Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : optique géométrique et instruments (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

Q: Pourquoi l'image réelle d'un miroir est-elle devant lui et celle d'une lentille derrière ?

Parce que la lentille transmet la lumière et que le miroir la renvoie. Dans les deux cas, une image réelle se forme là où les rayons se croisent vraiment, mais ces rayons continuent leur route derrière la lentille, alors qu'ils repartent du côté de l'objet après réflexion. La convention de signe, elle, est identique.

Q: Comment calculer la focale de deux lentilles accolées ?

On additionne les vergences, c'est-à-dire les inverses des focales exprimées en mètres, puis on inverse le résultat. Additionner les focales elles-mêmes n'a aucun sens et peut même donner un système divergent là où il est en réalité convergent, comme pour une lentille de vingt centimètres accolée à une de moins cinquante.

Q: Comment traiter un microscope ou un télescope à deux lentilles ?

On applique l'équation des opticiens à la première lentille, puis on utilise son image comme objet de la seconde. La distance objet du second étage vaut la distance entre les lentilles moins la distance image du premier. L'objet initial n'intervient plus du tout après le premier étage.

Q: Quelle lentille corrige la myopie ?

Une lentille divergente, de vergence négative. L'oeil myope converge trop et ne voit net que jusqu'à une distance finie appelée punctum remotum. Le verre correcteur doit donner d'un objet situé à l'infini une image virtuelle placée à ce punctum remotum, ce que seule une lentille divergente peut faire.

Q: Est-ce que grossir davantage permet de voir plus de détails ?

Non, au-delà d'une certaine limite. La finesse d'un instrument est fixée par la diffraction et ne dépend que de son diamètre et de la longueur d'onde. Grossir davantage ne fait qu'agrandir une tache floue, ce que les astronomes appellent un grossissement vide. C'est pourquoi un télescope se désigne par son diamètre.

Q: Pourquoi les grands télescopes utilisent-ils des miroirs plutôt que des lentilles ?

Parce que la réflexion ne disperse pas la lumière : un miroir n'a aucune aberration chromatique, alors qu'une lentille fait converger le bleu plus près que le rouge. Un miroir peut aussi être soutenu par l'arrière, alors qu'une grande lentille ne tient que par son bord et se déforme sous son propre poids.

L'optique du cégep reprend l'équation des opticiens vue au secondaire, mais elle l'applique à des chaînes d'éléments : un microscope, un télescope, un oeil corrigé. La difficulté n'est plus la formule, c'est de savoir où se trouve l'objet de chaque étage, et s'il est réel ou virtuel.

Cette fiche rassemble ce qui coûte des points en évaluation : les vergences, l'image intermédiaire, les deux conventions de côté réel pour la lentille et pour le miroir, la correction de l'oeil, et la confusion entre le grossissement d'un instrument et son pouvoir de séparation, qui ne dépend que du diamètre.

Le fil du chapitre

Une seule équation gouverne les lentilles ET les miroirs. Tout le chapitre tient donc dans deux gestes : respecter la convention de signes, et traiter chaque instrument comme une chaîne où l'image de la première lentille devient l'objet de la seconde.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les lentilles convergentesSecondaire 5 SN5 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les caractéristiques des ondesSecondaire 5 SN5
2La réflexion et les miroirsSecondaire 5 SN5
3La réfraction de la lumièreSecondaire 5 SN5
4Les lentilles convergentesSecondaire 5 SN5

L'essentiel

Une équation, deux familles, deux côtés réels

• $\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}$ vaut pour les lentilles MINCES comme pour les miroirs sphériques, et $G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}$ aussi.
• $f>0$ : lentille CONVERGENTE ou miroir CONCAVE. $f<0$ : lentille DIVERGENTE ou miroir CONVEXE. Pour un miroir, $f=\dfrac{R}{2}$ .
• $d_{i}>0$ : image RÉELLE, projetable. Mais elle se forme DERRIÈRE une lentille, et DEVANT un miroir, c'est-à-dire du même côté que l'objet.
• $G>0$ : image droite. $G<0$ : image renversée. $|G|>1$ : agrandie.
• Vergence en dioptries : $P=\dfrac{1}{f}$ avec $f$ en MÈTRES. Deux lentilles minces accolées ont des VERGENCES qui s'additionnent, jamais leurs focales.

Même équation, même

d_{i}>0

, mais pas le même côté : la lentille forme son image réelle de l'autre côté, le miroir la forme du côté de l'objet, là où la lumière est revenue.

Le mot « réelle » ne désigne pas un côté de l'espace mais une propriété : les rayons s'y croisent vraiment. C'est parce qu'une lentille transmet et qu'un miroir renvoie que ce croisement change de côté.

L'oeil et les instruments

• Oeil normal : punctum remotum à l'infini, punctum proximum à $25$ cm.
• MYOPIE : l'oeil converge trop, le punctum remotum est à distance FINIE. On corrige par une lentille DIVERGENTE dont le foyer image coïncide avec ce punctum remotum, donc $f=-d_{PR}$ .
• HYPERMÉTROPIE : le punctum proximum est trop éloigné, et l'on corrige par une lentille CONVERGENTE.
• Loupe : grossissement commercial $G=\dfrac{25}{f}$ avec $f$ en CENTIMÈTRES. Microscope : $G=|g_{objectif}|\times G_{oculaire}$ . Télescope : $G=\dfrac{f_{objectif}}{f_{oculaire}}$ .
• Dans un instrument à deux lentilles, l'image de la première est l'OBJET de la seconde : $d_{o2}=D-d_{i1}$ , et cette quantité peut être NÉGATIVE, ce qui signifie un objet virtuel.

Un grossissement est un rapport d'ANGLES, pas de longueurs : il dit combien de fois l'objet paraît plus grand, alors que le grandissement compare deux tailles réelles. Les deux se notent $G$ dans beaucoup de manuels, d'où la confusion.

Ce qui limite un instrument

• Aberration CHROMATIQUE : $n$ dépend de la couleur, donc le bleu converge plus près que le rouge. Elle se corrige par un doublet achromatique vérifiant $\dfrac{P_{1}}{\nu_{1}}+\dfrac{P_{2}}{\nu_{2}}=0$ .
• Un MIROIR n'a AUCUNE aberration chromatique : la réflexion ne disperse pas. C'est la raison d'être des grands télescopes à miroir.
• Aberration SPHÉRIQUE : les rayons marginaux convergent trop tôt. On la corrige en diaphragmant ou en asphérisant la surface.
• Limite de diffraction : $\theta\approx\dfrac{1{,}22\lambda}{D}$ . La finesse dépend du DIAMÈTRE de l'instrument, jamais de son grossissement.
• Formule des fabricants : $\dfrac{1}{f}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right)$ , où $n-1$ devient $\dfrac{n}{n_{milieu}}-1$ si la lentille baigne dans autre chose que l'air.

Grossir au-delà de la limite de diffraction ne fait qu'agrandir une tache floue : c'est le grossissement dit « vide ». Un télescope de $100$ mm sépare $1{,}4$ seconde d'arc, quel que soit l'oculaire vissé dessus.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Chaîner deux lentilles sans passer par l'image intermédiaire

toute la question, 8 points, c'est le problème long du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'objet est à $8{,}4$ mm de l'objectif, donc il est à $8{,}4+193=201{,}4$ mm de l'oculaire, et j'applique l'équation avec cette distance. »

Ce qu'il faut écrire

« L'image de l'objectif se forme à $d_{i1}=168$ mm; c'est ELLE qui sert d'objet à l'oculaire, à la distance $d_{o2}=193-168=25$ mm. »

Pourquoi : Chaque étage ne voit que ce que l'étage précédent lui envoie. L'objet réel a disparu de la scène dès que ses rayons ont traversé l'objectif : il n'intervient plus nulle part dans la suite du calcul.

2. Additionner les focales de deux lentilles accolées

toute la question, et une conclusion inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une lentille de $+20$ cm accolée à une de $-50$ cm donne $f=20-50=-30$ cm : l'ensemble est divergent. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les VERGENCES qui s'additionnent : $P=\dfrac{1}{0{,}20}+\dfrac{1}{-0{,}50}=5{,}0-2{,}0=+3{,}0$ D, donc $f=+33$ cm : l'ensemble est CONVERGENT. »

Pourquoi : L'addition des vergences vient de l'addition des inverses des focales, exactement comme les résistances en parallèle. Additionner les focales n'a aucun sens physique et donne ici le contraire du bon résultat.

3. Chercher l'image réelle d'un miroir derrière le miroir

3 points, et une figure fausse pour toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $d_{i}=+30$ cm, donc l'image se forme $30$ cm derrière le miroir, comme pour une lentille. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour un MIROIR, $d_{i}>0$ signifie une image DEVANT le miroir, du côté de l'objet : c'est là que la lumière revient et que les rayons se croisent. »

Pourquoi : La convention est la même, $d_{i}>0$ pour une image réelle, mais la lumière ne va pas du même côté. Un miroir renvoie la lumière d'où elle vient : rien de réel ne peut se former derrière lui.

4. Corriger une myopie avec une lentille convergente

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'oeil myope voit mal de loin, il ne converge pas assez : on ajoute une lentille convergente. »

Ce qu'il faut écrire

« L'oeil myope converge TROP : son punctum remotum est à distance finie. On corrige par une lentille DIVERGENTE dont le foyer image tombe sur ce punctum remotum : pour un remotum à $50$ cm, $f=-50$ cm et $P=-2{,}0$ D. »

Pourquoi : Le rôle du verre correcteur est de ramener l'infini au punctum remotum, là où l'oeil sait encore accommoder. Seule une lentille divergente donne d'un objet à l'infini une image virtuelle à distance finie.

5. Croire qu'un fort grossissement donne une image plus fine

3 points sur la question de discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec un oculaire de $4$ mm au lieu de $25$ mm, le télescope grossit six fois plus, donc il sépare six fois mieux les étoiles doubles. »

Ce qu'il faut écrire

« Le pouvoir de séparation ne dépend que du DIAMÈTRE : $\theta=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}$ . Pour $D=100$ mm, il vaut $6{,}7\times 10^{-6}$ rad, soit $1{,}4$ seconde d'arc, quel que soit l'oculaire. »

Les deux mêmes étoiles, vues par deux instruments : à gauche les taches de diffraction sont assez fines pour se séparer, à droite elles se recouvrent. Aucun oculaire ne peut recréer les deux pics.

Pourquoi : Au-delà de la limite de diffraction, grossir n'ajoute aucune information : on agrandit une tache floue. C'est ce que les astronomes appellent le grossissement vide, et c'est pourquoi on parle d'un télescope par son diamètre.

6. Attribuer une aberration chromatique à un miroir

2 points sur la question de cours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le télescope à miroir souffre lui aussi d'aberration chromatique, comme toute optique. »

Ce qu'il faut écrire

« La réflexion ne DISPERSE pas : l'angle de réflexion ne dépend pas de la couleur. Un miroir n'a donc aucune aberration chromatique, seulement une aberration sphérique, corrigée par une forme parabolique. »

Pourquoi : L'aberration chromatique vient de la variation de l'indice avec la longueur d'onde, or l'indice n'intervient que dans la RÉFRACTION. C'est l'argument historique de Newton en faveur du télescope à miroir.

7. Utiliser la formule des fabricants sans tenir compte du milieu

4 points, et une conclusion contraire à l'expérience

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cette lentille de verre a une focale de $20$ cm; plongée dans l'eau, elle a toujours une focale de $20$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur $(n-1)=0{,}50$ devient $\left(\dfrac{n}{n_{eau}}-1\right)=\dfrac{1{,}50}{1{,}33}-1=0{,}128$ : la focale passe à $78$ cm, la lentille converge presque quatre fois moins. »

Pourquoi : C'est le CONTRASTE d'indice qui fait converger, pas l'indice du verre seul. Une lentille de glace dans l'eau ne dévierait presque rien, et c'est aussi pourquoi on voit flou sous l'eau sans masque.

8. Appliquer la formule du minimum de déviation hors du minimum

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prisme dévie de $42^{\circ}$ sous cette incidence, donc $n=\dfrac{\sin\frac{A+42^{\circ}}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette formule n'est valable QU'AU minimum de déviation, là où le trajet est symétrique et $r_{1}=r_{2}=\dfrac{A}{2}$ . Hors du minimum, il faut passer par $D=i_{1}+i_{2}-A$ et deux applications de Snell. »

Pourquoi : La symétrie du trajet est une hypothèse, pas une propriété générale : elle n'est réalisée que pour une incidence particulière. C'est justement parce que $D_{min}$ est un minimum qu'il se repère expérimentalement, en tournant le prisme jusqu'à ce que la déviation cesse de diminuer.

Quelle méthode choisir

Chaîner deux éléments optiques

La position de l'image formée par le premier élément, par rapport au second

Si l'image de la première lentille se forme AVANT la seconde → objet réel pour la seconde : $d_{o2}=D-d_{i1}>0$

Exemple : microscope, $193-168=25$ mm
Si l'image de la première se formerait APRÈS la seconde → objet VIRTUEL : $d_{o2}=D-d_{i1}<0$ , et l'équation s'applique telle quelle

Exemple : un $d_{o2}$ négatif n'est pas une erreur, c'est une configuration
Si l'image de la première tombe exactement sur le foyer de la seconde → l'image finale part à l'infini : $\dfrac{1}{d_{i2}}=0$

Exemple : c'est le réglage normal d'un microscope et d'une lunette
Si on demande le grandissement TOTAL → produit des grandissements, $G=G_{1}\times G_{2}$ , signes compris

Exemple : $(-20)\times(+5)=-100$ , image finale renversée
Si les deux lentilles sont ACCOLÉES → aucune chaîne : on additionne les vergences

Exemple : $+5{,}0$ D et $-2{,}0$ D donnent $+3{,}0$ D
Si l'énoncé donne un grossissement commercial → il s'agit d'un rapport d'ANGLES : loupe $\dfrac{25}{f}$ , télescope $\dfrac{f_{obj}}{f_{oc}}$

Exemple : une loupe de $5{,}0$ cm grossit $5\times$

La distance entre les deux lentilles est la seule donnée qui relie les deux étages. Un énoncé qui la donne annonce un chaînage; un énoncé qui parle de lentilles accolées annonce une addition de vergences.

Quelle formule pour quelle situation

L'objet optique nommé par l'énoncé

Si une lentille mince ou un miroir sphérique seuls → $\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}$ , puis $G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}$

Exemple : avec $f=\dfrac{R}{2}$ pour un miroir
Si une seule surface courbe séparant deux milieux → dioptre sphérique : $\dfrac{n_{1}}{d_{o}}+\dfrac{n_{2}}{d_{i}}=\dfrac{n_{2}-n_{1}}{R}$

Exemple : la cornée, la face d'un aquarium bombée
Si on donne les rayons de courbure et l'indice du verre → formule des fabricants, avec le facteur $\dfrac{n}{n_{milieu}}-1$

Exemple : une lentille dans l'eau converge quatre fois moins
Si on parle de l'oeil, de vision de loin ou de près → placer le punctum remotum ou proximum, puis $f=-d_{PR}$ pour la myopie

Exemple : remotum à $50$ cm : verre de $-2{,}0$ D
Si on parle de loupe, de microscope, de télescope → grossissements commerciaux, en multipliant étage par étage

Exemple : $20\times 10=200$
Si on parle de netteté, de séparation, d'étoile double → limite de diffraction $\dfrac{1{,}22\lambda}{D}$ , le grossissement n'y entre pas

Exemple : $100$ mm de diamètre séparent $1{,}4$ seconde d'arc

Une question sur la QUALITÉ d'une image ne se traite jamais avec l'équation des opticiens : celle-ci suppose des rayons paraxiaux et une lumière monochromatique. Les aberrations et la diffraction sont précisément ce qu'elle ignore.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Traiter un instrument à deux lentilles

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux focales, une distance entre les lentilles, et une position d'objet.

1 Faire un schéma en ligne avec les positions repérées, et annoncer la convention : la lumière va de la gauche vers la droite.
2 Premier étage : appliquer l'équation avec $d_{o1}$ et $f_{1}$ , obtenir $d_{i1}$ , puis $G_{1}=-\dfrac{d_{i1}}{d_{o1}}$ , et dire où se forme cette image intermédiaire.
3 Transférer : $d_{o2}=D-d_{i1}$ , en précisant le signe obtenu et ce qu'il signifie, objet réel ou objet virtuel.
4 Deuxième étage : même équation avec $f_{2}$ , obtenir $d_{i2}$ et $G_{2}$ .
5 Conclure par le grandissement total $G=G_{1}G_{2}$ , avec la nature et le sens de l'image finale.

Phrase de conclusion

« L'objectif donne une image réelle à $d_{i1}=168$ mm, renversée et $20$ fois plus grande. Cette image, située à $25$ mm de l'oculaire, coïncide avec son foyer objet : l'image finale se forme donc à l'infini, observable sans accommodation, avec un grossissement total de $200\times$ . »

Le piège : Utiliser la distance objet-oculaire au lieu de la distance image intermédiaire-oculaire. C'est l'erreur qui fait perdre l'intégralité de la question, alors que le reste du calcul est correct.

Barème : Souvent 3 points pour le premier étage, 2 pour le transfert avec son signe commenté, 3 pour le second étage, 2 pour le grandissement total et la nature de l'image.

Corriger un défaut de l'oeil

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un punctum remotum ou un punctum proximum et demande le verre correcteur.

1 Identifier le défaut par le point donné : un remotum à distance finie signale une myopie, un proximum trop éloigné une hypermétropie.
2 Formuler ce que le verre doit faire : pour la myopie, donner d'un objet À L'INFINI une image virtuelle AU punctum remotum.
3 Traduire : $d_{o}=\infty$ donne $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}$ , avec $d_{i}=-d_{PR}$ puisque l'image est virtuelle, d'où $f=-d_{PR}$ .
4 Convertir en vergence, $P=\dfrac{1}{f}$ avec $f$ en mètres, et vérifier le signe : négatif pour une myopie, positif pour une hypermétropie.

Phrase de conclusion

« Le punctum remotum est à $50$ cm : le verre doit donner de l'infini une image virtuelle à $50$ cm devant l'oeil, donc $f=-0{,}50$ m et $P=-2{,}0$ dioptries, une lentille divergente. »

Le piège : Prendre $d_{i}=+d_{PR}$ . L'image formée par le verre correcteur est toujours VIRTUELLE, du même côté que l'objet : son $d_{i}$ est donc négatif, et c'est ce signe qui donne la lentille divergente.

Barème : 1 point pour le défaut identifié, 2 pour la formulation de ce que doit faire le verre, 1 pour la focale, 1 pour la vergence avec son signe.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de $d_{i}$ traduit en côté

Écrire à côté de chaque $d_{i}$ le mot « devant » ou « derrière », en tenant compte de l'élément : une lentille forme son image réelle derrière, un miroir devant.

Un $d_{i}=+30$ cm annoncé derrière un miroir : le côté contredit le signe.
Les vergences plutôt que les focales

Toute addition d'éléments accolés se fait en dioptries. Vérifier que la focale finale n'est pas la somme des focales, et que son signe correspond bien au signe de la vergence totale.

$+20$ cm et $-50$ cm donnent $+33$ cm, jamais $-30$ cm.
L'image intermédiaire située sur le schéma

Sur un instrument à deux lentilles, pointer physiquement l'image intermédiaire sur le dessin avant de calculer le second étage, et mesurer sa distance à la seconde lentille.

Une image intermédiaire à $168$ mm dans un tube de $193$ mm : elle tombe $25$ mm avant l'oculaire, donc à son foyer.
L'ordre de grandeur d'un grossissement

Un microscope scolaire grossit de $40$ à $1000$ fois, une loupe de $2$ à $10$ fois, une lunette d'amateur de $30$ à $200$ fois. Une valeur hors de ces plages signale une erreur de conversion d'unité.

Un grossissement de $2000$ pour une loupe : les centimètres et les mètres ont été mélangés dans $\dfrac{25}{f}$ .
Le diamètre, seul juge de la finesse

Sur toute question de séparation ou de netteté, vérifier que la réponse fait intervenir $D$ et $\lambda$ , et jamais le grossissement.

Une réponse qui améliore la résolution en changeant d'oculaire : le grossissement ne peut pas séparer ce que la diffraction a confondu.

L'exercice type décortiqué

Le microscope, étage par étage

Un microscope est formé d'un objectif de focale $f_{1}=8{,}00$ mm et d'un oculaire de focale $f_{2}=25{,}0$ mm, distants de $D=193$ mm.

L'échantillon est placé à $d_{o1}=8{,}40$ mm de l'objectif. Déterminer la position et le grandissement de l'image intermédiaire, puis la position de l'image finale et le grossissement total de l'instrument.

L'image intermédiaire, renversée, tombe exactement sur le foyer de l'oculaire : les rayons en ressortent PARALLÈLES, donc l'image finale est à l'infini et s'observe sans accommodation.

Étape 1

Objectif : $\dfrac{1}{d_{i1}}=\dfrac{1}{f_{1}}-\dfrac{1}{d_{o1}}=\dfrac{1}{8{,}00}-\dfrac{1}{8{,}40}=\dfrac{0{,}40}{67{,}2}$ , d'où $d_{i1}=168$ mm.

Pourquoi

L'objet est placé juste au-delà du foyer, à $0{,}40$ mm près : c'est cette petite marge qui produit une image très éloignée et donc très agrandie. Tout le principe du microscope est là.

Étape 2

Grandissement de l'objectif : $G_{1}=-\dfrac{d_{i1}}{d_{o1}}=-\dfrac{168}{8{,}40}=-20{,}0$ .

Pourquoi

Le signe négatif annonce une image RENVERSÉE, ce que l'on retrouvera dans l'image finale. C'est aussi pourquoi une lame se déplace en sens inverse de ce que l'on voit dans l'oculaire.

Étape 3

Transfert : l'image intermédiaire est à $d_{o2}=D-d_{i1}=193-168=25{,}0$ mm de l'oculaire.

Pourquoi

C'est l'étape décisive : l'oculaire ne voit plus l'échantillon, il voit cette image. Le résultat est positif, donc il s'agit d'un objet réel pour le second étage.

Étape 4

Or $d_{o2}=25{,}0$ mm $=f_{2}$ : l'objet de l'oculaire est exactement à son foyer, donc $\dfrac{1}{d_{i2}}=\dfrac{1}{f_{2}}-\dfrac{1}{f_{2}}=0$ et l'image finale se forme à l'INFINI.

Pourquoi

C'est le réglage normal d'un microscope : l'oeil observe à l'infini, sans accommodation, donc sans fatigue. La longueur du tube n'est pas un hasard, elle vaut $d_{i1}+f_{2}$ .

Étape 5

Grossissement commercial de l'oculaire : $G_{2}=\dfrac{25}{f_{2}}=\dfrac{25{,}0\text{ cm}}{2{,}50\text{ cm}}=10{,}0$ .

Pourquoi

Le $25$ du numérateur est la distance minimale de vision distincte, en centimètres : il faut donc convertir $f_{2}$ en centimètres, sous peine d'un facteur mille.

Étape 6

Grossissement total : $G=|G_{1}|\times G_{2}=20{,}0\times 10{,}0=200$ , soit $200\times$ .

Pourquoi

Les deux étages se multiplient parce que chacun agit sur ce que lui livre le précédent. C'est la valeur gravée sur les objectifs et les oculaires du commerce.

Étape 7

Vérification par la longueur de tube : $g_{objectif}=\dfrac{L}{f_{1}}=\dfrac{168}{8{,}00}=21{,}0$ , valeur proche des $20{,}0$ obtenus, l'écart venant de ce que $L$ est comptée depuis le foyer et non depuis la lentille.

Pourquoi

Cette formule approchée est celle des catalogues. Retrouver $20$ ou $21$ confirme l'ordre de grandeur; un résultat de $2$ ou de $200$ signalerait une erreur d'unité sur les millimètres.

Conclusion rédigée

« L'objectif forme à $168$ mm une image réelle et renversée, $20{,}0$ fois plus grande. Cette image tombe à $25{,}0$ mm de l'oculaire, c'est-à-dire exactement sur son foyer : l'image finale est donc rejetée à l'infini et s'observe sans accommodation. Le grossissement total vaut $20{,}0\times 10{,}0=200\times$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Reprendre l'objet initial comme objet de l'oculaire, à $201{,}4$ mm. Le calcul se poursuit sans anomalie apparente et donne un grossissement de quelques unités au lieu de deux cents.

À savoir par cœur

• $\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}$ et $G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}$ : lentilles ET miroirs.
• $d_{i}>0$ : image réelle, DERRIÈRE une lentille, DEVANT un miroir.
• $f>0$ : convergente ou concave. $f<0$ : divergente ou convexe. Miroir : $f=\dfrac{R}{2}$ .
• Les VERGENCES s'additionnent, pas les focales : $P=\dfrac{1}{f}$ en dioptries, $f$ en mètres.
• Deux lentilles : $d_{o2}=D-d_{i1}$ , et un résultat négatif signifie objet virtuel.
• Myopie : lentille divergente, $f=-d_{PR}$ . Hypermétropie : lentille convergente.
• Loupe $\dfrac{25}{f}$ en cm, microscope $|g_{obj}|\times G_{oc}$ , télescope $\dfrac{f_{obj}}{f_{oc}}$ .
• Un miroir n'a pas d'aberration chromatique; une lentille en a toujours.
• Séparation : $\theta=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}$ , le grossissement n'y entre jamais.

Questions fréquentes

Pourquoi l'image réelle d'un miroir est-elle devant lui et celle d'une lentille derrière ?

Parce que la lentille transmet la lumière et que le miroir la renvoie. Dans les deux cas, une image réelle se forme là où les rayons se croisent vraiment, mais ces rayons continuent leur route derrière la lentille, alors qu'ils repartent du côté de l'objet après réflexion. La convention de signe, elle, est identique.

Comment calculer la focale de deux lentilles accolées ?

On additionne les vergences, c'est-à-dire les inverses des focales exprimées en mètres, puis on inverse le résultat. Additionner les focales elles-mêmes n'a aucun sens et peut même donner un système divergent là où il est en réalité convergent, comme pour une lentille de vingt centimètres accolée à une de moins cinquante.

Comment traiter un microscope ou un télescope à deux lentilles ?

On applique l'équation des opticiens à la première lentille, puis on utilise son image comme objet de la seconde. La distance objet du second étage vaut la distance entre les lentilles moins la distance image du premier. L'objet initial n'intervient plus du tout après le premier étage.

Quelle lentille corrige la myopie ?

Une lentille divergente, de vergence négative. L'oeil myope converge trop et ne voit net que jusqu'à une distance finie appelée punctum remotum. Le verre correcteur doit donner d'un objet situé à l'infini une image virtuelle placée à ce punctum remotum, ce que seule une lentille divergente peut faire.

Est-ce que grossir davantage permet de voir plus de détails ?

Non, au-delà d'une certaine limite. La finesse d'un instrument est fixée par la diffraction et ne dépend que de son diamètre et de la longueur d'onde. Grossir davantage ne fait qu'agrandir une tache floue, ce que les astronomes appellent un grossissement vide. C'est pourquoi un télescope se désigne par son diamètre.

Pourquoi les grands télescopes utilisent-ils des miroirs plutôt que des lentilles ?

Parce que la réflexion ne disperse pas la lumière : un miroir n'a aucune aberration chromatique, alors qu'une lentille fait converger le bleu plus près que le rouge. Un miroir peut aussi être soutenu par l'arrière, alors qu'une grande lentille ne tient que par son bord et se déforme sous son propre poids.

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Exercices corrigés : Optique géométrique et instruments

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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