Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : le MHS et les ondes mécaniques (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

Le mouvement harmonique simple est le modèle le plus réutilisé de toute la physique : il décrit un ressort, un pendule, une molécule, un circuit LC. Sa signature est unique, une accélération proportionnelle et opposée au déplacement, et elle suffit à tout déduire.

Les ondes en sont le prolongement : un même mouvement harmonique, décalé dans le temps d'un point à l'autre. Cette fiche rassemble les erreurs qui coûtent le plus de points, à commencer par la confusion entre la vitesse de l'onde et celle du milieu.

Le fil du chapitre

Une onde a DEUX vitesses qui n'ont rien à voir l'une avec l'autre : celle du motif, imposée par le milieu, et celle d'un point du milieu, qui n'est qu'un mouvement harmonique. Et une période d'oscillateur ne dépend jamais de l'amplitude.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (16 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3, Mathématiques
2La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4, Mathématiques
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4, Mathématiques
4Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
5La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
7Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5, Mathématiques
8Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5, Mathématiques
9Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
10Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
11Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
12Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
13La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
14Cinématique en une et deux dimensionsMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
15Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
16Travail, énergie et puissanceMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

L'essentiel

La signature du MHS, et ses trois courbes

• Définition : $a=-\omega^{2}x$ . Toute force de rappel proportionnelle au déplacement donne un MHS, et rien d'autre n'en donne.
• $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ , $v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$ , $a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)$ .
• $v_{max}=A\omega$ au passage à l'ÉQUILIBRE, $a_{max}=A\omega^{2}$ aux EXTRÉMITÉS. Les deux ne se produisent jamais au même instant.
• Énergie totale constante : $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{max}^{2}$ , et à la position $x$ : $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$ .
• $\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}$ : la pulsation est en rad/s, la fréquence en Hz. Les confondre introduit un facteur $2\pi$ partout.

Les deux courbes sont en quadrature : chaque fois que l'une passe par un extremum, l'autre passe par zéro. Vitesse maximale et élongation maximale ne coexistent jamais.

Là où la vitesse est maximale, l'accélération est nulle, et inversement. C'est la façon la plus rapide de contrôler une réponse : on demande où se trouve le mobile, pas quelle formule appliquer.

Les périodes, et ce dont elles ne dépendent pas

• Masse-ressort : $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ et $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ . La période ne dépend PAS de l'amplitude : c'est l'isochronisme.
• Pendule simple, petits angles : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ . Ni la masse ni l'amplitude n'y figurent.
• Ressort VERTICAL : le poids ne fait que déplacer le centre des oscillations de $x_{eq}=\dfrac{mg}{k}$ ; la période reste $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ .
• Ressorts en PARALLÈLE : $k_{eq}=k_{1}+k_{2}$ . En SÉRIE : $\dfrac{1}{k_{eq}}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}$ . Couper un ressort en deux DOUBLE sa constante.
• Pendule physique : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}}$ . Pendule de torsion : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{\kappa}}$ , indépendant de la gravité.

Une seule de ces périodes dépend de $g$ : celle du pendule. Un ressort oscille exactement de la même façon sur la Lune, ce qui en fait l'instrument de mesure de masse des stations spatiales.

Les ondes : deux vitesses, une équation

• Vitesse de PROPAGATION sur une corde : $v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ , où $F$ est la tension et $\mu$ la masse linéique. C'est une propriété du MILIEU.
• La FRÉQUENCE vient de la SOURCE et ne change jamais en cours de route; c'est $\lambda=\dfrac{v}{f}$ qui s'ajuste au milieu.
• Onde progressive vers les $x$ positifs : $y(x;t)=A\sin(kx-\omega t)$ , avec $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ et $\omega=2\pi f$ ; $v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f$ . Le signe $+\omega t$ décrit une propagation vers les $x$ négatifs.
• Vitesse TRANSVERSALE d'un point du milieu : c'est un MHS, de maximum $A\omega$ , sans aucun rapport avec $v$ .
• Puissance transportée : $P=\dfrac{1}{2}\mu v\omega^{2}A^{2}$ , donc proportionnelle au CARRÉ de l'amplitude ET au carré de la fréquence. Source ponctuelle : $I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}}$ .

Sur une corde tendue à $50$ N de masse linéique $5{,}0$ g/m, l'onde file à $100$ m/s alors que chaque point ne bouge qu'à $6{,}3$ m/s. Ces deux nombres se lisent dans le même énoncé et ne se remplacent jamais.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la vitesse de l'onde et la vitesse d'un point du milieu

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'onde avance à $100$ m/s, donc chaque point de la corde se déplace à $100$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« La corde ne se déplace pas horizontalement du tout. Chaque point monte et descend à la vitesse d'un MHS, de maximum $v_{trans}=A\omega=0{,}020\times 314=6{,}3$ m/s. Seul le MOTIF avance à $100$ m/s. »

Le motif se déplace horizontalement à

v=\sqrt{F/\mu}

, mais chaque point du milieu ne se déplace que verticalement, à la vitesse d'un MHS. Rien n'avance le long de la corde, sauf la forme.

Pourquoi : C'est l'erreur conceptuelle centrale du chapitre : une onde transporte de l'énergie sans transporter de matière. Les deux vitesses n'ont même pas la même origine, l'une vient du milieu, l'autre de la source.

2. Faire dépendre la période de l'amplitude

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On lâche la masse de deux fois plus loin, donc elle met deux fois plus de temps à revenir. »

Ce qu'il faut écrire

« $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ ne contient pas $A$ : la période est INCHANGÉE. Le mobile part de plus loin, mais il va aussi plus vite, exactement dans la même proportion. »

Pourquoi : C'est l'isochronisme, la propriété qui fait des oscillateurs des horloges. Elle vaut pour le ressort à toute amplitude, et pour le pendule tant que les angles restent petits.

3. Changer la fréquence en changeant de milieu

3 points, et toute la question de raccordement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'onde passe sur une corde plus épaisse, elle ralentit, donc sa fréquence diminue. »

Ce qu'il faut écrire

« La fréquence est imposée par la SOURCE et traverse la jonction sans changer. C'est la longueur d'onde qui s'ajuste : $\lambda=\dfrac{v}{f}$ , donc elle diminue en même temps que $v$ . »

Pourquoi : Les deux morceaux de corde sont attachés : ils montent et descendent ensemble au point de jonction, donc au même rythme. Une fréquence différente de part et d'autre déchirerait la corde.

4. Diviser la raideur d'un ressort qu'on coupe en deux

3 points, et une période fausse d'un facteur $\sqrt{2}$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le ressort de $100$ N/m coupé en deux donne deux ressorts de $50$ N/m. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque moitié est DEUX FOIS plus raide : $k=200$ N/m. Pour un même allongement total, chaque moitié ne s'allonge que de la moitié, donc il faut deux fois plus de force pour la même déformation par spire. »

Pourquoi : La raideur est INVERSEMENT proportionnelle à la longueur, comme une résistance électrique l'est directement à la longueur du fil. C'est aussi pourquoi deux ressorts bout à bout, donc en série, sont plus mous que chacun d'eux.

5. Inverser les règles des ressorts en série et en parallèle

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux ressorts côte à côte, donc en parallèle : $\dfrac{1}{k_{eq}}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}$ , comme des résistances. »

Ce qu'il faut écrire

« En PARALLÈLE, les raideurs s'ADDITIONNENT, $k_{eq}=k_{1}+k_{2}$ : deux ressorts tirent ensemble, l'ensemble est plus raide. En SÉRIE, c'est la somme des inverses. »

Pourquoi : La raideur se comporte comme une CONDUCTANCE, pas comme une résistance : deux chemins en parallèle offrent plus de rappel. Le contrôle physique est immédiat, deux ressorts côte à côte sont forcément plus durs qu'un seul.

6. Faire changer la période par le poids sur un ressort vertical

3 points, souvent sur une question de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le ressort est vertical, donc le poids s'ajoute à la force de rappel et la période change. »

Ce qu'il faut écrire

« Le poids ne fait que DÉPLACER le centre des oscillations de $x_{eq}=\dfrac{mg}{k}$ . Autour de cette nouvelle position d'équilibre, la force de rappel reste $-kx$ et la période vaut toujours $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ . »

Pourquoi : Le poids est une force CONSTANTE : elle décale l'équilibre mais ne change ni la raideur ni la masse. C'est pourquoi $T=2\pi\sqrt{\dfrac{x_{eq}}{g}}$ permet de mesurer $g$ avec un simple ressort et une règle.

7. Croire que la puissance d'une onde suit l'amplitude

3 points, et un facteur 4 sur toute la fin du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On double l'amplitude, donc l'onde transporte deux fois plus d'énergie. »

Ce qu'il faut écrire

« $P=\dfrac{1}{2}\mu v\omega^{2}A^{2}$ : doubler l'amplitude QUADRUPLE la puissance. Doubler la fréquence la quadruple aussi. »

Pourquoi : L'énergie d'un oscillateur va comme le carré de son amplitude, $\dfrac{1}{2}kA^{2}$ , et une onde n'est qu'une file d'oscillateurs. Le même carré explique pourquoi l'intensité sonore chute si vite avec la distance.

8. Croire que l'amortissement change surtout la période

2 points sur la question de discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec du frottement, l'oscillateur est freiné, donc sa période augmente beaucoup. »

Ce qu'il faut écrire

« $\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$ : pour un amortissement faible, $\omega'$ est presque égale à $\omega_{0}$ . C'est l'AMPLITUDE qui s'effondre en $e^{-\gamma t}$ , bien avant que le rythme ne bouge. »

L'enveloppe s'écrase en exponentielle, mais les passages par zéro restent également espacés : l'amortissement mange l'amplitude bien avant de toucher au rythme.

Pourquoi : La pseudo-pulsation ne change notablement qu'à l'approche de l'amortissement critique $b_{c}=2\sqrt{km}$ . C'est pour cela qu'une horloge à balancier garde l'heure alors que son amplitude diminue.

Quelle méthode choisir

Quelle formule de période

Le dispositif décrit par l'énoncé, pas la grandeur demandée

Si masse au bout d'un ressort, horizontal ou vertical → $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ , quelle que soit l'amplitude et quelle que soit l'orientation

Exemple : $0{,}250$ kg sur $100$ N/m donne $0{,}314$ s
Si masse ponctuelle au bout d'un fil, petits angles → $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ , sans la masse

Exemple : un fil de $1{,}00$ m donne $2{,}01$ s
Si corps ÉTENDU oscillant autour d'un axe → pendule physique : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}}$ , avec $d$ de l'axe au centre de masse

Exemple : une tige suspendue par une extrémité
Si disque ou barre suspendu à un FIL DE TORSION → $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{\kappa}}$ , indépendant de $g$

Exemple : la balance de Cavendish
Si plusieurs ressorts → calculer $k_{eq}$ d'abord : somme en parallèle, somme des inverses en série

Exemple : un ressort coupé en deux vaut $2k$
Si l'énoncé mentionne un frottement ou une force extérieure périodique → amorti, $\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$ , ou forcé avec résonance en $\omega_{0}$

Exemple : amortissement critique pour $b=2\sqrt{km}$

Aucune de ces périodes ne contient l'amplitude, et une seule contient $g$ . Ces deux constats permettent d'éliminer la moitié des réponses d'un choix multiple sans faire un seul calcul.

Lire une équation d'onde

L'expression $y(x;t)=A\sin(kx-\omega t)$ telle qu'elle est écrite

Si on demande l'amplitude → c'est le facteur devant le sinus, avec son unité

Exemple : $y=0{,}020\sin(3{,}14x-314t)$ donne $A=2{,}0$ cm
Si on demande la longueur d'onde → $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$ , où $k$ est le coefficient de $x$

Exemple : $k=3{,}14$ rad/m donne $\lambda=2{,}0$ m
Si on demande la fréquence ou la période → $\omega$ est le coefficient de $t$ , puis $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$ et $T=\dfrac{1}{f}$

Exemple : $\omega=314$ rad/s donne $f=50$ Hz
Si on demande la vitesse de PROPAGATION → $v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f$ , c'est-à-dire le rapport des deux coefficients

Exemple : $\dfrac{314}{3{,}14}=100$ m/s
Si on demande le SENS de propagation → signe moins entre les deux termes : vers les $x$ positifs; signe plus : vers les $x$ négatifs

Exemple : $\sin(kx+\omega t)$ recule
Si on demande la vitesse d'un POINT du milieu → dériver par rapport au TEMPS : $v_{y}=-A\omega\cos(kx-\omega t)$ , de maximum $A\omega$

Exemple : $0{,}020\times 314=6{,}3$ m/s, sans rapport avec les $100$ m/s

Les deux dernières branches sont celles qui rapportent : le sens de propagation se lit sur un signe, et la vitesse transversale se dérive par rapport à $t$ , jamais par rapport à $x$ . Une dérivée par rapport à $x$ donnerait la pente de la corde.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Extraire toutes les grandeurs d'une équation d'onde

Quand l'utiliser : L'énoncé donne $y(x;t)$ et demande amplitude, longueur d'onde, fréquence, vitesse et sens.

1 Mettre l'expression sous la forme canonique $A\sin(kx\pm\omega t)$ , en factorisant si nécessaire pour isoler les coefficients de $x$ et de $t$ .
2 Lire les trois constantes une par une, avec leurs unités : $A$ en mètres, $k$ en rad/m, $\omega$ en rad/s.
3 Convertir : $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$ , $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$ , $T=\dfrac{1}{f}$ .
4 Calculer la vitesse de propagation comme le RAPPORT $\dfrac{\omega}{k}$ , et vérifier qu'elle redonne $\lambda f$ .
5 Annoncer le sens d'après le signe, puis, si on le demande, dériver par rapport au temps pour la vitesse transversale.

Phrase de conclusion

« Sous la forme $y=0{,}020\sin(3{,}14x-314t)$ , on lit $A=2{,}0$ cm, $k=3{,}14$ rad/m et $\omega=314$ rad/s, d'où $\lambda=2{,}0$ m, $f=50$ Hz et $v=\dfrac{\omega}{k}=100$ m/s vers les $x$ positifs. La vitesse maximale d'un point du milieu vaut $A\omega=6{,}3$ m/s. »

Le piège : Annoncer $v=\omega k$ ou $v=\lambda k$ . La vitesse est le RAPPORT des deux coefficients, ce que confirme immédiatement le contrôle d'unités, des rad/s divisés par des rad/m donnant des m/s.

Barème : En général 1 point par grandeur lue, 2 points pour la vitesse justifiée, 1 point pour le sens.

Résoudre un MHS par l'énergie

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une vitesse à une position donnée, ou une position pour une énergie donnée.

1 Écrire l'énergie totale à partir de l'amplitude : $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}$ , en précisant qu'elle est CONSTANTE tout au long du mouvement.
2 Écrire le partage à la position demandée : $E=\dfrac{1}{2}kx^{2}+\dfrac{1}{2}mv^{2}$ .
3 Isoler l'inconnue, ce qui donne $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$ pour une vitesse, ou $x=A\sqrt{1-\dfrac{E_{c}}{E}}$ pour une position.
4 Vérifier les deux cas limites : $x=0$ doit redonner $v_{max}=A\omega$ , et $x=A$ doit donner $v=0$ .

Phrase de conclusion

« L'énergie totale vaut $\dfrac{1}{2}kA^{2}=0{,}720$ J. À $x=6{,}00$ cm, l'énergie potentielle vaut $0{,}180$ J, donc l'énergie cinétique $0{,}540$ J et la vitesse $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=2{,}08$ m/s. »

Le piège : Chercher la vitesse par la cinématique, en calculant d'abord l'instant où le mobile passe en $x$ . L'énergie donne la réponse sans aucune fonction trigonométrique, et sans avoir à connaître la phase.

Barème : 1 point pour l'énergie totale, 2 pour le partage écrit, 2 pour l'isolement, 1 pour le contrôle des cas limites.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les deux vitesses distinguées sur la copie

Écrire à côté de chaque vitesse « du motif » ou « du point ». La première se calcule avec le milieu, la seconde avec $A\omega$ , et elles diffèrent en général d'un facteur dix ou plus.

Une vitesse transversale de $100$ m/s sur une corde de guitare : c'est la vitesse de l'onde qui a été recopiée.
L'absence d'amplitude dans les périodes

Relire la formule de période utilisée et vérifier que $A$ n'y figure pas. Toute réponse où la période varie avec l'amplitude est fausse au niveau du cours.

Une période doublée parce que l'amplitude a doublé : l'isochronisme l'interdit.
Le contrôle des cas limites en énergie

Vérifier que la formule obtenue donne $v_{max}$ en $x=0$ et $v=0$ en $x=A$ . Ces deux substitutions prennent cinq secondes et attrapent une erreur de signe sous la racine.

Un $v=\omega\sqrt{x^{2}-A^{2}}$ : la racine devient imaginaire, les deux termes ont été inversés.
Les unités de $k$ et de $\omega$

$k$ est en rad par MÈTRE, $\omega$ en rad par SECONDE. Leur rapport doit sortir en m/s, et leur produit n'a aucun sens physique.

Une vitesse de $986$ m/s obtenue par $\omega k$ : les unités seules disqualifient le résultat.
L'ordre de grandeur d'une période

Un ressort de laboratoire oscille en quelques dixièmes de seconde, un pendule d'un mètre en deux secondes. Une période de plusieurs minutes ou de quelques millisecondes signale une erreur d'unité sur $k$ ou sur $L$ .

Un pendule de $1$ m annoncé à $0{,}20$ s : il faudrait un fil de $1$ cm.

L'exercice type décortiqué

Un oscillateur complet, de la cinématique à l'énergie

Une masse $m=0{,}250$ kg est attachée à un ressort de constante $k=100$ N/m et oscille horizontalement sans frottement avec une amplitude $A=12{,}0$ cm.

Déterminer la pulsation, la période, la vitesse maximale et l'accélération maximale, puis l'énergie totale et la vitesse au point $x=6{,}00$ cm. Enfin, dire ce qui change si le même ressort est suspendu verticalement.

Les deux paraboles se complètent : leur somme est la droite horizontale de l'énergie totale. Elles se croisent en

x=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=8{,}49

cm, et non au milieu de l'amplitude.

Étape 1

Pulsation et période : $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{0{,}250}}=20{,}0$ rad/s, donc $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=0{,}314$ s et $f=3{,}18$ Hz.

Pourquoi

Ni l'amplitude ni la position initiale n'interviennent : la pulsation ne dépend que du couple masse-ressort. C'est ce qui permet de la calculer avant même de savoir comment le mouvement a été lancé.

Étape 2

Vitesse et accélération maximales : $v_{max}=A\omega=0{,}120\times 20{,}0=2{,}40$ m/s, atteinte en $x=0$ ; $a_{max}=A\omega^{2}=0{,}120\times 400=48{,}0$ m/s $^{2}$ , atteinte en $x=\pm A$ .

Pourquoi

Les deux maxima se produisent aux deux endroits OPPOSÉS du mouvement. Préciser où ils sont atteints fait partie de la réponse attendue, et évite de les additionner par erreur dans une question d'énergie.

Étape 3

Énergie totale : $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=\dfrac{1}{2}(100)(0{,}120)^{2}=0{,}720$ J. Contrôle : $\dfrac{1}{2}mv_{max}^{2}=\dfrac{1}{2}(0{,}250)(2{,}40)^{2}=0{,}720$ J.

Pourquoi

Les deux expressions doivent donner le même nombre puisque l'énergie est tout entière potentielle aux extrémités et tout entière cinétique au centre. C'est un contrôle gratuit, il utilise deux résultats déjà obtenus.

Étape 4

À $x=6{,}00$ cm : $E_{p}=\dfrac{1}{2}kx^{2}=0{,}180$ J, donc $E_{c}=0{,}720-0{,}180=0{,}540$ J et $v=\sqrt{\dfrac{2E_{c}}{m}}=2{,}08$ m/s.

Pourquoi

À la moitié de l'amplitude, l'énergie potentielle n'est que le QUART du total, puisqu'elle varie comme le carré. La vitesse y vaut donc encore $87\,\%$ de la vitesse maximale, ce qui surprend souvent.

Étape 5

Vérification par la formule directe : $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=20{,}0\sqrt{0{,}120^{2}-0{,}060^{2}}=20{,}0\times 0{,}1039=2{,}08$ m/s.

Pourquoi

On retrouve le même nombre par un chemin qui n'utilise ni la masse ni la constante du ressort : deux méthodes indépendantes qui concordent valident le résultat.

Étape 6

Où l'énergie se partage également : $\dfrac{1}{2}kx^{2}=\dfrac{E}{2}$ donne $x=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=8{,}49$ cm, et non $6{,}00$ cm.

Pourquoi

Le partage égal ne se produit pas au milieu de la course, parce que l'énergie potentielle est quadratique. C'est la question piège classique de ce chapitre.

Étape 7

Ressort vertical : le centre des oscillations descend de $x_{eq}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{(0{,}250)(9{,}8)}{100}=2{,}45$ cm, mais $\omega$ , $T$ , $v_{max}$ et $E$ restent EXACTEMENT les mêmes.

Pourquoi

Le poids est une force constante : il décale la position d'équilibre sans modifier la raideur ni la masse. La période s'écrit d'ailleurs alors $2\pi\sqrt{\dfrac{x_{eq}}{g}}$ , ce qui donne une mesure de $g$ avec une simple règle.

Conclusion rédigée

« L'oscillateur a une pulsation $\omega=20{,}0$ rad/s, donc une période $T=0{,}314$ s. Sa vitesse maximale vaut $2{,}40$ m/s au centre et son accélération maximale $48{,}0$ m/s $^{2}$ aux extrémités. Son énergie totale est de $0{,}720$ J, et à $x=6{,}00$ cm sa vitesse vaut encore $2{,}08$ m/s. Suspendu verticalement, le même ressort oscille de la même façon, autour d'un centre abaissé de $2{,}45$ cm. »

L'erreur classique sur cet exercice : Croire qu'à mi-amplitude l'énergie se partage moitié-moitié. L'énergie potentielle y vaut $\dfrac{1}{4}$ du total et non $\dfrac{1}{2}$ , parce qu'elle dépend du CARRÉ de la position.

À savoir par cœur

• Signature du MHS : $a=-\omega^{2}x$ , et rien d'autre ne donne un MHS.
• $v_{max}=A\omega$ au centre, $a_{max}=A\omega^{2}$ aux extrémités : jamais au même endroit.
• $E=\dfrac{1}{2}kA^{2}$ et $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$ .
• $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ et $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ : aucune ne contient l'amplitude.
• Ressorts : $k_{eq}=k_{1}+k_{2}$ en parallèle, somme des inverses en série; couper en deux DOUBLE $k$ .
• Ressort vertical : le poids décale l'équilibre de $\dfrac{mg}{k}$ , la période ne change pas.
• $v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ vient du MILIEU, $f$ vient de la SOURCE, et $\lambda=\dfrac{v}{f}$ s'ajuste.
• Dans $A\sin(kx-\omega t)$ : $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$ , $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$ , $v=\dfrac{\omega}{k}$ , et le signe moins veut dire vers la droite.
• Vitesse d'un point : $A\omega$ , sans aucun rapport avec la vitesse de l'onde.
• $P=\dfrac{1}{2}\mu v\omega^{2}A^{2}$ : le carré de l'amplitude ET le carré de la fréquence.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la vitesse d'une onde et la vitesse d'un point du milieu ?

La vitesse de l'onde est celle du motif qui se déplace, et elle ne dépend que du milieu, par exemple de la tension et de la masse par mètre d'une corde. La vitesse d'un point est celle de son va-et-vient, égale au produit de l'amplitude par la pulsation. Les deux sont souvent dans un rapport de dix ou plus.

La période d'un ressort dépend-elle de l'amplitude ?

Non, et c'est la propriété la plus utile du mouvement harmonique. La période ne dépend que de la masse et de la raideur. Lâcher la masse de deux fois plus loin lui donne simplement une vitesse deux fois plus grande, si bien que le trajet, deux fois plus long, se parcourt dans le même temps.

Que devient une onde qui passe sur une corde plus épaisse ?

Elle ralentit, car sa vitesse dépend de la masse par mètre du milieu, et sa longueur d'onde diminue dans la même proportion. Sa fréquence, en revanche, ne change pas du tout : elle est imposée par la source, et les deux morceaux de corde oscillent ensemble au point de jonction.

Que devient la raideur d'un ressort coupé en deux ?

Elle double. La raideur est inversement proportionnelle à la longueur : une moitié de ressort a moitié moins de spires pour absorber le même allongement, donc chaque spire travaille deux fois plus. C'est la même logique qui rend deux ressorts bout à bout plus souples que chacun d'eux.

Un ressort vertical oscille-t-il plus lentement qu'un ressort horizontal ?

Non, la période est exactement la même. Le poids est une force constante : il abaisse la position d'équilibre du rapport du poids à la raideur, mais autour de ce nouveau centre, la force de rappel reste proportionnelle au déplacement, avec la même constante.

Comment trouver la vitesse d'un oscillateur à une position donnée ?

Par l'énergie, sans passer par le temps. L'énergie totale, égale à la moitié de la raideur par le carré de l'amplitude, se partage en énergie potentielle et cinétique. On en déduit la vitesse, qui vaut la pulsation multipliée par la racine de la différence des carrés de l'amplitude et de la position.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : MHS et ondes mécaniques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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Le son et les ondes stationnaires L'optique ondulatoire

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