Exercices corrigés : l'optique géométrique et les instruments (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

a) $\sin\theta_{2}=\frac{n_{1}\sin\theta_{1}}{n_{2}}=\frac{\sin 50{,}0°}{1{,}33}\approx 0{,}5760$, donc $\theta_{2}\approx 35{,}2°$ : le rayon se rapproche de la normale en entrant dans le milieu le plus réfringent. Vitesse : $v=\frac{c}{n}=\frac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}33}\approx 2{,}26\times 10^{8}$ m/s. La FRÉQUENCE ne change pas, elle est imposée par la source et rien ne peut la modifier en cours de route (les atomes de l'interface vibrent au rythme de l'onde incidente). Comme $\lambda=\frac{v}{f}$, c'est donc la LONGUEUR D'ONDE qui est divisée par $n$ : la lumière se resserre en ralentissant.

b) Pour des rayons quasi verticaux, les angles sont petits et $\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta$. Un rayon partant de la pièce sous l'angle $\theta_{1}$ dans l'eau sort sous $\theta_{2}$ avec $n\theta_{1}\approx\theta_{2}$. Il touche la surface à la distance horizontale $x\approx d\theta_{1}$ du point situé à la verticale de la pièce, et son prolongement vers l'arrière coupe la verticale à la profondeur $d'\approx\frac{x}{\theta_{2}}=\frac{d\theta_{1}}{n\theta_{1}}=\frac{d}{n}$. Numériquement : $d'=\frac{2{,}40}{1{,}33}\approx 1{,}80$ m. La piscine paraît un quart moins profonde qu'elle ne l'est, ce qui explique bien des mauvaises surprises au moment de plonger.

c) $\sin\theta_{c}=\frac{n_{air}}{n_{eau}}=\frac{1}{1{,}33}\approx 0{,}7519$, donc $\theta_{c}\approx 48{,}8°$. C'est la fenêtre de Snell : tout ce qui vient de l'extérieur, de l'horizon jusqu'au zénith, se retrouve comprimé dans un cône de demi-angle 48,8° au-dessus du poisson. En dehors de ce cône, aucune lumière extérieure ne peut lui parvenir : la surface se comporte alors comme un MIROIR parfait, et le poisson y voit le reflet du fond et de ce qui l'entoure sous l'eau.

d) À l'entrée, $\sin 50{,}0°=1{,}50\sin r$ donne $r\approx 30{,}7°$. À la sortie, la seconde face étant parallèle à la première, l'angle d'incidence interne y vaut encore $r$ et l'on a $1{,}50\sin r=\sin\theta_{sortie}$, soit exactement la relation de départ lue à l'envers : $\theta_{sortie}=50{,}0°$. Le rayon émergent est donc rigoureusement parallèle au rayon incident, la lame ne fait que le DÉCALER. Déplacement : $d=e\frac{\sin(i-r)}{\cos r}=(0{,}0200)\frac{\sin(19{,}3°)}{\cos(30{,}7°)}\approx 7{,}68\times 10^{-3}$ m, soit 7,7 mm. C'est pourquoi une vitre ne déforme pas une image, mais la décale légèrement, d'autant plus qu'elle est épaisse et regardée de biais.

e) $\sin\theta_{c}=\frac{1{,}45}{1{,}50}\approx 0{,}9667$, donc $\theta_{c}\approx 75{,}2°$ : le rayon doit frapper la paroi au-delà de cet angle, c'est-à-dire cheminer à moins de $14{,}8°$ de l'axe. Ouverture numérique : $ON=\sqrt{1{,}50^{2}-1{,}45^{2}}=\sqrt{0{,}1475}\approx 0{,}384$, et le demi-angle d'acceptation dans l'air vaut $\arcsin(0{,}384)\approx 22{,}6°$ : seule la lumière entrant dans ce cône restera piégée. Quant à la loi de Snell, elle n'est pas un décret : c'est une conséquence du principe de Fermat, selon lequel la lumière suit le trajet de DURÉE stationnaire entre deux points. Aller tout droit ne serait pas le plus rapide, puisque le second milieu est plus lent : le trajet optimal raccourcit la portion lente au prix d'un détour dans la portion rapide, exactement comme un sauveteur qui court sur le sable plus longtemps pour nager moins. Poser cette condition et dériver redonne $n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$, à la lettre.

a) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{3-2}{60}=\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=+60{,}0$ cm. Le grandissement vaut $G=-\dfrac{60{,}0}{30{,}0}=-2{,}00$. L'image est donc RÉELLE puisque $d_{i}>0$, RENVERSÉE puisque $G<0$, et AGRANDIE deux fois puisque $\left|G\right|=2$. Elle se forme à 60 cm de l'autre côté de la lentille et pourrait être recueillie sur un écran : c'est la configuration du projecteur.

b) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{15{,}0}=\dfrac{3-4}{60}=-\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=-60{,}0$ cm et $G=-\dfrac{-60{,}0}{15{,}0}=+4{,}00$. L'image est VIRTUELLE, $d_{i}<0$, DROITE, $G>0$, et agrandie quatre fois. Elle se situe du même côté que l'objet et n'est pas projetable : on ne peut que la regarder à travers la lentille. C'est exactement le fonctionnement de la LOUPE.

c) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{60{,}0}=\dfrac{3-1}{60}=\dfrac{2}{60}$, donc $d_{i}=+30{,}0$ cm et $G=-\dfrac{30{,}0}{60{,}0}=-0{,}500$. L'image est réelle, renversée et RÉDUITE de moitié. C'est la configuration de l'appareil photo, où l'on ramène une scène étendue sur un petit capteur.

d) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{-3-2}{60}=-\dfrac{5}{60}$, donc $d_{i}=-12{,}0$ cm et $G=-\dfrac{-12{,}0}{30{,}0}=+0{,}400$. L'image est VIRTUELLE, DROITE et RÉDUITE. C'est le cas de TOUTE lentille divergente, quelle que soit la position de l'objet : elle ne peut jamais donner d'image réelle d'un objet réel.

e) Pour une lentille convergente, tout dépend de la position de l'objet par rapport au foyer. Si $d_{o}>f$, l'objet est au-delà du foyer et l'image est RÉELLE et renversée ; elle est agrandie si $f<d_{o}<2f$, de même taille si $d_{o}=2f$, réduite si $d_{o}>2f$. Si $d_{o}<f$, l'objet est en deçà du foyer et l'image devient VIRTUELLE, droite et agrandie. Le cas limite $d_{o}=f$ ne donne aucune image : les rayons émergent parallèles et l'image est rejetée à l'infini, ce que traduit $\dfrac{1}{d_{i}}=0$.

a) $f=\dfrac{R}{2}=\dfrac{40{,}0}{2}=+20{,}0$ cm. Le signe est POSITIF parce que le miroir est concave, donc convergent : il ramène vers un foyer réel un faisceau parallèle venant de l'avant. La convention est cohérente avec celle des lentilles, où $f>0$ signifie convergent.

b) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=+60{,}0$ cm et $G=-2{,}00$. L'image est RÉELLE, formée à 60 cm DEVANT le miroir, du même côté que l'objet puisque la lumière revient en arrière, RENVERSÉE et agrandie deux fois. Les nombres sont identiques à ceux du a de l'exercice 2, ce qui illustre que la formule ne distingue pas lentille et miroir ; seule l'interprétation géométrique de « du même côté » change.

c) Pour un miroir convexe, $R$ est compté négativement, donc $f=-20{,}0$ cm. Alors $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=-\dfrac{5}{60}$, d'où $d_{i}=-12{,}0$ cm et $G=+0{,}400$. L'image est VIRTUELLE, située derrière le miroir, DROITE et réduite. C'est le comportement invariable du miroir convexe, exactement comme la lentille divergente.

d) Parce qu'un miroir convexe donne toujours une image droite et RÉDUITE, ce qui élargit considérablement le champ de vision : on voit une portion de route bien plus large qu'avec un miroir plan de même taille, ce qui réduit l'angle mort. Le prix à payer est précisément la réduction : le véhicule qui suit paraît plus petit, donc le cerveau, qui estime les distances à partir de la taille apparente, le juge PLUS LOIN qu'il ne l'est. D'où l'avertissement gravé, obligatoire en Amérique du Nord.

e) Il faut placer l'objet ENTRE le miroir et son foyer, donc à moins de 20,0 cm ici. On obtient alors, comme pour la lentille convergente en deçà du foyer, une image virtuelle, droite et agrandie. Usage courant : le miroir de maquillage ou de rasage, et le miroir d'examen du dentiste, tous deux concaves et utilisés très près du visage. Vérification : avec $d_{o}=10{,}0$ cm, $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{20}$, donc $d_{i}=-20{,}0$ cm et $G=+2{,}00$, image virtuelle droite agrandie deux fois.

a) Le PUNCTUM REMOTUM est le point le plus ÉLOIGNÉ vu net, l'oeil étant au repos ; il est à l'INFINI pour un oeil normal. Le PUNCTUM PROXIMUM est le point le plus PROCHE vu net, l'oeil accommodant au maximum ; il est conventionnellement à 25 cm. Entre les deux s'étend le domaine de vision distincte, que l'accommodation, c'est-à-dire la déformation du cristallin, permet de couvrir.

b) L'oeil myope ne voit pas au-delà de 50,0 cm. La lentille doit donc prendre un objet situé à l'INFINI et en donner une image virtuelle placée précisément au punctum remotum, où l'oeil sait la voir. On a donc $d_{o}=\infty$ et $d_{i}=-0{,}500$ m, le signe étant négatif car l'image est virtuelle, du même côté que l'objet. Alors $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=0+\dfrac{1}{-0{,}500}=-2{,}00$. La vergence vaut $-2{,}00$ dioptries : c'est une lentille DIVERGENTE.

c) L'oeil hypermétrope ne voit pas net en deçà de 100 cm. Pour lire à 25,0 cm, la lentille doit prendre l'objet réel à $d_{o}=+0{,}250$ m et en former une image virtuelle au punctum proximum, soit $d_{i}=-1{,}00$ m. Alors $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{0{,}250}+\dfrac{1}{-1{,}00}=4{,}00-1{,}00=3{,}00$. La vergence vaut $+3{,}00$ dioptries : lentille CONVERGENTE.

d) Parce que les deux défauts sont opposés. L'oeil MYOPE converge TROP : l'image d'un objet lointain se forme en avant de la rétine. Il faut donc lui retirer de la convergence, d'où une lentille divergente de vergence négative. L'oeil HYPERMÉTROPE ne converge PAS ASSEZ : l'image se formerait en arrière de la rétine. Il faut lui en ajouter, d'où une lentille convergente de vergence positive. Comme les vergences de deux systèmes accolés s'additionnent, la correction consiste littéralement à ajouter algébriquement ce qui manque ou ce qui est en trop.

e) Parce que la presbytie n'est pas un défaut de forme de l'oeil mais une perte d'ACCOMMODATION : le cristallin durcit avec l'âge et ne peut plus se bomber autant, ce qui éloigne progressivement le punctum proximum. Le phénomène est physiologique et touche donc tout le monde, y compris les myopes, chez qui il s'ajoute au défaut existant. La conséquence, un punctum proximum trop éloigné, est la MÊME que celle de l'hypermétropie, et la correction est donc identique : une lentille convergente pour la vision de près. C'est pourquoi un myope presbyte a besoin de deux corrections opposées, d'où les verres à double foyer ou progressifs.

a) Parce que la taille apparente d'un objet ne dépend pas de sa taille réelle mais de l'ANGLE qu'il sous-tend à l'oeil. Un objet deux fois plus grand mais deux fois plus loin paraît identique. Une loupe ne modifie pas l'objet ; elle permet de l'observer de beaucoup plus près, à quelques centimètres au lieu de 25, en formant une image virtuelle que l'oeil peut accommoder. C'est l'augmentation de l'angle qui produit la sensation d'agrandissement, d'où la définition $G=\dfrac{\theta'}{\theta}$.

b) $G=\dfrac{25}{f}=\dfrac{25}{5{,}00}=5{,}00$. La loupe grossit donc cinq fois. La formule suppose l'image rejetée à l'infini, configuration la plus reposante pour l'oeil, qui n'accommode alors pas du tout.

c) Il faut placer l'objet ENTRE la loupe et son foyer, donc à moins de 5,00 cm, et en pratique presque exactement au foyer. L'image obtenue est alors VIRTUELLE, DROITE et agrandie, conformément au cas b de l'exercice 2. C'est nécessairement une image virtuelle : une image réelle serait renversée et devrait être projetée, ce qui n'est pas l'usage d'une loupe.

d) $G=\dfrac{25}{f}=10$ donne $f=2{,}5$ cm. L'inconvénient est immédiat : il faut approcher l'objet à 2,5 cm de la lentille, et l'oeil doit se placer tout contre elle. Le champ de vision devient minuscule, l'éclairage difficile puisque la tête fait de l'ombre, et la profondeur de champ presque nulle. Plus le grossissement est fort, plus la loupe devient inconfortable.

e) Il faudrait $f=\dfrac{25}{100}=0{,}25$ cm, soit 2,5 mm. Une lentille de cette focale serait une bille de verre de quelques millimètres, avec des aberrations géométriques et chromatiques énormes, un champ de l'ordre du millimètre, et une distance de travail incompatible avec toute manipulation. Au-delà d'un grossissement d'environ 20, on cesse donc d'ajouter de la courbure à une seule lentille et l'on passe à un système à DEUX étages : c'est exactement la raison d'être du microscope, objet de l'exercice suivant.

a) $\sin 45{,}0°=1{,}50\sin r_{1}$ donne $\sin r_{1}=\frac{0{,}7071}{1{,}50}\approx 0{,}4714$, donc $r_{1}\approx 28{,}1°$. Alors $r_{2}=60{,}0-28{,}1=31{,}9°$, et $\sin i_{2}=1{,}50\sin 31{,}9°\approx 0{,}7919$, soit $i_{2}\approx 52{,}4°$. Déviation : $D=45{,}0+52{,}4-60{,}0\approx 37{,}4°$.

b) Au minimum, $r_{1}=r_{2}=30{,}0°$, donc $\sin i=1{,}50\sin 30{,}0°=0{,}750$ et $i\approx 48{,}6°$. Déviation minimale : $D_{min}=2i-A=97{,}18-60{,}0\approx 37{,}2°$. Comparez : en changeant l'incidence de 48,6° à 45,0°, soit de plus de trois degrés et demi, la déviation n'a bougé que de deux dixièmes de degré. C'est la signature d'un minimum : au voisinage d'un extremum, la fonction est PLATE. Cette insensibilité est précisément ce qui rend le minimum de déviation facile à repérer expérimentalement, à l'œil, en faisant tourner le prisme jusqu'à ce que l'image cesse de reculer et reparte en arrière.

c) Au minimum, $i=\frac{A+D_{min}}{2}=\frac{60{,}0+37{,}18}{2}\approx 48{,}59°$ et $r=\frac{A}{2}=30{,}0°$. La loi de Snell à l'entrée s'écrit $\sin i=n\sin r$, d'où $n=\frac{\sin\frac{A+D_{min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}}=\frac{\sin 48{,}59°}{\sin 30{,}0°}=\frac{0{,}750}{0{,}500}=1{,}50$ : l'indice de départ, retrouvé. C'est la méthode de référence parce qu'elle ne demande aucune mesure de distance, aucune position d'image, aucun réglage délicat : seulement DEUX ANGLES, $A$ et $D_{min}$, tous deux mesurables au goniomètre au centième de degré, et repérables sans ambiguïté grâce à la platitude du minimum. Un indice se mesure ainsi à cinq chiffres significatifs avec un instrument purement mécanique.

d) Pour que le rayon sorte, il faut que son incidence interne sur la seconde face reste INFÉRIEURE à l'angle critique : $r_{2}\leq\theta_{c}$ avec $\sin\theta_{c}=\frac{1}{1{,}50}$, soit $\theta_{c}\approx 41{,}8°$. Comme $r_{2}=A-r_{1}$, cela impose $r_{1}\geq 60{,}0-41{,}8=18{,}2°$, donc $\sin i_{1}\geq 1{,}50\sin 18{,}2°\approx 0{,}4683$ et $i_{1}\geq 27{,}9°$. En dessous de 27,9°, la lumière subit une réflexion totale à l'intérieur du prisme et ressort par la troisième face, ou pas du tout : c'est d'ailleurs ce phénomène qu'exploitent les prismes à réflexion totale des jumelles, qui remplacent des miroirs sans aucune perte.

e) Rouge : $i=\arcsin(1{,}495\times 0{,}500)$, donc $D_{min,r}=2\arcsin(0{,}7475)-60{,}0\approx 36{,}75°$. Violet : $D_{min,v}=2\arcsin(0{,}7575)-60{,}0\approx 38{,}49°$. Écart : environ $1{,}74°$, soit près de deux degrés entre les deux bouts du spectre visible, largement de quoi étaler un arc-en-ciel sur un mur. La différence avec la lame à faces parallèles est purement géométrique : dans la lame, les deux faces sont parallèles, si bien que la seconde réfraction ANNULE exactement la première pour chaque couleur, et tous les rayons ressortent parallèles entre eux, séparés seulement d'un décalage latéral minuscule qui les fait se recouvrir aussitôt. Dans le prisme, les deux faces font un angle : les deux déviations s'AJOUTENT au lieu de se compenser, et chaque couleur repart dans une direction propre, qui s'écarte indéfiniment des autres à mesure qu'on s'éloigne.

a) $\frac{1{,}00}{20{,}0}+\frac{1{,}50}{d_{i}}=\frac{1{,}50-1{,}00}{4{,}00}=0{,}125$. Donc $\frac{1{,}50}{d_{i}}=0{,}125-0{,}0500=0{,}0750$ et $d_{i}=\frac{1{,}50}{0{,}0750}=20{,}0$ cm : l'image se forme 20,0 cm à l'intérieur du verre, et elle est RÉELLE ($d_{i}>0$). Notez que l'équation des opticiens habituelle n'est que le cas particulier $n_{1}=n_{2}=1$ de celle-ci, appliquée deux fois.

b) La face d'entrée est convexe vers la lumière incidente, donc $R_{1}=+20{,}0$ cm; la face de sortie est bombée dans l'autre sens, donc son centre est du côté de la lumière ENTRANTE et $R_{2}=-30{,}0$ cm. $\frac{1}{f}=(1{,}52-1)\left(\frac{1}{20{,}0}+\frac{1}{30{,}0}\right)=0{,}52\times 0{,}08333\approx 0{,}04333$ cm$^{-1}$, donc $f\approx 23{,}1$ cm et $P=\frac{1}{0{,}231}\approx 4{,}33$ δ.

c) $\frac{n}{n_{eau}}-1=\frac{1{,}52}{1{,}33}-1\approx 0{,}1429$, soit près de quatre fois moins que 0,52. La distance focale est donc multipliée d'autant : $f\approx 84{,}0$ cm, contre 23,1 cm dans l'air. La leçon vaut aussi pour l'œil : sa cornée assure les deux tiers de la convergence de l'œil justement parce qu'elle sépare l'AIR de milieux aqueux; sous l'eau, ce saut d'indice disparaît presque, la cornée cesse de converger et l'image se forme loin derrière la rétine, d'où le flou total. Le masque de plongée rétablit une interface air-cornée en emprisonnant une couche d'air devant l'œil : ce n'est pas le masque qui corrige la vue, c'est l'air qu'il contient.

d) Les deux faces tournées du même côté ont des rayons de MÊME signe : $R_{1}=+10{,}0$ cm et $R_{2}=+15{,}0$ cm. $\frac{1}{f}=0{,}52\left(\frac{1}{10{,}0}-\frac{1}{15{,}0}\right)=0{,}52\times 0{,}03333\approx 0{,}01733$, donc $f\approx 57{,}7$ cm, POSITIF : la lentille est bel et bien convergente, malgré sa face creuse. Ce n'est pas la forme des faces prise isolément qui décide, mais la DIFFÉRENCE de leurs courbures, autrement dit le fait que la lentille soit plus épaisse au centre qu'aux bords. Tous les verres de lunettes modernes sont d'ailleurs des ménisques, pour des raisons de champ de vision et d'esthétique.

e) Deux lentilles minces accolées : l'image de la première sert d'objet à la seconde, et comme l'écart entre elles est nul, $d_{o2}=-d_{i1}$. En écrivant $\frac{1}{d_{o1}}+\frac{1}{d_{i1}}=\frac{1}{f_{1}}$ et $\frac{1}{-d_{i1}}+\frac{1}{d_{i2}}=\frac{1}{f_{2}}$, puis en additionnant membre à membre, les termes en $d_{i1}$ s'éliminent : $\frac{1}{d_{o1}}+\frac{1}{d_{i2}}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}$. Le doublet se comporte donc comme une lentille unique de vergence $P=P_{1}+P_{2}$. Ici : $P=4{,}333+(-2{,}000)=2{,}333$ δ, soit $f\approx 42{,}9$ cm. C'est ce simple fait qui permet à l'opticien de composer n'importe quelle correction en empilant des verres d'essai.

a) Dans les deux cas, l'OBJECTIF, tourné vers l'objet, en forme une première image réelle, dite image intermédiaire. Cette image sert ensuite d'OBJET à l'OCULAIRE, qui joue simplement le rôle d'une loupe : placé de sorte que l'image intermédiaire tombe près de son foyer, il en donne une image virtuelle très agrandie, observée par l'oeil. Le grossissement total est le produit des deux effets. La différence entre les deux instruments tient à l'objet observé : proche et minuscule pour le microscope, lointain et grand pour le télescope.

b) Le grandissement de l'objectif vaut $g_{obj}=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}$. Comme l'objet est placé juste au-delà du foyer, on utilise l'approximation usuelle $d_{o}\approx f_{obj}$, d'où $g_{obj}\approx-\dfrac{16{,}0}{0{,}800}=-20{,}0$. L'oculaire agit comme une loupe : $G_{ocu}=\dfrac{25}{2{,}50}=10{,}0$. Le grossissement total est le produit des valeurs absolues : $G=20{,}0\times 10{,}0=200$ fois.

c) Elle est RENVERSÉE. L'objectif donne une image renversée, puisque son grandissement est négatif, et l'oculaire, fonctionnant en loupe, la laisse droite par rapport à elle-même : l'image finale est donc inversée par rapport à l'objet. Cela ne pose aucun problème en microscopie : l'observateur déplace simplement la lame en sens inverse de ce qu'il attend, ce à quoi l'on s'habitue en quelques minutes. Ajouter un redresseur coûterait de la lumière et de la netteté pour un bénéfice nul.

d) L'objet étant à l'infini, l'objectif en forme l'image intermédiaire exactement dans son plan focal. Pour que l'observation se fasse à l'oeil détendu, l'oculaire doit avoir son propre foyer au même endroit : les deux lentilles sont donc séparées de $f_{obj}+f_{ocu}$. En comparant l'angle sous lequel on voit l'image à celui sous lequel on voyait l'objet, on obtient $G=\dfrac{f_{obj}}{f_{ocu}}$. Application : $G=\dfrac{120}{2{,}00}=60{,}0$ fois.

e) Parce que le grossissement est facile à obtenir mais ne crée aucune information : changer d'oculaire suffit à doubler $G$, et l'on ne fait alors qu'agrandir une image floue. Ce qui limite réellement un télescope, c'est la QUANTITÉ DE LUMIÈRE collectée, proportionnelle à la surface donc au carré du diamètre, et le POUVOIR SÉPARATEUR, c'est-à-dire le plus petit détail angulaire discernable, qui est imposé par la diffraction et s'améliore lui aussi avec le diamètre. Un objectif deux fois plus large recueille quatre fois plus de lumière et sépare deux fois mieux : il montre des objets réellement plus faibles et plus fins. Le grossissement, lui, n'est utile que dans la limite permise par le diamètre, au-delà de laquelle on parle de grossissement vide.

a) Pour un télescope, $G=\dfrac{f_{obj}}{f_{ocu}}$ : il faut le plus GRAND $f$ à l'objectif et le plus PETIT à l'oculaire. On prend donc l'objectif de 100 cm et l'oculaire de 2,00 cm, d'où $G=\dfrac{100}{2{,}00}=50{,}0$ fois. La longueur du tube vaut $f_{obj}+f_{ocu}=100+2{,}00=102$ cm, soit un instrument d'un peu plus d'un mètre.

b) En permutant, $G=\dfrac{2{,}00}{100}=0{,}0200$, soit un grossissement bien inférieur à 1 : l'instrument RÉDUIT l'image cinquante fois au lieu de l'agrandir. On aurait construit une lunette de Galilée à l'envers, ce qui est le principe du viseur grand angle. La permutation est donc à proscrire pour observer le ciel, et la règle est sans ambiguïté : objectif à longue focale, oculaire à courte focale.

c) Pour un microscope, il faut au contraire un objectif de TRÈS COURTE focale, puisque l'objet en est très proche, et un oculaire de focale modérée. On prend l'objectif de 2,00 cm et l'oculaire de 5,00 cm. Le grandissement de l'objectif vaut $\left|g_{obj}\right|\approx\dfrac{15{,}0}{2{,}00}=7{,}50$ et le grossissement de l'oculaire $\dfrac{25}{5{,}00}=5{,}00$. Le total est $7{,}50\times 5{,}00=37{,}5$ fois.

d) Non, elle est inutilisable. Comme objectif, une focale de 100 cm obligerait à placer l'objet à plus d'un mètre, ce qui est absurde pour observer une lame de microscope et ne donnerait aucun grandissement utile. Comme oculaire, elle donnerait un grossissement de $\dfrac{25}{100}=0{,}25$, donc une RÉDUCTION. Une longue focale converge faiblement ; or les deux étages d'un microscope exigent au contraire une forte convergence, l'un pour capter un objet minuscule placé très près, l'autre pour jouer efficacement le rôle de loupe.

e) Pour le TÉLESCOPE, on veut une focale d'objectif aussi grande que possible et une focale d'oculaire aussi petite que possible, puisque $G$ est leur rapport. Pour le MICROSCOPE, on veut les deux focales aussi petites que possible, l'objectif pour approcher l'objet au maximum et l'oculaire pour grossir davantage, puisque $G$ est le produit de deux facteurs tous deux inversement proportionnels à une focale.

a) $\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{20{,}0}+\frac{1}{30{,}0}\right)=(n-1)(0{,}08333)$. Bleu : $f=\frac{1}{0{,}53\times 0{,}08333}\approx 22{,}6$ cm. Rouge : $f=\frac{1}{0{,}51\times 0{,}08333}\approx 23{,}5$ cm. Écart : environ 0,89 cm, soit 3,8 % de la focale. Le bleu, plus dévié, converge donc PLUS PRÈS que le rouge : il n'existe aucun plan où toutes les couleurs sont nettes simultanément. C'est l'aberration chromatique, qui se manifeste par des franges colorées, typiquement bleutées ou pourpres, sur les contours à fort contraste.

b) $P_{2}=-P_{1}\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}=-5{,}00\times\frac{36{,}0}{60{,}0}=-3{,}00$ δ. Vergence totale : $P=5{,}00-3{,}00=+2{,}00$ δ, soit une focale de 50,0 cm. Le doublet reste donc convergent, mais deux fois et demie moins que la seule lentille de crown : c'est le prix de l'achromatisme. L'idée est que la lentille de flint, très dispersive, disperse EN SENS INVERSE juste ce qu'il faut pour annuler la dispersion du crown, sans annuler pour autant la convergence, puisque les deux verres n'ont pas le même rapport entre pouvoir dispersif et pouvoir convergent. On ne corrige exactement que deux couleurs, les autres restant légèrement décalées : c'est le spectre secondaire.

c) Les rayons qui frappent la lentille loin de l'axe, dits marginaux, sont TROP déviés et convergent AVANT les rayons paraxiaux : au lieu d'un point, on obtient un petit disque flou, et il n'existe pas de mise au point parfaite. La cause est purement géométrique, la surface sphérique n'étant qu'une approximation commode de la forme idéale. Premier remède : diaphragmer, c'est-à-dire n'utiliser que la partie centrale, ce qui améliore beaucoup la netteté au prix de la LUMINOSITÉ, en carré du diamètre utile. Second remède : tailler une surface asphérique, parabolique pour un miroir, ce qui supprime le défaut sur l'axe sans rien coûter en lumière, mais au prix d'un usinage bien plus difficile et donc d'un instrument nettement plus cher.

d) Premièrement, un miroir n'a AUCUNE aberration chromatique : la réflexion ne dépend pas de l'indice, donc toutes les couleurs sont réfléchies exactement de la même façon, ce qui règle d'un coup le problème du a). Deuxièmement, un miroir ne possède qu'UNE seule surface optique à tailler et à polir, contre deux pour une lentille, et il n'exige pas un verre homogène dans toute sa masse puisque la lumière ne le traverse pas : seule la surface compte. Troisièmement, il peut être soutenu par toute sa face arrière, alors qu'une lentille ne peut l'être que par son bord et finit par fluer sous son propre poids au-delà d'un mètre de diamètre environ, ce qui a mis un terme définitif aux grandes lunettes vers 1900. Ajoutons qu'un miroir absorbe beaucoup moins dans l'ultraviolet et l'infrarouge, où le verre est opaque.

e) $\theta=\frac{1{,}22\times 550\times 10^{-9}}{2{,}40}\approx 2{,}80\times 10^{-7}$ rad, soit $2{,}80\times 10^{-7}\times 2{,}06\times 10^{5}\approx 0{,}058$ arcsec. Un télescope au sol de même taille, limité par la turbulence de l'atmosphère à environ 1 arcsec, est donc dix-sept fois moins fin, quelle que soit la qualité de son optique : au-delà d'une vingtaine de centimètres de diamètre, un instrument terrestre n'est plus limité par lui-même mais par l'air qu'il regarde à travers. C'est toute la justification d'Hubble, et c'est aussi ce que l'optique adaptative cherche à récupérer au sol, en déformant un petit miroir souple des centaines de fois par seconde pour compenser la turbulence en temps réel. Retenez la structure de la formule : la finesse est proportionnelle au DIAMÈTRE, pas au grossissement. Grossir une image déjà floue ne fait qu'agrandir le flou.