Fiche de révision : le son et les ondes stationnaires (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

Intensité et décibels : une échelle qui n'additionne pas

• • Vitesse du son dans l'air : environ $343$ m/s à $20\,^{\circ}$C, et $v\approx 331+0{,}6\,T$ avec $T$ en degrés Celsius. Toujours $\lambda=\dfrac{v}{f}$.
• • Source ponctuelle : $I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}}$ en W/m$^{2}$, donc décroissance en $\dfrac{1}{r^{2}}$.
• • Niveau sonore : $\beta=10\log\dfrac{I}{I_{0}}$ avec $I_{0}=10^{-12}$ W/m$^{2}$. Les décibels ne s'additionnent JAMAIS : ce sont les intensités qui s'additionnent.
• • Deux règles qui dispensent de calculer : doubler l'intensité ajoute $3$ dB; doubler la distance retire $6$ dB.
• • $\Delta P_{max}=\rho v\omega s_{max}$ et $I=\dfrac{\Delta P_{max}^{2}}{2\rho v}$. Déplacement et pression sont en QUADRATURE : un nœud de déplacement est un ventre de pression.

Deux haut-parleurs de $60$ dB chacun donnent $63$ dB, pas $120$ dB. Pour gagner $10$ dB, il faut DIX fois plus de puissance, et c'est pourquoi un ampli deux fois plus puissant s'entend à peine.

Ondes stationnaires : tout se décide aux extrémités

• • Superposition : $A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$. L'espace et le temps sont SÉPARÉS : rien n'avance, et aucune énergie n'est transportée.
• • Les nœuds sont espacés de $\dfrac{\lambda}{2}$, jamais de $\lambda$; les ventres sont à mi-chemin entre deux nœuds.
• • Corde fixée aux deux bouts, ou tuyau OUVERT aux deux bouts : $L=n\dfrac{\lambda_{n}}{2}$, donc $f_{n}=n\dfrac{v}{2L}$, avec TOUS les entiers $n$.
• • Tuyau FERMÉ à une extrémité : nœud au bout fermé, ventre au bout ouvert, $L=n\dfrac{\lambda_{n}}{4}$ et $f_{n}=n\dfrac{v}{4L}$ avec $n$ IMPAIR seulement. Son fondamental est une octave plus bas que celui du tuyau ouvert de même longueur.
• • Réflexion INVERSÉE sur une extrémité fixe, non inversée sur une extrémité libre.

Un tuyau se traite en deux secondes : on regarde ses deux bouts, on place un nœud sur chaque bout fermé et un ventre sur chaque bout ouvert, et la longueur d'onde du fondamental se lit sur le dessin.

Corde vibrante : les modes propres

• • Une corde fixée à ses deux bouts porte un nœud à chaque extrémité : le mode $n$ compte $n$ ventres et $n+1$ nœuds, extrémités comprises.
• • $\lambda_{n}=\dfrac{2L}{n}$ et $f_{n}=n\dfrac{v}{2L}$, avec $v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : tendre la corde monte toutes ses fréquences propres.
• • Diviser la longueur vibrante par deux double le fondamental : c'est l'octave de la douzième frette.

Doppler, battements et onde de choc

• • Source mobile, observateur fixe : $f'=f\dfrac{v}{v\mp v_{s}}$, le signe moins à l'APPROCHE, ce qui monte la fréquence.
• • Observateur mobile, source fixe : $f'=f\dfrac{v\pm v_{o}}{v}$, le signe plus à l'approche. Les deux cas ne sont PAS symétriques : c'est l'air qui sert de référence.
• • Battements : deux sons voisins donnent une intensité qui pulse à $f_{batt}=|f_{1}-f_{2}|$, autour de la hauteur MOYENNE.
• • Interférence de deux sources en phase : constructive si la différence de marche vaut $n\lambda$, destructive si elle vaut $\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$; en champ lointain $\Delta=d\sin\theta$.
• • Régime supersonique : $M=\dfrac{v_{avion}}{v_{son}}$ et le cône de choc vérifie $\sin\theta=\dfrac{1}{M}$.

Le bang supersonique n'est pas un événement unique au franchissement de Mach 1 : le cône accompagne l'avion en permanence et balaie le sol tout au long de son vol.

Deux sources en phase : la différence de marche décide

• • En un point $P$, la différence de marche vaut $\Delta=|S_{2}P-S_{1}P|$ : pour deux sources en phase, elle décide seule.
• • Constructive si $\Delta=n\lambda$, destructive si $\Delta=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ ; loin des sources, $\Delta\approx d\sin\theta$.
• • Comme $\Delta\le d$, le nombre de minima est fini, et il n'y en a aucun si $\dfrac{\lambda}{2}>d$ : un caisson de basses ne crée pas de zone morte.