Mécanique 203-SN1-RE • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire (203-SN1-RE)

Le rapport de laboratoire se note autant sur l'incertitude que sur la valeur. Les règles tiennent en quelques lignes, mais chacune a son piège : une règle absolue appliquée à un produit, un exposant oublié, un arrondi recopié de la calculatrice, une conclusion fondée sur une impression.

Cette fiche sert les trois cours de physique du programme révisé de Sciences de la nature, 203-SN1-RE, SN2-RE et SN3-RE. Elle rassemble les pièges, l'arbre qui choisit la règle selon la formule, la rédaction d'un résultat et un exemple complet au pendule.

Le fil du chapitre

Une mesure sans incertitude n'est pas un résultat, c'est un nombre : l'incertitude dit combien de chiffres écrire, si deux valeurs peuvent être déclarées égales, et quelle mesure améliorer. Chaque piège applique la mauvaise règle à la forme de la formule, ou juge sans l'intervalle.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Différentielle et approximation linéaireCalcul différentiel (201-NYA) Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
2Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
3Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
4La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
5Différentielle et approximation linéaireCalcul différentiel (201-NYA)

Notions couvertes

Incertitude absolue
Incertitude relative
Chiffres significatifs
Propagation des incertitudes
Méthode des extrêmes
Méthode différentielle
Écart-type expérimental
Incertitude sur la moyenne
Linéarisation
Régression linéaire
Droites extrêmes
Compatibilité d'une mesure

L'essentiel

Écrire et propager une incertitude

• Résultat : $x=(\bar x\pm\Delta x)$ unité. L'incertitude à un chiffre significatif (deux si ce chiffre est un $1$ ), la valeur arrondie à la même décimale.
• Somme ou différence : on ADDITIONNE les incertitudes absolues, $\Delta(x\pm y)=\Delta x+\Delta y$ .
• Produit, quotient, puissance, pour $z=kx^{a}y^{b}$ : on additionne les incertitudes RELATIVES pondérées par les exposants, $\dfrac{\Delta z}{z}=|a|\dfrac{\Delta x}{x}+|b|\dfrac{\Delta y}{y}$ .
• Méthode des extrêmes : $\Delta z=\dfrac{z_{max}-z_{min}}{2}$ . Méthode différentielle : $\Delta z=\sum\left|\dfrac{\partial z}{\partial x_{i}}\right|\Delta x_{i}$ , angles en radians.

Les barres d'incertitude de chaque point encadrent toutes les droites plausibles : la moitié de l'écart entre la plus raide et la plus plate donne l'incertitude sur la pente.

Les trois méthodes donnent le même ordre de grandeur pour de petites incertitudes. Le choix se fait sur la forme de la formule : des produits et des puissances, la règle relative ; une formule tordue, les extrêmes ou les dérivées.

Traiter une série de données

• Mesures répétées : moyenne $\bar x$ , écart-type $s=\sqrt{\dfrac{\sum(x_{i}-\bar x)^{2}}{N-1}}$ , incertitude sur la moyenne $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ .
• Linéariser : transformer la loi en $Y=aX+b$ . Pendule : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{g}L$ ; chute libre : $h=\dfrac{g}{2}t^{2}$ .
• La pente de la régression donne la grandeur cherchée ; une ordonnée à l'origine nettement non nulle signale une erreur systématique.
• Compatibilité : la valeur attendue appartient à $[\bar x-\Delta x\,;\bar x+\Delta x]$ ; deux mesures sont compatibles si leurs intervalles se recouvrent.

Répéter une mesure réduit l'effet des erreurs aléatoires en un sur racine de N ; aucune répétition ne corrige une erreur systématique.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner des incertitudes absolues dans un quotient

2 points, et une incertitude plus de dix fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\rho=\dfrac{m}{V}$ avec $\Delta m=0{,}1$ g et $\Delta V=0{,}5$ cm³ : $\Delta\rho=0{,}1+0{,}5=0{,}6$ g/cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{\Delta\rho}{\rho}=\dfrac{0{,}1}{85{,}2}+\dfrac{0{,}5}{31{,}4}=1{,}71$ %, donc $\Delta\rho=0{,}0171\times 2{,}71=0{,}05$ g/cm³. »

Pourquoi : Additionner des grammes et des centimètres cubes n'a même pas de sens : pour un produit ou un quotient, seules les incertitudes RELATIVES, sans unité, s'additionnent.

2. Oublier l'exposant d'une grandeur au carré

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\rho=\dfrac{4m}{\pi d^{2}h}$ : $\dfrac{\Delta\rho}{\rho}=0{,}12\,\%+0{,}40\,\%+0{,}78\,\%=1{,}30$ %. »

Ce qu'il faut écrire

« Le diamètre est au carré, son incertitude relative compte deux fois : $0{,}12\,\%+2\times 0{,}40\,\%+0{,}78\,\%=1{,}70$ %. »

Pourquoi : Une puissance multiplie l'incertitude relative par son exposant : $x^{2}=x\times x$ cumule deux fois l'erreur sur $x$ . C'est souvent la grandeur au carré qui domine le résultat.

3. Recopier tous les chiffres de la calculatrice

0,5 à 1 point dans chaque résultat du rapport

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g=(9{,}81234\pm 0{,}0467)$ m/s². »

Ce qu'il faut écrire

« $g=(9{,}81\pm 0{,}05)$ m/s² : incertitude à un chiffre significatif, valeur au centième. »

Pourquoi : Si les centièmes sont déjà incertains, écrire des cent-millièmes affirme une précision que la mesure n'a pas. Le correcteur y lit une incompréhension de ce qu'est une incertitude.

4. Mal apparier les bornes dans la méthode des extrêmes

2 points, et une incertitude sous-estimée d'un facteur 2,6

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g_{max}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}802}{1{,}800^{2}}=9{,}772$ et $g_{min}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}798}{1{,}790^{2}}=9{,}832$ : $\Delta g=0{,}03$ m/s². »

Ce qu'il faut écrire

« $T$ est au dénominateur : $g_{max}$ prend $L_{max}$ avec $T_{min}$ , soit $9{,}882$ , et $g_{min}$ prend $L_{min}$ avec $T_{max}$ , soit $9{,}723$ ; $\Delta g=0{,}08$ m/s². »

Pourquoi : Associer les deux bornes supérieures fait se compenser les effets, puisque L est au numérateur et T au dénominateur. Le « maximum » obtenu est même plus petit que le « minimum ».

5. Soustraire les incertitudes quand on fait une différence

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Delta T=23{,}1-22{,}4=0{,}7$ °C, avec une incertitude de $0{,}1-0{,}1=0$ °C. »

Ce qu'il faut écrire

« Les incertitudes s'additionnent : $\Delta T=(0{,}7\pm 0{,}2)$ °C, soit $29$ % d'incertitude relative. »

Chaque lecture peut se trouver n'importe où dans son crochet : l'écart réel va de 0,5 à 0,9 °C, soit 0,7 plus ou moins 0,2.

Pourquoi : Rien ne garantit que les deux erreurs se compensent : si la première lecture est basse et la seconde haute, la différence est surestimée des deux. Une petite différence de grandes valeurs est toujours très incertaine.

6. Juger la compatibilité à l'œil

la conclusion du rapport, souvent 2 à 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g=(9{,}72\pm 0{,}05)$ m/s² est proche de $9{,}81$ : la mesure est compatible. »

Ce qu'il faut écrire

« $[9{,}67\,;9{,}77]$ ne contient pas $9{,}81$ : la mesure n'est pas compatible ; l'écart vaut presque deux incertitudes. »

La droite verticale de 9,81 traverse le crochet du bas mais passe à côté de celui du haut : seule la mesure du bas est compatible.

Pourquoi : Le mot « proche » n'a pas de sens sans l'incertitude : c'est elle qui fixe l'échelle. Une mesure non compatible n'est pas une faute, elle demande de chercher une erreur systématique.

7. Laisser l'incertitude d'un angle en degrés dans une dérivée

2 points, et une incertitude cinquante fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Delta R=\left|\dfrac{2v_{0}^{2}\cos 2\theta}{g}\right|\times 1=5{,}1$ m pour $\Delta\theta=1°$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta\theta=1°=0{,}01745$ rad : $\Delta R=5{,}10\times 0{,}01745=0{,}089$ m. »

Pourquoi : La dérivée de $\sin\theta$ vaut $\cos\theta$ seulement si $\theta$ est en radians. En degrés, il manque le facteur $\dfrac{\pi}{180}$ .

Quelle méthode choisir

Quelle règle de propagation selon la formule

La forme de la relation entre le résultat et les mesures

Si une somme ou une différence → additionner les incertitudes ABSOLUES

Exemple : $(47{,}8\pm 0{,}1)-(12{,}3\pm 0{,}1)=(35{,}5\pm 0{,}2)$ cm
Si un produit, un quotient, des puissances → additionner les incertitudes RELATIVES multipliées par les exposants

Exemple : $g=\dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$ : $0{,}25\,\%+2\times 0{,}28\,\%=0{,}81$ %
Si un sinus, un logarithme, une formule mixte → méthode différentielle, angles en radians

Exemple : $R=\dfrac{v^{2}\sin 2\theta}{g}$ : $0{,}24+0{,}09=0{,}33$ m
Si une formule compliquée sans dérivée commode → méthode des extrêmes : $\dfrac{z_{max}-z_{min}}{2}$ , bornes bien appariées

Exemple : $\dfrac{9{,}882-9{,}723}{2}=0{,}08$ m/s²
Si une série de mesures répétées → moyenne et $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$

Exemple : $s=4{,}4$ ms, $N=8$ : $1{,}6$ ms
Si une pente de graphique → demi-écart des pentes des droites extrêmes

Exemple : $\dfrac{4{,}97-4{,}84}{2}=0{,}065$ m/s²

Une formule mixte, comme un travail obtenu par différence de deux énergies, se traite en deux temps : les règles relatives pour chaque énergie, puis la règle absolue pour la différence.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Présenter un résultat de laboratoire

Quand l'utiliser : Le rapport demande une grandeur calculée à partir de mesures et sa comparaison avec une valeur de référence.

1 Donner chaque mesure avec son incertitude et dire d'où vient cette incertitude (lecture, résolution, dispersion).
2 Calculer la valeur, puis l'incertitude par la règle adaptée, en écrivant la formule de propagation avant les nombres.
3 Arrondir l'incertitude à un chiffre significatif (deux s'il commence par 1), puis la valeur à la même décimale.
4 Conclure sur la compatibilité avec la valeur de référence en citant l'intervalle, et nommer une source d'erreur plausible s'il n'y a pas compatibilité.

Phrase de conclusion

« $g=(9{,}78\pm 0{,}15)$ m/s². La valeur de référence $9{,}81$ m/s² appartient à l'intervalle $[9{,}63\,;9{,}93]$ : la mesure est compatible. L'incertitude est dominée par le chronométrage, qui compte deux fois. »

Le piège : Conclure « le résultat est bon, l'écart n'est que de 0,3 % » sans parler de l'intervalle : le correcteur attend un critère, pas une impression.

Barème : En général 1 point pour les incertitudes des mesures, 2 pour la propagation, 1 pour l'écriture arrondie, 1 pour la conclusion justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'incertitude relative raisonnable

Au laboratoire de cégep, une incertitude relative se situe le plus souvent entre 0,5 et 10 %. En dessous de 0,1 %, suspecter une incertitude oubliée ; au-dessus de 30 %, une différence de grandeurs voisines.

$\Delta g=0{,}001$ m/s² au pendule chronométré à la main : incertitude inventée.
La même décimale

Après arrondi, la dernière décimale de la valeur et celle de l'incertitude doivent coïncider.

$(9{,}8\pm 0{,}05)$ ou $(9{,}812\pm 0{,}05)$ : mal arrondi ; $(9{,}81\pm 0{,}05)$ : correct.
Le poids de chaque terme

Dans une somme d'incertitudes relatives, repérer le terme dominant : c'est la mesure à améliorer, et c'est ce que la conclusion doit nommer.

$0{,}31\,\%+1{,}23\,\%$ : le chronométrage domine.
La pente contre la valeur isolée

Une grandeur tirée d'une pente doit être voisine de celle tirée de chaque point : un écart important signale un point aberrant ou une ordonnée à l'origine oubliée.

$g=9{,}76$ par la pente, $9{,}75$ à $9{,}81$ point par point : cohérent.

L'exercice type décortiqué

Mesurer g au pendule, de la mesure brute à la conclusion

On mesure la longueur d'un pendule, $L=(0{,}650\pm 0{,}002)$ m, et la durée de $20$ oscillations, $(32{,}4\pm 0{,}2)$ s. Théorie : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ .

Calculer g avec son incertitude et conclure sur la compatibilité avec 9,81 m/s².

Étape 1

Période : $T=\dfrac{32{,}4}{20}=1{,}620$ s et $\Delta T=\dfrac{0{,}2}{20}=0{,}010$ s.

Pourquoi

Diviser par un nombre exact divise aussi l'incertitude : chronométrer vingt oscillations rend l'erreur de déclenchement vingt fois plus petite par période.

Étape 2

$g=\dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times 0{,}650}{1{,}620^{2}}=9{,}778$ m/s².

Pourquoi

On garde tous les chiffres pendant le calcul ; on n'arrondit qu'à la fin, une fois l'incertitude connue.

Étape 3

$\dfrac{\Delta g}{g}=\dfrac{0{,}002}{0{,}650}+2\times\dfrac{0{,}010}{1{,}620}=0{,}31\,\%+1{,}23\,\%=1{,}54$ %.

Pourquoi

La formule est un produit de puissances : incertitudes relatives, et l'exposant 2 de T double sa contribution.

Étape 4

$\Delta g=0{,}0154\times 9{,}778=0{,}15$ m/s², d'où $g=(9{,}78\pm 0{,}15)$ m/s².

Pourquoi

L'incertitude commence par un 1 : on garde deux chiffres, et la valeur s'arrondit au centième.

Étape 5

Intervalle $[9{,}63\,;9{,}93]$ : il contient $9{,}81$ .

Pourquoi

La conclusion se fonde sur l'intervalle, pas sur l'écart relatif de 0,3 % qui ne dit rien sans l'incertitude.

Conclusion rédigée

« $g=(9{,}78\pm 0{,}15)$ m/s², compatible avec $9{,}81$ m/s². Le chronométrage fournit $80$ % de l'incertitude : c'est lui qu'il faudrait améliorer, par exemple en mesurant cinquante oscillations. »

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier le facteur 2 devant l'incertitude relative de T : on annonce 0,9 % au lieu de 1,5 %, et une incertitude trop optimiste.

À savoir par cœur

• Somme, différence : incertitudes absolues additionnées.
• Produit, quotient : incertitudes relatives additionnées ; puissance $n$ : multiplier par $n$ .
• Extrêmes : $\dfrac{z_{max}-z_{min}}{2}$ , en appariant les bornes selon numérateur et dénominateur.
• Dérivées : $\sum\left|\dfrac{\partial z}{\partial x_{i}}\right|\Delta x_{i}$ , angles en radians.
• Mesures répétées : $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ ; quatre fois plus de mesures pour diviser par deux.
• Arrondi : un chiffre significatif pour l'incertitude, deux s'il commence par 1, et la même décimale pour la valeur.
• Compatible : la référence est dans l'intervalle, ou les intervalles se recouvrent.

Questions fréquentes

Comment calculer l'incertitude d'un produit ou d'un quotient ?

On additionne les incertitudes relatives de chaque mesure, c'est-à-dire chaque incertitude divisée par sa valeur, en multipliant chacune par l'exposant de la grandeur dans la formule. On obtient l'incertitude relative du résultat, qu'on multiplie par la valeur calculée pour retrouver l'incertitude absolue.

Combien de chiffres significatifs garder dans une incertitude ?

On arrondit l'incertitude à un seul chiffre significatif, ou à deux lorsque ce premier chiffre est un 1, puis on arrondit la valeur mesurée à la même position décimale que l'incertitude. Écrire plus de chiffres affirmerait une précision que la mesure ne possède pas.

Quand dit-on qu'une mesure est compatible avec la valeur théorique ?

Lorsque la valeur théorique se trouve dans l'intervalle formé par la valeur mesurée plus ou moins son incertitude. Deux mesures d'une même grandeur sont compatibles lorsque leurs intervalles d'incertitude se recouvrent. La proximité apparente des nombres ne suffit pas : c'est l'incertitude qui fixe l'échelle.

Pourquoi linéariser les données dans un rapport de laboratoire ?

Parce qu'une droite se reconnaît à l'œil et se traite par régression : sa pente et son ordonnée à l'origine donnent directement les grandeurs cherchées, en utilisant toutes les mesures à la fois. Pour un pendule, on trace le carré de la période en fonction de la longueur, dont la pente vaut quatre pi carré divisé par g.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoireÉlectricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoireOndes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

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