Exercices corrigés : chaleur, température et transferts thermiques (203-SN3-RE)

a) $Q=mc\Delta T=1{,}50\times 4186\times 80{,}0=5{,}02\times 10^{5}$ J, soit $502$ kJ. La masse vient du volume : $1{,}50$ L d'eau pèsent $1{,}50$ kg.

b) $\Delta T=80{,}0$ K. Un écart de un degré Celsius vaut un écart de un kelvin : les deux échelles ne diffèrent que par leur zéro. On ne convertit en kelvins (en ajoutant $273{,}15$) que les températures elles-mêmes, jamais les écarts, et c'est une température absolue qu'exigeront les lois du rayonnement.

c) $t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{5{,}02\times 10^{5}}{2000}=251$ s, soit $4$ min $11$ s.

d) L'énergie électrique consommée est $2000\times 270=5{,}40\times 10^{5}$ J. Rendement : $\eta=\dfrac{5{,}02\times 10^{5}}{5{,}40\times 10^{5}}=0{,}930$, soit $93{,}0$ %. Les $7$ % restants chauffent la cuve, l'élément et l'air de la cuisine.

e) L'affirmation confond deux grandeurs. La TEMPÉRATURE est une grandeur d'état, liée à l'agitation moyenne des particules. L'ÉNERGIE THERMIQUE (énergie interne) est ce que l'eau possède, et elle est plus grande à $100$ °C. La CHALEUR, elle, n'est jamais contenue : c'est une énergie EN TRANSIT, échangée à cause d'une différence de température. On dira donc : l'eau à $100$ °C a une énergie thermique plus grande, et elle a reçu $502$ kJ de chaleur pour y arriver.

a) Dans une enceinte isolée, la somme des chaleurs échangées est nulle : $m_{Al}c_{Al}(T_{e}-95{,}0)+m_{e}c_{e}(T_{e}-18{,}0)=0$. D'où $T_{e}=\dfrac{m_{Al}c_{Al}\cdot 95{,}0+m_{e}c_{e}\cdot 18{,}0}{m_{Al}c_{Al}+m_{e}c_{e}}=\dfrac{225\times 95{,}0+1674{,}4\times 18{,}0}{225+1674{,}4}=27{,}1$ °C. Écrire chaque terme sous la forme $mc(T_{f}-T_{i})$, avec son signe, évite de se tromper sur qui cède et qui reçoit.

b) $Q_{Al}=225\times(27{,}1-95{,}0)=-1{,}53\times 10^{4}$ J : l'aluminium cède $15{,}3$ kJ, que l'eau reçoit.

c) La température réelle ($26{,}9$ °C) est plus basse que la prédiction ($27{,}1$ °C) : une partie de l'énergie cédée par l'aluminium n'a pas servi à chauffer l'eau. Le calorimètre, parti de $18{,}0$ °C, l'a ABSORBÉE en se réchauffant avec l'eau.

d) Bilan avec le calorimètre : $m_{Al}c_{Al}(95{,}0-26{,}9)=(m_{e}c_{e}+K)(26{,}9-18{,}0)$. Donc $K=\dfrac{225\times 68{,}1}{8{,}9}-1674{,}4=1721{,}6-1674{,}4=47$ J/K. Le calorimètre se comporte comme $11$ g d'eau supplémentaires : c'est sa « valeur en eau ». Remarquez la sensibilité : un écart de $0{,}2$ °C sur la lecture suffit à le faire apparaître.

e) Parce que les capacités thermiques ne sont pas comparables : l'eau a $m_{e}c_{e}=1674$ J/K, l'aluminium seulement $225$ J/K, plus de sept fois moins. La même énergie échangée produit donc une variation de température sept fois plus petite dans l'eau. C'est la capacité thermique massique élevée de l'eau qui en fait un si bon régulateur thermique.

a) En une heure, $Q=700\times 3600=2{,}52\times 10^{6}$ J. Masse évaporée : $m=\dfrac{Q}{L_{v}}=\dfrac{2{,}52\times 10^{6}}{2{,}42\times 10^{6}}=1{,}04$ kg. Un litre de sueur à l'heure est un ordre de grandeur réel en course par temps chaud, d'où l'importance de boire.

b) C'est le CHANGEMENT D'ÉTAT qui prélève l'énergie, pas la présence d'eau sur la peau. Une goutte qui tombe emporte l'eau sans l'avoir vaporisée, donc sans avoir pris les $2{,}42$ MJ/kg à la peau. Par temps très humide, l'air saturé bloque l'évaporation et le même phénomène coupe le refroidissement.

c) Vaporiser : $Q_{v}=1{,}00\times 2{,}26\times 10^{6}=2{,}26\times 10^{6}$ J. Chauffer : $Q_{c}=1{,}00\times 4186\times 80=3{,}35\times 10^{5}$ J. Rapport $\dfrac{2{,}26\times 10^{6}}{3{,}35\times 10^{5}}=6{,}75$. Faire bouillir une casserole à sec demande près de sept fois plus d'énergie que de l'amener à ébullition.

d) Deux étapes, qu'on ne fusionne jamais. Réchauffer la glace de $-10{,}0$ à $0$ °C : $1{,}00\times 2090\times 10{,}0=2{,}09\times 10^{4}$ J, avec la capacité thermique de la GLACE. Fondre : $1{,}00\times 3{,}33\times 10^{5}$ J. Total : $3{,}54\times 10^{5}$ J.

e) L'énergie reçue pendant la fusion sert à rompre les liaisons qui tiennent les molécules dans le réseau cristallin : elle augmente l'énergie potentielle d'interaction, pas l'agitation moyenne. La température, qui mesure cette agitation, reste donc constante sur tout le palier, tant qu'il reste de la glace.

a) $R=\dfrac{e}{kA}=\dfrac{4{,}0\times 10^{-3}}{0{,}80\times 1{,}20}=4{,}17\times 10^{-3}$ K/W. L'épaisseur doit être en mètres.

b) $\Phi=\dfrac{\Delta T}{R}=\dfrac{30}{4{,}17\times 10^{-3}}=7{,}2\times 10^{3}$ W. Plus de sept kilowatts pour une seule fenêtre : le résultat est absurde, et c'est un signal. Le verre, mince et assez conducteur, n'est pas ce qui limite le flux ; la question e) dira ce qui le limite.

c) Les couches sont traversées par le MÊME flux, l'une après l'autre : leurs résistances sont en SÉRIE et s'additionnent. $R_{air}=\dfrac{0{,}012}{0{,}026\times 1{,}20}=0{,}385$ K/W, donc $R_{t}=2\times 4{,}17\times 10^{-3}+0{,}385=0{,}393$ K/W. La lame d'air fournit $98$ % de la résistance.

d) $\Phi=\dfrac{30}{0{,}393}=76$ W, environ $94$ fois moins que le calcul b).

e) $R=4{,}17\times 10^{-3}+0{,}138=0{,}142$ K/W, et $\Phi=\dfrac{30}{0{,}142}=2{,}1\times 10^{2}$ W. Ce sont les films d'air immobiles sur chaque face, où la chaleur ne passe que par conduction dans un gaz, qui font l'essentiel de l'isolation d'un simple vitrage. Le verre, lui, n'y contribue presque pas.

a) $T=800+273=1073$ K. Dans toute loi de rayonnement, la température est ABSOLUE : $T^{4}$ en degrés Celsius n'a aucun sens physique.

b) $P=\varepsilon\sigma AT^{4}=0{,}90\times 5{,}67\times 10^{-8}\times 0{,}018\times 1073^{4}=1{,}22\times 10^{3}$ W.

c) La pièce rayonne aussi vers l'élément : $P_{net}=\varepsilon\sigma A\left(T^{4}-T_{p}^{4}\right)=1{,}21\times 10^{3}$ W. La correction est minuscule ici ($7$ W), parce que $293^{4}$ est $180$ fois plus petit que $1073^{4}$ ; elle devient décisive entre deux corps de températures voisines.

d) $\lambda_{max}=\dfrac{2{,}898\times 10^{-3}}{1073}=2{,}70\times 10^{-6}$ m $=2{,}70$ µm : dans l'INFRAROUGE. L'élément paraît rouge sombre parce que seule la queue de son spectre, du côté des courtes longueurs d'onde, déborde dans le visible.

e) $T^{4}=\dfrac{1000}{\varepsilon\sigma A}+T_{p}^{4}$, d'où $T=1023$ K, soit $750$ °C. Il suffit de perdre $50$ °C pour réduire la puissance de $18$ % : c'est la loi en $T^{4}$ ; près de $1000$ K, $\dfrac{\Delta P}{P}\approx 4\dfrac{\Delta T}{T}$.

a) $R_{is}=\dfrac{e}{kA}=\dfrac{0{,}140}{0{,}040\times 12{,}0}=0{,}292$ K/W.

b) $R_{g}=\dfrac{0{,}013}{0{,}17\times 12{,}0}=6{,}37\times 10^{-3}$ K/W et $R_{b}=\dfrac{0{,}090}{0{,}72\times 12{,}0}=1{,}04\times 10^{-2}$ K/W. Couches traversées l'une après l'autre par le même flux : en série, $R_{t}=0{,}00637+0{,}292+0{,}0104=0{,}308$ K/W.

c) $\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{t}}=\dfrac{39}{0{,}308}=126$ W. L'écart vaut $21-(-18)=39$ K : attention au double signe.

d) C'est l'analogue de la loi d'Ohm : chaque couche « consomme » un écart de température $\Phi R$. Traversée du gypse : $126\times 0{,}00637=0{,}81$ K, d'où $20{,}2$ °C. Traversée de l'isolant : $126\times 0{,}292=36{,}9$ K, d'où $20{,}2-36{,}9=-16{,}7$ °C à l'interface. On vérifie qu'il reste $1{,}3$ K pour la brique, qui ramène bien à $-18$ °C.

e) $\dfrac{0{,}292}{0{,}308}=0{,}946$ : $94{,}6$ % de la résistance, donc $94{,}6$ % de la chute de température, se jouent dans l'isolant. Conséquence pratique : presque tout le mur extérieur à l'isolant est à la température du dehors, et c'est du côté chaud de l'isolant qu'il faut placer le pare-vapeur, sinon la vapeur de la maison condense dans la laine froide.

a) L'équation est à variables séparables : $\dfrac{dT}{T-T_{a}}=-k\,dt$, donc $\ln|T-T_{a}|=-kt+C$ et $T(t)=T_{a}+(T_{0}-T_{a})e^{-kt}$. C'est l'ÉCART à l'air ambiant qui décroît exponentiellement, pas la température elle-même : on ne tend jamais vers $0$ °C mais vers $18$ °C.

b) Entre les deux mesures, $2$ h s'écoulent et l'écart passe de $11{,}0$ à $8{,}5$ K : $e^{-2k}=\dfrac{8{,}5}{11{,}0}$, donc $k=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{11{,}0}{8{,}5}=0{,}129$ h⁻¹.

c) Au décès l'écart valait $37{,}0-18{,}0=19{,}0$ K, à $23$ h il vaut $11{,}0$ K : $e^{-kt}=\dfrac{11{,}0}{19{,}0}$, donc $t=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{19{,}0}{11{,}0}=4{,}24$ h, soit $4$ h $14$ min. Le décès remonte à environ $18$ h $46$.

d) Deux heures après $1$ h $00$ : $T=18{,}0+8{,}5\,e^{-2k}=18{,}0+8{,}5\times\dfrac{8{,}5}{11{,}0}=24{,}6$ °C. Le rapport $\dfrac{8{,}5}{11{,}0}$ se répète toutes les deux heures : c'est la signature de l'exponentielle.

e) Parce que les hypothèses sont fausses au début : le corps ne se refroidit presque pas pendant la première heure (plateau post-mortem), les vêtements et la position changent $k$, et $k$ lui-même varie parce que le rayonnement et l'évaporation ne sont pas linéaires en $T-T_{a}$. L'estimation reste utile comme ordre de grandeur, avec une fourchette de plusieurs heures.

a) Le pull ne produit aucune énergie : il emprisonne de l'air immobile entre ses fibres et augmente la RÉSISTANCE thermique entre la peau et l'extérieur. C'est le corps qui chauffe ; le pull réduit le flux perdu. Posé sur un bloc de glace, le même pull ralentirait sa fonte.

b) À l'équilibre, les deux sont à la température de la pièce. La poignée PARAÎT plus froide parce que le métal, très conducteur et d'effusivité élevée, arrache la chaleur de la main bien plus vite que le bois : la main mesure un flux, pas une température.

c) C'est l'AIR CHAUD qui monte, par convection, parce qu'il est moins dense. La chaleur elle-même se propage dans toutes les directions par conduction et par rayonnement : un radiateur rayonne vers le sol autant que vers le plafond.

d) C'est l'inverse. Un corps noir ABSORBE tout le rayonnement qu'il reçoit ($\varepsilon=1$), et c'est justement pour cela qu'il est l'émetteur idéal : à une température donnée, aucun corps n'émet plus que lui. Il paraît noir à température ambiante seulement parce que son émission est alors dans l'infrarouge.

e) La loi de Stefan-Boltzmann porte sur la température ABSOLUE : $\dfrac{P_{2}}{P_{1}}=\left(\dfrac{313{,}15}{293{,}15}\right)^{4}=1{,}30$. La puissance augmente de $30$ %, pas de $100$ %. Pour la doubler, il faudrait $T=293{,}15\times 2^{1/4}=348{,}6$ K, soit $75$ °C.

a) La conduction et la convection ont besoin de matière : le vide les supprime entre les deux parois. Le rayonnement, lui, traverse le vide (c'est ainsi que nous parvient l'énergie du Soleil) : il faut une autre parade, l'argenture.

b) $\varepsilon_{eff}=\dfrac{1}{2/0{,}030-1}=0{,}0152$. $P=5{,}67\times 10^{-8}\times 0{,}060\times 0{,}0152\times\left(363^{4}-293^{4}\right)=0{,}52$ W.

c) $\varepsilon_{eff}=\dfrac{1}{2/0{,}90-1}=0{,}818$ et $P=27{,}8$ W, cinquante-quatre fois plus. L'argenture divise le rayonnement dans le rapport des émissivités effectives.

d) $\Phi=\dfrac{kA\,\Delta T}{e}=\dfrac{0{,}040\times 1{,}2\times 10^{-3}\times 70}{0{,}025}=0{,}134$ W. Le bouchon pèse le quart des pertes : une fois le vide et l'argent en place, c'est le goulot qui devient le maillon faible.

e) Énergie à perdre : $0{,}50\times 4186\times 30=6{,}28\times 10^{4}$ J. Pertes : $0{,}52+0{,}134=0{,}65$ W. Durée : $\dfrac{6{,}28\times 10^{4}}{0{,}65}=9{,}6\times 10^{4}$ s, environ $27$ h. C'est une borne optimiste dans son modèle (le col de verre conduit aussi, et les bouteilles réelles gardent chaud une douzaine d'heures) mais pessimiste sur un point : les pertes diminuent à mesure que le café refroidit.

a) $P_{c}=(UA)_{tot}\,\Delta T=(180+45)\times 45=1{,}01\times 10^{4}$ W. L'écart est $20-(-25)=45$ K.

b) Volume renouvelé par heure : $0{,}5\times 350=175$ m³, soit $175\times 1{,}20=210$ kg. Débit : $\dot m=\dfrac{210}{3600}=0{,}0583$ kg/s.

c) La ventilation est une CONVECTION forcée : de l'air à $-25$ °C remplace de l'air à $20$ °C. $P_{v}=\dot m\,c\,\Delta T=0{,}0583\times 1005\times 45=2{,}64\times 10^{3}$ W.

d) $P=10\,125+2638=1{,}28\times 10^{4}$ W. Sur $24$ h : $E=1{,}276\times 10^{4}\times 86\,400=1{,}10\times 10^{9}$ J, soit $\dfrac{1{,}10\times 10^{9}}{3{,}6\times 10^{6}}=306$ kWh.

e) Il ne reste que $25$ % des pertes de ventilation : $P=10\,125+0{,}25\times 2638=1{,}08\times 10^{4}$ W. Le gain ($2{,}0$ kW) est réel, mais l'enveloppe reste le poste dominant : c'est l'isolation, pas la ventilation, qui décide de la facture.

a) $e_{peau}=\sqrt{0{,}37\times 1000\times 3500}=1{,}14\times 10^{3}$ et $e_{cér}=\sqrt{1{,}3\times 2300\times 840}=1{,}58\times 10^{3}$ J/(m²·K·s$^{1/2}$). L'effusivité combine conduction et capacité : elle mesure la facilité avec laquelle un matériau AVALE un apport de chaleur à sa surface.

b) $T_{c}=\dfrac{1138\times 33+1585\times 20}{1138+1585}=25{,}4$ °C. La température de contact penche du côté du corps de plus grande effusivité : le carrelage « impose » presque sa température à la peau.

c) $e_{bois}=\sqrt{0{,}12\times 700\times 1700}=378$, donc $T_{c}=\dfrac{1138\times 33+378\times 20}{1516}=29{,}8$ °C.

d) $e_{tapis}=\sqrt{0{,}060\times 160\times 1300}=112$, donc $T_{c}=\dfrac{1138\times 33+112\times 20}{1250}=31{,}8$ °C, à peine plus d'un degré sous la peau.

e) Les récepteurs de la peau mesurent leur PROPRE température, donc le flux qui les refroidit, jamais celle du sol. Au contact du carrelage, la surface de la peau tombe de $33$ à $25$ °C : sensation de froid. Sur le tapis, elle ne perd que $1{,}2$ °C. Un thermomètre posé sur les trois sols lirait pourtant $20$ °C partout.

a) La même énergie par seconde traverse chaque cylindre, mais la surface $2\pi rL$ croît avec $r$ : la chaleur s'étale sur une aire plus grande. Le gradient $\left|\dfrac{dT}{dr}\right|=\dfrac{\Phi}{2\pi kLr}$ est donc fort près du tuyau et faible vers l'extérieur ; la température n'est pas une fonction affine de $r$ mais logarithmique.

b) $\dfrac{dT}{dr}=-\dfrac{\Phi}{2\pi kL}\cdot\dfrac{1}{r}$, qu'on intègre : $T_{1}-T_{2}=\dfrac{\Phi}{2\pi kL}\ln\dfrac{r_{2}}{r_{1}}$. Donc $R=\dfrac{\ln(3{,}6/1{,}1)}{2\pi\times 0{,}035\times 8{,}0}=\dfrac{1{,}186}{1{,}759}=0{,}674$ K/W. Le rapport des rayons s'écrit sans conversion, les unités s'annulent.

c) $\Phi=\dfrac{70-15}{0{,}674}=81{,}6$ W.

d) $R'=\dfrac{\ln(6{,}1/1{,}1)}{1{,}759}=0{,}974$ K/W et $\Phi'=\dfrac{55}{0{,}974}=56{,}5$ W.

e) $\dfrac{81{,}6}{56{,}5}=1{,}44$. Doubler l'épaisseur ne divise pas le flux par deux : la résistance croît comme le LOGARITHME du rayon, et la couche ajoutée, plus loin de l'axe, a une surface plus grande. Sur un mur plan, la même opération aurait presque divisé le flux par deux.

a) $A=\dfrac{\Phi}{h\,\Delta T}=\dfrac{65}{30\times 40}=5{,}42\times 10^{-2}$ m², soit $542$ cm².

b) Il manque $542-25=517$ cm², à raison de $2\times 5{,}0\times 3{,}0=30$ cm² par ailette : $\dfrac{517}{30}=17{,}2$. On arrondit AU-DESSUS : $18$ ailettes. Arrondir à $17$ ferait dépasser $75$ °C.

c) Les résistances sont en série sur le trajet de la chaleur : la pâte ajoute $\Delta T=\Phi R=65\times 0{,}20=13$ K, donc $T_{puce}=75+13=88$ °C.

d) $A=\dfrac{65}{60\times 40}=2{,}71\times 10^{-2}$ m² $=271$ cm² : doubler $h$ divise par deux la surface nécessaire. C'est tout l'intérêt de la convection FORCÉE.

e) Le long d'une ailette, la chaleur arrive par conduction depuis le socle tout en s'échappant par les faces : la température baisse de la base vers la pointe. Le bout d'une ailette mince ou longue est plus proche de $35$ °C que de $75$ °C et échange moins que prévu. On compense avec des ailettes en métal très conducteur (aluminium, cuivre) et assez courtes.

a) $M=\varepsilon\sigma T^{4}=0{,}10\times 5{,}67\times 10^{-8}\times 353^{4}=88$ W/m².

b) $(1-0{,}10)\times 5{,}67\times 10^{-8}\times 293^{4}=376$ W/m² : la casserole renvoie plus de rayonnement de la pièce qu'elle n'en émet elle-même. Elle se comporte presque comme un miroir infrarouge.

c) Le thermomètre résout $0{,}95\,\sigma T_{lue}^{4}+0{,}05\,\sigma T_{p}^{4}=88+376=464$ W/m². Donc $T_{lue}^{4}=\dfrac{464/\sigma-0{,}05\times 293^{4}}{0{,}95}$, d'où $T_{lue}=301$ K, soit $28$ °C. L'appareil affiche $28$ °C pour une casserole à $80$ °C, de quoi se brûler.

d) Le ruban a l'émissivité supposée par l'appareil : l'équation se résout exactement et donne $80$ °C. C'est la technique de terrain : un point de peinture mate ou de ruban noir sur la surface à mesurer.

e) Une faible émissivité veut dire une forte réflectivité : le signal propre de la casserole ($\varepsilon\sigma T^{4}$) est petit et noyé sous le reflet de la pièce. Le thermomètre, qui croit viser un corps presque noir, voit surtout le décor, et le décor est à $20$ °C.