Exercices corrigés : les séries numériques (201-NYB)

a) La série $\sum a_{n}$ converge vers $S$ si la SUITE $S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$ tend vers $S$ : la convergence d'une série est, par définition, la convergence d'une suite, celle qu'on voit s'écraser sur la droite pointillée de la figure. Pour la géométrique : $S_{n}=a+ar+\cdots+ar^{n-1}$ et $rS_{n}=ar+\cdots+ar^{n}$; en soustrayant, tout se télescope sauf les extrémités : $S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$, d'où $S_{n}=a\,\frac{1-r^{n}}{1-r}$ (pour $r\ne 1$).

b) Tout repose sur $r^{n}$ : si $|r|<1$, $r^{n}\to 0$ et $S_{n}\to\frac{a}{1-r}$; si $|r|\ge 1$, $r^{n}$ ne tend pas vers 0 et la série diverge. Ici $a=5$, $r=\frac{2}{3}$ : $S=\frac{5}{1-\frac{2}{3}}=15$, la droite de la figure. À partir de $n=2$ : le premier terme sommé est $5\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{20}{9}$, donc $S=\frac{20/9}{1/3}=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$ (ou bien $15-5-\frac{10}{3}$, même résultat). La formule $\frac{a}{1-r}$ exige de savoir QUI est le premier terme.

c) $0{,}999\ldots=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10}\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\frac{9/10}{1-1/10}=1$ : exactement 1, pas « presque » : les deux écritures désignent le même nombre. De même $0{,}727272\ldots=\frac{72}{100}+\frac{72}{100^{2}}+\cdots=\frac{72/100}{1-1/100}=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}$. Tout décimal périodique est une série géométrique déguisée, donc un rationnel.

d) La balle descend 2 m, puis pour chaque rebond de hauteur $h$ elle monte ET redescend : $D=2+2\sum_{n=1}^{\infty}2(0{,}6)^{n}=2+4\cdot\frac{0{,}6}{1-0{,}6}=2+6=8$ m. Une infinité de rebonds, huit mètres : les hauteurs décroissent géométriquement, et une géométrique de raison $|r|<1$ a une somme finie. C'est la réponse moderne au paradoxe de Zénon : une infinité d'étapes n'implique pas une distance (ni un temps) infinis, dès que les étapes fondent assez vite.

a) Si $a_{n}\not\to 0$, la série diverge : les sommes partielles reçoivent indéfiniment des ajouts qui ne s'éteignent pas. Ici $\frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}\ne 0$ : DIVERGENTE, en une ligne. Ce que le test ne dit pas : si $a_{n}\to 0$, on ne peut RIEN conclure : ce n'est pas un test de convergence, seulement un filtre à divergences grossières. La série harmonique de c) est le contre-exemple officiel de la réciproque.

b) $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. La somme partielle s'effondre en dominos : $S_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$, chaque terme négatif annulant le positif suivant. Limite : $S=1$. La série télescopique est, avec la géométrique, la seule dont on obtient la somme EXACTE par calcul direct des sommes partielles.

c) Regroupons : $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; puis $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}>\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$; le bloc suivant de 8 termes dépasse encore $\frac{1}{2}$, et ainsi de suite : chaque bloc de $2^{k}$ termes, minoré par son dernier terme, apporte plus d'un demi. Avec une infinité de blocs, $S_{n}$ dépasse tout nombre : DIVERGENCE. Le terme $\frac{1}{n}$ tend bien vers 0, mais pas assez vite : exactement le $\int\frac{dx}{x}$ divergent des intégrales impropres, dont la courbe de la figure est le portrait.

d) $H_{n}>10$ exige $\ln n>9{,}42$, soit $n>e^{9{,}42}\approx 12\,400$ termes. Pour dépasser 20 : $n>e^{19{,}42}\approx 2{,}7\times 10^{8}$, un quart de milliard de termes pour gagner dix unités de plus. La série harmonique diverge, mais à une lenteur spectaculaire : logarithmique. Aucune calculatrice qui additionne les termes un à un ne « verra » jamais cette divergence : seule la preuve la garantit, et c'est toute la différence entre calculer et démontrer.

a) Dessinez les rectangles de base 1 et de hauteur $a_{n}$ : posés à gauche des entiers, ils dépassent la courbe et $\sum a_{n}\ge\int_{1}^{\infty}f$; posés à droite, ils passent dessous et $\sum_{n\ge 2}a_{n}\le\int_{1}^{\infty}f$. La série est donc coincée entre l'intégrale et l'intégrale plus le premier terme : elles convergent ou divergent ENSEMBLE. Pour $\frac{1}{n^{2}}$ : $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=1$ converge (chapitre des impropres), donc $\sum\frac{1}{n^{2}}$ CONVERGE, et sa somme est entre 1 et 2.

b) Le test transfère mot pour mot le critère en $p$ des intégrales : $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$, donc $\sum\frac{1}{n^{p}}$ pareillement. $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ : $p=\frac{1}{2}$, diverge. $\sum\frac{1}{n^{1{,}01}}$ : $p=1{,}01>1$, converge : la frontière est exactement en $p=1$, et il suffit d'un cheveu du bon côté. $\sum\frac{1}{n^{3}}$ : converge. La série harmonique est le cas frontière $p=1$, perdant.

c) Reste après 100 termes : $R_{100}\le\int_{100}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\frac{1}{100}=0{,}01$ (et $R_{100}\ge\frac{1}{101}$). S'arrêter à 100 termes garantit donc deux décimales. Cohérence : $\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}6449$, et la somme des 100 premiers termes vaut environ $1{,}6350$ : l'écart $0{,}0099$ tombe pile dans l'encadrement $[\frac{1}{101},\frac{1}{100}]$. L'encadrement du reste transforme un critère qualitatif en outil de calcul numérique contrôlé.

d) $\frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}}$, série majorante convergente : CONVERGE (c'est d'ailleurs la télescopique de l'exercice 2, de somme exactement 1 : la comparaison est confirmée par le calcul direct). $\frac{\ln n}{n}\ge\frac{1}{n}$ dès $n\ge 3$ (car $\ln n\ge 1$) : minorée par la harmonique divergente, elle DIVERGE. Le logarithme au numérateur aggrave une divergence; au dénominateur, il ne suffirait pas à sauver $\frac{1}{n\ln n}$ non plus : seule une vraie puissance $p>1$ sauve.

a) Critère : soient $a_{n}>0$ et $b_{n}>0$. Si $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=c$ avec $0<c<\infty$, alors $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont de MÊME NATURE, toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes. La raison en une phrase : si le rapport tend vers $c>0$, alors à partir d'un certain rang $a_{n}$ est coincé entre $\frac{c}{2}b_{n}$ et $2c\,b_{n}$, c'est-à-dire encadré par deux multiples de $b_{n}$; or multiplier une série par une constante non nulle ne change jamais sa nature, et l'encadrement transmet la convergence dans un sens comme la divergence dans l'autre. Les cas limites méritent d'être signalés : si $c=0$, la convergence de $\sum b_{n}$ entraîne celle de $\sum a_{n}$ mais rien de plus; si $c=\infty$, la divergence de $\sum b_{n}$ entraîne celle de $\sum a_{n}$. Seul $0<c<\infty$ donne l'équivalence complète.

b) Première série : à l'infini, le numérateur se comporte comme $2n^{2}$ et le dénominateur comme $n^{4}$, donc le terme se comporte comme $\frac{2}{n^{2}}$. On prend $b_{n}=\frac{1}{n^{2}}$ : $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n^{2}(2n^{2}+3)}{n^{4}-n+5}\to 2$, constante strictement positive et finie. Comme $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge (Riemann, $p=2>1$), la série CONVERGE. Contrôle numérique : le rapport vaut $2{,}0000000$ pour $n=10^{6}$. Seconde série : $\sqrt{n^{2}+1}$ se comporte comme $n$, donc on prend $b_{n}=\frac{1}{n}$ : $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\to 1$. Comme la série harmonique DIVERGE, la série DIVERGE. Le choix de la référence obéit toujours à la même règle : ne garder que les termes dominants, en haut et en bas.

c) Comparaison directe : on aimerait écrire $\frac{1}{n^{2}-n}\le\frac{1}{n^{2}}$ pour conclure par majoration. Mais c'est FAUX : puisque $n^{2}-n<n^{2}$, le quotient est plus GRAND, pas plus petit. Numériquement, en $n=5$ : $\frac{1}{20}=0{,}05$ contre $\frac{1}{25}=0{,}04$. L'inégalité tombe du mauvais côté, et majorer par une série convergente est impossible dans ce sens. Comparaison par limite : $\frac{1/(n^{2}-n)}{1/n^{2}}=\frac{n^{2}}{n^{2}-n}=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}\to 1$, constante strictement positive. Donc la série est de même nature que $\sum\frac{1}{n^{2}}$ : elle CONVERGE. L'échec de la comparaison directe est instructif parce qu'il révèle ce que celle-ci exige vraiment : une inégalité VRAIE À TOUS LES RANGS et orientée dans le bon sens, condition rigide que la moindre perturbation du dénominateur met en défaut. La comparaison par limite, elle, ne regarde que le comportement ASYMPTOTIQUE et se moque des rangs initiaux comme du sens de l'inégalité. C'est pourquoi elle est presque toujours l'outil à dégainer en premier devant un quotient de polynômes ou de racines.

d) Les équivalents viennent des séries de Maclaurin, ou de façon équivalente des limites classiques du chapitre de L'Hôpital. Première série : $\sin u\approx u$ quand $u\to 0$, donc avec $u=\frac{1}{n}$, on compare à $b_{n}=\frac{1}{n}$ : $\frac{\sin(1/n)}{1/n}\to 1$, exactement la limite fondamentale $\frac{\sin x}{x}\to 1$ lue à $x=\frac{1}{n}$. Comme la série harmonique diverge, $\sum\sin\left(\frac{1}{n}\right)$ DIVERGE. Contrôle : la somme des $10^{5}$ premiers termes vaut environ $11{,}90$, à comparer à $\ln(10^{5})\approx 11{,}51$ : la croissance logarithmique caractéristique est bien là. Seconde série : $1-\cos u\approx\frac{u^{2}}{2}$, donc on compare à $b_{n}=\frac{1}{2n^{2}}$ : le rapport tend vers 1. Comme $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge, $\sum\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ CONVERGE. Contrôle : la somme des $10^{5}$ premiers termes vaut environ $0{,}7788$, valeur qui reste inférieure à $\sum\frac{1}{2n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12}\approx 0{,}8225$, comme il se doit puisque $1-\cos u$ est strictement inférieur à $\frac{u^{2}}{2}$. Le message du chapitre est ici complet : les développements limités FABRIQUENT les séries de référence, et les critères n'ont plus qu'à conclure. Deux expressions aussi voisines que $\sin\left(\frac{1}{n}\right)$ et $1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)$ tombent de part et d'autre de la frontière, parce que l'une s'éteint à l'ordre 1 et l'autre à l'ordre 2.

a) Linéarité : si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ CONVERGENT, de sommes $A$ et $B$, alors pour tous réels $\lambda$ et $\mu$, la série $\sum(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$ converge et vaut $\lambda A+\mu B$. La démonstration est immédiate sur les sommes partielles, qui sont des sommes finies où la linéarité est acquise, et la limite d'une somme est la somme des limites. Calcul : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ est géométrique de premier terme $\frac{1}{2}$ et de raison $\frac{1}{2}$, donc vaut $\frac{1/2}{1-1/2}=1$; et $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$. Par linéarité, la somme demandée vaut $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, ce que confirme le calcul numérique.

b) La première égalité est correcte : les termes valent tous 0, la série converge et sa somme est 0. La seconde est ILLÉGITIME, car elle sépare une série convergente en DIFFÉRENCE de deux séries divergentes, ce que la linéarité n'autorise pas : cette propriété suppose la convergence des deux séries AVANT de les combiner. Écrire $\sum\frac{1}{n}-\sum\frac{1}{n}$ revient à écrire $\infty-\infty$, une forme indéterminée sans valeur. La règle exacte comporte trois cas. Si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent, $\sum(a_{n}+b_{n})$ converge, vers la somme des sommes. Si l'une converge et l'autre diverge, $\sum(a_{n}+b_{n})$ DIVERGE nécessairement, car si elle convergeait, la différence avec la convergente donnerait la divergente comme convergente, contradiction. Enfin, si les deux divergent, on ne peut RIEN dire : l'exemple de l'énoncé donne une somme convergente, alors que $a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}$ donne $\sum\frac{2}{n}$, divergente. C'est le seul cas indécidable, et c'est celui que l'étudiant a rencontré.

c) Sommes partielles : $S_{1}=1$, $S_{2}=0$, $S_{3}=1$, $S_{4}=0$, et ainsi de suite en alternant indéfiniment. La suite $(S_{n})$ n'a pas de limite, elle oscille entre 0 et 1 : la série DIVERGE. On peut aussi conclure en une ligne par le test du terme général, puisque $(-1)^{n}$ ne tend pas vers 0. Groupements : en associant deux par deux à partir du premier terme, $(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots=0$. En laissant le premier terme isolé, $1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-\cdots=1$. Les deux calculs utilisent exactement les mêmes termes dans le même ORDRE, et donnent pourtant 0 et 1. La règle mise en évidence est que le GROUPEMENT par parenthèses, c'est-à-dire l'associativité, n'est PAS valide pour une série divergente. Le théorème correct est à sens unique : si une série converge, tout groupement de ses termes converge vers la même somme; mais un groupement convergent ne prouve jamais la convergence de la série d'origine. Autrement dit, les parenthèses peuvent CRÉER de la convergence là où il n'y en a pas, et c'est précisément ce que fait le premier groupement ci-dessus. Historiquement, cette série a occupé les mathématiciens pendant plus d'un siècle, et c'est elle qui a imposé la définition moderne par les sommes partielles.

d) Soit $\sum a_{n}$ une série et $N$ un rang fixé. Les sommes partielles au-delà de $N$ s'écrivent $S_{n}=S_{N}+\left(a_{N+1}+\cdots+a_{n}\right)$, où $S_{N}$ est une CONSTANTE. La suite $(S_{n})$ converge donc si et seulement si la seconde partie converge, c'est-à-dire si et seulement si la série $\sum_{n>N}a_{n}$ converge. Modifier, retirer ou ajouter un nombre fini de termes ne fait que déplacer cette constante : la NATURE est inchangée, la SOMME est décalée d'autant. Illustration : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1$; en retirant les trois premiers termes, il reste $1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$. Toujours convergente, somme différente. Critère du reste : notons $R_{N}=\sum_{n>N}a_{n}$ le reste d'ordre $N$. Une série converge si et seulement si ses restes sont définis et $R_{N}\to 0$ quand $N\to\infty$. Ici $R_{N}=\frac{1}{2^{N}}\to 0$ ✓. Ce critère a une conséquence pratique qu'on utilise constamment : pour étudier la nature d'une série, on peut ignorer sans scrupule les premiers termes, ce qui autorise les comparaisons valables seulement « à partir d'un certain rang », comme au point c) de l'exercice précédent.

a) $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\to\frac{1}{2}<1$ : CONVERGENTE. Intuition : le facteur $n$ ne pèse rien face au $2^{n}$ : à l'infini, la série se comporte comme une géométrique de raison $\frac{1}{2}$ à peine gonflée. (Sa somme exacte vaut d'ailleurs 2, un classique des séries entières.) Le critère de d'Alembert mesure précisément « à quelle géométrique la série ressemble ».

b) $\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}}=\frac{2}{n+1}\to 0<1$ : convergence éclatante (la somme est $e^{2}\approx 7{,}39$, série de l'exponentielle). Pour $\frac{n!}{10^{n}}$ : $\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^{n}}{n!}=\frac{n+1}{10}\to\infty$ : DIVERGENTE, le terme général explose même. Verdict du duel : la factorielle finit TOUJOURS par écraser toute exponentielle $c^{n}$ : ses facteurs grandissent ($n+1$), ceux de l'exponentielle sont fixes ($c$). Dès $n=10$, chaque nouveau facteur de $n!$ dépasse 10 et la course est pliée.

c) Pour $\frac{1}{n}$ : $\frac{n}{n+1}\to 1$. Pour $\frac{1}{n^{2}}$ : $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\to 1$. Même verdict $L=1$, mais la première DIVERGE et la seconde CONVERGE : le cas $L=1$ ne permet AUCUNE conclusion, et il englobe hélas toutes les séries de Riemann, le cœur du chapitre. Le relais : le test de l'intégrale et les comparaisons, qui distinguent finement les puissances là où le rapport est aveugle. Règle pratique : d'Alembert pour les factorielles et les $c^{n}$; Riemann et comparaison pour les puissances de $n$.

d) $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e\approx 2{,}72>1$ : DIVERGENTE. Le résultat dit au passage que $n^{n}$ croît plus vite que $n!$ d'un facteur $e$ par cran : c'est le germe de la formule de Stirling. Une question qui teste à la fois le critère et la limite fondamentale du nombre $e$ : très exactement le format examen.

a) Si $b_{n}$ est DÉCROISSANTE et tend vers 0, alors $\sum(-1)^{n+1}b_{n}$ converge. Ici $b_{n}=\frac{1}{n}$ : décroissante, limite nulle : convergence garantie (vers $\ln 2$, valeur admise). Sur la figure, on voit le mécanisme même de la preuve : chaque terme fait dépasser la cible puis revenir en deçà, les sommes impaires descendent, les paires montent, et la limite est prise en étau entre les deux : la convergence par encerclement.

b) L'erreur est majorée par le PREMIER TERME NÉGLIGÉ : $|S-S_{n}|\le\frac{1}{n+1}$. Pour $0{,}01$ : $\frac{1}{n+1}\le 0{,}01\iff n\ge 99$ : une centaine de termes. Pour $10^{-6}$ : un million de termes. La borne est simple et sûre, mais la convergence est LENTE : diviser l'erreur par 100 coûte 100 fois plus de termes. C'est le prix de la conditionnelle : la série $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$, elle, atteint $10^{-6}$ en un millier de termes.

c) Convergence ABSOLUE : $\sum|a_{n}|$ converge (et elle entraîne toujours la convergence de $\sum a_{n}$). CONDITIONNELLE : $\sum a_{n}$ converge mais $\sum|a_{n}|$ diverge. Harmonique alternée : converge (a), mais ses valeurs absolues forment la harmonique divergente : CONDITIONNELLE. $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ : les valeurs absolues forment $\sum\frac{1}{n^{2}}$, Riemann $p=2$ convergente : ABSOLUE. Hiérarchie : absolue $\Rightarrow$ convergente, jamais l'inverse.

d) Théorème de réarrangement de Riemann : en changeant seulement l'ORDRE des termes d'une série conditionnellement convergente, on peut la faire converger vers n'importe quel réel, ou diverger. La harmonique alternée réordonnée peut « valoir » 5, ou $-\pi$, ou l'infini : sa somme de $\ln 2$ dépend de l'ordre d'addition, ce qui heurte tout ce que l'addition finie nous a appris. Les séries absolument convergentes, elles, sont immunisées : toute permutation redonne la même somme. C'est pourquoi la convergence absolue est la notion de sécurité : elle seule autorise à manipuler une somme infinie comme une somme ordinaire.

a) Géométrique de raison $r=-\frac{2}{3}$, $|r|=\frac{2}{3}<1$ : convergence ABSOLUE (la série des valeurs absolues est la géométrique de raison $\frac{2}{3}$). Somme : $\frac{1}{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}=0{,}6$. Une série alternée peut être traitée par Leibniz, mais quand elle est géométrique, la somme exacte est offerte : toujours reconnaître la géométrique d'abord.

b) $(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$ : le terme général ne tend pas vers 0 (il oscille entre des valeurs proches de $+1$ et $-1$) : DIVERGENTE par le test du terme général : Leibniz est inapplicable ($b_{n}\to 1\ne 0$) et il ne faut même pas l'invoquer. $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}$ : positive, se compare à $\frac{n^{2}}{n^{4}}=\frac{1}{n^{2}}$ : $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}\le\frac{1}{n^{2}}$, Riemann $p=2$ : CONVERGENTE (absolument, elle est positive).

c) $\cos(n\pi)=(-1)^{n}$ : c'est la série alternée $\sum\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ déguisée : premier réflexe, démasquer l'alternance. Valeurs absolues : $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$, Riemann $p=\frac{1}{2}$ : diverge : pas de convergence absolue. Leibniz : $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers 0 : la série converge. Verdict : convergence CONDITIONNELLE : le cas le plus subtil, qui exige les DEUX vérifications, et celui que l'examen adore.

d) $\frac{3^{n}}{n4^{n}}=\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ : d'Alembert : $\frac{n}{n+1}\cdot\frac{3}{4}\to\frac{3}{4}<1$ : convergence ABSOLUE (comparaison directe avec la géométrique $\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ marche aussi : le $\frac{1}{n}$ n'aide que dans le bon sens). Stratégie générale, dans l'ordre : 1) le terme tend-il vers 0 ? sinon, divergence, terminé; 2) la série est-elle géométrique ou télescopique ? somme exacte; 3) factorielles ou $c^{n}$ ? d'Alembert; 4) puissances de $n$ ? Riemann et comparaison; 5) alternance ? convergence absolue d'abord, puis Leibniz. Cinq questions, dans cet ordre : c'est l'algorithme qui résout la feuille d'examen.

a) Critère de la racine (Cauchy) : soit $L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$. Si $L<1$ la série converge absolument; si $L>1$ (ou $L=\infty$) elle diverge; si $L=1$ le critère ne conclut pas. Application : $\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}}=\frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}<1$ : la série CONVERGE absolument. La racine annule purement et simplement l'exposant $n$, ce qui est exactement pourquoi elle est ici le bon outil. D'Alembert serait pénible parce qu'il faudrait former $\frac{(n+1)^{n+1}(2n+1)^{n}}{(2n+3)^{n+1}n^{n}}$ et démêler ce quotient de puissances $n$-ièmes d'exposants différents, ce qui demande un passage par le logarithme et plusieurs limites intermédiaires. Règle de choix : dès que le terme général est une puissance $n$-ième globale, la racine est immédiate.

b) Le terme est $a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{2^{n}}$, avec un exposant $n^{2}$ qui interdit tout traitement direct. Racine $n$-ième : $\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{2}$. Or $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e$, donc $L=\frac{e}{2}\approx 1{,}359>1$ : la série DIVERGE. Contrôle numérique : pour $n=50$, la racine vaut déjà $1{,}346$, nettement au-dessus de 1. La beauté de la question est que la réponse tient à la comparaison entre $e$ et 2 : si le dénominateur avait été $3^{n}$, on aurait obtenu $\frac{e}{3}\approx 0{,}906<1$ et la série aurait convergé. Toute la nature de la série se joue sur deux décimales du nombre $e$, ce qui rappelle que la frontière $L=1$ est bien une frontière et non une zone floue.

c) Rapports : pour $n=2$, $\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1/27}{1/4}\approx 0{,}148$; pour $n=3$, $\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{1/16}{1/27}\approx 1{,}688$; pour $n=4$, environ $0{,}066$; pour $n=5$, environ $3{,}797$; puis $0{,}029$ et $8{,}543$. Le rapport OSCILLE entre des valeurs tendant vers 0 et des valeurs tendant vers l'infini : il n'a aucune limite, et le critère de d'Alembert est inapplicable, ni dans un sens ni dans l'autre. Racines : $\sqrt[n]{a_{n}}$ vaut exactement $\frac{1}{2}$ pour $n$ pair et $\frac{1}{3}$ pour $n$ impair. La suite des racines oscille elle aussi, mais elle reste BORNÉE par $\frac{1}{2}<1$, et c'est tout ce dont le critère a besoin : dans sa version complète, il s'énonce avec la limite supérieure, $L=\limsup\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\frac{1}{2}<1$, donc la série CONVERGE. On peut aussi conclure élémentairement par comparaison, puisque $a_{n}\le\frac{1}{2^{n}}$ pour tout $n$, série géométrique convergente; la somme vaut d'ailleurs environ $1{,}708$. C'est le cas d'école qui justifie l'existence du critère de la racine : il survit aux oscillations qui tuent le rapport.

d) Pour $a_{n}=\frac{1}{n^{p}}$, la racine vaut $\sqrt[n]{n^{-p}}=n^{-p/n}=e^{-\frac{p\ln n}{n}}$. Or $\frac{\ln n}{n}\to 0$ par les croissances comparées, donc l'exposant tend vers 0 et $L=e^{0}=1$, QUEL QUE SOIT $p$. Contrôle numérique : pour $p=2$ et $n=10^{6}$, la racine vaut $0{,}99997$. Le critère est donc muet sur toutes les séries de Riemann, exactement comme d'Alembert l'était à l'exercice 6. Relation entre les deux critères : on démontre que si $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ existe et vaut $L$, alors $\lim\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$ existe aussi et vaut le même $L$. La racine est donc STRICTEMENT plus puissante : partout où le rapport conclut, elle conclut pareillement, et le point c) fournit un cas où elle conclut alors que le rapport échoue. La réciproque est fausse. En pratique on choisit néanmoins le rapport pour les FACTORIELLES, où les simplifications sont spectaculaires et où la racine d'une factorielle est inextricable sans la formule de Stirling; et la racine pour les puissances $n$-ièmes globales, comme aux points a), b) et c). Les deux critères partagent en revanche le même angle mort, $L=1$, qui reste le domaine réservé de la comparaison et du test de l'intégrale.