Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les techniques d'intégration

Cette fiche ne redonne pas les formules de la table : elles sont dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note au second examen de 201-SN3-RE (ancien 201-NYB), c'est-à-dire le CHOIX de la technique, fait en dix secondes sur la forme de l'intégrande, et les trois ou quatre gestes qui font échouer une technique pourtant bien choisie.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 31 octobre 2026

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Le fil du chapitre

On ne choisit pas une technique au hasard : on lit la FORME de l'intégrande, et chaque forme a la sienne. Le temps perdu à l'examen vient presque toujours d'avoir lancé une intégration par parties là où une substitution de dix secondes suffisait.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La décomposition des fractions rationnelles Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Les fonctions logarithmiques Secondaire 5
2 Les fonctions trigonométriques Secondaire 5
3 La dérivée et ses règles Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
4 Dérivées des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
5 Primitives et intégrale indéfinie
6 La décomposition des fractions rationnelles

L'essentiel

Les trois substitutions trigonométriques, et leur triangle

• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ : poser $x=a\sin\theta$ , d'où $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta$ et $dx=a\cos\theta\,d\theta$ .
• $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ : poser $x=a\tan\theta$ , d'où $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec\theta$ et $dx=a\sec^{2}\theta\,d\theta$ .
• $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ : poser $x=a\sec\theta$ , d'où $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta$ et $dx=a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ .
• Le retour en $x$ se fait par le TRIANGLE de référence, jamais par $\theta=\arcsin\frac{x}{a}$ substitué de force.

Les trois triangles de référence : la racine est toujours un côté, et l'angle

\theta

se lit sur le triangle au moment du retour en

x

Un radicande qui n'est pas déjà sous l'une des trois formes se complète en carré d'abord : $x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9$ .

L'intégration par parties, et le choix de $u$

• $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ : on dérive $u$ , on intègre $dv$ .
• LIATE donne l'ordre de priorité pour $u$ : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle.
• Le bon $u$ est celui qui SIMPLIFIE en dérivant; le bon $dv$ est celui qu'on sait intégrer.
• $\int\ln x\,dx$ et $\int\arctan x\,dx$ se font par parties avec $dv=dx$ : c'est le seul moyen.
• Deux parties successives ramenant à l'intégrale de départ : on la traite comme une inconnue et on l'isole.

La formule lue en aires : l'aire orange

\int u\,dv

et l'aire bleue

\int v\,du

remplissent le grand rectangle moins le petit,

u_{2}v_{2}-u_{1}v_{1}

Si la nouvelle intégrale est PLUS compliquée que l'ancienne, le choix de $u$ était inversé : recommencer plutôt que persévérer.

Les fractions partielles, dans l'ordre

• Vérifier d'abord que le degré du numérateur est STRICTEMENT inférieur à celui du dénominateur; sinon, DIVISER.
• Factoriser le dénominateur complètement, dans $\mathbb{R}$ .
• Facteur linéaire simple $(x-a)$ : un terme $\frac{A}{x-a}$ .
• Facteur linéaire répété $(x-a)^{2}$ : DEUX termes, $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}$ .
• Facteur quadratique irréductible $x^{2}+bx+c$ : un terme $\frac{Ax+B}{x^{2}+bx+c}$ , avec un numérateur de degré un.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lancer une intégration par parties là où une substitution suffit

dix minutes, et la question au bout du compte

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int x\,e^{x^{2}}\,dx$ : je pose $u=x$ et $dv=e^{x^{2}}\,dx$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=x^{2}$ donne $du=2x\,dx$ , donc l'intégrale vaut $\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$ en une ligne. »

Pourquoi : $e^{x^{2}}$ n'a pas de primitive élémentaire : le $dv$ choisi est impossible à intégrer, et la copie se bloque. Le réflexe correct est de tester la substitution AVANT toute autre technique, car c'est la seule qui se vérifie en dix secondes.

2. Inverser le rôle de $u$ et de $dv$

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int x\ln x\,dx$ : je pose $u=x$ et $dv=\ln x\,dx$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=\ln x$ et $dv=x\,dx$ : le logarithme se SIMPLIFIE en dérivant, et $x\,dx$ s'intègre trivialement. »

Pourquoi : LIATE place le logarithme avant l'algébrique précisément parce qu'il ne s'intègre pas facilement mais se dérive en $\frac{1}{x}$ . Le signal d'alarme est immédiat : si la nouvelle intégrale est pire que l'ancienne, le choix était inversé.

3. Perdre le signe dans la formule des parties

toute la question, la réponse étant fausse d'un terme entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int u\,dv=uv+\int v\,du$

Ce qu'il faut écrire

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Pourquoi : La formule vient de $(uv)'=u'v+uv'$ intégrée : $uv=\int u'v+\int uv'$ , donc $\int uv'=uv-\int u'v$ . Le signe moins vient du passage d'un terme de l'autre côté. Le contrôle : sur $\int x\,e^{x}\,dx$ , la réponse est $xe^{x}-e^{x}+C$ , dont la dérivée redonne bien $xe^{x}$ .

4. Décomposer en fractions partielles sans avoir divisé

toute la question, le système en

A

étant impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{A}{x+1}$

Ce qu'il faut écrire

Le degré du haut n'est pas inférieur à celui du bas : on DIVISE d'abord, $\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$ .

\frac{x^{2}}{x+1}

suit la droite

y=x-1

: seule la division fait apparaître cette partie entière. Un terme

\frac{A}{x+1}

seul tend vers

0

et ne peut pas la suivre.

Pourquoi : La décomposition en éléments simples suppose une fraction PROPRE. Sans division, le système d'identification n'a pas de solution, et la copie tourne en rond en cherchant une erreur de calcul qui n'existe pas.

5. Oublier un terme sur un facteur répété

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{1}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-2)^{2}}$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{1}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}$

Pourquoi : Un facteur répété à la puissance $n$ engendre $n$ termes, un par puissance de $1$ à $n$ . Avec deux fractions seulement, le système est surdéterminé et n'a pas de solution : le blocage vient de la forme posée, pas du calcul.

6. Confondre deux intégrandes qui ne diffèrent que par un $x$

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1}=\arctan\left(x^{2}+1\right)$

Ce qu'il faut écrire

$\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C$ , tandis que $\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan x+C$

Deux intégrandes presque identiques :

\frac{1}{x^{2}+1}

reste positive et donne un arc tangente,

\frac{x}{x^{2}+1}

change de signe en

0

et donne un logarithme.

Pourquoi : Un $x$ au numérateur transforme une forme $\frac{1}{1+u^{2}}$ en forme $\frac{u'}{u}$ : deux techniques, deux primitives sans aucun rapport. C'est la paire la plus piégeuse du chapitre, et il faut la reconnaître au premier regard.

7. Revenir en $x$ sans dessiner le triangle

1 à 2 points, la réponse restant illisible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai trouvé $\theta+\sin\theta\cos\theta+C$ , je remplace $\theta$ par $\arcsin\frac{x}{3}$ et je m'arrête. »

Ce qu'il faut écrire

« Le triangle donne $\sin\theta=\frac{x}{3}$ et $\cos\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}$ , donc la réponse est $\arcsin\frac{x}{3}+\frac{x\sqrt{9-x^{2}}}{9}+C$ . »

Pourquoi : Laisser un $\sin\left(\arcsin\frac{x}{3}\right)$ dans une réponse est correct mais inexploitable, et le barème sanctionne. Le triangle de référence traduit chaque fonction de $\theta$ en une expression algébrique en $x$ , en trois secondes et sans identité à retenir.

8. Ne pas compléter le carré avant de substituer

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+13}}$ : aucune des trois formes ne convient. »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9$ , donc on pose $x+2=3\tan\theta$ : c'est la forme $\sqrt{a^{2}+u^{2}}$ . »

x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9

: la parabole a son sommet en

(-2\,;9)

et ne coupe jamais l'axe, le trinôme est irréductible et appelle

x+2=3\tan\theta

Pourquoi : Les trois formes portent sur $a^{2}\pm u^{2}$ , où $u$ peut être n'importe quelle expression affine. La complétion du carré est l'étape qui révèle cette forme, et l'oublier fait conclure à tort qu'aucune technique ne s'applique.

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon la forme de l'intégrande

On applique ce test dans l'ordre, et on s'arrête à la première branche qui s'applique. La substitution passe toujours en premier parce qu'elle se teste en dix secondes.

Si un bloc intérieur et sa dérivée sont tous deux présents → SUBSTITUTION, à tester avant toute autre chose

Exemple : $\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$
Si produit de deux fonctions de natures différentes, dont l'une se simplifie en dérivant → INTÉGRATION PAR PARTIES, avec $u$ choisi selon LIATE

Exemple : $\int x\ln x\,dx$ avec $u=\ln x$
Si quotient de deux polynômes → DIVISION si le haut n'est pas de degré strictement inférieur, puis FRACTIONS PARTIELLES

Exemple : $\int\frac{x^{2}}{x+1}\,dx=\int\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx$
Si une racine de la forme $\sqrt{a^{2}\pm u^{2}}$ ou $\sqrt{u^{2}-a^{2}}$ , sans la dérivée intérieure → SUBSTITUTION TRIGONOMÉTRIQUE, après complétion du carré si nécessaire

Exemple : $\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}$ avec $x=3\sin\theta$
Si puissances de sinus et cosinus → puissance IMPAIRE, on en détache un facteur et on substitue; toutes PAIRES, on abaisse par les formules de duplication

Exemple : $\int\sin^{3}x\,dx=\int\left(1-\cos^{2}x\right)\sin x\,dx$
Si l'intégrande contient $\ln x$ , $\arcsin x$ ou $\arctan x$ SEULS → parties avec $dv=dx$ , il n'y a pas d'autre voie

Exemple : $\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C$

Deux techniques donnent parfois la même intégrale sous deux formes différant d'une constante : les deux sont justes, et le corrigé n'en montre qu'une.

Quel $u$ dans une intégration par parties

LIATE : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. On prend pour $u$ le premier de la liste présent dans l'intégrande.

Si un logarithme est présent → $u=\ln$ , toujours, car il ne s'intègre pas simplement

Exemple : $\int x^{2}\ln x\,dx$ avec $u=\ln x$
Si un arc sinus ou un arc tangente est présent → $u$ est cette fonction inverse

Exemple : $\int\arctan x\,dx$ avec $u=\arctan x$ et $dv=dx$
Si un polynôme multiplie une exponentielle ou une fonction trigonométrique → $u$ est le POLYNÔME, car dériver l'abaisse d'un degré

Exemple : $\int x^{2}e^{x}\,dx$ demande deux parties successives
Si une exponentielle multiplie un sinus ou un cosinus → le choix est indifférent, mais il faut GARDER le même à la seconde application, puis isoler l'intégrale

Exemple : $\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}+C$

La règle pratique qui résume LIATE : $u$ est ce qui se SIMPLIFIE en dérivant, $dv$ est ce qui se laisse intégrer. Si les deux conditions se contredisent, l'intégrale demande une autre technique.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une substitution trigonométrique, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute racine de la forme $\sqrt{a^{2}-u^{2}}$ , $\sqrt{a^{2}+u^{2}}$ ou $\sqrt{u^{2}-a^{2}}$ sans dérivée intérieure disponible.

1 Identifier la forme et annoncer la substitution : « Comme $\sqrt{9-x^{2}}$ est de la forme $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ avec $a=3$ , posons $x=3\sin\theta$ . »
2 Écrire la différentielle et la racine transformée : « $dx=3\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta$ . »
3 Réécrire l'intégrale entièrement en $\theta$ et la calculer.
4 DESSINER le triangle de référence et lire chaque fonction de $\theta$ en fonction de $x$ .
5 Revenir en $x$ et conclure.

Phrase de conclusion

Le triangle donne $\sin\theta=\frac{x}{3}$ et $\cos\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}$ , donc l'intégrale vaut $-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C$ .

Le piège : Ne pas justifier que $\cos\theta\ge 0$ . La substitution $x=a\sin\theta$ se fait sur $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , où le cosinus est positif : c'est ce qui autorise à écrire $\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}=a\cos\theta$ sans valeur absolue.

Barème : En général 1 point pour la substitution annoncée, 1 point pour la différentielle et la racine, 2 points pour le calcul en $\theta$ , 1 point pour le retour en $x$ par le triangle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Dériver la réponse

Comme au chapitre précédent, la primitive obtenue se dérive et doit redonner l'intégrande. C'est plus long ici, mais toujours plus court que de refaire le calcul.

$xe^{x}-e^{x}$ se dérive en $e^{x}+xe^{x}-e^{x}=xe^{x}$ ✓. Avec le signe plus dans la formule des parties, on aurait obtenu $xe^{x}+2e^{x}$ , qui ne convient pas.
Contrôler que la nouvelle intégrale est plus simple

Après une intégration par parties, comparer $\int v\,du$ à $\int u\,dv$ . Si la nouvelle est plus compliquée, le choix de $u$ était inversé et il faut recommencer.

$\int x\ln x\,dx$ avec $u=x$ et $dv=\ln x\,dx$ exige d'abord la primitive $v=x\ln x-x$ , elle-même obtenue par parties, et la nouvelle intégrale $\int\left(x\ln x-x\right)dx$ n'est pas plus simple que l'originale, qu'elle contient : le signal est net.
Tester une décomposition en fractions partielles sur une valeur

Substituer un nombre simple dans la fraction de départ et dans la décomposition : les deux doivent donner le même résultat.

$\frac{1}{x(x-2)^{2}}$ en $x=1$ vaut $1$ ; la décomposition $\frac{0{,}25}{x}-\frac{0{,}25}{x-2}+\frac{0{,}5}{(x-2)^{2}}$ y vaut $0{,}25+0{,}25+0{,}5=1$ ✓.
Vérifier le domaine après une substitution trigonométrique

Contrôler que l'intervalle choisi pour $\theta$ rend positive la fonction dont on prend la racine, ce qui autorise à supprimer la valeur absolue.

Avec $x=3\sin\theta$ et $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , $\cos\theta\ge 0$ , donc $\sqrt{9\cos^{2}\theta}=3\cos\theta$ ✓.
Comparer deux formes apparemment différentes

Deux réponses justes peuvent différer d'une constante. Les évaluer toutes deux en un même point et comparer l'ÉCART : s'il est constant, les deux sont valables.

$\int\sin x\cos x\,dx$ vaut $\frac{\sin^{2}x}{2}$ ou $-\frac{\cos^{2}x}{2}$ , qui diffèrent de $\frac{1}{2}$ partout ✓.

L'exercice type décortiqué

Une substitution trigonométrique complète

Calculer $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}$ .

Le triangle construit sur

x=3\sin\theta

: côté opposé

x

, hypoténuse

3

, côté adjacent

\sqrt{9-x^{2}}

. Toutes les fonctions de

\theta

s'y lisent sans aucune identité.

Étape 1

La racine est de la forme $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ avec $a=3$ , et il n'y a pas de $x$ isolé au numérateur pour une substitution simple. On pose donc $x=3\sin\theta$ , avec $\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ .

Pourquoi

L'intervalle de $\theta$ n'est pas décoratif : c'est lui qui garantit $\cos\theta>0$ et permet d'écrire la racine sans valeur absolue à l'étape suivante.

Étape 2

$dx=3\cos\theta\,d\theta$ , $x^{2}=9\sin^{2}\theta$ , et $\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9\left(1-\sin^{2}\theta\right)}=3\cos\theta$ .

Pourquoi

L'identité $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$ est exactement ce que la substitution est venue chercher : elle fait disparaître la racine, ce qu'aucune manipulation algébrique ne réussissait.

Étape 3

L'intégrale devient $\int\frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\sin^{2}\theta\cdot 3\cos\theta}=\frac{1}{9}\int\frac{d\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{9}\int\csc^{2}\theta\,d\theta$ .

Pourquoi

Les $\cos\theta$ se simplifient, ce qui est le signe que la substitution était la bonne. Une intégrale où ils ne se simplifient pas indique presque toujours une forme mal identifiée.

Étape 4

$\int\csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta+C$ , donc l'intégrale vaut $-\frac{\cot\theta}{9}+C$ .

Pourquoi

Cette primitive est la seule formule à connaître de tout le calcul; elle est le pendant de $\int\sec^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta$ .

Étape 5

Triangle de référence : $\sin\theta=\frac{x}{3}$ , donc le côté opposé vaut $x$ , l'hypoténuse $3$ , le côté adjacent $\sqrt{9-x^{2}}$ . D'où $\cot\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}$ .

Pourquoi

Aucune identité n'a été nécessaire : le triangle donne directement la cotangente. C'est pour cela que la consigne est de le DESSINER, pas de le déduire.

Étape 6

Réponse : $-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C$ . Vérification numérique en $x=1$ : le taux d'accroissement de cette primitive vaut $0{,}3536$ , et $\frac{1}{1\cdot\sqrt{8}}=0{,}3536$ ✓.

Pourquoi

Une vérification numérique en un point clôt le calcul en dix secondes et attrape aussi bien un signe qu'un facteur $9$ mal placé.

Conclusion rédigée

$\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}=-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C$ , valable sur chacun des intervalles $\left]-3;0\right[$ et $\left]0;3\right[$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Remplacer $\theta$ par $\arcsin\frac{x}{3}$ et laisser $-\frac{\cot\left(\arcsin\frac{x}{3}\right)}{9}$ . L'expression est exacte mais inexploitable, et le triangle la transforme en une fraction algébrique en trois secondes.

À savoir par cœur

• Tester la SUBSTITUTION en premier : dix secondes, et elle règle la moitié des intégrales.
• $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ , avec un signe MOINS. $u$ est ce qui se simplifie en dérivant.
• LIATE : Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle.
• Fractions partielles : diviser d'abord si le degré du haut n'est pas strictement inférieur.
• Facteur répété à la puissance $n$ : $n$ termes. Facteur quadratique : numérateur $Ax+B$ .
• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}\to x=a\sin\theta$ ; $\sqrt{a^{2}+x^{2}}\to x=a\tan\theta$ ; $\sqrt{x^{2}-a^{2}}\to x=a\sec\theta$ .
• Retour en $x$ par le TRIANGLE de référence, jamais par une identité d'arc.
• Un $x$ au numérateur change tout : $\frac{1}{x^{2}+1}$ donne un arc tangente, $\frac{x}{x^{2}+1}$ un logarithme.

Questions fréquentes

Comment choisir la bonne technique d'intégration ?

On teste la substitution en premier, en cherchant un bloc intérieur dont la dérivée est présente. Si elle échoue, un produit de natures différentes appelle l'intégration par parties, un quotient de polynômes appelle les fractions partielles, et une racine du type racine de a au carré moins x au carré appelle une substitution trigonométrique.

Comment choisir u dans une intégration par parties ?

On suit l'ordre LIATE : logarithme, inverse trigonométrique, algébrique, trigonométrique, exponentielle. Le premier de cette liste présent dans l'intégrande devient u. La règle qui la résume est simple : u est ce qui se simplifie en dérivant, et dv est ce que l'on sait intégrer.

Pourquoi faut-il diviser avant de décomposer en fractions partielles ?

Parce que la décomposition en éléments simples ne s'applique qu'aux fractions propres, dont le numérateur a un degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Sans division préalable, le système d'identification des coefficients n'a aucune solution, et le calcul se bloque sans qu'une erreur d'arithmétique en soit la cause.

Combien de termes pour un facteur répété au dénominateur ?

Autant que la puissance. Un facteur au carré donne deux termes, un avec le facteur simple au dénominateur et un avec le facteur au carré. Un facteur au cube en donne trois. Oublier un terme rend le système impossible à résoudre, ce qui est le blocage le plus fréquent du chapitre.

Comment revenir à la variable de départ après une substitution trigonométrique ?

En dessinant le triangle rectangle de référence. Si la substitution était x égale trois sinus thêta, le côté opposé vaut x et l'hypoténuse trois, donc le côté adjacent vaut la racine de neuf moins x au carré. Toutes les fonctions trigonométriques de thêta se lisent alors directement sur ce triangle.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Techniques d'intégration

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

17 exercices corrigés
170 points
225 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Astuces d'intégration : Weierstrass, roi, Wallis Intégrale définie et impropre Équations différentielles

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nyb-techniques-integration. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : les techniques d'intégration

L'essentiel

Les trois substitutions trigonométriques, et leur triangle

L'intégration par parties, et le choix de uuu

Les fractions partielles, dans l'ordre

Les pièges qui coûtent des points

1. Lancer une intégration par parties là où une substitution suffit

2. Inverser le rôle de uuu et de dvdvdv

3. Perdre le signe dans la formule des parties

4. Décomposer en fractions partielles sans avoir divisé

5. Oublier un terme sur un facteur répété

6. Confondre deux intégrandes qui ne diffèrent que par un xxx

7. Revenir en xxx sans dessiner le triangle

8. Ne pas compléter le carré avant de substituer

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon la forme de l'intégrande

Quel uuu dans une intégration par parties

La rédaction attendue

Une substitution trigonométrique, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une substitution trigonométrique complète

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment choisir la bonne technique d'intégration ?

Comment choisir u dans une intégration par parties ?

Pourquoi faut-il diviser avant de décomposer en fractions partielles ?

Combien de termes pour un facteur répété au dénominateur ?

Comment revenir à la variable de départ après une substitution trigonométrique ?

Exercices corrigés : Techniques d'intégration

Ce chapitre resservira dans

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L'intégration par parties, et le choix de $u$

2. Inverser le rôle de $u$ et de $dv$

6. Confondre deux intégrandes qui ne diffèrent que par un $x$

7. Revenir en $x$ sans dessiner le triangle

Quel $u$ dans une intégration par parties