est là que la corde est la plus tendue.

Pourquoi : Avec $v=0$ au sommet, il n'y a plus de trajectoire circulaire du tout : l'objet quitte le rail et tombe. La condition physique porte sur le contact, donc sur la force de contact.

7. Mélanger la formule du virage relevé sans frottement et le cas avec frottement

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Virage relevé à $15°$ avec $\mu_{s}=0{,}60$ et $r=80$ m : $\tan 15°=\dfrac{v^{2}}{rg}$ donne $v=14{,}5$ m/s, c'est la vitesse maximale. »

Ce qu'il faut écrire

« $\tan\theta=\dfrac{v^{2}}{rg}$ donne la vitesse IDÉALE, celle où le frottement est nul. La vitesse maximale s'obtient en remettant $f=\mu_{s}N$ dans les deux projections, et elle vaut ici $28{,}5$ m/s. »

À la vitesse maximale, le frottement pointe vers le BAS de la pente et ajoute sa part horizontale à celle de

N

: la résultante dépasse celle du virage sans frottement.

Pourquoi : La formule sans frottement est un cas particulier, pas une formule générale. L'énoncé qui fournit $\mu_{s}$ vous dit exactement qu'il ne faut pas l'utiliser : une donnée non utilisée est presque toujours le signe d'une méthode fausse.

8. Chercher la vitesse limite en annulant la vitesse au lieu de l'accélération

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À la vitesse limite le mouvement s'arrête, donc $v=0$ et $mg=bv$ donne $v=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« À la vitesse limite l'ACCÉLÉRATION s'annule, pas la vitesse : $mg-bv_{\ell}=0$ , donc $v_{\ell}=\dfrac{mg}{b}$ . Le mouvement continue, uniformément. »

Le poids ne change pas,

bv

grandit avec la vitesse : à

v_{\ell}

les deux flèches sont égales, la résultante est nulle et la vitesse cesse de croître, sans s'annuler.

Pourquoi : « Limite » qualifie la valeur vers laquelle la vitesse tend, pas un arrêt. C'est la même confusion qu'entre $v=0$ et $a=0$ au sommet d'un lancer, transposée à la résistance de l'air.

9. Utiliser la masse totale du système dans l'équation d'un seul corps

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois blocs de $2$ , $3$ et $5$ kg poussés par $30$ N : la force que le premier exerce sur le deuxième vaut $30$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« L'accélération commune vaut $a=\dfrac{30}{10}=3{,}0$ m/s $^{2}$ . On isole ensuite les blocs $2$ et $3$ : la force du premier sur le deuxième vaut $(3+5)\times 3{,}0=24$ N. »

On isole les blocs 2 et 3 (cadre pointillé) : la seule force horizontale qui les pousse est celle du bloc 1,

(3+5)\times 3{,}0=24

N, pas les 30 N appliqués au bloc 1.

Pourquoi : La masse totale sert à trouver l'accélération commune, jamais à calculer une force interne. Une force de contact se lit toujours en isolant ce qui se trouve DEVANT elle dans le sens du mouvement.

Quelle méthode choisir

Quel frottement écrire

Le mot exact de l'énoncé à propos du mouvement relatif entre les surfaces

Si l'énoncé dit « glisse », « se déplace sur », « est tiré à vitesse constante » → $f=\mu_{k}N$ , opposé au glissement

Exemple : caisse tirée sur un plancher : $f=\mu_{k}N$ même si $a=0$
Si l'énoncé dit « reste immobile », « ne bouge pas », « sans glisser » → $f$ est une inconnue déterminée par $\Sigma F=ma$ , jamais $\mu_{s}N$

Exemple : caisse poussée à $20$ N qui ne bouge pas : $f=20$ N
Si l'énoncé dit « juste avant de glisser », « force minimale », « angle maximal », « vitesse maximale » → $f=\mu_{s}N$ , le seul cas où l'égalité est légitime

Exemple : angle de décrochage : $\tan\theta_{max}=\mu_{s}$
Si l'énoncé demande SI l'objet bouge → comparer la force motrice nette à $\mu_{s}N$ avant toute autre équation

Exemple : $19{,}6$ N contre un plafond de $10{,}2$ N : ça glisse
Si une roue roule sans glisser → le frottement est STATIQUE au point de contact, et il ne dissipe rien

c'est ce qui permet à une voiture d'accélérer sans que ses pneus chauffent

Dans tous les cas, $N$ se calcule d'abord, et jamais en supposant $N=mg$ : elle sort de l'équation perpendiculaire au mouvement, une fois toutes les forces projetées.

Quel corps isoler, et combien d'équations écrire

Le nombre de corps et la nature de la question

Si un seul corps, une seule accélération → un diagramme, deux projections

Exemple : bloc sur un plan incliné rugueux
Si plusieurs corps reliés, et la question porte sur l'accélération commune → traiter l'ensemble comme un corps unique de masse totale, les forces internes disparaissant

Exemple : trois blocs poussés : $a=\dfrac{F}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}$
Si la question porte sur une TENSION ou une force de contact interne → isoler l'un des corps, obligatoirement : les forces internes n'existent que dans un diagramme individuel

Exemple : $T=m_{2}(g-a)$ pour la masse suspendue
Si les corps sont reliés par une corde passant sur une poulie → un diagramme par corps, plus la contrainte de la corde : même $|a|$ , même $T$

Exemple : plan incliné plus masse suspendue, système de deux équations
Si un bloc est posé sur un autre bloc → deux diagrammes, et la normale entre eux n'est PAS le poids du bloc du dessus dès qu'il y a accélération verticale

la force qui met en mouvement le bloc du dessus est le frottement, seule force horizontale qui s'exerce sur lui

Règle pratique : autant d'inconnues que d'équations. Deux corps donnent quatre projections; si vous en écrivez trois, il manque une équation, et c'est presque toujours la contrainte de la corde.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un système à deux corps reliés par une corde

Quand l'utiliser : Deux masses sont reliées par une corde sur une poulie idéale, et on demande l'accélération, la tension, ou les deux.

1 Choisir un SENS DE MOUVEMENT présumé et le déclarer, par exemple « on suppose que $m_{2}$ descend ». Toutes les projections en découlent, et un résultat négatif signalera simplement que le sens réel est l'autre.
2 Tracer un diagramme de corps libre par corps, en n'y mettant que les forces qui s'exercent sur lui.
3 Pour chaque corps, orienter l'axe positif dans le sens du mouvement présumé, puis projeter : $\Sigma F=ma$ le long de cet axe, et $\Sigma F=0$ perpendiculairement pour obtenir $N$ .
4 Écrire la contrainte de la corde : $|a_{1}|=|a_{2}|=a$ et $T_{1}=T_{2}=T$ si la poulie est idéale.
5 Additionner les deux équations de mouvement pour éliminer $T$ et obtenir $a$ , puis reporter $a$ dans l'une d'elles pour obtenir $T$ .
6 Vérifier que $T$ est comprise entre les valeurs qu'elle prendrait si chaque corps était seul, et conclure avec les unités.

Phrase de conclusion

« Avec l'axe positif dans le sens du mouvement présumé et la contrainte $|a_{1}|=|a_{2}|$ , la somme des deux équations donne $a=1{,}60$ m/s $^{2}$ ; en reportant dans l'équation de la masse suspendue, $T=32{,}8$ N, valeur bien comprise entre $0$ et $m_{2}g=39{,}2$ N. »

Le piège : L'étape 4. Une copie sur trois écrit trois équations pour quatre inconnues, oublie la contrainte de la corde, et déclare le système insoluble.

Barème : Typiquement 2 points pour les deux diagrammes, 3 pour les projections, 1 pour la contrainte, 2 pour la résolution, 1 pour la conclusion et les unités.

Décider si un corps se met en mouvement

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « le bloc bouge-t-il », « le système reste-t-il immobile », ou fournit à la fois $\mu_{s}$ et $\mu_{k}$ .

1 Calculer la force motrice nette hors frottement, c'est-à-dire la somme des forces le long du mouvement possible, frottement exclu.
2 Calculer $N$ par l'équation perpendiculaire, puis le plafond $\mu_{s}N$ .
3 Comparer les deux nombres, et écrire explicitement la comparaison.
4 Si la force motrice est inférieure au plafond, conclure à l'immobilité et donner $f$ égal à la force motrice. Sinon, recommencer avec $f=\mu_{k}N$ et calculer l'accélération.

Phrase de conclusion

« La force motrice nette vaut $19{,}6$ N et le plafond statique $\mu_{s}N=10{,}2$ N; comme $19{,}6>10{,}2$ , le système se met en mouvement et l'on poursuit avec le frottement cinétique. »

Le piège : Utiliser $\mu_{k}$ pour le test. Le test se fait TOUJOURS avec $\mu_{s}$ , et $\mu_{k}$ ne sert qu'après, une fois le mouvement établi.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La tension encadrée par les deux poids

Dans un système à deux masses, la tension est toujours strictement comprise entre les valeurs extrêmes physiquement possibles. Une tension supérieure au poids de la masse suspendue est fausse à coup sûr.

Un $T=45$ N pour une masse suspendue de $4{,}0$ kg, dont le poids vaut $39{,}2$ N : la corde tirerait la masse vers le haut alors qu'elle descend.
Le cas limite $\theta=0$ sur un plan incliné

Remplacer l'angle par zéro dans le résultat final. La normale doit redonner $mg$ , la composante motrice doit s'annuler, et l'accélération doit devenir celle du plan horizontal.

Une expression qui donne $N=mg\sin\theta$ redonne $N=0$ à plat : le sinus et le cosinus ont été échangés.
Le signe de l'accélération contre le sens présumé

Un $a$ négatif n'est pas une faute : il dit que le mouvement se fait dans l'autre sens. Mais il faut alors reprendre le frottement, qui s'oppose au mouvement RÉEL, donc change de sens lui aussi.

Un $a=-0{,}8$ m/s $^{2}$ obtenu avec un frottement orienté selon l'hypothèse initiale : le résultat n'est pas simplement à changer de signe, il faut refaire l'équation.
L'ordre de grandeur de l'accélération

Une accélération de chute libre partielle ne dépasse jamais $9{,}8$ m/s $^{2}$ dans un système où la gravité est le seul moteur. Toute valeur supérieure signale une erreur de masse ou de signe.

Un $a=14$ m/s $^{2}$ sur une machine d'Atwood : impossible, la valeur maximale y est $g$ , atteinte seulement si l'une des masses est nulle.
La donnée non utilisée

Relire l'énoncé et pointer chaque donnée dans le calcul. Un $\mu_{s}$ fourni et jamais employé annonce presque toujours qu'on a traité un cas idéal à la place du cas réel.

Un virage relevé résolu par $\tan\theta=v^{2}/rg$ alors que l'énoncé donnait $\mu_{s}=0{,}60$ : la formule était celle du cas sans frottement.

L'exercice type décortiqué

Un plan incliné relié par une poulie à une masse suspendue

Un bloc $m_{1}=4{,}0$ kg repose sur un plan incliné à $30°$ . Une corde partant du bloc passe sur une poulie idéale au sommet du plan et soutient un bloc $m_{2}=4{,}0$ kg suspendu dans le vide.

Les coefficients de frottement entre $m_{1}$ et le plan valent $\mu_{s}=0{,}30$ et $\mu_{k}=0{,}20$ . Déterminer si le système se met en mouvement, puis l'accélération et la tension. On prend $g=9{,}8$ m/s $^{2}$ .

Deux moteurs opposés dans le même système : le poids de

m_{2}

tire le bloc vers le HAUT de la pente,

m_{1}g\sin 30°

le tire vers le bas. Le frottement ne choisit son sens qu'ensuite.

Étape 1

Sens présumé : $m_{2}$ descend, donc $m_{1}$ monte le long de la pente. Axe positif choisi dans ce sens pour les deux corps.

Pourquoi

Déclarer le sens avant tout calcul rend chaque signe justifiable. Sans cette phrase, le correcteur ne peut pas savoir si un signe négatif est une erreur ou une information.

Étape 2

Test d'immobilité. Force motrice nette hors frottement : $m_{2}g-m_{1}g\sin 30°=39{,}2-19{,}6=19{,}6$ N. Normale : $N=m_{1}g\cos 30°=33{,}9$ N, donc $\mu_{s}N=0{,}30\times 33{,}9=10{,}2$ N.

Pourquoi

Cette comparaison est la seule question à laquelle on puisse répondre avant de connaître $a$ . La sauter, c'est risquer de calculer une accélération pour un système qui ne bouge pas.

Étape 3

Comme $19{,}6\ \text{N}>10{,}2\ \text{N}$ , le système se met en mouvement, et l'on passe au frottement cinétique : $f_{k}=\mu_{k}N=0{,}20\times 33{,}9=6{,}79$ N, dirigé vers le BAS de la pente puisque $m_{1}$ monte.

Pourquoi

Le sens du frottement se décide après le sens du mouvement, jamais avant. C'est la seule force du diagramme dont la direction dépend de la réponse à la question précédente.

Étape 4

Bloc suspendu : $m_{2}g-T=m_{2}a$ , soit $39{,}2-T=4{,}0\,a$ . Bloc sur la pente : $T-m_{1}g\sin 30°-f_{k}=m_{1}a$ , soit $T-19{,}6-6{,}79=4{,}0\,a$ .

Pourquoi

Une équation par corps, chacune écrite dans son propre repère mais avec le même $a$ et la même $T$ : c'est la contrainte de la corde inextensible et de la poulie idéale qui autorise cette identification.

Étape 5

Somme des deux équations : $39{,}2-19{,}6-6{,}79=8{,}0\,a$ , donc $a=\dfrac{12{,}8}{8{,}0}=1{,}60$ m/s $^{2}$ .

Pourquoi

L'addition élimine $T$ sans aucune manipulation algébrique : c'est le seul intérêt d'avoir orienté les deux axes dans le sens du mouvement présumé.

Étape 6

Report dans la première équation : $T=39{,}2-4{,}0\times 1{,}60=32{,}8$ N.

Pourquoi

On reporte dans l'équation la plus simple, celle qui ne contient ni frottement ni angle : moins de termes, moins d'occasions de se tromper.

Étape 7

Vérification par l'autre équation : $T=19{,}6+6{,}79+4{,}0\times 1{,}60=32{,}8$ N, et $0<32{,}8<39{,}2$ N.

Pourquoi

Recalculer $T$ par l'équation qu'on n'a pas utilisée contrôle tout le système d'un coup. L'encadrement par le poids de $m_{2}$ est le contrôle de vraisemblance qui prend une seconde.

Conclusion rédigée

« Comme la force motrice nette de $19{,}6$ N dépasse le plafond statique de $10{,}2$ N, le système se met en mouvement : le bloc $m_{2}$ descend avec une accélération de $1{,}60$ m/s $^{2}$ et la corde est soumise à une tension de $32{,}8$ N. »

L'erreur classique sur cet exercice : Attaquer directement les deux équations de Newton avec $f=\mu_{s}N$ ou sans frottement du tout, sans avoir fait le test d'immobilité. Avec $m_{2}=3{,}0$ kg au lieu de $4{,}0$ kg, la même méthode aurait produit une accélération pour un système parfaitement immobile.

À savoir par cœur

• Diagramme de corps libre : UN corps, isolé, et seulement les forces qui s'exercent SUR lui.
• $N=mg$ uniquement sur un plan horizontal, sans force verticale supplémentaire et sans accélération verticale.
• Frottement statique : $f_{s}\le\mu_{s}N$ , l'égalité seulement au seuil. Cinétique : $f_{k}=\mu_{k}N$ , toujours.
• Plan incliné : $mg\sin\theta$ le long, $mg\cos\theta$ perpendiculaire, décrochage à $\tan\theta=\mu_{s}$ .
• Mouvement circulaire : $\Sigma F_{\text{vers le centre}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ . Ce terme est $ma$ , jamais une force du diagramme.
• Cercle vertical : en haut $T+mg=\dfrac{mv^{2}}{r}$ et $v_{min}=\sqrt{gr}$ ; en bas $T-mg=\dfrac{mv^{2}}{r}$ .
• Virage relevé idéal : $\tan\theta=\dfrac{v^{2}}{rg}$ . Si $\mu_{s}$ est donné, cette formule n'est pas celle demandée.
• Vitesse limite : $a=0$ , pas $v=0$ . Donc $mg=bv_{\ell}$ ou $mg=bv_{\ell}^{2}$ selon le modèle.

Questions fréquentes

Est-ce que la force centrifuge existe ?

Pas dans le cours de mécanique du cégep, qui travaille dans un référentiel d'inertie. Un objet en virage n'est pas en équilibre : il accélère vers le centre, et les seules forces à mettre au diagramme sont réelles, comme le frottement, la normale ou la tension. La sensation d'être poussé vers l'extérieur vient de l'inertie du passager, pas d'une force qui agirait sur lui.

Quand la force normale est-elle égale au poids ?

Seulement sur une surface horizontale, quand aucune autre force n'a de composante verticale et que l'objet n'accélère pas verticalement. Sur une pente elle vaut le poids multiplié par le cosinus de l'angle. Si l'on tire ou pousse de biais, ou si l'objet est dans un ascenseur qui accélère, elle change encore. La normale se calcule toujours, elle ne se suppose jamais.

Comment savoir si un objet va glisser ou rester immobile ?

On compare deux nombres. D'abord la force motrice nette sans le frottement, c'est-à-dire la somme des forces le long du glissement possible. Ensuite le plafond du frottement statique, égal au coefficient statique multiplié par la normale. Si la force motrice dépasse le plafond, l'objet glisse et on repart avec le coefficient cinétique. Sinon il reste immobile et le frottement vaut exactement la force motrice.

Quelle est la vitesse minimale au sommet d'une boucle verticale ?

C'est la racine carrée du produit de l'accélération gravitationnelle par le rayon. On l'obtient en écrivant que la force de contact devient nulle : la gravité fournit alors à elle seule l'accélération centripète. Attention, la condition n'est pas une vitesse nulle mais une force de contact nulle, ce qui est très différent.

Pourquoi la tension n'est-elle pas égale au poids de la masse suspendue ?

Parce que cette égalité ne vaut qu'à l'équilibre. Dès que la masse descend en accélérant, la corde tire moins fort que le poids, sinon la masse ne descendrait pas. La tension vaut alors la masse multipliée par la différence entre l'accélération gravitationnelle et l'accélération du système, et elle reste toujours comprise entre zéro et le poids.

Comment traiter deux blocs reliés par une corde et une poulie ?

On écrit un diagramme de corps libre par bloc, jamais un seul pour les deux. On oriente l'axe positif de chaque bloc dans le sens du mouvement présumé, on projette, puis on ajoute la contrainte de la corde : même accélération en grandeur et même tension si la poulie est idéale. En additionnant les deux équations, la tension disparaît et l'accélération sort seule.

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Exercices corrigés : Dynamique : lois de Newton et frottement

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/physique-nya-dynamique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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