Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'optique ondulatoire (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

L'optique ondulatoire est la preuve que la lumière est une onde : elle contourne les obstacles, s'annule avec elle-même et se polarise. Les formules du chapitre sont courtes, mais elles se ressemblent au point de s'échanger sans qu'on s'en aperçoive.

Cette fiche rassemble les erreurs qui coûtent le plus en évaluation : la confusion entre les conditions de maxima et de minima, l'intuition inversée sur la largeur des taches, le déphasage de réflexion des films minces, et les deux pièges de la polarisation, la lumière naturelle et les trois polariseurs.

Le fil du chapitre

Deux phénomènes se ressemblent et n'ont pas la même formule : l'interférence compte des MAXIMA, la diffraction compte des MINIMA. Et sur un film mince s'ajoute une demi-longueur d'onde qui ne figure dans aucune donnée de l'énoncé.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (17 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4, Mathématiques
2La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5, Mathématiques
3Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
4Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5, Mathématiques
5Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
7Les caractéristiques des ondesSecondaire 5 SN5
8La réflexion et les miroirsSecondaire 5 SN5
9La réfraction de la lumièreSecondaire 5 SN5
10Les lentilles convergentesSecondaire 5 SN5
11Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
12Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
13Cinématique en une et deux dimensionsMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
14Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
15Travail, énergie et puissanceMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
16Optique géométrique et instruments
17MHS et ondes mécaniques

Notions couvertes

Différence de marche
Interférence constructive
Fentes de Young
Interfrange
Réseau de diffraction
Diffraction par une fente
Films minces
Déphasage à la réflexion
Anneaux de Newton
Loi de Malus
Angle de Brewster
Interféromètre de Michelson

L'essentiel

Interférence : des maxima. Diffraction : des minima

• Interférence constructive si la différence de marche vaut $\delta=m\lambda$ ; destructive si $\delta=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ .
• Fentes de Young, séparation $d$ , écran à la distance $L$ : franges brillantes en $y_{m}=\dfrac{m\lambda L}{d}$ , et interfrange $i=\dfrac{\lambda L}{d}$ .
• Réseau de $N$ traits par millimètre, de pas $d=\dfrac{1}{N}$ : maxima en $d\sin\theta_{m}=m\lambda$ , et le nombre d'ordres est limité par $\sin\theta\leq 1$ , donc $m_{max}=\left\lfloor\dfrac{d}{\lambda}\right\rfloor$ .
• Diffraction par une fente de largeur $a$ : $a\sin\theta=m\lambda$ donne les MINIMA, jamais les maxima. La tache centrale s'étend entre les deux premiers minima, sur une largeur $\dfrac{2\lambda L}{a}$ .
• Plus la fente est ÉTROITE, plus la tache est LARGE : $a$ est au dénominateur.

La tache centrale s'étend entre les deux PREMIERS MINIMA et vaut deux fois l'écart entre franges secondaires. Sa largeur est inversement proportionnelle à celle de la fente.

La même équation, $\delta=m\lambda$ ou $a\sin\theta=m\lambda$ , désigne un maximum dans un cas et un minimum dans l'autre. Écrire le mot « maxima » ou « minima » à côté de la formule au moment de la poser évite l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Films minces : compter les demi-longueurs d'onde

• Une réflexion sur un milieu PLUS réfringent ajoute un déphasage d'une demi-longueur d'onde. Sur un milieu MOINS réfringent, elle n'ajoute rien.
• Dans un film d'indice $n$ et d'épaisseur $t$ , en incidence quasi normale, la différence de marche optique vaut $2nt$ , à combiner avec les déphasages des DEUX réflexions.
• Si les deux réflexions se comportent pareil, les demi-longueurs d'onde s'annulent : destructif pour $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ . C'est le cas d'un antireflet.
• Si une seule réflexion déphase, comme pour une bulle de savon dans l'air : destructif pour $2nt=m\lambda$ , ce qui rend le film NOIR à épaisseur nulle.
• Coin d'air et anneaux de Newton : une frange correspond à une variation d'épaisseur de $\dfrac{\lambda}{2}$ , et les rayons valent $r_{m}=\sqrt{m\lambda R}$ .

Le contact noir d'une bulle qui s'amincit avant d'éclater est la preuve visible du déphasage : sans lui, une épaisseur nulle donnerait un maximum de lumière.

Polarisation

• Un polariseur ne transmet que la composante du champ parallèle à son axe.
• Lumière NATURELLE : la moitié passe, $I=\dfrac{I_{0}}{2}$ , sans aucun cosinus, quelle que soit l'orientation du polariseur.
• Lumière DÉJÀ polarisée, à l'angle $\theta$ de l'axe : loi de Malus, $I=I_{0}\cos^{2}\theta$ .
• Angle de Brewster : $\tan\theta_{B}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$ ; le rayon réfléchi y est totalement polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, donc horizontalement sur une surface horizontale.
• C'est pourquoi les lunettes polarisées ont un axe VERTICAL : elles bloquent les reflets horizontaux de la route et de l'eau.

Deux polariseurs croisés ne laissent rien passer, mais un troisième glissé ENTRE eux à $45^{\circ}$ rétablit $\dfrac{I_{0}}{8}$ . Ce n'est pas un paradoxe : chaque polariseur reprojette la lumière et lui donne une nouvelle direction.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre la condition de diffraction pour une condition de maxima

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fente donne des maxima en $a\sin\theta=m\lambda$ , comme un réseau. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour une fente unique, $a\sin\theta=m\lambda$ donne les MINIMA, avec $m=1;2;3\ldots$ et jamais $m=0$ . Le maximum central se trouve entre les deux premiers, en $\theta=0$ . »

Pourquoi : Les deux formules se ressemblent parce qu'elles comptent la même chose, une différence de marche, mais l'une compare deux fentes et l'autre compare les deux moitiés d'une même fente, qui s'annulent deux à deux.

2. Attendre une tache étroite d'une fente étroite

3 points, et une conclusion inversée dans la discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On rétrécit la fente, donc la tache lumineuse sur l'écran rétrécit aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La largeur de la tache centrale vaut $\dfrac{2\lambda L}{a}$ : $a$ est au DÉNOMINATEUR. Diviser la fente par deux DOUBLE la largeur de la tache. »

Pourquoi : C'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre, et le plus caractéristique d'une onde : plus on tente de la contraindre, plus elle s'étale. Le même principe fixe la limite de résolution des instruments.

3. Oublier le déphasage de réflexion dans un film mince

toute la question, 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour éteindre le reflet, il faut $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ , toujours. »

Ce qu'il faut écrire

« Tout dépend des DEUX réflexions. Sur un antireflet, les deux déphasent d'une demi-longueur d'onde et s'annulent : la condition destructive est bien $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ . Sur une bulle de savon dans l'air, une seule déphase : la condition destructive devient $2nt=m\lambda$ . »

Pourquoi : Le déphasage n'apparaît dans aucune donnée numérique de l'énoncé : il se déduit uniquement de l'ordre des indices. C'est pour cela qu'il s'oublie, et c'est pour cela qu'il faut le noter en premier.

4. Confondre la position d'une frange et l'interfrange

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La troisième frange brillante est à $i=\dfrac{\lambda L}{d}$ du centre. »

Ce qu'il faut écrire

« $i$ est l'ÉCART entre deux franges voisines; la troisième frange brillante est en $y_{3}=\dfrac{3\lambda L}{d}=3i$ . Avec $d=0{,}25$ mm, $L=2{,}0$ m et $\lambda=550$ nm, $i=4{,}4$ mm et $y_{3}=13{,}2$ mm. »

Pourquoi : L'interfrange est constant, ce qui rend le calcul de n'importe quelle frange immédiat une fois $i$ connu. Confondre les deux revient à diviser toutes les positions par leur rang.

5. Annoncer plus d'ordres qu'un réseau ne peut en donner

3 points, souvent la dernière question du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le réseau de $600$ traits/mm éclairé en $550$ nm donne les ordres $1$ à $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin\theta_{m}=\dfrac{m\lambda}{d}$ ne peut pas dépasser $1$ : avec $d=1{,}67$ µm, $m_{max}=\left\lfloor\dfrac{1{,}67}{0{,}550}\right\rfloor=3$ . Seuls les ordres $1$ , $2$ et $3$ existent. »

Pourquoi : Un sinus supérieur à $1$ n'est pas une erreur de calcul mais une information : cet ordre est diffracté au-delà de $90^{\circ}$ , donc il n'existe pas. Le même raisonnement sert pour la réflexion totale interne.

6. Appliquer la loi de Malus à de la lumière naturelle

3 points, et un facteur qui se traîne dans toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La lumière du Soleil arrive à $30^{\circ}$ de l'axe du polariseur, donc $I=I_{0}\cos^{2}30^{\circ}=0{,}75\,I_{0}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La lumière naturelle n'a pas de direction privilégiée : un angle n'a aucun sens pour elle. Le premier polariseur en transmet toujours la MOITIÉ, $I=\dfrac{I_{0}}{2}$ , et c'est seulement après lui que Malus s'applique. »

Pourquoi : Malus décrit la projection d'une direction sur une autre : elle suppose une direction de départ. La lumière naturelle est une superposition de toutes les directions, dont la moyenne des $\cos^{2}$ vaut exactement $\dfrac{1}{2}$ .

7. Croire qu'un polariseur de plus ne peut qu'assombrir

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux polariseurs croisés ne laissent rien passer; en ajouter un troisième au milieu ne changera rien, ou assombrira encore. »

Ce qu'il faut écrire

« Un troisième polariseur à $45^{\circ}$ entre les deux rétablit de la lumière : $\dfrac{I_{0}}{2}\times\cos^{2}45^{\circ}\times\cos^{2}45^{\circ}=\dfrac{I_{0}}{8}$ . Chaque polariseur REPROJETTE la lumière dans une nouvelle direction. »

Sans le polariseur du milieu, les deux extrêmes sont croisés et rien ne passe. Avec lui, la lumière est reprojetée à

45^{\circ}

et il en ressort le huitième de l'intensité naturelle.

Pourquoi : Un polariseur n'est pas un filtre qui retire des rayons : il projette le champ sur son axe. Après le deuxième, la lumière n'est plus verticale mais à $45^{\circ}$ , et elle possède donc une composante horizontale que le troisième peut transmettre.

8. Oublier le facteur 2 de l'interféromètre de Michelson

3 points, un facteur 2 sur la mesure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le miroir avance de $\Delta d$ , donc $\Delta d=N\lambda$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La lumière fait l'ALLER ET LE RETOUR sur ce bras : $2\Delta d=N\lambda$ . Pour $\Delta d=0{,}15$ mm et $\lambda=550$ nm, on compte $545$ franges, et non $273$ . »

Pourquoi : Le même facteur 2 se retrouve dans toutes les mesures par réflexion, du télémètre laser au sonar. Une cellule de gaz de longueur $L$ donne d'ailleurs $2L(n-1)=N\lambda$ , pour la même raison.

9. Oublier que le milieu raccourcit la longueur d'onde

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On plonge le dispositif de Young dans l'eau : l'interfrange ne change pas, puisque ni $d$ ni $L$ ne changent. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un milieu d'indice $n$ , la longueur d'onde devient $\dfrac{\lambda}{n}$ : l'interfrange rétrécit d'autant, $i'=\dfrac{i}{1{,}33}$ , soit $3{,}3$ mm au lieu de $4{,}4$ mm. »

Pourquoi : C'est la longueur d'onde DANS le milieu qui gouverne les interférences, et elle est divisée par l'indice alors que la fréquence, elle, ne change pas. Le même effet explique pourquoi un film mince se calcule avec $2nt$ et non $2t$ .

Quelle méthode choisir

Interférence ou diffraction, et que compte-t-on

Le nombre et la taille des ouvertures décrits par l'énoncé

Si DEUX fentes fines séparées de $d$ → interférence : maxima en $y_{m}=\dfrac{m\lambda L}{d}$ , interfrange $\dfrac{\lambda L}{d}$

Exemple : $d=0{,}25$ mm, $L=2{,}0$ m, $550$ nm : $i=4{,}4$ mm
Si BEAUCOUP de fentes, un réseau de $N$ traits par mm → maxima en $d\sin\theta=m\lambda$ avec $d=\dfrac{1}{N}$ , et $m$ limité par $\sin\theta\leq 1$

Exemple : $600$ traits/mm en $550$ nm : trois ordres au plus
Si UNE seule fente de largeur $a$ → diffraction : $a\sin\theta=m\lambda$ donne les MINIMA, tache centrale de largeur $\dfrac{2\lambda L}{a}$

Exemple : $a=0{,}10$ mm : tache de $22$ mm
Si deux fentes de largeur NON négligeable → les franges d'interférence sont modulées par l'enveloppe de diffraction, et les ordres multiples de $\dfrac{d}{a}$ sont MANQUANTS

Exemple : $\dfrac{d}{a}=4$ : les ordres $4$ , $8$ , $12$ disparaissent
Si une lame, un film, une bulle, un coin d'air → films minces : $2nt$ plus le bilan des déphasages de réflexion

Exemple : antireflet quart d'onde, contact noir d'un coin d'air
Si un miroir mobile, une cellule de gaz → Michelson : $2\Delta d=N\lambda$ ou $2L(n-1)=N\lambda$

Exemple : le facteur 2 vient de l'aller-retour

Un énoncé qui donne à la fois $d$ et $a$ annonce toujours les ordres manquants : c'est la seule raison pour laquelle il fournirait les deux. Repérer cette donnée en trop oriente la fin du problème avant même de commencer.

Films minces : établir la condition en trois lignes

L'ordre des indices des trois milieux traversés

Si l'indice AUGMENTE à la première interface → première réflexion déphasée d'une demi-longueur d'onde

Exemple : air vers film, toujours
Si l'indice AUGMENTE aussi à la deuxième interface → les deux déphasages s'annulent : destructif pour $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

Exemple : antireflet MgF $_{2}$ sur verre
Si l'indice DIMINUE à la deuxième interface → un seul déphasage : destructif pour $2nt=m\lambda$

Exemple : bulle de savon dans l'air, coin d'air
Si on demande l'épaisseur MINIMALE → prendre le plus petit $m$ qui donne $t>0$

Exemple : $m=0$ dans le premier cas donne $t=\dfrac{\lambda}{4n}$
Si on demande une couleur RENFORCÉE plutôt qu'éteinte → prendre la condition opposée, en échangeant $m\lambda$ et $\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

Exemple : les couleurs d'une flaque d'huile
Si le film est un COIN d'air ou une lentille posée → chaque frange correspond à $\Delta t=\dfrac{\lambda}{2}$ , et $r_{m}=\sqrt{m\lambda R}$ pour les anneaux

Exemple : compter les franges donne l'angle du coin

La toute première ligne d'un exercice de film mince doit être le bilan des déphasages, avant même d'écrire $2nt$ . Cette ligne vaut deux points et détermine toutes les suivantes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un problème de film mince, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé parle de traitement antireflet, de bulle de savon, de lame d'huile ou d'anneaux de Newton.

1 Lister les trois indices dans l'ordre de traversée, puis annoncer le déphasage de CHAQUE réflexion : une demi-longueur d'onde si l'indice augmente, rien s'il diminue.
2 Faire le bilan : si les deux réflexions se comportent de la même façon, les demi-longueurs d'onde s'annulent; sinon, il en reste une.
3 Écrire la différence de marche optique dans le film, $2nt$ , et la combiner avec le bilan précédent.
4 Poser la condition demandée, extinction ou renforcement, et isoler $t$ .
5 Choisir le plus petit $m$ qui donne une épaisseur strictement positive, et vérifier l'ordre de grandeur, quelques centaines de nanomètres.

Phrase de conclusion

« La réflexion air-fluorure déphase d'une demi-longueur d'onde, et la réflexion fluorure-verre également, puisque l'indice augmente aux deux interfaces : les deux déphasages s'annulent. L'extinction exige donc $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ , d'où pour $m=0$ l'épaisseur minimale $t=\dfrac{\lambda}{4n}=99{,}6$ nm. »

Le piège : Appliquer par réflexe la condition d'un cas déjà vu. Un antireflet et une bulle de savon ont des conditions OPPOSÉES, et seul le bilan des déphasages permet de savoir laquelle utiliser.

Barème : En général 2 points pour le bilan des déphasages, 2 pour la condition posée, 2 pour l'épaisseur, 1 pour le choix de $m$ justifié.

Mesurer une longueur d'onde avec des fentes de Young

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une figure d'interférence mesurée à la règle et demande la longueur d'onde.

1 Mesurer sur PLUSIEURS interfranges plutôt qu'un seul : relever la distance entre la frange $-5$ et la frange $+5$ , puis diviser par $10$ .
2 Écrire $i=\dfrac{\lambda L}{d}$ et isoler $\lambda=\dfrac{i\,d}{L}$ , en convertissant toutes les longueurs en mètres.
3 Vérifier que le résultat tombe dans le visible, entre $400$ et $700$ nm, sans quoi une conversion est fausse.
4 Si le dispositif est immergé, préciser que la longueur d'onde mesurée est celle DANS le milieu, et remonter à celle du vide en multipliant par $n$ .

Phrase de conclusion

« Dix interfranges couvrent $44{,}0$ mm, donc $i=4{,}40$ mm. Avec $d=0{,}250$ mm et $L=2{,}00$ m, $\lambda=\dfrac{i\,d}{L}=\dfrac{(4{,}40\times 10^{-3})(0{,}250\times 10^{-3})}{2{,}00}=550$ nm. »

Le piège : Mesurer un seul interfrange. L'incertitude de lecture, de l'ordre du demi-millimètre, représente alors plus de $10\,\%$ du résultat, contre $1\,\%$ si l'on mesure sur dix franges.

Barème : 1 point pour la mesure sur plusieurs franges, 2 pour la formule isolée, 1 pour les conversions, 1 pour le contrôle dans le visible.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le mot « maxima » ou « minima » écrit à côté de la formule

Relire chaque condition posée et vérifier qu'elle est étiquetée. Deux fentes donnent des maxima en $m\lambda$ , une fente donne des minima en $m\lambda$ .

Un $m=0$ utilisé dans une condition de diffraction : le rang zéro y est le maximum central, il n'existe pas comme minimum.
L'ordre de grandeur d'une épaisseur de film

Un film mince a une épaisseur de l'ordre du quart de la longueur d'onde, donc de $100$ à $300$ nm. Un résultat en micromètres ou en millimètres signale une puissance de dix perdue.

Une épaisseur de $99{,}6$ µm au lieu de $99{,}6$ nm : le film serait épais comme un cheveu.
Le sinus qui dépasse 1

Sur un réseau, calculer $\dfrac{m\lambda}{d}$ pour l'ordre annoncé le plus élevé : s'il dépasse $1$ , cet ordre n'existe pas et la réponse doit le dire.

Un ordre $4$ annoncé avec $\sin\theta=1{,}32$ : il faut conclure qu'il n'est pas observable.
Le facteur un demi de la lumière naturelle

Vérifier qu'un premier polariseur reçoit bien un facteur $\dfrac{1}{2}$ et non un cosinus carré, et que les suivants reçoivent bien Malus avec l'angle ENTRE les axes.

Un $\cos^{2}$ appliqué au premier polariseur : l'angle utilisé n'a aucune existence physique.
L'interfrange comparé à la mesure

Contrôler que l'interfrange calculé est de l'ordre du millimètre pour un montage de laboratoire. Un résultat en micromètres ou en centimètres signale une erreur sur $d$ ou sur $L$ .

Un $i=4{,}4$ µm : les millimètres de $d$ n'ont pas été convertis en mètres.

L'exercice type décortiqué

Le traitement antireflet, du déphasage à l'épaisseur

On dépose sur une lentille de verre d'indice $n_{v}=1{,}52$ une couche de fluorure de magnésium d'indice $n=1{,}38$ , afin d'éteindre par réflexion la lumière de longueur d'onde $\lambda=550$ nm au milieu du visible.

Déterminer l'épaisseur minimale de cette couche, puis dire ce que deviendrait la condition s'il s'agissait d'une bulle de savon d'indice $1{,}33$ entourée d'air.

L'indice augmente aux DEUX interfaces : les deux rayons réfléchis subissent le même demi-tour, qui s'annule dans la différence. Il ne reste que le chemin supplémentaire

2nt

parcouru dans le film.

Étape 1

Bilan des déphasages. Réflexion 1, à l'interface air-film : l'indice passe de $1{,}00$ à $1{,}38$ , il AUGMENTE, donc déphasage d'une demi-longueur d'onde. Réflexion 2, à l'interface film-verre : de $1{,}38$ à $1{,}52$ , il augmente encore, donc déphasage également.

Pourquoi

Cette ligne ne contient aucun calcul et vaut pourtant deux points : elle est entièrement déterminée par l'ordre des indices, une donnée que l'énoncé fournit sans jamais la commenter.

Étape 2

Les deux réflexions subissent le MÊME déphasage : dans la différence entre les deux rayons, les deux demi-longueurs d'onde se compensent et disparaissent.

Pourquoi

C'est le point décisif. Un antireflet sur du verre et une bulle de savon dans l'air n'ont pas le même bilan, et donc pas la même condition, alors que la géométrie est identique.

Étape 3

Différence de marche restante : le rayon 2 traverse deux fois l'épaisseur du film, dans un milieu d'indice $n$ , soit $\delta=2nt$ .

Pourquoi

C'est bien $2nt$ et non $2t$ : dans le film, la longueur d'onde vaut $\dfrac{\lambda}{n}$ , donc une même épaisseur y contient $n$ fois plus d'oscillations.

Étape 4

Condition d'extinction : $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ .

Pourquoi

On veut que les deux rayons s'annulent, donc une différence de marche d'un nombre DEMI-ENTIER de longueurs d'onde. Le bilan nul des déphasages permet d'écrire cette condition directement.

Étape 5

Épaisseur minimale, pour $m=0$ : $t=\dfrac{\lambda}{4n}=\dfrac{550}{4\times 1{,}38}=99{,}6$ nm.

Pourquoi

On reconnaît la couche « quart d'onde » : l'épaisseur optique $nt$ vaut exactement $\dfrac{\lambda}{4}$ , soit $137{,}5$ nm. C'est le nom que porte ce traitement dans l'industrie.

Étape 6

Contrôle : $2nt=2\times 1{,}38\times 99{,}6=275$ nm $=\dfrac{\lambda}{2}$ , ce qui est bien une demi-longueur d'onde.

Pourquoi

On vérifie la condition sur le nombre obtenu, et non sur la formule dont il sort : c'est la seule façon d'attraper une erreur de division par $4n$ .

Étape 7

Cas de la bulle de savon : air, film $n=1{,}33$ , air. L'indice augmente à la première interface mais DIMINUE à la seconde : il ne reste qu'un seul déphasage. La condition d'extinction devient $2nt=m\lambda$ , donc une épaisseur nulle éteint la lumière et la bulle devient NOIRE juste avant d'éclater.

Pourquoi

Le même dispositif, avec des indices dans un autre ordre, donne la condition opposée. C'est aussi une observation vérifiable à l'oeil, ce qui en fait la meilleure preuve du déphasage.

Conclusion rédigée

« Les deux réflexions déphasent de la même façon, donc leurs demi-longueurs d'onde s'annulent et l'extinction exige $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ . L'épaisseur minimale vaut $t=\dfrac{\lambda}{4n}=99{,}6$ nm, soit une épaisseur optique d'un quart de longueur d'onde. Pour une bulle de savon dans l'air, une seule réflexion déphase et la condition devient $2nt=m\lambda$ , ce qui rend le film noir à épaisseur nulle. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire directement $2nt=m\lambda$ pour l'antireflet, par analogie avec la bulle de savon. On trouve alors $t=\dfrac{\lambda}{2n}=199$ nm, une épaisseur qui RENFORCE le reflet au lieu de l'éteindre : le traitement transformerait la lentille en miroir.

À savoir par cœur

• Interférence : maxima en $\delta=m\lambda$ . Diffraction par une fente : MINIMA en $a\sin\theta=m\lambda$ .
• Young : $i=\dfrac{\lambda L}{d}$ et $y_{m}=m\,i$ .
• Réseau : $d\sin\theta=m\lambda$ avec $d=\dfrac{1}{N}$ , et $m$ limité par $\sin\theta\leq 1$ .
• Tache centrale de diffraction : largeur $\dfrac{2\lambda L}{a}$ , donc d'autant plus large que la fente est étroite.
• Réflexion sur un milieu plus réfringent : demi-longueur d'onde en plus. Sinon, rien.
• Film mince : $2nt$ , plus le bilan des deux déphasages. Antireflet : $2nt=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ ; bulle : $2nt=m\lambda$ .
• Dans un milieu d'indice $n$ , $\lambda$ devient $\dfrac{\lambda}{n}$ et l'interfrange rétrécit d'autant.
• Lumière naturelle : la moitié passe. Lumière polarisée : $I=I_{0}\cos^{2}\theta$ .
• Michelson : $2\Delta d=N\lambda$ , à cause de l'aller-retour.
• Brewster : $\tan\theta_{B}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$ , reflet polarisé horizontalement.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre interférence et diffraction ?

L'interférence vient de plusieurs ouvertures qui se superposent, et sa condition avec un nombre entier de longueurs d'onde donne des maxima. La diffraction vient d'une seule ouverture dont les moitiés s'annulent, et la même écriture y donne des minima. Confondre les deux revient à placer les taches lumineuses là où il fait noir.

Pourquoi une fente plus étroite donne-t-elle une tache plus large ?

Parce que la largeur de la tache centrale est proportionnelle à la longueur d'onde et inversement proportionnelle à la largeur de la fente. Plus on contraint l'onde dans l'espace, plus elle s'étale en sortant. C'est un comportement typiquement ondulatoire, et il fixe aussi la limite de résolution des instruments d'optique.

Pourquoi un traitement antireflet a-t-il une épaisseur d'un quart de longueur d'onde ?

Parce que la lumière traverse deux fois la couche, ce qui fait un demi-tour complet de retard, exactement ce qu'il faut pour annuler le premier rayon réfléchi. Les deux réflexions étant déphasées de la même façon, leurs demi-longueurs d'onde se compensent et il ne reste que ce trajet supplémentaire.

Pourquoi une bulle de savon devient-elle noire avant d'éclater ?

Parce qu'à épaisseur presque nulle, les deux rayons réfléchis n'ont plus de différence de chemin, mais le premier a subi un demi-tour que le second n'a pas subi. Ils s'annulent donc exactement, et le film ne renvoie plus aucune lumière. C'est la preuve visible du déphasage à la réflexion.

Que se passe-t-il si on glisse un troisième polariseur entre deux polariseurs croisés ?

De la lumière réapparaît, alors que rien ne passait avant. Le polariseur du milieu reprojette la lumière dans une direction intermédiaire, qui possède alors une composante le long du dernier axe. Avec un angle de quarante-cinq degrés, il ressort un huitième de l'intensité naturelle de départ.

Pourquoi les lunettes polarisées ont-elles un axe vertical ?

Parce que la lumière réfléchie par une surface horizontale, route mouillée ou plan d'eau, est polarisée horizontalement, surtout près de l'angle de Brewster. Un filtre d'axe vertical bloque donc précisément cette lumière, ce qui supprime l'éblouissement sans assombrir beaucoup le reste du paysage.

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Exercices corrigés : L'optique ondulatoire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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La physique moderne Physique quantique : photon, spectres de raies et dualité

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