Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : la cinématique en une et deux dimensions (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

Q: Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle au sommet d'un projectile ?

Parce que la vitesse et l'accélération sont deux grandeurs distinctes. Au sommet, la composante verticale de la vitesse s'annule un instant, mais la gravité, elle, agit sans interruption : l'accélération vaut 9,8 mètres par seconde carrée vers le bas pendant tout le vol. C'est justement elle qui fait redescendre l'objet. Si elle s'annulait au sommet, l'objet y resterait suspendu.

Q: Quelle équation du MRUA faut-il choisir dans un problème ?

Listez les cinq grandeurs en jeu : vitesse initiale, vitesse finale, accélération, déplacement, durée. Repérez celle qui n'est ni donnée dans l'énoncé ni demandée par la question. L'équation à utiliser est celle où cette grandeur n'apparaît pas. Cette lecture évite les systèmes inutiles et prend cinq secondes.

Q: Quand peut-on utiliser la formule de la portée d'un projectile ?

Uniquement quand le projectile retombe exactement à la hauteur d'où il est parti, par exemple un ballon frappé au sol et repris au sol. Dès que l'énoncé mentionne une falaise, un toit, une table ou un panier surélevé, la formule sous-estime la distance et il faut repasser par la condition sur la hauteur, puis reporter le temps trouvé.

Q: Comment fixer le signe de g dans un problème de chute libre ?

Le signe de g dépend de l'axe que vous choisissez, pas de la gravité. Axe vers le haut : l'accélération vaut moins 9,8 pendant tout le mouvement, montée comprise. Axe vers le bas : elle vaut plus 9,8. Le seul interdit est de changer d'axe en cours de problème ou de mettre un signe différent selon que l'objet monte ou descend.

Q: Quelle différence entre la distance parcourue et le déplacement ?

Le déplacement est la différence entre la position finale et la position initiale : il a un signe et peut être nul après un aller-retour. La distance parcourue additionne les longueurs de tous les trajets, elle est toujours positive. Sur un graphique de la vitesse en fonction du temps, la première compte les aires sous l'axe en négatif, la seconde en positif.

Q: Comment traiter un problème de vitesse relative comme la traversée d'une rivière ?

On additionne des vecteurs, jamais des nombres. La vitesse par rapport à la rive est la somme vectorielle de la vitesse du nageur par rapport à l'eau et de la vitesse du courant. On projette sur deux axes, on additionne composante par composante, puis on revient à une grandeur et à un angle. La largeur de la rivière se traite avec la composante perpendiculaire seule.

La cinématique de 203-SN1-RE (ancien 203-SN1-RE) n'est pas celle du secondaire : le cours est bâti sur le calcul différentiel, donc $v$ est la dérivée de $x$ , $a$ la dérivée de $v$ , et le chemin inverse passe par une intégrale avec sa constante. Les quatre équations du MRUA ne sont plus la matière du chapitre, elles en sont un cas particulier, celui où $a$ est constante.

Cette fiche ne redit pas le cours. Elle rassemble ce qui fait perdre des points sur ce chapitre précis : les signes, les formules appliquées hors de leurs conditions, et les deux mouvements d'un projectile qu'on relie mal. Chaque piège est écrit comme il apparaît sur une copie, avec ce qu'il coûte.

Le fil du chapitre

Un mouvement n'existe pas sans axe. Tant que l'axe et son origine ne sont pas écrits sur la copie, le signe de $g$ , le signe de $v$ et le signe de $\Delta x$ flottent, et c'est là que part la moitié des points du premier examen de 203-SN1-RE.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4, Mathématiques
2La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4, Mathématiques
3Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
4Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
5La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
7Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5, Mathématiques
8Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
9Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
10Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
11La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)

Notions couvertes

Vitesse instantanée
Accélération instantanée
Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Chute libre
Mouvement de projectile
Portée d'un projectile
Vitesse relative
Mouvement circulaire uniforme
Accélération centripète
Déplacement et distance parcourue
Graphique vitesse-temps

L'essentiel

Les trois définitions dont tout le reste découle

• $v(t)=\dfrac{dx}{dt}$ et $a(t)=\dfrac{dv}{dt}$ . Ce sont des définitions, valables toujours, même quand $a$ varie.
• Le chemin inverse est une intégrale : $v(t)=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t}a\,dt'$ et $x(t)=x_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t}v\,dt'$ . Les constantes $v_{0}$ et $x_{0}$ ne sont pas décoratives, elles portent l'état initial.
• Sur un graphique $x(t)$ , la PENTE donne $v$ . Sur un graphique $v(t)$ , la pente donne $a$ et l'AIRE ALGÉBRIQUE donne $\Delta x$ .
• Déplacement $\Delta x=x_{f}-x_{i}$ : un vecteur, qui peut être nul après un long trajet. Distance parcourue : la somme des longueurs, toujours positive.
• Vitesse moyenne $=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ . Vitesse scalaire moyenne $=\dfrac{\text{distance}}{\Delta t}$ . Les deux ne coïncident que si le mouvement ne change jamais de sens.

En 203-SN1-RE, la question « quelle équation utiliser » n'a de sens que si $a$ est constante. Si l'énoncé fournit $a(t)$ sous forme d'expression, la seule réponse est : intégrer.

Les quatre équations du MRUA, et leur condition d'emploi

• $v_{f}=v_{i}+a\,\Delta t$ (pas de $\Delta x$ )
• $\Delta x=v_{i}\,\Delta t+\tfrac{1}{2}a\,\Delta t^{2}$ (pas de $v_{f}$ )
• $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\,\Delta x$ (pas de $\Delta t$ )
• $\Delta x=\dfrac{v_{i}+v_{f}}{2}\,\Delta t$ (pas de $a$ )
• CONDITION unique et non négociable : $a$ constante sur tout l'intervalle considéré. Un changement de phase (moteur coupé, contact avec le sol, ouverture d'un parachute) ouvre un NOUVEL intervalle et un nouveau jeu de valeurs initiales.

Cinq grandeurs, quatre équations : chacune est celle qui se passe de la cinquième. Repérer la grandeur qui n'est ni donnée ni demandée choisit l'équation sans réfléchir.

Le signe, la seule vraie difficulté du chapitre

• L'axe est un choix, mais il est UNIQUE pour tout le problème. Une fois l'axe posé vers le haut, $g$ entre dans les équations sous la forme $a=-9{,}8$ m/s $^{2}$ , y compris pendant la montée.
• « Ralentir » ne veut pas dire $a<0$ . Ralentir, c'est $v$ et $a$ de SIGNES OPPOSÉS. Accélérer, c'est $v$ et $a$ de même signe.
• Un objet peut avoir $a$ constante et négative tout en ayant $v>0$ puis $v<0$ : il ralentit, s'arrête, puis repart en arrière en accélérant.
• Au sommet d'un lancer vertical, $v=0$ mais $a=-9{,}8$ m/s $^{2}$ : rien ne s'annule dans l'accélération, sinon l'objet resterait suspendu.
• En 2D, on ne choisit pas un axe mais deux, et le même signe de $g$ vaut pour toute la trajectoire, montée comprise.

Une seule accélération, constante et négative (la pente unique de la droite) : avant

t=4

s l'objet ralentit, après il recule en accélérant. Le signe de

a

ne dit donc jamais à lui seul si l'objet accélère.

Écrire « axe $Oy$ orienté vers le haut, origine au sol, $t=0$ au lancer » avant la première équation vaut souvent un demi-point de rigueur et évite les trois quarts des erreurs suivantes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Annuler l'accélération au sommet d'un projectile ou d'un lancer vertical

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au point le plus haut la vitesse est nulle, donc l'accélération aussi, donc $v_{y}$ reste nulle après. »

Ce qu'il faut écrire

« Au sommet, $v_{y}=0$ mais $a_{y}=-9{,}8$ m/s $^{2}$ , comme partout ailleurs : c'est précisément cette accélération qui fait redescendre l'objet. »

Les trois flèches d'accélération ont la même longueur et la même direction, sommet compris. Au sommet, seule la flèche de vitesse a changé : elle est devenue horizontale, elle n'a pas disparu.

Pourquoi : La vitesse et l'accélération sont deux grandeurs indépendantes en un instant donné. Si $a$ s'annulait au sommet, l'objet y resterait immobile pour toujours, ce que personne n'a jamais observé.

2. Mélanger les signes en chute libre en prenant $g$ positif dans un axe orienté vers le haut

3 points, et un temps de chute impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On lance vers le haut à $15$ m/s depuis $20$ m : $y=20+15t+4{,}9t^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Axe vers le haut, donc $a=-9{,}8$ m/s $^{2}$ et $y=20+15t-4{,}9t^{2}$ . La hauteur doit finir par diminuer, pas par exploser. »

Pourquoi : Le signe de $g$ n'est pas une propriété de la gravité, c'est la projection de la gravité sur l'axe qu'on vient de choisir. Choisir l'axe vers le haut et écrire $+g$ revient à faire tomber l'objet vers le ciel.

3. Appliquer les quatre équations du MRUA à une accélération qui varie

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a(t)=6t$ m/s $^{2}$ , $v_{i}=0$ et $\Delta t=4$ s, donc $\Delta x=\tfrac{1}{2}a\Delta t^{2}=\tfrac{1}{2}(6)(16)=48$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« $a$ dépend du temps, donc aucune des quatre équations ne s'applique. On intègre : $v(t)=3t^{2}$ , puis $x(t)=t^{3}$ , d'où $\Delta x=4^{3}=64$ m. »

Pourquoi : Les quatre équations sont le résultat d'une intégration faite une fois pour toutes AVEC $a$ constante. Hors de cette hypothèse elles ne sont pas approximatives, elles sont fausses.

4. Perdre la constante d'intégration en remontant de $a$ vers $v$ puis vers $x$

2 points par intégration, souvent 4 points sur la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a(t)=4$ , donc $v(t)=4t$ et $x(t)=2t^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a(t)=4$ , donc $v(t)=4t+v_{0}$ et $x(t)=2t^{2}+v_{0}t+x_{0}$ , avec $v_{0}$ et $x_{0}$ lus dans l'énoncé. »

Pourquoi : Une primitive n'est jamais unique. Écrire $v(t)=4t$ revient à décider en silence que l'objet partait du repos, ce que l'énoncé ne dit presque jamais.

5. Confondre la distance parcourue et le déplacement quand le mouvement change de sens

2 points, et la vitesse scalaire moyenne fausse dans la foulée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La rame avance $6$ s à $10$ m/s puis recule $4$ s à $5$ m/s : la distance parcourue est $60-20=40$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« Le déplacement vaut $60-20=40$ m, mais la distance parcourue vaut $60+20=80$ m. L'aire sous $v(t)$ compte les surfaces sous l'axe en NÉGATIF pour le déplacement, en POSITIF pour la distance. »

Pourquoi : Le déplacement est une différence de positions, la distance une somme de longueurs. La question « quelle distance a-t-elle parcourue » ne demande jamais la première.

6. Calculer une vitesse moyenne comme la moyenne arithmétique de deux vitesses hors MRUA

2 points, et une réponse toujours trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $40$ km à $80$ km/h puis $40$ km à $120$ km/h : vitesse moyenne $=\dfrac{80+120}{2}=100$ km/h. »

Ce qu'il faut écrire

« Vitesse moyenne $=\dfrac{\text{distance totale}}{\text{temps total}}=\dfrac{80}{0{,}5+\tfrac{1}{3}}=96$ km/h. La moyenne de $v_{i}$ et $v_{f}$ n'est valable QUE si $a$ est constante. »

Pourquoi : $\dfrac{v_{i}+v_{f}}{2}$ est une des quatre équations du MRUA : elle hérite donc de sa condition. Sur deux tronçons parcourus à vitesse constante, c'est le TEMPS qui pondère, et on passe plus de temps sur le tronçon lent.

7. Utiliser la formule de portée sur un lancer qui ne retombe pas à sa hauteur de départ

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Lancé du haut d'un toit de $25$ m à $20$ m/s et $53°$ : portée $=\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}=\dfrac{400\times 0{,}9614}{9{,}8}=39{,}2$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule de portée suppose un départ et une arrivée à la MÊME hauteur. Ici on résout $0=25+15{,}97t-4{,}9t^{2}$ , d'où $t=4{,}42$ s et $x=12{,}04\times 4{,}42=53{,}1$ m. »

Pourquoi : La formule de portée est un raccourci démontré pour le cas symétrique. Dès qu'une hauteur apparaît dans l'énoncé, elle sous-estime le résultat, ici de $14$ m, soit un quart de la réponse.

8. Additionner des vitesses relatives en grandeurs au lieu de les additionner en vecteurs

3 points, plus la dérive non calculée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le nageur va à $2$ m/s, le courant à $1{,}5$ m/s : sa vitesse par rapport à la rive est $3{,}5$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« Le nageur vise perpendiculairement à la rive, donc $\vec{v}_{n/rive}=\vec{v}_{n/eau}+\vec{v}_{eau/rive}$ composante par composante : $v=\sqrt{2^{2}+1{,}5^{2}}=2{,}5$ m/s, dévié de $36{,}9°$ vers l'aval. »

Pourquoi : Les vitesses ne s'additionnent en scalaires que si elles sont colinéaires et de même sens. Dans une traversée de rivière elles sont perpendiculaires, donc c'est Pythagore, pas une somme.

9. Déclarer l'accélération nulle dans un mouvement circulaire uniforme

3 points, et le chapitre suivant devient incompréhensible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La bille tourne à vitesse constante, donc $a=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La GRANDEUR de la vitesse est constante, mais sa DIRECTION change : $a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}$ , dirigée vers le centre. Seule la composante tangentielle est nulle. »

Pourquoi : L'accélération est la dérivée d'un VECTEUR. Un vecteur peut changer sans que sa norme change, et c'est exactement ce qui se passe sur un cercle. Sans cette accélération, aucune force centripète en dynamique.

Quelle méthode choisir

Quelle équation du MRUA choisir

Lister les cinq grandeurs $v_{i}$ , $v_{f}$ , $a$ , $\Delta x$ , $\Delta t$ , puis repérer celle qui n'est NI donnée NI demandée : l'équation à utiliser est celle où elle ne figure pas.

Si le temps n'est ni donné ni demandé → $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\,\Delta x$

Exemple : freinage de $25$ m/s à l'arrêt sur $50$ m : $a=-6{,}25$ m/s $^{2}$

c'est l'équation des distances d'arrêt et des hauteurs maximales
Si le déplacement n'est ni donné ni demandé → $v_{f}=v_{i}+a\,\Delta t$

Exemple : chute libre depuis le repos, $v$ après $3$ s : $v=-29{,}4$ m/s
Si l'accélération n'est ni donnée ni demandée → $\Delta x=\dfrac{v_{i}+v_{f}}{2}\,\Delta t$

Exemple : de $10$ à $30$ m/s en $4$ s : $\Delta x=80$ m
Si la vitesse finale n'est ni donnée ni demandée → $\Delta x=v_{i}\,\Delta t+\tfrac{1}{2}a\,\Delta t^{2}$

Exemple : position à $t$ quelconque, l'équation horaire elle-même
Si deux des cinq grandeurs manquent → poser un système avec deux des équations, ou repérer la contrainte cachée (rencontre, même temps, même position)

cas typique : la poursuite de deux véhicules, où l'inconnue commune est $\Delta t$

Aucune branche ne s'applique si $a$ n'est pas constante sur l'intervalle : dans ce cas on intègre. Et si le mouvement change de régime en cours de route, on découpe en intervalles, chacun avec ses propres $v_{i}$ et $x_{i}$ .

Quelle mise en équation selon la forme du mouvement

Ce que l'énoncé donne, avant tout calcul

Si l'énoncé donne $x(t)$ ou $v(t)$ par une expression → dériver, et ne jamais utiliser les quatre équations

Exemple : $x(t)=t^{3}-6t^{2}$ , donc $v=3t^{2}-12t$ et $a=6t-12$
Si l'énoncé donne $a(t)$ par une expression → intégrer deux fois en gardant $v_{0}$ et $x_{0}$

Exemple : $a=6t$ avec $v_{0}=2$ donne $v=3t^{2}+2$
Si $a$ est constante et le mouvement est sur une droite → les quatre équations, après avoir posé l'axe

Exemple : chute libre, freinage, décollage
Si l'objet est lancé et seule la gravité agit → deux mouvements séparés, MRU en $x$ et MRUA en $y$ , reliés par le SEUL temps commun

Exemple : $x=v_{0}\cos\theta\,t$ et $y=y_{0}+v_{0}\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}$
Si deux repères sont en mouvement l'un par rapport à l'autre → addition vectorielle $\vec{v}_{A/C}=\vec{v}_{A/B}+\vec{v}_{B/C}$ , composante par composante

Exemple : nageur et courant, avion et vent, passager et tapis roulant
Si la trajectoire est un cercle parcouru à vitesse constante → $a=\dfrac{v^{2}}{r}$ vers le centre, et rien d'autre

Exemple : $v=6$ m/s sur $r=4$ m donne $a_{c}=9$ m/s $^{2}$

Le mot « projectile » n'apparaît presque jamais dans l'énoncé : il se reconnaît à « lancé », « frappé », « quitte la table », « tiré », suivi de l'absence de toute force autre que le poids.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème de projectile

Quand l'utiliser : Un objet est lancé, frappé ou quitte un bord, et rien d'autre que la gravité n'agit ensuite.

1 Poser le repère : origine au point de lancement ou au sol, axe $Ox$ horizontal dans le sens du mouvement, axe $Oy$ vers le haut. L'écrire, ne pas seulement y penser.
2 Décomposer la vitesse initiale : $v_{0x}=v_{0}\cos\theta$ et $v_{0y}=v_{0}\sin\theta$ , en précisant l'unité et en vérifiant que la calculatrice est en degrés.
3 Écrire les deux équations horaires : $x(t)=x_{0}+v_{0x}t$ (MRU, car $a_{x}=0$ ) et $y(t)=y_{0}+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^{2}$ .
4 Traduire la question en une CONDITION sur $x$ ou sur $y$ : « touche le sol » donne $y=0$ , « au sommet » donne $v_{y}=0$ , « passe le mur » donne $x=d$ .
5 Résoudre cette condition pour $t$ , en gardant la racine positive et en justifiant le rejet de l'autre.
6 Reporter ce $t$ dans l'autre équation pour obtenir la grandeur demandée, puis conclure avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Avec l'axe $Oy$ orienté vers le haut et l'origine au sol, la condition $y(t)=0$ donne $t=4{,}42$ s, seule racine positive; en reportant dans $x(t)$ , le projectile touche le sol à $53{,}1$ m du pied de l'immeuble. »

Le piège : L'étape 4. Beaucoup de copies calculent tout ce qu'elles savent calculer sans jamais écrire la condition qui traduit la question, et se retrouvent avec cinq résultats justes dont aucun n'est la réponse.

Barème : Typiquement 1 point pour le repère, 2 pour la décomposition, 2 pour les deux équations horaires, 2 pour la condition et sa résolution, 1 pour la conclusion et l'unité.

Remonter de l'accélération à la position

Quand l'utiliser : L'énoncé fournit $a(t)$ par une expression, plus les conditions initiales.

1 Écrire $v(t)=\displaystyle\int a(t)\,dt$ en faisant apparaître la constante : $v(t)=\ldots+C_{1}$ .
2 Déterminer $C_{1}$ avec la condition initiale sur la vitesse, en écrivant l'égalité $v(0)=v_{0}$ explicitement.
3 Écrire $x(t)=\displaystyle\int v(t)\,dt=\ldots+C_{2}$ , puis déterminer $C_{2}$ avec $x(0)=x_{0}$ .
4 Répondre à la question posée avec la fonction obtenue, et vérifier que $x(0)$ et $v(0)$ redonnent bien les données de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« Comme $a(t)=6t$ , on a $v(t)=3t^{2}+C_{1}$ ; la condition $v(0)=2$ m/s donne $C_{1}=2$ , donc $v(t)=3t^{2}+2$ , puis $x(t)=t^{3}+2t+C_{2}$ avec $x(0)=0$ , d'où $x(t)=t^{3}+2t$ . »

Le piège : Déterminer $C_{2}$ en oubliant que le terme $C_{1}t$ vient de s'ajouter : la constante de la première intégration devient un terme linéaire dans la seconde, elle ne disparaît pas.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe du résultat contre l'axe déclaré

Relire l'axe posé à l'étape 1, puis regarder le signe de chaque réponse. Une vitesse finale positive pour un objet qui tombe, avec l'axe vers le haut, est fausse à coup sûr.

Un $v_{f}=+27{,}3$ m/s pour une balle qui percute le sol, axe vers le haut : c'est $-27{,}3$ m/s, et la grandeur seule vaut $27{,}3$ m/s.
Le temps réinjecté dans l'AUTRE équation

Un projectile fournit toujours deux équations. Le $t$ trouvé par l'une doit redonner, dans l'autre, une valeur physiquement possible : une hauteur positive, une portée inférieure à celle de l'énoncé.

Un $t$ qui donne $y=-12$ m alors que le sol est à $y=0$ signale une racine négative gardée par erreur.
L'ordre de grandeur, contre un cas connu

Comparer à des repères mémorisés : un sprinteur à $10$ m/s, une voiture en ville à $14$ m/s, une chute d'un étage en $0{,}8$ s. Une réponse dix fois trop grande se voit sans recalculer.

Une portée de $530$ m pour un ballon lancé à $20$ m/s : c'est un facteur $10$ , presque toujours une virgule ou un $g$ mal placé.
Le mode de la calculatrice et l'unité de l'angle

Avant tout projectile, vérifier DEG à l'écran. Un $\cos 53$ en radians vaut $-0{,}918$ au lieu de $0{,}602$ , et le signe négatif fait partir le projectile en arrière.

Une composante horizontale négative avec un angle donné entre $0$ et $90°$ : la calculatrice est en radians.
La table de valeurs pour un mouvement donné par une expression

Entrer $x(t)$ dans la fonction de la calculatrice, afficher la table autour du temps trouvé, et vérifier que la position change de sens là où $v$ change de signe.

Une table qui continue de croître après l'instant annoncé du rebroussement dit que la dérivée a été mal calculée.

L'exercice type décortiqué

Un lancer depuis le toit d'un immeuble, du repère à la vitesse d'impact

Du toit d'un immeuble de $25{,}0$ m, on lance un ballon avec une vitesse initiale de $20{,}0$ m/s dirigée à $53{,}0°$ au-dessus de l'horizontale.

Déterminer la durée du vol, la distance horizontale au point d'impact et la grandeur de la vitesse d'impact. On prend $g=9{,}80$ m/s $^{2}$ et on néglige la résistance de l'air.

Le départ et l'arrivée ne sont pas à la même hauteur : la trajectoire repasse par le niveau du toit (pointillé) bien avant de toucher le sol, et c'est tout ce qui interdit la formule de portée.

Étape 1

Repère : origine au pied de l'immeuble, axe $Ox$ horizontal dans le sens du lancer, axe $Oy$ vers le haut. Donc $x_{0}=0$ , $y_{0}=25{,}0$ m et $a_{y}=-9{,}80$ m/s $^{2}$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui fixe tous les signes de la question. Écrite, elle rend indiscutable le $-9{,}80$ des lignes suivantes; omise, elle laisse le correcteur décider que le signe suivant est une chance.

Étape 2

$v_{0x}=20{,}0\cos 53{,}0°=12{,}04$ m/s et $v_{0y}=20{,}0\sin 53{,}0°=15{,}97$ m/s.

Pourquoi

Un projectile ne se traite jamais avec $v_{0}$ tel quel : les deux axes n'ont pas la même accélération, donc ils n'ont pas la même équation. La décomposition est ce qui sépare les deux problèmes.

Étape 3

$x(t)=12{,}04\,t$ et $y(t)=25{,}0+15{,}97\,t-4{,}90\,t^{2}$ .

Pourquoi

Le $t$ est le même dans les deux lignes : c'est le seul lien entre l'horizontale et la verticale. Tout le reste de la question consiste à le trouver d'un côté pour l'utiliser de l'autre.

Étape 4

Condition d'impact : $y(t)=0$ , soit $4{,}90\,t^{2}-15{,}97\,t-25{,}0=0$ , d'où $t=\dfrac{15{,}97+\sqrt{255{,}0+490{,}0}}{9{,}80}=4{,}42$ s. La racine négative $-1{,}16$ s est rejetée, le ballon n'existant pas avant le lancer.

Pourquoi

C'est ici que la question devient une équation. Le rejet de la racine négative se justifie en une phrase et rapporte le point de rigueur; sans phrase, le correcteur voit deux réponses et n'en compte aucune.

Étape 5

$x(4{,}42)=12{,}04\times 4{,}42=53{,}1$ m.

Pourquoi

Le temps trouvé sur l'axe vertical se reporte sur l'axe horizontal : c'est la seule manière d'obtenir la portée quand le départ et l'arrivée ne sont pas à la même hauteur.

Étape 6

$v_{y}(4{,}42)=15{,}97-9{,}80\times 4{,}42=-27{,}3$ m/s, donc $v=\sqrt{12{,}04^{2}+27{,}3^{2}}=29{,}8$ m/s.

Pourquoi

La composante horizontale n'a pas changé depuis le lancer, puisque $a_{x}=0$ . Seule la verticale évolue, et son signe négatif dit que le ballon descend au moment de l'impact.

Étape 7

Vérification par l'énergie cinématique : $v^{2}=v_{0}^{2}+2g h=400+2(9{,}80)(25{,}0)=890$ , donc $v=29{,}8$ m/s.

Pourquoi

Cette relation ne fait intervenir ni le temps ni l'angle : elle contrôle la vitesse d'impact par un chemin complètement indépendant du précédent. Deux méthodes concordantes valent mieux qu'une vérification de calcul.

Conclusion rédigée

« Le ballon reste $4{,}42$ s en vol, touche le sol à $53{,}1$ m du pied de l'immeuble, et y arrive à $29{,}8$ m/s. »

L'erreur classique sur cet exercice : Appliquer $R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}$ et répondre $39{,}2$ m. La formule est juste, mais elle est démontrée pour un retour à la hauteur de départ : ici elle donne la distance au moment où le ballon repasse au niveau du toit, pas au sol.

À savoir par cœur

• $v=\dfrac{dx}{dt}$ et $a=\dfrac{dv}{dt}$ sont vraies TOUJOURS; les quatre équations du MRUA ne le sont que si $a$ est CONSTANTE.
• Sur un graphique $v(t)$ : la pente est $a$ , l'aire algébrique est $\Delta x$ , l'aire en valeur absolue est la distance parcourue.
• Ralentir, c'est $v$ et $a$ de signes OPPOSÉS. Le signe de $a$ seul ne dit rien.
• Au sommet d'un projectile : $v_{y}=0$ , $v_{x}$ inchangée, $a=-g$ comme partout.
• Un projectile, c'est deux mouvements et UN seul temps : $x=v_{0}\cos\theta\,t$ et $y=y_{0}+v_{0}\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}$ .
• $R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}$ exige un départ et une arrivée à la MÊME hauteur, et l'angle optimal $45°$ avec elle.
• Vitesses relatives : $\vec{v}_{A/C}=\vec{v}_{A/B}+\vec{v}_{B/C}$ , composante par composante, jamais en grandeurs.
• Mouvement circulaire uniforme : $v$ constante en grandeur, $a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}$ vers le centre, jamais nulle.

Questions fréquentes

Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle au sommet d'un projectile ?

Parce que la vitesse et l'accélération sont deux grandeurs distinctes. Au sommet, la composante verticale de la vitesse s'annule un instant, mais la gravité, elle, agit sans interruption : l'accélération vaut 9,8 mètres par seconde carrée vers le bas pendant tout le vol. C'est justement elle qui fait redescendre l'objet. Si elle s'annulait au sommet, l'objet y resterait suspendu.

Quelle équation du MRUA faut-il choisir dans un problème ?

Listez les cinq grandeurs en jeu : vitesse initiale, vitesse finale, accélération, déplacement, durée. Repérez celle qui n'est ni donnée dans l'énoncé ni demandée par la question. L'équation à utiliser est celle où cette grandeur n'apparaît pas. Cette lecture évite les systèmes inutiles et prend cinq secondes.

Quand peut-on utiliser la formule de la portée d'un projectile ?

Uniquement quand le projectile retombe exactement à la hauteur d'où il est parti, par exemple un ballon frappé au sol et repris au sol. Dès que l'énoncé mentionne une falaise, un toit, une table ou un panier surélevé, la formule sous-estime la distance et il faut repasser par la condition sur la hauteur, puis reporter le temps trouvé.

Comment fixer le signe de g dans un problème de chute libre ?

Le signe de g dépend de l'axe que vous choisissez, pas de la gravité. Axe vers le haut : l'accélération vaut moins 9,8 pendant tout le mouvement, montée comprise. Axe vers le bas : elle vaut plus 9,8. Le seul interdit est de changer d'axe en cours de problème ou de mettre un signe différent selon que l'objet monte ou descend.

Quelle différence entre la distance parcourue et le déplacement ?

Le déplacement est la différence entre la position finale et la position initiale : il a un signe et peut être nul après un aller-retour. La distance parcourue additionne les longueurs de tous les trajets, elle est toujours positive. Sur un graphique de la vitesse en fonction du temps, la première compte les aires sous l'axe en négatif, la seconde en positif.

Comment traiter un problème de vitesse relative comme la traversée d'une rivière ?

On additionne des vecteurs, jamais des nombres. La vitesse par rapport à la rive est la somme vectorielle de la vitesse du nageur par rapport à l'eau et de la vitesse du courant. On projette sur deux axes, on additionne composante par composante, puis on revient à une grandeur et à un angle. La largeur de la rivière se traite avec la composante perpendiculaire seule.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Cinématique en une et deux dimensions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Dynamique : lois de Newton et frottement

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Fiche de révision : la cinématique en une et deux dimensions (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

L'essentiel

Les trois définitions dont tout le reste découle

Les quatre équations du MRUA, et leur condition d'emploi

Le signe, la seule vraie difficulté du chapitre

Les pièges qui coûtent des points

1. Annuler l'accélération au sommet d'un projectile ou d'un lancer vertical

2. Mélanger les signes en chute libre en prenant ggg positif dans un axe orienté vers le haut

3. Appliquer les quatre équations du MRUA à une accélération qui varie

4. Perdre la constante d'intégration en remontant de aaa vers vvv puis vers xxx

5. Confondre la distance parcourue et le déplacement quand le mouvement change de sens

6. Calculer une vitesse moyenne comme la moyenne arithmétique de deux vitesses hors MRUA

7. Utiliser la formule de portée sur un lancer qui ne retombe pas à sa hauteur de départ

8. Additionner des vitesses relatives en grandeurs au lieu de les additionner en vecteurs

9. Déclarer l'accélération nulle dans un mouvement circulaire uniforme

Quelle méthode choisir

Quelle équation du MRUA choisir

Quelle mise en équation selon la forme du mouvement

La rédaction attendue

Résoudre un problème de projectile

Remonter de l'accélération à la position

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un lancer depuis le toit d'un immeuble, du repère à la vitesse d'impact

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle au sommet d'un projectile ?

Quelle équation du MRUA faut-il choisir dans un problème ?

Quand peut-on utiliser la formule de la portée d'un projectile ?

Comment fixer le signe de g dans un problème de chute libre ?

Quelle différence entre la distance parcourue et le déplacement ?

Comment traiter un problème de vitesse relative comme la traversée d'une rivière ?

Exercices corrigés : Cinématique en une et deux dimensions

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2. Mélanger les signes en chute libre en prenant $g$ positif dans un axe orienté vers le haut

4. Perdre la constante d'intégration en remontant de $a$ vers $v$ puis vers $x$