Exercices corrigés : les suites numériques (201-NYB)

a) Pour $(a_{n})$ : $a_{1}=\frac{3}{4}=0{,}75$, $a_{2}=\frac{5}{5}=1$, $a_{3}=\frac{7}{6}\approx 1{,}167$, $a_{4}=\frac{9}{7}\approx 1{,}286$. Les termes croissent en se rapprochant de 2, ce qui suggère $\lim a_{n}=2$ (confirmé au point b), puisque le rapport des coefficients dominants est $\frac{2}{1}$). Pour $(b_{n})$ : $b_{1}=1$, $b_{2}=4$, $b_{3}=7$, $b_{4}=10$. On ajoute 3 à chaque étape, c'est une suite arithmétique de raison 3, donc $b_{n}=1+3(n-1)=3n-2$. Vérification : $b_{4}=12-2=10$ ✓. Cette suite DIVERGE vers $+\infty$, ce qui rappelle qu'une suite parfaitement régulière n'est pas pour autant convergente.

b) Définition : $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n>N$, $|a_{n}-L|<\varepsilon$. Autrement dit, aussi petite que soit la marge $\varepsilon$ qu'on exige, la suite finit par entrer dans cette marge et n'en ressort plus. Application avec $\varepsilon=0{,}01$ : $\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|=\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|=\frac{5}{n+3}$. On veut $\frac{5}{n+3}<0{,}01$, soit $n+3>500$, soit $n>497$. On peut donc prendre $N=497$ : à partir du rang 498, tous les termes sont à moins de $0{,}01$ de 2. Vérification : $a_{498}=\frac{997}{501}\approx 1{,}99002$, et l'écart vaut $\frac{5}{501}\approx 0{,}00998<0{,}01$ ✓.

c) Une formule EXPLICITE calcule $a_{n}$ à partir de $n$ seul : $a_{1000}$ s'obtient en une substitution. Une formule de RÉCURRENCE calcule $a_{n}$ à partir de $a_{n-1}$ : pour obtenir $b_{1000}$ il faut en principe parcourir les 999 termes précédents. Seule la formule explicite permet donc un calcul direct, et c'est pourquoi on cherche souvent à convertir une récurrence en expression explicite, comme on l'a fait avec $b_{n}=3n-2$. Cela compte parce que les techniques de limites du chapitre (terme dominant, L'Hôpital, conjugué) s'appliquent à une EXPRESSION en $n$ : sans forme explicite, on ne peut pas les employer, et il faut alors passer par le théorème de la convergence monotone, ce que fait l'exercice 5.

d) La suite n'atteint jamais 2 : $\frac{2n+1}{n+3}=2$ exigerait $2n+1=2n+6$, donc $1=6$, ce qui est impossible pour tout $n$. « Tendre vers 2 » ne signifie pas atteindre 2, mais s'en approcher d'aussi près qu'on veut à partir d'un certain rang. L'écart $\frac{5}{n+3}$ reste strictement positif pour tout $n$, tout en devenant plus petit que n'importe quelle marge fixée d'avance. La confusion est fréquente parce que le langage courant emploie « tendre vers » et « atteindre » de manière interchangeable; en analyse, la différence est justement l'objet de la définition avec $\varepsilon$. À noter tout de même qu'une suite PEUT atteindre sa limite, par exemple une suite constante, ou une suite valant 0 à tous les rangs pairs, mais rien ne l'y oblige.

a) On factorise la puissance dominante au numérateur et au dénominateur, ici $n^{2}$ : $\frac{3n^{2}-5n+2}{7n^{2}+n}=\frac{n^{2}\left(3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(7+\frac{1}{n}\right)}=\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{7+\frac{1}{n}}$. Tous les termes en $\frac{1}{n}$ tendent vers zéro, donc la limite vaut $\frac{3}{7}$. Règle générale pour un quotient de polynômes : si les degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants; si le degré du numérateur est plus petit, la limite est 0; s'il est plus grand, la suite diverge vers l'infini.

b) Forme $\infty-\infty$, donc conjugué : $\sqrt{n^{2}+n}-n=\frac{\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\frac{n^{2}+n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}$. On factorise $n$ au dénominateur : $\frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to\frac{1}{2}$. La limite vaut $\frac{1}{2}$. Le résultat mérite un commentaire : $\sqrt{n^{2}+n}$ et $n$ deviennent tous deux immenses, mais leur écart se stabilise à $\frac{1}{2}$, ce qui montre que $\sqrt{n^{2}+n}$ se comporte comme $n+\frac{1}{2}$ pour $n$ grand.

c) On considère la fonction $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, qui coïncide avec la suite aux entiers, c'est-à-dire $a_{n}=f(n)$. Par L'Hôpital (forme $\frac{\infty}{\infty}$) : $\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0$. Le théorème de passage garantit alors que $\frac{\ln n}{n}\to 0$. Le passage est légitime dans CE sens parce que les entiers font partie des réels : si toutes les valeurs réelles finissent dans la marge $\varepsilon$, les valeurs entières y sont a fortiori. La réciproque est fausse parce que la suite ne voit que des points isolés et peut manquer complètement le comportement de la fonction entre ces points : $\sin(2\pi n)=0$ pour tout entier $n$, donc la SUITE converge vers 0, alors que la FONCTION $\sin(2\pi x)$ oscille sans limite. Conséquence pratique : si la limite de la fonction n'existe pas, on n'a rien appris sur la suite et il faut trouver un autre argument.

d) Les deux limites valent $0$, par le théorème des GENDARMES (encadrement). Pour la première : $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos n}{n}\leq\frac{1}{n}$ puisque $|\cos n|\leq 1$, et les deux bornes tendent vers 0, donc la suite aussi. Pour la seconde : $\left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$, et une suite dont la valeur absolue tend vers 0 tend vers 0. L'Hôpital serait inutilisable pour deux raisons cumulées. D'abord ces expressions ne sont pas des formes indéterminées de type $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : le numérateur est borné, pas infini. Ensuite $(-1)^{n}$ n'est même pas définie pour un $x$ réel quelconque, il n'existe donc aucune fonction dérivable à qui appliquer la règle. L'encadrement est l'outil naturel dès qu'un facteur oscille en restant borné, et c'est le cas de figure le plus fréquent avec les suites.

a) Les quatre régimes. Si $|r|<1$, par exemple $r=0{,}5$ : $r^{n}\to 0$, la suite converge, et elle le fait très vite. Si $r=1$ : la suite est constante égale à 1, donc converge vers 1. Si $r>1$, par exemple $r=2$ : $r^{n}\to+\infty$, divergence vers l'infini. Si $r\leq -1$, par exemple $r=-1$ (oscillation entre $-1$ et 1) ou $r=-2$ (oscillation d'amplitude croissante) : la suite diverge par oscillation, sans limite ni finie ni infinie. Le cas $r=-1$ est la frontière exacte : c'est le seul $r$ pour lequel la suite reste bornée tout en divergeant. Ce classement resservira intégralement au chapitre des séries, où la série géométrique $\sum r^{n}$ converge exactement quand $|r|<1$.

b) La suite vaut $-1$ pour $n$ impair et $1$ pour $n$ pair : elle est bornée, puisque $|a_{n}|=1$ pour tout $n$. Supposons par l'absurde qu'elle converge vers une limite $L$. En prenant $\varepsilon=\frac{1}{2}$ dans la définition, il devrait exister un rang $N$ au-delà duquel TOUS les termes sont à moins de $\frac{1}{2}$ de $L$. Mais au-delà de n'importe quel rang, on trouve à la fois des termes valant 1 et des termes valant $-1$, dont la distance mutuelle est 2 : ils ne peuvent pas être tous deux dans un intervalle de largeur 1. Contradiction, donc la suite diverge. L'idée prise en défaut est que la définition exige que TOUS les termes de rang assez grand se rapprochent d'une MÊME valeur; ici la suite a deux valeurs d'adhérence, 1 et $-1$, et n'en privilégie aucune. Être borné empêche d'exploser, mais n'oblige pas à se fixer.

c) Pour $n=10$ : $(0{,}9)^{10}\approx 0{,}349$ et $(1{,}1)^{10}\approx 2{,}594$, l'écart reste modeste. Pour $n=100$ : $(0{,}9)^{100}\approx 2{,}66\times 10^{-5}$ et $(1{,}1)^{100}\approx 13781$, soit un rapport de plus de cinq cents millions. À la limite : la première tend vers 0, la seconde vers $+\infty$. La comparaison montre que le régime bascule sur un SEUIL, la valeur $|r|=1$, et que deux raisons distantes de seulement $0{,}2$ produisent des destins opposés. C'est le propre de la croissance exponentielle : le facteur multiplicatif s'applique à chaque étape, si bien qu'un écart minime par tour devient un écart démesuré à l'arrivée. C'est aussi pourquoi, en finance comme en biologie, la valeur exacte du taux compte davantage que la durée.

d) Première moitié, toute suite convergente est bornée : si $a_{n}\to L$, alors en prenant $\varepsilon=1$ il existe un rang $N$ au-delà duquel tous les termes sont dans l'intervalle $\left]L-1,L+1\right[$, donc bornés; et les termes de rang inférieur à $N$ sont en nombre FINI, donc bornés eux aussi (un ensemble fini de nombres a toujours un plus grand et un plus petit élément). En combinant les deux, la suite entière est bornée. Seconde moitié, la réciproque est fausse : $(-1)^{n}$ du point b) est bornée et diverge, ce qui suffit à réfuter. La bonne façon d'utiliser cette implication est sa CONTRAPOSÉE : si une suite n'est pas bornée, elle ne converge pas. C'est un test de divergence rapide, et souvent le plus économique.

a) Croissance : $a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^{2}-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^{2}+2n+1-n^{2}-2n}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0$, donc la suite est strictement croissante. Majoration : $\frac{n}{n+1}<1$ pour tout $n$, puisque $n<n+1$. La suite est donc croissante et majorée par 1 : le théorème conclut qu'elle CONVERGE. La limite se calcule ici directement, $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\to 1$. Notez que le majorant 1 se trouve être exactement la limite, mais ce n'est pas une règle générale : n'importe quel majorant, même très grossier comme 100, aurait suffi à conclure à la convergence.

b) Version croissante : toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est le plus petit des majorants (sa borne supérieure). Version décroissante : toute suite décroissante et minorée converge, vers sa borne inférieure. Ce que le théorème GARANTIT : l'EXISTENCE de la limite. Ce qu'il ne garantit PAS : sa valeur. C'est une distinction essentielle et elle est ce qui rend le théorème si utile : dans les cas où l'on ne sait pas calculer, on peut tout de même établir que la limite existe, puis la déterminer par un autre moyen, typiquement l'équation du point fixe de l'exercice suivant. Le théorème repose sur la propriété de la borne supérieure des nombres réels, et c'est d'ailleurs le premier endroit du cours où la complétude de $\mathbb{R}$ joue un rôle visible.

c) Les deux hypothèses étant vérifiées, le théorème conclut que la suite converge, et ce AVANT tout calcul de limite. Valeurs : $a_{10}=\left(1{,}1\right)^{10}\approx 2{,}5937$, $a_{1000}=\left(1{,}001\right)^{1000}\approx 2{,}7169$. La limite est le nombre $e\approx 2{,}71828$, et c'est même l'une des définitions possibles de $e$. La convergence est lente, ce qui illustre bien le propos du point b) : le théorème affirme que la limite existe, mais la valeur $e$ ne se lit pas dans l'énoncé et demande un travail séparé, typiquement le calcul par logarithme vu au chapitre de L'Hôpital. Remarquez la forme $1^{\infty}$ : la base tend vers 1 et l'exposant vers l'infini, et le résultat n'est ni 1 ni l'infini.

d) Croissante mais non majorée : $a_{n}=n$. Elle est strictement croissante, mais aucun réel ne la majore, et elle diverge vers $+\infty$. L'hypothèse de majoration est donc indispensable : la monotonie seule empêche seulement d'osciller, pas de s'échapper. Majorée mais non monotone : $a_{n}=(-1)^{n}$, majorée par 1 (et minorée par $-1$), qui diverge par oscillation comme montré à l'exercice 3. L'hypothèse de monotonie est donc indispensable elle aussi : être borné empêche de s'échapper, pas d'osciller. Les deux hypothèses éliminent ensemble les deux seules manières de diverger, et c'est exactement pourquoi leur conjonction suffit à garantir la convergence. C'est un théorème dont la démonstration est technique, mais dont la structure logique se retient très bien sous cette forme : bloquer la fuite et bloquer l'oscillation ne laisse d'autre issue que la convergence.

a) $a_{2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732$; $a_{3}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx\sqrt{3{,}732}\approx 1{,}932$; $a_{4}=\sqrt{2+1{,}932}\approx\sqrt{3{,}932}\approx 1{,}983$. Les termes croissent en se rapprochant de 2 sans sembler le dépasser : on conjecture une suite croissante, majorée par 2, convergeant vers 2. La conjecture ne vaut évidemment pas démonstration, et les points b) et c) fournissent les deux pièces manquantes.

b) Majoration par récurrence. Initialisation : $a_{1}=1\leq 2$ ✓. Hérédité : supposons $a_{n}\leq 2$; alors $2+a_{n}\leq 4$, donc $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}\leq\sqrt{4}=2$ ✓. Par récurrence, $a_{n}\leq 2$ pour tout $n$. Croissance : on compare $a_{n+1}$ et $a_{n}$, c'est-à-dire $\sqrt{2+a_{n}}$ et $a_{n}$. Comme les deux membres sont positifs, cela revient à comparer $2+a_{n}$ et $a_{n}^{2}$, soit à étudier le signe de $a_{n}^{2}-a_{n}-2=(a_{n}-2)(a_{n}+1)$. Puisque $0<a_{n}\leq 2$, le premier facteur est négatif ou nul et le second positif, donc le produit est négatif ou nul : $a_{n}^{2}\leq 2+a_{n}$, d'où $a_{n}\leq a_{n+1}$ ✓. La suite est croissante et majorée par 2 : par le théorème de la convergence monotone, elle CONVERGE. À ce stade on ne connaît toujours pas la limite, mais on sait qu'elle existe, et c'est précisément ce dont le point c) a besoin.

c) Notons $L$ la limite, dont l'existence vient d'être établie. En passant à la limite dans la relation $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$, et puisque $a_{n+1}$ et $a_{n}$ ont la même limite $L$ tandis que la fonction racine est continue, on obtient $L=\sqrt{2+L}$. En élevant au carré : $L^{2}=2+L$, soit $L^{2}-L-2=0$, soit $(L-2)(L+1)=0$, d'où $L=2$ ou $L=-1$. On écarte $L=-1$ car tous les termes sont positifs, donc la limite est positive ou nulle. Conclusion : $\lim a_{n}=2$, ce qui confirme la conjecture du point a).

d) L'erreur est d'avoir appliqué le point fixe SANS avoir d'abord établi que la suite converge. La suite $b_{n}=2^{n-1}$ vaut $1,2,4,8,16,\ldots$ et diverge manifestement vers $+\infty$. Le calcul $L=2L\Rightarrow L=0$ est formellement correct, mais il répond à la question « SI la limite existe, que peut-elle valoir ? », ce qui n'est pas la même chose que « la limite existe et vaut 0 ». Le raisonnement du point fixe est CONDITIONNEL : il suppose l'existence de $L$ dès la première ligne, puisqu'écrire $\lim b_{n+1}=\lim b_{n}=L$ n'a de sens que si cette limite existe. La règle violée : pour une suite récurrente, il faut TOUJOURS prouver la convergence avant de chercher la valeur de la limite, en pratique par le théorème de la convergence monotone. L'ordre des deux étapes n'est pas une préférence de rédaction, c'est ce qui sépare une démonstration d'un raisonnement circulaire. Un examinateur retire l'essentiel des points sur une réponse qui donne la bonne limite sans avoir justifié son existence.

a) Termes de la suite : $a_{1}=\frac{1}{2}=0{,}5$; $a_{2}=0{,}25$; $a_{3}=0{,}125$; $a_{4}=0{,}0625$; $a_{5}=0{,}03125$. Sommes partielles : $S_{1}=0{,}5$; $S_{2}=0{,}75$; $S_{3}=0{,}875$; $S_{4}=0{,}9375$; $S_{5}=0{,}96875$. La suite $(a_{n})$ tend vers 0, tandis que la suite des sommes partielles $(S_{n})$ tend vers 1. Ce sont deux objets DIFFÉRENTS avec deux limites différentes, construits à partir des mêmes nombres. Dire « la série converge vers 1 » signifie exactement que $S_{n}\to 1$ : la somme d'une série est par DÉFINITION la limite de ses sommes partielles, et rien d'autre. On vérifie ici la formule géométrique $S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$, qui tend bien vers 1.

b) Le lien : SI $\sum a_{n}$ converge, ALORS $a_{n}\to 0$. La démonstration tient en une ligne : $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, et si $S_{n}\to S$ alors $S_{n-1}\to S$ également, donc la différence tend vers $S-S=0$. La réciproque est FAUSSE, et le contre-exemple canonique est la série harmonique : $\frac{1}{n}\to 0$, pourtant $\sum\frac{1}{n}$ DIVERGE (par le test de l'intégrale, puisque $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=+\infty$). Interprétation : les termes deviennent petits, mais pas assez vite pour que leur accumulation reste finie. C'est le résultat le plus contre-intuitif du bloc des séries, et il vaut la peine d'être médité : une infinité de contributions minuscules peut parfaitement totaliser l'infini.

c) Test du terme général : si $\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0$ (ou si cette limite n'existe pas), alors la série $\sum a_{n}$ DIVERGE. C'est la contraposée du résultat du point b). Application : $a_{n}=\frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}\neq 0$ (rapport des coefficients dominants), donc $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n+1}$ diverge. Le raisonnement intuitif : on additionne indéfiniment des quantités qui avoisinent $\frac{1}{2}$, le total ne peut que croître sans borne. Ce test est le PREMIER à appliquer devant toute série, car il coûte une limite et élimine parfois la question en dix secondes.

d) L'erreur est une inversion d'implication. Le résultat vrai est « série convergente $\Rightarrow$ terme général tendant vers 0 »; l'étudiant l'utilise dans le sens « terme général tendant vers 0 $\Rightarrow$ série convergente », ce qui est la RÉCIPROQUE, et elle est fausse. La série harmonique en est le contre-exemple direct : elle satisfait l'hypothèse et ne satisfait pas la conclusion. Ce que le test permet : conclure à la DIVERGENCE quand le terme général ne tend pas vers 0. Ce que le test ne permet pas : conclure à la convergence quand le terme général tend vers 0. Dans ce dernier cas, le test est simplement MUET et il faut un autre critère (comparaison, intégrale, d'Alembert, séries alternées). La formulation à retenir mot pour mot : le test du terme général est un test de divergence uniquement, jamais un test de convergence.