Exercices corrigés : les caractéristiques des ondes (physique, secondaire 5)

a) La longueur d'onde $\lambda$ est la distance entre deux points identiques de l'onde à un instant donné, par exemple entre deux crêtes successives ; elle se mesure en mètres. L'amplitude $A$ est l'élongation maximale d'un point par rapport à sa position de repos ; ici elle se mesure en centimètres. Retenez la différence de nature : $\lambda$ se lit le long de la propagation, $A$ se lit perpendiculairement.

b) Deux crêtes successives sont à $x=1$ m et $x=5$ m, donc $\lambda=4{,}0$ m. La courbe monte jusqu'à $+3$ cm et descend jusqu'à $-3$ cm : l'amplitude vaut $A=3{,}0$ cm, et NON 6 cm. L'erreur classique consiste à mesurer de creux à crête, ce qui donne le double de l'amplitude.

c) La fréquence est $f=5{,}0$ Hz, donc $T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{5{,}0}=0{,}20$ s. La vitesse vaut $v=\lambda f=4{,}0\times 5{,}0=20$ m/s. Vérification par les unités : m $\times$ Hz = m $\times$ s$^{-1}$ = m/s, c'est bien une vitesse.

d) Elle est transversale : les points de la corde se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation, ce que montre la figure, où l'élongation est portée sur un axe perpendiculaire à la corde. Dans une onde longitudinale, comme le son, les particules oscillent PARALLÈLEMENT à la propagation.

e) De zéro. C'est le fil de tout le chapitre : une onde transporte de l'énergie, pas de matière. Chaque point de la corde monte et descend sur place, avec une amplitude de 3,0 cm, pendant que la perturbation, elle, avance de 20 m en une seconde. Répondre 20 m coûte la totalité des points de raisonnement de la question.

a) $v=\lambda f=0{,}80\times 25=20$ m/s.

b) $\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{343}{440}=0{,}7795$ m, soit $0{,}78$ m environ. Un ordre de grandeur à retenir : les sons audibles ont des longueurs d'onde de quelques centimètres à quelques mètres, ce qui explique qu'ils contournent les obstacles de la vie courante.

c) La période vaut $T=4{,}0$ s, donc $f=\dfrac{1}{T}=0{,}25$ Hz. Puis $v=\lambda f=6{,}0\times 0{,}25=1{,}5$ m/s. Autre chemin, plus direct : une vague parcourt 6,0 m en 4,0 s, donc $v=\dfrac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5$ m/s. Les deux chemins doivent donner le même résultat, c'est votre vérification.

d) $2450$ MHz $=2{,}450\times 10^{9}$ Hz. Donc $\lambda=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{2{,}450\times 10^{9}}=0{,}1224$ m, soit environ $12{,}2$ cm. Retenez cet ordre de grandeur, il revient à l'exercice 9.

e) La vitesse ne change pas, donc $\lambda=\dfrac{v}{f}$ est divisée par 2. Dans un milieu donné, $\lambda$ et $f$ varient toujours en sens inverse : c'est l'idée qui tient tout le chapitre. Un élève qui répond que la longueur d'onde double a confondu la source et le milieu.

a) Ici l'axe horizontal est un TEMPS, en secondes : on suit un point unique qui monte et descend. À l'exercice 1, l'axe horizontal était une POSITION, en mètres : on photographiait toute la corde à un instant figé. Le premier graphique se lit comme une photo, le second comme un film.

b) Le motif se répète toutes les $0{,}20$ s, donc $T=0{,}20$ s et $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}20}=5{,}0$ Hz. On retrouve bien la fréquence annoncée à l'exercice 1.

c) $v=\lambda f=4{,}0\times 5{,}0=20$ m/s. Notez le mécanisme : la longueur d'onde ne se lit QUE sur le graphique en fonction de la position, la période QUE sur celui en fonction du temps. Il faut donc les deux graphiques, ou un graphique et une donnée, pour obtenir une vitesse.

d) Il a lu la PÉRIODE, pas la longueur d'onde : $0{,}20$ s est un temps, alors qu'une longueur d'onde est une distance en mètres. L'unité suffit à trancher, et c'est la première vérification à faire. Aux évaluations, cette confusion se paie deux fois, parce que le calcul de $v$ qui suit est faux lui aussi.

e) Parce que les deux graphiques mesurent la même grandeur sur l'axe vertical : l'élongation d'un point de la corde. L'amplitude vaut $3{,}0$ cm dans les deux cas. Elle ne dépend ni de la position choisie, ni de l'instant choisi ; elle est fixée par l'énergie que la source envoie dans la corde.

a) Parce que les particules d'air oscillent PARALLÈLEMENT à la direction de propagation : elles avancent et reculent sur place, ce qui crée les zones de compression et de raréfaction du schéma. Sur une corde, les points oscillent PERPENDICULAIREMENT à la propagation. Dans les deux cas, ce qui avance est la perturbation, pas la matière. C'est aussi pour cela qu'un son se propage dans l'air, dans l'eau et dans l'acier, mais jamais dans le vide : il lui faut de la matière à comprimer, alors que la lumière se passe de milieu.

b) Entre deux compressions successives, ou entre deux raréfactions successives : ce sont les points identiques de l'onde. Prendre une compression et la raréfaction voisine donne une DEMI longueur d'onde, et c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de schéma.

c) À 440 Hz : $\lambda=\dfrac{343}{440}=0{,}78$ m. À 880 Hz : $\lambda=\dfrac{343}{880}=0{,}39$ m. La longueur d'onde est divisée par deux et le son est perçu comme plus AIGU. La vitesse, elle, n'a pas bougé : elle est fixée par l'air, pas par le chanteur.

d) L'amplitude des oscillations augmente : les tranches d'air s'écartent davantage de leur position de repos, donc les compressions sont plus fortes. La fréquence, la longueur d'onde et la vitesse ne changent pas. Chanter plus fort ne change pas la note : l'intensité tient à l'amplitude, la hauteur tient à la fréquence.

e) De 60 dB à 80 dB, il y a deux paliers de 10 dB, donc l'intensité est multipliée par $10\times 10=100$. La perceuse envoie 100 fois plus d'énergie à l'oreille qu'une conversation, alors que le nombre affiché n'a fait que passer de 60 à 80 : c'est le propre d'une échelle logarithmique. Au-delà de 85 dB en exposition prolongée, l'atteinte auditive devient irréversible.

a) Rayons X, lumière visible, micro-ondes, ondes radio. Repères utiles : les rayons X sont de l'ordre du dixième de nanomètre, le visible va de 400 à 700 nm, les micro-ondes sont de l'ordre du centimètre, les ondes radio du mètre au kilomètre.

b) $\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{99{,}5\times 10^{6}}=3{,}02$ m. Un ordre de grandeur qui se vérifie à l'oeil : les antennes FM mesurent quelques dizaines de centimètres à quelques mètres, parce qu'une antenne est calibrée sur la longueur d'onde qu'elle reçoit.

c) $550$ nm $=550\times 10^{-9}$ m $=5{,}50\times 10^{-7}$ m. Donc $f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{5{,}50\times 10^{-7}}=5{,}45\times 10^{14}$ Hz. Le piège est la conversion : oublier le facteur $10^{-9}$ donne un résultat faux d'un facteur un milliard, et une fréquence qui n'a aucun sens physique.

d) $0{,}10$ nm $=1{,}0\times 10^{-10}$ m, donc $f=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}0\times 10^{-10}}=3{,}0\times 10^{18}$ Hz. C'est environ 5500 fois la fréquence de la lumière verte. L'énergie transportée par chaque photon suit la fréquence : c'est pour cela qu'un rayon X traverse la main et arrache des électrons aux atomes, alors que la lumière verte se contente d'être vue.

e) Parce que dans le vide la vitesse est la même pour toutes, $c$. Dans $\lambda=\dfrac{c}{f}$, une grande longueur d'onde va avec une petite fréquence, jamais avec une petite vitesse. Confondre les deux est l'erreur la plus courante du chapitre : la vitesse dépend du MILIEU, la fréquence dépend de la SOURCE.

a) $589$ nm $=5{,}89\times 10^{-7}$ m, donc $f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{5{,}89\times 10^{-7}}=5{,}09\times 10^{14}$ Hz.

b) La même, $5{,}09\times 10^{14}$ Hz. La fréquence compte le nombre de cycles envoyés par seconde : la surface de l'eau ne peut ni en fabriquer ni en détruire. Autant de crêtes entrent par seconde, autant en ressortent. Une réponse qui fait varier la fréquence rend fausse toute la suite de l'exercice.

c) $\lambda_{eau}=\dfrac{v_{eau}}{f}=\dfrac{2{,}26\times 10^{8}}{5{,}09\times 10^{14}}=4{,}44\times 10^{-7}$ m, soit $444$ nm environ. Vérification par un autre chemin : $\lambda_{eau}=\dfrac{\lambda_{vide}}{n}$ avec $n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{2{,}26\times 10^{8}}=1{,}33$, donc $\dfrac{589}{1{,}33}=443$ nm. Les deux chemins concordent, et vous venez de retrouver l'indice de réfraction de l'eau, qui est le point de départ du chapitre suivant.

d) Non, il la voit jaune. La couleur perçue suit la FRÉQUENCE, qui n'a pas changé. C'est d'ailleurs pour cela qu'on caractérise une couleur par sa longueur d'onde dans le VIDE : c'est la seule qui ne dépende pas du milieu traversé.

e) Dans l'air : $\lambda=\dfrac{343}{440}=0{,}78$ m. Dans l'eau : $\lambda=\dfrac{1480}{440}=3{,}36$ m. La longueur d'onde du son est multipliée par plus de quatre, alors que celle de la lumière avait été divisée par 1,33. Ce n'est pas une contradiction, c'est la même règle : à fréquence fixée, $\lambda$ est proportionnelle à $v$. Le son ACCÉLÈRE en entrant dans l'eau, la lumière y RALENTIT.

a) Le son A répète son motif toutes les 2 divisions, soit $T_{A}=2{,}0$ ms $=2{,}0\times 10^{-3}$ s. Le son B le répète toutes les 4 divisions, soit $T_{B}=4{,}0$ ms $=4{,}0\times 10^{-3}$ s. Comptez toujours sur PLUSIEURS motifs quand la trace le permet, puis divisez : l'erreur de lecture est alors divisée d'autant.

b) $f_{A}=\dfrac{1}{2{,}0\times 10^{-3}}=500$ Hz et $f_{B}=\dfrac{1}{4{,}0\times 10^{-3}}=250$ Hz. La conversion des millisecondes en secondes est le seul endroit où l'on perd des points : oublier le facteur $10^{-3}$ donne 0,5 Hz, ce qui serait inaudible.

c) Le plus AIGU est A, parce qu'il a la plus grande fréquence, 500 Hz contre 250 Hz : la hauteur d'un son tient à sa fréquence. Le plus FORT est aussi A, mais pour une autre raison : son amplitude vaut 2 divisions contre 1 pour B, et l'intensité tient à l'amplitude. Il faut nommer les deux grandeurs séparément ; répondre plus fort parce qu'il est plus aigu ne vaut aucun point.

d) $\lambda_{A}=\dfrac{343}{500}=0{,}686$ m et $\lambda_{B}=\dfrac{343}{250}=1{,}372$ m. Le rapport des fréquences étant de 2, celui des longueurs d'onde l'est aussi, en sens inverse : A est une octave au-dessus de B.

e) L'axe horizontal d'un oscilloscope est un TEMPS, jamais une distance : 2 ms est une période, pas une longueur d'onde. Un oscilloscope ne montre jamais directement une longueur d'onde ; il faut passer par $\lambda=\dfrac{v}{f}$, donc connaître la vitesse du son dans le milieu. La réponse correcte est $0{,}686$ m, environ 340 fois plus grande que le nombre annoncé.

a) FAUX. Une onde transporte de l'ÉNERGIE, pas de matière. Chaque particule du milieu oscille autour de sa position d'équilibre et y revient. Énoncé correct : une onde est la propagation d'une perturbation qui transporte de l'énergie sans déplacement global de matière. Le bouchon qui monte et descend sur la vague sans avancer vers le rivage est l'image à retenir.

b) FAUX. La fréquence est imposée par la source et ne change JAMAIS au passage d'un milieu à l'autre. Énoncé correct : en entrant dans l'eau, la lumière ralentit et sa longueur d'onde diminue dans le même rapport, mais sa fréquence, donc sa couleur, reste la même.

c) FAUX, ce sont deux grandeurs indépendantes. Énoncé correct : un son plus aigu a une fréquence plus grande, un son plus fort a une amplitude plus grande. On peut chuchoter une note très aiguë et hurler une note très grave.

d) FAUX. Énoncé correct : sur un graphique en fonction du TEMPS on lit la période, en secondes ; la longueur d'onde se lit sur un graphique en fonction de la POSITION, en mètres. L'unité de l'axe horizontal tranche à elle seule.

e) FAUX. Énoncé correct : dans le vide, toutes les ondes électromagnétiques se propagent à $c=3{,}00\times 10^{8}$ m/s. Une grande longueur d'onde va avec une petite fréquence, puisque $\lambda f=c$, et non avec une petite vitesse. La vitesse dépend du milieu traversé, jamais de la longueur d'onde.

a) Si deux taches voisines sont séparées de $\dfrac{\lambda}{2}=6{,}1$ cm, alors $\lambda=2\times 6{,}1=12{,}2$ cm $=0{,}122$ m. Oublier le facteur 2 est l'erreur qui coûte le plus cher ici : elle divise par deux le résultat final.

b) $v=\lambda f=0{,}122\times 2{,}450\times 10^{9}=2{,}99\times 10^{8}$ m/s. C'est la vitesse de la lumière : les micro-ondes sont des ondes électromagnétiques, comme la lumière visible, et se propagent à $c$. Avec une tablette de chocolat et l'étiquette du four, vous venez de mesurer $c$ à moins de 1 pour cent près.

c) Le plateau tournant promène les aliments À TRAVERS les zones où l'onde vibre peu, celles qui restent froides et qui se trouvent exactement entre deux taches fondues. Sans lui, le plat serait brûlant tous les 6 centimètres et froid entre les deux, ce que le chocolat rend visible.

d) Parce qu'un trou ne laisse passer une onde que s'il n'est pas minuscule devant sa longueur d'onde. Les trous de 2 mm sont $\dfrac{0{,}122}{0{,}002}=61$ fois plus petits que les 12,2 cm des micro-ondes, qui restent donc enfermées. La lumière visible, elle, a une longueur d'onde de 550 nm environ, soit près de 3600 fois plus petite que les trous : pour elle, la grille est un grand trou ouvert, et l'image passe.

e) Les micro-ondes du four sont à $2{,}45\times 10^{9}$ Hz, les rayons X vers $3\times 10^{18}$ Hz, soit environ un milliard de fois plus. L'énergie transportée par chaque grain de lumière suit la fréquence : les micro-ondes font tourner les molécules d'eau et chauffent, tandis que les rayons X arrachent des électrons aux atomes. Chauffer et ioniser ne sont pas la même chose, et c'est la fréquence qui sépare les deux.

a) $d=v\,\Delta t=343\times 6{,}0=2058$ m, soit environ $2{,}1$ km. Ici le trajet est simple, sans aller-retour : on ne divise pas par deux.

b) $\Delta t=\dfrac{d}{c}=\dfrac{2058}{3{,}00\times 10^{8}}=6{,}9\times 10^{-6}$ s, soit sept millionièmes de seconde. C'est un million de fois moins que les 6,0 s mesurées : négliger le trajet de la lumière est parfaitement légitime, et c'est ce qui permet de traiter l'instant de l'éclair comme l'instant de départ du son.

c) Pour un kilomètre, le son met $\Delta t=\dfrac{1000}{343}=2{,}92$ s, soit environ 3 s. La règle revient à compter les secondes entre l'éclair et le tonnerre puis à diviser par 3 pour obtenir des kilomètres. Vérification sur la question a) : $\dfrac{6{,}0}{3}=2{,}0$ km, très proche des $2{,}1$ km calculés.

d) Le son fait l'aller ET le retour, donc il parcourt $343\times 3{,}2=1097{,}6$ m en tout, et la falaise est à $d=\dfrac{1097{,}6}{2}=548{,}8$ m, soit environ 549 m. Oublier de diviser par deux double la réponse : c'est le piège le plus fréquent de tout le chapitre, et il vaut la moitié des points de la question.

e) Profondeur $=\dfrac{1480\times 0{,}25}{2}=185$ m. Les ultrasons ont une fréquence très élevée, donc une longueur d'onde très petite : une onde ne distingue que des détails plus grands que sa longueur d'onde, et un faisceau d'ultrasons reste étroit au lieu de se disperser dans toutes les directions. Un son grave, de plusieurs mètres de longueur d'onde, contournerait les obstacles et ne renverrait aucune image exploitable. C'est la même raison qui fait fonctionner l'échographie.