Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les équations différentielles

Cette fiche ne réexplique pas ce qu'est une équation différentielle : vous le savez. Elle traite ce qui décide de la note à la dernière question de l'examen final, à savoir le traitement de la constante d'intégration, qui change de forme entre le logarithme et l'exponentielle, et la mise sous forme standard avant tout facteur intégrant.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver une FAMILLE de fonctions; une condition initiale en sélectionne une seule. Presque toutes les pertes de points viennent de la constante : perdue, ajoutée au mauvais moment, ou déterminée avant d'avoir fini la résolution.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Techniques d'intégration Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
2Primitives et intégrale indéfinie
3La décomposition des fractions rationnelles
4Techniques d'intégration

Notions couvertes

Équation différentielle
Solution générale
Solution particulière
Condition initiale
Séparation des variables
Équation linéaire du premier ordre
Facteur intégrant
Croissance exponentielle
Modèle logistique
Refroidissement de Newton

L'essentiel

Solution générale, solution particulière

• La solution GÉNÉRALE d'une équation du premier ordre contient UNE constante arbitraire : c'est une famille de courbes.
• Une CONDITION INITIALE $y(x_{0})=y_{0}$ sélectionne une seule courbe de cette famille.
• On détermine la constante APRÈS avoir écrit la solution générale complète, jamais avant.
• Vérifier une solution est immédiat : on la dérive et on la substitue dans l'équation.
• Une équation du second ordre a DEUX constantes, donc il faut deux conditions.

Quatre solutions de

y'=y

pour

C=-1

\frac{1}{2}

1

2

: la constante MULTIPLIE l'exponentielle, elle ne s'y ajoute pas, et une seule courbe passe par un point donné.

Les courbes de la famille ne se coupent jamais quand l'équation est de la forme $y'=f(x,y)$ avec $f$ régulière : par chaque point passe exactement une solution.

Séparation des variables, en cinq gestes

• Reconnaître la forme $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ , un PRODUIT d'une fonction de $x$ et d'une fonction de $y$ .
• Séparer : $\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$ , en notant les valeurs de $y$ qui annulent $h$ .
• Intégrer les deux membres, avec UNE seule constante, du côté des $x$ .
• Isoler $y$ , en transformant la constante quand elle traverse une exponentielle.
• Vérifier les solutions CONSTANTES perdues à l'étape 2, celles où $h(y)=0$ .

La constante change de nature en traversant l'exponentielle : $\ln\left|y\right|=x+C$ donne $y=\pm e^{C}e^{x}$ , que l'on réécrit $y=Ke^{x}$ avec $K$ de signe quelconque.

Équation linéaire et facteur intégrant

• Forme STANDARD obligatoire : $y'+P(x)y=Q(x)$ , avec le coefficient de $y'$ égal à $1$ .
• Facteur intégrant : $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ , sans constante d'intégration ici.
• Multiplier l'équation par $\mu$ rend le membre de gauche égal à $\left(\mu y\right)'$ .
• Il reste $\mu y=\int\mu Q\,dx+C$ , puis on divise par $\mu$ .
• Modèles usuels : $y'=ky$ donne $y=Ce^{kx}$ ; $y'=k(y-A)$ donne $y=A+Ce^{kx}$ ; le logistique $y'=ky\left(1-\frac{y}{K}\right)$ donne une courbe en S de plafond $K$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ajouter la constante au lieu de la multiplier

toute la question, la fonction obtenue n'étant pas solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln\left|y\right|=x+C$ , donc $y=e^{x}+C$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y=e^{x+C}=e^{C}e^{x}=Ke^{x}$ : la constante devient un FACTEUR. »

Pourquoi : L'exponentielle d'une somme est un produit, pas une somme. Vérification immédiate : $y=e^{x}+C$ donne $y'=e^{x}=y-C\neq y$ , alors que $y=Ke^{x}$ donne $y'=Ke^{x}=y$ ✓. Une seconde de dérivation élimine la fausse réponse.

2. Utiliser la condition initiale trop tôt

1 à 2 points, et souvent une expression impossible à simplifier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln\left|y\right|=x+C$ , et $y(0)=3$ donne $C=\ln 3$ , donc $\ln\left|y\right|=x+\ln 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« J'isole d'abord $y=Ke^{x}$ , PUIS $y(0)=3$ donne $K=3$ , donc $y=3e^{x}$ . »

Pourquoi : Déterminer la constante avant d'avoir isolé $y$ oblige à traîner un logarithme jusqu'au bout, et la constante y prend une forme inutilement compliquée. L'ordre est toujours le même : solution générale complète, puis condition initiale.

3. Perdre la solution constante en divisant

1 à 2 points, et la solution d'équilibre du modèle disparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{dy}{dx}=y(2-y)$ , je divise par $y(2-y)$ et j'intègre. »

Ce qu'il faut écrire

« Je note d'abord que $y=0$ et $y=2$ sont des solutions CONSTANTES, puis je divise sur les intervalles où $y\neq 0$ et $y\neq 2$ . »

Pourquoi : Diviser par une expression qui peut s'annuler fait disparaître les solutions correspondantes. Dans un modèle logistique, $y=K$ est l'état d'équilibre, c'est-à-dire la réponse à la question « que devient la population à long terme ». La perdre, c'est perdre l'interprétation.

4. Appliquer le facteur intégrant sans forme standard

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $xy'+2y=x^{3}$ : je prends $\mu=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je divise d'abord par $x$ : $y'+\frac{2}{x}y=x^{2}$ , donc $P(x)=\frac{2}{x}$ et $\mu=e^{2\ln\left|x\right|}=x^{2}$ . »

Pourquoi : La formule du facteur intégrant suppose le coefficient de $y'$ égal à $1$ . Sans cette mise en forme, $P$ est faux et tout le reste s'écroule. Le contrôle : après multiplication par $\mu$ , le membre de gauche doit être exactement la dérivée de $\mu y$ .

5. Ajouter une constante au facteur intégrant

du temps perdu, et parfois une erreur d'algèbre

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mu(x)=e^{\int P\,dx+C}$

Ce qu'il faut écrire

$\mu(x)=e^{\int P\,dx}$ , sans constante : n'importe quel facteur intégrant convient, on prend le plus simple.

Pourquoi : Une constante multiplicative dans $\mu$ se simplifie de part et d'autre de l'équation : elle ne sert à rien. La seule constante qui compte est celle de l'intégration FINALE, celle qui engendre la famille de solutions.

6. Supprimer la valeur absolue sans discussion

1 point, et la moitié des solutions disparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln\left|y\right|=x+C$ donne $\ln y=x+C$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left|y\right|=e^{C}e^{x}$ , donc $y=\pm e^{C}e^{x}$ , que l'on écrit $y=Ke^{x}$ avec $K$ réel quelconque, éventuellement négatif. »

Pourquoi : Sans le $\pm$ , on perd toutes les solutions négatives, dont celles qui correspondent à une condition initiale négative. Le passage par $K$ de signe quelconque règle la question une fois pour toutes, et il faut l'écrire, pas le sous-entendre.

7. Confondre croissance exponentielle et logistique

toute la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population croît proportionnellement à sa taille, donc elle tend vers l'infini. »

Ce qu'il faut écrire

« Le modèle LOGISTIQUE $y'=ky\left(1-\frac{y}{K}\right)$ freine à l'approche de $K$ : la population tend vers $K$ , pas vers l'infini. »

Les deux courbes partent ensemble, puis la logistique s'infléchit et se colle à son plafond

K=10

pendant que l'exponentielle continue de monter : seul le long terme les distingue.

Pourquoi : Les deux modèles coïncident au début, quand $y$ est petit devant $K$ , ce qui les rend indiscernables sur les premières données. C'est le comportement à long terme qui les sépare, et c'est précisément ce que l'énoncé demande d'interpréter.

8. Ne pas vérifier la solution trouvée

variable, mais c'est la vérification la moins chère de toute la session

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai isolé $y$ , j'ai fini. »

Ce qu'il faut écrire

« Je dérive ma solution et je la substitue dans l'équation de départ, puis je vérifie la condition initiale. »

Pourquoi : Contrairement à la plupart des chapitres, une équation différentielle se vérifie complètement en trente secondes : on dérive, on substitue, on compare. Une copie qui ne le fait pas rend des erreurs de signe que le calcul ne révèle jamais.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme de l'équation

On met l'équation sous une forme reconnaissable avant tout calcul. Deux méthodes suffisent au programme du cégep.

Si l'équation s'écrit $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ , un produit → SÉPARATION des variables, sans oublier les solutions constantes

Exemple : $\frac{dy}{dx}=xy$ donne $\frac{dy}{y}=x\,dx$
Si l'équation s'écrit $y'+P(x)y=Q(x)$ après division → FACTEUR INTÉGRANT $\mu=e^{\int P}$

Exemple : $y'+\frac{2}{x}y=x^{2}$ donne $\mu=x^{2}$
Si l'équation est $y'=ky$ → croissance ou décroissance EXPONENTIELLE : $y=Ce^{kx}$ , directement

Exemple : désintégration radioactive, intérêts composés continus
Si l'équation est $y'=k(y-A)$ avec $A$ constant → $y=A+Ce^{kx}$ : c'est le refroidissement de Newton, $A$ étant la température ambiante

Exemple : un café qui refroidit dans une pièce à $20$ degrés
Si l'équation est $y'=ky\left(1-\frac{y}{K}\right)$ → modèle LOGISTIQUE : séparation puis fractions partielles, plafond $K$

Exemple : une population limitée par ses ressources

Une équation qui n'entre dans aucune de ces formes après mise en ordre n'est pas au programme : c'est le signe qu'une manipulation algébrique manque.

Que faire de la constante, étape par étape

La constante change de forme trois fois au cours d'une résolution, et chaque transformation est un piège.

Si on vient d'intégrer les deux membres → UNE seule constante, du côté des $x$

Exemple : $\ln\left|y\right|=\frac{x^{2}}{2}+C$
Si on applique l'exponentielle → la constante devient un FACTEUR : $e^{C}$ , renommé $K$

Exemple : $\left|y\right|=e^{C}e^{x^{2}/2}$
Si on supprime la valeur absolue → $K$ devient de SIGNE QUELCONQUE, et $K=0$ redonne la solution constante nulle

Exemple : $y=Ke^{x^{2}/2}$ pour tout réel $K$
Si on dispose d'une condition initiale → substituer et résoudre en $K$ , seulement à ce moment

Exemple : $y(0)=3$ donne $K=3$

La valeur $K=0$ récupère souvent la solution constante perdue lors de la division : c'est le contrôle qui clôt proprement la question.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une séparation des variables, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute équation de la forme $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ .

1 Repérer et ANNONCER les solutions constantes : « $h(y)=0$ pour $y=0$ , qui est solution. »
2 Séparer les variables en écrivant les différentielles des deux côtés.
3 Intégrer, avec une seule constante, et garder la valeur absolue dans le logarithme.
4 Isoler $y$ , en transformant la constante à chaque passage par l'exponentielle.
5 Appliquer la condition initiale, puis VÉRIFIER en dérivant.

Phrase de conclusion

La solution générale est $y=Ke^{x^{2}/2}$ pour $K$ réel quelconque, et la condition $y(0)=3$ donne $y=3e^{x^{2}/2}$ .

Le piège : Écrire une constante de chaque côté. Une seule suffit : $C_{1}$ et $C_{2}$ se regroupent immédiatement en $C=C_{2}-C_{1}$ , et en garder deux fait croire qu'on n'a pas compris ce qu'est une famille de solutions.

Barème : En général 1 point pour les solutions constantes, 1 point pour la séparation, 2 points pour l'intégration et l'isolement, 1 point pour la condition initiale.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Dériver la solution et la substituer

Calculer $y'$ à partir de la solution trouvée, puis remplacer $y$ et $y'$ dans l'équation de départ : les deux membres doivent coïncider identiquement.

$y=3e^{x}$ donne $y'=3e^{x}=y$ ✓, alors que $y=e^{x}+3$ donne $y'=e^{x}=y-3\neq y$ .
Vérifier la condition initiale

Substituer $x_{0}$ dans la solution particulière : on doit retrouver exactement $y_{0}$ .

$y(0)=3e^{0}=3$ ✓. Une valeur différente signale une erreur dans la détermination de la constante.
Contrôler le comportement à long terme

Faire tendre $x$ vers l'infini et vérifier que le résultat correspond au sens physique du problème.

Un café doit tendre vers la température ambiante : $T(t)=20+70e^{-kt}\to 20$ ✓. Une limite nulle ou infinie signalerait un modèle mal posé.
Retrouver les solutions constantes dans la famille

Donner à la constante la valeur $0$ et vérifier qu'on retombe sur la solution d'équilibre perdue lors de la division.

$y=Ke^{x}$ avec $K=0$ donne $y=0$ , qui est bien solution de $y'=y$ ✓.
Contrôler les unités et l'ordre de grandeur

Dans un problème appliqué, vérifier que la constante de temps et les valeurs obtenues ont un sens : une décroissance qui met un siècle pour un café est absurde.

$k=0{,}0336$ par minute donne une demi-vie d'environ $20$ minutes ✓, cohérent avec un café qui refroidit.

L'exercice type décortiqué

Le refroidissement de Newton, du modèle à la prédiction

Un café à $90$ degrés est posé dans une pièce à $20$ degrés. Au bout de $10$ minutes, il est à $70$ degrés.

Quelle sera sa température au bout de $30$ minutes ?

La courbe part de

90

degrés et se rapproche de la droite

y=20

sans jamais la franchir : c'est l'ÉCART à la température ambiante qui décroît exponentiellement, pas la température elle-même.

Étape 1

Modèle : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec l'ambiante, donc $\frac{dT}{dt}=-k\left(T-20\right)$ avec $k>0$ .

Pourquoi

C'est l'ÉCART qui pilote le refroidissement, pas la température absolue : un café à $21$ degrés dans une pièce à $20$ ne refroidit presque plus. Écrire $\frac{dT}{dt}=-kT$ serait le modèle d'un café qui tendrait vers le zéro absolu.

Étape 2

Séparation : $T=20$ est solution constante; ailleurs, $\frac{dT}{T-20}=-k\,dt$ , donc $\ln\left|T-20\right|=-kt+C$ .

Pourquoi

La solution constante $T=20$ est notée avant de diviser : c'est la température d'équilibre, et elle sera récupérée par $K=0$ à la fin. La valeur absolue est conservée, elle disparaîtra proprement à l'étape suivante.

Étape 3

Exponentielle : $\left|T-20\right|=e^{C}e^{-kt}$ , donc $T-20=Ke^{-kt}$ avec $K$ de signe quelconque, et $T(t)=20+Ke^{-kt}$ .

Pourquoi

La constante devient un facteur, puis de signe quelconque : les deux transformations en une ligne. La forme obtenue est celle annoncée par l'arbre pour $y'=k(y-A)$ , ce qui confirme la cohérence.

Étape 4

Conditions : $T(0)=90$ donne $20+K=90$ , soit $K=70$ . Puis $T(10)=70$ donne $20+70e^{-10k}=70$ , soit $e^{-10k}=\frac{5}{7}$ et $k=\frac{\ln\frac{7}{5}}{10}\approx 0{,}0336$ par minute.

Pourquoi

Deux conditions pour deux inconnues, $K$ et $k$ , appliquées dans l'ordre : la plus simple d'abord. On garde $\frac{5}{7}$ en fraction exacte, ce qui rendra le calcul final immédiat.

Étape 5

$T(30)=20+70e^{-30k}=20+70\left(e^{-10k}\right)^{3}=20+70\left(\frac{5}{7}\right)^{3}=20+70\cdot\frac{125}{343}=20+\frac{8750}{343}\approx 45{,}5$ degrés.

Pourquoi

$30$ minutes valent trois fois $10$ minutes, donc l'exponentielle est le CUBE de celle déjà connue. Ce raccourci évite de manipuler la valeur décimale de $k$ et donne une réponse exacte en fraction.

Étape 6

Contrôles : $T$ décroît ✓, reste au-dessus de $20$ ✓, et tend vers $20$ quand $t\to+\infty$ ✓. La suite $90$ , $70$ , $55{,}7$ , $45{,}5$ aux temps $0$ , $10$ , $20$ , $30$ montre des écarts $70$ , $50$ , $35{,}7$ , $25{,}5$ dont le rapport est constant et vaut $\frac{5}{7}$ ✓.

Pourquoi

Le rapport constant des ÉCARTS sur des intervalles égaux est la signature d'une décroissance exponentielle : c'est le contrôle le plus parlant du chapitre, et il ne demande aucun calcul supplémentaire.

Conclusion rédigée

La température suit $T(t)=20+70e^{-kt}$ avec $k=\frac{\ln\frac{7}{5}}{10}\approx 0{,}0336$ par minute; au bout de $30$ minutes, le café est à $20+70\left(\frac{5}{7}\right)^{3}\approx 45{,}5$ degrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Poser $\frac{dT}{dt}=-kT$ en oubliant l'ambiante. La solution serait $T=90e^{-kt}$ , qui tend vers $0$ degré : le café gèlerait, ce qu'aucune pièce à $20$ degrés ne permet.

À savoir par cœur

• La solution générale contient UNE constante par ordre de l'équation : c'est une famille.
• Condition initiale APRÈS avoir isolé $y$ , jamais avant.
• $\ln\left|y\right|=x+C$ donne $y=Ke^{x}$ : la constante devient un FACTEUR de signe quelconque.
• Séparation : noter les solutions constantes AVANT de diviser, et les récupérer par $K=0$ .
• Facteur intégrant : mettre sous forme $y'+Py=Q$ d'abord, puis $\mu=e^{\int P}$ , sans constante.
• $y'=ky$ donne $Ce^{kx}$ ; $y'=k(y-A)$ donne $A+Ce^{kx}$ ; le logistique plafonne à $K$ .
• Refroidissement : c'est l'ÉCART à l'ambiante qui décroît exponentiellement.
• Vérification en trente secondes : dériver, substituer, contrôler la condition initiale.

Questions fréquentes

Pourquoi la solution d'une équation différentielle contient-elle une constante ?

Parce que l'équation ne contraint que la dérivée, et qu'une infinité de fonctions ont la même dérivée à une constante près. La solution générale est donc une famille de courbes. Une condition initiale, qui impose la valeur en un point, en sélectionne exactement une.

Pourquoi la constante devient-elle un facteur après l'exponentielle ?

Parce que l'exponentielle d'une somme est un produit d'exponentielles. Le logarithme de la valeur absolue de y égale x plus C donne donc la valeur absolue de y égale e puissance C multiplié par e puissance x. On renomme ce facteur K, de signe quelconque une fois la valeur absolue levée.

Quand utiliser la séparation des variables et quand le facteur intégrant ?

La séparation s'applique quand l'équation s'écrit comme un produit d'une fonction de x et d'une fonction de y. Le facteur intégrant s'applique aux équations linéaires du premier ordre, de la forme y prime plus P de x fois y égale Q de x, après division pour que le coefficient de y prime vaille un.

Pourquoi faut-il noter les solutions constantes avant de séparer ?

Parce que la séparation exige de diviser par une expression en y, et cette division fait disparaître les valeurs qui l'annulent. Ces valeurs sont exactement les solutions constantes, souvent les états d'équilibre du modèle, donc la réponse à la question sur le comportement à long terme.

Quelle est la différence entre croissance exponentielle et logistique ?

L'exponentielle croît sans limite, la logistique freine en approchant d'un plafond appelé capacité limite. Les deux courbes sont presque identiques au début, quand la population est petite devant ce plafond, et ne se distinguent qu'à long terme. C'est cette distinction que les questions d'interprétation cherchent.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Équations différentielles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

17 exercices corrigés
170 points
255 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Chaleur, température et transferts thermiquesOndes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

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