Exercices corrigés : l'optique géométrique et les instruments (203-NYC)

a) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{3-2}{60}=\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=+60{,}0$ cm. Le grandissement vaut $G=-\dfrac{60{,}0}{30{,}0}=-2{,}00$. L'image est donc RÉELLE puisque $d_{i}>0$, RENVERSÉE puisque $G<0$, et AGRANDIE deux fois puisque $\left|G\right|=2$. Elle se forme à 60 cm de l'autre côté de la lentille et pourrait être recueillie sur un écran : c'est la configuration du projecteur.

b) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{15{,}0}=\dfrac{3-4}{60}=-\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=-60{,}0$ cm et $G=-\dfrac{-60{,}0}{15{,}0}=+4{,}00$. L'image est VIRTUELLE, $d_{i}<0$, DROITE, $G>0$, et agrandie quatre fois. Elle se situe du même côté que l'objet et n'est pas projetable : on ne peut que la regarder à travers la lentille. C'est exactement le fonctionnement de la LOUPE.

c) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{60{,}0}=\dfrac{3-1}{60}=\dfrac{2}{60}$, donc $d_{i}=+30{,}0$ cm et $G=-\dfrac{30{,}0}{60{,}0}=-0{,}500$. L'image est réelle, renversée et RÉDUITE de moitié. C'est la configuration de l'appareil photo, où l'on ramène une scène étendue sur un petit capteur.

d) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{-3-2}{60}=-\dfrac{5}{60}$, donc $d_{i}=-12{,}0$ cm et $G=-\dfrac{-12{,}0}{30{,}0}=+0{,}400$. L'image est VIRTUELLE, DROITE et RÉDUITE. C'est le cas de TOUTE lentille divergente, quelle que soit la position de l'objet : elle ne peut jamais donner d'image réelle d'un objet réel.

e) Pour une lentille convergente, tout dépend de la position de l'objet par rapport au foyer. Si $d_{o}>f$, l'objet est au-delà du foyer et l'image est RÉELLE et renversée ; elle est agrandie si $f<d_{o}<2f$, de même taille si $d_{o}=2f$, réduite si $d_{o}>2f$. Si $d_{o}<f$, l'objet est en deçà du foyer et l'image devient VIRTUELLE, droite et agrandie. Le cas limite $d_{o}=f$ ne donne aucune image : les rayons émergent parallèles et l'image est rejetée à l'infini, ce que traduit $\dfrac{1}{d_{i}}=0$.

a) $f=\dfrac{R}{2}=\dfrac{40{,}0}{2}=+20{,}0$ cm. Le signe est POSITIF parce que le miroir est concave, donc convergent : il ramène vers un foyer réel un faisceau parallèle venant de l'avant. La convention est cohérente avec celle des lentilles, où $f>0$ signifie convergent.

b) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=+60{,}0$ cm et $G=-2{,}00$. L'image est RÉELLE, formée à 60 cm DEVANT le miroir, du même côté que l'objet puisque la lumière revient en arrière, RENVERSÉE et agrandie deux fois. Les nombres sont identiques à ceux du a de l'exercice 1, ce qui illustre que la formule ne distingue pas lentille et miroir ; seule l'interprétation géométrique de « du même côté » change.

c) Pour un miroir convexe, $R$ est compté négativement, donc $f=-20{,}0$ cm. Alors $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=-\dfrac{5}{60}$, d'où $d_{i}=-12{,}0$ cm et $G=+0{,}400$. L'image est VIRTUELLE, située derrière le miroir, DROITE et réduite. C'est le comportement invariable du miroir convexe, exactement comme la lentille divergente.

d) Parce qu'un miroir convexe donne toujours une image droite et RÉDUITE, ce qui élargit considérablement le champ de vision : on voit une portion de route bien plus large qu'avec un miroir plan de même taille, ce qui réduit l'angle mort. Le prix à payer est précisément la réduction : le véhicule qui suit paraît plus petit, donc le cerveau, qui estime les distances à partir de la taille apparente, le juge PLUS LOIN qu'il ne l'est. D'où l'avertissement gravé, obligatoire en Amérique du Nord.

e) Il faut placer l'objet ENTRE le miroir et son foyer, donc à moins de 20,0 cm ici. On obtient alors, comme pour la lentille convergente en deçà du foyer, une image virtuelle, droite et agrandie. Usage courant : le miroir de maquillage ou de rasage, et le miroir d'examen du dentiste, tous deux concaves et utilisés très près du visage. Vérification : avec $d_{o}=10{,}0$ cm, $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{20}$, donc $d_{i}=-20{,}0$ cm et $G=+2{,}00$, image virtuelle droite agrandie deux fois.

a) Le PUNCTUM REMOTUM est le point le plus ÉLOIGNÉ vu net, l'oeil étant au repos ; il est à l'INFINI pour un oeil normal. Le PUNCTUM PROXIMUM est le point le plus PROCHE vu net, l'oeil accommodant au maximum ; il est conventionnellement à 25 cm. Entre les deux s'étend le domaine de vision distincte, que l'accommodation, c'est-à-dire la déformation du cristallin, permet de couvrir.

b) L'oeil myope ne voit pas au-delà de 50,0 cm. La lentille doit donc prendre un objet situé à l'INFINI et en donner une image virtuelle placée précisément au punctum remotum, où l'oeil sait la voir. On a donc $d_{o}=\infty$ et $d_{i}=-0{,}500$ m, le signe étant négatif car l'image est virtuelle, du même côté que l'objet. Alors $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=0+\dfrac{1}{-0{,}500}=-2{,}00$. La vergence vaut $-2{,}00$ dioptries : c'est une lentille DIVERGENTE.

c) L'oeil hypermétrope ne voit pas net en deçà de 100 cm. Pour lire à 25,0 cm, la lentille doit prendre l'objet réel à $d_{o}=+0{,}250$ m et en former une image virtuelle au punctum proximum, soit $d_{i}=-1{,}00$ m. Alors $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{0{,}250}+\dfrac{1}{-1{,}00}=4{,}00-1{,}00=3{,}00$. La vergence vaut $+3{,}00$ dioptries : lentille CONVERGENTE.

d) Parce que les deux défauts sont opposés. L'oeil MYOPE converge TROP : l'image d'un objet lointain se forme en avant de la rétine. Il faut donc lui retirer de la convergence, d'où une lentille divergente de vergence négative. L'oeil HYPERMÉTROPE ne converge PAS ASSEZ : l'image se formerait en arrière de la rétine. Il faut lui en ajouter, d'où une lentille convergente de vergence positive. Comme les vergences de deux systèmes accolés s'additionnent, la correction consiste littéralement à ajouter algébriquement ce qui manque ou ce qui est en trop.

e) Parce que la presbytie n'est pas un défaut de forme de l'oeil mais une perte d'ACCOMMODATION : le cristallin durcit avec l'âge et ne peut plus se bomber autant, ce qui éloigne progressivement le punctum proximum. Le phénomène est physiologique et touche donc tout le monde, y compris les myopes, chez qui il s'ajoute au défaut existant. La conséquence, un punctum proximum trop éloigné, est la MÊME que celle de l'hypermétropie, et la correction est donc identique : une lentille convergente pour la vision de près. C'est pourquoi un myope presbyte a besoin de deux corrections opposées, d'où les verres à double foyer ou progressifs.

a) Parce que la taille apparente d'un objet ne dépend pas de sa taille réelle mais de l'ANGLE qu'il sous-tend à l'oeil. Un objet deux fois plus grand mais deux fois plus loin paraît identique. Une loupe ne modifie pas l'objet ; elle permet de l'observer de beaucoup plus près, à quelques centimètres au lieu de 25, en formant une image virtuelle que l'oeil peut accommoder. C'est l'augmentation de l'angle qui produit la sensation d'agrandissement, d'où la définition $G=\dfrac{\theta'}{\theta}$.

b) $G=\dfrac{25}{f}=\dfrac{25}{5{,}00}=5{,}00$. La loupe grossit donc cinq fois. La formule suppose l'image rejetée à l'infini, configuration la plus reposante pour l'oeil, qui n'accommode alors pas du tout.

c) Il faut placer l'objet ENTRE la loupe et son foyer, donc à moins de 5,00 cm, et en pratique presque exactement au foyer. L'image obtenue est alors VIRTUELLE, DROITE et agrandie, conformément au cas b de l'exercice 1. C'est nécessairement une image virtuelle : une image réelle serait renversée et devrait être projetée, ce qui n'est pas l'usage d'une loupe.

d) $G=\dfrac{25}{f}=10$ donne $f=2{,}5$ cm. L'inconvénient est immédiat : il faut approcher l'objet à 2,5 cm de la lentille, et l'oeil doit se placer tout contre elle. Le champ de vision devient minuscule, l'éclairage difficile puisque la tête fait de l'ombre, et la profondeur de champ presque nulle. Plus le grossissement est fort, plus la loupe devient inconfortable.

e) Il faudrait $f=\dfrac{25}{100}=0{,}25$ cm, soit 2,5 mm. Une lentille de cette focale serait une bille de verre de quelques millimètres, avec des aberrations géométriques et chromatiques énormes, un champ de l'ordre du millimètre, et une distance de travail incompatible avec toute manipulation. Au-delà d'un grossissement d'environ 20, on cesse donc d'ajouter de la courbure à une seule lentille et l'on passe à un système à DEUX étages : c'est exactement la raison d'être du microscope, objet de l'exercice suivant.

a) Dans les deux cas, l'OBJECTIF, tourné vers l'objet, en forme une première image réelle, dite image intermédiaire. Cette image sert ensuite d'OBJET à l'OCULAIRE, qui joue simplement le rôle d'une loupe : placé de sorte que l'image intermédiaire tombe près de son foyer, il en donne une image virtuelle très agrandie, observée par l'oeil. Le grossissement total est le produit des deux effets. La différence entre les deux instruments tient à l'objet observé : proche et minuscule pour le microscope, lointain et grand pour le télescope.

b) Le grandissement de l'objectif vaut $g_{obj}=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}$. Comme l'objet est placé juste au-delà du foyer, on utilise l'approximation usuelle $d_{o}\approx f_{obj}$, d'où $g_{obj}\approx-\dfrac{16{,}0}{0{,}800}=-20{,}0$. L'oculaire agit comme une loupe : $G_{ocu}=\dfrac{25}{2{,}50}=10{,}0$. Le grossissement total est le produit des valeurs absolues : $G=20{,}0\times 10{,}0=200$ fois.

c) Elle est RENVERSÉE. L'objectif donne une image renversée, puisque son grandissement est négatif, et l'oculaire, fonctionnant en loupe, la laisse droite par rapport à elle-même : l'image finale est donc inversée par rapport à l'objet. Cela ne pose aucun problème en microscopie : l'observateur déplace simplement la lame en sens inverse de ce qu'il attend, ce à quoi l'on s'habitue en quelques minutes. Ajouter un redresseur coûterait de la lumière et de la netteté pour un bénéfice nul.

d) L'objet étant à l'infini, l'objectif en forme l'image intermédiaire exactement dans son plan focal. Pour que l'observation se fasse à l'oeil détendu, l'oculaire doit avoir son propre foyer au même endroit : les deux lentilles sont donc séparées de $f_{obj}+f_{ocu}$. En comparant l'angle sous lequel on voit l'image à celui sous lequel on voyait l'objet, on obtient $G=\dfrac{f_{obj}}{f_{ocu}}$. Application : $G=\dfrac{120}{2{,}00}=60{,}0$ fois.

e) Parce que le grossissement est facile à obtenir mais ne crée aucune information : changer d'oculaire suffit à doubler $G$, et l'on ne fait alors qu'agrandir une image floue. Ce qui limite réellement un télescope, c'est la QUANTITÉ DE LUMIÈRE collectée, proportionnelle à la surface donc au carré du diamètre, et le POUVOIR SÉPARATEUR, c'est-à-dire le plus petit détail angulaire discernable, qui est imposé par la diffraction et s'améliore lui aussi avec le diamètre. Un objectif deux fois plus large recueille quatre fois plus de lumière et sépare deux fois mieux : il montre des objets réellement plus faibles et plus fins. Le grossissement, lui, n'est utile que dans la limite permise par le diamètre, au-delà de laquelle on parle de grossissement vide.

a) Pour un télescope, $G=\dfrac{f_{obj}}{f_{ocu}}$ : il faut le plus GRAND $f$ à l'objectif et le plus PETIT à l'oculaire. On prend donc l'objectif de 100 cm et l'oculaire de 2,00 cm, d'où $G=\dfrac{100}{2{,}00}=50{,}0$ fois. La longueur du tube vaut $f_{obj}+f_{ocu}=100+2{,}00=102$ cm, soit un instrument d'un peu plus d'un mètre.

b) En permutant, $G=\dfrac{2{,}00}{100}=0{,}0200$, soit un grossissement bien inférieur à 1 : l'instrument RÉDUIT l'image cinquante fois au lieu de l'agrandir. On aurait construit une lunette de Galilée à l'envers, ce qui est le principe du viseur grand angle. La permutation est donc à proscrire pour observer le ciel, et la règle est sans ambiguïté : objectif à longue focale, oculaire à courte focale.

c) Pour un microscope, il faut au contraire un objectif de TRÈS COURTE focale, puisque l'objet en est très proche, et un oculaire de focale modérée. On prend l'objectif de 2,00 cm et l'oculaire de 5,00 cm. Le grandissement de l'objectif vaut $\left|g_{obj}\right|\approx\dfrac{15{,}0}{2{,}00}=7{,}50$ et le grossissement de l'oculaire $\dfrac{25}{5{,}00}=5{,}00$. Le total est $7{,}50\times 5{,}00=37{,}5$ fois.

d) Non, elle est inutilisable. Comme objectif, une focale de 100 cm obligerait à placer l'objet à plus d'un mètre, ce qui est absurde pour observer une lame de microscope et ne donnerait aucun grandissement utile. Comme oculaire, elle donnerait un grossissement de $\dfrac{25}{100}=0{,}25$, donc une RÉDUCTION. Une longue focale converge faiblement ; or les deux étages d'un microscope exigent au contraire une forte convergence, l'un pour capter un objet minuscule placé très près, l'autre pour jouer efficacement le rôle de loupe.

e) Pour le TÉLESCOPE, on veut une focale d'objectif aussi grande que possible et une focale d'oculaire aussi petite que possible, puisque $G$ est leur rapport. Pour le MICROSCOPE, on veut les deux focales aussi petites que possible, l'objectif pour approcher l'objet au maximum et l'oculaire pour grossir davantage, puisque $G$ est le produit de deux facteurs tous deux inversement proportionnels à une focale.