Exercices corrigés : intégrale définie et intégrales impropres (201-NYB)

a) À droite, les hauteurs sont $f(1),f(2),f(3),f(4)=1,4,9,16$ : $S_{d}=(1+4+9+16)(1)=30$. À gauche : $f(0),f(1),f(2),f(3)$ : $S_{g}=(0+1+4+9)(1)=14$. Comme $x^{2}$ est CROISSANTE sur $[0,4]$, chaque rectangle à gauche reste sous la courbe et chaque rectangle à droite la dépasse : $14\le\int_{0}^{4}x^{2}dx\le 30$. L'encadrement est grossier ($\Delta x$ trop grand), mais il est certain.

b) Avec $\Delta x=\frac{4}{n}$ et $x_{i}=\frac{4i}{n}$ : $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{4i}{n}\right)^{2}\frac{4}{n}=\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{64}{6}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}$. Quand $n\to\infty$, $\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}\to 2$ : $S_{n}\to\frac{64\times 2}{6}=\frac{64}{3}\approx 21{,}33$. La valeur exacte tombe bien entre 14 et 30.

c) Théorème fondamental (sens évaluation) : si $F'=f$ sur $[a,b]$, alors $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$. Ici $F(x)=\frac{x^{3}}{3}$ : $\int_{0}^{4}x^{2}dx=\frac{64}{3}-0=\frac{64}{3}$. Tout le travail de la limite de b) est encapsulé une fois pour toutes dans le théorème : c'est LE pont entre dérivée et aire, et la raison d'être des primitives.

d) Second sens : $g'(x)=\cos(x^{2})$, directement, sans chercher de primitive. Pour $h$, la borne est composée : règle de chaîne, $h'(x)=\cos((x^{2})^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{4})$. Or $\cos(t^{2})$ n'a AUCUNE primitive exprimable avec les fonctions usuelles (intégrale de Fresnel) : le théorème permet quand même de dériver, d'étudier les variations et de tracer $g$. L'intégrale à borne variable FABRIQUE des fonctions nouvelles, et le théorème dit comment elles varient.

a) Primitives : $3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ donne $2x^{3/2}$, et $\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ donne $-\frac{1}{x}$. Donc $\left[2x^{3/2}-\frac{1}{x}\right]_{1}^{4}=\left(16-\frac{1}{4}\right)-(2-1)=15{,}75-1=\frac{59}{4}=14{,}75$.

b) $u=x^{2}$, $du=2x\,dx$ : le $x\,dx$ du haut est exactement $\frac{du}{2}$. Bornes : $x=0\Rightarrow u=0$, $x=2\Rightarrow u=4$. $\int_{0}^{2}xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}du=\frac{e^{4}-1}{2}\approx 26{,}80$. Changer les bornes en même temps que la variable évite le retour en $x$ : plus court et moins d'erreurs.

c) Parties : $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. On DÉRIVE ce qui se simplifie et on INTÈGRE ce qu'on sait intégrer : $u=\ln x$ (sa dérivée $\frac{1}{x}$ tue le logarithme), $dv=x\,dx$, $v=\frac{x^{2}}{2}$. $\int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx=\frac{e^{2}}{2}-\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{e}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}-1}{4}=\frac{e^{2}+1}{4}\approx 2{,}10$.

d) $x^{3}\sqrt{x^{2}+1}$ est IMPAIRE (produit d'une impaire par une paire) et l'intervalle $[-2,2]$ est symétrique : l'intégrale vaut 0, chaque aire à droite étant annulée par son opposée à gauche : aucun calcul, et la primitive aurait été pénible. Valeur moyenne : $\bar{f}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\frac{1}{\pi}[-\cos x]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637$. Interprétation : le rectangle de base $\pi$ et de hauteur $\frac{2}{\pi}$ a exactement la même aire que l'arche de sinus; c'est aussi pourquoi la tension « moyenne redressée » d'un signal sinusoïdal vaut $\frac{2}{\pi}$ de son amplitude.

a) $x^{2}=x+2\iff x^{2}-x-2=0\iff(x-2)(x+1)=0$ : intersections en $(-1,1)$ et $(2,4)$, comme sur la figure. Entre les deux, la droite est au-dessus : $A=\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}=4{,}5$.

b) Les courbes se CROISENT en $x=\frac{\pi}{4}$ (où $\tan x=1$) : il faut couper là, sinon les deux morceaux se compensent. $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)dx=[\sin x+\cos x]_{0}^{\pi/4}=\sqrt{2}-1$, et par symétrie le second morceau vaut aussi $\sqrt{2}-1$. Aire totale : $2\sqrt{2}-2\approx 0{,}83$. Réflexe : toujours chercher les croisements AVANT d'intégrer une différence.

c) Chaque tranche perpendiculaire à l'axe est un disque de rayon $\sqrt{x}$ : $V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot 8=8\pi\approx 25{,}1$. Le carré du rayon fait disparaître la racine : les paraboloïdes sont les solides les plus dociles de la méthode des disques.

d) $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=[-\cos x]_{0}^{2\pi}=0$ : l'arche positive et l'arche négative se compensent exactement, c'est l'aire ALGÉBRIQUE. L'aire GÉOMÉTRIQUE, elle, compte tout positivement : $\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx=2\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=4$. Quand l'énoncé dit « aire de la région », c'est toujours la géométrique : on découpe aux zéros de la fonction et on additionne des valeurs absolues. Confondre les deux est l'erreur d'aire la plus fréquente du cours.

a) Par définition, $\int_{1}^{\infty}f=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}f$ : on intègre sur $[1,b]$ FINI, puis on fait tendre $b$ vers l'infini; l'intégrale converge si la limite est finie. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}\to 1$ : convergente, de valeur 1. $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=\ln b\to\infty$ : divergente. Les deux courbes tendent vers 0, mais $\frac{1}{x}$ ne descend pas ASSEZ VITE : tendre vers zéro ne suffit jamais, c'est la vitesse qui décide.

b) Pour $p\ne 1$ : $\int_{1}^{b}x^{-p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$. Si $p>1$, l'exposant $1-p$ est négatif : $b^{1-p}\to 0$ et l'intégrale converge vers $\frac{1}{p-1}$. Si $p<1$, $b^{1-p}\to\infty$ : divergence. Si $p=1$ : le logarithme de a), divergent. Frontière exacte : $p=1$, du mauvais côté. Vérification : $p=2$ donne $\frac{1}{2-1}=1$, la valeur de a).

c) $\int_{0}^{b}e^{-x/2}dx=\left[-2e^{-x/2}\right]_{0}^{b}=2-2e^{-b/2}\to 2$. L'exponentielle décroît si vite que l'aire infinie en largeur reste finie. Si $e^{-x/2}$ est la concentration résiduelle d'un médicament au temps $x$, cette aire est l'EXPOSITION TOTALE de l'organisme (l'« aire sous la courbe » des pharmacologues, qui calibre les doses) : une quantité finie, bien que l'élimination ne se termine jamais.

d) Volume par disques : $V=\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\pi\times 1=\pi$ : FINI, environ 3,14 unités cubes. L'aire latérale, elle, dépasse $2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$, qui diverge : aire INFINIE. Paradoxe de Gabriel : on peut remplir la trompette avec $\pi$ litres de peinture, mais aucune quantité finie ne suffit à peindre sa paroi. La résolution est dans le critère en $p$ : le volume intègre $\frac{1}{x^{2}}$ ($p=2$, converge), la surface intègre $\frac{1}{x}$ ($p=1$, diverge) : les deux questions, qui semblent jumelles, vivent des deux côtés de la frontière.

a) Si $f$ explose en $a$ : $\int_{a}^{b}f=\lim_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f$. Ici : $\int_{c}^{1}x^{-1/2}dx=\left[2\sqrt{x}\right]_{c}^{1}=2-2\sqrt{c}\to 2$. Convergente, de valeur 2 : l'asymptote verticale de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 enferme une aire finie.

b) L'absurdité saute aux yeux : $\frac{1}{x^{2}}$ est strictement POSITIVE, son intégrale ne peut pas être négative. La faute : appliquer le théorème fondamental à travers $x=0$, où la fonction n'est même pas définie : le théorème exige la continuité sur TOUT l'intervalle. La vraie analyse coupe en 0 : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{c\to 0^{+}}\left(\frac{1}{c}-1\right)=\infty$ : chaque moitié diverge, l'intégrale DIVERGE. La primitive appliquée en aveugle sur une singularité est le piège le plus dangereux du chapitre : le calcul « marche » et donne un nombre, mais ce nombre ne veut rien dire.

c) Pour $p\ne 1$ : $\int_{c}^{1}x^{-p}dx=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}$. Si $p<1$ : $1-p>0$, $c^{1-p}\to 0$, convergence vers $\frac{1}{1-p}$ (pour $p=\frac{1}{2}$ : 2, la valeur de a)). Si $p>1$ : $c^{1-p}\to\infty$, divergence; $p=1$ : $-\ln c\to\infty$, divergence. C'est le MIROIR exact du critère à l'infini : en 0 il faut $p<1$, à l'infini $p>1$, et $p=1$ perd des deux côtés. Moyen mnémotechnique : la singularité douce est tolérée, la lente décroissance ne l'est pas.

d) $\int_{c}^{1}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_{c}^{1}=(0-1)-(c\ln c-c)$. Avec $c\ln c\to 0$ : l'intégrale vaut $-1$. Convergente : l'aire (sous l'axe) entre la courbe du logarithme et l'axe sur $]0,1]$ vaut exactement 1. Le logarithme explose donc « moins fort » que TOUTE puissance $\frac{1}{x^{p}}$ : son infini est si lent qu'il n'enferme qu'une aire finie, alors même que $\frac{1}{x}$, dont il est la primitive, diverge en 0. L'échelle des infinis, logarithme < puissances < exponentielle, gouverne tout le chapitre et resservira mot pour mot dans les séries.

a) Pour $0\le f\le g$ sur l'intervalle : si $\int g$ converge, $\int f$ converge (l'aire de $f$ est coincée sous une aire finie); si $\int f$ diverge, $\int g$ diverge. Ici $0\le\frac{1}{x^{3}+1}\le\frac{1}{x^{3}}$, et $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$ converge ($p=3>1$) : CONVERGENTE. Le $+1$ du dénominateur ne compte pas à l'infini : on compare toujours au comportement dominant.

b) Encadrement par en dessous : $\sin x\ge -1$, donc $\frac{2+\sin x}{x}\ge\frac{1}{x}>0$. Or $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge : DIVERGENTE. L'oscillation du sinus ne sauve rien : la fonction reste au-dessus d'une divergente. Réflexe : borner le sinus entre $-1$ et 1 transforme presque toujours l'intégrale oscillante en comparaison propre.

c) Sur $[0,1]$ : fonction continue et bornée, intégrale ordinaire, aucun problème. Sur $[1,\infty[$ : dès que $x\ge 1$, $x^{2}\ge x$ donc $e^{-x^{2}}\le e^{-x}$, et $\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$ converge : CONVERGENTE. La valeur admise est $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}886$ : c'est la moitié de l'aire de la cloche de Gauss, le cœur de toute la statistique (loi normale), intégrale sans primitive élémentaire mais à la valeur exacte célèbre.

d) Deux dangers : la singularité $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en 0 et la queue infinie. En 0 : $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$, $p=\frac{1}{2}<1$ : converge. À l'infini : $\sim\frac{1}{x^{3/2}}$, $p=\frac{3}{2}>1$ : converge. Donc convergente des deux côtés. Valeur : $\frac{d}{dx}\left(2\arctan\sqrt{x}\right)=\frac{2}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$, la primitive annoncée. D'où $\lim_{b\to\infty}2\arctan\sqrt{b}-\lim_{c\to 0^{+}}2\arctan\sqrt{c}=2\cdot\frac{\pi}{2}-0=\pi$. Une aire exactement égale à $\pi$, cachée entre deux infinis apprivoisés : la signature d'une belle question d'examen.