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Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégrale définie et les intégrales impropres

Cette fiche ne réénonce pas le théorème fondamental : il est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note au troisième examen de 201-SN3-RE (ancien 201-NYB), où presque toutes les pertes viennent d'avoir appliqué la formule F(b)−F(a)F(b)-F(a) là où elle ne s'applique pas, faute d'avoir regardé si la fonction restait définie sur tout l'intervalle.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Cette fiche existe aussi en anglais →

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Le fil du chapitre

Une intégrale définie n'est pas une aire mais une aire ALGÉBRIQUE, et une intégrale impropre n'est même pas une intégrale : c'est une LIMITE, qu'il faut écrire avec sa borne variable avant de calculer quoi que ce soit.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Dérivées des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
  2. 2 Primitives et intégrale indéfinie
  3. 3 La décomposition des fractions rationnelles
  4. 4 Techniques d'intégration
  5. 5 L'Hôpital et formes indéterminées

L'essentiel

Ce que le théorème fondamental dit, et ce qu'il exige

  • • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a), à condition que ff soit CONTINUE sur tout [a,b]\left[a,b\right].
  • • Version dérivée : ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x). L'intégrale à borne variable est une primitive.
  • • L'intégrale définie est un NOMBRE; l'intégrale indéfinie est une famille de fonctions. Aucun +C+C dans la première.
  • • Chasles : ∫ac=∫ab+∫bc\int_{a}^{c}=\int_{a}^{b}+\int_{b}^{c}, et ∫ba=−∫ab\int_{b}^{a}=-\int_{a}^{b}.
  • • Valeur moyenne : 1b−a∫abf\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f, atteinte au moins une fois si ff est continue.
π/2π3π/2+2−1
Sur [0,3π2]\left[0,\frac{3\pi}{2}\right], l'arche positive compte +2+2 et la partie négative compte −1-1 : l'intégrale vaut 11, l'AIRE vaut 33. Les deux questions n'ont pas la même réponse.

L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle qui distingue une intégrale ordinaire d'une intégrale impropre déguisée.

Les trois façons d'être impropre

  • • Borne INFINIE : ∫a+∞f=lim⁡t→+∞∫atf\int_{a}^{+\infty}f=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f.
  • • Singularité À UNE BORNE : ∫abf=lim⁡t→b−∫atf\int_{a}^{b}f=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f si ff explose en bb.
  • • Singularité À L'INTÉRIEUR : découper en cc, traiter les deux morceaux SÉPARÉMENT, et exiger que les DEUX convergent.
  • • Doublement impropre : découper en un point quelconque et traiter chaque moitié à part. Il faut que les deux convergent.
  • • Converge veut dire : la limite existe et est FINIE. Sinon on dit que l'intégrale diverge.
à l'infini→ ∞à une borneà l'intérieur
Trois aires sans bord : vers l'infini, contre une asymptote à une borne, contre une asymptote au milieu. Chacune s'écrit avec une limite, la troisième en coupant l'intervalle.

Deux morceaux divergents qui « se compensent » ne donnent PAS une intégrale convergente : la définition exige la convergence de chacun.

Le critère en puissance, à connaître par cœur

  • • ∫1+∞dxxp\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}} CONVERGE si p>1p>1, DIVERGE si p≤1p\le 1.
  • • ∫01dxxp\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}} CONVERGE si p<1p<1, DIVERGE si p≥1p\ge 1. Les deux conditions sont inversées.
  • • Cas frontière p=1p=1 : les deux divergent, et ∫dxx=ln⁡x\int\frac{dx}{x}=\ln x le montre.
  • • Comparaison : si 0≤f≤g0\le f\le g et ∫g\int g converge, alors ∫f\int f converge; si ∫f\int f diverge, alors ∫g\int g diverge.
à l'infini : p > 1en 0 : p < 1
À l'infini, 1x\frac{1}{x} (rouge) diverge et 1x2\frac{1}{x^{2}} (vert) converge ; en 00, le critère s'inverse : 1x\frac{1}{\sqrt{x}} (vert) converge, 1x\frac{1}{x} (rouge) diverge.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre l'intégrale et l'aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫02πsin⁡x dx=0\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=0, donc l'aire sous la courbe est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« L'intégrale vaut 00; l'AIRE vaut ∫0πsin⁡x dx−∫π2πsin⁡x dx=2+2=4\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=2+2=4. »

Pourquoi : L'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe. Le mot « aire » impose un découpage aux ZÉROS de la fonction et un changement de signe sur les morceaux négatifs. Une aire nulle avec une courbe visiblement écartée de l'axe est une contradiction immédiate.

2. Appliquer le théorème fondamental à travers une singularité

toute la question, avec en prime une aire négative sous une fonction positive

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫−11dxx2=[−1x]−11=−1−1=−2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2

Ce qu'il faut écrire

L'intégrande n'est pas défini en 00 : l'intégrale est IMPROPRE, il faut la découper, et chacun des deux morceaux DIVERGE.

−3−2−1123246810y = 1/x² > 0« −2 » impossible
1x2\frac{1}{x^{2}} explose en 00, à l'INTÉRIEUR de [−1,1]\left[-1,1\right] : appliquer F(b)−F(a)F(b)-F(a) par-dessus donne −2-2, un nombre négatif sous une courbe entièrement positive.

Pourquoi : Le théorème fondamental exige la continuité sur tout l'intervalle. Le résultat −2-2 est absurde puisque 1x2>0\frac{1}{x^{2}}>0 partout : une intégrale d'une fonction positive ne peut pas être négative. C'est ce contrôle de signe, gratuit, qui révèle la singularité oubliée.

3. Calculer une intégrale impropre sans écrire la limite

1 point systématiquement, même quand la valeur est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫1+∞dxx2=[−1x]1+∞=0+1=1\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty}=0+1=1

Ce qu'il faut écrire

∫1+∞dxx2=lim⁡t→+∞[−1x]1t=lim⁡t→+∞(1−1t)=1\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{t\to+\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t}=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)=1

Pourquoi : ∞\infty n'est pas un nombre : on ne le substitue pas dans une primitive. La borne variable tt et le passage à la limite sont exactement ce que le barème note, et ils ne coûtent qu'une ligne.

4. Traiter ensemble les deux moitiés d'une intégrale doublement impropre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫−∞+∞x dx=lim⁡t→+∞∫−ttx dx=lim⁡t→+∞0=0\int_{-\infty}^{+\infty}x\,dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}x\,dx=\lim_{t\to+\infty}0=0

Ce qu'il faut écrire

On découpe : ∫−∞0x dx\int_{-\infty}^{0}x\,dx diverge, donc l'intégrale totale DIVERGE, quelle que soit la symétrie.

−RR2Ry = x+ 6
De −R-R à RR, le rouge et le vert s'annulent ; de −R-R à 2R2R, il reste +6+6 pour R=2R=2. La « valeur » dépend de la façon d'aller à l'infini : chaque moitié diverge.

Pourquoi : La définition impose deux limites INDÉPENDANTES, pas une seule borne symétrique. Le calcul symétrique donne 00, mais il donnerait aussi +∞+\infty avec des bornes −t-t et 2t2t : une expression dont la valeur dépend du chemin choisi n'est pas définie.

5. Utiliser le critère de comparaison dans le mauvais sens

toute la question de convergence

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 1x2+1≤1x2\frac{1}{x^{2}+1}\le\frac{1}{x^{2}} et ∫dxx2\int\frac{dx}{x^{2}} converge, donc ∫dxx2+1\int\frac{dx}{x^{2}+1} diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« Majorée par une convergente, donc CONVERGENTE. La majoration transmet la convergence vers le bas et la divergence vers le haut. »

0,511,522,533,544,555,560,20,40,60,811,21/x² : aire finie1/(x² + 1), en dessous
1x2+1\frac{1}{x^{2}+1} reste SOUS 1x2\frac{1}{x^{2}}, dont l'aire sur [1,+∞[\left[1,+\infty\right[ est finie : son aire est donc finie aussi. Être plus petite qu'une convergente fait converger.

Pourquoi : Le sens est le seul contenu du critère : une fonction plus petite qu'une intégrable est intégrable, une fonction plus grande qu'une non intégrable ne l'est pas. La formuler avec les mots « plus petite » et « plus grande » plutôt qu'avec des symboles évite de l'inverser sous la pression.

6. Confondre les deux critères en puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫01dxx2\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}} converge, puisque 2>12>1. »

Ce qu'il faut écrire

« En 00, le critère est INVERSÉ : ∫01dxxp\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}} converge si p<1p<1. Ici p=2p=2, donc elle DIVERGE. »

Pourquoi : Les deux critères sont inversés parce que le danger n'est pas au même endroit : à l'infini, il faut décroître VITE, donc pp grand; en 00, il faut exploser LENTEMENT, donc pp petit. Retenir la raison plutôt que les deux inégalités évite de les confondre.

7. Écrire un +C+C dans une intégrale définie

un demi-point, et une confusion de nature entre les deux objets

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫01x dx=x22+C∣01=12+C\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}+C

Ce qu'il faut écrire

∫01x dx=[x22]01=12\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}

Pourquoi : Une intégrale définie est un NOMBRE. La constante disparaît dans la soustraction F(b)−F(a)F(b)-F(a), ce qui est d'ailleurs la raison pour laquelle le choix de la primitive est indifférent. Écrire un +C+C dans une intégrale définie signale une confusion sur ce que l'on calcule.

8. Substituer sans changer les bornes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫02x ex2 dx=12∫02eu du\int_{0}^{2}x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}e^{u}\,du

Ce qu'il faut écrire

u=x2u=x^{2} donne u=0u=0 pour x=0x=0 et u=4u=4 pour x=2x=2, donc 12∫04eu du=e4−12\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}\,du=\frac{e^{4}-1}{2}

Pourquoi : Les bornes appartiennent à la variable, pas à l'intégrale : changer de variable oblige à les traduire. Deux voies possibles, changer les bornes ou revenir en xx avant d'évaluer, mais jamais le mélange des deux, qui donne un nombre faux d'un facteur considérable.

Quelle méthode choisir

Cette intégrale est-elle impropre, et comment la traiter

Avant tout calcul, on regarde les BORNES et le DOMAINE de l'intégrande sur l'intervalle. C'est ce coup d'œil, et lui seul, qui décide de la méthode.

  • Si l'intégrande est continu sur tout l'intervalle fermé et les bornes sont finies → intégrale ordinaire : F(b)−F(a)F(b)-F(a) directement

    Exemple : ∫01x dx=12\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}

  • Si une borne est infinie → remplacer par une borne variable tt et passer à la limite

    Exemple : ∫1+∞dxx2=lim⁡t→+∞(1−1t)=1\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)=1

  • Si l'intégrande explose à une BORNE de l'intervalle → borne variable tendant vers cette borne, du bon côté

    Exemple : ∫01dxx=lim⁡t→0+(2−2t)=2\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{t\to 0^{+}}\left(2-2\sqrt{t}\right)=2

  • Si l'intégrande explose À L'INTÉRIEUR de l'intervalle → DÉCOUPER au point singulier et traiter les deux morceaux séparément; les deux doivent converger

    Exemple : ∫−11dxx2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} diverge, chaque moitié divergeant

  • Si les deux bornes sont infinies → découper en un point quelconque, deux limites INDÉPENDANTES

    Exemple : ∫−∞+∞dx1+x2=π2+π2=π\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi

Un intégrande qui contient un dénominateur, une racine ou un logarithme mérite toujours ce coup d'œil : les singularités intérieures sont invisibles dans l'écriture de l'intégrale.

Converge ou diverge, sans calculer

Quand l'énoncé demande seulement la NATURE, on compare à une intégrale de référence plutôt que de calculer.

  • Si l'intégrande se comporte comme 1xp\frac{1}{x^{p}} en +∞+\infty → convergence si et seulement si p>1p>1

    Exemple : 1x2+1\frac{1}{x^{2}+1} se comporte comme 1x2\frac{1}{x^{2}}, donc converge

  • Si l'intégrande se comporte comme 1xp\frac{1}{x^{p}} en 00 → convergence si et seulement si p<1p<1

    Exemple : 1x\frac{1}{\sqrt{x}} a p=12<1p=\frac{1}{2}<1, donc converge sur ]0,1]\left]0,1\right]

  • Si l'intégrande est positif et MAJORÉ par une fonction dont l'intégrale converge → l'intégrale converge

    Exemple : e−x2≤e−xe^{-x^{2}}\le e^{-x} pour x≥1x\ge 1, donc ∫1+∞e−x2\int_{1}^{+\infty}e^{-x^{2}} converge

  • Si l'intégrande est positif et MINORÉ par une fonction dont l'intégrale diverge → l'intégrale diverge

    Exemple : 1x+1≥12x\frac{1}{x+1}\ge\frac{1}{2x} pour x≥1x\ge 1, donc l'intégrale diverge

Le critère de comparaison exige des fonctions POSITIVES. Sur une fonction de signe variable, il faut d'abord majorer la valeur absolue.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une intégrale impropre, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès qu'une borne est infinie ou que l'intégrande n'est pas défini sur tout l'intervalle fermé.

  1. 1 Repérer et NOMMER la difficulté : « L'intégrande n'est pas défini en 00, l'intégrale est impropre en cette borne. »
  2. 2 Écrire la limite avec une borne variable : « ∫01f=lim⁡t→0+∫t1f\int_{0}^{1}f=\lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^{1}f. »
  3. 3 Calculer l'intégrale ordinaire de tt à 11, en gardant tt littéral.
  4. 4 Passer à la limite, et dire si elle est finie.
  5. 5 Conclure avec le mot CONVERGE ou DIVERGE, et la valeur le cas échéant.

Phrase de conclusion

La limite étant finie, l'intégrale converge et vaut 22.

Le piège : Substituer directement 00 ou +∞+\infty dans la primitive. Ces symboles ne sont pas des nombres, et une copie qui écrit [−1x]1+∞\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty} perd le point même quand la valeur finale est correcte.

Barème : Généralement 1 point pour l'identification de l'impropriété, 1 point pour la limite écrite, 1 point pour le calcul, 1 point pour la conclusion nommant la nature.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une intégrale doublement impropre, traitée dans les règles

Étudier la nature de ∫0+∞dxx (1+x)\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+x)}, et la calculer si elle converge.

1234560,511,522,53explose en 0→ 0 comme 1/(x√x)
L'intégrande explose en 00 comme 1x\frac{1}{\sqrt{x}} et décroît à l'infini comme 1x3/2\frac{1}{x^{3/2}} : deux impropretés, deux limites, d'où la coupure de l'intervalle.

Étape 1

Repérage : l'intégrande n'est pas défini en 00, à cause de x\sqrt{x} au dénominateur, et la borne supérieure est infinie. L'intégrale est donc DOUBLEMENT impropre.

Pourquoi

Nommer les deux difficultés dès la première ligne. Une copie qui n'en voit qu'une traite un seul passage à la limite et perd la moitié des points de rigueur.

Étape 2

On découpe en un point quelconque, par exemple 11 : ∫0+∞=∫01+∫1+∞\int_{0}^{+\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{+\infty}, et l'on exige que les DEUX convergent.

Pourquoi

Le point de coupure est arbitraire et n'a pas à être justifié; ce qui compte est que chaque morceau ne contienne plus qu'une seule difficulté, à une seule de ses bornes.

Étape 3

Nature près de 00 : 1x(1+x)∼1x\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}, de puissance p=12<1p=\frac{1}{2}<1, donc le premier morceau CONVERGE. Nature en +∞+\infty : 1x(1+x)∼1x3/2\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\sim\frac{1}{x^{3/2}}, de puissance p=32>1p=\frac{3}{2}>1, donc le second CONVERGE aussi.

Pourquoi

Le critère en puissance répond aux deux questions avant tout calcul. Remarquer que les deux conditions sont inversées, p<1p<1 en 00 et p>1p>1 à l'infini, est exactement ce que le chapitre teste.

Étape 4

Calcul : on pose u=xu=\sqrt{x}, donc x=u2x=u^{2} et dx=2u dudx=2u\,du. L'intégrale devient ∫2u duu(1+u2)=2∫du1+u2=2arctan⁡u+C\int\frac{2u\,du}{u\left(1+u^{2}\right)}=2\int\frac{du}{1+u^{2}}=2\arctan u+C.

Pourquoi

La substitution u=xu=\sqrt{x} élimine la racine ET la singularité : c'est le changement de variable naturel dès qu'une racine figure au dénominateur.

Étape 5

Bornes : x=0x=0 donne u=0u=0, et x→+∞x\to+\infty donne u→+∞u\to+\infty. Donc ∫0+∞=lim⁡T→+∞[2arctan⁡u]0T=2⋅π2−0=π\int_{0}^{+\infty}=\lim_{T\to+\infty}\left[2\arctan u\right]_{0}^{T}=2\cdot\frac{\pi}{2}-0=\pi.

Pourquoi

Les bornes se traduisent dans la nouvelle variable, y compris la borne infinie. Le passage à la limite reste écrit, même quand la primitive est bornée.

Étape 6

Contrôle : arctan⁡\arctan est bornée par π2\frac{\pi}{2}, donc le résultat ne peut dépasser π\pi ; et une estimation numérique sur [0,0001 ;10000]\left[0{,}0001\,;10000\right] donne 3,103{,}10, cohérent avec π≈3,1416\pi\approx 3{,}1416 ✓.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants, l'un théorique par majoration et l'autre numérique. Ensemble, ils confirment à la fois la convergence et la valeur.

Conclusion rédigée

L'intégrale est doublement impropre; elle converge en 00 car p=12<1p=\frac{1}{2}<1 et en +∞+\infty car p=32>1p=\frac{3}{2}>1, et sa valeur est π\pi.

L'erreur classique sur cet exercice : Traiter les deux impropriétés en une seule limite, lim⁡t→0, T→+∞\lim_{t\to 0,\,T\to+\infty} avec tt et TT liés. La définition exige deux limites INDÉPENDANTES, et c'est ce qui empêche des compensations illusoires entre les deux morceaux.

À savoir par cœur

  • • ∫abf=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a) exige la CONTINUITÉ sur tout [a,b]\left[a,b\right], bornes comprises.
  • • Intégrale définie : un NOMBRE, sans +C+C. Intégrale indéfinie : une famille de fonctions.
  • • Intégrale et aire diffèrent dès que ff change de signe : l'aire découpe aux zéros.
  • • Impropre veut dire LIMITE : borne variable écrite, puis passage à la limite.
  • • Singularité INTÉRIEURE : découper, et exiger la convergence des DEUX morceaux.
  • • ∫1+∞dxxp\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}} converge si p>1p>1 ; ∫01dxxp\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}} converge si p<1p<1.
  • • Comparaison : plus petite qu'une convergente, elle converge; plus grande qu'une divergente, elle diverge.
  • • Changement de variable dans une intégrale définie : traduire les BORNES.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une intégrale définie et une aire ?

L'intégrale compte négativement ce qui se trouve sous l'axe des abscisses, l'aire compte tout positivement. Les deux coïncident seulement si la fonction garde un signe constant. Pour une aire, il faut découper l'intervalle aux zéros de la fonction et changer le signe des morceaux négatifs.

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

C'est une intégrale dont une borne est infinie, ou dont l'intégrande n'est pas défini quelque part sur l'intervalle. Elle se définit comme une limite : on remplace la borne problématique par une variable, on calcule l'intégrale ordinaire, puis on fait tendre cette variable vers la borne. Si la limite est finie, l'intégrale converge.

Comment repérer une singularité cachée à l'intérieur de l'intervalle ?

En cherchant les zéros du dénominateur, les radicandes négatifs et les arguments de logarithme nuls, sur tout l'intervalle et pas seulement aux bornes. L'exemple classique est l'intégrale de un sur x au carré entre moins un et un, où la singularité en zéro est invisible dans l'écriture de l'intégrale.

Quand une intégrale en un sur x puissance p converge-t-elle ?

À l'infini elle converge si p est strictement supérieur à un, car il faut décroître assez vite. Près de zéro c'est l'inverse : elle converge si p est strictement inférieur à un, car il faut exploser assez lentement. Le cas p égal à un diverge dans les deux situations.

Dans quel sens s'utilise le critère de comparaison ?

Une fonction positive plus petite qu'une fonction dont l'intégrale converge a elle aussi une intégrale convergente. Une fonction positive plus grande qu'une fonction dont l'intégrale diverge a elle aussi une intégrale divergente. Les deux fonctions doivent être positives, sinon il faut d'abord majorer la valeur absolue.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Intégrale définie et impropre

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 16 exercices corrigés
  • 160 points
  • 225 minutes
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Aire entre deux courbes L'intégration numérique Les courbes paramétrées

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nyb-integrale-definie-impropre. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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