Exercice 0.1 : Calculer une intégrale impropre ou établir sa divergence : dix calculs directs

Pour chaque intégrale impropre, remplacez la borne qui pose problème par une limite, calculez l'intégrale sur l'intervalle borné, puis passez à la limite : donnez la valeur si l'intégrale converge, ou dites comment elle diverge.

Trois gestes, toujours dans le même ordre : repérer la borne problématique, infinie ou là où la fonction n'est pas bornée, et couper l'intervalle en deux si elle est À L'INTÉRIEUR ; écrire la limite, $\lim\limits_{b\to\infty}\int_{a}^{b}$ ou $\lim\limits_{a\to c^{+}}\int_{a}^{d}$ ; trouver la primitive, puis calculer la limite. L'intégrale converge si et seulement si CHAQUE limite est finie.

a) $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b) $\int_{-\infty}^{0}e^{3x}\,dx$
c) $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$
d) $\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}$
e) $\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x-2)^{2}}$
f) $\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}}\,dx$
g) $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}$
h) $\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx$
i) $\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}$
j) $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Valeur

b)

Valeur

c)

Valeur

d)

Valeur

e)

Nature

f)

Valeur

g)

Valeur

h)

Nature

i)

Valeur

j)

Valeur

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Réponses

a) Converge : $\frac{1}{8}$
b) Converge : $\frac{1}{3}$
c) Converge : $\frac{3}{2}$
d) Converge : $4$
e) Diverge vers $+\infty$
f) Converge : $\frac{1}{2}$
g) Converge : $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$
h) Diverge vers $+\infty$
i) Converge : $1$
j) Converge : $3+3=6$

Le geste qui décide de tout : écrire la LIMITE avant la primitive. Une borne infinie ou une asymptote verticale ne se remplace jamais par une valeur ; on intègre jusqu'à $b$ , puis on fait tendre $b$ . Et une singularité cachée à l'intérieur de l'intervalle oblige à couper.

a)

$\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}=\lim\limits_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{2}^{b}=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{2b^{2}}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}$ . Converge, comme le prédit le critère en $p$ avec $p=3>1$ .

b)

$\int_{-\infty}^{0}e^{3x}\,dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\left[\frac{e^{3x}}{3}\right]_{a}^{0}=\lim\limits_{a\to-\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{e^{3a}}{3}\right)=\frac{1}{3}$ , puisque $e^{3a}\to 0$ quand $a\to-\infty$ . Piège : oublier le facteur $\frac{1}{3}$ de la primitive.

c)

La fonction n'est pas bornée près de $0$ . $\int_{0}^{1}x^{-1/3}\,dx=\lim\limits_{a\to 0^{+}}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_{a}^{1}=\frac{3}{2}-\lim\limits_{a\to 0^{+}}\frac{3}{2}a^{2/3}=\frac{3}{2}$ . Converge : à la borne $0$ , $p=\frac{1}{3}<1$ . Piège : la primitive de $x^{-1/3}$ divise par $\frac{2}{3}$ , donc multiplie par $\frac{3}{2}$ .

d)

La singularité est à la borne $4$ . $\int_{0}^{4}(4-x)^{-1/2}\,dx=\lim\limits_{b\to 4^{-}}\left[-2\sqrt{4-x}\right]_{0}^{b}=\lim\limits_{b\to 4^{-}}\left(-2\sqrt{4-b}\right)+2\sqrt{4}=0+4=4$ . Piège : le signe moins de la primitive, qui vient de la dérivée $-1$ de $4-x$ .

e)

La singularité est à la borne $2$ . $\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x-2)^{2}}=\lim\limits_{a\to 2^{+}}\left[-\frac{1}{x-2}\right]_{a}^{3}=\lim\limits_{a\to 2^{+}}\left(-1+\frac{1}{a-2}\right)=+\infty$ : l'intégrale diverge vers $+\infty$ . C'est le critère en $p$ à une borne finie, avec $p=2\ge 1$ . Piège : évaluer la primitive en $2$ comme si de rien n'était.

f)

Substitution $u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ : une primitive est $-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}$ . $\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}}\,dx=\lim\limits_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right]_{0}^{b}=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{2}e^{-b^{2}}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

g)

Deux bornes infinies : on coupe en $0$ . Une primitive est $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$ . $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=\lim\limits_{b\to\infty}\frac{1}{2}\arctan\frac{b}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$ , et de même $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{\pi}{4}$ . Les deux moitiés convergent, donc l'intégrale vaut $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ . Piège : la primitive $\arctan x$ , qui ne convient qu'à $\frac{1}{x^{2}+1}$ et donnerait $\pi$ .

h)

Substitution $u=\ln x$ : une primitive est $\frac{(\ln x)^{2}}{2}$ . $\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx=\lim\limits_{b\to\infty}\frac{(\ln b)^{2}}{2}=+\infty$ : l'intégrale diverge vers $+\infty$ . La comparaison le disait déjà : $\frac{\ln x}{x}\ge\frac{1}{x}$ dès $x\ge e$ .

i)

Substitution $u=\ln x$ , $du=\frac{dx}{x}$ : $\int\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=-\frac{1}{\ln x}$ . $\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b}\right)+\frac{1}{\ln e}=0+1=1$ . Converge, alors que $\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$ diverge : le carré change tout.

j)

La fonction n'est pas bornée en $0$ , À L'INTÉRIEUR de $[-1\,;1]$ : on coupe. Une primitive est $3\sqrt[3]{x}$ . $\int_{0}^{1}=\lim\limits_{a\to 0^{+}}\left(3-3\sqrt[3]{a}\right)=3$ et $\int_{-1}^{0}=\lim\limits_{b\to 0^{-}}3\sqrt[3]{b}-3\sqrt[3]{-1}=0+3=3$ . Les deux morceaux convergent, donc l'intégrale vaut $6$ . Piège : calculer $\left[3\sqrt[3]{x}\right]_{-1}^{1}$ sans couper ; ici le nombre tombe juste par chance, mais la même faute sur $\frac{1}{x^{2}}$ donne une aire négative.

Contrôle : avant tout calcul, le critère en $p$ prédit la nature des lignes a), c), e) et j), et la comparaison celle de h). L'intégrale d'une fonction POSITIVE ne peut valoir qu'un nombre positif ou $+\infty$ : un résultat négatif signale toujours une singularité franchie sans limite.

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Exercice 1 : Les sommes de Riemann et le théorème fondamental

On étudie $\int_{0}^{4}x^{2}\,dx$ . La figure montre la parabole et les quatre rectangles de la somme de Riemann à droite.

a) Calculez la somme de Riemann à droite de la figure ( $n=4$ , $\Delta x=1$ ), puis la somme à gauche. Montrez qu'elles encadrent l'intégrale et expliquez pourquoi.
b) Écrivez la somme de Riemann à droite pour $n$ rectangles quelconques et calculez sa limite quand $n\to\infty$ à l'aide de $\sum i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
c) Retrouvez le résultat en dix secondes avec le théorème fondamental du calcul, en énonçant précisément le théorème utilisé.
d) Second sens du théorème : dérivez $g(x)=\int_{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt$ puis $h(x)=\int_{0}^{x^{2}}\cos(t^{2})\,dt$ . Pourquoi ce sens du théorème est-il précieux quand la primitive n'a pas de formule ?

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Réponses

a) $S_{d}=30$ , $S_{g}=14$ : encadrement par croissance
b) $S_{n}=\frac{64}{6}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}\to\frac{64}{3}$
c) $\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}=\frac{64}{3}$
d) $g'(x)=\cos(x^{2})$ , $h'(x)=2x\cos(x^{4})$

a)

À droite, les hauteurs sont $f(1),f(2),f(3),f(4)=1,4,9,16$ : $S_{d}=(1+4+9+16)(1)=30$ . À gauche : $f(0),f(1),f(2),f(3)$ : $S_{g}=(0+1+4+9)(1)=14$ . Comme $x^{2}$ est CROISSANTE sur $[0,4]$ , chaque rectangle à gauche reste sous la courbe et chaque rectangle à droite la dépasse : $14\le\int_{0}^{4}x^{2}dx\le 30$ . L'encadrement est grossier ( $\Delta x$ trop grand), mais il est certain.

b)

Avec $\Delta x=\frac{4}{n}$ et $x_{i}=\frac{4i}{n}$ : $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{4i}{n}\right)^{2}\frac{4}{n}=\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{64}{6}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}$ . Quand $n\to\infty$ , $\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}\to 2$ : $S_{n}\to\frac{64\times 2}{6}=\frac{64}{3}\approx 21{,}33$ . La valeur exacte tombe bien entre 14 et 30.

c)

Théorème fondamental (sens évaluation) : si $F'=f$ sur $[a,b]$ , alors $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$ . Ici $F(x)=\frac{x^{3}}{3}$ : $\int_{0}^{4}x^{2}dx=\frac{64}{3}-0=\frac{64}{3}$ . Tout le travail de la limite de b) est encapsulé une fois pour toutes dans le théorème : c'est LE pont entre dérivée et aire, et la raison d'être des primitives.

d)

Second sens : $g'(x)=\cos(x^{2})$ , directement, sans chercher de primitive. Pour $h$ , la borne est composée : règle de chaîne, $h'(x)=\cos((x^{2})^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{4})$ . Or $\cos(t^{2})$ n'a AUCUNE primitive exprimable avec les fonctions usuelles (intégrale de Fresnel) : le théorème permet quand même de dériver, d'étudier les variations et de tracer $g$ . L'intégrale à borne variable FABRIQUE des fonctions nouvelles, et le théorème dit comment elles varient.

Exercice 2 : Calculs et propriétés : substitution, parties et symétrie

Quatre intégrales indépendantes, chacune choisie pour une technique ou une propriété.

a) Calculez $\int_{1}^{4}\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)dx$ (primitives directes).
b) Calculez $\int_{0}^{2}xe^{x^{2}}dx$ par substitution, en transformant AUSSI les bornes.
c) Calculez $\int_{1}^{e}x\ln x\,dx$ par intégration par parties, en justifiant le choix de $u$ et $dv$ .
d) Sans calculer de primitive : évaluez $\int_{-2}^{2}x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ , puis la valeur moyenne de $\sin x$ sur $[0,\pi]$ . Interprétez cette moyenne.

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Réponses

a) $\frac{59}{4}=14{,}75$
b) $\frac{e^{4}-1}{2}\approx 26{,}80$
c) $\frac{e^{2}+1}{4}\approx 2{,}10$
d) $0$ par imparité ; moyenne $\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637$

a)

Primitives : $3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ donne $2x^{3/2}$ , et $\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ donne $-\frac{1}{x}$ . Donc $\left[2x^{3/2}-\frac{1}{x}\right]_{1}^{4}=\left(16-\frac{1}{4}\right)-(2-1)=15{,}75-1=\frac{59}{4}=14{,}75$ .

b)

$u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ : le $x\,dx$ du haut est exactement $\frac{du}{2}$ . Bornes : $x=0\Rightarrow u=0$ , $x=2\Rightarrow u=4$ . $\int_{0}^{2}xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}du=\frac{e^{4}-1}{2}\approx 26{,}80$ . Changer les bornes en même temps que la variable évite le retour en $x$ : plus court et moins d'erreurs.

c)

Parties : $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ . On DÉRIVE ce qui se simplifie et on INTÈGRE ce qu'on sait intégrer : $u=\ln x$ (sa dérivée $\frac{1}{x}$ tue le logarithme), $dv=x\,dx$ , $v=\frac{x^{2}}{2}$ . $\int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx=\frac{e^{2}}{2}-\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{e}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}-1}{4}=\frac{e^{2}+1}{4}\approx 2{,}10$ .

d)

$x^{3}\sqrt{x^{2}+1}$ est IMPAIRE (produit d'une impaire par une paire) et l'intervalle $[-2,2]$ est symétrique : l'intégrale vaut 0, chaque aire à droite étant annulée par son opposée à gauche : aucun calcul, et la primitive aurait été pénible. Valeur moyenne : $\bar{f}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\frac{1}{\pi}[-\cos x]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637$ . Interprétation : le rectangle de base $\pi$ et de hauteur $\frac{2}{\pi}$ a exactement la même aire que l'arche de sinus; c'est aussi pourquoi la tension « moyenne redressée » d'un signal sinusoïdal vaut $\frac{2}{\pi}$ de son amplitude.

Exercice 3 : Aires et volumes : la géométrie de l'intégrale

La figure montre la parabole $y=x^{2}$ et la droite $y=x+2$ , qui délimitent une région fermée.

a) Trouvez les points d'intersection des deux courbes, puis calculez l'aire de la région comprise entre elles.
b) Calculez l'aire comprise entre $y=\sin x$ et $y=\cos x$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ . Quelle précaution ce calcul exige-t-il ?
c) La région sous $y=\sqrt{x}$ sur $[0,4]$ tourne autour de l'axe des $x$ . Calculez le volume du solide engendré par la méthode des disques.
d) Comparez $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx$ et l'AIRE entre la courbe de sinus et l'axe sur $[0,2\pi]$ . Pourquoi les deux réponses diffèrent-elles, et laquelle un examen demande-t-il quand il dit « aire » ?

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Réponses

a) Intersections $x=-1$ et $x=2$ ; aire $\frac{9}{2}$
b) Couper en $\frac{\pi}{4}$ : $2\sqrt{2}-2\approx 0{,}83$
c) $8\pi$
d) Intégrale $0$ , aire $4$

a)

$x^{2}=x+2\iff x^{2}-x-2=0\iff(x-2)(x+1)=0$ : intersections en $(-1,1)$ et $(2,4)$ , comme sur la figure. Entre les deux, la droite est au-dessus : $A=\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}=4{,}5$ .

b)

Les courbes se CROISENT en $x=\frac{\pi}{4}$ (où $\tan x=1$ ) : il faut couper là, sinon les deux morceaux se compensent. $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)dx=[\sin x+\cos x]_{0}^{\pi/4}=\sqrt{2}-1$ , et par symétrie le second morceau vaut aussi $\sqrt{2}-1$ . Aire totale : $2\sqrt{2}-2\approx 0{,}83$ . Réflexe : toujours chercher les croisements AVANT d'intégrer une différence.

c)

Chaque tranche perpendiculaire à l'axe est un disque de rayon $\sqrt{x}$ : $V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot 8=8\pi\approx 25{,}1$ . Le carré du rayon fait disparaître la racine : les paraboloïdes sont les solides les plus dociles de la méthode des disques.

d)

$\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=[-\cos x]_{0}^{2\pi}=0$ : l'arche positive et l'arche négative se compensent exactement, c'est l'aire ALGÉBRIQUE. L'aire GÉOMÉTRIQUE, elle, compte tout positivement : $\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx=2\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=4$ . Quand l'énoncé dit « aire de la région », c'est toujours la géométrique : on découpe aux zéros de la fonction et on additionne des valeurs absolues. Confondre les deux est l'erreur d'aire la plus fréquente du cours.

Exercice 4 : Encadrer sans calculer : Chasles, inégalités et théorème de la moyenne

L'intégrale définie est un OPÉRATEUR avant d'être un calcul : elle obéit à des règles de découpage et de comparaison qui donnent souvent la réponse sans qu'aucune primitive n'apparaisse. Encore faut-il connaître les règles qui existent, et celles qui n'existent pas.

a) On donne $\int_{0}^{3}f=7$ et $\int_{0}^{5}f=4$ . Déduisez-en $\int_{3}^{5}f$ , $\int_{5}^{0}f$ et $\int_{3}^{3}f$ , puis $\int_{0}^{5}\left(2f(x)+1\right)dx$ . Justifiez chaque étape par la propriété utilisée.
b) Sans calculer l'intégrale, démontrez que $2\le\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{3}}\,dx\le 6$ . Sur quelle propriété l'encadrement repose-t-il, et pourquoi la fonction n'a-t-elle pas besoin d'avoir une primitive connue ?
c) Démontrez que $\left|\int_{a}^{b}f\right|\le\int_{a}^{b}|f|$ à partir de l'encadrement $-|f|\le f\le|f|$ , puis donnez un exemple où l'inégalité est STRICTE. Enfin, un étudiant écrit $\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx=\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}$ : réfutez par le calcul.
d) Énoncez le théorème de la moyenne pour les intégrales, puis trouvez le $c$ explicite pour $f(x)=x^{2}$ sur $[0,3]$ . Ce $c$ est-il le milieu de l'intervalle ? Montrez enfin que le théorème TOMBE si on retire la continuité, avec la fonction valant 0 sur $[0,1[$ et 1 sur $[1,2]$ .

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Réponses

a) $-3$ , $-4$ , $0$ et $13$
b) $1\leq\sqrt{1+x^{3}}\leq 3$ sur une largeur $2$
c) $\frac{1}{3}\neq\frac{1}{4}$ : pas de règle du produit
d) $c=\sqrt{3}$ , pas le milieu ; la marche n'atteint pas $\frac{1}{2}$

a)

Relation de Chasles : $\int_{0}^{5}=\int_{0}^{3}+\int_{3}^{5}$ , donc $\int_{3}^{5}f=4-7=-3$ . Le signe négatif ne choque pas : sur $[3,5]$ la fonction passe manifestement sous l'axe. Orientation : échanger les bornes change le signe, $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-4$ . Bornes égales : $\int_{3}^{3}f=0$ , un intervalle de largeur nulle n'accumule rien. Linéarité : $\int_{0}^{5}(2f+1)=2\int_{0}^{5}f+\int_{0}^{5}1\,dx=2(4)+5=13$ , le second terme étant l'aire du rectangle de hauteur 1 et de base 5.

b)

Propriété de monotonie : si $m\le f\le M$ sur $[a,b]$ , alors $m(b-a)\le\int_{a}^{b}f\le M(b-a)$ , car intégrer préserve les inégalités. Sur $[0,2]$ , $x^{3}$ va de 0 à 8, donc $1\le 1+x^{3}\le 9$ , et la racine étant croissante, $1\le\sqrt{1+x^{3}}\le 3$ . En multipliant par la largeur $b-a=2$ : $2\le\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{3}}\,dx\le 6$ . La valeur réelle vaut environ $3{,}24$ : l'encadrement est correct, quoique large. Rien n'a exigé de primitive, et c'est tout l'intérêt : $\sqrt{1+x^{3}}$ n'en possède aucune élémentaire, mais on sait déjà où tombe son intégrale.

c)

De $-|f|\le f\le|f|$ et de la monotonie de l'intégrale : $-\int_{a}^{b}|f|\le\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}|f|$ , ce qui est exactement $\left|\int f\right|\le\int|f|$ . Cas strict : $f=\sin$ sur $[0,2\pi]$ donne $\left|\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\right|=0$ alors que $\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx=4$ . La compensation des signes est justement ce que la valeur absolue interdit : $0<4$ . Réfutation du produit : $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$ , tandis que $\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$ . Comme $\frac{1}{3}\ne\frac{1}{4}$ , l'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales. L'intégrale est linéaire, elle n'est pas multiplicative, et c'est précisément pour cela que l'intégration par parties existe.

d)

Théorème de la moyenne : si $f$ est CONTINUE sur $[a,b]$ , il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ ; autrement dit la fonction atteint sa propre valeur moyenne au moins une fois. Ici $\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x^{2}dx=\frac{1}{3}\cdot 9=3$ , donc $c^{2}=3$ et $c=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ , bien dans $[0,3]$ . Ce n'est PAS le milieu : $f(1{,}5)=2{,}25\ne 3$ . La moyenne d'une fonction convexe est tirée vers le haut par la croissance rapide de droite, donc $c$ se situe à droite du milieu. Sans continuité, tout s'effondre : la fonction en marche vaut 0 sur $[0,1[$ et 1 sur $[1,2]$ , son intégrale sur $[0,2]$ vaut 1 et sa moyenne $\frac{1}{2}$ , mais elle ne prend QUE les valeurs 0 et 1, jamais $\frac{1}{2}$ . C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui alimente en secret le théorème de la moyenne : retirez la continuité, il n'y a plus rien.

Exercice 5 : Lire l'aire accumulée : étudier une primitive à partir du graphe de la fonction

La figure donne le graphe d'une fonction $f$ , affine par morceaux, sur $[0,8]$ . On pose $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ : l'aire accumulée depuis 0, comptée positivement au-dessus de l'axe et négativement en dessous. Toute l'étude de $F$ se lit sur ce dessin, sans aucune formule pour $f$ .

a) Calculez $F(2)$ , $F(4)$ , $F(6)$ et $F(8)$ par des aires géométriques élémentaires. Pourquoi $F(8)<F(4)$ alors que la fonction $f$ ne cesse pas d'exister après 4 ?
b) Déterminez les intervalles de croissance et de décroissance de $F$ , et localisez son maximum sur $[0,8]$ . Un étudiant répond que $F$ est maximale là où $f$ est maximale, donc en $x=2$ : corrigez et expliquez la confusion.
c) Étudiez la concavité de $F$ et donnez ses points d'inflexion. Attention : en $x=4$ la pente de $f$ change de $-2$ à $-1$ ; y a-t-il un point d'inflexion là ?
d) On pose $G(x)=\int_{2}^{x}f(t)\,dt$ . Calculez $G(0)$ et $G(8)$ , puis comparez les graphes de $F$ et de $G$ . Que dit cette comparaison sur la constante d'intégration, et pourquoi $F$ et $G$ ont-elles exactement les mêmes variations ?

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Réponses

a) $F(2)=4$ , $F(4)=8$ , $F(6)=6$ , $F(8)=4$
b) $F$ croît sur $[0;4]$ , décroît sur $[4;8]$ ; maximum $8$ en $x=4$
c) Inflexions en $2$ et $6$ , pas en $4$
d) $G=F-4$ : $G(0)=-4$ , $G(8)=0$

a)

Chaque morceau est un triangle. Sur $[0,2]$ : triangle de base 2 et de hauteur 4, aire $\frac{2\times 4}{2}=4$ , donc $F(2)=4$ . Sur $[2,4]$ : même triangle renversé, aire 4, toujours au-dessus de l'axe, donc $F(4)=4+4=8$ . Sur $[4,6]$ : triangle SOUS l'axe, base 2, hauteur 2, aire 2 comptée négativement : $F(6)=8-2=6$ . Sur $[6,8]$ : encore $-2$ , donc $F(8)=4$ . On a bien $F(8)<F(4)$ parce que $F$ n'accumule pas de la quantité, elle accumule de l'aire ALGÉBRIQUE : après $x=4$ , $f$ est négative et chaque nouvelle tranche RETIRE de l'aire au total. Un compte dont le taux de dépôt devient négatif continue d'exister, il se vide.

b)

Le théorème fondamental donne $F'=f$ : le signe de $f$ pilote les variations de $F$ . Or $f>0$ sur $]0,4[$ et $f<0$ sur $]4,8[$ . Donc $F$ CROÎT sur $[0,4]$ et DÉCROÎT sur $[4,8]$ , avec un maximum en $x=4$ , de valeur $F(4)=8$ . La confusion de l'étudiant est de lire le graphe comme s'il s'agissait de $F$ : ce qui est dessiné est $f$ , c'est-à-dire la DÉRIVÉE de $F$ . En $x=2$ , $f$ atteint son maximum, ce qui signifie que $F$ croît le plus VITE, pas qu'elle est la plus haute. $F$ culmine là où sa dérivée s'annule en changeant de signe, donc en $x=4$ , exactement le moment où $f$ traverse l'axe du positif vers le négatif.

c)

$F''=f'$ , soit la PENTE du graphe donné. Les pentes valent successivement $+2$ sur $[0,2]$ , $-2$ sur $[2,4]$ , $-1$ sur $[4,6]$ , $+1$ sur $[6,8]$ . Donc $F$ est convexe sur $[0,2]$ , concave sur $[2,6]$ , convexe sur $[6,8]$ . Les points d'inflexion sont en $x=2$ et $x=6$ , là où la pente de $f$ CHANGE DE SIGNE. En $x=4$ , la pente passe de $-2$ à $-1$ : elle change de valeur mais reste négative, donc $F''$ reste négative et la concavité ne change pas. Aucun point d'inflexion en 4. Le piège est classique : c'est le signe de $f'$ qui compte, jamais le simple fait qu'une pente change. Notez la répartition des rôles : les zéros de $f$ donnent les extremums de $F$ , les extremums de $f$ donnent les inflexions de $F$ .

d)

$G(0)=\int_{2}^{0}f=-\int_{0}^{2}f=-4$ . $G(8)=\int_{2}^{8}f=F(8)-F(2)=4-4=0$ . En général $G(x)=F(x)-F(2)=F(x)-4$ : les deux fonctions diffèrent d'une CONSTANTE, et leurs graphes sont translatés verticalement de 4 unités. C'est exactement le contenu de la constante d'intégration : changer la borne inférieure d'une intégrale à borne variable ne change que le niveau de référence, celui du point où l'accumulation est déclarée nulle. Comme $G'=F'=f$ , les deux fonctions ont les mêmes variations, la même concavité, le même maximum en $x=4$ et les mêmes inflexions en 2 et 6. Une translation verticale ne déplace aucun point critique : c'est pourquoi une primitive quelconque suffit toujours à répondre à une question de variations.

Exercice 6 : La borne infinie : deux courbes jumelles, deux destins

La figure montre $y=\frac{1}{x}$ et $y=\frac{1}{x^{2}}$ pour $x\ge 1$ : deux courbes qui tendent toutes deux vers 0, presque indiscernables à l'œil. L'une délimite pourtant une aire infinie, l'autre une aire finie.

a) Donnez la définition d'une intégrale impropre de type I, puis calculez $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}$ et montrez que $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge.
b) Démontrez le critère en $p$ : $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ , et donnez alors sa valeur.
c) Calculez $\int_{0}^{\infty}e^{-x/2}dx$ . Dans un modèle d'élimination d'un médicament, que représenterait cette aire ?
d) La trompette de Gabriel est le solide engendré par $y=\frac{1}{x}$ ( $x\ge 1$ ) tournant autour de l'axe des $x$ . Calculez son volume, admettez que son aire latérale dépasse $\int_{1}^{\infty}\frac{2\pi}{x}dx$ , et énoncez le paradoxe.

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Réponses

a) $1$ ; $\ln b\to\infty$
b) Converge si et seulement si $p>1$ , vers $\frac{1}{p-1}$
c) $2$
d) Volume $\pi$ , aire infinie

a)

Par définition, $\int_{1}^{\infty}f=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}f$ : on intègre sur $[1,b]$ FINI, puis on fait tendre $b$ vers l'infini; l'intégrale converge si la limite est finie. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}\to 1$ : convergente, de valeur 1. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=\ln b\to\infty$ : divergente. Les deux courbes tendent vers 0, mais $\frac{1}{x}$ ne descend pas ASSEZ VITE : tendre vers zéro ne suffit jamais, c'est la vitesse qui décide.

b)

Pour $p\ne 1$ : $\int_{1}^{b}x^{-p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$ . Si $p>1$ , l'exposant $1-p$ est négatif : $b^{1-p}\to 0$ et l'intégrale converge vers $\frac{1}{p-1}$ . Si $p<1$ , $b^{1-p}\to\infty$ : divergence. Si $p=1$ : le logarithme de a), divergent. Frontière exacte : $p=1$ , du mauvais côté. Vérification : $p=2$ donne $\frac{1}{2-1}=1$ , la valeur de a).

c)

$\int_{0}^{b}e^{-x/2}dx=\left[-2e^{-x/2}\right]_{0}^{b}=2-2e^{-b/2}\to 2$ . L'exponentielle décroît si vite que l'aire infinie en largeur reste finie. Si $e^{-x/2}$ est la concentration résiduelle d'un médicament au temps $x$ , cette aire est l'EXPOSITION TOTALE de l'organisme (l'« aire sous la courbe » des pharmacologues, qui calibre les doses) : une quantité finie, bien que l'élimination ne se termine jamais.

d)

Volume par disques : $V=\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\pi\times 1=\pi$ : FINI, environ 3,14 unités cubes. L'aire latérale, elle, dépasse $2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ , qui diverge : aire INFINIE. Paradoxe de Gabriel : on peut remplir la trompette avec $\pi$ litres de peinture, mais aucune quantité finie ne suffit à peindre sa paroi. La résolution est dans le critère en $p$ : le volume intègre $\frac{1}{x^{2}}$ ( $p=2$ , converge), la surface intègre $\frac{1}{x}$ ( $p=1$ , diverge) : les deux questions, qui semblent jumelles, vivent des deux côtés de la frontière.

Exercice 7 : La borne singulière : l'infini caché dans l'intervalle

Une intégrale peut aussi être impropre parce que la fonction EXPLOSE à une borne (asymptote verticale), même sur un intervalle borné. Le réflexe est le même : une limite, jamais un calcul direct.

a) Définissez l'intégrale impropre de type II et calculez $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ .
b) Un étudiant écrit : $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2$ . Expliquez pourquoi ce résultat est absurde AVANT tout calcul, trouvez la faute, et donnez la vraie nature de cette intégrale.
c) Énoncez et démontrez le critère en $p$ à la borne 0 : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si et seulement si $p<1$ . Comparez au critère à l'infini.
d) Montrez que $\int_{0}^{1}\ln x\,dx$ converge malgré l'asymptote verticale en 0, et donnez sa valeur (on admettra $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ ). Que dit ce résultat sur la « taille » de l'infini du logarithme ?

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Réponses

a) $2$
b) Absurde (négatif) : singularité en $0$ , divergente
c) En $0$ : converge si et seulement si $p<1$
d) $-1$

a)

Si $f$ explose en $a$ : $\int_{a}^{b}f=\lim_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f$ . Ici : $\int_{c}^{1}x^{-1/2}dx=\left[2\sqrt{x}\right]_{c}^{1}=2-2\sqrt{c}\to 2$ . Convergente, de valeur 2 : l'asymptote verticale de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 enferme une aire finie.

b)

L'absurdité saute aux yeux : $\frac{1}{x^{2}}$ est strictement POSITIVE, son intégrale ne peut pas être négative. La faute : appliquer le théorème fondamental à travers $x=0$ , où la fonction n'est même pas définie : le théorème exige la continuité sur TOUT l'intervalle. La vraie analyse coupe en 0 : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{c\to 0^{+}}\left(\frac{1}{c}-1\right)=\infty$ : chaque moitié diverge, l'intégrale DIVERGE. La primitive appliquée en aveugle sur une singularité est le piège le plus dangereux du chapitre : le calcul « marche » et donne un nombre, mais ce nombre ne veut rien dire.

c)

Pour $p\ne 1$ : $\int_{c}^{1}x^{-p}dx=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}$ . Si $p<1$ : $1-p>0$ , $c^{1-p}\to 0$ , convergence vers $\frac{1}{1-p}$ (pour $p=\frac{1}{2}$ : 2, la valeur de a)). Si $p>1$ : $c^{1-p}\to\infty$ , divergence; $p=1$ : $-\ln c\to\infty$ , divergence. C'est le MIROIR exact du critère à l'infini : en 0 il faut $p<1$ , à l'infini $p>1$ , et $p=1$ perd des deux côtés. Moyen mnémotechnique : la singularité douce est tolérée, la lente décroissance ne l'est pas.

d)

$\int_{c}^{1}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_{c}^{1}=(0-1)-(c\ln c-c)$ . Avec $c\ln c\to 0$ : l'intégrale vaut $-1$ . Convergente : l'aire (sous l'axe) entre la courbe du logarithme et l'axe sur $]0,1]$ vaut exactement 1. Le logarithme explose donc « moins fort » que TOUTE puissance $\frac{1}{x^{p}}$ : son infini est si lent qu'il n'enferme qu'une aire finie, alors même que $\frac{1}{x}$ , dont il est la primitive, diverge en 0. L'échelle des infinis, logarithme < puissances < exponentielle, gouverne tout le chapitre et resservira mot pour mot dans les séries.

Exercice 8 : La comparaison : conclure sans calculer

Beaucoup d'intégrales impropres n'ont pas de primitive exprimable : le critère de comparaison permet de conclure sans calculer, en encadrant par une intégrale de référence ( $p$ ou exponentielle).

a) Énoncez le critère de comparaison pour des fonctions positives, puis déterminez la nature de $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1}$ .
b) Déterminez la nature de $\int_{1}^{\infty}\frac{2+\sin x}{x}dx$ .
c) Montrez que $\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$ converge, en coupant l'intervalle en deux et en comparant à $e^{-x}$ sur $[1,\infty[$ . Quelle est la valeur admise de cette intégrale, et où la retrouve-t-on ?
d) Niveau examen : déterminez la nature de $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ , doublement impropre, puis calculez sa valeur exacte à l'aide de la primitive $2\arctan\sqrt{x}$ .

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Réponses

a) Convergente, comparée à $\frac{1}{x^{3}}$
b) Divergente, minorée par $\frac{1}{x}$
c) Convergente ; valeur $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}886$
d) Convergente ; valeur $\pi$

a)

Pour $0\le f\le g$ sur l'intervalle : si $\int g$ converge, $\int f$ converge (l'aire de $f$ est coincée sous une aire finie); si $\int f$ diverge, $\int g$ diverge. Ici $0\le\frac{1}{x^{3}+1}\le\frac{1}{x^{3}}$ , et $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$ converge ( $p=3>1$ ) : CONVERGENTE. Le $+1$ du dénominateur ne compte pas à l'infini : on compare toujours au comportement dominant.

b)

Encadrement par en dessous : $\sin x\ge -1$ , donc $\frac{2+\sin x}{x}\ge\frac{1}{x}>0$ . Or $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge : DIVERGENTE. L'oscillation du sinus ne sauve rien : la fonction reste au-dessus d'une divergente. Réflexe : borner le sinus entre $-1$ et 1 transforme presque toujours l'intégrale oscillante en comparaison propre.

c)

Sur $[0,1]$ : fonction continue et bornée, intégrale ordinaire, aucun problème. Sur $[1,\infty[$ : dès que $x\ge 1$ , $x^{2}\ge x$ donc $e^{-x^{2}}\le e^{-x}$ , et $\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$ converge : CONVERGENTE. La valeur admise est $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}886$ : c'est la moitié de l'aire de la cloche de Gauss, le cœur de toute la statistique (loi normale), intégrale sans primitive élémentaire mais à la valeur exacte célèbre.

d)

Deux dangers : la singularité $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 et la queue infinie. En 0 : $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$ , $p=\frac{1}{2}<1$ : converge. À l'infini : $\sim\frac{1}{x^{3/2}}$ , $p=\frac{3}{2}>1$ : converge. Donc convergente des deux côtés. Valeur : $\frac{d}{dx}\left(2\arctan\sqrt{x}\right)=\frac{2}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$ , la primitive annoncée. D'où $\lim_{b\to\infty}2\arctan\sqrt{b}-\lim_{c\to 0^{+}}2\arctan\sqrt{c}=2\cdot\frac{\pi}{2}-0=\pi$ . Une aire exactement égale à $\pi$ , cachée entre deux infinis apprivoisés : la signature d'une belle question d'examen.

Exercice 9 : Une loi de probabilité sans moyenne

En probabilité continue, une densité est une fonction $f\ge 0$ dont l'intégrale sur tout le domaine vaut exactement 1, et la moyenne (espérance) est $\int x\,f(x)\,dx$ . Ces deux intégrales sont impropres : rien ne garantit qu'elles convergent toutes les deux, et c'est là que le chapitre devient surprenant.

a) La durée de vie d'une ampoule suit la densité $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0,\infty[$ avec $\lambda=\frac{1}{4}$ (en milliers d'heures). Vérifiez que la masse totale vaut 1, calculez $P(X>8)$ , puis la durée de vie moyenne $\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx$ par intégration par parties.
b) Démontrez par récurrence que $\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}dx=n!$ pour tout entier $n\ge 0$ , en établissant d'abord la relation $I_{n}=n\,I_{n-1}$ . Pourquoi les termes de bord disparaissent-ils à chaque étape ?
c) Soit $g(x)=\frac{1}{x^{2}}$ sur $[1,\infty[$ . Vérifiez que $g$ est bien une densité de probabilité et calculez $P(X>10)$ . Puis étudiez $\int_{1}^{\infty}x\,g(x)\,dx$ : que se passe-t-il, et quel sens concret donner à ce résultat ?
d) Niveau examen : soit $h(x)=\frac{2}{x^{3}}$ sur $[1,\infty[$ . Vérifiez que c'est une densité, calculez sa moyenne, puis $\int_{1}^{\infty}x^{2}h(x)\,dx$ . Concluez sur la variance. Énoncez enfin la règle générale : pour une densité en $\frac{C}{x^{p}}$ sur $[1,\infty[$ , quels moments $\int x^{k}h$ existent ?

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Réponses

a) Masse $1$ ; $P(X>8)=e^{-2}\approx 0{,}135$ ; moyenne $4000$ h
b) $I_{n}=nI_{n-1}$ , donc $n!$
c) Densité, $P(X>10)=\frac{1}{10}$ , moyenne infinie
d) Moyenne $2$ , variance infinie ; moments pour $k<p-1$

a)

Masse : $\int_{0}^{b}\frac{1}{4}e^{-x/4}dx=\left[-e^{-x/4}\right]_{0}^{b}=1-e^{-b/4}\to 1$ . C'est bien une densité. $P(X>8)=\int_{8}^{\infty}\frac{1}{4}e^{-x/4}dx=\lim_{b\to\infty}\left(e^{-2}-e^{-b/4}\right)=e^{-2}\approx 0{,}135$ : environ 13,5 pour cent des ampoules dépassent 8000 heures. Moyenne par parties, avec $u=x$ et $dv=\frac{1}{4}e^{-x/4}dx$ , donc $v=-e^{-x/4}$ : $\int_{0}^{b}=\left[-xe^{-x/4}\right]_{0}^{b}+\int_{0}^{b}e^{-x/4}dx$ . Le terme de bord $-be^{-b/4}\to 0$ car l'exponentielle écrase la puissance, et l'intégrale restante tend vers 4. Durée de vie moyenne : $\frac{1}{\lambda}=4$ , soit 4000 heures. Notez qu'elle dépasse largement la médiane : la loi exponentielle a une longue queue à droite.

b)

Base : $I_{0}=\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1=0!$ . Récurrence : par parties avec $u=x^{n}$ et $dv=e^{-x}dx$ , $I_{n}=\left[-x^{n}e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+n\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx=0+n\,I_{n-1}$ . Le terme de bord s'annule aux deux extrémités : en 0 parce que $x^{n}=0$ (pour $n\ge 1$ ), et à l'infini parce que $\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}=0$ , l'exponentielle l'emportant sur TOUTE puissance, ce qui est la même hiérarchie que celle des formes indéterminées traitées par la règle de L'Hôpital. En déroulant : $I_{n}=n(n-1)\cdots 1\cdot I_{0}=n!$ . Vérification : $I_{2}=2$ , $I_{3}=6$ , $I_{4}=24$ . Cette intégrale définit la fonction Gamma, qui prolonge la factorielle aux nombres non entiers.

c)

Densité : $g\ge 0$ et $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=1$ par le critère en $p$ avec $p=2>1$ , de valeur $\frac{1}{2-1}=1$ . La masse vaut donc exactement 1. $P(X>10)=\int_{10}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{10}$ . Moyenne : $\int_{1}^{\infty}x\cdot\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ . Elle DIVERGE. Voilà une loi de probabilité parfaitement légitime, dont toutes les probabilités sont bien définies, mais qui n'a AUCUNE moyenne finie. Le sens concret : la queue en $\frac{1}{x^{2}}$ est assez fine pour que la masse totale soit finie, mais les valeurs extrêmes sont si grandes, et pas assez rares, que leur contribution $x\cdot g(x)$ ne s'éteint pas. Si vous simulez cette loi, la moyenne empirique de vos tirages ne se stabilise jamais : elle grimpe indéfiniment, poussée par des valeurs géantes de plus en plus rares. Ce comportement modélise les tailles de sinistres en assurance et certaines fluctuations de marché, où l'on parle de risque à queue lourde.

d)

Masse : $\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x^{3}}dx=2\cdot\frac{1}{3-1}=1$ : densité valide. Moyenne : $\int_{1}^{\infty}x\cdot\frac{2}{x^{3}}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x^{2}}dx=2\cdot\frac{1}{2-1}=2$ , cette fois FINIE. Moment d'ordre 2 : $\int_{1}^{\infty}x^{2}\cdot\frac{2}{x^{3}}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x}dx$ , divergente ( $p=1$ ). Comme la variance vaut $E[X^{2}]-\left(E[X]\right)^{2}$ et que $E[X^{2}]$ est infinie, la VARIANCE est infinie : cette loi possède une moyenne mais pas d'écart-type. Toute barre d'erreur, tout intervalle de confiance usuel, tout théorème central limite classique devient inapplicable. Règle générale : $\int_{1}^{\infty}x^{k}\cdot\frac{C}{x^{p}}dx=C\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p-k}}$ converge si et seulement si $p-k>1$ , c'est-à-dire $k<p-1$ . Pour $p=2$ : aucun moment, pas même la moyenne. Pour $p=3$ : la moyenne ( $k=1$ ) passe, la variance ( $k=2$ ) non. Chaque unité gagnée sur l'exposant $p$ achète exactement un moment de plus, et tout le chapitre des intégrales impropres se résume ici à une seule inégalité.

Exercice 10 : Doublement impropre : la symétrie qui ment

Quand les DEUX bornes posent problème, la définition impose de couper l'intervalle et d'exiger la convergence de chaque morceau SÉPARÉMENT. Cette exigence paraît bureaucratique; elle est en réalité ce qui empêche l'intégrale de dépendre de la façon dont on part vers l'infini.

a) Énoncez la définition de $\int_{-\infty}^{\infty}f$ , puis calculez $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}$ en respectant la coupure.
b) Un étudiant affirme : « $x$ est impaire, donc $\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx=0$ ». Montrez que chaque moitié diverge, donc que l'intégrale diverge. Puis calculez $\int_{-R}^{R}x\,dx$ et $\int_{-R}^{2R}x\,dx$ quand $R\to\infty$ : que révèle la comparaison des deux résultats ?
c) Déterminez la nature de $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^{2}}dx$ , puis celle de $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}dx$ . Les deux intégrandes sont impaires : formulez précisément la condition sous laquelle l'argument de symétrie est LÉGITIME.
d) Niveau examen : étudiez $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx$ , impropre aux deux bornes. Coupez en 1, justifiez la convergence de chaque morceau par un critère, puis calculez la valeur exacte par la substitution $x=u^{2}$ , sachant que $\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ .

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Réponses

a) $\pi$ , chaque moitié valant $\frac{\pi}{2}$
b) Diverge : $0$ et $+\infty$ selon les bornes
c) La première diverge ; la seconde vaut $0$
d) $\sqrt{\pi}\approx 1{,}772$

a)

Définition : on choisit un point $c$ quelconque et $\int_{-\infty}^{\infty}f=\int_{-\infty}^{c}f+\int_{c}^{\infty}f$ , l'intégrale convergeant si et seulement si les DEUX morceaux convergent, chacun avec sa propre limite indépendante. Avec $c=0$ : $\int_{0}^{b}\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan b\to\frac{\pi}{2}$ , et par parité le même calcul donne $\int_{-a}^{0}\to\frac{\pi}{2}$ . Les deux convergent, donc l'intégrale converge et vaut $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$ . Le choix de $c$ n'influence pas le total : déplacer la coupure retire d'un morceau exactement ce qu'elle ajoute à l'autre.

b)

$\int_{0}^{b}x\,dx=\frac{b^{2}}{2}\to\infty$ : la moitié droite diverge, ce qui suffit à conclure. La moitié gauche diverge de même vers $-\infty$ . L'intégrale DIVERGE, et l'argument de parité ne s'applique pas. La comparaison est spectaculaire : $\int_{-R}^{R}x\,dx=\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{2}=0$ pour tout $R$ , donc une limite de 0; mais $\int_{-R}^{2R}x\,dx=\frac{4R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{2}=\frac{3R^{2}}{2}\to+\infty$ . Deux façons tout aussi naturelles de faire tendre les bornes vers l'infini donnent 0 et $+\infty$ . Une quantité qui dépend de la manière dont on l'approche n'est pas définie : voilà POURQUOI la définition exige la convergence séparée. La limite symétrique $\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}$ porte un nom, la valeur principale de Cauchy, mais ce n'est pas l'intégrale, et l'écrire sans le préciser est une faute d'examen.

c)

$\int_{0}^{b}\frac{x}{1+x^{2}}dx=\frac{1}{2}\ln(1+b^{2})\to\infty$ : divergente, exactement comme en b), car à l'infini $\frac{x}{1+x^{2}}\sim\frac{1}{x}$ , le cas frontière $p=1$ . La symétrie ne sauve rien. En revanche $\frac{x}{1+x^{4}}\sim\frac{1}{x^{3}}$ à l'infini, avec $p=3>1$ : chaque moitié converge (la substitution $u=x^{2}$ donne $\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{1+x^{4}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}}=\frac{\pi}{4}$ ), donc l'intégrale converge, et LÀ l'imparité donne bien un total nul : $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0$ . Condition précise : l'argument de symétrie est un argument de CALCUL, jamais un argument de convergence. Il faut d'abord établir que chaque moitié converge; l'imparité fournit ensuite la valeur, gratuitement. Inverser l'ordre des deux étapes, c'est annuler deux infinis l'un par l'autre, ce qui n'a aucun sens.

d)

Deux problèmes distincts : en 0 l'intégrande explose, à l'infini l'intervalle est illimité. On coupe en 1. Près de 0 : $e^{-x}\le 1$ , donc $\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\le\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0,1]$ , et $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ converge par le critère en $p$ à la borne 0 avec $p=\frac{1}{2}<1$ : premier morceau convergent. Sur $[1,\infty[$ : $\sqrt{x}\ge 1$ donc $\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\le e^{-x}$ , et $\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$ converge : second morceau convergent par comparaison. L'intégrale converge donc. Valeur : avec $x=u^{2}$ , $dx=2u\,du$ , $\sqrt{x}=u$ , et les bornes $0\to 0$ , $\infty\to\infty$ : $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^{2}}}{u}2u\,du=2\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du=2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}\approx 1{,}772$ . La substitution a fait disparaître la singularité : le $2u\,du$ du changement de variable annule exactement le $\frac{1}{u}$ qui explosait. C'est la valeur $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ , la factorielle de $\frac{1}{2}$ , et le pont entre la fonction Gamma de l'exercice précédent et l'intégrale de Gauss vue plus haut.

Exercice 11 : Le théorème fondamental au travail : dériver, passer à la limite, retrouver

Le second sens du théorème fondamental, $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$ pour $f$ continue, ne sert pas qu'à dériver : il transforme des limites, des équations et des études de fonctions en calculs de dérivées.

a) Pour $x>1$ , on pose $F(x)=\int_{x}^{x^{2}}\ln t\,dt$ . Calculez $F'(x)$ sans calculer l'intégrale, puis $F'(2)$ .
b) Calculez $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{3}}\int_{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt$ .
c) Trouvez une fonction $f$ et un nombre $a>0$ tels que $6+\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t^{2}}\,dt=2\sqrt{x}$ pour tout $x>0$ .
d) On pose $G(x)=\int_{0}^{x}(t^{2}-4)e^{-t^{2}}\,dt$ pour $x\geq 0$ . Étudiez les variations de $G$ et donnez l'abscisse de son minimum.
e) On pose $H(x)=\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt$ . Écrivez l'équation de la tangente à la courbe de $H$ en $x=1$ , puis estimez $H(1{,}1)$ .

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Réponses

a) $F'(x)=(4x-1)\ln x$ ; $F'(2)\approx 4{,}852$
b) $\frac{1}{3}$
c) $f(x)=x^{3/2}$ , $a=9$
d) Minimum en $x=2$
e) $y=\sqrt{2}(x-1)$ ; $H(1{,}1)\approx 0{,}141$

a)

Si $\Phi$ est une primitive de $\ln$ , $F(x)=\Phi(x^{2})-\Phi(x)$ , donc $F'(x)=\ln(x^{2})\cdot 2x-\ln x=4x\ln x-\ln x=(4x-1)\ln x$ . La borne supérieure $x^{2}$ apporte la règle de chaîne, la borne inférieure un signe moins. $F'(2)=7\ln 2\approx 4{,}852$ .

b)

Forme $\frac{0}{0}$ . Par L'Hôpital et le théorème fondamental : $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^{2})}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$ , puisque $\frac{\sin u}{u}\to 1$ . Le numérateur n'a aucune primitive élémentaire, et on n'en a pas eu besoin.

c)

En dérivant les deux membres : $\frac{f(x)}{x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , donc $f(x)=x^{3/2}$ . En $x=a$ , l'intégrale est nulle : $6=2\sqrt{a}$ , d'où $a=9$ . Contrôle : $6+\int_{9}^{x}t^{-1/2}dt=6+2\sqrt{x}-6=2\sqrt{x}$ ✓.

d)

$G'(x)=(x^{2}-4)e^{-x^{2}}$ , du signe de $x^{2}-4$ puisque l'exponentielle est positive : $G$ décroît sur $[0;2]$ et croît sur $[2;+\infty[$ . Le minimum est atteint en $x=2$ . On ne connaît aucune formule de $G$ , mais sa dérivée suffit à tout dire de ses variations.

e)

$H(1)=0$ et $H'(1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ : la tangente a pour équation $y=\sqrt{2}(x-1)$ . D'où $H(1{,}1)\approx 0{,}1\sqrt{2}\approx 0{,}141$ . La valeur exacte, obtenue numériquement, vaut environ $0{,}147$ : la tangente sous-estime, car $H''(x)=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{1+x^{3}}}>0$ rend $H$ convexe.

Exercice 12 : La transformée de Laplace : quatre intégrales impropres à paramètre

Pour une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ , on pose $\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt$ , lorsque cette intégrale impropre converge. Cet outil transforme les équations différentielles en équations algébriques ; ici, on le calcule.

a) Calculez $\mathcal{L}\{1\}(s)$ en précisant pour quelles valeurs de $s$ l'intégrale converge. Donnez sa valeur pour $s=4$ .
b) Calculez $\mathcal{L}\{t\}(s)$ pour $s>0$ par intégration par parties, en justifiant la disparition du terme de bord. Valeur pour $s=4$ ?
c) Calculez $\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)$ et la condition de convergence. Valeur pour $a=3$ et $s=5$ ?
d) Calculez $\mathcal{L}\{\sin t\}(s)$ pour $s>0$ par deux intégrations par parties. Valeur pour $s=2$ ?
e) Existe-t-il une valeur de $s$ pour laquelle $\mathcal{L}\{e^{t^{2}}\}(s)$ converge ? Justifiez.

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Réponses

a) $\frac{1}{s}$ pour $s>0$ ; $0{,}25$
b) $\frac{1}{s^{2}}$ ; $0{,}0625$
c) $\frac{1}{s-a}$ pour $s>a$ ; $0{,}5$
d) $\frac{1}{s^{2}+1}$ ; $0{,}2$
e) Aucune : $e^{t^{2}}$ bat toute exponentielle

a)

$\int_{0}^{b}e^{-st}dt=\frac{1-e^{-sb}}{s}$ pour $s\neq 0$ . Si $s>0$ , $e^{-sb}\to 0$ et l'intégrale converge vers $\frac{1}{s}$ . Si $s<0$ , $e^{-sb}\to+\infty$ : divergence ; si $s=0$ , $\int_{0}^{b}1\,dt=b\to\infty$ . Donc $\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}$ pour $s>0$ , et $\frac{1}{4}=0{,}25$ pour $s=4$ .

b)

$u=t$ , $dv=e^{-st}dt$ , $v=-\frac{e^{-st}}{s}$ : $\int_{0}^{b}te^{-st}dt=\left[-\frac{te^{-st}}{s}\right]_{0}^{b}+\frac{1}{s}\int_{0}^{b}e^{-st}dt$ . Le terme de bord vaut $-\frac{be^{-sb}}{s}\to 0$ : l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur $b$ . Il reste $\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}$ , soit $\frac{1}{16}=0{,}0625$ pour $s=4$ .

c)

$\int_{0}^{b}e^{(a-s)t}dt=\frac{e^{(a-s)b}-1}{a-s}$ . L'intégrale converge si et seulement si $a-s<0$ , c'est-à-dire $s>a$ , et vaut alors $\frac{1}{s-a}$ . Pour $a=3$ et $s=5$ : $\frac{1}{2}=0{,}5$ . On retrouve a) avec $a=0$ .

d)

Notons $I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin t\,dt$ . Premier tour, $u=\sin t$ , $dv=e^{-st}dt$ : $I=\left[-\frac{e^{-st}\sin t}{s}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos t\,dt=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos t\,dt$ . Second tour, $u=\cos t$ : $\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos t\,dt=\left[-\frac{e^{-st}\cos t}{s}\right]_{0}^{\infty}-\frac{1}{s}I=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}I$ . Donc $I=\frac{1}{s^{2}}-\frac{I}{s^{2}}$ , soit $I=\frac{1}{s^{2}+1}$ . Pour $s=2$ : $\frac{1}{5}=0{,}2$ .

e)

Non. $e^{-st}e^{t^{2}}=e^{t^{2}-st}=e^{t(t-s)}$ , et pour tout $s$ fixé, $t(t-s)\to+\infty$ quand $t\to+\infty$ : l'intégrande tend vers l'infini, l'intégrale diverge. Le facteur $e^{-st}$ ne peut compenser qu'une croissance au plus exponentielle ; $e^{t^{2}}$ croît plus vite que toute exponentielle $e^{st}$ .

Exercice 13 : La comparaison par limite : l'équivalent décide

Pour deux fonctions strictement positives $f$ et $g$ au voisinage de la borne problématique, si $\frac{f}{g}$ tend vers une limite $L$ finie et non nulle, les intégrales impropres de $f$ et de $g$ ont la même nature. On compare alors à une intégrale de référence $\frac{1}{x^{p}}$ .

a) Déterminez la nature de $\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{3}+2}\,dx$ .
b) Déterminez la nature de $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+x}}$ .
c) Déterminez la nature de $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}+x^{2}}$ .
d) Comparez les natures de $\int_{1}^{\infty}\sin\frac{1}{x}\,dx$ et de $\int_{1}^{\infty}\sin^{2}\frac{1}{x}\,dx$ .
e) Pour quelles valeurs de $p$ l'intégrale $\int_{0}^{1}\frac{1-\cos x}{x^{p}}\,dx$ converge-t-elle ?

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Réponses

a) Convergente : $\sim\frac{1}{x^{2}}$
b) Divergente : $\sim\frac{1}{x}$
c) Convergente : $\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$ en $0$
d) La première diverge, la seconde converge
e) $p<3$

a)

À l'infini, $\frac{x+1}{x^{3}+2}\sim\frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}$ : le quotient $\frac{(x+1)/(x^{3}+2)}{1/x^{2}}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2}\to 1$ . Comme $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}$ converge ( $p=2>1$ ), l'intégrale CONVERGE. Une comparaison directe aurait exigé une inégalité, moins évidente ici à cause du $+1$ au numérateur.

b)

$\sqrt{x^{2}+x}\sim x$ , donc l'intégrande est équivalent à $\frac{1}{x}$ : le quotient vaut $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}}\to 1$ . Comme $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge, l'intégrale DIVERGE.

c)

La seule borne problématique est $0$ . Près de $0$ , $x^{2}$ est négligeable devant $\sqrt{x}$ : $\frac{1}{\sqrt{x}+x^{2}}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$ , le quotient $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x^{2}}=\frac{1}{1+x^{3/2}}\to 1$ . Comme $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ converge ( $p=\frac{1}{2}<1$ ), l'intégrale CONVERGE. Attention au sens du critère en $0$ : ce sont les petites puissances qui l'emportent.

d)

Quand $x\to\infty$ , $u=\frac{1}{x}\to 0$ et $\sin u\sim u$ : $\sin\frac{1}{x}\sim\frac{1}{x}$ , positive sur $[1;\infty[$ . La première DIVERGE, comme $\int\frac{dx}{x}$ . Mais $\sin^{2}\frac{1}{x}\sim\frac{1}{x^{2}}$ : la seconde CONVERGE. Élever au carré a fait passer l'intégrande du mauvais côté de la frontière $p=1$ au bon.

e)

Près de $0$ , $1-\cos x\sim\frac{x^{2}}{2}$ , donc $\frac{1-\cos x}{x^{p}}\sim\frac{1}{2x^{p-2}}$ . L'intégrale converge si et seulement si $p-2<1$ , soit $p<3$ . Pour $p=2$ , l'intégrande tend même vers $\frac{1}{2}$ : aucune singularité. La plus grande valeur entière admissible est $p=2$ ; pour $p=3$ , l'intégrande se comporte comme $\frac{1}{2x}$ et l'intégrale diverge. La figure du corrigé compare $\sin\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

Exercice 14 : Problème : la valeur actuelle d'une rente et l'infini financier

Un fonds verse un revenu en flux continu de $R$ dollars par année. Avec un taux d'actualisation continu $r$ , un dollar reçu dans $t$ années vaut aujourd'hui $e^{-rt}$ dollar, et la valeur actuelle des versements sur $T$ années est $VA(T)=\int_{0}^{T}Re^{-rt}\,dt$ .

a) Calculez $VA(T)$ , puis la valeur actuelle d'une rente perpétuelle, $\lim_{T\to\infty}VA(T)$ .
b) Avec $R=12\,000$ dollars par an et $r=4$ pour cent, calculez la valeur actuelle sur $30$ ans et celle de la rente perpétuelle.
c) Le revenu croît désormais avec l'inflation : $R(t)=12\,000\,e^{0{,}02t}$ . Calculez la valeur actuelle perpétuelle.
d) Que se passe-t-il si le revenu croît au taux $g=r$ ou plus vite ? Interprétez.
e) Pour le revenu constant du b), combien d'années faut-il pour atteindre $90$ pour cent de la valeur perpétuelle ?

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Réponses

a) $\frac{R}{r}(1-e^{-rT})$ , limite $\frac{R}{r}$
b) $\approx 209\,642$ dollars ; $300\,000$ dollars
c) $\frac{12\,000}{0{,}02}=600\,000$ dollars
d) Divergence : valeur infinie si $g\geq r$
e) $T=\frac{\ln 10}{0{,}04}\approx 57{,}6$ ans

a)

$VA(T)=R\left[-\frac{e^{-rt}}{r}\right]_{0}^{T}=\frac{R}{r}\left(1-e^{-rT}\right)$ . Quand $T\to\infty$ , $e^{-rT}\to 0$ : l'intégrale impropre converge vers $\frac{R}{r}$ . Une infinité de versements ne vaut qu'une somme finie, parce que les versements lointains, actualisés, ne valent presque plus rien.

b)

$\frac{R}{r}=\frac{12\,000}{0{,}04}=300\,000$ dollars pour la rente perpétuelle. Sur $30$ ans : $300\,000\left(1-e^{-1{,}2}\right)\approx 300\,000\times 0{,}6988\approx 209\,642$ dollars. Les $30$ premières années portent déjà près de $70$ pour cent de la valeur de l'éternité.

c)

$\int_{0}^{\infty}12\,000\,e^{0{,}02t}e^{-0{,}04t}dt=12\,000\int_{0}^{\infty}e^{-0{,}02t}dt=\frac{12\,000}{0{,}02}=600\,000$ dollars. Une croissance de $2$ pour cent double la valeur, car tout se passe comme si le taux d'actualisation n'était plus que $r-g=2$ pour cent.

d)

L'intégrande devient $Re^{(g-r)t}$ avec $g-r\geq 0$ : il ne tend pas vers $0$ , l'intégrale DIVERGE et la valeur actuelle est infinie. Aucun prix fini ne serait raisonnable pour un tel actif : c'est la condition $r>g$ qui rend les formules d'évaluation des rentes utilisables, et les modèles qui la frôlent donnent des valeurs explosives.

e)

$1-e^{-0{,}04T}=0{,}9$ donne $e^{-0{,}04T}=0{,}1$ , soit $T=\frac{\ln 10}{0{,}04}\approx 57{,}6$ ans. La figure du corrigé trace $VA(T)$ et son asymptote : la courbe monte vite, puis s'écrase lentement contre les $300\,000$ dollars.

Exercice 15 : Problème : l'énergie dissipée pendant la décharge d'un condensateur

Un condensateur de capacité $C$ , chargé sous la tension $V_{0}$ , se décharge dans une résistance $R$ . Le courant vaut $i(t)=\frac{V_{0}}{R}e^{-t/\tau}$ avec $\tau=RC$ , et la puissance dissipée dans la résistance est $P(t)=Ri(t)^{2}$ .

a) Montrez que l'énergie totale dissipée, $E=\int_{0}^{\infty}P(t)\,dt$ , vaut $\frac{1}{2}CV_{0}^{2}$ .
b) Avec $C=100$ microfarads, $V_{0}=12$ V et $R=1$ kilohm, calculez $\tau$ et $E$ en millijoules.
c) Quelle fraction de l'énergie totale est dissipée pendant la première constante de temps $\tau$ ?
d) Au bout de combien de temps $99$ pour cent de l'énergie ont-ils été dissipés ?
e) La résistance $R$ n'apparaît pas dans $E$ . Pourquoi ? Calculez aussi la charge totale $Q=\int_{0}^{\infty}i(t)\,dt$ qui a traversé le circuit.

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Réponses

a) $E=\frac{V_{0}^{2}}{R}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2}$
b) $\tau=0{,}1$ s, $E=7{,}2$ mJ
c) $1-e^{-2}\approx 86{,}5$ %
d) $\frac{\tau}{2}\ln 100\approx 0{,}230$ s
e) Effets de $R$ compensés ; $Q=CV_{0}=1{,}2$ mC

a)

$P(t)=R\frac{V_{0}^{2}}{R^{2}}e^{-2t/\tau}=\frac{V_{0}^{2}}{R}e^{-2t/\tau}$ . $\int_{0}^{b}e^{-2t/\tau}dt=\frac{\tau}{2}\left(1-e^{-2b/\tau}\right)\to\frac{\tau}{2}$ . Donc $E=\frac{V_{0}^{2}}{R}\cdot\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2}$ : exactement l'énergie qui était stockée dans le condensateur. L'intégrale impropre confirme la conservation de l'énergie.

b)

$\tau=RC=1000\times 100\times 10^{-6}=0{,}1$ s. $E=\frac{1}{2}\times 10^{-4}\times 144=7{,}2\times 10^{-3}$ J, soit $7{,}2$ mJ.

c)

$\int_{0}^{\tau}P\,dt=E\left(1-e^{-2}\right)$ : la fraction vaut $1-e^{-2}\approx 0{,}865$ , soit $86{,}5$ pour cent. La puissance décroît deux fois plus vite que le courant, puisqu'elle en est le carré.

d)

$1-e^{-2t/\tau}=0{,}99$ donne $e^{-2t/\tau}=0{,}01$ , soit $t=\frac{\tau}{2}\ln 100\approx 0{,}05\times 4{,}605\approx 0{,}230$ s. Mathématiquement la décharge ne finit jamais ; physiquement, elle est terminée en un quart de seconde.

e)

Une résistance plus grande réduit le courant, donc la puissance, mais allonge d'autant la décharge : $\tau$ est proportionnel à $R$ et $P$ à $\frac{1}{R}$ , les deux effets se compensent dans l'intégrale. Charge totale : $Q=\frac{V_{0}}{R}\int_{0}^{\infty}e^{-t/\tau}dt=\frac{V_{0}}{R}\tau=CV_{0}=1{,}2\times 10^{-3}$ C, soit $1{,}2$ mC, la charge initiale du condensateur. La figure du corrigé trace $P(t)$ en watts.

Exercices corrigés : intégrale définie et intégrales impropres (201-SN3-RE, ancien 201-NYB)

Rappel de cours

Calculs : les intégrales impropres à calculer

Exercice 0.1 : Calculer une intégrale impropre ou établir sa divergence : dix calculs directs

Partie A : L'intégrale définie (/50)

Exercice 1 : Les sommes de Riemann et le théorème fondamental

Exercice 2 : Calculs et propriétés : substitution, parties et symétrie

Exercice 3 : Aires et volumes : la géométrie de l'intégrale

Exercice 4 : Encadrer sans calculer : Chasles, inégalités et théorème de la moyenne

Exercice 5 : Lire l'aire accumulée : étudier une primitive à partir du graphe de la fonction

Partie B : Les intégrales impropres (/50)

Exercice 6 : La borne infinie : deux courbes jumelles, deux destins

Exercice 7 : La borne singulière : l'infini caché dans l'intervalle

Exercice 8 : La comparaison : conclure sans calculer

Exercice 9 : Une loi de probabilité sans moyenne

Exercice 10 : Doublement impropre : la symétrie qui ment

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Le théorème fondamental au travail : dériver, passer à la limite, retrouver

Exercice 12 : La transformée de Laplace : quatre intégrales impropres à paramètre

Exercice 13 : La comparaison par limite : l'équivalent décide

Exercice 14 : Problème : la valeur actuelle d'une rente et l'infini financier

Exercice 15 : Problème : l'énergie dissipée pendant la décharge d'un condensateur

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