Exercices corrigés : mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire (203-SN3-RE)

Un pied à coulisse au cinquantième porte cinquante divisions de vernier couvrant quarante-neuf millimètres de la règle. Chaque division du vernier vaut donc $\dfrac{49}{50}=0{,}98$ mm, soit $0{,}02$ mm de moins qu'un millimètre : le décalage s'accumule d'une division à l'autre, et le trait qui coïncide désigne le nombre de centièmes. L'incertitude de lecture est la plus petite division lisible, $0{,}02$ mm. Contrairement à la règle graduée, on ne prend PAS la moitié : le vernier donne une lecture franche, pas une interpolation à l'œil.

Trente divisions couvrent vingt-neuf demi-degrés, soit $29\times 30'=870'$. Chaque division du vernier vaut $\dfrac{870}{30}=29'$, contre $30'$ pour une division du cercle : l'écart est de $1'$ par division. La plus petite division lisible est donc LA MINUTE D'ARC, c'est-à-dire $\dfrac{1}{60}$ de degré. Un goniomètre de laboratoire d'optique lit ainsi trente fois plus finement que son cercle n'est gravé.

$54'=\dfrac{54}{60}=0{,}90^{\circ}$, donc $40^{\circ}54'=40{,}90^{\circ}$. Pour l'incertitude : $2'=\dfrac{2}{60}=0{,}03333^{\circ}$, et en radians $0{,}03333\times\dfrac{\pi}{180}=5{,}82\times 10^{-4}$ rad. La conversion en radians n'est pas cosmétique : toute propagation par une dérivée de sinus ou de cosinus l'exige, et l'oublier multiplie le résultat par cinquante-sept.

L'incertitude s'arrondit à DEUX chiffres significatifs quand elle commence par un $1$, donc $\Delta\lambda=1{,}3$ nm. La valeur s'aligne sur la même décimale, le dixième de nanomètre : $\lambda=(545{,}6\pm 1{,}3)$ nm. Les quatre décimales sorties de la calculatrice sont du bruit de calcul ; les écrire ferait croire à une mesure dix mille fois meilleure qu'elle n'est.

Parce que l'œil ne sépare pas deux traits distants de moins d'environ un dixième de millimètre, et parce qu'une gravure cinquante fois plus fine serait à la fois impossible à réaliser proprement et illisible sans microscope. Le vernier contourne le problème : il ne grave rien de plus fin, il convertit une petite DISTANCE en une COÏNCIDENCE, et l'œil est excellent pour juger si deux traits sont alignés. C'est le même principe que le pont de Wheatstone en électricité ou que le zéro d'une balance à fléau : on remplace une lecture absolue, difficile, par une comparaison, facile.

$221^{\circ}00'-139^{\circ}12'$. Les minutes ne se soustraient pas directement, $00'-12'$ étant négatif : on EMPRUNTE $60'$ au degré, exactement comme on emprunte $60$ secondes à une minute. On calcule donc $220^{\circ}60'-139^{\circ}12'$, soit $48'$ pour les minutes et $220-139=81$ degrés : la différence vaut $81^{\circ}48'$.

La différence des deux lectures vaut $2\theta$, puisque la raie est déviée de $\theta$ d'un côté et de $\theta$ de l'autre. Donc $\theta=\dfrac{81^{\circ}48'}{2}=40^{\circ}54'=40{,}90^{\circ}$.

Les deux lectures sont indépendantes et chacune porte $2'$ : la différence additionne les incertitudes absolues, $\Delta(2\theta)=2'+2'=4'$. En divisant par deux, $\Delta\theta=\dfrac{4'}{2}=2'$, soit $0{,}0333^{\circ}$, ou encore $5{,}82\times 10^{-4}$ rad. Résultat : $\theta=(40{,}900\pm 0{,}033)^{\circ}$, une incertitude relative de $0{,}08\,\%$ seulement.

Avec un zéro décalé de $+15'$, les deux lectures deviennent $139^{\circ}27'$ et $221^{\circ}15'$. Leur différence : $221^{\circ}15'-139^{\circ}27'=81^{\circ}48'$, inchangée, donc $\theta=40{,}90^{\circ}$ encore. Le décalage s'ajoute aux DEUX lectures et disparaît dans la soustraction. C'est tout l'intérêt de la méthode : une erreur SYSTÉMATIQUE de calage, qu'aucune répétition n'aurait corrigée, est éliminée par la géométrie de la mesure elle-même. Mesurer d'un seul côté en supposant le zéro juste aurait donné $41^{\circ}15'$, soit $0{,}35^{\circ}$ de trop, dix fois l'incertitude annoncée.

Parce que la division par deux s'applique à TOUT, à la grandeur comme à son incertitude. La différence a bien additionné les incertitudes, $4'$ au lieu de $2'$, mais elle a aussi DOUBLÉ la grandeur mesurée, qui vaut $2\theta$ et non $\theta$ : l'incertitude relative, elle, n'a pas bougé. Le piège classique du chapitre, une différence de deux grandeurs voisines, ne s'applique pas ici : les deux lectures sont très ÉLOIGNÉES l'une de l'autre, $82$ degrés d'écart, donc la soustraction ne détruit rien. Retenez la formulation exacte : une différence est dangereuse quand son résultat est PETIT devant les termes, pas quand elle est une différence.

$\mu=\dfrac{m}{L}=\dfrac{2{,}50\times 10^{-3}}{1{,}200}=2{,}083\times 10^{-3}$ kg/m. C'est un quotient, donc les relatives s'additionnent : $\dfrac{0{,}01}{2{,}50}=0{,}40\,\%$ pour la masse et $\dfrac{0{,}002}{1{,}200}=0{,}17\,\%$ pour la longueur, soit $0{,}57\,\%$ au total.

$v=\sqrt{\dfrac{12{,}00}{2{,}083\times 10^{-3}}}=\sqrt{5760}=75{,}89$ m/s. Contrôle d'ordre de grandeur : une corde de sonomètre tendue par une dizaine de newtons porte des ondes à quelques dizaines de mètres par seconde, plus lentement que le son dans l'air, $343$ m/s ; les deux vitesses n'ont d'ailleurs aucun lien, celle de la corde ne dépend que de sa tension et de sa masse linéique. Le chiffre est plausible.

L'exposant de $T$ est $+\dfrac{1}{2}$ et celui de $\mu$ est $-\dfrac{1}{2}$, donc chaque relative est DIVISÉE par deux : $\dfrac{\Delta v}{v}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta T}{T}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta\mu}{\mu}$. Détail : la tension apporte $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{0{,}05}{12{,}00}=0{,}21\,\%$, la masse $\dfrac{1}{2}\times 0{,}40=0{,}20\,\%$ et la longueur $\dfrac{1}{2}\times 0{,}17=0{,}08\,\%$. Total : $0{,}49\,\%$. Aucune des trois ne domine, et c'est précisément l'effet de la racine : elle a écrasé les écarts entre les contributions.

$\Delta v=75{,}89\times 0{,}0049=0{,}37$ m/s, arrondi à $0{,}4$ m/s. Résultat : $v=(75{,}9\pm 0{,}4)$ m/s.

Sans la racine, les trois relatives entreraient entières : $0{,}42+0{,}40+0{,}17=0{,}98\,\%$, soit exactement le DOUBLE. Ce qu'il faut en retenir tient en une phrase : un exposant est un amplificateur d'incertitude, dans les deux sens. Un carré double, un cube triple, une racine carrée divise par deux, une racine cubique par trois. C'est pourquoi une grandeur obtenue par une racine est, à mesures égales, plus fiable qu'une grandeur obtenue par un produit ; et c'est pourquoi un diamètre au carré, dans une section de fil ou une aire de faisceau, est presque toujours le terme dominant d'un bilan d'incertitude.

$n=\dfrac{\sin 60{,}0^{\circ}}{\sin 35{,}0^{\circ}}=\dfrac{0{,}8660}{0{,}5736}=1{,}510$. Contrôle : le rayon se rapproche de la normale en entrant, donc le second milieu est le plus réfringent et $n>1$. Si le calcul avait donné $0{,}66$, c'est que le quotient aurait été pris à l'envers.

Le sinus est CROISSANT sur $[0\,;90^{\circ}]$, donc $\sin r$ croît avec $r$. Comme $\sin r$ est au DÉNOMINATEUR, l'indice est maximal quand $\sin r$ est minimal, c'est-à-dire pour $r$ MINIMAL, soit $34{,}5^{\circ}$, et simultanément pour $i$ maximal, $60{,}5^{\circ}$. Le raisonnement passe par la monotonie du sinus : sur une plage qui contiendrait $90^{\circ}$, il ne tiendrait plus.

$n_{max}=\dfrac{\sin 60{,}5^{\circ}}{\sin 34{,}5^{\circ}}=\dfrac{0{,}8704}{0{,}5664}=1{,}537$ et $n_{min}=\dfrac{\sin 59{,}5^{\circ}}{\sin 35{,}5^{\circ}}=\dfrac{0{,}8616}{0{,}5807}=1{,}484$. La valeur centrale $1{,}510$ est bien entre les deux.

$\Delta n=\dfrac{1{,}537-1{,}484}{2}=\dfrac{0{,}053}{2}=0{,}026$, arrondi à $0{,}03$. Résultat : $n=(1{,}51\pm 0{,}03)$, soit une incertitude relative de $1{,}8\,\%$. L'indice est un nombre SANS UNITÉ : ne rien écrire après, ni degré, ni unité inventée.

Non. L'intervalle $[1{,}48\,;1{,}54]$ contient à la fois $1{,}52$ et $1{,}49$ : les deux matériaux sont COMPATIBLES avec la mesure, donc l'expérience ne tranche pas. C'est la bonne conclusion à écrire, et non « c'est du crown puisque $1{,}51$ est plus proche de $1{,}52$ » : comparer des valeurs centrales quand les intervalles se recouvrent n'a aucune valeur de preuve. Pour départager, il faudrait descendre l'incertitude sous $0{,}015$, donc diviser $\Delta i$ et $\Delta r$ par deux au moins, c'est-à-dire lire les angles au quart de degré ou mieux, ce que fait précisément un goniomètre à vernier.

$d=\dfrac{1}{600}$ mm $=1{,}667\times 10^{-3}$ mm $=1{,}667$ µm $=1{,}6667\times 10^{-6}$ m. Puis $\lambda=\dfrac{1{,}6667\times 10^{-6}\times\sin 40{,}90^{\circ}}{2}=\dfrac{1{,}6667\times 10^{-6}\times 0{,}6547}{2}=5{,}456\times 10^{-7}$ m, soit $545{,}6$ nm. Le contrôle d'ordre de grandeur est immédiat : une longueur d'onde visible tient entre $400$ et $700$ nm, et $545$ nm est bien dans le vert.

$\dfrac{\partial\lambda}{\partial\theta}=\dfrac{d\cos\theta}{m}=\dfrac{1{,}6667\times 10^{-6}\times 0{,}7559}{2}=6{,}299\times 10^{-7}$ m/rad. L'incertitude DOIT être en radians : $\Delta\theta=0{,}03333^{\circ}=5{,}818\times 10^{-4}$ rad. Contribution : $6{,}299\times 10^{-7}\times 5{,}818\times 10^{-4}=3{,}66\times 10^{-10}$ m, soit $0{,}37$ nm. En gardant les degrés, on aurait trouvé $21$ nm, cinquante-sept fois trop : c'est l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre, parce que le résultat reste plausible.

Le pas $d$ intervient à la puissance $1$, donc sa contribution relative passe telle quelle : $\dfrac{\Delta d}{d}=\dfrac{1}{600}=0{,}167\,\%$, puisque une incertitude d'un trait sur six cents traits se reporte à l'identique sur leur espacement. Contribution : $545{,}6\times 0{,}00167=0{,}91$ nm.

$\Delta\lambda=0{,}37+0{,}91=1{,}28$ nm, arrondi à $1{,}3$ nm. Résultat : $\lambda=(545{,}6\pm 1{,}3)$ nm, intervalle $[544{,}3\,;546{,}9]$ nm. La raie verte du mercure, $546{,}1$ nm, y appartient : la mesure est COMPATIBLE, et l'expérience identifie correctement la raie.

C'est maintenant le RÉSEAU qui limite : sa contribution, $0{,}91$ nm, vaut deux fois et demie celle de l'angle. Lire les angles encore plus finement ne servirait presque à rien ; il faudrait un réseau dont le pas est mieux connu, ou l'étalonner sur une raie de longueur d'onde connue, ce qui est la pratique courante. Quant à l'ordre : passer de $m=1$ à $m=2$ double $\sin\theta$, donc porte l'angle de $19^{\circ}$ à $41^{\circ}$, où le cosinus est plus petit. Or $\dfrac{\partial\lambda}{\partial\theta}$ est proportionnel à $\dfrac{\cos\theta}{m}$ : les deux effets vont dans le même sens et divisent la contribution de l'angle par environ $2{,}5$. Les ordres élevés sont donc plus précis, jusqu'à ce que $\sin\theta$ dépasse $1$ et que la raie disparaisse.

La somme vaut $376$ coups, donc $\bar N=\dfrac{376}{8}=47{,}0$ coups par dix secondes.

Les écarts à la moyenne sont $0$ ; $+5$ ; $-8$ ; $-2$ ; $+11$ ; $-4$ ; $+3$ ; $-5$, dont la somme est nulle. La somme des carrés vaut $0+25+64+4+121+16+9+25=264$, donc $s=\sqrt{\dfrac{264}{7}}=\sqrt{37{,}71}=6{,}14$ coups.

$\sqrt{\bar N}=\sqrt{47{,}0}=6{,}86$ coups. L'écart-type mesuré, $6{,}14$, en est proche à $10\,\%$ près, ce qui est tout ce qu'on peut espérer avec huit valeurs seulement : l'incertitude sur un écart-type estimé sur $N$ valeurs est de l'ordre de $\dfrac{1}{\sqrt{2(N-1)}}$, soit $27\,\%$ ici. La conclusion est forte : la dispersion observée est bien celle que prédit la loi en racine de $N$, ON N'A DONC PAS BESOIN DE RÉPÉTER pour connaître l'incertitude d'un comptage. C'est une situation unique dans tout le chapitre : ailleurs, seule la répétition révèle la dispersion.

$\dfrac{s}{\sqrt{8}}=\dfrac{6{,}14}{2{,}828}=2{,}17$ coups, soit $\dfrac{2{,}17}{47{,}0}=4{,}6\,\%$. On écrirait $\bar N=(47{,}0\pm 2{,}2)$ coups par dix secondes.

Un comptage unique de $80$ s cumule les mêmes désintégrations : environ $376$ coups, dont l'incertitude vaut $\sqrt{376}=19{,}4$ coups, soit $\dfrac{19{,}4}{376}=5{,}2\,\%$. C'est PRATIQUEMENT LE MÊME résultat que les huit comptages séparés, et ce n'est pas un hasard : ce qui fixe la précision d'un comptage, c'est le NOMBRE TOTAL DE COUPS ACCUMULÉS, pas la façon dont on les découpe en séances. La seule chose que les huit comptages apportent en plus, c'est la vérification de c), c'est-à-dire la preuve que la source est stable et que le compteur ne dérive pas. Règle pratique : pour diviser l'incertitude relative par deux, il faut QUATRE fois plus de coups, donc quatre fois plus de temps.

On porte $(2n-1)$ en abscisse, c'est-à-dire $1$, $3$, $5$, $7$, et la longueur $L$ en ordonnée. La relation $L=(2n-1)\dfrac{\lambda}{4}-e$ est alors de la forme $Y=aX+b$ avec $a=\dfrac{\lambda}{4}$ et $b=-e$. Porter simplement $n$ en abscisse marcherait aussi, mais la pente vaudrait $\dfrac{\lambda}{2}$ et l'ordonnée $-e-\dfrac{\lambda}{4}$ : on mélangerait les deux inconnues, alors que le choix de $(2n-1)$ les sépare proprement.

Avec $\bar X=4$ et $\bar L=0{,}6575$ m, on forme $\sum(X_{i}-\bar X)(L_{i}-\bar L)=3{,}35$ et $\sum(X_{i}-\bar X)^{2}=20$, d'où $a=\dfrac{3{,}35}{20}=0{,}1675$ m. Donc $\lambda=4a=0{,}670$ m. Contrôle immédiat : les écarts entre résonances successives valent tous $0{,}335$ m, soit une DEMI-longueur d'onde, ce qui redonne bien $\lambda=0{,}670$ m.

$v=\lambda f=0{,}670\times 512=343{,}0$ m/s. C'est exactement la valeur attendue dans une salle à température ambiante.

$b=\bar L-a\bar X=0{,}6575-0{,}1675\times 4=0{,}6575-0{,}6700=-0{,}0125$ m. Comme $b=-e$, la correction de bout vaut $e=0{,}0125$ m $=1{,}25$ cm. La théorie donne $e\approx 0{,}6\,d=0{,}6\times 2{,}0=1{,}2$ cm : l'accord est excellent. L'ordonnée à l'origine n'est donc PAS ici un simple contrôle qu'on espère nul, c'est un RÉSULTAT PHYSIQUE, et c'est la seule façon de l'obtenir. Un étudiant qui aurait forcé la droite à passer par l'origine aurait faussé la pente, donc la vitesse du son, tout en croyant bien faire.

$\theta=\dfrac{343{,}0-331}{0{,}6}=20{,}0$ °C, la température d'une salle de laboratoire. Ce contrôle ne mesure pas la température, il VALIDE la chaîne de mesure : il vérifie que la fréquence du diapason, la lecture des longueurs et le traitement graphique sont cohérents entre eux. S'il avait donné $-40$ °C ou $95$ °C, il aurait fallu chercher l'erreur, par exemple un diapason mal identifié ou une résonance sautée. Un bon rapport de laboratoire termine toujours par un contrôle de ce genre, qui confronte le résultat à quelque chose de connu par ailleurs.

FAUX. Le compteur compte exactement, mais ce qu'il compte FLUCTUE : la désintégration est aléatoire, et un second comptage de même durée donnera un autre entier. L'incertitude vaut $\sqrt{N}=\sqrt{47}=6{,}9$ coups, soit $15\,\%$. Version correcte : « le comptage est exact, la grandeur ne l'est pas ; l'incertitude d'un comptage vaut la racine du nombre de coups, et elle se prédit sans répéter ».

FAUX, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre parce que le résultat reste plausible. Une dérivée comme $\dfrac{\partial\lambda}{\partial\theta}=\dfrac{d\cos\theta}{m}$ n'est valable qu'en RADIANS, la dérivée du sinus ne valant le cosinus que dans cette unité. Il faut donc convertir : $0{,}03333^{\circ}=5{,}818\times 10^{-4}$ rad. Garder les degrés multiplie la contribution par $\dfrac{180}{\pi}=57{,}3$. Version correcte : « toute incertitude angulaire entrant dans une propagation par dérivée se convertit d'abord en radians ».

FAUX. Le bruit de fond, rayonnement cosmique et radioactivité ambiante, est présent en permanence et TOUJOURS dans le même sens : c'est une erreur systématique par excès. Le moyenner ne fait que le mesurer plus précisément, pas le supprimer. On le SOUSTRAIT, et cette soustraction a un coût, puisqu'elle additionne les incertitudes des deux comptages. Version correcte : « le bruit de fond se mesure source retirée, puis se soustrait du comptage total ; répéter n'améliore que la connaissance du bruit, jamais son absence ».

FAUX. L'écart, $0{,}5$ nm, est plus PETIT que l'incertitude, $1{,}3$ nm : la valeur tabulée appartient à l'intervalle $[544{,}3\,;546{,}9]$ nm, donc la mesure est COMPATIBLE et l'expérience a réussi. Déclarer un échec parce que deux nombres diffèrent, c'est ignorer ce que l'incertitude signifie. Version correcte : « deux valeurs sont compatibles quand leurs intervalles se recouvrent ; l'écart de $0{,}5$ nm vaut $0{,}4$ fois l'incertitude, c'est un excellent accord ».

FAUX. La racine carrée divise chaque contribution relative par deux, ce qui écrase les écarts : la tension apporte $0{,}21\,\%$, la masse $0{,}20\,\%$ et la longueur $0{,}08\,\%$. Aucune ne domine, et améliorer la seule tension ferait gagner au mieux un cinquième du budget. Version correcte : « on repère la contribution dominante par le calcul, pas par la place de la grandeur dans la formule ; et quand aucune ne domine, il faut améliorer plusieurs mesures à la fois ou changer de méthode ».

En isolant la tension : $V_{s}=\dfrac{hc}{e}\cdot\dfrac{1}{\lambda}$. C'est de la forme $Y=aX$ avec $X=\dfrac{1}{\lambda}$ et $Y=V_{s}$, donc on porte L'INVERSE DE LA LONGUEUR D'ONDE en abscisse et la PENTE VAUT $\dfrac{hc}{e}$. Porter $\lambda$ directement donnerait une hyperbole, dont aucune tangente ne se lit à la règle.

En exprimant $\dfrac{1}{\lambda}$ en µm$^{-1}$ : $1{,}5748$ ; $1{,}7094$ ; $1{,}9048$ ; $2{,}1277$ ; $2{,}4691$. La régression donne $\bar X=1{,}9572$ µm$^{-1}$, $\bar V=2{,}344$ V, et $a=1{,}278$ V·µm. Contrôle grossier avec deux points extrêmes : $\dfrac{3{,}00-1{,}85}{2{,}4691-1{,}5748}=\dfrac{1{,}15}{0{,}8943}=1{,}286$, du bon ordre.

$a=\dfrac{hc}{e}$, donc $h=\dfrac{ae}{c}$. En convertissant la pente en volts-mètres, $a=1{,}278\times 10^{-6}$ V·m : $h=\dfrac{1{,}278\times 10^{-6}\times 1{,}602\times 10^{-19}}{3{,}00\times 10^{8}}=6{,}83\times 10^{-34}$ J·s. La conversion des micromètres en mètres est le seul passage délicat : l'oublier donne $10^{-28}$, soit un million de fois trop.

$\dfrac{6{,}83-6{,}626}{6{,}626}=0{,}031$, soit $+3{,}1\,\%$. L'écart est POSITIF, et il l'est toujours avec cette méthode.

$\Delta a=\dfrac{1{,}32-1{,}24}{2}=0{,}04$ V·µm, soit une incertitude relative de $\dfrac{0{,}04}{1{,}278}=3{,}1\,\%$ sur la pente, donc sur $h$ : $\Delta h=6{,}83\times 0{,}031=0{,}21$, et $h=(6{,}83\pm 0{,}21)\times 10^{-34}$ J·s. L'intervalle $[6{,}62\,;7{,}04]\times 10^{-34}$ contient la valeur admise, tout juste : la mesure est COMPATIBLE. Ce qu'il faut conclure est plus intéressant que le verdict. La méthode des diodes porte un BIAIS SYSTÉMATIQUE vers le haut, parce que le « seuil » n'est pas un point net : la diode émet déjà un peu en dessous, et l'œil ou le voltmètre la déclarent allumée un peu trop tard ; s'y ajoute la chute ohmique dans la jonction. Le biais vaut ici trois pour cent, et il se trouve être du même ordre que l'incertitude, ce qui le rend invisible. Une incertitude honnête a donc sauvé la conclusion, mais elle ne l'a pas démontrée : si l'on voulait vraiment mesurer $h$, il faudrait une méthode sans seuil flou, comme l'effet photoélectrique avec tension d'arrêt.

On retranche $20$ coups à chaque comptage : $800$ ; $610$ ; $464$ ; $354$ ; $270$. La soustraction se fait AVANT le logarithme parce que le logarithme n'est pas une opération linéaire : $\ln(N_{tot}-N_{f})$ n'a rien à voir avec $\ln N_{tot}-\ln N_{f}$, qui vaut $\ln\dfrac{N_{tot}}{N_{f}}$. Plus profondément, la loi exponentielle décrit la SOURCE seule ; le bruit de fond est un terme additif constant qui s'ajoute par-dessus, et il faut l'ôter pour retrouver la grandeur que la loi décrit.

Les logarithmes valent $6{,}6846$ ; $6{,}4135$ ; $6{,}1399$ ; $5{,}8693$ ; $5{,}5984$. Leurs écarts successifs, $-0{,}2711$ ; $-0{,}2736$ ; $-0{,}2706$ ; $-0{,}2709$, sont pratiquement constants : la décroissance est bien exponentielle, et c'est le contrôle à faire avant tout calcul. La régression donne $\bar t=120$ s, $\overline{\ln N}=6{,}1411$, $\sum(t_{i}-\bar t)(\ln N_{i}-\overline{\ln N})=-163{,}0$ et $\sum(t_{i}-\bar t)^{2}=36\,000$, d'où $\lambda=-a=4{,}528\times 10^{-3}$ s$^{-1}$.

$t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}6931}{4{,}528\times 10^{-3}}=153{,}1$ s, soit $\dfrac{153{,}1}{60}=2{,}55$ min. L'accord avec la valeur tabulée est exact au centième de minute près.

$t_{1/2}=\dfrac{0{,}6931}{4{,}334\times 10^{-3}}=159{,}9$ s, soit $2{,}67$ min. L'écart relatif vaut $\dfrac{2{,}67-2{,}55}{2{,}55}=4{,}5\,\%$, et il est POSITIF : oublier le bruit de fond fait toujours paraître la source plus lente qu'elle n'est. Ce n'est pas une erreur aléatoire que la répétition corrigerait, c'est un biais systématique, du même genre que le zéro décalé d'un goniomètre.