Exercices corrigés : physique quantique, photon, spectres de raies et dualité (203-SN3-RE)

a) $p=\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}}{550\times 10^{-9}}=1{,}21\times 10^{-27}$ kg·m/s.

b) Puissance reçue : $P=IA=1361\times 100=1{,}36\times 10^{5}$ W. Énergie d'un photon : $E=\dfrac{hc}{\lambda}=3{,}62\times 10^{-19}$ J. Nombre par seconde : $N=\dfrac{P}{E}=3{,}76\times 10^{23}$ photons/s.

c) La quantité de mouvement passe de $+p$ à $-p$ : sa variation vaut $-2p$, et la voile reçoit $+2p$. Une voile absorbante ne recevrait que $p$ : réfléchir double la poussée, exactement comme une balle qui rebondit transmet plus d'impulsion qu'une balle qui colle.

d) $F=N\times 2p=\dfrac{IA}{E}\times\dfrac{2E}{c}=\dfrac{2IA}{c}$, puisque $p=\dfrac{E}{c}$ pour un photon. La longueur d'onde disparaît du résultat. $F=\dfrac{2\times 1361\times 100}{3{,}00\times 10^{8}}=9{,}07\times 10^{-4}$ N, le poids d'un dixième de gramme.

e) $a=\dfrac{F}{m}=9{,}07\times 10^{-5}$ m/s², et en $86\,400$ s : $v=at=7{,}84$ m/s. C'est dérisoire en un jour, mais la poussée ne s'arrête jamais et ne consomme aucun carburant : en un an, $2{,}9$ km/s.

a) $\dfrac{1}{\lambda}=1{,}097\times 10^{7}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right)=1{,}524\times 10^{6}$ m⁻¹, donc $\lambda=656$ nm : la raie rouge H$\alpha$.

b) On essaie les valeurs successives : $n_{2}=4$ donne $486$ nm, $n_{2}=5$ donne $434$ nm, $n_{2}=6$ donne $\dfrac{1}{1{,}097\times 10^{7}(1/4-1/36)}=410$ nm. C'est la transition $6\rightarrow 2$.

c) Quand $n_{2}\to\infty$, $\dfrac{1}{n_{2}^{2}}\to 0$ : $\lambda_{lim}=\dfrac{4}{R_{H}}=3{,}65\times 10^{-7}$ m $=365$ nm, dans le proche ultraviolet. Aucune raie de Balmer n'a une longueur d'onde plus courte.

d) $\dfrac{1}{\lambda}=1{,}097\times 10^{7}\times\dfrac{3}{4}$, donc $\lambda=122$ nm, dans l'ULTRAVIOLET lointain. Toute la série de Lyman est invisible et arrêtée par l'atmosphère : on l'observe depuis l'espace.

e) Les niveaux d'énergie en $-\dfrac{1}{n^{2}}$ se rapprochent quand $n$ augmente. Les écarts avec le niveau $2$ tendent donc vers une valeur limite : les photons émis ont des énergies de plus en plus proches, et les raies s'accumulent près de la limite de $365$ nm.

a) $r_{3}=9\times 0{,}0529=0{,}476$ nm.

b) $v_{3}=\dfrac{2{,}19\times 10^{6}}{3}=7{,}30\times 10^{5}$ m/s.

c) $T=\dfrac{2\pi a_{0}}{v_{1}}=\dfrac{2\pi\times 5{,}29\times 10^{-11}}{2{,}19\times 10^{6}}=1{,}52\times 10^{-16}$ s. Soit une fréquence de $6{,}6\times 10^{15}$ Hz, du même ordre que celle de la lumière ultraviolette : c'est ce qui rendait le modèle plausible.

d) $\lambda=\dfrac{h}{m_{e}v_{1}}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}}{9{,}11\times 10^{-31}\times 2{,}19\times 10^{6}}=3{,}32\times 10^{-10}$ m, et $2\pi a_{0}=3{,}32\times 10^{-10}$ m. Égalité : l'orbite fondamentale contient exactement UNE longueur d'onde. En général $2\pi r_{n}=n\lambda_{n}$ est la condition de Bohr réécrite, $m_{e}vr=n\hbar$ équivaut à $2\pi r=n\dfrac{h}{m_{e}v}$ : l'électron est une onde stationnaire qui se referme sur elle-même, comme une corde vibrante refermée en anneau.

e) $r_{100}=10^{4}\times 0{,}0529$ nm $=529$ nm $=0{,}529$ µm, dix mille fois la taille d'un atome ordinaire, presque la taille d'une bactérie. Ces atomes géants, très sensibles aux champs électriques, servent aujourd'hui en optique quantique.

a) $E_{ion}=13{,}6\times 2^{2}=54{,}4$ eV. L'électron est attiré par une charge double, à une distance moitié : il est quatre fois plus lié.

b) $E_{ion}=13{,}6\times 9=122{,}4$ eV.

c) $\Delta E=54{,}4\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}\right)=54{,}4\times\dfrac{7}{144}=2{,}64$ eV.

d) $\lambda=\dfrac{1240}{2{,}644}=469$ nm, dans le BLEU. Cette raie de l'hélium ionisé, observée dans le Soleil et les étoiles chaudes, a d'abord été attribuée à tort à l'hydrogène. Attention : $4\rightarrow 3$ n'appartient à aucune série de l'hydrogène visible, c'est le facteur $Z^{2}=4$ qui ramène la raie dans le visible.

e) $r_{1}=\dfrac{a_{0}}{Z}$ : trois fois plus petit. L'énergie, elle, est multipliée par $Z^{2}=9$ : les deux effets, charge plus forte et distance plus courte, se combinent.

a) L'énergie cinétique acquise vaut $eV=\dfrac{p^{2}}{2m_{e}}$, donc $p=\sqrt{2m_{e}eV}$ et $\lambda=\dfrac{h}{p}$. Numériquement : $p=\sqrt{2\times 9{,}11\times 10^{-31}\times 1{,}60\times 10^{-19}\times 54}=3{,}97\times 10^{-24}$ kg·m/s et $\lambda=1{,}67\times 10^{-10}$ m $=0{,}167$ nm.

b) $\sin\theta=\dfrac{0{,}167}{0{,}215}=0{,}777$, donc $\theta=51°$. Davisson et Germer ont mesuré $50°$ : l'accord a établi la nature ondulatoire de l'électron.

c) $\lambda\propto\dfrac{1}{\sqrt{V}}$ : pour diviser $\lambda$ par $2$, il faut multiplier $V$ par $4$, soit $216$ V. L'erreur classique est de doubler la tension.

d) $\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m_{n}E}}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 1{,}675\times 10^{-27}\times 0{,}025\times 1{,}60\times 10^{-19}}}=1{,}81\times 10^{-10}$ m $=0{,}181$ nm.

e) La diffraction n'est marquée que si la longueur d'onde est du même ordre que l'espacement des obstacles. Les distances entre atomes valent quelques dixièmes de nanomètre : c'est justement la longueur d'onde de ces électrons et neutrons, alors que la lumière visible, de $400$ à $700$ nm, est mille fois trop grande.

a) Un électron ne peut céder au mieux que toute son énergie cinétique $eV=30{,}0$ keV à un seul photon : $\lambda_{min}=\dfrac{hc}{eV}=\dfrac{1240}{30\,000}=0{,}0413$ nm.

b) Parce que l'énergie est échangée par photons : un photon plus court aurait une énergie supérieure à celle de l'électron qui le produit, ce que la conservation de l'énergie interdit. La théorie ondulatoire classique ne prévoyait aucune coupure nette ; son existence est une preuve directe de la quantification.

c) $E=10{,}2\times 28^{2}=8{,}00\times 10^{3}$ eV $=8{,}00$ keV. C'est le facteur $(Z-1)$, et non $Z$, qui apparaît : l'électron qui descend en couche K « voit » le noyau écranté par l'électron qui y reste.

d) $\lambda=\dfrac{1240}{8000}=0{,}155$ nm, la raie utilisée dans les diffractomètres de laboratoire.

e) $E=\dfrac{1240}{0{,}194}=6{,}39\times 10^{3}$ eV, donc $(Z-1)^{2}=\dfrac{6392}{10{,}2}=627$, $Z-1=25{,}0$ et $Z=26$ : le FER. Moseley a ainsi ordonné les éléments par numéro atomique et prédit les éléments manquants du tableau périodique.

a) Tant que son énergie reste inférieure à $4{,}9$ eV, l'électron rebondit sur les atomes de mercure sans perdre d'énergie (chocs élastiques). Dès qu'il atteint $4{,}9$ eV, il peut céder cette énergie à un atome en le portant dans son premier état excité : il perd presque toute sa vitesse et ne franchit plus la grille de freinage, d'où la chute du courant.

b) L'atome excité revient au fondamental en émettant un photon de $4{,}9$ eV : $\lambda=\dfrac{1240}{4{,}9}=253$ nm, dans l'ultraviolet. C'est bien la raie observée, la même que celle des lampes germicides au mercure.

c) Un électron peut exciter un atome, se faire réaccélérer, en exciter un second, et ainsi de suite : chutes à $4{,}9$ V, $9{,}8$ V et $14{,}7$ V. L'écart constant entre les pics, et non la position du premier (décalée en pratique par la différence des travaux d'extraction des électrodes), mesure l'énergie d'excitation.

d) $v=\sqrt{\dfrac{2E}{m_{e}}}=\sqrt{\dfrac{2\times 4{,}9\times 1{,}60\times 10^{-19}}{9{,}11\times 10^{-31}}}=1{,}31\times 10^{6}$ m/s.

e) Elle montre que l'atome n'accepte de l'énergie que par paquets déterminés, même quand cette énergie vient d'un choc avec un électron : la quantification appartient à l'ATOME, pas seulement à la lumière. Et le photon émis a exactement l'énergie mesurée électriquement, ce qui relie les deux méthodes.

a) L'intensité fixe le NOMBRE de photons par seconde ; l'énergie de chaque photon ne dépend que de sa fréquence, $E=hf$. Un laser rouge puissant envoie beaucoup de photons de $1{,}9$ eV, une faible lampe ultraviolette peu de photons de $4$ eV.

b) C'est le modèle de Bohr, utile pour les énergies mais dépassé. La mécanique quantique ne donne pas de trajectoire : elle décrit l'électron par une onde dont le carré donne une PROBABILITÉ de présence, répartie en « orbitales » sans contour net. Le rayon de Bohr reste la distance la plus probable dans l'état fondamental.

c) L'absorption n'a lieu que pour les énergies égales à un écart entre niveaux : $10{,}2$ eV ($1\rightarrow 2$), $12{,}09$ eV ($1\rightarrow 3$), $12{,}75$ eV ($1\rightarrow 4$)... Au-dessus de $13{,}6$ eV, l'ionisation accepte toute énergie. Pour $12{,}75$ eV : $E_{n}=-13{,}6+12{,}75=-0{,}85$ eV, donc $n^{2}=\dfrac{13{,}6}{0{,}85}=16$ et $n=4$.

d) La lumière ne change pas de nature : c'est un objet quantique unique, dont la propagation se calcule comme une onde et dont les échanges d'énergie se font par quanta. Envoyée photon par photon dans des fentes de Young, elle frappe l'écran en impacts ponctuels qui dessinent, à la longue, la figure d'interférence : les deux aspects apparaissent dans la MÊME expérience.

e) Elles tombent aux MÊMES longueurs d'onde, parce qu'elles correspondent aux mêmes écarts entre niveaux d'énergie : le photon absorbé pour monter de $E_{1}$ à $E_{2}$ a l'énergie de celui qui est émis en redescendant. C'est ce qui permet d'identifier les éléments d'une étoile par les raies sombres de son spectre.

a) La longueur d'onde observée est plus GRANDE : décalage vers le rouge, la galaxie s'éloigne.

b) $v=c\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=3{,}00\times 10^{5}\times\dfrac{2{,}1}{656{,}3}=9{,}6\times 10^{2}$ km/s. On vérifie que $v\ll c$ ($0{,}3$ %) : la formule non relativiste est valable.

c) $d=\dfrac{v}{H_{0}}=\dfrac{960}{70}=13{,}7$ Mpc, environ $45$ millions d'années-lumière.

d) Le décalage RELATIF est le même pour toutes les raies : $\lambda=486{,}1\times\left(1+\dfrac{2{,}1}{656{,}3}\right)=487{,}7$ nm. Le décalage absolu, $1{,}6$ nm, est plus petit que celui de H$\alpha$ : c'est la signature d'un effet Doppler, et non d'une erreur de calibration qui décalerait tout de la même quantité.

e) Parce que TOUTES les raies de l'hydrogène (H$\alpha$, H$\beta$, H$\gamma$...) sont décalées du même facteur $1+\dfrac{v}{c}$ : le motif des rapports de longueurs d'onde fixé par les niveaux de Bohr est conservé. On reconnaît l'empreinte de l'élément, puis on mesure son décalage.

a) Aire de la pupille : $\pi\times(3{,}5\times 10^{-3})^{2}=3{,}85\times 10^{-5}$ m². Puissance : $P=1{,}0\times 10^{-11}\times 3{,}85\times 10^{-5}=3{,}85\times 10^{-16}$ W. Le RAYON est la moitié du diamètre.

b) $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{550\times 10^{-9}}=3{,}62\times 10^{-19}$ J.

c) $N=\dfrac{P}{E}=\dfrac{3{,}85\times 10^{-16}}{3{,}62\times 10^{-19}}=1{,}06\times 10^{3}$ photons/s.

d) $1{,}06\times 10^{3}\times 0{,}10\approx 106$ photons, dont une petite fraction seulement est absorbée par les bâtonnets.

e) Le cerveau n'annonce une lumière que si plusieurs bâtonnets voisins sont déclenchés dans le même intervalle de temps : c'est un filtre contre le « bruit » des déclenchements spontanés. Avec une dizaine de photons au plus par temps d'intégration, dont la plupart sont perdus, le seuil n'est plus franchi. La lumière reste granulaire à ce niveau : un détecteur plus sensible, comme une caméra à comptage de photons, la verrait arriver grain par grain.

a) $\lambda_{n}=\dfrac{2L}{n}$, donc $p_{n}=\dfrac{h}{\lambda_{n}}=\dfrac{nh}{2L}$ et $E_{n}=\dfrac{p_{n}^{2}}{2m_{e}}=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8m_{e}L^{2}}$. Pour $L=1{,}00\times 10^{-9}$ m : $E_{1}=\dfrac{(6{,}63\times 10^{-34})^{2}}{8\times 9{,}11\times 10^{-31}\times 10^{-18}}=6{,}03\times 10^{-20}$ J $=0{,}377$ eV. La quantification sort ici de la seule condition d'onde stationnaire, sans aucun postulat supplémentaire.

b) $E_{2}-E_{1}=(4-1)E_{1}=3\times 0{,}377=1{,}13$ eV.

c) $\lambda=\dfrac{1240}{1{,}131}=1{,}10\times 10^{3}$ nm, dans le proche infrarouge.

d) Pour $L=0{,}73$ nm, $E_{1}=\dfrac{0{,}377}{0{,}73^{2}}=0{,}707$ eV. Les $6$ électrons remplissent les niveaux $1$, $2$ et $3$ ; la transition $3\rightarrow 4$ coûte $(16-9)E_{1}=7\times 0{,}707=4{,}95$ eV, soit $\lambda=\dfrac{1240}{4{,}95}=250$ nm. La mesure donne $258$ nm : un modèle d'une ligne retrouve l'absorption d'une vraie molécule à $3$ % près. Plus la chaîne est longue, plus $L$ grandit et plus la couleur absorbée glisse vers le visible, d'où la couleur orange du carotène.

e) Le niveau $n=0$ donnerait $\lambda$ infinie, une onde sans nœud intérieur qui ne s'annule pas aux parois : c'est interdit. L'énergie minimale est $E_{1}>0$, l'« énergie de point zéro », qui croît quand $L$ diminue. C'est le principe d'incertitude à l'œuvre : confiner, c'est donner une quantité de mouvement.

a) $\dfrac{g_{2}}{g_{1}}=\dfrac{2\times 4}{2\times 1}=4$.

b) $kT=8{,}62\times 10^{-5}\times 5800=0{,}500$ eV, vingt fois moins que l'écart de $10{,}2$ eV.

c) $\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=4\,e^{-10{,}2/0{,}500}=4\,e^{-20{,}4}=5{,}5\times 10^{-9}$. Pas même un atome sur cent millions : le Soleil a pourtant des raies de Balmer visibles, parce que la colonne de gaz traversée contient un nombre d'atomes gigantesque.

d) $kT=0{,}862$ eV et $\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=4\,e^{-11{,}83}=2{,}9\times 10^{-5}$ : cinq mille fois plus qu'à $5800$ K, pour une température à peine doublée. L'exponentielle rend la population du niveau $2$ extraordinairement sensible à la température.

e) Au-delà de $10\,000$ K environ, l'hydrogène s'IONISE massivement : l'énergie d'ionisation n'est que $13{,}6$ eV, et les atomes qui ont perdu leur électron ne peuvent plus absorber de raie. La population au niveau $2$ passe donc par un maximum. C'est ainsi que Cecilia Payne a montré, en 1925, que les différences entre spectres stellaires tiennent à la température et non à la composition.

a) $\dfrac{B_{RJ}}{B_{P}}=\dfrac{2ckT}{\lambda^{4}}\cdot\dfrac{\lambda^{5}(e^{x}-1)}{2hc^{2}}=\dfrac{\lambda kT}{hc}(e^{x}-1)=\dfrac{e^{x}-1}{x}$.

b) $x=\dfrac{1{,}439\times 10^{-2}}{500\times 10^{-9}\times 5800}=4{,}96$.

c) $\dfrac{e^{4{,}96}-1}{4{,}96}=28{,}6$ : la physique classique surestime d'un facteur près de trente le rayonnement visible du Soleil.

d) $x=\dfrac{1{,}439\times 10^{-2}}{10\times 10^{-6}\times 5800}=0{,}248$ et $\dfrac{e^{0{,}248}-1}{0{,}248}=1{,}14$. Aux grandes longueurs d'onde, quand $x\ll 1$, $e^{x}-1\approx x$ et les deux lois se rejoignent : la théorie classique n'était fausse que du côté des courtes longueurs d'onde.

e) $B_{RJ}$ croît comme $\dfrac{1}{\lambda^{4}}$ et diverge quand $\lambda\to 0$ : la puissance totale serait infinie, c'est la « catastrophe ultraviolette ». Planck suppose que l'énergie d'un mode de fréquence $f$ ne s'échange que par quanta $hf$ : aux hautes fréquences, $hf\gg kT$, ces quanta sont trop coûteux pour être excités, le facteur $e^{-x}$ éteint le spectre.