Exercices corrigés : les suites numériques (201-SN3-RE, ancien 201-NYB)

Terme dominant $n^{2}$ en haut et en bas : $u_{n}=\frac{\frac{5}{n^{2}}-2}{3+\frac{1}{n}}\to\frac{0-2}{3+0}=-\frac{2}{3}$. Piège : prendre les termes dans l'ordre d'écriture et répondre $\frac{5}{3}$ ; le terme dominant est celui de plus haut degré, signe compris.

On factorise chaque terme dominant : $u_{n}=\frac{n^{3}\left(\frac{3}{n^{3}}-1\right)}{n^{2}\left(1+\frac{4}{n}\right)}=n\cdot\frac{\frac{3}{n^{3}}-1}{1+\frac{4}{n}}$. C'est le produit de $n\to+\infty$ par un facteur qui tend vers $-1$ : $u_{n}\to-\infty$. Piège : le signe, porté par le $-n^{3}$.

Forme $\infty-\infty$ : on multiplie par la quantité conjuguée. $u_{n}=\frac{(n^{2}+4n)-(n^{2}-2n)}{\sqrt{n^{2}+4n}+\sqrt{n^{2}-2n}}=\frac{6n}{n\left(\sqrt{1+\frac{4}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}\right)}\to\frac{6}{1+1}=3$. Piège : conclure $\infty-\infty=0$.

On divise en haut et en bas par $5^{n}$, la plus grande base : $u_{n}=\frac{2\left(\frac{2}{5}\right)^{n}+1}{5-\left(\frac{3}{5}\right)^{n}}\to\frac{0+1}{5-0}=\frac{1}{5}$, puisque $r^{n}\to 0$ pour $|r|<1$. Piège : $5^{n+1}=5\cdot 5^{n}$, le $5$ reste au dénominateur.

Forme $\infty-\infty$ : on regroupe, $u_{n}=\ln\frac{3n^{2}+1}{(n+5)^{2}}$. Le quotient tend vers $3$ par le terme dominant, donc, par continuité du logarithme, $u_{n}\to\ln 3\approx 1{,}099$. Piège : $2\ln(n+5)=\ln(n+5)^{2}$, et non $\ln\left(2(n+5)\right)$.

Encadrement : $-1\leq\sin n\leq 1$ donne $-\frac{1}{n}\leq\frac{\sin n}{n}\leq\frac{1}{n}$, donc $\frac{\sin n}{n}\to 0$ ; de même $\frac{\cos n}{n}\to 0$. En divisant par $n$ : $u_{n}=\frac{2+\frac{\sin n}{n}}{1+\frac{\cos n}{n}}\to\frac{2+0}{1+0}=2$. Piège : appliquer L'Hôpital à la fonction associée, qui donne $\frac{2+\cos x}{1-\sin x}$, sans limite ; la règle échoue, la suite converge pourtant.

$\frac{n}{n+1}\to 1$, donc les termes de rang pair tendent vers $1$ et ceux de rang impair vers $-1$ : deux sous-suites, deux limites différentes, la suite n'a pas de limite. Piège : confondre avec $\frac{(-1)^{n}}{n}\to 0$ ; l'encadrement ne conclut que si le facteur qui multiplie $(-1)^{n}$ tend vers $0$, et ici il tend vers $1$.

$n$ est dans l'exposant : $\ln u_{n}=\frac{2}{n}\ln\left(2n^{3}\right)=\frac{2\ln 2+6\ln n}{n}\to 0$, puisque $\frac{\ln n}{n}\to 0$. Donc $u_{n}\to e^{0}=1$. Piège : la forme est $\infty^{0}$, indéterminée ; on ne conclut pas « exposant nul, donc $1$ » sans le logarithme.

Forme $1^{\infty}$ : $\frac{n+1}{n-2}=1+\frac{3}{n-2}$. On pose $m=n-2$ : $u_{n}=\left[\left(1+\frac{3}{m}\right)^{m}\right]^{\frac{n}{n-2}}$. Le crochet tend vers $e^{3}$ par la limite de référence $\left(1+\frac{a}{m}\right)^{m}\to e^{a}$, et l'exposant $\frac{n}{n-2}$ vers $1$. Donc $u_{n}\to e^{3}\approx 20{,}086$. Piège : répondre $1$, parce que la base tend vers $1$.

On écrit $\frac{(n+1)!}{n^{n}}=(n+1)\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdots\frac{n}{n}$ : $n$ facteurs $\frac{k}{n}$, tous compris entre $0$ et $1$. On garde les DEUX premiers et l'on majore les autres par $1$ : pour $n\geq 2$, $0<u_{n}\leq(n+1)\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}=\frac{2(n+1)}{n^{2}}\to 0$. Par encadrement, $u_{n}\to 0$. Piège : ne garder qu'un facteur donne $u_{n}\leq\frac{n+1}{n}$, qui tend vers $1$ et ne conclut rien.

Pour $(a_{n})$ : $a_{1}=\frac{3}{4}=0{,}75$, $a_{2}=\frac{5}{5}=1$, $a_{3}=\frac{7}{6}\approx 1{,}167$, $a_{4}=\frac{9}{7}\approx 1{,}286$. Les termes croissent en se rapprochant de 2, ce qui suggère $\lim a_{n}=2$ (confirmé au point b), puisque le rapport des coefficients dominants est $\frac{2}{1}$). Pour $(b_{n})$ : $b_{1}=1$, $b_{2}=4$, $b_{3}=7$, $b_{4}=10$. On ajoute 3 à chaque étape, c'est une suite arithmétique de raison 3, donc $b_{n}=1+3(n-1)=3n-2$. Vérification : $b_{4}=12-2=10$ ✓. Cette suite DIVERGE vers $+\infty$, ce qui rappelle qu'une suite parfaitement régulière n'est pas pour autant convergente.

Définition : $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n>N$, $|a_{n}-L|<\varepsilon$. Autrement dit, aussi petite que soit la marge $\varepsilon$ qu'on exige, la suite finit par entrer dans cette marge et n'en ressort plus. Application avec $\varepsilon=0{,}01$ : $\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|=\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|=\frac{5}{n+3}$. On veut $\frac{5}{n+3}<0{,}01$, soit $n+3>500$, soit $n>497$. On peut donc prendre $N=497$ : à partir du rang 498, tous les termes sont à moins de $0{,}01$ de 2. Vérification : $a_{498}=\frac{997}{501}\approx 1{,}99002$, et l'écart vaut $\frac{5}{501}\approx 0{,}00998<0{,}01$ ✓.

Une formule EXPLICITE calcule $a_{n}$ à partir de $n$ seul : $a_{1000}$ s'obtient en une substitution. Une formule de RÉCURRENCE calcule $a_{n}$ à partir de $a_{n-1}$ : pour obtenir $b_{1000}$ il faut en principe parcourir les 999 termes précédents. Seule la formule explicite permet donc un calcul direct, et c'est pourquoi on cherche souvent à convertir une récurrence en expression explicite, comme on l'a fait avec $b_{n}=3n-2$. Cela compte parce que les techniques de limites du chapitre (terme dominant, L'Hôpital, conjugué) s'appliquent à une EXPRESSION en $n$ : sans forme explicite, on ne peut pas les employer, et il faut alors passer par le théorème de la convergence monotone, ce que fait l'exercice 6.

La suite n'atteint jamais 2 : $\frac{2n+1}{n+3}=2$ exigerait $2n+1=2n+6$, donc $1=6$, ce qui est impossible pour tout $n$. « Tendre vers 2 » ne signifie pas atteindre 2, mais s'en approcher d'aussi près qu'on veut à partir d'un certain rang. L'écart $\frac{5}{n+3}$ reste strictement positif pour tout $n$, tout en devenant plus petit que n'importe quelle marge fixée d'avance. La confusion est fréquente parce que le langage courant emploie « tendre vers » et « atteindre » de manière interchangeable; en analyse, la différence est justement l'objet de la définition avec $\varepsilon$. À noter tout de même qu'une suite PEUT atteindre sa limite, par exemple une suite constante, ou une suite valant 0 à tous les rangs pairs, mais rien ne l'y oblige.

On factorise la puissance dominante au numérateur et au dénominateur, ici $n^{2}$ : $\frac{3n^{2}-5n+2}{7n^{2}+n}=\frac{n^{2}\left(3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(7+\frac{1}{n}\right)}=\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{7+\frac{1}{n}}$. Tous les termes en $\frac{1}{n}$ tendent vers zéro, donc la limite vaut $\frac{3}{7}$. Règle générale pour un quotient de polynômes : si les degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants; si le degré du numérateur est plus petit, la limite est 0; s'il est plus grand, la suite diverge vers l'infini.

Forme $\infty-\infty$, donc conjugué : $\sqrt{n^{2}+n}-n=\frac{\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\frac{n^{2}+n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}$. On factorise $n$ au dénominateur : $\frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to\frac{1}{2}$. La limite vaut $\frac{1}{2}$. Le résultat mérite un commentaire : $\sqrt{n^{2}+n}$ et $n$ deviennent tous deux immenses, mais leur écart se stabilise à $\frac{1}{2}$, ce qui montre que $\sqrt{n^{2}+n}$ se comporte comme $n+\frac{1}{2}$ pour $n$ grand.

On considère la fonction $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, qui coïncide avec la suite aux entiers, c'est-à-dire $a_{n}=f(n)$. Par L'Hôpital (forme $\frac{\infty}{\infty}$) : $\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0$. Le théorème de passage garantit alors que $\frac{\ln n}{n}\to 0$. Le passage est légitime dans CE sens parce que les entiers font partie des réels : si toutes les valeurs réelles finissent dans la marge $\varepsilon$, les valeurs entières y sont a fortiori. La réciproque est fausse parce que la suite ne voit que des points isolés et peut manquer complètement le comportement de la fonction entre ces points : $\sin(2\pi n)=0$ pour tout entier $n$, donc la SUITE converge vers 0, alors que la FONCTION $\sin(2\pi x)$ oscille sans limite. Conséquence pratique : si la limite de la fonction n'existe pas, on n'a rien appris sur la suite et il faut trouver un autre argument.

Les deux limites valent $0$, par le théorème des GENDARMES (encadrement). Pour la première : $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos n}{n}\leq\frac{1}{n}$ puisque $|\cos n|\leq 1$, et les deux bornes tendent vers 0, donc la suite aussi. Pour la seconde : $\left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$, et une suite dont la valeur absolue tend vers 0 tend vers 0. L'Hôpital serait inutilisable pour deux raisons cumulées. D'abord ces expressions ne sont pas des formes indéterminées de type $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : le numérateur est borné, pas infini. Ensuite $(-1)^{n}$ n'est même pas définie pour un $x$ réel quelconque, il n'existe donc aucune fonction dérivable à qui appliquer la règle. L'encadrement est l'outil naturel dès qu'un facteur oscille en restant borné, et c'est le cas de figure le plus fréquent avec les suites.

Les quatre régimes. Si $|r|<1$, par exemple $r=0{,}5$ : $r^{n}\to 0$, la suite converge, et elle le fait très vite. Si $r=1$ : la suite est constante égale à 1, donc converge vers 1. Si $r>1$, par exemple $r=2$ : $r^{n}\to+\infty$, divergence vers l'infini. Si $r\leq -1$, par exemple $r=-1$ (oscillation entre $-1$ et 1) ou $r=-2$ (oscillation d'amplitude croissante) : la suite diverge par oscillation, sans limite ni finie ni infinie. Le cas $r=-1$ est la frontière exacte : c'est le seul $r$ pour lequel la suite reste bornée tout en divergeant. Ce classement resservira intégralement au chapitre des séries, où la série géométrique $\sum r^{n}$ converge exactement quand $|r|<1$.

La suite vaut $-1$ pour $n$ impair et $1$ pour $n$ pair : elle est bornée, puisque $|a_{n}|=1$ pour tout $n$. Supposons par l'absurde qu'elle converge vers une limite $L$. En prenant $\varepsilon=\frac{1}{2}$ dans la définition, il devrait exister un rang $N$ au-delà duquel TOUS les termes sont à moins de $\frac{1}{2}$ de $L$. Mais au-delà de n'importe quel rang, on trouve à la fois des termes valant 1 et des termes valant $-1$, dont la distance mutuelle est 2 : ils ne peuvent pas être tous deux dans un intervalle de largeur 1. Contradiction, donc la suite diverge. L'idée prise en défaut est que la définition exige que TOUS les termes de rang assez grand se rapprochent d'une MÊME valeur; ici la suite a deux valeurs d'adhérence, 1 et $-1$, et n'en privilégie aucune. Être borné empêche d'exploser, mais n'oblige pas à se fixer.

Pour $n=10$ : $(0{,}9)^{10}\approx 0{,}349$ et $(1{,}1)^{10}\approx 2{,}594$, l'écart reste modeste. Pour $n=100$ : $(0{,}9)^{100}\approx 2{,}66\times 10^{-5}$ et $(1{,}1)^{100}\approx 13\,781$, soit un rapport de plus de cinq cents millions. À la limite : la première tend vers 0, la seconde vers $+\infty$. La comparaison montre que le régime bascule sur un SEUIL, la valeur $|r|=1$, et que deux raisons distantes de seulement $0{,}2$ produisent des destins opposés. C'est le propre de la croissance exponentielle : le facteur multiplicatif s'applique à chaque étape, si bien qu'un écart minime par tour devient un écart démesuré à l'arrivée. C'est aussi pourquoi, en finance comme en biologie, la valeur exacte du taux compte davantage que la durée.

Première moitié, toute suite convergente est bornée : si $a_{n}\to L$, alors en prenant $\varepsilon=1$ il existe un rang $N$ au-delà duquel tous les termes sont dans l'intervalle $\left]L-1,L+1\right[$, donc bornés; et les termes de rang inférieur à $N$ sont en nombre FINI, donc bornés eux aussi (un ensemble fini de nombres a toujours un plus grand et un plus petit élément). En combinant les deux, la suite entière est bornée. Seconde moitié, la réciproque est fausse : $(-1)^{n}$ du point b) est bornée et diverge, ce qui suffit à réfuter. La bonne façon d'utiliser cette implication est sa CONTRAPOSÉE : si une suite n'est pas bornée, elle ne converge pas. C'est un test de divergence rapide, et souvent le plus économique.

Tous les termes sont strictement positifs, le rapport est donc légitime : $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^{n}}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n}=\frac{n+1}{2n}$. Pour $n=1$, ce rapport vaut $\frac{2}{2}=1$ EXACTEMENT : les deux premiers termes sont égaux, $a_{1}=\frac{1}{2}$ et $a_{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Pour $n\geq 2$, $\frac{n+1}{2n}<1$ équivaut à $n+1<2n$, soit $n>1$, ce qui est vérifié : le rapport est alors strictement inférieur à 1 et la suite est strictement décroissante. Rédaction correcte : la suite est décroissante au sens large à partir du rang 1, et STRICTEMENT décroissante à partir du rang 2. Écrire « la suite est strictement décroissante » sans réserve serait faux au rang 1, et c'est exactement le genre de détail qu'une correction sanctionne. Termes successifs : $0{,}5$; $0{,}5$; $0{,}375$; $0{,}25$; $0{,}15625$.

La fonction associée est $f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}$, définie et dérivable pour $x\geq 1$. Sa dérivée vaut $f'(x)=\frac{2(3x+4)-3(2x-1)}{(3x+4)^{2}}=\frac{6x+8-6x+3}{(3x+4)^{2}}=\frac{11}{(3x+4)^{2}}>0$ : la fonction est strictement croissante sur $[1,\infty[$, donc la suite $b_{n}=f(n)$ l'est aussi. Majoration : $\frac{2n-1}{3n+4}<\frac{2}{3}$ équivaut à $3(2n-1)<2(3n+4)$, soit $6n-3<6n+8$, soit $-3<8$, vrai pour tout $n$. La suite est donc croissante et majorée par $\frac{2}{3}$ : par le théorème de la convergence monotone, elle CONVERGE. La limite se calcule ici directement par le terme dominant : $\frac{2n-1}{3n+4}=\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{4}{n}}\to\frac{2}{3}$. Premiers termes : $0{,}1429$; $0{,}3$; $0{,}3846$; $0{,}4375$; $0{,}4737$, la montée vers $\frac{2}{3}$ est lente mais régulière.

Le contre-exemple fonctionne parce que $\sin(2\pi n)=0$ pour tout entier $n$ : la SUITE se réduit donc à $a_{n}=\frac{1}{n}$, qui est strictement décroissante. La FONCTION associée $f(x)=\sin(2\pi x)+\frac{1}{x}$, en revanche, oscille sans cesse : entre deux entiers consécutifs elle monte jusqu'à environ $+1$ puis redescend jusqu'à environ $-1$, et elle n'est monotone sur AUCUN intervalle de longueur 1. L'affirmation est donc fausse. La raison profonde est que la suite ne voit que des points ISOLÉS et ignore tout ce qui se passe entre eux, exactement comme pour la question des limites traitée à l'exercice 2c. L'implication vraie est celle de l'autre sens : si $f$ est décroissante sur $[1,\infty[$, alors $a_{n}=f(n)$ est décroissante, puisque $n<n+1$ entraîne $f(n)\geq f(n+1)$. Conséquence pratique : la fonction associée est un outil pour PROUVER la monotonie d'une suite, jamais pour la réfuter. Si $f'$ change de signe, on n'a rien appris et il faut revenir à la différence ou au rapport.

La différence $c_{n+1}-c_{n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{2^{n}}{n!}$ demande de mettre au même dénominateur des factorielles, ce qui est faisable mais pénible; surtout, la fonction associée est carrément indisponible, car $n!$ n'est pas définie pour un réel $x$ quelconque. Il n'existe pas de fonction dérivable élémentaire prolongeant la factorielle qu'on puisse dériver au niveau du cours, donc ni $f'$ ni L'Hôpital ne sont utilisables. Le rapport, lui, est parfaitement adapté : $\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}}=\frac{2}{n+1}$. Pour $n=1$ le rapport vaut 1 (donc $c_{1}=c_{2}=2$), et pour $n\geq 2$ il vaut $\frac{2}{n+1}<1$ : la suite est strictement décroissante à partir du rang 2, exactement comme au point a). Elle est de plus minorée par 0, puisque tous ses termes sont positifs. Par le théorème de la convergence monotone, elle CONVERGE. La limite est 0, ce qui se devine en observant que le rapport $\frac{2}{n+1}$ tend lui-même vers 0 : à partir d'un certain rang on multiplie par un facteur de plus en plus petit, donc l'écrasement s'accélère. Vérification : $c_{7}\approx 0{,}0254$ et $c_{30}\approx 4\times 10^{-24}$. La factorielle bat l'exponentielle, ce qui prolonge d'un cran la hiérarchie du chapitre de L'Hôpital, et c'est exactement le mécanisme du critère de d'Alembert qui sera vu au chapitre des séries.

Première façon : $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}$. En développant, $\frac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{6}\to\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Seconde façon : la somme est exactement $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ avec $f(x)=x^{2}$, c'est-à-dire la somme de Riemann à droite de $f$ sur $[0,1]$, avec $\Delta x=\frac{1}{n}$ et les points $x_{k}=\frac{k}{n}$. Sa limite est donc $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$. Les deux résultats concordent, ce qui est rassurant mais surtout révélateur : la formule de $\sum k^{2}$ n'est disponible que pour quelques sommes très particulières, alors que la lecture en somme de Riemann fonctionne pour n'importe quelle $f$ intégrable. Contrôle numérique : la valeur exacte $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}$ vaut $0{,}385$ pour $n=10$ et $0{,}3333383$ pour $n=10^{5}$.

Le raisonnement est faux parce que le NOMBRE de termes augmente en même temps que chaque terme diminue. Chaque terme $\frac{1}{n+k}$ est de l'ordre de $\frac{1}{n}$, mais il y en a $n$ : le total reste de l'ordre de $n\cdot\frac{1}{n}=1$, donc rien ne tend vers 0. C'est la même illusion que pour la série harmonique : une infinité de contributions minuscules peut totaliser une quantité non nulle, et « passer à la limite terme à terme » n'est licite que si le nombre de termes est FIXE. Calcul correct : $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, qui est la somme de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$. La limite vaut donc $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}=\left[\ln(1+x)\right]_{0}^{1}=\ln 2\approx 0{,}693$. Contrôle numérique : la somme vaut $0{,}6688$ pour $n=10$ et $0{,}69314$ pour $n=10^{5}$, la convergence est lente et par en dessous.

$I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}$, donc $\lim_{n\to\infty}I_{n}=0$. Comportement ponctuel de $x^{n}$ : pour tout $x$ fixé dans $[0,1[$, $x^{n}\to 0$; mais en $x=1$, $x^{n}=1$ pour tout $n$, donc la limite ponctuelle vaut 1 en ce point précis. Y a-t-il contradiction ? Non, aucune. L'intégrale mesure une AIRE, et un point isolé n'a pas d'aire : que la fonction limite vaille 1 en $x=1$ et 0 partout ailleurs ne change rien au fait que l'aire sous $x^{n}$ tende vers 0. Géométriquement, la courbe de $x^{n}$ s'écrase contre l'axe sur presque tout l'intervalle et ne se redresse que dans une zone de plus en plus étroite près de $x=1$ : cette zone est bien de hauteur 1, mais sa largeur tend vers 0, et c'est le produit des deux qui décide. La leçon est que l'intégration ne se laisse pas gouverner par le comportement en un point isolé, ce qui est précisément ce qui la rend robuste.