Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les astuces d'intégration (201-NYB)

Après les quatre techniques classiques, il reste au programme de 201-NYB une poignée d'astuces qui servent exactement une fois par examen : celles qui exploitent une SYMÉTRIE, du domaine ou de la fonction. Elles ont un point commun : elles transforment l'intégrale en une équation dont l'inconnue est l'intégrale elle-même.

Cette fiche donne les cinq astuces avec leur condition d'emploi, et surtout les pièges de continuité et de monotonie qui les rendent fausses quand on les applique mécaniquement.

Le fil du chapitre

Ces techniques ne calculent presque jamais l'intégrale directement : elles produisent une SECONDE équation en $I$ . Chercher un résultat au premier passage, c'est passer à côté de la seule chose qu'elles savent faire.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Techniques d'intégration Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
2Primitives et intégrale indéfinie
3La décomposition des fractions rationnelles
4Techniques d'intégration

L'essentiel

Les symétries du domaine

• ASTUCE DU ROI : $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)\,dx$ . Elle ne calcule rien seule; elle fournit une SECONDE équation en $I$ .
• PARITÉ : sur $[-a;a]$ , une fonction IMPAIRE donne $0$ , et une fonction PAIRE donne $2\displaystyle\int_{0}^{a}f$ . Il faut vérifier la parité, pas la supposer.
• PÉRIODICITÉ : $\displaystyle\int_{a}^{a+T}f=\int_{0}^{T}f$ pour toute fonction de période $T$ , quel que soit $a$ .
• SYMÉTRIE $x\leftrightarrow\dfrac{1}{x}$ : $\displaystyle\int_{1/a}^{a}\frac{g(x)}{x}dx=\int_{1/a}^{a}\frac{g(1/x)}{x}dx$ , le facteur $\dfrac{1}{x}$ étant ce qui rend l'échange possible.
• Toutes ces égalités se démontrent par une substitution simple, et c'est cette substitution qu'il faut savoir écrire, pas la formule.

Les deux courbes sont l'image l'une de l'autre par le repliement de l'intervalle : elles délimitent donc la MÊME aire. Ici leur somme vaut

1

partout, ce qui donne

2I=\dfrac{\pi}{2}

en une ligne.

L'astuce du roi porte bien son nom : on replie l'intervalle sur lui-même. Elle est décisive quand $f(x)+f(a+b-x)$ se simplifie, typiquement en une constante, ce qui donne $2I$ d'un côté et une intégrale triviale de l'autre.

Weierstrass et les hyperboliques

• WEIERSTRASS : avec $t=\tan\dfrac{x}{2}$ , on a $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ et $dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}$ .
• Elle rationalise TOUTE fraction en $\sin$ et $\cos$ , mais elle n'est valable que sur un intervalle où $\tan\dfrac{x}{2}$ est CONTINUE, donc jamais à cheval sur $x=\pi$ .
• HYPERBOLIQUES : $\cosh^{2}u-\sinh^{2}u=1$ , avec un signe MOINS, et $(\sinh u)'=\cosh u$ , $(\cosh u)'=\sinh u$ , sans signe moins.
• Pour $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ poser $x=a\sinh u$ ; pour $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ poser $x=a\cosh u$ . Les primitives obtenues sont souvent plus simples qu'en trigonométrique.
• Formes logarithmiques : $\mathrm{argsinh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ et $\mathrm{argcosh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ .

Weierstrass est la technique de dernier recours : elle marche toujours mais produit souvent une fraction rationnelle lourde. On ne l'emploie qu'après avoir cherché une identité trigonométrique plus courte.

Formules de réduction et intégrales de Wallis

• Une formule de réduction exprime $I_{n}$ en fonction de $I_{n-2}$ : elle s'obtient par une intégration par parties menée en gardant $n$ symbolique.
• WALLIS : $I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx$ vérifie $I_{n}=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ , et la même formule vaut pour $\cos^{n}x$ .
• Les DEUX cas de base sont indispensables : $I_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ et $I_{1}=1$ . Un $n$ pair descend jusqu'à $I_{0}$ et fait apparaître $\pi$ ; un $n$ impair descend jusqu'à $I_{1}$ et n'en fait jamais apparaître.
• Relation utile : $I_{n}I_{n-1}=\dfrac{\pi}{2n}$ , qui sert de contrôle immédiat.
• Système de deux intégrales : quand $I$ et $J$ apparaissent ensemble, on écrit $I+J$ et $I-J$ , tous deux calculables, puis on résout.

Un $\pi$ dans le résultat d'une intégrale de Wallis à exposant IMPAIR est toujours une erreur : la descente s'arrête à $I_{1}=1$ , et aucun $\pi$ ne peut apparaître.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Attendre de l'astuce du roi qu'elle calcule l'intégrale

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'applique l'astuce du roi, j'obtiens $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$ , et je ne suis pas plus avancé. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est exactement le but : cette seconde intégrale $J$ vaut $I$ , et $I+J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$ , donc $I=\frac{\pi}{4}$ . »

Pourquoi : L'astuce produit une ÉQUATION, jamais un résultat. La seule question à se poser ensuite est : la somme des deux intégrandes se simplifie-t-elle ? Si oui, le problème est fini.

2. Appliquer Weierstrass à cheval sur une discontinuité

toute la question, 6 points, avec un résultat nul pour une intégrande strictement positive

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}$ : avec $t=\tan\frac{x}{2}$ , les bornes deviennent $t=0$ et $t=0$ , donc l'intégrale vaut $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\tan\dfrac{x}{2}$ explose en $x=\pi$ , au MILIEU de l'intervalle : la substitution est interdite. On découpe en $[0;\pi]$ et $[\pi;2\pi]$ , ou l'on invoque la symétrie. La valeur exacte est $\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx 3{,}63$ . »

La substitution part de

t=0

et y revient, mais en passant par l'infini au milieu de l'intervalle. Une intégrale entre deux bornes égales vaut zéro, ce qui est absurde pour une intégrande positive.

Pourquoi : L'intégrande est partout supérieure à $\dfrac{1}{3}$ : son intégrale sur un intervalle de longueur $2\pi$ ne peut pas valoir zéro. C'est le contrôle qui trahit l'erreur avant tout raisonnement.

3. Invoquer la parité sans vérifier l'imparité

toute la question, 4 points, avec un résultat nul pour une intégrande positive

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'intervalle est symétrique, donc $\displaystyle\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}$ est PAIRE : l'intégrale vaut $2\displaystyle\int_{0}^{2}x^{2}dx=\dfrac{16}{3}$ . Seule une fonction IMPAIRE s'annule sur un intervalle symétrique. »

Ici les deux lobes ont la même aire et des signes opposés : l'intégrale est bien nulle. Avec

x^{2}

, les deux lobes seraient du MÊME côté de l'axe et rien ne s'annulerait.

Pourquoi : La symétrie de l'INTERVALLE ne suffit pas : c'est la symétrie de la FONCTION qui décide. Une intégrande positive ne peut jamais donner zéro, quel que soit l'intervalle.

4. Lancer la récurrence de Wallis sans ses cas de base

3 points, et un résultat sans $\pi$ là où il devrait y en avoir un

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $I_{6}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot I_{0}$ , et je prends $I_{0}=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $I_{0}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}dx=\dfrac{\pi}{2}$ , pas $1$ . Donc $I_{6}=\dfrac{15}{48}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{32}$ . C'est $I_{1}$ qui vaut $1$ . »

Pourquoi : Les deux cas de base ne se ressemblent pas : $I_{0}$ intègre la fonction constante $1$ sur un quart de tour, d'où le $\pi$ ; $I_{1}$ intègre un sinus, d'où le $1$ exactement.

5. Oublier le jacobien dans la substitution $x\mapsto\dfrac{1}{x}$

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose $x=\dfrac{1}{u}$ , donc $\displaystyle\int f(x)\,dx=\int f\!\left(\frac{1}{u}\right)du$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dx=-\dfrac{du}{u^{2}}$ : le facteur $\dfrac{1}{u^{2}}$ et le signe moins, qui échange les bornes, font partie de la substitution. »

Pourquoi : C'est précisément ce facteur $\dfrac{1}{u^{2}}$ qui rend l'astuce efficace : combiné à un $\dfrac{1}{x}$ déjà présent dans l'intégrande, il reconstitue un $\dfrac{1}{u}$ et referme la symétrie.

6. Confondre l'identité hyperbolique et l'identité trigonométrique

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cosh^{2}u+\sinh^{2}u=1$ , comme pour le sinus et le cosinus. »

Ce qu'il faut écrire

« $\cosh^{2}u-\sinh^{2}u=1$ , avec un signe MOINS. En revanche, les dérivées n'ont PAS de signe moins : $(\cosh u)'=\sinh u$ . »

Pourquoi : Les signes sont exactement inversés par rapport au cas trigonométrique : moins dans l'identité, plus dans les dérivées. Le contrôle est immédiat : $\cosh u\ge 1$ toujours, donc la somme des carrés ne peut pas valoir $1$ .

7. Traiter une intégrale impropre comme une intégrale ordinaire

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'intégrande n'est pas définie en $0$ , qui est DANS l'intervalle : l'intégrale est impropre et elle DIVERGE. La valeur $-2$ est doublement absurde, l'intégrande étant positive. »

Pourquoi : Le théorème fondamental exige la continuité sur tout l'intervalle. Appliquer la primitive par-dessus une discontinuité produit régulièrement des résultats négatifs pour des fonctions positives.

8. Utiliser Weierstrass alors qu'une identité suffit

aucun point, mais dix minutes en examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{\sin x}{1+\cos x}dx$ : je pose $t=\tan\frac{x}{2}$ et je rationalise. »

Ce qu'il faut écrire

« La dérivée de $1+\cos x$ est $-\sin x$ , qui est déjà là : $u=1+\cos x$ donne $-\ln\left|1+\cos x\right|+C$ en deux lignes. »

Pourquoi : Weierstrass rationalise tout, mais produit une fraction lourde. On ne la sort qu'après avoir cherché une dérivée déjà présente et une identité de duplication.

9. Écrire le système de deux intégrales avec le mauvais signe

2 points, et la mauvaise des deux réponses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $I+J$ et $J-I$ sont tous deux calculables, donc $I=\dfrac{(I+J)+(J-I)}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $I=\dfrac{(I+J)-(J-I)}{2}$ . Le membre de droite du calcul faux vaut $J$ , pas $I$ : c'est l'autre intégrale qu'on aurait obtenue. »

Pourquoi : Le système à deux inconnues se résout comme n'importe quel système linéaire. L'erreur donne un résultat plausible, parfois même juste si $I=J$ , ce qui la rend difficile à repérer.

10. Appliquer une formule de réduction sans vérifier la parité de $n$

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $I_{5}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot I_{1}$ , et je remplace $I_{1}$ par $\dfrac{\pi}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La descente à partir d'un $n$ IMPAIR s'arrête à $I_{1}=1$ : $I_{5}=\dfrac{8}{15}$ , sans aucun $\pi$ . »

Pourquoi : La parité de $n$ décide du terminus de la récurrence, donc de la présence ou de l'absence de $\pi$ dans le résultat. C'est le contrôle le plus rapide sur toute intégrale de Wallis.

Quelle méthode choisir

Quelle astuce essayer, et dans quel ordre

La forme de l'intégrale, après échec des quatre techniques classiques

Si l'intervalle est symétrique par rapport à $0$ → tester la PARITÉ de l'intégrande : impaire donne $0$ , paire donne le double de la moitié

Exemple : $\displaystyle\int_{-2}^{2}x^{3}dx=0$
Si l'intégrande fait apparaître une symétrie entre $x$ et $a+b-x$ → ASTUCE DU ROI, puis additionner les deux écritures

Exemple : $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}$
Si l'intégrande est une FRACTION en $\sin$ et $\cos$ qui résiste → WEIERSTRASS, après avoir vérifié la continuité de $\tan\dfrac{x}{2}$ sur l'intervalle

Exemple : $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{2+\cos x}$
Si l'exposant est un entier $n$ générique → FORMULE DE RÉDUCTION par parties, en gardant $n$ symbolique

Exemple : $I_{n}=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ pour les intégrales de Wallis
Si les bornes sont $\dfrac{1}{a}$ et $a$ , ou $0$ et l'infini → substitution $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ , sans oublier $dx=-\dfrac{du}{u^{2}}$

elle referme l'intégrale sur elle-même quand un facteur $\dfrac{1}{x}$ est présent
Si une racine $\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$ résiste à la trigonométrie → substitution HYPERBOLIQUE, souvent plus courte et sans valeur absolue

$x=a\sinh u$ pour un plus, $x=a\cosh u$ pour un moins

L'ordre compte : la parité coûte cinq secondes, l'astuce du roi une ligne, Weierstrass une page. On les essaie donc dans cet ordre, et pas dans celui du cours.

Avant d'appliquer une astuce, vérifier trois choses

Les conditions de validité, à contrôler AVANT le calcul

Si on substitue → vérifier que la substitution est MONOTONE et CONTINUE sur tout l'intervalle

Exemple : $\tan\dfrac{x}{2}$ est interdite sur $[0;2\pi]$
Si l'intégrande a un dénominateur → vérifier qu'il ne s'annule PAS dans l'intervalle, bornes comprises

Exemple : $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ diverge
Si on invoque la parité → vérifier l'imparité par $f(-x)=-f(x)$ , pas seulement la symétrie de l'intervalle

Exemple : $x^{2}$ est paire, son intégrale symétrique ne s'annule pas
Si on utilise une récurrence → identifier les cas de base ET la parité de l'indice, qui décide du terminus

Exemple : $I_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ mais $I_{1}=1$
Si le résultat est négatif → vérifier le signe de l'intégrande : une fonction positive ne peut pas donner une intégrale négative

c'est le contrôle qui attrape la quasi-totalité des erreurs de ce chapitre

Ces trois vérifications prennent moins d'une minute et sauvent la moitié des points perdus. Les astuces sont puissantes précisément parce qu'elles court-circuitent le calcul, donc elles court-circuitent aussi les garde-fous.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une astuce du roi

Quand l'utiliser : L'intégrale est définie, ses bornes sont symétriques par rapport à un centre, et l'intégrande présente une symétrie entre $x$ et $a+b-x$ .

1 Nommer l'intégrale $I$ et l'écrire, ce qui permettra d'en parler comme d'une inconnue.
2 Appliquer la substitution $u=a+b-x$ et vérifier qu'elle est décroissante, donc qu'elle échange les bornes : c'est ce qui rétablit le sens de l'intégrale.
3 Écrire la seconde expression obtenue, en la nommant $J$ si elle diffère de $I$ .
4 Additionner les deux écritures et vérifier que la somme des intégrandes se simplifie; sinon l'astuce ne sert à rien et il faut changer de méthode.
5 Résoudre l'équation obtenue en $I$ et conclure.

Phrase de conclusion

« En posant $u=\dfrac{\pi}{2}-x$ , l'intégrale $I$ devient $J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos u}{\sin u+\cos u}du$ ; or $I+J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$ et $I=J$ par symétrie, donc $I=\frac{\pi}{4}$ . »

Le piège : Oublier de justifier que $I=J$ . Ce n'est pas automatique : c'est vrai ici parce que la substitution transforme littéralement $I$ en $J$ , ce qui prouve leur égalité. Sans cette phrase, l'équation $I+J=\dfrac{\pi}{2}$ ne suffit pas à conclure.

Barème : Typiquement 1 point pour nommer $I$ , 2 pour la substitution, 2 pour l'égalité $I=J$ justifiée, 2 pour la somme et sa simplification, 1 pour la conclusion.

Établir et appliquer une formule de réduction

Quand l'utiliser : L'intégrande porte un exposant entier générique $n$ , ou l'énoncé demande une valeur pour un $n$ élevé.

1 Écrire $I_{n}$ avec l'exposant symbolique, et détacher un facteur pour préparer une intégration par parties.
2 Intégrer par parties en gardant $n$ dans les calculs, sans jamais lui donner de valeur.
3 Faire réapparaître $I_{n}$ ou $I_{n-2}$ dans le membre de droite, puis isoler $I_{n}$ .
4 Identifier les cas de base, en distinguant l'indice pair de l'indice impair.
5 Descendre la récurrence jusqu'au cas de base correspondant à la parité de $n$ , et conclure.

Phrase de conclusion

« La formule $I_{n}=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ donne, pour $n=6$ pair, $I_{6}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot I_{0}=\dfrac{15}{48}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{32}$ . »

Le piège : Descendre jusqu'à $I_{0}$ pour un indice impair. La récurrence saute de deux en deux : un indice impair ne rencontre jamais $I_{0}$ et s'arrête à $I_{1}=1$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe du résultat contre le signe de l'intégrande

Une intégrande positive sur l'intervalle donne toujours une intégrale positive. C'est le contrôle qui attrape presque toutes les erreurs de ce chapitre.

Un résultat de $-2$ pour $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ : l'intégrale est en fait divergente.
La continuité sur tout l'intervalle

Avant toute substitution ou évaluation, repérer les points où l'intégrande ou la substitution explose, et vérifier qu'ils sont hors de l'intervalle.

Une substitution par $\tan\dfrac{x}{2}$ sur $[0;2\pi]$ : le point $\pi$ est intérieur à l'intervalle.
La présence ou l'absence de $\pi$ dans une intégrale de Wallis

Un indice PAIR donne un résultat contenant $\pi$ ; un indice IMPAIR donne un rationnel pur. Le contrôle est instantané.

Un $I_{5}$ contenant $\pi$ : la descente s'est arrêtée au mauvais cas de base.
La relation $I_{n}I_{n-1}=\dfrac{\pi}{2n}$

Multiplier deux termes consécutifs de Wallis : le produit doit valoir $\dfrac{\pi}{2n}$ . Cela valide deux valeurs d'un coup.

$I_{6}I_{5}=\dfrac{5\pi}{32}\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{\pi}{12}$ , conforme.
L'ordre de grandeur par encadrement

Encadrer l'intégrande par deux constantes sur l'intervalle et multiplier par la longueur : le résultat doit tomber dans cet encadrement.

$\dfrac{1}{2+\cos x}$ est entre $\dfrac{1}{3}$ et $1$ , donc son intégrale sur $[0;2\pi]$ est entre $2{,}09$ et $6{,}28$ : la valeur $3{,}63$ convient, la valeur $0$ non.

L'exercice type décortiqué

Une intégrale pliée sur elle-même par l'astuce du roi

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$ .

On appliquera ensuite la même méthode pour retrouver $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{6}x\,dx$ par la formule de réduction, et l'on vérifiera par la relation de Wallis.

Étape 1

On nomme $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ . Aucune des quatre techniques classiques ne s'applique : le dénominateur n'est ni une dérivée présente, ni une fraction rationnelle, ni un produit.

Pourquoi

Nommer l'intégrale est la première étape, parce que la méthode consiste précisément à la traiter comme une INCONNUE. Constater l'échec des méthodes ordinaires justifie de passer aux astuces.

Étape 2

Astuce du roi : on pose $u=\dfrac{\pi}{2}-x$ , donc $du=-dx$ ; les bornes s'échangent, ce qui compense le signe. On obtient $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}du$ .

Pourquoi

La substitution est décroissante : elle échange les bornes, et ce second échange annule le signe moins du $du$ . C'est ce double effet qui rend l'identité valable telle quelle.

Étape 3

Les identités $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)=\cos u$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)=\sin u$ donnent $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos u}{\cos u+\sin u}du$ , que l'on note $J$ .

Pourquoi

L'intégrale $J$ est bien la seconde équation attendue. Le point crucial est que la substitution a TRANSFORMÉ $I$ en $J$ , ce qui prouve $I=J$ sans autre argument.

Étape 4

Somme : $I+J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$ .

Pourquoi

C'est le moment où l'astuce paie : la somme des deux intégrandes se simplifie en la constante $1$ . Si elle ne s'était pas simplifiée, l'astuce n'aurait servi à rien.

Étape 5

Comme $I=J$ , on a $2I=\dfrac{\pi}{2}$ , donc $I=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ .

Pourquoi

L'équation en $I$ se résout en une ligne. C'est le schéma commun à toutes les astuces de ce chapitre : produire une équation plutôt qu'un calcul.

Étape 6

Contrôle : l'intégrande est comprise entre $0$ et $1$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , donc $I$ est entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57$ . La valeur $0{,}785$ en est exactement la moitié, ce qui est cohérent avec la symétrie.

Pourquoi

L'encadrement se fait de tête et confirme l'ordre de grandeur. La position au milieu de l'encadrement est d'ailleurs la conséquence directe de $I=J$ .

Étape 7

Seconde partie : $I_{6}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{6}x\,dx$ . La formule de réduction donne $I_{6}=\dfrac{5}{6}I_{4}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}I_{2}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}I_{0}$ .

Pourquoi

L'indice $6$ est PAIR : la descente s'arrête à $I_{0}$ , et c'est de là que viendra le $\pi$ . Un indice impair se serait arrêté à $I_{1}=1$ , sans $\pi$ .

Étape 8

Avec $I_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ : $I_{6}=\dfrac{15}{48}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{32}\approx 0{,}491$ .

Pourquoi

La valeur de $I_{0}$ est le seul point où une erreur est possible dans cette descente : l'intégrale de la fonction constante $1$ sur un quart de tour vaut bien $\dfrac{\pi}{2}$ .

Étape 9

Vérification par la relation de Wallis : $I_{5}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot 1=\dfrac{8}{15}$ , et $I_{6}I_{5}=\dfrac{5\pi}{32}\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{\pi}{12}$ , exactement $\dfrac{\pi}{2\times 6}$ .

Pourquoi

Cette relation valide DEUX valeurs consécutives d'un seul calcul. Elle attrape en particulier l'erreur de cas de base, qui casserait immédiatement le produit.

Conclusion rédigée

« $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}$ , obtenue en repliant l'intervalle sur lui-même; et $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{6}x\,dx=\frac{5\pi}{32}$ , obtenue par la formule de réduction descendue jusqu'à $I_{0}=\frac{\pi}{2}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Chercher une primitive de $\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ . Elle existe et s'écrit $\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\left|\sin x+\cos x\right|$ , mais l'obtenir demande une manipulation nettement plus longue que les trois lignes de l'astuce du roi.

À savoir par cœur

• Astuce du roi : $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ . Elle donne une ÉQUATION, pas un résultat.
• Parité : seule une fonction IMPAIRE s'annule sur un intervalle symétrique.
• Weierstrass : $t=\tan\dfrac{x}{2}$ , avec $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , $dx=\dfrac{2dt}{1+t^{2}}$ ; JAMAIS à cheval sur $x=\pi$ .
• Hyperboliques : $\cosh^{2}u-\sinh^{2}u=1$ (signe moins), mais $(\cosh u)'=\sinh u$ (pas de signe moins).
• Wallis : $I_{n}=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ , avec $I_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ et $I_{1}=1$ . Indice pair : du $\pi$ ; indice impair : aucun $\pi$ .
• Contrôle de Wallis : $I_{n}I_{n-1}=\dfrac{\pi}{2n}$ .
• Substitution $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ : ne jamais oublier $dx=-\dfrac{du}{u^{2}}$ .
• Un résultat négatif pour une intégrande positive signale une discontinuité ou une substitution non monotone.

Questions fréquentes

À quoi sert l'astuce du roi si elle ne calcule pas l'intégrale ?

Elle fournit une seconde écriture de la même intégrale. En additionnant les deux, on obtient souvent une intégrande qui se simplifie, typiquement en une constante. On se retrouve alors avec une équation dont l'inconnue est l'intégrale, et la résolution tient en une ligne. C'est une méthode d'équation, pas une méthode de calcul.

Quand la substitution de Weierstrass est-elle interdite ?

Dès que l'intervalle d'intégration contient un point où la tangente de la moitié de l'angle n'est pas définie, c'est-à-dire pi et ses translatés de deux pi. Sur un tel intervalle, la substitution passe par l'infini et les deux bornes peuvent même donner la même valeur, ce qui produit une intégrale nulle absurde.

Une intégrale sur un intervalle symétrique est-elle toujours nulle ?

Non, seulement si la fonction est impaire. Une fonction paire donne au contraire le double de son intégrale sur la moitié de l'intervalle. La symétrie de l'intervalle est nécessaire mais pas suffisante : il faut vérifier la relation entre la valeur en moins x et celle en x.

Quels sont les cas de base des intégrales de Wallis ?

L'intégrale d'indice zéro vaut pi sur deux, car on intègre la fonction constante un sur un quart de tour. L'intégrale d'indice un vaut exactement un. La récurrence descend de deux en deux, donc un indice pair aboutit au premier cas et fait apparaître pi, tandis qu'un indice impair aboutit au second et donne un rationnel.

Pourquoi utiliser les fonctions hyperboliques plutôt que la trigonométrie ?

Parce qu'elles évitent souvent les valeurs absolues et les retours pénibles à la variable de départ. Pour une racine de x au carré plus a au carré, la substitution par le sinus hyperbolique donne directement un logarithme, alors que la tangente trigonométrique passe par une sécante et un triangle. Attention au signe moins dans l'identité fondamentale.

Comment repérer rapidement une erreur dans ce chapitre ?

En regardant le signe. Ces astuces court-circuitent le calcul, donc elles court-circuitent aussi les garde-fous. Une intégrande positive doit donner une intégrale positive, et une intégrale nulle sur un intervalle où la fonction ne change pas de signe est impossible. C'est le contrôle qui attrape la quasi-totalité des erreurs.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Astuces d'intégration : Weierstrass, roi, Wallis

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : les astuces d'intégration (201-NYB)

L'essentiel

Les symétries du domaine

Weierstrass et les hyperboliques

Formules de réduction et intégrales de Wallis

Les pièges qui coûtent des points

1. Attendre de l'astuce du roi qu'elle calcule l'intégrale

2. Appliquer Weierstrass à cheval sur une discontinuité

3. Invoquer la parité sans vérifier l'imparité

4. Lancer la récurrence de Wallis sans ses cas de base

5. Oublier le jacobien dans la substitution x↦1xx\mapsto\dfrac{1}{x}x↦x1​

6. Confondre l'identité hyperbolique et l'identité trigonométrique

7. Traiter une intégrale impropre comme une intégrale ordinaire

8. Utiliser Weierstrass alors qu'une identité suffit

9. Écrire le système de deux intégrales avec le mauvais signe

10. Appliquer une formule de réduction sans vérifier la parité de nnn

Quelle méthode choisir

Quelle astuce essayer, et dans quel ordre

Avant d'appliquer une astuce, vérifier trois choses

La rédaction attendue

Rédiger une astuce du roi

Établir et appliquer une formule de réduction

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une intégrale pliée sur elle-même par l'astuce du roi

À savoir par cœur

Questions fréquentes

À quoi sert l'astuce du roi si elle ne calcule pas l'intégrale ?

Quand la substitution de Weierstrass est-elle interdite ?

Une intégrale sur un intervalle symétrique est-elle toujours nulle ?

Quels sont les cas de base des intégrales de Wallis ?

Pourquoi utiliser les fonctions hyperboliques plutôt que la trigonométrie ?

Comment repérer rapidement une erreur dans ce chapitre ?

Exercices corrigés : Astuces d'intégration : Weierstrass, roi, Wallis

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5. Oublier le jacobien dans la substitution $x\mapsto\dfrac{1}{x}$

10. Appliquer une formule de réduction sans vérifier la parité de $n$