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Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les techniques d'intégration

Cette fiche ne redonne pas les formules de la table : elles sont dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note au second examen de 201-NYB, c'est-à-dire le CHOIX de la technique, fait en dix secondes sur la forme de l'intégrande, et les trois ou quatre gestes qui font échouer une technique pourtant bien choisie.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

On ne choisit pas une technique au hasard : on lit la FORME de l'intégrande, et chaque forme a la sienne. Le temps perdu à l'examen vient presque toujours d'avoir lancé une intégration par parties là où une substitution de dix secondes suffisait.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  2. 2Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
  3. 3La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
  4. 4Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
  5. 5Primitives et intégrale indéfinie
  6. 6La décomposition des fractions rationnelles

L'essentiel

Les trois substitutions trigonométriques, et leur triangle

  • • a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}} : poser x=asin⁡θx=a\sin\theta, d'où a2−x2=acos⁡θ\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta et dx=acos⁡θ dθdx=a\cos\theta\,d\theta.
  • • a2+x2\sqrt{a^{2}+x^{2}} : poser x=atan⁡θx=a\tan\theta, d'où a2+x2=asec⁡θ\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec\theta et dx=asec⁡2θ dθdx=a\sec^{2}\theta\,d\theta.
  • • x2−a2\sqrt{x^{2}-a^{2}} : poser x=asec⁡θx=a\sec\theta, d'où x2−a2=atan⁡θ\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta et dx=asec⁡θtan⁡θ dθdx=a\sec\theta\tan\theta\,d\theta.
  • • Le retour en xx se fait par le TRIANGLE de référence, jamais par θ=arcsin⁡xa\theta=\arcsin\frac{x}{a} substitué de force.
axsqrt(a^2-x^2)x = a sin(theta)
Le triangle de x=asin⁡θx=a\sin\theta : le côté opposé vaut xx, l'hypoténuse aa, donc le côté adjacent vaut a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}}. C'est lui qui donne toutes les fonctions de θ\theta au moment du retour en xx.

Un radicande qui n'est pas déjà sous l'une des trois formes se complète en carré d'abord : x2+4x+13=(x+2)2+9x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9.

L'intégration par parties, et le choix de uu

  • • ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du : on dérive uu, on intègre dvdv.
  • • LIATE donne l'ordre de priorité pour uu : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle.
  • • Le bon uu est celui qui SIMPLIFIE en dérivant; le bon dvdv est celui qu'on sait intégrer.
  • • ∫ln⁡x dx\int\ln x\,dx et ∫arctan⁡x dx\int\arctan x\,dx se font par parties avec dv=dxdv=dx : c'est le seul moyen.
  • • Deux parties successives ramenant à l'intégrale de départ : on la traite comme une inconnue et on l'isole.

Si la nouvelle intégrale est PLUS compliquée que l'ancienne, le choix de uu était inversé : recommencer plutôt que persévérer.

Les fractions partielles, dans l'ordre

  • • Vérifier d'abord que le degré du numérateur est STRICTEMENT inférieur à celui du dénominateur; sinon, DIVISER.
  • • Factoriser le dénominateur complètement, dans R\mathbb{R}.
  • • Facteur linéaire simple (x−a)(x-a) : un terme Ax−a\frac{A}{x-a}.
  • • Facteur linéaire répété (x−a)2(x-a)^{2} : DEUX termes, Ax−a+B(x−a)2\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}.
  • • Facteur quadratique irréductible x2+bx+cx^{2}+bx+c : un terme Ax+Bx2+bx+c\frac{Ax+B}{x^{2}+bx+c}, avec un numérateur de degré un.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lancer une intégration par parties là où une substitution suffit

dix minutes, et la question au bout du compte

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫x ex2 dx\int x\,e^{x^{2}}\,dx : je pose u=xu=x et dv=ex2 dxdv=e^{x^{2}}\,dx. »

Ce qu'il faut écrire

« u=x2u=x^{2} donne du=2x dxdu=2x\,dx, donc l'intégrale vaut ex22+C\frac{e^{x^{2}}}{2}+C en une ligne. »

Pourquoi : ex2e^{x^{2}} n'a pas de primitive élémentaire : le dvdv choisi est impossible à intégrer, et la copie se bloque. Le réflexe correct est de tester la substitution AVANT toute autre technique, car c'est la seule qui se vérifie en dix secondes.

2. Inverser le rôle de uu et de dvdv

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,dx : je pose u=xu=x et dv=ln⁡x dxdv=\ln x\,dx. »

Ce qu'il faut écrire

« u=ln⁡xu=\ln x et dv=x dxdv=x\,dx : le logarithme se SIMPLIFIE en dérivant, et x dxx\,dx s'intègre trivialement. »

Pourquoi : LIATE place le logarithme avant l'algébrique précisément parce qu'il ne s'intègre pas facilement mais se dérive en 1x\frac{1}{x}. Le signal d'alarme est immédiat : si la nouvelle intégrale est pire que l'ancienne, le choix était inversé.

3. Perdre le signe dans la formule des parties

toute la question, la réponse étant fausse d'un terme entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫u dv=uv+∫v du\int u\,dv=uv+\int v\,du

Ce qu'il faut écrire

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du

Pourquoi : La formule vient de (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' intégrée : uv=∫u′v+∫uv′uv=\int u'v+\int uv', donc ∫uv′=uv−∫u′v\int uv'=uv-\int u'v. Le signe moins vient du passage d'un terme de l'autre côté. Le contrôle : sur ∫x ex dx\int x\,e^{x}\,dx, la réponse est xex−ex+Cxe^{x}-e^{x}+C, dont la dérivée redonne bien xexxe^{x}.

4. Décomposer en fractions partielles sans avoir divisé

toute la question, le système en $A$ étant impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2x+1=Ax+1\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{A}{x+1}

Ce qu'il faut écrire

Le degré du haut n'est pas inférieur à celui du bas : on DIVISE d'abord, x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.

Pourquoi : La décomposition en éléments simples suppose une fraction PROPRE. Sans division, le système d'identification n'a pas de solution, et la copie tourne en rond en cherchant une erreur de calcul qui n'existe pas.

5. Oublier un terme sur un facteur répété

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

1x(x−2)2=Ax+B(x−2)2\frac{1}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-2)^{2}}

Ce qu'il faut écrire

1x(x−2)2=Ax+Bx−2+C(x−2)2\frac{1}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}

Pourquoi : Un facteur répété à la puissance nn engendre nn termes, un par puissance de 11 à nn. Avec deux fractions seulement, le système est surdéterminé et n'a pas de solution : le blocage vient de la forme posée, pas du calcul.

6. Confondre deux intégrandes qui ne diffèrent que par un xx

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫x dxx2+1=arctan⁡(x2+1)\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1}=\arctan\left(x^{2}+1\right)

Ce qu'il faut écrire

∫x dxx2+1=12ln⁡(x2+1)+C\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C, tandis que ∫dxx2+1=arctan⁡x+C\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan x+C

-4-3-2-11234-1-0.50.511.51/(x^2+1) : arctanx/(x^2+1) : log
Deux intégrandes presque identiques : 1x2+1\frac{1}{x^{2}+1} reste positive et donne un arc tangente, xx2+1\frac{x}{x^{2}+1} change de signe en 00 et donne un logarithme.

Pourquoi : Un xx au numérateur transforme une forme 11+u2\frac{1}{1+u^{2}} en forme u′u\frac{u'}{u} : deux techniques, deux primitives sans aucun rapport. C'est la paire la plus piégeuse du chapitre, et il faut la reconnaître au premier regard.

7. Revenir en xx sans dessiner le triangle

1 à 2 points, la réponse restant illisible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai trouvé θ+sin⁡θcos⁡θ+C\theta+\sin\theta\cos\theta+C, je remplace θ\theta par arcsin⁡x3\arcsin\frac{x}{3} et je m'arrête. »

Ce qu'il faut écrire

« Le triangle donne sin⁡θ=x3\sin\theta=\frac{x}{3} et cos⁡θ=9−x23\cos\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}, donc la réponse est arcsin⁡x3+x9−x29+C\arcsin\frac{x}{3}+\frac{x\sqrt{9-x^{2}}}{9}+C. »

Pourquoi : Laisser un sin⁡(arcsin⁡x3)\sin\left(\arcsin\frac{x}{3}\right) dans une réponse est correct mais inexploitable, et le barème sanctionne. Le triangle de référence traduit chaque fonction de θ\theta en une expression algébrique en xx, en trois secondes et sans identité à retenir.

8. Ne pas compléter le carré avant de substituer

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫dxx2+4x+13\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+13}} : aucune des trois formes ne convient. »

Ce qu'il faut écrire

« x2+4x+13=(x+2)2+9x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9, donc on pose x+2=3tan⁡θx+2=3\tan\theta : c'est la forme a2+u2\sqrt{a^{2}+u^{2}}. »

Pourquoi : Les trois formes portent sur a2±u2a^{2}\pm u^{2}, où uu peut être n'importe quelle expression affine. La complétion du carré est l'étape qui révèle cette forme, et l'oublier fait conclure à tort qu'aucune technique ne s'applique.

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon la forme de l'intégrande

On applique ce test dans l'ordre, et on s'arrête à la première branche qui s'applique. La substitution passe toujours en premier parce qu'elle se teste en dix secondes.

  • Si un bloc intérieur et sa dérivée sont tous deux présents → SUBSTITUTION, à tester avant toute autre chose

    Exemple : ∫x ex2 dx=ex22+C\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C

  • Si produit de deux fonctions de natures différentes, dont l'une se simplifie en dérivant → INTÉGRATION PAR PARTIES, avec uu choisi selon LIATE

    Exemple : ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,dx avec u=ln⁡xu=\ln x

  • Si quotient de deux polynômes → DIVISION si le haut n'est pas de degré strictement inférieur, puis FRACTIONS PARTIELLES

    Exemple : ∫x2x+1 dx=∫(x−1+1x+1)dx\int\frac{x^{2}}{x+1}\,dx=\int\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx

  • Si une racine de la forme a2±u2\sqrt{a^{2}\pm u^{2}} ou u2−a2\sqrt{u^{2}-a^{2}}, sans la dérivée intérieure → SUBSTITUTION TRIGONOMÉTRIQUE, après complétion du carré si nécessaire

    Exemple : ∫dx9−x2\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}} avec x=3sin⁡θx=3\sin\theta

  • Si puissances de sinus et cosinus → puissance IMPAIRE, on en détache un facteur et on substitue; toutes PAIRES, on abaisse par les formules de duplication

    Exemple : ∫sin⁡3x dx=∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx\int\sin^{3}x\,dx=\int\left(1-\cos^{2}x\right)\sin x\,dx

  • Si l'intégrande contient ln⁡x\ln x, arcsin⁡x\arcsin x ou arctan⁡x\arctan x SEULS → parties avec dv=dxdv=dx, il n'y a pas d'autre voie

    Exemple : ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C

Deux techniques donnent parfois la même intégrale sous deux formes différant d'une constante : les deux sont justes, et le corrigé n'en montre qu'une.

Quel uu dans une intégration par parties

LIATE : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. On prend pour uu le premier de la liste présent dans l'intégrande.

  • Si un logarithme est présent → u=ln⁡u=\ln, toujours, car il ne s'intègre pas simplement

    Exemple : ∫x2ln⁡x dx\int x^{2}\ln x\,dx avec u=ln⁡xu=\ln x

  • Si un arc sinus ou un arc tangente est présent → uu est cette fonction inverse

    Exemple : ∫arctan⁡x dx\int\arctan x\,dx avec u=arctan⁡xu=\arctan x et dv=dxdv=dx

  • Si un polynôme multiplie une exponentielle ou une fonction trigonométrique → uu est le POLYNÔME, car dériver l'abaisse d'un degré

    Exemple : ∫x2ex dx\int x^{2}e^{x}\,dx demande deux parties successives

  • Si une exponentielle multiplie un sinus ou un cosinus → le choix est indifférent, mais il faut GARDER le même à la seconde application, puis isoler l'intégrale

    Exemple : ∫exsin⁡x dx=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+C\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}+C

La règle pratique qui résume LIATE : uu est ce qui se SIMPLIFIE en dérivant, dvdv est ce qui se laisse intégrer. Si les deux conditions se contredisent, l'intégrale demande une autre technique.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une substitution trigonométrique, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute racine de la forme a2−u2\sqrt{a^{2}-u^{2}}, a2+u2\sqrt{a^{2}+u^{2}} ou u2−a2\sqrt{u^{2}-a^{2}} sans dérivée intérieure disponible.

  1. 1 Identifier la forme et annoncer la substitution : « Comme 9−x2\sqrt{9-x^{2}} est de la forme a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}} avec a=3a=3, posons x=3sin⁡θx=3\sin\theta. »
  2. 2 Écrire la différentielle et la racine transformée : « dx=3cos⁡θ dθdx=3\cos\theta\,d\theta et 9−x2=3cos⁡θ\sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta. »
  3. 3 Réécrire l'intégrale entièrement en θ\theta et la calculer.
  4. 4 DESSINER le triangle de référence et lire chaque fonction de θ\theta en fonction de xx.
  5. 5 Revenir en xx et conclure.

Phrase de conclusion

Le triangle donne sin⁡θ=x3\sin\theta=\frac{x}{3} et cos⁡θ=9−x23\cos\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}, donc l'intégrale vaut −9−x29x+C-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C.

Le piège : Ne pas justifier que cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0. La substitution x=asin⁡θx=a\sin\theta se fait sur θ∈[−π2,π2]\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], où le cosinus est positif : c'est ce qui autorise à écrire a2cos⁡2θ=acos⁡θ\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}=a\cos\theta sans valeur absolue.

Barème : En général 1 point pour la substitution annoncée, 1 point pour la différentielle et la racine, 2 points pour le calcul en θ\theta, 1 point pour le retour en xx par le triangle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une substitution trigonométrique complète

Calculer ∫dxx29−x2\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}.

3xsqrt(9-x^2)sin = x/3, cos = rac/3
Le triangle construit sur x=3sin⁡θx=3\sin\theta : côté opposé xx, hypoténuse 33, côté adjacent 9−x2\sqrt{9-x^{2}}. Toutes les fonctions de θ\theta s'y lisent sans aucune identité.

Étape 1

La racine est de la forme a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}} avec a=3a=3, et il n'y a pas de xx isolé au numérateur pour une substitution simple. On pose donc x=3sin⁡θx=3\sin\theta, avec θ∈]−π2,π2[\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.

Pourquoi

L'intervalle de θ\theta n'est pas décoratif : c'est lui qui garantit cos⁡θ>0\cos\theta>0 et permet d'écrire la racine sans valeur absolue à l'étape suivante.

Étape 2

dx=3cos⁡θ dθdx=3\cos\theta\,d\theta, x2=9sin⁡2θx^{2}=9\sin^{2}\theta, et 9−x2=9(1−sin⁡2θ)=3cos⁡θ\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9\left(1-\sin^{2}\theta\right)}=3\cos\theta.

Pourquoi

L'identité 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta est exactement ce que la substitution est venue chercher : elle fait disparaître la racine, ce qu'aucune manipulation algébrique ne réussissait.

Étape 3

L'intégrale devient ∫3cos⁡θ dθ9sin⁡2θ⋅3cos⁡θ=19∫dθsin⁡2θ=19∫csc⁡2θ dθ\int\frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\sin^{2}\theta\cdot 3\cos\theta}=\frac{1}{9}\int\frac{d\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{9}\int\csc^{2}\theta\,d\theta.

Pourquoi

Les cos⁡θ\cos\theta se simplifient, ce qui est le signe que la substitution était la bonne. Une intégrale où ils ne se simplifient pas indique presque toujours une forme mal identifiée.

Étape 4

∫csc⁡2θ dθ=−cot⁡θ+C\int\csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta+C, donc l'intégrale vaut −cot⁡θ9+C-\frac{\cot\theta}{9}+C.

Pourquoi

Cette primitive est la seule formule à connaître de tout le calcul; elle est le pendant de ∫sec⁡2θ dθ=tan⁡θ\int\sec^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta.

Étape 5

Triangle de référence : sin⁡θ=x3\sin\theta=\frac{x}{3}, donc le côté opposé vaut xx, l'hypoténuse 33, le côté adjacent 9−x2\sqrt{9-x^{2}}. D'où cot⁡θ=9−x2x\cot\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}.

Pourquoi

Aucune identité n'a été nécessaire : le triangle donne directement la cotangente. C'est pour cela que la consigne est de le DESSINER, pas de le déduire.

Étape 6

Réponse : −9−x29x+C-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C. Vérification numérique en x=1x=1 : le taux d'accroissement de cette primitive vaut 0,35360{,}3536, et 11⋅8=0,3536\frac{1}{1\cdot\sqrt{8}}=0{,}3536 ✓.

Pourquoi

Une vérification numérique en un point clôt le calcul en dix secondes et attrape aussi bien un signe qu'un facteur 99 mal placé.

Conclusion rédigée

∫dxx29−x2=−9−x29x+C\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}=-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{9x}+C, valable sur chacun des intervalles ]−3,0[\left]-3,0\right[ et ]0,3[\left]0,3\right[.

L'erreur classique sur cet exercice : Remplacer θ\theta par arcsin⁡x3\arcsin\frac{x}{3} et laisser −cot⁡(arcsin⁡x3)9-\frac{\cot\left(\arcsin\frac{x}{3}\right)}{9}. L'expression est exacte mais inexploitable, et le triangle la transforme en une fraction algébrique en trois secondes.

À savoir par cœur

  • • Tester la SUBSTITUTION en premier : dix secondes, et elle règle la moitié des intégrales.
  • • ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du, avec un signe MOINS. uu est ce qui se simplifie en dérivant.
  • • LIATE : Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle.
  • • Fractions partielles : diviser d'abord si le degré du haut n'est pas strictement inférieur.
  • • Facteur répété à la puissance nn : nn termes. Facteur quadratique : numérateur Ax+BAx+B.
  • • a2−x2→x=asin⁡θ\sqrt{a^{2}-x^{2}}\to x=a\sin\theta; a2+x2→x=atan⁡θ\sqrt{a^{2}+x^{2}}\to x=a\tan\theta; x2−a2→x=asec⁡θ\sqrt{x^{2}-a^{2}}\to x=a\sec\theta.
  • • Retour en xx par le TRIANGLE de référence, jamais par une identité d'arc.
  • • Un xx au numérateur change tout : 1x2+1\frac{1}{x^{2}+1} donne un arc tangente, xx2+1\frac{x}{x^{2}+1} un logarithme.

Questions fréquentes

Comment choisir la bonne technique d'intégration ?

On teste la substitution en premier, en cherchant un bloc intérieur dont la dérivée est présente. Si elle échoue, un produit de natures différentes appelle l'intégration par parties, un quotient de polynômes appelle les fractions partielles, et une racine du type racine de a au carré moins x au carré appelle une substitution trigonométrique.

Comment choisir u dans une intégration par parties ?

On suit l'ordre LIATE : logarithme, inverse trigonométrique, algébrique, trigonométrique, exponentielle. Le premier de cette liste présent dans l'intégrande devient u. La règle qui la résume est simple : u est ce qui se simplifie en dérivant, et dv est ce que l'on sait intégrer.

Pourquoi faut-il diviser avant de décomposer en fractions partielles ?

Parce que la décomposition en éléments simples ne s'applique qu'aux fractions propres, dont le numérateur a un degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Sans division préalable, le système d'identification des coefficients n'a aucune solution, et le calcul se bloque sans qu'une erreur d'arithmétique en soit la cause.

Combien de termes pour un facteur répété au dénominateur ?

Autant que la puissance. Un facteur au carré donne deux termes, un avec le facteur simple au dénominateur et un avec le facteur au carré. Un facteur au cube en donne trois. Oublier un terme rend le système impossible à résoudre, ce qui est le blocage le plus fréquent du chapitre.

Comment revenir à la variable de départ après une substitution trigonométrique ?

En dessinant le triangle rectangle de référence. Si la substitution était x égale trois sinus thêta, le côté opposé vaut x et l'hypoténuse trois, donc le côté adjacent vaut la racine de neuf moins x au carré. Toutes les fonctions trigonométriques de thêta se lisent alors directement sur ce triangle.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Techniques d'intégration

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
Faire les exercices
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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

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Voir aussi

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