Exercices corrigés : les séries numériques (201-NYB)

a) La série $\sum a_{n}$ converge vers $S$ si la SUITE $S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$ tend vers $S$ : la convergence d'une série est, par définition, la convergence d'une suite, celle qu'on voit s'écraser sur la droite pointillée de la figure. Pour la géométrique : $S_{n}=a+ar+\cdots+ar^{n-1}$ et $rS_{n}=ar+\cdots+ar^{n}$; en soustrayant, tout se télescope sauf les extrémités : $S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$, d'où $S_{n}=a\,\frac{1-r^{n}}{1-r}$ (pour $r\ne 1$).

b) Tout repose sur $r^{n}$ : si $|r|<1$, $r^{n}\to 0$ et $S_{n}\to\frac{a}{1-r}$; si $|r|\ge 1$, $r^{n}$ ne tend pas vers 0 et la série diverge. Ici $a=5$, $r=\frac{2}{3}$ : $S=\frac{5}{1-\frac{2}{3}}=15$, la droite de la figure. À partir de $n=2$ : le premier terme sommé est $5\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{20}{9}$, donc $S=\frac{20/9}{1/3}=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$ (ou bien $15-5-\frac{10}{3}$, même résultat). La formule $\frac{a}{1-r}$ exige de savoir QUI est le premier terme.

c) $0{,}999\ldots=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10}\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\frac{9/10}{1-1/10}=1$ : exactement 1, pas « presque » : les deux écritures désignent le même nombre. De même $0{,}727272\ldots=\frac{72}{100}+\frac{72}{100^{2}}+\cdots=\frac{72/100}{1-1/100}=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}$. Tout décimal périodique est une série géométrique déguisée, donc un rationnel.

d) La balle descend 2 m, puis pour chaque rebond de hauteur $h$ elle monte ET redescend : $D=2+2\sum_{n=1}^{\infty}2(0{,}6)^{n}=2+4\cdot\frac{0{,}6}{1-0{,}6}=2+6=8$ m. Une infinité de rebonds, huit mètres : les hauteurs décroissent géométriquement, et une géométrique de raison $|r|<1$ a une somme finie. C'est la réponse moderne au paradoxe de Zénon : une infinité d'étapes n'implique pas une distance (ni un temps) infinis, dès que les étapes fondent assez vite.

a) Si $a_{n}\not\to 0$, la série diverge : les sommes partielles reçoivent indéfiniment des ajouts qui ne s'éteignent pas. Ici $\frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}\ne 0$ : DIVERGENTE, en une ligne. Ce que le test ne dit pas : si $a_{n}\to 0$, on ne peut RIEN conclure : ce n'est pas un test de convergence, seulement un filtre à divergences grossières. La série harmonique de c) est le contre-exemple officiel de la réciproque.

b) $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. La somme partielle s'effondre en dominos : $S_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$, chaque terme négatif annulant le positif suivant. Limite : $S=1$. La série télescopique est, avec la géométrique, la seule dont on obtient la somme EXACTE par calcul direct des sommes partielles.

c) Regroupons : $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; puis $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}>\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$; le bloc suivant de 8 termes dépasse encore $\frac{1}{2}$, et ainsi de suite : chaque bloc de $2^{k}$ termes, minoré par son dernier terme, apporte plus d'un demi. Avec une infinité de blocs, $S_{n}$ dépasse tout nombre : DIVERGENCE. Le terme $\frac{1}{n}$ tend bien vers 0, mais pas assez vite : exactement le $\int\frac{dx}{x}$ divergent des intégrales impropres, dont la courbe de la figure est le portrait.

d) $H_{n}>10$ exige $\ln n>9{,}42$, soit $n>e^{9{,}42}\approx 12\,400$ termes. Pour dépasser 20 : $n>e^{19{,}42}\approx 2{,}7\times 10^{8}$, un quart de milliard de termes pour gagner dix unités de plus. La série harmonique diverge, mais à une lenteur spectaculaire : logarithmique. Aucune calculatrice qui additionne les termes un à un ne « verra » jamais cette divergence : seule la preuve la garantit, et c'est toute la différence entre calculer et démontrer.

a) Dessinez les rectangles de base 1 et de hauteur $a_{n}$ : posés à gauche des entiers, ils dépassent la courbe et $\sum a_{n}\ge\int_{1}^{\infty}f$; posés à droite, ils passent dessous et $\sum_{n\ge 2}a_{n}\le\int_{1}^{\infty}f$. La série est donc coincée entre l'intégrale et l'intégrale plus le premier terme : elles convergent ou divergent ENSEMBLE. Pour $\frac{1}{n^{2}}$ : $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=1$ converge (chapitre des impropres), donc $\sum\frac{1}{n^{2}}$ CONVERGE, et sa somme est entre 1 et 2.

b) Le test transfère mot pour mot le critère en $p$ des intégrales : $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$, donc $\sum\frac{1}{n^{p}}$ pareillement. $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ : $p=\frac{1}{2}$, diverge. $\sum\frac{1}{n^{1{,}01}}$ : $p=1{,}01>1$, converge : la frontière est exactement en $p=1$, et il suffit d'un cheveu du bon côté. $\sum\frac{1}{n^{3}}$ : converge. La série harmonique est le cas frontière $p=1$, perdant.

c) Reste après 100 termes : $R_{100}\le\int_{100}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\frac{1}{100}=0{,}01$ (et $R_{100}\ge\frac{1}{101}$). S'arrêter à 100 termes garantit donc deux décimales. Cohérence : $\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}6449$, et la somme des 100 premiers termes vaut environ $1{,}6350$ : l'écart $0{,}0099$ tombe pile dans l'encadrement $[\frac{1}{101},\frac{1}{100}]$. L'encadrement du reste transforme un critère qualitatif en outil de calcul numérique contrôlé.

d) $\frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}}$, série majorante convergente : CONVERGE (c'est d'ailleurs la télescopique de l'exercice 2, de somme exactement 1 : la comparaison est confirmée par le calcul direct). $\frac{\ln n}{n}\ge\frac{1}{n}$ dès $n\ge 3$ (car $\ln n\ge 1$) : minorée par la harmonique divergente, elle DIVERGE. Le logarithme au numérateur aggrave une divergence; au dénominateur, il ne suffirait pas à sauver $\frac{1}{n\ln n}$ non plus : seule une vraie puissance $p>1$ sauve.

a) $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\to\frac{1}{2}<1$ : CONVERGENTE. Intuition : le facteur $n$ ne pèse rien face au $2^{n}$ : à l'infini, la série se comporte comme une géométrique de raison $\frac{1}{2}$ à peine gonflée. (Sa somme exacte vaut d'ailleurs 2, un classique des séries entières.) Le critère de d'Alembert mesure précisément « à quelle géométrique la série ressemble ».

b) $\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}}=\frac{2}{n+1}\to 0<1$ : convergence éclatante (la somme est $e^{2}\approx 7{,}39$, série de l'exponentielle). Pour $\frac{n!}{10^{n}}$ : $\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^{n}}{n!}=\frac{n+1}{10}\to\infty$ : DIVERGENTE, le terme général explose même. Verdict du duel : la factorielle finit TOUJOURS par écraser toute exponentielle $c^{n}$ : ses facteurs grandissent ($n+1$), ceux de l'exponentielle sont fixes ($c$). Dès $n=10$, chaque nouveau facteur de $n!$ dépasse 10 et la course est pliée.

c) Pour $\frac{1}{n}$ : $\frac{n}{n+1}\to 1$. Pour $\frac{1}{n^{2}}$ : $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\to 1$. Même verdict $L=1$, mais la première DIVERGE et la seconde CONVERGE : le cas $L=1$ ne permet AUCUNE conclusion, et il englobe hélas toutes les séries de Riemann, le cœur du chapitre. Le relais : le test de l'intégrale et les comparaisons, qui distinguent finement les puissances là où le rapport est aveugle. Règle pratique : d'Alembert pour les factorielles et les $c^{n}$; Riemann et comparaison pour les puissances de $n$.

d) $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e\approx 2{,}72>1$ : DIVERGENTE. Le résultat dit au passage que $n^{n}$ croît plus vite que $n!$ d'un facteur $e$ par cran : c'est le germe de la formule de Stirling. Une question qui teste à la fois le critère et la limite fondamentale du nombre $e$ : très exactement le format examen.

a) Si $b_{n}$ est DÉCROISSANTE et tend vers 0, alors $\sum(-1)^{n+1}b_{n}$ converge. Ici $b_{n}=\frac{1}{n}$ : décroissante, limite nulle : convergence garantie (vers $\ln 2$, valeur admise). Sur la figure, on voit le mécanisme même de la preuve : chaque terme fait dépasser la cible puis revenir en deçà, les sommes impaires descendent, les paires montent, et la limite est prise en étau entre les deux : la convergence par encerclement.

b) L'erreur est majorée par le PREMIER TERME NÉGLIGÉ : $|S-S_{n}|\le\frac{1}{n+1}$. Pour $0{,}01$ : $\frac{1}{n+1}\le 0{,}01\iff n\ge 99$ : une centaine de termes. Pour $10^{-6}$ : un million de termes. La borne est simple et sûre, mais la convergence est LENTE : diviser l'erreur par 100 coûte 100 fois plus de termes. C'est le prix de la conditionnelle : la série $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$, elle, atteint $10^{-6}$ en un millier de termes.

c) Convergence ABSOLUE : $\sum|a_{n}|$ converge (et elle entraîne toujours la convergence de $\sum a_{n}$). CONDITIONNELLE : $\sum a_{n}$ converge mais $\sum|a_{n}|$ diverge. Harmonique alternée : converge (a), mais ses valeurs absolues forment la harmonique divergente : CONDITIONNELLE. $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ : les valeurs absolues forment $\sum\frac{1}{n^{2}}$, Riemann $p=2$ convergente : ABSOLUE. Hiérarchie : absolue $\Rightarrow$ convergente, jamais l'inverse.

d) Théorème de réarrangement de Riemann : en changeant seulement l'ORDRE des termes d'une série conditionnellement convergente, on peut la faire converger vers n'importe quel réel, ou diverger. La harmonique alternée réordonnée peut « valoir » 5, ou $-\pi$, ou l'infini : sa somme de $\ln 2$ dépend de l'ordre d'addition, ce qui heurte tout ce que l'addition finie nous a appris. Les séries absolument convergentes, elles, sont immunisées : toute permutation redonne la même somme. C'est pourquoi la convergence absolue est la notion de sécurité : elle seule autorise à manipuler une somme infinie comme une somme ordinaire.

a) Géométrique de raison $r=-\frac{2}{3}$, $|r|=\frac{2}{3}<1$ : convergence ABSOLUE (la série des valeurs absolues est la géométrique de raison $\frac{2}{3}$). Somme : $\frac{1}{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}=0{,}6$. Une série alternée peut être traitée par Leibniz, mais quand elle est géométrique, la somme exacte est offerte : toujours reconnaître la géométrique d'abord.

b) $(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$ : le terme général ne tend pas vers 0 (il oscille entre des valeurs proches de $+1$ et $-1$) : DIVERGENTE par le test du terme général : Leibniz est inapplicable ($b_{n}\to 1\ne 0$) et il ne faut même pas l'invoquer. $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}$ : positive, se compare à $\frac{n^{2}}{n^{4}}=\frac{1}{n^{2}}$ : $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}\le\frac{1}{n^{2}}$, Riemann $p=2$ : CONVERGENTE (absolument, elle est positive).

c) $\cos(n\pi)=(-1)^{n}$ : c'est la série alternée $\sum\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ déguisée : premier réflexe, démasquer l'alternance. Valeurs absolues : $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$, Riemann $p=\frac{1}{2}$ : diverge : pas de convergence absolue. Leibniz : $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers 0 : la série converge. Verdict : convergence CONDITIONNELLE : le cas le plus subtil, qui exige les DEUX vérifications, et celui que l'examen adore.

d) $\frac{3^{n}}{n4^{n}}=\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ : d'Alembert : $\frac{n}{n+1}\cdot\frac{3}{4}\to\frac{3}{4}<1$ : convergence ABSOLUE (comparaison directe avec la géométrique $\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ marche aussi : le $\frac{1}{n}$ n'aide que dans le bon sens). Stratégie générale, dans l'ordre : 1) le terme tend-il vers 0 ? sinon, divergence, terminé; 2) la série est-elle géométrique ou télescopique ? somme exacte; 3) factorielles ou $c^{n}$ ? d'Alembert; 4) puissances de $n$ ? Riemann et comparaison; 5) alternance ? convergence absolue d'abord, puis Leibniz. Cinq questions, dans cet ordre : c'est l'algorithme qui résout la feuille d'examen.