Exercices corrigés : intégrale définie et intégrales impropres (201-NYB)

a) À droite, les hauteurs sont $f(1),f(2),f(3),f(4)=1,4,9,16$ : $S_{d}=(1+4+9+16)(1)=30$. À gauche : $f(0),f(1),f(2),f(3)$ : $S_{g}=(0+1+4+9)(1)=14$. Comme $x^{2}$ est CROISSANTE sur $[0,4]$, chaque rectangle à gauche reste sous la courbe et chaque rectangle à droite la dépasse : $14\le\int_{0}^{4}x^{2}dx\le 30$. L'encadrement est grossier ($\Delta x$ trop grand), mais il est certain.

b) Avec $\Delta x=\frac{4}{n}$ et $x_{i}=\frac{4i}{n}$ : $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{4i}{n}\right)^{2}\frac{4}{n}=\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{64}{6}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}$. Quand $n\to\infty$, $\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}\to 2$ : $S_{n}\to\frac{64\times 2}{6}=\frac{64}{3}\approx 21{,}33$. La valeur exacte tombe bien entre 14 et 30.

c) Théorème fondamental (sens évaluation) : si $F'=f$ sur $[a,b]$, alors $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$. Ici $F(x)=\frac{x^{3}}{3}$ : $\int_{0}^{4}x^{2}dx=\frac{64}{3}-0=\frac{64}{3}$. Tout le travail de la limite de b) est encapsulé une fois pour toutes dans le théorème : c'est LE pont entre dérivée et aire, et la raison d'être des primitives.

d) Second sens : $g'(x)=\cos(x^{2})$, directement, sans chercher de primitive. Pour $h$, la borne est composée : règle de chaîne, $h'(x)=\cos((x^{2})^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{4})$. Or $\cos(t^{2})$ n'a AUCUNE primitive exprimable avec les fonctions usuelles (intégrale de Fresnel) : le théorème permet quand même de dériver, d'étudier les variations et de tracer $g$. L'intégrale à borne variable FABRIQUE des fonctions nouvelles, et le théorème dit comment elles varient.

a) Primitives : $3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ donne $2x^{3/2}$, et $\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ donne $-\frac{1}{x}$. Donc $\left[2x^{3/2}-\frac{1}{x}\right]_{1}^{4}=\left(16-\frac{1}{4}\right)-(2-1)=15{,}75-1=\frac{59}{4}=14{,}75$.

b) $u=x^{2}$, $du=2x\,dx$ : le $x\,dx$ du haut est exactement $\frac{du}{2}$. Bornes : $x=0\Rightarrow u=0$, $x=2\Rightarrow u=4$. $\int_{0}^{2}xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}du=\frac{e^{4}-1}{2}\approx 26{,}80$. Changer les bornes en même temps que la variable évite le retour en $x$ : plus court et moins d'erreurs.

c) Parties : $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. On DÉRIVE ce qui se simplifie et on INTÈGRE ce qu'on sait intégrer : $u=\ln x$ (sa dérivée $\frac{1}{x}$ tue le logarithme), $dv=x\,dx$, $v=\frac{x^{2}}{2}$. $\int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx=\frac{e^{2}}{2}-\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{e}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}-1}{4}=\frac{e^{2}+1}{4}\approx 2{,}10$.

d) $x^{3}\sqrt{x^{2}+1}$ est IMPAIRE (produit d'une impaire par une paire) et l'intervalle $[-2,2]$ est symétrique : l'intégrale vaut 0, chaque aire à droite étant annulée par son opposée à gauche : aucun calcul, et la primitive aurait été pénible. Valeur moyenne : $\bar{f}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\frac{1}{\pi}[-\cos x]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637$. Interprétation : le rectangle de base $\pi$ et de hauteur $\frac{2}{\pi}$ a exactement la même aire que l'arche de sinus; c'est aussi pourquoi la tension « moyenne redressée » d'un signal sinusoïdal vaut $\frac{2}{\pi}$ de son amplitude.

a) $x^{2}=x+2\iff x^{2}-x-2=0\iff(x-2)(x+1)=0$ : intersections en $(-1,1)$ et $(2,4)$, comme sur la figure. Entre les deux, la droite est au-dessus : $A=\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}=4{,}5$.

b) Les courbes se CROISENT en $x=\frac{\pi}{4}$ (où $\tan x=1$) : il faut couper là, sinon les deux morceaux se compensent. $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)dx=[\sin x+\cos x]_{0}^{\pi/4}=\sqrt{2}-1$, et par symétrie le second morceau vaut aussi $\sqrt{2}-1$. Aire totale : $2\sqrt{2}-2\approx 0{,}83$. Réflexe : toujours chercher les croisements AVANT d'intégrer une différence.

c) Chaque tranche perpendiculaire à l'axe est un disque de rayon $\sqrt{x}$ : $V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot 8=8\pi\approx 25{,}1$. Le carré du rayon fait disparaître la racine : les paraboloïdes sont les solides les plus dociles de la méthode des disques.

d) $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=[-\cos x]_{0}^{2\pi}=0$ : l'arche positive et l'arche négative se compensent exactement, c'est l'aire ALGÉBRIQUE. L'aire GÉOMÉTRIQUE, elle, compte tout positivement : $\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx=2\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=4$. Quand l'énoncé dit « aire de la région », c'est toujours la géométrique : on découpe aux zéros de la fonction et on additionne des valeurs absolues. Confondre les deux est l'erreur d'aire la plus fréquente du cours.

a) Relation de Chasles : $\int_{0}^{5}=\int_{0}^{3}+\int_{3}^{5}$, donc $\int_{3}^{5}f=4-7=-3$. Le signe négatif ne choque pas : sur $[3,5]$ la fonction passe manifestement sous l'axe. Orientation : échanger les bornes change le signe, $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-4$. Bornes égales : $\int_{3}^{3}f=0$, un intervalle de largeur nulle n'accumule rien. Linéarité : $\int_{0}^{5}(2f+1)=2\int_{0}^{5}f+\int_{0}^{5}1\,dx=2(4)+5=13$, le second terme étant l'aire du rectangle de hauteur 1 et de base 5.

b) Propriété de monotonie : si $m\le f\le M$ sur $[a,b]$, alors $m(b-a)\le\int_{a}^{b}f\le M(b-a)$, car intégrer préserve les inégalités. Sur $[0,2]$, $x^{3}$ va de 0 à 8, donc $1\le 1+x^{3}\le 9$, et la racine étant croissante, $1\le\sqrt{1+x^{3}}\le 3$. En multipliant par la largeur $b-a=2$ : $2\le\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{3}}\,dx\le 6$. La valeur réelle vaut environ $3{,}24$ : l'encadrement est correct, quoique large. Rien n'a exigé de primitive, et c'est tout l'intérêt : $\sqrt{1+x^{3}}$ n'en possède aucune élémentaire, mais on sait déjà où tombe son intégrale.

c) De $-|f|\le f\le|f|$ et de la monotonie de l'intégrale : $-\int_{a}^{b}|f|\le\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}|f|$, ce qui est exactement $\left|\int f\right|\le\int|f|$. Cas strict : $f=\sin$ sur $[0,2\pi]$ donne $\left|\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\right|=0$ alors que $\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx=4$. La compensation des signes est justement ce que la valeur absolue interdit : $0<4$. Réfutation du produit : $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$, tandis que $\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$. Comme $\frac{1}{3}\ne\frac{1}{4}$, l'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales. L'intégrale est linéaire, elle n'est pas multiplicative, et c'est précisément pour cela que l'intégration par parties existe.

d) Théorème de la moyenne : si $f$ est CONTINUE sur $[a,b]$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$; autrement dit la fonction atteint sa propre valeur moyenne au moins une fois. Ici $\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x^{2}dx=\frac{1}{3}\cdot 9=3$, donc $c^{2}=3$ et $c=\sqrt{3}\approx 1{,}73$, bien dans $[0,3]$. Ce n'est PAS le milieu : $f(1{,}5)=2{,}25\ne 3$. La moyenne d'une fonction convexe est tirée vers le haut par la croissance rapide de droite, donc $c$ se situe à droite du milieu. Sans continuité, tout s'effondre : la fonction en marche vaut 0 sur $[0,1[$ et 1 sur $[1,2]$, son intégrale sur $[0,2]$ vaut 1 et sa moyenne $\frac{1}{2}$, mais elle ne prend QUE les valeurs 0 et 1, jamais $\frac{1}{2}$. C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui alimente en secret le théorème de la moyenne : retirez la continuité, il n'y a plus rien.

a) Chaque morceau est un triangle. Sur $[0,2]$ : triangle de base 2 et de hauteur 4, aire $\frac{2\times 4}{2}=4$, donc $F(2)=4$. Sur $[2,4]$ : même triangle renversé, aire 4, toujours au-dessus de l'axe, donc $F(4)=4+4=8$. Sur $[4,6]$ : triangle SOUS l'axe, base 2, hauteur 2, aire 2 comptée négativement : $F(6)=8-2=6$. Sur $[6,8]$ : encore $-2$, donc $F(8)=4$. On a bien $F(8)<F(4)$ parce que $F$ n'accumule pas de la quantité, elle accumule de l'aire ALGÉBRIQUE : après $x=4$, $f$ est négative et chaque nouvelle tranche RETIRE de l'aire au total. Un compte dont le taux de dépôt devient négatif continue d'exister, il se vide.

b) Le théorème fondamental donne $F'=f$ : le signe de $f$ pilote les variations de $F$. Or $f>0$ sur $]0,4[$ et $f<0$ sur $]4,8[$. Donc $F$ CROÎT sur $[0,4]$ et DÉCROÎT sur $[4,8]$, avec un maximum en $x=4$, de valeur $F(4)=8$. La confusion de l'étudiant est de lire le graphe comme s'il s'agissait de $F$ : ce qui est dessiné est $f$, c'est-à-dire la DÉRIVÉE de $F$. En $x=2$, $f$ atteint son maximum, ce qui signifie que $F$ croît le plus VITE, pas qu'elle est la plus haute. $F$ culmine là où sa dérivée s'annule en changeant de signe, donc en $x=4$, exactement le moment où $f$ traverse l'axe du positif vers le négatif.

c) $F''=f'$, soit la PENTE du graphe donné. Les pentes valent successivement $+2$ sur $[0,2]$, $-2$ sur $[2,4]$, $-1$ sur $[4,6]$, $+1$ sur $[6,8]$. Donc $F$ est convexe sur $[0,2]$, concave sur $[2,6]$, convexe sur $[6,8]$. Les points d'inflexion sont en $x=2$ et $x=6$, là où la pente de $f$ CHANGE DE SIGNE. En $x=4$, la pente passe de $-2$ à $-1$ : elle change de valeur mais reste négative, donc $F''$ reste négative et la concavité ne change pas. Aucun point d'inflexion en 4. Le piège est classique : c'est le signe de $f'$ qui compte, jamais le simple fait qu'une pente change. Notez la répartition des rôles : les zéros de $f$ donnent les extremums de $F$, les extremums de $f$ donnent les inflexions de $F$.

d) $G(0)=\int_{2}^{0}f=-\int_{0}^{2}f=-4$. $G(8)=\int_{2}^{8}f=F(8)-F(2)=4-4=0$. En général $G(x)=F(x)-F(2)=F(x)-4$ : les deux fonctions diffèrent d'une CONSTANTE, et leurs graphes sont translatés verticalement de 4 unités. C'est exactement le contenu de la constante d'intégration : changer la borne inférieure d'une intégrale à borne variable ne change que le niveau de référence, celui du point où l'accumulation est déclarée nulle. Comme $G'=F'=f$, les deux fonctions ont les mêmes variations, la même concavité, le même maximum en $x=4$ et les mêmes inflexions en 2 et 6. Une translation verticale ne déplace aucun point critique : c'est pourquoi une primitive quelconque suffit toujours à répondre à une question de variations.

a) Par définition, $\int_{1}^{\infty}f=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}f$ : on intègre sur $[1,b]$ FINI, puis on fait tendre $b$ vers l'infini; l'intégrale converge si la limite est finie. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}\to 1$ : convergente, de valeur 1. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=\ln b\to\infty$ : divergente. Les deux courbes tendent vers 0, mais $\frac{1}{x}$ ne descend pas ASSEZ VITE : tendre vers zéro ne suffit jamais, c'est la vitesse qui décide.

b) Pour $p\ne 1$ : $\int_{1}^{b}x^{-p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$. Si $p>1$, l'exposant $1-p$ est négatif : $b^{1-p}\to 0$ et l'intégrale converge vers $\frac{1}{p-1}$. Si $p<1$, $b^{1-p}\to\infty$ : divergence. Si $p=1$ : le logarithme de a), divergent. Frontière exacte : $p=1$, du mauvais côté. Vérification : $p=2$ donne $\frac{1}{2-1}=1$, la valeur de a).

c) $\int_{0}^{b}e^{-x/2}dx=\left[-2e^{-x/2}\right]_{0}^{b}=2-2e^{-b/2}\to 2$. L'exponentielle décroît si vite que l'aire infinie en largeur reste finie. Si $e^{-x/2}$ est la concentration résiduelle d'un médicament au temps $x$, cette aire est l'EXPOSITION TOTALE de l'organisme (l'« aire sous la courbe » des pharmacologues, qui calibre les doses) : une quantité finie, bien que l'élimination ne se termine jamais.

d) Volume par disques : $V=\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\pi\times 1=\pi$ : FINI, environ 3,14 unités cubes. L'aire latérale, elle, dépasse $2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$, qui diverge : aire INFINIE. Paradoxe de Gabriel : on peut remplir la trompette avec $\pi$ litres de peinture, mais aucune quantité finie ne suffit à peindre sa paroi. La résolution est dans le critère en $p$ : le volume intègre $\frac{1}{x^{2}}$ ($p=2$, converge), la surface intègre $\frac{1}{x}$ ($p=1$, diverge) : les deux questions, qui semblent jumelles, vivent des deux côtés de la frontière.

a) Si $f$ explose en $a$ : $\int_{a}^{b}f=\lim_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f$. Ici : $\int_{c}^{1}x^{-1/2}dx=\left[2\sqrt{x}\right]_{c}^{1}=2-2\sqrt{c}\to 2$. Convergente, de valeur 2 : l'asymptote verticale de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 enferme une aire finie.

b) L'absurdité saute aux yeux : $\frac{1}{x^{2}}$ est strictement POSITIVE, son intégrale ne peut pas être négative. La faute : appliquer le théorème fondamental à travers $x=0$, où la fonction n'est même pas définie : le théorème exige la continuité sur TOUT l'intervalle. La vraie analyse coupe en 0 : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{c\to 0^{+}}\left(\frac{1}{c}-1\right)=\infty$ : chaque moitié diverge, l'intégrale DIVERGE. La primitive appliquée en aveugle sur une singularité est le piège le plus dangereux du chapitre : le calcul « marche » et donne un nombre, mais ce nombre ne veut rien dire.

c) Pour $p\ne 1$ : $\int_{c}^{1}x^{-p}dx=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}$. Si $p<1$ : $1-p>0$, $c^{1-p}\to 0$, convergence vers $\frac{1}{1-p}$ (pour $p=\frac{1}{2}$ : 2, la valeur de a)). Si $p>1$ : $c^{1-p}\to\infty$, divergence; $p=1$ : $-\ln c\to\infty$, divergence. C'est le MIROIR exact du critère à l'infini : en 0 il faut $p<1$, à l'infini $p>1$, et $p=1$ perd des deux côtés. Moyen mnémotechnique : la singularité douce est tolérée, la lente décroissance ne l'est pas.

d) $\int_{c}^{1}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_{c}^{1}=(0-1)-(c\ln c-c)$. Avec $c\ln c\to 0$ : l'intégrale vaut $-1$. Convergente : l'aire (sous l'axe) entre la courbe du logarithme et l'axe sur $]0,1]$ vaut exactement 1. Le logarithme explose donc « moins fort » que TOUTE puissance $\frac{1}{x^{p}}$ : son infini est si lent qu'il n'enferme qu'une aire finie, alors même que $\frac{1}{x}$, dont il est la primitive, diverge en 0. L'échelle des infinis, logarithme < puissances < exponentielle, gouverne tout le chapitre et resservira mot pour mot dans les séries.

a) Pour $0\le f\le g$ sur l'intervalle : si $\int g$ converge, $\int f$ converge (l'aire de $f$ est coincée sous une aire finie); si $\int f$ diverge, $\int g$ diverge. Ici $0\le\frac{1}{x^{3}+1}\le\frac{1}{x^{3}}$, et $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$ converge ($p=3>1$) : CONVERGENTE. Le $+1$ du dénominateur ne compte pas à l'infini : on compare toujours au comportement dominant.

b) Encadrement par en dessous : $\sin x\ge -1$, donc $\frac{2+\sin x}{x}\ge\frac{1}{x}>0$. Or $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge : DIVERGENTE. L'oscillation du sinus ne sauve rien : la fonction reste au-dessus d'une divergente. Réflexe : borner le sinus entre $-1$ et 1 transforme presque toujours l'intégrale oscillante en comparaison propre.

c) Sur $[0,1]$ : fonction continue et bornée, intégrale ordinaire, aucun problème. Sur $[1,\infty[$ : dès que $x\ge 1$, $x^{2}\ge x$ donc $e^{-x^{2}}\le e^{-x}$, et $\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$ converge : CONVERGENTE. La valeur admise est $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}886$ : c'est la moitié de l'aire de la cloche de Gauss, le cœur de toute la statistique (loi normale), intégrale sans primitive élémentaire mais à la valeur exacte célèbre.

d) Deux dangers : la singularité $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 et la queue infinie. En 0 : $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$, $p=\frac{1}{2}<1$ : converge. À l'infini : $\sim\frac{1}{x^{3/2}}$, $p=\frac{3}{2}>1$ : converge. Donc convergente des deux côtés. Valeur : $\frac{d}{dx}\left(2\arctan\sqrt{x}\right)=\frac{2}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$, la primitive annoncée. D'où $\lim_{b\to\infty}2\arctan\sqrt{b}-\lim_{c\to 0^{+}}2\arctan\sqrt{c}=2\cdot\frac{\pi}{2}-0=\pi$. Une aire exactement égale à $\pi$, cachée entre deux infinis apprivoisés : la signature d'une belle question d'examen.