Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégrale définie et les intégrales impropres

Q: Quelle est la différence entre une intégrale définie et une aire ?

L'intégrale compte négativement ce qui se trouve sous l'axe des abscisses, l'aire compte tout positivement. Les deux coïncident seulement si la fonction garde un signe constant. Pour une aire, il faut découper l'intervalle aux zéros de la fonction et changer le signe des morceaux négatifs.

Q: Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

C'est une intégrale dont une borne est infinie, ou dont l'intégrande n'est pas défini quelque part sur l'intervalle. Elle se définit comme une limite : on remplace la borne problématique par une variable, on calcule l'intégrale ordinaire, puis on fait tendre cette variable vers la borne. Si la limite est finie, l'intégrale converge.

Q: Comment repérer une singularité cachée à l'intérieur de l'intervalle ?

En cherchant les zéros du dénominateur, les radicandes négatifs et les arguments de logarithme nuls, sur tout l'intervalle et pas seulement aux bornes. L'exemple classique est l'intégrale de un sur x au carré entre moins un et un, où la singularité en zéro est invisible dans l'écriture de l'intégrale.

Q: Quand une intégrale en un sur x puissance p converge-t-elle ?

À l'infini elle converge si p est strictement supérieur à un, car il faut décroître assez vite. Près de zéro c'est l'inverse : elle converge si p est strictement inférieur à un, car il faut exploser assez lentement. Le cas p égal à un diverge dans les deux situations.

Q: Dans quel sens s'utilise le critère de comparaison ?

Une fonction positive plus petite qu'une fonction dont l'intégrale converge a elle aussi une intégrale convergente. Une fonction positive plus grande qu'une fonction dont l'intégrale diverge a elle aussi une intégrale divergente. Les deux fonctions doivent être positives, sinon il faut d'abord majorer la valeur absolue.

Cette fiche ne réénonce pas le théorème fondamental : il est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note au troisième examen de 201-NYB, où presque toutes les pertes viennent d'avoir appliqué la formule $F(b)-F(a)$ là où elle ne s'applique pas, faute d'avoir regardé si la fonction restait définie sur tout l'intervalle.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une intégrale définie n'est pas une aire mais une aire ALGÉBRIQUE, et une intégrale impropre n'est même pas une intégrale : c'est une LIMITE, qu'il faut écrire avec sa borne variable avant de calculer quoi que ce soit.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
2Primitives et intégrale indéfinie
3La décomposition des fractions rationnelles
4Techniques d'intégration
5L'Hôpital et formes indéterminées

Notions couvertes

Somme de Riemann
Théorème fondamental du calcul
Intégrale définie
Aire algébrique
Relation de Chasles
Intégrale impropre
Convergence et divergence
Critère de comparaison
Valeur moyenne d'une fonction
Intégrale de Riemann en puissance

L'essentiel

Ce que le théorème fondamental dit, et ce qu'il exige

• $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , à condition que $f$ soit CONTINUE sur tout $\left[a,b\right]$ .
• Version dérivée : $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$ . L'intégrale à borne variable est une primitive.
• L'intégrale définie est un NOMBRE; l'intégrale indéfinie est une famille de fonctions. Aucun $+C$ dans la première.
• Chasles : $\int_{a}^{c}=\int_{a}^{b}+\int_{b}^{c}$ , et $\int_{b}^{a}=-\int_{a}^{b}$ .
• Valeur moyenne : $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , atteinte au moins une fois si $f$ est continue.

Sur

\left[0,\frac{3\pi}{2}\right]

, l'arche positive compte

+2

et la partie négative compte

-1

: l'intégrale vaut

1

, l'AIRE vaut

3

. Les deux questions n'ont pas la même réponse.

L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle qui distingue une intégrale ordinaire d'une intégrale impropre déguisée.

Les trois façons d'être impropre

• Borne INFINIE : $\int_{a}^{+\infty}f=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f$ .
• Singularité À UNE BORNE : $\int_{a}^{b}f=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f$ si $f$ explose en $b$ .
• Singularité À L'INTÉRIEUR : découper en $c$ , traiter les deux morceaux SÉPARÉMENT, et exiger que les DEUX convergent.
• Doublement impropre : découper en un point quelconque et traiter chaque moitié à part. Il faut que les deux convergent.
• Converge veut dire : la limite existe et est FINIE. Sinon on dit que l'intégrale diverge.

Deux morceaux divergents qui « se compensent » ne donnent PAS une intégrale convergente : la définition exige la convergence de chacun.

Le critère en puissance, à connaître par cœur

• $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ CONVERGE si $p>1$ , DIVERGE si $p\le 1$ .
• $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ CONVERGE si $p<1$ , DIVERGE si $p\ge 1$ . Les deux conditions sont inversées.
• Cas frontière $p=1$ : les deux divergent, et $\int\frac{dx}{x}=\ln x$ le montre.
• Comparaison : si $0\le f\le g$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge; si $\int f$ diverge, alors $\int g$ diverge.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre l'intégrale et l'aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=0$ , donc l'aire sous la courbe est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« L'intégrale vaut $0$ ; l'AIRE vaut $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=2+2=4$ . »

Pourquoi : L'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe. Le mot « aire » impose un découpage aux ZÉROS de la fonction et un changement de signe sur les morceaux négatifs. Une aire nulle avec une courbe visiblement écartée de l'axe est une contradiction immédiate.

2. Appliquer le théorème fondamental à travers une singularité

toute la question, avec en prime une aire négative sous une fonction positive

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2$

Ce qu'il faut écrire

L'intégrande n'est pas défini en $0$ : l'intégrale est IMPROPRE, il faut la découper, et chacun des deux morceaux DIVERGE.

\frac{1}{x^{2}}

explose en

0

, à l'INTÉRIEUR de

\left[-1,1\right]

: appliquer

F(b)-F(a)

par-dessus donne

-2

, un nombre négatif sous une courbe entièrement positive.

Pourquoi : Le théorème fondamental exige la continuité sur tout l'intervalle. Le résultat $-2$ est absurde puisque $\frac{1}{x^{2}}>0$ partout : une intégrale d'une fonction positive ne peut pas être négative. C'est ce contrôle de signe, gratuit, qui révèle la singularité oubliée.

3. Calculer une intégrale impropre sans écrire la limite

1 point systématiquement, même quand la valeur est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty}=0+1=1$

Ce qu'il faut écrire

$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{t\to+\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t}=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)=1$

Pourquoi : $\infty$ n'est pas un nombre : on ne le substitue pas dans une primitive. La borne variable $t$ et le passage à la limite sont exactement ce que le barème note, et ils ne coûtent qu'une ligne.

4. Traiter ensemble les deux moitiés d'une intégrale doublement impropre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}x\,dx=\lim_{t\to+\infty}0=0$

Ce qu'il faut écrire

On découpe : $\int_{-\infty}^{0}x\,dx$ diverge, donc l'intégrale totale DIVERGE, quelle que soit la symétrie.

Pourquoi : La définition impose deux limites INDÉPENDANTES, pas une seule borne symétrique. Le calcul symétrique donne $0$ , mais il donnerait aussi $+\infty$ avec des bornes $-t$ et $2t$ : une expression dont la valeur dépend du chemin choisi n'est pas définie.

5. Utiliser le critère de comparaison dans le mauvais sens

toute la question de convergence

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{x^{2}+1}\le\frac{1}{x^{2}}$ et $\int\frac{dx}{x^{2}}$ converge, donc $\int\frac{dx}{x^{2}+1}$ diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« Majorée par une convergente, donc CONVERGENTE. La majoration transmet la convergence vers le bas et la divergence vers le haut. »

Pourquoi : Le sens est le seul contenu du critère : une fonction plus petite qu'une intégrable est intégrable, une fonction plus grande qu'une non intégrable ne l'est pas. La formuler avec les mots « plus petite » et « plus grande » plutôt qu'avec des symboles évite de l'inverser sous la pression.

6. Confondre les deux critères en puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ converge, puisque $2>1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En $0$ , le critère est INVERSÉ : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si $p<1$ . Ici $p=2$ , donc elle DIVERGE. »

Pourquoi : Les deux critères sont inversés parce que le danger n'est pas au même endroit : à l'infini, il faut décroître VITE, donc $p$ grand; en $0$ , il faut exploser LENTEMENT, donc $p$ petit. Retenir la raison plutôt que les deux inégalités évite de les confondre.

7. Oublier le $+C$ interdit dans une intégrale définie

un demi-point, et une confusion de nature entre les deux objets

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}+C$

Ce qu'il faut écrire

$\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}$

Pourquoi : Une intégrale définie est un NOMBRE. La constante disparaît dans la soustraction $F(b)-F(a)$ , ce qui est d'ailleurs la raison pour laquelle le choix de la primitive est indifférent. Écrire un $+C$ dans une intégrale définie signale une confusion sur ce que l'on calcule.

8. Substituer sans changer les bornes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int_{0}^{2}x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}e^{u}\,du$

Ce qu'il faut écrire

$u=x^{2}$ donne $u=0$ pour $x=0$ et $u=4$ pour $x=2$ , donc $\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}\,du=\frac{e^{4}-1}{2}$

Pourquoi : Les bornes appartiennent à la variable, pas à l'intégrale : changer de variable oblige à les traduire. Deux voies possibles, changer les bornes ou revenir en $x$ avant d'évaluer, mais jamais le mélange des deux, qui donne un nombre faux d'un facteur considérable.

Quelle méthode choisir

Cette intégrale est-elle impropre, et comment la traiter

Avant tout calcul, on regarde les BORNES et le DOMAINE de l'intégrande sur l'intervalle. C'est ce coup d'œil, et lui seul, qui décide de la méthode.

Si l'intégrande est continu sur tout l'intervalle fermé et les bornes sont finies → intégrale ordinaire : $F(b)-F(a)$ directement

Exemple : $\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}$
Si une borne est infinie → remplacer par une borne variable $t$ et passer à la limite

Exemple : $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)=1$
Si l'intégrande explose à une BORNE de l'intervalle → borne variable tendant vers cette borne, du bon côté

Exemple : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{t\to 0^{+}}\left(2-2\sqrt{t}\right)=2$
Si l'intégrande explose À L'INTÉRIEUR de l'intervalle → DÉCOUPER au point singulier et traiter les deux morceaux séparément; les deux doivent converger

Exemple : $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ diverge, chaque moitié divergeant
Si les deux bornes sont infinies → découper en un point quelconque, deux limites INDÉPENDANTES

Exemple : $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$

Un intégrande qui contient un dénominateur, une racine ou un logarithme mérite toujours ce coup d'œil : les singularités intérieures sont invisibles dans l'écriture de l'intégrale.

Converge ou diverge, sans calculer

Quand l'énoncé demande seulement la NATURE, on compare à une intégrale de référence plutôt que de calculer.

Si l'intégrande se comporte comme $\frac{1}{x^{p}}$ en $+\infty$ → convergence si et seulement si $p>1$

Exemple : $\frac{1}{x^{2}+1}$ se comporte comme $\frac{1}{x^{2}}$ , donc converge
Si l'intégrande se comporte comme $\frac{1}{x^{p}}$ en $0$ → convergence si et seulement si $p<1$

Exemple : $\frac{1}{\sqrt{x}}$ a $p=\frac{1}{2}<1$ , donc converge sur $\left]0,1\right]$
Si l'intégrande est positif et MAJORÉ par une fonction dont l'intégrale converge → l'intégrale converge

Exemple : $e^{-x^{2}}\le e^{-x}$ pour $x\ge 1$ , donc $\int_{1}^{+\infty}e^{-x^{2}}$ converge
Si l'intégrande est positif et MINORÉ par une fonction dont l'intégrale diverge → l'intégrale diverge

Exemple : $\frac{1}{x+1}\ge\frac{1}{2x}$ pour $x\ge 1$ , donc l'intégrale diverge

Le critère de comparaison exige des fonctions POSITIVES. Sur une fonction de signe variable, il faut d'abord majorer la valeur absolue.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une intégrale impropre, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès qu'une borne est infinie ou que l'intégrande n'est pas défini sur tout l'intervalle fermé.

1 Repérer et NOMMER la difficulté : « L'intégrande n'est pas défini en $0$ , l'intégrale est impropre en cette borne. »
2 Écrire la limite avec une borne variable : « $\int_{0}^{1}f=\lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^{1}f$ . »
3 Calculer l'intégrale ordinaire de $t$ à $1$ , en gardant $t$ littéral.
4 Passer à la limite, et dire si elle est finie.
5 Conclure avec le mot CONVERGE ou DIVERGE, et la valeur le cas échéant.

Phrase de conclusion

La limite étant finie, l'intégrale converge et vaut $2$ .

Le piège : Substituer directement $0$ ou $+\infty$ dans la primitive. Ces symboles ne sont pas des nombres, et une copie qui écrit $\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty}$ perd le point même quand la valeur finale est correcte.

Barème : Généralement 1 point pour l'identification de l'impropriété, 1 point pour la limite écrite, 1 point pour le calcul, 1 point pour la conclusion nommant la nature.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler le signe du résultat

Une intégrale d'une fonction positive sur un intervalle orienté dans le bon sens est positive. Un résultat négatif signale soit une inversion de bornes, soit une singularité franchie.

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=-2$ est impossible : l'intégrande est positif partout, la singularité en $0$ a été ignorée.
Vérifier la continuité sur tout l'intervalle fermé

Avant d'écrire $F(b)-F(a)$ , chercher les zéros du dénominateur, les radicandes négatifs et les arguments de logarithme nuls DANS l'intervalle, bornes comprises.

$\int_{1}^{3}\frac{dx}{x-2}$ contient $2$ : impropre, à découper, et divergente en fin de compte.
Comparer à une intégrale de référence

Avant de calculer, estimer la nature par le critère en puissance. Si le calcul aboutit à une valeur finie alors que le critère annonce une divergence, l'un des deux est faux.

$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ a $p=\frac{1}{2}\le 1$ , donc diverge : une réponse finie serait à revoir.
Vérifier une valeur par encadrement grossier

Majorer et minorer l'intégrande par des constantes sur l'intervalle, et vérifier que le résultat tombe entre les deux produits obtenus.

Sur $\left[0,1\right]$ , $\frac{1}{1+x^{2}}$ est entre $\frac{1}{2}$ et $1$ , donc l'intégrale est entre $0{,}5$ et $1$ : la valeur $\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ ✓.
Contrôler les bornes après un changement de variable

Après substitution, recalculer les deux nouvelles bornes en substituant les anciennes dans la formule de changement de variable, et vérifier qu'elles sont dans le bon ordre.

$u=x^{2}$ envoie $\left[0,2\right]$ sur $\left[0,4\right]$ ; garder $\left[0,2\right]$ donne $\frac{e^{2}-1}{2}\approx 3{,}19$ au lieu de $26{,}8$ .

L'exercice type décortiqué

Une intégrale doublement impropre, traitée dans les règles

Étudier la nature de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+x)}$ , et la calculer si elle converge.

Les deux intégrales de référence :

\frac{1}{x}

décroît trop lentement et laisse une aire infinie jusqu'à l'infini,

\frac{1}{x^{2}}

décroît assez vite pour en laisser une finie.

Étape 1

Repérage : l'intégrande n'est pas défini en $0$ , à cause de $\sqrt{x}$ au dénominateur, et la borne supérieure est infinie. L'intégrale est donc DOUBLEMENT impropre.

Pourquoi

Nommer les deux difficultés dès la première ligne. Une copie qui n'en voit qu'une traite un seul passage à la limite et perd la moitié des points de rigueur.

Étape 2

On découpe en un point quelconque, par exemple $1$ : $\int_{0}^{+\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{+\infty}$ , et l'on exige que les DEUX convergent.

Pourquoi

Le point de coupure est arbitraire et n'a pas à être justifié; ce qui compte est que chaque morceau ne contienne plus qu'une seule difficulté, à une seule de ses bornes.

Étape 3

Nature près de $0$ : $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}$ , de puissance $p=\frac{1}{2}<1$ , donc le premier morceau CONVERGE. Nature en $+\infty$ : $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{x^{3/2}}$ , de puissance $p=\frac{3}{2}>1$ , donc le second CONVERGE aussi.

Pourquoi

Le critère en puissance répond aux deux questions avant tout calcul. Remarquer que les deux conditions sont inversées, $p<1$ en $0$ et $p>1$ à l'infini, est exactement ce que le chapitre teste.

Étape 4

Calcul : on pose $u=\sqrt{x}$ , donc $x=u^{2}$ et $dx=2u\,du$ . L'intégrale devient $\int\frac{2u\,du}{u\left(1+u^{2}\right)}=2\int\frac{du}{1+u^{2}}=2\arctan u+C$ .

Pourquoi

La substitution $u=\sqrt{x}$ élimine la racine ET la singularité : c'est le changement de variable naturel dès qu'une racine figure au dénominateur.

Étape 5

Bornes : $x=0$ donne $u=0$ , et $x\to+\infty$ donne $u\to+\infty$ . Donc $\int_{0}^{+\infty}=\lim_{T\to+\infty}\left[2\arctan u\right]_{0}^{T}=2\cdot\frac{\pi}{2}-0=\pi$ .

Pourquoi

Les bornes se traduisent dans la nouvelle variable, y compris la borne infinie. Le passage à la limite reste écrit, même quand la primitive est bornée.

Étape 6

Contrôle : $\arctan$ est bornée par $\frac{\pi}{2}$ , donc le résultat ne peut dépasser $\pi$ ; et une estimation numérique sur $\left[0{,}0001\,;10000\right]$ donne $3{,}12$ , cohérent avec $\pi\approx 3{,}1416$ ✓.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants, l'un théorique par majoration et l'autre numérique. Ensemble, ils confirment à la fois la convergence et la valeur.

Conclusion rédigée

L'intégrale est doublement impropre; elle converge en $0$ car $p=\frac{1}{2}<1$ et en $+\infty$ car $p=\frac{3}{2}>1$ , et sa valeur est $\pi$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Traiter les deux impropriétés en une seule limite, $\lim_{t\to 0,\,T\to+\infty}$ avec $t$ et $T$ liés. La définition exige deux limites INDÉPENDANTES, et c'est ce qui empêche des compensations illusoires entre les deux morceaux.

À savoir par cœur

• $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$ exige la CONTINUITÉ sur tout $\left[a,b\right]$ , bornes comprises.
• Intégrale définie : un NOMBRE, sans $+C$ . Intégrale indéfinie : une famille de fonctions.
• Intégrale et aire diffèrent dès que $f$ change de signe : l'aire découpe aux zéros.
• Impropre veut dire LIMITE : borne variable écrite, puis passage à la limite.
• Singularité INTÉRIEURE : découper, et exiger la convergence des DEUX morceaux.
• $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si $p>1$ ; $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si $p<1$ .
• Comparaison : plus petite qu'une convergente, elle converge; plus grande qu'une divergente, elle diverge.
• Changement de variable dans une intégrale définie : traduire les BORNES.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une intégrale définie et une aire ?

L'intégrale compte négativement ce qui se trouve sous l'axe des abscisses, l'aire compte tout positivement. Les deux coïncident seulement si la fonction garde un signe constant. Pour une aire, il faut découper l'intervalle aux zéros de la fonction et changer le signe des morceaux négatifs.

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

C'est une intégrale dont une borne est infinie, ou dont l'intégrande n'est pas défini quelque part sur l'intervalle. Elle se définit comme une limite : on remplace la borne problématique par une variable, on calcule l'intégrale ordinaire, puis on fait tendre cette variable vers la borne. Si la limite est finie, l'intégrale converge.

Comment repérer une singularité cachée à l'intérieur de l'intervalle ?

En cherchant les zéros du dénominateur, les radicandes négatifs et les arguments de logarithme nuls, sur tout l'intervalle et pas seulement aux bornes. L'exemple classique est l'intégrale de un sur x au carré entre moins un et un, où la singularité en zéro est invisible dans l'écriture de l'intégrale.

Quand une intégrale en un sur x puissance p converge-t-elle ?

À l'infini elle converge si p est strictement supérieur à un, car il faut décroître assez vite. Près de zéro c'est l'inverse : elle converge si p est strictement inférieur à un, car il faut exploser assez lentement. Le cas p égal à un diverge dans les deux situations.

Dans quel sens s'utilise le critère de comparaison ?

Une fonction positive plus petite qu'une fonction dont l'intégrale converge a elle aussi une intégrale convergente. Une fonction positive plus grande qu'une fonction dont l'intégrale diverge a elle aussi une intégrale divergente. Les deux fonctions doivent être positives, sinon il faut d'abord majorer la valeur absolue.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Intégrale définie et impropre

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Aire entre deux courbes L'intégration numérique Les courbes paramétrées

Voir aussi

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Fiche de révision : l'intégrale définie et les intégrales impropres

L'essentiel

Ce que le théorème fondamental dit, et ce qu'il exige

Les trois façons d'être impropre

Le critère en puissance, à connaître par cœur

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre l'intégrale et l'aire

2. Appliquer le théorème fondamental à travers une singularité

3. Calculer une intégrale impropre sans écrire la limite

4. Traiter ensemble les deux moitiés d'une intégrale doublement impropre

5. Utiliser le critère de comparaison dans le mauvais sens

6. Confondre les deux critères en puissance

7. Oublier le +C+C+C interdit dans une intégrale définie

8. Substituer sans changer les bornes

Quelle méthode choisir

Cette intégrale est-elle impropre, et comment la traiter

Converge ou diverge, sans calculer

La rédaction attendue

Une intégrale impropre, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une intégrale doublement impropre, traitée dans les règles

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une intégrale définie et une aire ?

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

Comment repérer une singularité cachée à l'intérieur de l'intervalle ?

Quand une intégrale en un sur x puissance p converge-t-elle ?

Dans quel sens s'utilise le critère de comparaison ?

Exercices corrigés : Intégrale définie et impropre

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